SKKN CM TU GIAC NOI TIEP

<span class='text_page_counter'>(1)</span>S¸ng kiÕn kinh nghiÖm – NguyÔn H÷u Tµi Phòng giáo dục và đào tạo bình xuyên trêng THCS Lý Tù Träng. ====***====. S¸ng kiÕn kinh nghiÖm §Ò Tµi:. Tæng kÕt mét sè ph¬ng ph¸p chøng minh Tứ giác nội tiếp một đờng tròn. NguyÔn H÷u Tµi. Ngêi thùc hiÖn: Gi¸o viªn tæ KHTN Trêng THCS Lý Tù Träng. Th¸ng 03 n¨m 2008. PhÇn I: phÇn më ®Çu 1. Lý do chọn đề tài: a) Cơ sở lý luận: Khi giải toán hình học ở lớp 9 đại đa số có chứng minh tứ giác nội tiếp hoặc sử dụng kết quả của tứ giác nội tiếp để chứng minh các góc bằng nhau, bù nhau, tính số đo góc, chứng minh đẳng thức, chứng minh các điểm cùng thuộc một đờng tròn, …. Để chứng minh tứ giác nội tiếp đòi hỏi phải có kiến thức chắc chắn về quỹ tích cung chứa góc, quan hệ giữa góc và đờng tròn, 1.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> S¸ng kiÕn kinh nghiÖm – NguyÔn H÷u Tµi định lý đảo về tứ giác nội tiếp, …. Đặc biệt phải biết hệ thống các kiến thức đó sau khi häc xong ch¬ng III h×nh häc 9 . §©y lµ viÖc lµm hÕt søc quan träng cña giáo viên đối với học sinh. b) C¬ së thùc tiÔn: Trªn thùc tÕ ngoµi c¸ch chøng minh tø gi¸c néi tiÕp rÊt cơ bản thể hiện ở định lý đảo “ Tứ giác nội tiếp ” Trang 88 SGK toán 9 tập 2 thì SGK đã đặc biệt hoá, chia nhỏ để hình thành bốn dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp. Tuy nhiên cha đặt các dấu hiệu thành một hệ thống phơng pháp chứng minh tứ giác nội tiếp một đờng tròn cho học sinh; nhiều học sinh không hiểu cơ sở của dấu hiệu. Dẫn đến học sinh rất lúng túng khi tìm cách chứng minh tứ giác nội tiếp một đờng tròn. Víi häc sinh líp 9 ®©y lµ d¹ng to¸n míi l¹ nhng l¹i hÕt søc quan träng gióp học sinh nhìn nhận lại đợc các bài toán đã giải ở lớp 8 để có cách giải hay cách lý gi¶i c¨n cø kh¸c . Với những lý do trên đây trong đề tài này tôi đa ra một số cách để chứng minh một tứ giác nội tiếp sau khi học sinh học xong bài “Tứ giác nội tiếp một đờng tròn” Víi tªn gäi: “Tæng kÕt mét sè ph¬ng ph¸p chứng minh tứ giác nội tiếp một đờng tròn“ 2. Phạm vi, đối tợng mục đích của đề tài: a) Phạm vi của đề tài : Lµ ph¬ng ph¸p chøng minh h×nh häc THCS ë ph¹m vi hÑp, cô thÓ lµ chøng minh tứ giác nội tiếp một đờng tròn để từ đó chứng minh các đẳng thức về góc, đẳng thức tích các đoạn thẳng, … Tuy nhiên về ứng dụng của nó thì cũng khá réng r·i . b) Đối tợng của đề tài: Là học sinh đại trà lớp 9 – THCS, giáo viên mới ra nghề dạy ở bậc THCS. c) Mục đích của đề tài: Giúp Giáo viên hệ thống hoá kiến thức tạo nên các phơng pháp để hớng dẫn học sinh chứng minh tứ giác nội tiếp, chứng minh các điểm nằm trên một đờng trßn vµ c¸c bµi to¸n cã sö dông chiÒu ngîc l¹i cña tø gi¸c néi tiÕp. RÌn häc sinh kü n¨ng ph©n tÝch tù t×m lêi gi¶i b»ng c¸c c¸ch kh¸c nhau, kü n¨ng nhËn biÕt nhanh mét tø gi¸c néi tiÕp. * * * * * Vì thời gian có hạn, năng lực của bản thân còn có hạn chế nhất định về khả năng t duy nên quá trình nghiên cứu và viết đề tài này không thể tránh khỏi những thiếu sót. Kính mong hội đồng khoa học các cấp và các thầy cô đồng nghiệp đóng gãp x©y dùng. Xin ch©n thµnh c¶m ¬n !. 2.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> S¸ng kiÕn kinh nghiÖm – NguyÔn H÷u Tµi. Phần 2: nội dung của đề tài A. Néi dung: I. Cơ sở lí luận khoa học của đề tài: Để nghiên cứu và viết về đề tài này tôi đã căn cứ vào những cơ sở lí luận khoa häc sau: 1, VÒ ph¬ng ph¸p chóng ta dïng ph¬ng ph¸p ph©n tÝch – tæng hîp : Gi¶ sö A lµ gi¶ thiÕt cña bµi to¸n, B lµ kÕt luËn cña bµi to¸n: §Ó chøng minh A  B, ta chøng minh r»ng A  A1  A2  ...  B. Các quan hệ kéo theo nói trên đợc trình bày dới dạng: A1  A2 (lí do) hoặc: (lÝ do) A1  A2 Trong qu¸ tr×nh t×m lêi gi¶i bµi to¸n, ta thêng: a - Khai th¸c gi¶ thiÕt cña bµi to¸n : Tõ A  A1, tõ A1  A2 ,....Vµ cuèi cïng suy ra Am b - Ph©n tÝch ®i lªn tõ kÕt luËn cña bµi to¸n: §Ó chøng minh B ta cã thÓ chứng minh B1 , để chứng minh B1 ta có thể chứng minh B2,…, cuối cùng ta có thÓ chøng minh Bn Nếu chứng minh đợc Am  Bn thì bài toán chứng minh A  B đợc chứng minh với sơ đồ sau: A  A1  A2  … Am  Bn  …. B2  B1  B. 2, Mét sè ph¬ng ph¸p chøng minh hai gãc b»ng nhau. * Phơng pháp 1: Là hai góc đồng vị (hay so le trong) do hai đờng thẳng song song… * Phơng pháp 2: áp dụng định lý góc có cạnh tơng ứng song song hay vuông gãc. * Phơng pháp 3: Là hai góc tơng ứng của hai tam giác đồng dạng. 3.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> S¸ng kiÕn kinh nghiÖm – NguyÔn H÷u Tµi * Ph¬ng ph¸p 4: (TÝnh chÊt gãc néi tiÕp, gãc gi÷a mét tia tiÕp tuyÕn vµ mét d©y cung)… Ngoài ra ta còn có thể sử dụng phơng pháp bắc cầu, cùng phụ, cùng bù để chøng minh hai gãc b»ng nhau. 3, C¸c bµi to¸n c¬ b¶n vÒ quü tÝch cung chøa gãc. Bài toán 1: Quỹ tích các điểm M sao cho AMB = 1V , trong đó AB là một đoạn cho trớc là đờng tròn đờng kính AB. Bµi to¸n 2: Quü tÝch c¸c ®iÓm M t¹o víi hai mót cña ®o¹n th¼ng AB cho tríc một AMB có số đo không đổi bằng  (0o <  < 180o) là hai cung tròn đối xứng nhau qua AB gäi lµ cung chøa gãc  dùng trªn ®o¹n AB . 4, Định lý thuận, đảo về “Tứ giác nôị tíêp một đờng tròn” Trang 87, 88 SGK Toán 9 tËp 2. 5, Tính chất của tam giác đồng dạng . 6, Dựa vào định nghĩa đờng tròn. II. Đối tợng phục vụ cho quá trình nghiên cứu, xây dựng đề tài nµy lµ:. 1, VÒ con ngêi : - Là những GV giỏi, giáo viên lâu năm trong nghề có kinh nghiệm để học hỏi trao đổi vấn đề nảy sinh trong quá trình nghiên cứu. - Giáo viên mới ra nghề dạy toán để đề xuất câu hỏi : “Tại sao lại có cách chøng minh tø gi¸c néi tiÕp nh thÕ ? Trong mét bµi to¸n cô thÓ” - Là học sinh từ trung bình trở lên (học sinh đại trà) lớp 9 THCS. 2, VÒ kiÕn thøc: Vì thời gian có hạn và năng lực có hạn chế nên đối tợng kiến thức tôi chọn ở đây chỉ là định lý và các bài toán hình học nói về tứ giác nội tiếp , quỹ tích cung chøa gãc . Nghiªn cøu chñ yÕu c¸ch t×m ph¬ng ph¸p chøng minh c¸c ®iÓm cïng thuộc một đờng tròn để phục vụ cho kết luận của bài toán có sử dụng tính chất cña tø gi¸c néi tiÕp . III. Néi dung ph¬ng ph¸p nghiªn cøu . * VÒ ph¬ng ph¸p nghiªn cøu . - B»ng quan s¸t thùc tÕ gi¶ng d¹y c¸c giê to¸n chøng minh tø gi¸c néi tiÕp, bài toán tổng hợp có sử dụng kết quả của tứ giác nội tiếp để chứng minh và tính to¸n cña GV THCS. - Bằng kinh nghiệm đứng lớp và bồi dỡng ôn thi học sinh đại trà lớp 9 , những năm trớc đây thấy học sinh rất ít em phát hiện đợc tứ giác nội tiếp một cách nhanh nhất, nhất là những bài toán không dễ chứng minh ngay đợc tổng hai góc đối diện của tứ giác bằng 180 o. Hay HS cứ phải đa về tổng hai góc đối diện bằng 1800 nên dài, nhiều khi dẫn đến sai. - Bằng đọc tài liệu để nắm các cơ sở lý luận khoa học về phơng pháp chứng minh vµ tÝnh chÊt cña tø gi¸c néi tiÕp . §Æc biÖt lµ t×m c¸ch nhËn biÕt nhanh tø giác nội tiếp trớc khi phải chứng minh tổng hai góc đối diện bằng 180 o trong các. 4.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> S¸ng kiÕn kinh nghiÖm – NguyÔn H÷u Tµi bµi to¸n cã chøng minh tø gi¸c néi tiÕp hoÆc cã sö dông kÕt qu¶ cña tø gi¸c néi tiÕp . - Bằng việc tham khảo và học hỏi ý kiến của đồng nghiệp nhất là những thầy c« d¹y to¸n giái trong HuyÖn. - Bằng thử nghiệm đề tài của mình trong bài dạy giải toán ở trên lớp, các buæi «n to¸n thi vµo líp 10 THPT, båi dìng häc sinh giái . - Và cuối cùng là bằng việc đi từ vấn đề đơn giản, riêng lẻ của bài dạy đến các định lý và bài toán khó hơn, phức tạp hơn tổng hợp lại một hệ thống các phơng pháp chứng minh tứ giác nội tiếp . Từ các phơng pháp trên đây đối chiếu với lý luận và thực tế tôi rút ra đợc kinh nghiÖm nhá trong qu¸ tr×nh híng dÉn häc sinh gi¶i to¸n bëi néi dung cô thÓ nh sau: * Néi dung nghiªn cøu: - Khi dạy xong bài “Tứ giác nội tiếp một đờng tròn” Trang 87,88 SGK Toán 9 tập 2. Học sinh tự rút ra đợc một cách chứng minh tứ giác nội tiếp là: NÕu tø gi¸c ABCD cã : D A+C=2V hoÆc B+D=2V x Suy ra ABCD là tứ giác nội tiếp một đờng tròn A C Khai th¸c: 1, Sö dông tÝnh chÊt cña hai gã kÒ bï B gọi tia đối của tia AB là tia Ax chẳng hạn gi¶ sö xAD = BCD thÕ th× v× xAD + DAB = 2V (kÒ bï) BCD + BAD = 2V => tø gi¸c ABCD néi tiÕp A §Æc biÖt ho¸ bµi to¸n tø gi¸c ABCD cã BAD = BCD = 90o ThÕ th× BAD + BCD = 90o+90o=180o D =>Tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn đờng kính BD. B Đây là cách đơn giản nhất. Kh«ng ph¶i lóc nµo còng cã nh vËy ch¼ng h¹n nh: C A 2, XÐt tø gi¸c ABCD cã DAC = DBC B Víi A, B n»m ë cïng mét nöa mÆt ph¼ng bê chøa DC ta sÏ chøng minh tø gi¸c ABCD néi tiÕp . Thật vậy, giả sử DAC = DBC =  (0o <  < 180o ) vì do DC cố địnhCnên A, B D n»m trªn cung chøa gãc  dùng trªn ®o¹n DC (theo bµi to¸n quü tÝch cung chøa góc ) Suy ra bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc một đờng tròn hay tứ giác ABCD nội tiÕp . Vậy là ta có cách thứ t để chứng minh tứ giác tứ giác nội tiếp. Đặc biệt hoá góc  để có cách nhận biết nhanh A tø gi¸c néi tiÕp . B o o Khi cho  = 90 ta cã DAC = DBC = 90 d C Vµ A, B cïng mét nöa mÆt ph¼ng bê DC thÕ th× tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn đờng kính DC. 5.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> S¸ng kiÕn kinh nghiÖm – NguyÔn H÷u Tµi 3, Lại xét tứ giác ABCD nội tiếp một đờng tròn : Gi¶ sö AB c¾t DC t¹i M B ta suy ra đợc ABD = ACD A vậy là tam giác MAC và MDB đồng dạng M §¶o l¹i: NÕu tam gi¸c MAC vµ D tam giác MDB đồng dạng với A thuộc C ®o¹n BM vµ D thuéc ®o¹n MC th× tø gÝac ABCD néi tiÕp. Thật vậy, vì tam giác MAC đồng dạng với tam gi¸c MDB suy ra ABD = DCA => tø gi¸c ABCD néi tiÕp ( B, C ë cïng mét nöa mÆt ph¼ng bê AD vµ nh×n AD díi hai gãc b»ng nhau )  Từ đó nếu có tam giác MAC đồng dạng với tam giác MDB, A BM, D MC => Tø gi¸c ABCD còng néi tiÕp.  Theo tính chất của tam giác đồng dạng ta lại có từ tam giác MAD đồng d¹ng víi tam gi¸c MCB suy ra: MA MD = MC MB.  MA . MB = MC . MD. VËy lµ ta l¹i cã c¸ch chøng minh tø gi¸c néi tiÕp b»ng tû lÖ thøc: MA . MB = MC . MD, A BM, D MC => Tø gi¸c ABCD néi tiÕp . 4, Nh vậy với cách nghiên cứu nh trên cùng với định nghĩa đờng tròn ta có mét sè c¸ch chøng minh (dÊu hiÖu nhËn biÕt) nhanh tø gi¸c néi tiÕp nh sau: Tứ giác ABCD nội tiếp một đờng tròn nếu nó thoả mãn một trong những hệ thøc sau: b¶ng hÖ thèng ph¬ng ph¸p chøng minh tứ giác nội tiếp một đờng tròn Thø tù c¸ch chøng minh. C¸ch 1. HÖ thøc. OA = OB = OC = OD. H×nh vÏ minh ho¹. C. A B D. 6.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> S¸ng kiÕn kinh nghiÖm – NguyÔn H÷u Tµi. C¸ch 2. 2.a). B. ∠ B +∠ D=180 0 ¿ ∠ A 2 +∠ C 1=1800 ¿ ¿ ¿ ¿. A x. 2 1 1. D. C. 2.b) A1 = C1. A 1. C¸ch 3. D. A1 + C1 = 900 + 900. B 1. C. C¸ch 4. A. ∠ A1 =∠B1 ¿ ∠ A 2 =∠ D2 ¿ ∠ B2 =∠C 2 ¿ ∠ D1 =∠C 1 ¿ ¿ ¿ ¿. 1 2. 21. 1 2. 1 2. A. B 1. D. A1 = B1 = 900. C. C. B. C. M. B. C¸ch 6. MA . MB = MC . MD. C. D. 1. C¸ch 5. B. A. O D. A. (H×nh bªn ph¶iD tø gi¸c ACBD néi tiÕp). M. Kết hợp với tính chất của tứ giác nội tiếp ta có : điều kiện cần và đủ để tứ giác ABCD nội tiếp trong đờng tròn tâm O là thoả mãn một trong các hệ thức trªn. Với cách hệ thống hoá nh trên học sinh đợc ghi nhớ một cách lôgic và từ đó nhận biết nhanh đợc tứ giác nội tiếp một đờng tròn và cũng từ đó sử dụng nhanh c¸c tÝnh chÊt cña tø gi¸c néi tiÕp trong gi¶i to¸n h×nh häc . Ngoµi ra, víi gi¸o viªn ta cÇn nhí thªm mét sè c¸ch chøng minh tõ bµi to¸n về đờng thẳng Simson và định lý P.tôlêmê: 7.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> S¸ng kiÕn kinh nghiÖm – NguyÔn H÷u Tµi Bài toán 1. Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn (O); M là điểm bất kỳ. Gọi E, F, K lÇn lît lµ h×nh chiÕu cña M xuèng AB, BC, CA. Chøng minh r»ng ®iÒu kiÖn cÇn và đủ để M  (O) là E, F, K thẳng hàng (cùng nằm trên đờng thẳng Simson) Nếu M trùng một trong ba đỉnh A, B, C của tam giác ABC thì bài toán hiển nhiên đúng. Ta xÐt trêng hîp M thuéc nöa mÆt ph¼ng bê AC kh«ng chøa B, c¸c trêng hîp cßn l¹i chøng minh t¬ng tù. E A. 2. M 1. 2. K 1. O. C i)B §iÒu kiÖn cÇn: M(O) th× E, K,F th¼ng hµng (1): (1) <=> ^ K 1= ^ K 2 (2). ThËt vËy, c¸c tø gi¸c MEAK, MKFC, AMCB, EMFB néi tiÕp => ^ M 2= ^ K 2 (3), ^ M 1= ^ K 1 (4) ^ M 2= ^ M 1 (5) (cïng céng gãc AMF vµ ABC cho 1800). Tõ (3), (4), (5) => (2), (1) ii) Điều kiện đủ: Có (1) => M(O) (6) <=> tứ giác MABC nội tiếp (7) ThËt vËy: tõ gi¶ thiÕt vµ tõ c¸c tø gi¸c MEAK, MKFC vµ MEBF néi ^ ^ ^ tiÕp => đỉnh) => M 1= ^ K1 , M 2= ^ K2 , K 1= ^ K 2 (đối 0 ^ C= A ^ ^ C=A ^ A^ M C+ A B M F +^ M 1+ A B M F+ ^ M 2 + A ^B C=180. => (7) =>. (6). Bài toán 2. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để tứ giác ABCD nội tiếp một đờng tròn là AB.CD + BC.AD=AC.BD. Bài toán 3. Cho tứ giác ABCD có các cạnh đối diện AD cắt BC tại E và AB cắt CD tại F. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để tứ giác ABCD nội tiếp là EA.ED+FA.FB=EF2 .. * Mét sè vÝ dô minh ho¹: Trong phần ví dụ này, mỗi ví dụ đợc trình bày theo hớng phân tích để tìm ra ph¬ng ph¸p chøng minh tø gi¸c néi tiÕp . PhÇn tr×nh bµy lêi gi¶i trªn c¬ së ph©n tÝch nªn cho phÐp t«i kh«ng tr×nh bµy ë ®©y . Ví dụ 1: Cho hai đờng tròn (O) và (O’) gặp nhau ở A và B, tiếp tuyến tại A của đờng tròn (O) gặp (O’) ở M; Tiếp tuyến tại A của đờng tròn (O’) gặp (O) tại N. Lấy điểm E đối xứng với A qua B . Chứng minh tứ giác AMEN nội tiếp một đờng tròn. 8.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> S¸ng kiÕn kinh nghiÖm – NguyÔn H÷u Tµi Ph©n tÝch: C/m tứ giác ANEM nội tiếp một đờng trßn (1). mà ta thấy E đối xứng với A qua B. Vậy là tâm của đờng tròn ngoại tiếp tứ giác ANEM nằm trên đờng trung trùc cña ®o¹n AE, vµ nh thÕ tâm của đờng tròn này cũng nằm trªn trung trùc cña c¸c ®o¹n th¼ng nµo? (§o¹n AN vµ AM ) Vậy để chứng minh (1) ta có thể dùng cách 1 để sử dụng tính chất của đờng trung trùc cña mét ®o¹n th¼ng suy ra . Gäi I lµ giao hai trung trùc cña AN vµ AM th×: (1)  IA = IN = IE = IM (2). ThËt vËy: OI // AO’ (cïng  AN ) vµ AO // O’I (cïng  AM ) => AOIO’ lµ h×nh b×nh hµnh => OIO’ = OAO’ = OBO’ => OIBO’ lµ tø gi¸c néi tiÕp (theo c¸ch 4) nhng OI = AO’ = O’B => OIBO’ lµ h×nh thang c©n => IB // OO’ (3) => IB  AB => IB là đờng trung trực của AE => IA = IN = IE = IM => (2) => (1) ®pcm. Chó ý: còng cã thÓ chøng minh (3) b»ng c¸ch chøng minh OO’ lµ ® êng trung b×nh cña tam gi¸c AIB .. 9.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> S¸ng kiÕn kinh nghiÖm – NguyÔn H÷u Tµi. M^ A N +M ^ E N =1800. C¸ch 2: (1). <=. <=. ¿ N^ A E= A ^ M B(4) ^ ^ B (5) N E B=E M ¿{ ¿. (4) <= cïng b»ng 1/2 sè ®o cung AB của đờng tròng (O). (5) <= Tam gi¸c EBN vµ tam gi¸c MBE đồng dạng. <=. ¿ BE BN AB BN = ⇐ = (6) BM BE BM AB ^ E=E B ^ M (7) NB ¿{ ¿. (6) <= Tam giác ABN và tam giác MBA đồng dạng (góc-góc) (7) <= A B^ N =M ^B A <= Tam giác ABN và tam giác MBA đồng dạng (góc-góc). C¸ch 3: A. O. O’. K H. I. B. M. N. Gọi I là tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác AMN. Giả sử đờng tròn ngoại tiếp tam giác AMN E  Ec¾t AB kÐo dµi t¹i E’, ta chøng minh E  E’ bằng cách chứng minh AB= BE’ (vì E đối xứng với A qua B) Gäi K vµ H lÇn lît lµ giao ®iÓm cña OO’ víi AI vµ AB Ta có KA=KI (do AOIO’ là hình bình hành) và AH=HB (do OO’ là đờng nối hai tâm). Do đó HK//BI  BI//OO’ mà ABOO’ suy ra IBAB , bëi vËy AB=BE’ (do tam gi¸c AIE’ c©n t¹i I), nghÜa lµ E’E ’. 1.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> S¸ng kiÕn kinh nghiÖm – NguyÔn H÷u Tµi VÝ dô 2: Trªn ( O; R ) lÊy 2 ®iÓm A, B sao cho AB < 2R . Gäi giao ®iÓm cña c¸c tiÕp tuyÕn cña (O) t¹i A, B lµ P . Qua A, B kÎ d©y AC, BD song song víi nhau, gäi giao ®iÓm cña c¸c d©y AD, BC lµ Q. Chøng minh tø gi¸c AQBP néi tiÕp đợc . Ph©n tÝch: §Ó chøng minh tø gi¸c AQBP néi tiÕp (1) Ta cã thÓ chøng minh: APB + AQB = 1800 (2) A ThËt vËy, theo gi¶ thiÕt cã OAP + OPB = 90o + 90o  Tø gi¸c AOBP néi tiÕp P  APB + AOB = 1800 C O Vậy để chứng minh ( 2 ) ta chứng minh : Q AQB = AOB (3), chøng minh (3) cã nhiÒu c¸ch . B Ch¼ng h¹n AC // BD (gt) nªn AB = CD => AQB = AOB ( cïng b»ng sè ®o D cung AB của (O) ) => (3) đợc chứng minh => (2) => (1) đpcm. Ví dụ 3: Cho tam giác ABC vuông ở A. Kẻ đờng cao AH . Gọi I, K tơng ứng là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác ABH và ACH . Đờng thẳng IK cắt AC tại N. Chứng minh tứ giác HCNK nội tiếp đợc . Ph©n tÝch: Tõ gi¶ thiÕt dÔ thÊy HIK = A = 90o (1) gi¶ sö tø gÝac HCNK néi tiÕp th× K1 = NCH (2) thế thì HIK và ABC đồng dạng (3) Chøng minh (3): HAB vµ HCA đồng dạng => HA = AB HC. AC. A. (4). Chứng minh HAS và HCR đồng dạng R Tõ (4) vµ (5) => HI = HK AB. (6) M. AC. I. HA HI = HC K HK. (5) N. 1. B gi¸cSHCNK Tõ (1) vµ (6) => (3) => (2) => Tø H néi tiÕp. C. C¸ch 2: Chøng minh C ^ H K= A ^ N K=450 Trªn c¹nh AB kÊy ®iÓm M/ , trªn c¹nh AC lÊy N/ sao cho AM/=AN/=AH Gäi I/, K/ lµ giao ®iÓm cña M/N/ víi ph©n gi¸c c¸c gãc BAH, CAH Δ AI❑ M ❑= Δ AI❑ H (c.g.c) A / ❑ ❑ ❑ 0 => A ^ H I =A ^ M I =45 => I I Chøng minh t¬ng tù K K/ 0 Suy ra M M/ , N N/ => A ^ H K =A ^ N K =45 => tø gi¸c HCNK néi tiÕp. R M/ B. I/ S. K/. N/. 1. H. C. 1.

<span class='text_page_counter'>(12)</span> S¸ng kiÕn kinh nghiÖm – NguyÔn H÷u Tµi Ví dụ 4: Cho góc xOy . Một điểm A ở trong góc đó, gọi B, C là hình chiếu vu«ng gãc cña A trªn Ox, Oy; gäi C’ , B’ lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña C, B xuèng Ox, Oy; gäi B’’ , C’’ lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña B’, C’ xuèng Ox, Oy. Gäi E lµ giao ®iÓm cña BB’, CC’. Gäi Q, P lÇn lît lµ giao cña OE víi B’C’ vµ B’’C’’. Chøng minh tø gi¸c MNPQ néi tiÕp. Ph©n tÝch: C/m tø gi¸c MNPQ néi tiÕp (1). Ta cã thÓ sö dông c¸ch 3 : C/m : P + M = 90o + 90o (2) ThËt vËy, v× tø gi¸c OBAC néi tiÕp ( nhËn biÕt nhanh c¸ch 3 )  OCB = OAB (3) (đảo cách 4) V× BCB’C’ néi tiÕp ( nhËn biÕt nhanh c¸ch 5 ) OC’B’ = OCB (4) B C/ Tõ (3)vµ (4) => Tø gi¸c MC’BA néi tiÕp B// ( nhËn biÕt nhanh c¸ch 2.b ) Q E nhng do OBA = 90o P O QMN = 90o (5) M  ( T/chÊt tø gi¸c néi tiÕp vµ t/chÊt hai gãc kÒ bï ) N A T¬ng tù QPN = 90o (6) C// Tõ (5) vµ (6) => (2) => (1) ®pcm B/ C. VÝ dô 5: Cho tam gÝac ABC c©n ( AB = AC ) . Trªn AB vµ AC lÊy M vµ N sao cho AM + AN = AB . Dùng h×nh thang c©n ANMI ( AI // MN ). Chøng minh tø gi¸c AIBC néi tiÕp. A. Ph©n tÝch: §Ó chøng minh tø gi¸c AIBC néi tiÕp (1) Tõ gi¶ thiÕt => IM = MB = AN (2) vµ IN = AM = NC (3) I Tõ (2) vµ (3) => IMA = 2B1 (4) vµ ANI = 2C1 (5) (gãc ngoµi cña tam gi¸c ) MÆt kh¸c IMA = ANI (6) v× ANMI lµ h×nh thang c©n ) VËy tõ (4), (5) vµ (6) ta cã thÓ suy ra ®iÒu g× ? (suy ra B1 = C1(7)). Vµ tõ (7) => (1) ®pcm (c¸ch 4) Vậy để giải toán ở ví dụ 5 ta đã dùng cách 4. N. M 1. 1 C. B. Ví dụ 6: Cho tam giác ABC, gọi I tâm đờng tròn nội tiếp tam giác, G, K là các tiết điểm của đờng tròn (I) trên AB, AC. Gọi M, N là giao điểm của IB, IC với GK. Chøng minh BNMC lµ tø gi¸c néi tiÕp. A. 1.

<span class='text_page_counter'>(13)</span> I 1 S¸ng kiÕn kinh nghiÖm – NguyÔn H÷u 1 C Tµi. B. Ph©n tÝch: C/m BNMC néi tiÕp (1). Sö dông c¸ch 5: (1)  BNC = BMC = 90o (2) Ta thÊy BGI = 90o nªn ph¶i chøng minh : Tø gi¸c BNGI vµ tø gi¸c IKMC néi tiÕp (3)  MIC = MKC (4) víi chó ý I lµ giao 3 ph©n gi¸c trong tam gi¸c ABC 0 Ta cã MIC = B1 + C1 = ∠ B +∠C =180 −∠ A. 2. (5). 2. 0 MÆt kh¸c: MKC = AKG = AGK = 180 −∠ A. 2. (6). Tõ (5) vµ (6) suy ra (4) => (3) => BMC = BNC = BGI = IKC = 90o => (2) =>(1) ®pcm. Ví dụ 7: Cho tam giác ABC kẻ đờng cao AH . Gọi I, K Là hình chiếu vuông góc của H trên AB, AC. Chứng minh tứ giác BIKC nội tiếp đợc . Ph©n tÝch: C/m Tø gi¸c BIKC néi tiÕp (1) ta cã thÓ dïng mét trong hai c¸ch sau ®©y : C¸ch 1: Theo gi¶ thiÕt dÔ thÊy tø gi¸c AIHK néi tiÕp Nªn I1 = H1 nhng H1 = C1 (cïng phô víi H2) do đó I1 = C1 ta có cách chứng minh thứ nhất C/m (1) theo c¸ch 2.b. A. K I 1 1. B. 1. H. Cách 2: Chứng minh (1) ta có thể sử dụng cách 6 đợc không? C (1)  AI . AB = AK . AC (2) §Ó chøng minh (2) ta cã thÓ sö dông hÖ thøc lîng gi¸c trong tam gÝac vu«ng AHC vµ AHB : AI . AB = AH2 vµ AK . AC = AH2 suy ra (2) đợc c/m => (1) đợc c/m Trong mçi bµi to¸n nªu trªn cßn cã nh÷ng c¸ch gi¶i kh¸c n÷a nhng cã thÓ nói vẫn là một trong 6 cách tôi đã nêu. Nhng ở đây với mỗi bài tôi chỉ trình bày từ một đến hai cách vì mục đích làm sáng tỏ việc phân tích theo định hớng thích hợp để chứng minh tứ giác nội tiếp .. 1.

<span class='text_page_counter'>(14)</span> S¸ng kiÕn kinh nghiÖm – NguyÔn H÷u Tµi. IV. KÕt qu¶ cña qu¸ tr×nh nghiªn cøu: Trong quá trình nghiên cứu, tổng hợp và viết hoàn thiện đề tài này tôi thu đợc kết quả khá khả quan . Tự mình nhận biết nhanh đợc một tứ giác nội tiếp, để từ đó định hớng phơng ph¸p híng dÉn häc sinh t×m lêi gi¶i. Gióp cho viÖc gi¶i c¸c bµi to¸n h×nh häc cã sö dông tÝnh chÊt tø gi¸c néi tiÕp nhanh nh¹y. Bæ xung thªm cho m×nh ph¬ng ph¸p chøng minh tø gi¸c néi tiÕp, c¸c ®iÓm cùng thuộc một đờng tròn, để không bị bế tắc với các bài khó, bản thân tự tin hơn, t duy thªm nhanh vµ s¸ng t¹o h¬n . §Æc biÖt lµ gióp cho gi¸o viªn thªm ph¬ng ph¸p híng dÉn häc sinh chøng minh hình học, giải toán và hớng dẫn học sinh đọc tài liệu tham khảo với các bài toán liên quan đến tứ giác nội tiếp. V. Gi¶i ph¸p míi vµ s¸ng t¹o: Trong đề tài này giải pháp mới và sáng tạo là phân tích để tìm ra cách chứng minh tứ giác nội tiếp theo trực giác hình vẽ của bài toán (định lý) hoặc định hớng ph¬ng ph¸p theo gi¶ sö c¸c bíc sau : Híng thø nhÊt: ( ph©n tÝch ®i lªn ) Bớc 1: Giả sử để chứng minh tứ giác nội tiếp một đờng tròn ta chọn phơng pháp A nào đó ( phơng pháp A là cách 1, cách 2 …, cách 6 ) thế thì ta phải chứng minh ®iÒu g× ? ( ®iÒu g× ë ®©y lµ mét trong c¸c hÖ thøc ë 6 c¸ch ). Bớc 2: Sau đó dựa vào giả thiết, kiến thức đã học để chứng minh. Bíc 3: Tr×nh bµy l¹i lêi gi¶i bµi to¸n theo híng ph©n tÝch trªn. Híng thø hai: (Tæng hîp ) Bíc 1: Ph©n tÝch gi¶ thiÕt, nhËn biÕt nhanh c¸c tø gi¸c néi tiÕp ( b»ng mét trong 6 c¸ch ). Bớc 2: Dùng tính chất của tứ giác nội tiếp, các kiến thức toán học để có một trong s¸u hÖ thøc cña 6 c¸ch chøng minh tø gi¸c néi tiÕp. Bớc 3: Tổng hợp, phân tích, kiểm tra lại để tránh sai lầm và cuối cùng trình bµy lêi gi¶i. Cái sáng tạo ở đây là sự hệ thống, liên kết chặt chẽ giữa các phơng pháp để có thể nhận biết một cách nhanh nhất tứ giác nội tiếp một đờng tròn. Tự tin hơn trong häc to¸n . B. øng dông vµo thùc tÕ c«ng t¸c gi¶ng d¹y.. 1.

<span class='text_page_counter'>(15)</span> S¸ng kiÕn kinh nghiÖm – NguyÔn H÷u Tµi - Về tâm lý HS khi học không thụ động là cứ phải tìm tổng hai góc đối diện của một tứ giác bằng 180o mới nội tiếp . Phát huy đợc tính độc lập, nhanh nhẹn sáng tạo tìm lời giải bởi hệ thống phơng pháp chứng minh tứ giác nội tiếp đã đợc h×nh thµnh vµ dÔ ghi nhí, t¹o ®iÒu kiÖn t×m c¸c c¸ch gi¶i kh¸c nhau cho mét bµi to¸n h×nh häc. - Ngoµi kÕt qu¶ lµ häc sinh biÕt c¸ch chøng minh tø gi¸c néi tiÕp vµ nhËn biết nhanh tứ giác nội tiếp thì ta có thể dùng tính chất của nó để ứng dụng chứng minh h×nh häc cã sö dông kÕt qu¶ cña tø gi¸c néi tiÕp: ứng dụng 1: Chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức hình học; Chứng minh các góc bằng nhau , các đẳng thức tích các đoạn thẳng , bất đẳng thức về diện tích c¸c h×nh, … Ví dụ : Từ kết quả của 3 ví dụ ta có thể dùng tứ giác HCNK nội tiếp để giải bµi to¸n tiÕp theo : Gi÷ nguyªn gi¶ thiÕt vµ bæ xung thªm M lµ giao ®iÓm cña IK víi AB. KÕt luËn chøng minh SAMN ≤. 1 SABC (víi SAMN, SABC thø tù lµ ký hiÖu diÖn 2. tÝch tam gi¸c AMN vµ tam gi¸c ABC ). Ta cã thÓ ph©n tÝch gi¶i tiÕp nh sau (h×nh vÏ ë vÝ dô 3) Tø gi¸c HCNK néi tiÕp => ANM = KHC = 45o => AMN lµ tam gi¸c vu«ng c©n t¹i A => AM = AN (1) Lại chứng minh đợc AKN = AKH (g.c.g) => AN = AH (2) Tõ (1) vµ (2) => AM = AN =AH Do đó SAMN = 1 AM . AN = 1 AH2 còn SABC = 1 AB . AC 2. 2. 2. XÐt ABC vu«ng t¹i A cã : 1 1 1 AB2 + AC2 2. AB . AC 2 1 = + = ≥ = = 2 2 2 2 2 2 2 AB . AC S AH AB AC AB . AC AB . AC ABC 1 1 ≥ Hay:  SAMN  1 SABC ( ®pcm) 2 . S AMN S ABC 2. ứng dụng 2: Dùng tứ giác nội tiếp để chứng minh cặp đờng thẳng song song, cặp đờng thẳng vuông góc: VÝ dô: (lÊy vÝ dô 2) Gi÷ nguyªn gi¶ thiÕt, kÕt luËn chøng minh PQ//AC ThËt vËy ( h×nh vÏ ë vÝ dô 2) Tø gi¸c AQBP néi tiÕp => ACB = PAB ( cùng chắn cung AB ) mà PAB = PQB (cùng chắn cung BP của đờng tròn ngoại tiếp tứ giác AQBP ) => ACB = PQB => PQ //AC (đồng vị ) ứng dụng 3: Dùng các cách chứng minh tứ giác nội tiếp để chứng minh nhiều A1, A2, A3, … An cùng thuộc một đờng tròn : Bíc 1: Chän ra bèn ®iÓm, vÝ dô A1, A2, A3, A4 t¹o thµnh mét tø gÝac néi tiÕp (sö dông mét trong 6 c¸ch chøng minh tø gi¸c néi tiÕp ). Bíc 2: L¹i chän ra bèn ®iÓm kh¸c nhau : A 1, A2, A3, A5 ch¼ng h¹n t¹o thµnh mét tø gi¸c néi tiÕp. 1.

<span class='text_page_counter'>(16)</span> S¸ng kiÕn kinh nghiÖm – NguyÔn H÷u Tµi Cứ tiếp tục chứng minh nh trên, cuối cùng nhận xét các đờng tròn ngoại tiếp các tứ giác trên đều chung nhau 3 điểm A 1, A2, A3. Do đó các đờng tròn đó phải trùng nhau => A1, A2, A3,…,An cùng thuộc một đờng tròn. VÝ dô: Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A, ®iÓm E thuéc BC, kÎ hai trung trùc cña AB vµ AC gÆp nhau ë I. Trung trùc cña AE c¾t hai trung trùc kia ë F, K. Chứng minh 5 điểm A, E, F, I, K cùng nằm trên một đờng tròn. Ph©n tÝch : K Chøng minh 5 ®iÓm A, E, F, I, K 1 2 cùng nằm trên một đờng tròn (1) A  Chøng minh 2 tø gi¸c néi tiÕp AKIE C vµ AKIF (cã 3 ®iÓm chung lµ A, K , I) (2) F. 1 2. I. ThËt vËy, tõ gi¶ thiÕt => I BC vµ IB =IC (A = 90o) E V× IK lµ trung trùc cña AC, KF lµ trung trùcBcña AEH  KA = KC = KE => KAI = KEI (=KCE)  Tø gi¸c AKIE néi tiÕp (3) (theo c¸ch 4) ta l¹i cã K1 = K2 = I1= I2 (Các góc nội tiếp cùng chắn một cung và tính chất đờng trung trực ) hay K1 = I1 => tø gi¸c AKIF néi tiÕp (theo c¸ch 4) (4) Tõ (3)vµ (4) => (2) => (1) ®pcm Chú ý : ở ví dụ này kẻ đờng cao AH của tam giác ABC. Hình vẽ trên là ứng víi ®iÓm E thuéc ®o¹n HC cßn 2 trêng hîp n÷a lµ E thuéc ®o¹n HB vµ E n»m ngoµi ®o¹n BC chøng minh t¬ng tù. Bµi häc kinh nghiÖm: Qua đề tài này tôi rút ra đợc bài học kinh nghiệm cho chính bản thân là có đủ phơng pháp chứng minh một tứ giác nội tiếp, khai thác triệt để “ Điều kiện cần và đủ ” để khai thác các bài toán mới khi dạy bồi dỡng cho HS . Cũng từ các cách chøng minh tø gi¸c tø gi¸c néi tiÕp cã thÓ më ra híng nghiªn cøu tiÕp vÏ h×nh phô tạo ra tứ giác nội tiếp, để giải cách khác cho một bài toán cụ thể hoặc đề ra bài to¸n míi trong qu¸ tr×nh gi¶ng d¹y .. 1.

<span class='text_page_counter'>(17)</span> S¸ng kiÕn kinh nghiÖm – NguyÔn H÷u Tµi. PhÇn 3 : KÕt luËn Qua quan sát đọc tài liệu viết báo cáo và dạy minh họa, việc tìm cách chứng minh tứ giác nội tiếp một đờng tròn, vận dụng tính chất của nó vào giải toán tôi thấy đợc giá trị lý luận, ý nghĩa thực tiễn và hiệu quả của đề tài này nh sau: - Träng rÌn luyÖn nghiÖp vô: §©y lµ mét trong nh÷ng h×nh thøc tù häc, tù båi dỡng của ngời giáo viên. Với GV, chỉ có đọc, học hỏi và tích luỹ kinh nghiệm về ph¬ng ph¸p vµ d¹y cho häc sinh mét c¸ch cã ph¬ng ph¸p, cã hÖ thèng th× míi cã thể nâng cao đợc năng lực giải toán, phơng pháp mới đợc đổi mới và sáng tạo. - Bên cạnh đó cũng có thể nói rằng đề tài này là t liệu cần thiết giúp các giáo viªn míi ra trêng tham kh¶o khi d¹y h×nh häc cho häc sinh vµ gióp GV d¹y to¸n më híng nghiªn cøu tiÕp hÖ thèng c¸c ph¬ng ph¸p kh¸c. - Trong thực tiễn giảng giạy: Việc nắm đợc hệ thống phơng pháp chứng minh tứ giác nội tiếp để áp dụng vào giải toán đem lại hứng thú cho ngời giải to¸n, nhÊt lµ HS bëi víi bµi to¸n chøng minh tø gi¸c néi tiÕp nµo HS còng cã thÓ tự mình mày mò và tìm ra đợc hớng giải không bị bế tắc. Có đợc tứ giác nội tiếp rồi lại có thể dùng các tính chất của nó tức là phần đảo lại để khai thác và đề xuất c©u hái míi, bµi to¸n míi thùc sù lý thó. Nã ®em l¹i sù tù tin, niÒm say mª víi bé m«n h×nh häc, sù tëng tîng phong phó vµ t duy nhanh nh¹y. - Nãi tãm l¹i hÖ thèng ph¬ng ph¸p chøng minh tø gi¸c néi tiÕp lµ kh«ng thÓ thiếu trong ngời thầy để bồi dỡng phơng pháp giải toán và năng lực t duy sáng tạo cho HS . Tuy đề tài này dừng lại ở mảng nhỏ của chứng minh hình học nhng đã phÇn nµo lµm s¸ng tá ý nãi trªn ®©y.. 1.

<span class='text_page_counter'>(18)</span> S¸ng kiÕn kinh nghiÖm – NguyÔn H÷u Tµi. Những tài liệu tham khảo khi xây dựng đề tài : 1. SGK to¸n 9 tËp 2 – Phan §øc ChÝnh ( Tæng chñ tËp )- T«n Th©n (chñ biªn) – nhµ xuÊt b¶n gi¸o dôc n¨m 2005. 2. N©ng cao vµ ph¸t triÓn to¸n 9 tËp 2 – Vò H÷u B×nh – Nhµ xuÊt b¶n gi¸o dôc n¨m 2005. 3. Chøng minh h×nh häc : ph©n lo¹i vµ ph¬ng ph¸p gi¶i 100 bµi to¸n chøng minh h×nh 9 – NguyÔn Phóc Tr×nh – Nhµ xuÊt b¶n thµnh phè Hå ChÝ Minh n¨m 1999. 4. C¸ch t×m lêi gi¶i c¸c bµi to¸n THCS – tËp III . H×nh häc – Lª H¶i Ch©u vµ NguyÔn Xu©n Quú – Nhµ xuÊt b¶n §¹i häc Quèc gia Hµ Néi n¨m 1999. 5. 23 chuyên đề giải 1001 bài toán sơ cấp bồi dỡng học sinh giỏi và luyện thi vµo líp 10 (quyÓn h¹ ) – ban GV n¨ng khiÕu trêng thi . Chñ biªn NguyÔn §øc §ång , NguyÔn v¨n VÜnh – Nhµ xuÊt b¶n trÎ n¨m 2000. H¬ng Canh, th¸ng 3 n¨m 2008. NguyÔn. H÷u Tµi. Môc lôc Trang 1.

<span class='text_page_counter'>(19)</span> S¸ng kiÕn kinh nghiÖm – NguyÔn H÷u Tµi phÇn 1: PhÇn më ®Çu 2 1. Lý do chọn đề tài ......................................................................................... 2 a) C¬ së lý luËn ................................................................................................ 2 b) C¬ së thùc tiÔn ............................................................................................. 2 2. Phạm vi, đối tợng, mục đích của đề tài ..................................................... 2 Phần 2: nội dung của đề tài A. Nội dung của đề tài...................................................................................... I. Cơ sở lí luận khoa học của đề tài.................................................................. II. Đối tợng phục vụ cho quá trình nghiên cứu xây dựng đề tài..................... III. Néi dung ph¬ng ph¸p nghiªn cøu............................................................. * Ph¬ng ph¸p nghiªn cøu........................................................................ * Néi dung nghiªn cøu............................................................................. * Mét vµi vÝ dô minh ho¹.......................................................................... IV. KÕt qu¶ cña qu¸ tr×nh nghiªn cøu............................................................... V. Giải pháp mới và sáng tạo của đề tài........................................................... B. øng dông vµo thùc tÕ c«ng t¸c gi¶ng d¹y..................................................... phÇn 3: KÕt luËn. 4 4 4 5 5 5 6 9 16 16 17 20. Nh÷ng tµi liÖu tham kh¶o.................................................................................. 21. 1.

<span class='text_page_counter'>(20)</span>