HSG Toan 8 Ha Long

phòng giáo dục thành phố hạ long
----------------- @ -------------------
kỳ thi chọn học sinh giỏi lớp 8 thành phố
năm học 2004 - 2005
đề thi môn : toán
Ngày thi : ......../......./2005
Thời gian làm bài : 150 phút
(không kể thời gian giao đề)
Bài 1:
a) Có hay không các số tự nhiên n thoả mãn: n
2
+ n + 1 chia hết cho 2005 ?
b) Cho x và y là hai số thực sao cho
y
x
1
+
và
x
y
1
+
đều là các số nguyên.
Chứng minh rằng
22
22
1
yx
yx
+
là số nguyên.

Bài 2:
Cho hai đa thức: P(x) = x(x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 5)( x+ 6)(x + 7) + a
và Q(x) = x
2
+ 7x + 14.
Tìm giá trị của a để đa thức P(x) chia hết cho đa thức Q(x)
Bài 3:
Tìm x biết:
3
14
5
1







x
+
3
1
5
4

x
+
( )
3
15 x

= 0
Bài 4:
Cho tam giác ABC. Lấy một điểm O sao cho tia AO nằm giữa hai tia AB và
AC. Gọi M, N, P, Q lần lợt là trung điểm các đoạn thẳng OB, OC, AC, AB.
a) Tứ giác MNPQ là hình gì ? Vì sao ?
b) Tìm vị trí điểm O để tứ giác MNPQ là hình chữ nhật đồng thời diện tích tứ
giác MNPQ bằng diện tích tam giác ABC.
------------------------ Hết -------------------------
Họ và tên : .............................................................
Số báo danh : ........................................................
hớng dẫn chấm thi HSG thành phố năm học 2004-2005
môn toán lớp 8
Bài Sơ lợc lời giải Điểm
Bài 1a)
3 điểm
Ta sẽ chứng minh n
2
+ n + 1 không chia hết cho 5 với n N.
Xét n = 5k + r với 0 n 4 => n
2
+ n + 1 = 5p + r
2

+ r + 1
Thử trực tiếp từng trờng hợp của r => r
2
+ r + 1 1;2;3
=> n
2
+ n + 1 chia 5 cho d là 1;2;3 => n
2
+ n + 1 không chiahếtcho 5
Mặt khác thấy 2005 chia hết cho 5
Vậy không có số tự nhiên n nào thoả mãn: n
2
+n+1 chia hết cho 2005
2,0 đ
0,5 đ
0,5 đ
1b)
2 điểm
Từ giả thiết => (
y
x
1
+
)(
x
y
1
+
) Z =>
xy

xy
1
+
Z
1,0 đ
=> (
xy
xy
1
+
)
2
Z =>
22
22
1
yx
yx
+
Z (đpcm !)
1,0 đ
Bài 2
4 điểm
Đặt x
2
+ 7x + 6 = t => Q(x) = t + 8 = q(t)
và P(x) = (t - 6) t (t + 4)(t + 6) + a = t
4
+ 4t
3

- 36t
2
- 144t + a = p(t)
0,5 đ
1,25 đ
Chia p(t) cho q(t), đợc p(t) = (t
3
- 4t
2
- 4t - 112).q(t) + a + 896
Khi đó P(x) chia hết cho Q(x) <=> p(t) chia hết cho q(t) <=> a = -896
Vậy với a = -896 thì P(x) chia hết cho Q(x).
1,25 đ
1,0 đ
Bài 3
4 điểm
Đặt:







14
5
1
x
= a ;

1
5
4
x
= b ;
( )
x

15
= c => a + b + c = 0
Chứng minh đợc với a+b+c = 0 thì a
3
+ b
3
+ c
3
= 3 abc
0,5 đ
2,0 đ
Khi đó giả thiết
3
14
5
1

x
+
3
1
5
4







x
+
( )
3
15 x

= 0 <=>

14
5
1
x







1
5
4
x
( )
x

15
= 0 <=> x = 70 hoặc x = 5/4 hoặc x =
15
Vậy các giá trị cần tìm của x là: x = 70 hoặc x = 5/4 hoặc x = 15
1,5 đ
Bài 4
A A
Q P

Q P
O B C
M N
M N
B C O
4a) 2 đ
Tứ giác MNPQ là hình bình hành 2,0 đ
4 b)
5 điểm
Giả sử MNPQ là hình chữ nhật => MQ MN => AO BC
Do d/t MNPQ = d/t ABC => ... => AO = 2 AH (đờng cao của ABC)
=> O tia AH sao cho AO = 2 AH (với AH là đờng cao của ABC)
1,0 đ
1,5 đ
0,5 đ
Ngợc lại, lấy điểm O tia AH sao cho AO = 2 AH (với AH - đờng cao
của ABC), dễ chứng minh đợc tứ giác MNPQ là hình chữ nhật và d/t
MNPQ = d/t ABC
Vậy điểm O cần tìm tia AH sao cho AO = 2 AH (với AH là đờng cao
của ABC). Có duy nhất điểm O thoả mãn yêu cầu bài toán.
1,5 đ
0,5 đ