PP TOA DO TRONG KHONG GIAN

<span class='text_page_counter'>(1)</span>PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN NỘI DUNG :. 1. Phương trình mặt phẳng. 2. Phương trình đường thẳng. 3. Góc, khoảng cách. 4. Các bài toán về tìm điểm trong không gian. 5. Phương trình mặt cầu. 6. Các bài toán liên quan giữa điểm, đường thẳng, mặt phẳng và mặt cầu. 7. Các bài toán khác. 8. Bài tập trong đề thi đại học..

<span class='text_page_counter'>(2)</span>

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Bài 1 : Phương trình mặt phẳng. I.. Lý thuyết cần nhớ.. 1. Một số định nghĩa.    n  0 n a) Cho mp(P), véc tơ được gọi là véc tơ pháp tuyến của mp(P) nếu giá của vuông. góc với mp(P).   a  ( x ; y ; z ) v à b ( x2 ; y2 ; z2 ) không cùng phương. Tích có hướng của hai 1 1 1 b) Cho 2 véc tơ.        a v à b n  a  b ;or n [a; b] và có tọa độ là : véc tơ là 1 vec tơ kí hiệu là  y n ( 1 y2. z1 z1 ; z 2 z2. x1 x1 ; x2 x2. y1 ) y2. (Giải thích bản chất).   a  ( x ; y ; z ) v à b ( x2 ; y2 ; z2 ) không cùng phương có giá song song hoặc 1 1 1 c) Cho 2 véc tơ     . nằm trong mp (P) thì mp (P) nhận tích có hướng n a  b ;or n [a; b] là 1 VTPT.   n  a        n [a; b] d) Chú y : n  b 2. Các dạng PT mặt phẳng..  n a) PTTQ của mặt phẳng : mp(P) đi qua M(x0;y0;z0) nhận ( A; B; C ) là véc tơ pháp tuyến có PT là : A( x  x0 )  B ( y  y0 )  C ( z  z0 ) 0. b) Phương trình theo đoạn chắn : mp(P) cắt 3 trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại A(a;0;0), x y z   1 B(0;b;0), C(0;0;c) có PT là a b c. (*). PT (*) được gọi là PT theo đoạn chắn, với OA =. a. , OB=…, OC=…. 3. Công thức góc, khoảng cách.  Công thức góc giữa 2 mp.  Khoảng cách từ 1 điểm tới mp.  Cách kiểm tra 2 điểm nằm cùng phía, khác phía so với 1 mp cho trước. II.. . Bài tập. Các bài toán lập PT mặt phẳng cơ bản : 1. Lập PT mp đi qua 1 điểm, biết véc tơ pháp tuyến..

<span class='text_page_counter'>(4)</span> 2. Lập PT mp đi qua 1 điểm, vuông góc với 1 đường thẳng. 3. Lập PT mp đi qua 1 điểm, song song với 1 mp cho trước. 4. Lập PT mặt phẳng đi qua 3 điểm. 5. Lập PT mặt phẳng theo đoạn chắn. 6. Lập PT mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng. 7. Lập PT mp đi qua 1 điểm, vuông góc với 2 mp cho trước 8. Lập PT mặt phẳng đi qua 2 điểm, vuông góc với 1 mp cho trước. 9. Lập PT mp đi qua 1 điểm, chứa hoặc song song với 2 đường thẳng nào đó. 10.Lập PT mặt phẳng chứa 2 đường thẳng cắt nhau. 11.Lập PT mặt phẳng đi qua 1 điểm và 1 đường thẳng không đi qua điểm đó. 12.Lập PT mặt phẳng song song, cách đều 2 đường thẳng chéo nhau. 13.Lập PT mp đi qua 2 điểm, cách 1 điểm cho trước 1 khoảng nào đó. 14.Lập PT mp đi qua 2 điểm, cách đều 2 điểm cho trước. Bài 1  n a) Lập PT mp(P) đi qua M(1;2;-1), có véc tơ pháp tuyến (3;  2;1) .  n b) Lập PT mp(P) đi qua M(1;-2;1), có véc tơ pháp tuyến (1;2;  1) .  n c) Lập PT mp(P) đi qua M(-3;2;0), có véc tơ pháp tuyến ( 1;  2;1) .  n d) Lập PT mp(P) đi qua M(0;2;1), có véc tơ pháp tuyến ( 1;1; 2) .. Bài 2. a) Lập PT mp(P) đi qua M(-2;3;1), vuông góc với đường thẳng. b) Lập PT mp(P) đi qua M(-2;1;-1), vuông góc với đường thẳng c) Lập PT mp(P) đi qua M(2;-3;1), vuông góc với đường thẳng.  x 1  2t  ()  y 2  t  z  2  3t   x 1  3t  ()  y 2  4t  z  2  2t  (). x  1 y 2 z 3   2 1 3.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> d) Lập PT mp(P) đi qua M(2;1;1), vuông góc với đường thẳng. (). x  1 y  2 z 1   2 1 3. Bài 3 a) Lập PT mp(P) đi qua M(-2;5 ;1), song song với mp (P) : x – 2y +3z+5=0. b) Lập PT mp(P) đi qua M(-2;1 ;1), song song với mp (P) : 2x – y +3z – 3=0. c) Lập PT mp(P) đi qua M(-2;3 ;2), song song với mp (P) : 2x – 5y +3z – 2=0. Bài 4 a) Lập PT mặt phẳng đi qua 3 điểm A(1,2;1), B(-2;1;2), C(0;1;1). b) Lập PT mặt phẳng đi qua 3 điểm A(-1,2;1), B(-2;1;0), C(0;-1;2). c) Lập PT mặt phẳng đi qua 3 điểm A(1,-2;1), B(-2;1;2), C(1;1;-1). Bài 5 a) Lập PT mặt phẳng đi qua 3 điểm A(1;0;0); B(0;-2;0), C(0;0;3). b) Lập PT mặt phẳng đi qua 3 điểm A(2;0;0); B(0;-3;0), C(0;0;1). c) Lập PT mặt phẳng đi qua 3 điểm A(-1;0;0); B(0;-2;0), C(0;0;2). Bài 6 a) Lập PT mặt phẳng trung trực của AB biết A(1;2;3), B(-3;0;1). b) Lập PT mặt phẳng trung trực của AB biết A(-1;-2;1), B(3;0;3). c) Lập PT mặt phẳng trung trực của AB biết A(0;2;1), B(2;-4;-3). Bài 7 a) Lập PT mp(  ) đi qua M(-2;5 ;1), vuông góc với 2 mp : (P) : x – 2y +3z+5=0, (Q) : 2x – 5y +3z – 2=0.. Và. b) Lập PT mp(  ) đi qua M(-2;3 ;1), vuông góc với 2 mp : (P) : 2x – y +3z+5=0, (Q) : 2x – y +z – 2=0.. Và. c) Lập PT mp(  ) đi qua M(0 ;2 ;1), vuông góc với 2 mp : (P) : 3x – 2y +z+1=0, Và (Q) : 2x – y +3z – 2=0. Bài 8 a) Lập PT mp(  ) đi qua M(-2;3 ;1), N(1;2;0)vuông góc với mp : (P) : x – 2y +2z+3=0. b) Lập PT mp(  ) đi qua M(-2;1 ;1), N(1;2;0)vuông góc với mp : (P) : 2x – 2y +z+2=0. c) Lập PT mp(  ) đi qua M(-2;0 ;1), N(1;2;0)vuông góc với mp : (P) : x – 2y +z+1=0..

<span class='text_page_counter'>(6)</span> Bài 9. a) Lập PT mp(P) đi qua M(-2;3 ;1), và song song với 2 đường thẳng :.  x 1  2t  ()  y 2  t  z  2  3t . ,.  x 2  t  ( ')  y 1  3t  z  2  2t . b) Lập PT mp(P) đi qua M(2;1 ;1), chứa đường thẳng.  x 1  2t  ()  y 2  t  z  2  3t . ,song2.  x  1  2t '  ( ')  y 1  3t '  z  2  t ' . c) Lập PT mp(P) đi qua M(-2;-1 ;1), và song2 đường thẳng.  x 1  t  x  1  t '   ()  y 2  2t ( ')  y 1  t '  z  2  t  z 2  2t '  . ,. Bài 10. a) Lập PT mp(P) chứa 2 đường thẳng.  x 1  2t  x 1  t '   ()  y 2  t ( ')  y 2  t '  z  2  3t  z  2  2t '  . ,.  x 1  2t  ()  y 2  t  x  2 y  z  3 0  z  2  3t , ( ') 2 x  y  3 z  1 0   b) Lập PT mp(P) chứa 2 đường thẳng. c) Lập PT mp(P) chứa 2 đường thẳng.  x 1  t  ()  y 2  2t x 1 y  2 z 2    z  2  t ( ')  2 1 3. ,. Bài 11. a) Lập PT mp(P) đi qua M(-2;5;1), và chứa.  x 1  2t  ()  y 2  t  z  2  3t . ..

<span class='text_page_counter'>(7)</span> b) Lập PT mp(P) đi qua M(-2;1;1), và chứa. ( '). x  1 y 2 z 3   2 1 3 ..  x  2 y  z  3 0 ( ')  2 x  y  3 z  1 0 . c) Lập PT mp(P) đi qua M(-2;-1;1), và chứa. Bài 12  x 1  t  ()  y 2  2t x  1 y 2 z 3 (  ')     z  2  t , 2 1 3 . a) Lập PT mp(P) song 2,cách đều 2 đường thẳng. b) Lập PT mp(P) song 2,cách đều 2 đường thẳng.  x 1  t  ()  y 2  2t  z  2  t . ,.  x 1  t  ( ')  y 2  t  z  2  2t .  x  y  z  3 0  x  2 y  z  3 0 ()  ( ')  2 x  y  3 z  1 0 c) Lập PT mp(P) song 2,cách đều 2 đt :  x  y  2 z  1 0 ,. Bài 13. Bài 14. . Một số bài tập nâng cao về viết PT mặt phẳng.. 1. (B – 2006) Trong không gian Oxyz cho điểm A (0; 1; 2) và 2 đường thẳng : x y  1 z 3 (d1 ) :   2 1  1 và. .  x 1  t  (d 2 )  y  1  2t  z 2  t . Kq : x+3y+5z – 13 =0 .. . Viết PT mp(P) qua A và song song d1 ; d2..

<span class='text_page_counter'>(8)</span> 2. (B – 2005) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hình lăng trụ đứng ABCA1B 1B1C1 với A(0 ;-3 ;0), B(4 ;0 ;0), C(0 ;3 ;0), B1(4 ;0 ;4). Gọi M là trung điểm A1B1. Viết PT mp(P) đi qua A, M và song song BC1. (x+4y – 2z+12=0). 3. (D – 2005) Trong không gian cho 2 đường thẳng. (d1 ) :. x  1 y  2 z 1   3 1 2 và.  x  y  z  2 0 d2 :  x  3 y  12 0 . Hãy CM d1  d 2 và viết PT mp chứa d1 ; d 2 .(15x+11y – 17z – 10 =0). 4. (A – 2002) Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng :  x  2 y  z  4 0 d1 :   x  2 y  2 z  4 0 và.  x 1  t  d 2 :  y 2  t  z 1  2t . (kq : 2x – z =0). . Hãy viết PT mp(P) chứa d1 và song song với d2.. 5. (CĐ – 2009) Viết PT mp(P) đi qua A(1;1;1) và vuông góc với cả 2 mp ( ) : x  2 y  3z  4 0;(  ):3 x  2 y  z  1 0 . (4x – 5y+2z – 1 =0). x y z 1 (d ) :   1 1 2 và A(1;1;3). Viết PT mp(P) qua 6. (CĐ – 2008) Trong không gian cho. A và vuông góc với (d). (kq : x – y +2z – 6 = 0).  x 1  t   x  2 y  z  4 0 d 2  y 2  t d1 :   z 1  2t   x  2 y  2 z  4 0 7. (A – 2002) Trong không gian cho 2 đường thẳng .. Hãy viết PT mp chứa d1 và song song d2 . (2x – z =0). 2 x  y  1 0 d 8. Cho A(-1;2;3). Viết PT mp(P) chứa  z  1 0 và khoảng cách từ A tới d bằng 3.. KQ : 2x – y – 2z +1 =0. 2 x  y  3z  5 0 d 9. (CĐSP – 2006) Lập PT mp(P) chứa  x  2 y  z 0 và vuông góc với mp (Q ): x  2 y  2 z  10 0 . (kq : 4x – 3y+z – 5 =0).. 10. Viết PT mp(P) biết nó đi qua G(1;2;3) và cắt các trục Ox, Oy, Oz tại A, B, C sao cho G là trọng tâm  ABC.. x  y  z 1 6 9 (kq : 3 ).. 11. Viết PT mp(P) cắt các trục Ox, Oy, Oz tại A, B, C sao cho tứ diện OABC nhận x  y  z 1 4 8 G(1;1;2) là trọng tâm. ( 4 ).

<span class='text_page_counter'>(9)</span> 12.Viết PT mp(P) cắt các trục Ox, Oy, Oz tại A, B, C sao cho  ABC đều và có S 2 3 . 13.Viết PT mp(P) cắt các trục Ox, Oy, Oz tại A, B, C sao cho H(2;1;1) là trực tâm  ABC. 14.Lập PT mp(P) đi qua M(1;1;1), N(3 ;0 ;1) cắt Ox, Oy, Oz tại A, B, C và có khoảng x y z 3 14   1 y x  42 21 42 z 1  11 9 3 2 cách từ O tới mp(P) bằng 7 . ( 6 hoặc 11 ). d:. x 1 y z 2   2 1 2 .. 15.(A – 2008) Trong không gian Oxyz cho A(2;5;3) và đường thẳng Hãy tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của A trên d, viết PT mp(P) chứa (d) sao cho khoảng cách từ A tới mp(P) lớn nhất. kq : H(3;1;4), (P) : x – 4y +z – 3 =0.. 16.(A – 2006) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’ có A(0;0;0), B(1;0;0), D(0;1;0), A’(0;0;1). Viết PT mp chứa A’C và  : cos  1 6 . (2x – y +z – 1 =0 hoặc x –2y –z+1=0 ). tạo với mp(Oxy) góc 17.Trong không gian với trục tọa độ Oxyz cho lăng trụ đứng ABCA’B’C’ có A(0;0;0), B(2;0;0), C(0;2;0), A’(0;0;2). Viết PT mp (ABC’) . (kq : y –z =0). 18.Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho A(1;2;0), B(0;4;0), C(0;0;3). Viết PT mp(P) chứa OA sao cho khoảng cách từ B và C tới mp(P) bằng nhau.. . Kq : (  6 x  3 y  4 z 0; 6 x  3 y  4 z 0 )..

<span class='text_page_counter'>(10)</span> Bài 2 : Phương trình đường thẳng trong không gian. I.. Lý thuyết cần nhớ.. 1. Các dạng PT đường thẳng : a) PT tham số. b) PT chính tắc. 2. Vị trí tương đối của 2 đường thẳng trong không gian. 3. Góc giữa 2 đường thẳng trong không gian. II.. . Bài tập. Các bài toán lập phương trình đường thẳng cơ bản:. 1. Lập PT đường thẳng đi qua 1 điểm, biết VTCP. 2. Lập PT đường thẳng đi qua 1 điểm, song song với 1 đường thẳng. 3. Lập PT đường thẳng đi qua 1 điểm, vuông góc với 1 mp. 4. Lập PT đường thẳng đi qua 2 điểm phân biệt. 5. Lập PT đường thẳng đi qua 1 điểm, song song với 2 mp. 6. Lập PT đường thẳng đi qua 1 điểm, cắt cả 2 đường thẳng cho trước. 7. Lập PT đường thẳng đi qua 1 điểm,cắt và vuông góc với 1 đường thẳng. 8. Lập PT đường thẳng đi qua 1 điểm,cắt 1 đ.thẳng, vuông góc với 1đ.thẳng khác. 9. Lập PT đường thẳng đi qua 1 điểm, vuông góc với 2 đường thẳng không song song. 10.Cho d1  d 2 , viết PT đường thẳng song song, cách đều, và nằm trong mp ( d1 ; d 2 ). 11.Cho d  ( P)  A , viết PT đt (  ) qua A, vuông góc với d, nằm trong mp(P). 12.Viết PT  ' đối xứng với  qua mp(P). 13.Viết PT  ' đối xứng với  qua đường thẳng d. 14.Viết PT đường vuông góc chung của 2 đường thẳng chéo nhau. Bài 1  u a) Lập PT đường thẳng (d) đi qua M(1;2;-2), có VTCP (2;  1;1) .  u b) Lập PT đường thẳng (d) đi qua M(-1;2;-2), có VTCP (0;  1;1).

<span class='text_page_counter'>(11)</span>  u c) Lập PT đường thẳng (d) đi qua M(3;2;-2), có VTCP (2;  1;3). Bài 2  x  y  z  3 0 ()   x  y  2 z  1 0 . a) Lập PT đường thẳng (d) đi qua M(1;-1;2) và song song với  x  y  z  3 0 ()   x  2 y  z  1 0 b) Lập PT đường thẳng (d) đi qua M(3;-1;2) và song song với  x  y  z  3 0 ()   x  y  2 z  1 0 c) Lập PT đường thẳng (d) đi qua M(1;-1;-2) và song song với. Bài 3 a) Lập PT đường thẳng (d) đi qua M(3;-1;2) và vuông góc với mp (P) : x – 2y +z+1=0. b) Lập PT đường thẳng (d) đi qua M(1;-1;2) và vuông góc với mp (P) : 2x – 2y +z+1=0. c) Lập PT đường thẳng (d) đi qua M(0;-1;2) và vuông góc với mp (P) : x – y +2z+1=0. Bài 4 a) Lập PT đường thẳng đi qua 2 điểm A(1;2;3) và B(0; -1;1). b) Lập PT đường thẳng đi qua 2 điểm A(-1;2;-2) và B(2; -1;1). c) Lập PT đường thẳng đi qua 2 điểm A(3;2;-2) và B(0; -1;-1). Bài 5 a) Lập PT đường thẳng (d) đi qua M(1;-1;2) và song song với 2 mp ( P ) : x  2 y  z  1 0 ; (Q)  x  y  2 z  1 0 . b) Lập PT đường thẳng (d) đi qua M(1;-1;0) và song song với 2 mp ( P ) :  x  2 y  z  1 0 ; (Q) x  y  2 z  1 0. c) Lập PT đường thẳng (d) đi qua M(1;-1;-2) và song song với 2 mp ( P) : x  2 y  z  1 0 ; (Q)  x  y  z  1 0. Bài 6 a) Lập PT đường thẳng (d) đi qua M(1;2;-1) và cắt cả 2 đường thẳng :  x 1  t  ()  y 2  2t  z  2  t . ,.  x  1  t  ( ')  y 1  t  z  2  2t . ..

<span class='text_page_counter'>(12)</span> b) Lập PT đường thẳng (d) đi qua M(1;-2;-1) và cắt cả 2 đường thẳng :  x 1  t  ()  y 2  2t  z  2  t . c). ( '). ,. x  1 y 2 z 3   2 1 3 .. Lập PT đường thẳng (d) đi qua M(-1;2;-1) và cắt cả 2 đường thẳng :  x  y  z  3 0 ()   x  y  2 z  1 0 ,.  x  2 y  z  3 0 ( ')  2 x  y  3z  1 0 .. Bài 7. a) Lập PT đường thẳng (d) đi qua M(1;2;-1), cắt và vuông góc với.  x 1  t  ()  y 2  2t  z  2  t . ..  x  y  z  3 0 ()   x  y  2 z  1 0 b) Lập PT đường thẳng (d) đi qua M(1;2;-1), cắt và vuông góc với. c) Lập PT đường thẳng (d) đi qua M(1;2;-1), cắt và vuông góc với. (). x  1 y 2 z 3   2 1 1. Bài 8. a) Lập PT đường thẳng (d) đi qua M(1;2;-1), cắt  x  1  t  ( ')  y 1  t  z  2  2t .  x 1  t  ()  y 2  2t  z  2  t . , vuông góc. ..  x 1  t  ()  y 2  t  x  y  z  3 0  (  ')   z  2  2t   x  y  2 z  1 0 . b) Lập PT đường thẳng (d) đi qua M(-1;2;-1), cắt ,  x 1  2t  ( )  y 2  t x  1 y 2 z 3    z  2  t  ( ')  2 1 3 . c) Lập PT đường thẳng (d) đi qua M(-1;2;1), cắt ,. Bài 9.

<span class='text_page_counter'>(13)</span> a) Lập PT đường thẳng (d) đi qua M(-1;2;1), và vuông góc với :  x 1  t  ()  y 2  2t  z  2  t .  x  1  t  ( ')  y 1  t  z  2  2t . ,. .. b) Lập PT đường thẳng (d) đi qua M(-1;2;1), và vuông góc với :  x 1  t  ()  y 2  2t  z  2  t . ,. ( '). x  1 y 2 z 3   2 1 3 .. c) Lập PT đường thẳng (d) đi qua M(-1;2;1), và vuông góc với :  x  y  z  3 0 ()   x  y  2 z  1 0 ,.  x  2 y  z  3 0 ( ')  2 x  y  3z  1 0 .. Bài 10  x 1  t  x 2  t   (d1 )  y 2  t và (d 2 )  y 1  t  z  1  2t  z 1  2t  . a) Cho 2 đường thẳng , viết PT đường thẳng song song, cách đều và nằm trong mp chứa 2 đường thẳng d1;d2.  x 1  2t  x 2  2t   (d1 )  y 2  3t và (d 2 )  y 1  3t  z  1  t  z 1  t  . b) Cho 2 đường thẳng , viết PT đường thẳng song song, cách đều và nằm trong mp chứa 2 đường thẳng d1;d2.  x 1  3t  x 2  3t   (d1 )  y 2  2t và (d 2 )  y 1  2t  z  1  2t  z 1  2t  . c) Cho 2 đường thẳng , viết PT đường thẳng song song, cách đều và nằm trong mp chứa 2 đường thẳng d1;d2. Bài 11  x 1  t  ()  y 2  2t  z  2  t . a) Cho và mp (P): x – 2y +z+1 =0. Hãy viết PT đường thẳng (d) đi qua giao (  ) v à mp ( P) ,vuông góc với (  ) và nằm trong mp (P). điểm của.

<span class='text_page_counter'>(14)</span>  x 1  2t  ( )  y 2  t  z  2  t . b) Cho và mp (P): x – 2y +2z+3 =0. Hãy viết PT đường thẳng (d) đi qua giao điểm của () và mp ( P ) ,vuông góc với (  ) và nằm trong mp (P).  x 1  t  ()  y 2  2t  z  2  t . c) Cho và mp (P): x – y +z+1 =0. Hãy viết PT đường thẳng (d) đi qua giao (  ) v à mp ( P) ,vuông góc với (  ) và nằm trong mp (P). điểm của Bài 12. a) Cho.  x 1  t  ()  y 2  2t  z  2  t . và mp (P): x – 2y +z+1 =0. Viết PT (  ' ) đối xứng với (  ) qua (P).. b) Cho.  x 1  t  ()  y 2  2t  z  2  t . và mp (P): x – y +z+1 =0. Viết PT (  ' ) đối xứng với (  ) qua (P).. c) Cho.  x 1  t  ()  y 2  2t  z  2  t . và mp (P): x – 2y +2z+1 =0. Viết PT (  ' ) đối xứng với (  ) qua (P).. Bài 13 ( 2 đường thẳng phải cắt nhau). a) Cho.  x 1  t  ()  y 2  2t  z  2  t . b) Cho.  x 1  t  ( )  y 1  t  z  2  t . c) Cho.  x 1  t  ()  y 2  2t  z  1  2t . Bài 14. và (d).  x 1  t   y 2  2t  z  2  t . Viết PT (  ' ) đối xứng với (  ) qua (d).. và (d).  x 1  t   y 1  t  z  2  t . Viết PT (  ' ) đối xứng với (  ) qua (d).. và (d).  x 1  t   y 2  2t  z  1  t . Viết PT (  ' ) đối xứng với (  ) qua (d)..

<span class='text_page_counter'>(15)</span> a) Viết PT đường vuông góc chung của.  x 1  t  ()  y 2  2t  z  2  t . ;.  x  1  t  ( ')  y 1  t  z  2  2t . ..  x 1  t  ()  y 2  2t x  1 y 2 z 3    z  2  t ( ')  2 1 3 . b) Viết PT đường vuông góc chung của ,  x  y  z  3 0  x  2 y  z  3 0 ()  ( ')   x  y  2 z  1 0 , 2 x  y  3z  1 0 . c) Viết PT đường vuông góc chung của. . Một số bài tập nâng cao.. 1) (B – 2007) Trong kg Oxyz cho A(1 ; 4 ; 2) ; B(-1 ; 2 ; 4). Gọi G là trọng tâm tam giác OAB. Viết PT đường thẳng d vuông góc với mp(OAB) tại G. x y 2 z 3   1 1 KQ : 2 2) (D – 2006) Trong kg Oxyz cho A(1 ;2 ;3) và hai đường thẳng d1 :. x 2 y2 z 3 x  1 y  1 z 1   d2 :   2 1 1 ; 1 2 1 .. Viết phương trình đường thẳng đi qua A, vuông góc với d1, cắt d2. x 1 y 2 z 3   1  3 5 KQ :  x  3  2t  d :  y 1  t  3) (B – 2004)Trong kg Oxyz cho A(-4 ; -4 ; 4) và đường thẳng  z  1  4t . Viết phương trình đường thẳng đi qua A, cắt và vuông góc với d. x4 y2 z 4   2 1 KQ : 3 :. x2 y 2 z   1 1  1 và. 4) (D – 2009) Trong kg Oxyz cho đường thẳng mp ( P) : x  2 y  3 z  4 0 . Viết phương trình đường thẳng nằm trong mp(P) vuông góc và cắt  .. KQ :. d:. x 3 y  1 z  1   1 2 1 ..

<span class='text_page_counter'>(16)</span>  x  1  2t x y 1 z2  d1 :   ; d 2  y 1  t 2 1 1  z 3 Oxyz  5) (A – 2007) Trong kg cho hai đường thẳng và mp ( P ) : 7 x  y  4 z 0 . Viết phương trình đường thẳng d vuông góc với mp(P) cắt x  2 y z 1   1 4 . cả d1 và d 2 . KQ : 7 d:. x  1 y 3 z  3   1 2 1 và. 6) (A – 2005) Trong kg Oxyz cho đường thẳng mp( P ) : 2 x  y  2 z  9 0 . Gọi A là giao điểm của d và (P). Viết phương trình đường. thẳng nằm trong (P), qua A và vuông góc với d..  x t   y  1  Kq :  z 4  t .. x 3 y 3 z   1 3 2 . Lập phương 7) (CĐGT – 2005) Trong kg Oxyz cho H (1 ; 2 ; -1) và trình đường thẳng đi qua H, cắt d và song song với mp ( P) : x  y  z  3 0 . d:. x  1 y  2 z 1    1 2 1 . Kq : 8) Viết phương trình đường thẳng d nằm trong mp ( P ) : y  2 z 0 và cắt cả hai đường  x 1  t  x 2  t '   d1 :  y t ; d 2 :  y 4  2t ' x 1 y z    z 4t  z 1   2 1. thẳng kq : 4  x 1  t   :  y  1  2t  z 4  t  9) Viết phương trình đường thẳng song song với và cắt cả hai đường  x 1  t  x 2  3t '   d1 :  y t ; d 2 :  y 4  2t '  z 4t  z 1  t '   thẳng 10). Trong không gian Oxyz cho mp(P) : x  2 y  2 z  5 0 , hai điểm A(-3 ; 0 ; 1),. B(1 ;-1 ;3). Trong các đường thẳng đi qua A và song song với mp(P) hãy viết phương trình đường thẳng mà khoảng cách từ B tới đó nhỏ nhất..

<span class='text_page_counter'>(17)</span> BÀI 3 : GÓC , KHOẢNG CÁCH I.. Lý thuyết cần nhớ.. II.. Bài tập.. . Các dạng bài tập :. 1. Vị trí tương đối của 2 đường thẳng. 2. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng. 3. Các bài toán về khoảng cách : Từ điểm tới mp, đường thẳng, 2mp song song, 2 đường thẳng chéo nhau. 4. Các bài toán về góc..

<span class='text_page_counter'>(18)</span> Bài 4 : Bài toán xác định điểm trong không gian. I.. Lý thuyết cần nhớ.. II.. Bài tập.. . Các dạng bài toán tìm điểm cơ bản :. Dạng 1: Tìm điểm thuộc đường thẳng. 1) Tìm tọa độ hình chiếu. Tìm tọa độ điểm đối xứng. (Bài toán cực trị ). 2) Tìm điểm thỏa mãn đẳng thức độ dài, khoảng cách. 3) Tìm M   : MA  MB Min ; MA  MB Max ? Dạng 2: Tìm điểm thuộc mặt phẳng. 1) Tìm tọa độ hình chiếu. Tìm tọa độ điểm đối xứng. (Bài toán cực trị ). 2) Tìm điểm thỏa mãn đẳng thức độ dài, khoảng cách. 3) Tìm M  mp ( P ) : MA  MB Min ; MA  MB Max ? Dạng 3 : Tìm điểm thuộc mặt cầu. Bài 1 Trong không gian Oxyz cho đường thẳng. :. x  1 y 1 z  2   ; M (2;  1;  2) 2 1 1 .. a) Tìm tọa độ hình chiếu của M trên  , điểm đối xứng với M qua  . b) Tìm H thuộc  để MH nhỏ nhất. c) Tìm thuộc  để MH 5 Bài 2 Trong không gian Oxyz cho đường thẳng x  1 y 1 z  2 :   ; A(2;  1;  2); B( 1;1;0) 2 1 1 . Tìm M thuộc  để MAB vuông, cân, đều. Bài 3 Trong kg Oxyz cho mp( P) : x  y  z  2 0; M ( 2;  1;  2); A(0;  1; 2); B( 1;2;1) a) Tính khoảng cách từ M, A, B tới mp (P). b) Tìm H thuộc mp(P) để MH nhỏ nhất. c) Tìm thuộc mp(P) để MH 5 ..

<span class='text_page_counter'>(19)</span> d) Tìm I thuộc mp ( P ) để IAB vuông, cân, đều. e). . Bài tập nâng cao :. Bài 1 1) (Khối A – 2011) Trong kg Oxyz cho A(2;0;1); B(0;  2;3) và mp ( P ) : 2 x  y  z  4 0 . Tìm điểm M thuộc (P) sao cho MA MB 3 . x  2 y 1 z   1 2  1 và 2) (Khối B – 2011) Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng mặt phẳng ( P ) : x  y  z  3 0 . Gọi I là giao điểm của  và (P). Tìm điểm M thuộc (P) sao cho MI vuông góc với  và MI 4 14 . :. :. x 2 y  1 z 5   1 3 2. 3) (Khối B – NC 2011) Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng và hai điểm A( 2;1;1), B ( 3;  1; 2) . Tìm tọa độ điểm M thuộc  sao cho MAB có S 3 5 .. 4) (CĐ - 2011) Trong kg Oxyz, cho A ( 1;2;3), B (1;0;  5) và mp ( P):2 x  y  3 z  4 0 . Tìm tọa độ điểm M thuộc (P) sao cho 3 điểm A, B, M thẳng hàng. 5) (Khối B – NC 2010) Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng điểm M trên Ox sao cho khoảng cách từ M tới  bằng OM.. :. x y 1 z   2 1 2 . Tìm. 6) (A – 2009) Trong không gian Oxyz , cho mp ( P ) : x  2 y  2 z  1 0 và hai đường thẳng x 1 y z  9 x  1 y  3 z 1 d1 :   ; d2 :   1 1 6 2 1  2 . Tìm M trên d1 sao cho : 18 53 3 M (0;1;  3); M ( ; ; ) d ( M ; d 2 ) d ( M ;( P)) . Kq : 35 35 35 7) (CĐ – 2008) Trong không gian Oxyz , cho 3 điểm A(0;1;2); B (2;  2;1); C (  2;0;1) và mp ( P) : 2 x  2 y  z  3 0 . a) Viết phương trình mp(ABC). b) Tìm M thuộc mp (P) sao cho MA MB MC . Kq : M (2;3;  7).

<span class='text_page_counter'>(20)</span> A(1;4;2); B(  1;2;4) và  :. 8) (D – 2007) Trong không gian Oxyz , cho 2 2 Tìm M thuộc  dể MA  MB nhỏ nhất. kq : M ( 1;0;4) .. x 1 y2 z   1 1 2.. 9) (B – 2006) Trong không gian Oxyz , cho A(0;1;2) và hai đường thẳng  x 1  t x y  1 z 1  d1 :   ; d 2 :  y  1  2t 2 1 1  z 2  t  . Tìm M  d1 ; N  d 2 sao cho A; M; N thẳng hàng. Bài 2 1) (D – 2006) Trong không gian Oxyz , cho A(1;2;3) và độ A’ đối xứng với A qua d. kq : A '( 1;  4;1) .. d:. x 2 y2 z 3   2 1 1 . Tìm tọa.  x 1  t  d :  y 2  t ; và M (2;1;4)  2) (A – 2002) Trong không gian Oxyz , cho  z 1  2t . Tìm H thuộc d sao cho MH ngắn nhất. kq : H (2;3;3) . 3) (A – 2005) Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng mp( P ) : 2 x  y  2 z  9 0 .. d:. x  1 y 3 z  3   1 2 1 và. a) Tìm tọa độ I thuộc d sao cho khoảng cách từ I tới mp(P) bằng 2. b) Tìm tọa độ A là giao điểm của d và mp(P)? Kq : a) I (3;  7;1); I (  3;5;7);. b) A(0;  1;4) .. Bài 3 (Thi thử ĐT 2012) 1) Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(-1; -1 ;2), B(-2; -2; 1) và mặt phẳng (P) có phương trình x  3 y  z  2 0 . Viết phương trình mặt phẳng (Q) là mặt phẳng trung trực của đoạn AB. Gọi  là giao tuyến của (P) và (Q). Tìm điểm M thuộc  sao cho đoạn thẳng OM nhỏ nhất. 2) Trong không gian Oxyz, cho A(1;1;0), B(0;1;1) vaø C(2;2;1) và mặt phẳng (P): x + 3y – z + 2 = 0. Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng (P) sao cho MA2  MB 2  MC 2 đạt giá trị nhỏ nhất. Bài 4.

<span class='text_page_counter'>(21)</span>

<span class='text_page_counter'>(22)</span> Bài 5 : MẶT CẦU I.. Lý thuyết cần nhớ.. 1. PT mặt cầu : có 2 dạng 2 2 2 2  Dạng 1 : ( x  a )  ( y  b)  ( z  c ) R có tâm I(a; b; c), bán kính R. 2 2 2 2 2 2  Dạng 2 : x  y  z  2ax  2by  2cz  d 0 ĐK : a  b  c  d  0 2 2 2 Tâm I(a; b; c) bán kính R  a  b  c  d .. 2. Chú ý. II.. Bài tập.. . Các dạng bài tập cơ bản :. 1. Viết PT mặt cầu biết tâm, bán kính. 2. Viết PT mặt cầu đường kính AB. 3. Viết PT mặt cầu đi qua 4 điểm không đồng phẳng. 4. Viết PT mặt cầu biết tâm, tiếp xúc với mặt phẳng, đường thẳng. 5. Viết PT mặt cầu có tâm thuộc mp(P), đi qua 3 điểm không thẳng hàng. 6. Viết PT mặt cầu đi qua 3 điểm, tiếp xúc với mp(P), đường thẳng (d)..  Bài 1. Các bài tập nâng cao..

<span class='text_page_counter'>(23)</span> Bài 6 : BÀI TOÁN LIÊN QUAN GIỮA ĐIỂM, ĐƯỜNG THẲNG, MẶT PHẲNG, MẶT CẦU.

<span class='text_page_counter'>(24)</span> MỘT SỐ BÀI TẬP TRONG ĐỀ THI ĐẠI HỌC 2002 – 2011 . Bài 1 (Năm 2011) 1) (Khối A – CB) Trong kg Oxyz cho A(2;0;1); B(0;  2;3) và mp ( P ) : 2 x  y  z  4 0 . Tìm điểm M thuộc (P) sao cho MA MB 3 . 2) (Khối A – NC) Trong không gian Oxyz cho mặt cầu ( S ): x 2  y 2  z 2  4 x  4 y  4 z 0 và điểm A(4;4;0) . Viết PT mp(OAB) biết điểm B thuộc (S) và OAB đều. x  2 y 1 z   1 2  1 và mặt 3) (Khối B – CB) Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng phẳng ( P ) : x  y  z  3 0 . Gọi I là giao điểm của  và (P). Tìm điểm M thuộc (P) sao cho MI vuông góc với  và MI 4 14 . :. :. x 2 y  1 z 5   1 3  2 và hai. 4) (Khối B – NC) Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng điểm A( 2;1;1), B ( 3;  1; 2) . Tìm tọa độ điểm M thuộc  sao cho MAB có S 3 5 .. x 1 y z  3   2 1  2 .Viết 5) (Khối D – CB) Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1;2;3) và phương trình đường thẳng  đi qua điểm A, vuông góc với đường thẳng d và cắt trục Ox d:. x 1 y 3 z   và mp( P ):2 x  y  2 z 0 2 4 1 6) (Khối D – NC) Trong kg Oxyz, cho . Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc  , bán kính bằng 1, tiếp xúc với mp(P). :. 7) (CĐ) Trong kg Oxyz, cho hai điểm A( 1;2;3), B(1;0;  5) và mp( P):2 x  y  3 z  4 0 . Tìm tọa độ điểm M thuộc (P) sao cho 3 điểm A, B, M thẳng hàng. d:. x  1 y 1 z  1   4 3 1 . Viết phương. 8) (CĐ) Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng trình mặt cầu tâm I (1;2;  3) và cắt đường thẳng d tại hai điểm A; B sao cho AB  26 . Bài 2 (Năm 2010) x 1 y z 2   Oxyz 2 1  1 và 1) (Khối A – CB) Trong không gian , cho đường thẳng mp ( P ) : x  2 y  z 0 . Gọi C là giao điểm của  và mp ( P ) , là điểm thuộc  . Tính khoảng cách từ M tới mp(P) biết MC  6 . :.

<span class='text_page_counter'>(25)</span> 2) (Khối A – NC) Trong không gian Oxyz , cho A(0; 0; -2) và đường thẳng x 2 y  2 z 3 :   2 3 2 . Tính khoảng cách từ A tới  . Viết PT mặt cầu tâm A cắt  tại 2 điểm B, C sao cho BC 8 . 3) (Khối B – CB) Trong không gian Oxyz , cho A(1;0;0); B(0; b;0); C (0; 0; c) và mp ( P) : y  z  1 0 . Tìm b,c biết mp(ABC) vuông góc với mp(P) và khoảng cách từ O tới mp(ABC) bằng. 1. 3.. x y 1 z :   Oxyz 2 1 2 . Tìm 4) (Khối B – NC) Trong không gian , cho đường thẳng điểm M trên Ox sao cho khoảng cách từ M tới  bằng OM. 5) (Khối D – CB) Trong kg Oxyz ,cho mp( P ) : x  y  z  3 0; mp(Q) : x  y  z  1 0 . Viết PT mp(R) sao cho (R) vuông góc với (P) và (Q), khoảng cách từ O tới mp(R) bằng 2. 6) (Khối D – NC) Trong không gian Oxyz , cho hai đường thẳng  x 3  t x 2 y 1 z  1 :  y t ; và  2 :   2 1 2  z t  , Tìm M  1 saocho d ( M ;  2 ) 1 . 7) (CĐ – CB) Trong kg Oxyz , cho A(1;  2;3); B( 1;0;1); mp ( P) : x  y  z  4 0 . a) Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của A trên (P). AB b) Viết PT mặt cầu (S) có bán kính bằng 6 , có tâm thuộc đường thẳng AB, tiếp xúc với mp(P). 8) (CĐ – NC) Trong kg Oxyz ,cho đt. d:. x y 1 z   và mp( P): 2 x  y  2 z  2 0 2 1 1 .. a) Viết PT mp chứa d và vuông góc với (P). b) Tìm M thuộc d sao cho M cách đều O và mp(P). Bài 3 (Năm 2009) 1) (Khối A – CB) Trong không gian Oxyz cho mp( P) : 2 x  2 y  z  4 0 và mặt cầu ( S ) : x 2  y 2  z 2  2 x  4 y  6 z  11 0 . CMR : mp(P) cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn, tìm tâm, bán kính..

<span class='text_page_counter'>(26)</span> 2) (Khối A – NC) Trong không gian Oxyz cho mp(P) : x  2 y  2 z  1 0 và hai đường x 1 y z  9 x  1 y  3 z 1 1 :   ; 2 :   1 1 6 2 1  2 . Tìm M thuộc  1 sao cho khoảng thẳng cách từ M tới  2 bằng k/cách từ M tới mp(P). 3) (Khối B – CB) Cho tứ diện ABCD có A(1;2;1); B ( 2;1;3); C (2;  1;1); D(0;3;1) . Hãy viết phương trình mp(P) đi qua A, B sao cho khoảng cách từ C; D tới mp(P) bằng nhau. 4) (Khối B – NC) Cho mp (P) : x  2 y  2 z  5 0 và hai điểm A( 3;0;1); B(1;  1;3) . Trong các đường thẳng đi qua A , song song với mp(P), hãy viết phương trình đường thẳng mà khoảng cách từ B tới nó ngắn nhất. 5) (Khối D – CB) Cho A(2;1;0); B(1;2;2); C (1;1;0) và mp( P) : x  y  z  20 0 . Tìm điểm D thuộc đường thẳng AB sao cho đường thăng CD song song với mp (P). x2 y 2 z   và mp ( P ) : x  2 y  3z  4 0 1 1 1 6) (Khối D – NC) Cho đường thẳng . Hãy viết phương trình đường thẳng d nằm trong mp(P), cắt và vuông góc với  . :. 7) (CĐ – CB) Cho 2 mp ( P) : x  2 y  3z  4 0; (Q) : 3 x  2 y  z  1 0 . Viết phương trình mặt phẳng đi qua A(1;1;1) và vuông góc với 2 mp (P); (Q). 8) (CĐ – NC) Cho ABC có A(1;1;0); B(0;2;1) và trọng tâm G (0;2;  1) . Viết phương trình  đi qua C và vuông góc với mp(ABC)..

<span class='text_page_counter'>(27)</span>