Đề-Đáp án HSG Toán 8 Y.8

đề thi học sinh giỏi Toán 8 .8
Thời gian làm bài: 120 phút
(không kể thời gian giao đề)
Bài 1 : (2đ)
Xác định giá trị của a, b và c để đa thức:
P(x) = x
4
+ ax
2
+ bx + c chia hết cho (x 3)
3
Bài 2: (2đ)
Thực hiện phép tính:
))((
1
22
bcbacacb
+
+
))((
1
22
accabbac
+
+
))((
1
22
ababccba
+
Bài 3: (2đ)

Cho x, y, z ụi mt khỏc nhau v
0
z
1
y
1
x
1
=++
.
Tớnh giỏ tr ca biu thc:
xy2z
xy
xz2y
xz
yz2x
yz
A
222
+
+
+
+
+
=
Bài 4: (2đ)
Phân tích các đa thức sau th nh nhân tử:
a) (x-y)
3
+(y-z)

3
+(z-x)
3

b) x(y
2
-z
2
)+y(z
2
-x
2
)+z(x
2
-y
2
)
Bài 5: (2đ)
Cho hình bình hành ABCD. Gọi b và d là khoảng cách từ B và D đến đờng
thẳng bất kỳ (ta gọi là xy) qua A . Tính khoảng cách từ C đến đờng thẳng ấy.
-----------------------------Hết đề thi-------------------------------
Đáp án đề Toán 8 . 8
Bài 1 : (2đ)
Chia x
4
+ ax
2
+ bx + c cho (x 3)
3
đợc thơng là x + 9

0,5đ
và d là R(x) = x
2
(a+54) + x(b-216) + 243 + c 0,5đ
P(x)

(x 3)
2


R(x) = 0
0,5đ
a+54 = 0

a = - 54
b-216 = 0

b = 216
243 + c = 0

c= -243 0,5đ
Bài 2: (2đ)
bcbaca
+
22
=
)()(
22
bacba

+
=
))(( cbaba
++
Vậy mẫu thức của phân thức thứ nhất là:
)( cb

))(( cbaba
++
0,5đ
Nếu trong mẫu thức của phân thức thứ nhất ta thay:
b bởi c
c bởi a
a bởi b
thì ta đợc mẫu thức của phân thức thứ hai. Do vậy:
Mẫu thức của phân thức thứ hai bằng:
)( ac

))(( cbacb
++

Mẫu thức của phân thức thứ ba bằng:
)( ba

))(( cbaac
++
0,5đ
Từ đó ta có:
))()((
1

cbabacb
++
+
))()((
1
cbacbac
++
+
))()((
1
cbaacba
++

0,5đ
=
))()()(( cbaaccbba
cbbaac
++
++
=
))()()((
0
cbaaccbba
++
=0
0,5đ
Bài 3: (2đ)
0
z
1

y
1
x
1
=++
00
=++=
++

xzyzxy
xyz
xzyzxy

xy = = yzxz
yz = xyxz
xz = –xy–yz 0,5®
x
2
+2yz = x
2
+yz–xy–xz = x(x–y)–z(x–y) = (x–y)(x–z)

Tương tự: y
2
+2xz = (y–x)(y–z) ;
z
2
+2xy = (z–x)(z–y) 0,5đ
Do đó:
)yz)(xz(

xy
)zy)(xy(
xz
)zx)(yx(
yz
A
−−
+
−−
+
−−
=

A =
−
−−
−−
))(( zxyx
xzxy
))(( zyyx
yzxy
−−
−−
+
))(( zyzx
xzyz
−−
−−
=
))()((

)()()(
222222
zyzxyx
yxzzxyzyx
=−−
−−−+−−
=
))()((
222222
zyzxyx
zyzxyzyxxzxy
=−−
+−−++−
0,5®
=
))()((
)()()(
222222
zyzxyx
zyzxyxxyyzxz
=−−
−−−−−
=
))()((
)()()(
222
zyzxyx
yxzxyxyyxz
=−−
−−−−−

=
))()((
))((
2
zyzxyx
yzxzxyzyx
=−−
−−+−
=
))()((
)]()()[(
zyzxyx
zxyxzzyx
=−−
−+−−
=
1
))()((
))()((
=
=−−
−−−
zyzxyx
zyzxyx
Vậy A = 1 0,5®
Bµi 4: (2®)
a) (x - y)
3
+ (y - z)
3

+ (z - x)
3
=(x - y + y - z)[(x - y)
2
-(x - y)(y - z) + (y - z)
2
] + (z - x)
3
=(x - z)[(x - y)
2
- (x - y)(y - z) + (y - z)
2
- (z - x)
2
] 0,5®
=(x - z)[(x - y)(x - y - y + z) + (y - z + z - x)(y - z - z + x)]
=(x - z)(x - y)(x - 2y + z - y + 2z - x)
=3(x - z)(x - y)(z - y) 0,5®
b) x(y
2
- z
2
) + y(z
2
- x
2
) + z(x
2
- y
2

)
= x(y
2
- x
2
+ x
2
- z
2
) + y(z
2
- x
2
) + z(x
2
- y
2
)
= x(y
2
- x
2
) + x(x
2
- z
2
) + y(z
2
- x
2

) + z(x
2
- y
2
) 0,5®
= (x
2
- y
2
)(z - x) + (x
2
- z
2
)(x - y)
=(x - y)(z - x)(x + y - x - z)
=(x - y)(z - x)(y - z) 0,5®
Bµi 5: (2®) VÏ h×nh 0.5 ®

Ta xÐt hai trêng hîp cã thÓ x¶y ra:
1) § êng th¼ng xy kh«ng c¾t ® êng chÐo BD (h×nh trªn)
H¹ OO’(giao ®iÓm cña AC vµ BD) , BB’ , CC’ , DD’ vu«ng gãc víi ®êng
th¼ng xy.
Ta cã: OO’//BB’ // DD’ vµ OB=OD nªn OO’ lµ ®êng trung b×nh cña h×nh
thang vu«ng B’BDD’ vµ theo ®Çu bµi, BB’= b, DD’ = d, do ®ã:
OO’ =
)(
2
1
db
+

OO’ l¹i lµ ®êng trung b×nh cña tam gi¸c ACC’ (OA=OC vµ OO;//CC’) nªn
CC’ = 2. OO’= 2.
)(
2
1
db
+
= b+d 0,75®
B
C
A
O
D
b
B’
x
d
O’
C’
y
D’
I
C
A
O
D
b
B’
x
d

O’
C’
y
D’
B
2) Đ ờng thẳng xy cắt đ ờng chéo BD (hình trên)
Hạ OO, BB , CC , DD vuông góc với đờng thẳng xy.
OO cắt BD ở I. Ta có OI và OI là đờng trung bình của tam giác DBD và
tam giác BDB
Do đó OO = OI - OI =
22
bd

OO lại là đờng trung bình của tam giác CAC nên:
CC = 2 OO = 2
bd
bd
=

2
Tóm lại, khoảng cách từ C đến đờng thẳng xy qua A bằng b+d hoặc b- d
tùy theo xy không cắt hay cắt BD. 0,75đ
--------------------------Hết đáp án-------------------------------
Không phải là đáp án:
Đề thi trên có 2 trang tự động cập nhật (tác giả không đa trực tiếp v ít
truy cập trang đó), nếu có lỗi trong quá trình biên soạn thầy (cô) báo giúp
tại trang
Cám ơn thầy (cô)!
Biên soạn: Nguyễn Văn Yên THCS Phong Khê TP Bắc Ninh