Bài toán cauchy đối với phương trình truyền nhiệt không thuần nhất

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

VŨ THỊ THANH HUYỀN

BÀI TỐN CAUCHY ĐỐI VỚI
PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT
KHƠNG THUẦN NHẤT

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2016


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

VŨ THỊ THANH HUYỀN

BÀI TỐN CAUCHY ĐỐI VỚI
PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT
KHƠNG THUẦN NHẤT

Chun ngành: Tốn giải tích
Mã số: 60.46.01.02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS. Phạm Thị Thủy

THÁI NGUYÊN - 2016

Lời cam đoan
Tơi xin cam đoan đây là cơng trình nghiên cứu của riêng tôi. Các tài liệu
trong luận văn là trung thực. Luận văn chưa từng được công bố trong bất
cứ cơng trình nào.
Tác giả luận văn

Vũ Thị Thanh Huyền
Xác nhận của
Khoa chuyên môn

Xác nhận của
người hướng dẫn khoa học

TS. Phạm Thị Thủy

i


Lời cảm ơn
Bản luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm – Đại học
Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn tận tình của TS. Phạm Thị Thủy. Nhân
dịp này tơi xin bày tỏ lịng biết ơn cơ về sự hướng dẫn hiệu quả cùng những
kinh nghiệm trong quá trình học tập, nghiên cứu và hồn thành luận văn.
Xin chân thành cảm ơn Phòng Sau Đại học, Ban chủ nhiệm Khoa Tốn,
các thầy cơ giáo Trường Đại học Sư phạm – Đại học Thái Nguyên, Viện
Toán học và Trường Đại học Sư phạm Hà Nội đã giảng dạy và tạo điều kiện
thuận lợi cho tơi trong q trình học tập và nghiên cứu khoa học.
Bản luận văn chắc chắn sẽ khơng tránh khỏi những khiếm khuyết, vì vậy

rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn
học viên để luận văn này được hoàn chỉnh hơn.
Em xin chân thành cảm ơn!
Thái Nguyên, tháng 04 năm 2016
Tác giả luận văn

Vũ Thị Thanh Huyền

ii


MỤC LỤC
Lời cam đoan…………………………………………………………………i
Lời cảm ơn……………………………………………………………….......ii
MỤC LỤC……………………………………………….…………………..iii
MỞ ĐẦU……………………………………………………………………..1
Chƣơng 1. MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ…………………………...3
1.1. Phân loại phương trình đạo hàm riêng………………………........3
1.2. Phép biến đổi Fourier trong

………………………………8

1.3. Phép biến đổi Fourier trong

……………………………..13

1.4. Các công thức đơn giản của biến đổi Fourier…………………...19
1.5. Biến đổi Fourier của một vài hàm số đơn giản………………….22
Chƣơng 2. BÀI TỐN CAUCHY ĐỐI VỚI PHƢƠNG TRÌNH TRUYỀN
NHIỆT KHƠNG THUẦN NHẤT…………………………………………29

2.1. Bài tốn Cauchy cho phương trình truyền nhiệt khơng thuần nhất
với hệ số hằng trong

…………………………………………29

2.1.1. Bài tốn Cauchy…………………………………………...29
2.1.2. Tìm nghiệm của bài tốn (2.1.1), (2.1.2)…………………..29
2.2. Bài tốn Cauchy cho phương trình truyền nhiệt khơng thuần nhất
với hệ số hằng trong

…………………………………………31

2.2.1. Bài tốn Cauchy…………………………………………...31
2.2.2. Tìm nghiệm của bài tốn (2.2.1), (2.2.2)…………………..31
2.3. Bài tốn Cauchy cho phương trình truyền nhiệt không thuần nhất
với hệ số chỉ phụ thuộc biến thời gian trong

………………...33

2.3.1. Bài tốn Cauchy…………………………………………...33
2.2.2. Tìm nghiệm của bài toán (2.3.1), (2.3.2)…………………..34
KẾT LUẬN…………………………………………………………………39
TÀI LIỆU THAM KHẢO…………………………………………………40

iii


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Trong số lớp phương trình đạo hàm riêng tuyến tính, phương trình

parabolic là lớp phương trình mơ tả các q trình truyền nhiệt, khuyếch
tán. Các bài tốn có chứa phương trình parabolic được nghiên cứu từ rất
lâu và lý thuyết của các phương trình đó đến nay tương đối hồn chỉnh.
Khi nghiên cứu bài tốn Cauchy cho phương trình truyền nhiệt, nhà tốn
học Pháp Poisson đã thiết lập cơng thức tính nghiệm, hiện nay mang tên
ơng và có nhiều ứng dụng. Ngày nay có rất nhiều phương pháp để nghiên
cứu về phương trình đạo hàm riêng tuyến tính nhưng phương pháp biến đổi
Fourier trong nhiều trường hợp tỏ ra rất quan trọng và hiệu quả. Phương
pháp biến đổi Fourier giúp cho việc nghiên cứu các lớp phương trình khác
nhau và thiết lập được cơng thức biểu diễn nghiệm của các bài tốn. Khơng
những thế phương pháp biến đổi Fourier cịn nghiên cứu được tính chất của
các cơng thức biểu diễn nghiệm đó.
Theo hướng nghiên cứu này chúng tơi chọn “ Bài tốn Cauchy đối
với phương trình truyền nhiệt khơng thuần nhất ” làm đề tài nghiên
cứu của mình.
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
2.1. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu phương pháp biến đổi Fourier và áp dụng trong việc giải bài
toán Cauchy cho phương trình truyền nhiệt khơng thuần nhất.
2.2. Nhiệm vụ nghiên cứu
Luận văn tập trung vào các nhiệm vụ chính sau đây
- Trình bày tổng quan về phương trình đạo hàm riêng, phép biến đổi Fourier
trong L1 (Rn ), trong L2 (Rn ), và các tính chất của chúng.
- Tìm nghiệm của bài tốn Cauchy cho phương trình truyền nhiệt khơng
thuần nhất với hệ số hằng trong R1 , hệ số hằng trong Rn và hệ số chỉ phụ
thuộc biến thời gian trong Rn .

1

3. Phương pháp nghiên cứu
Sử dụng phương pháp phương trình đạo hàm riêng, phương pháp giải
tích, và sử dụng hệ thống các phép biến đổi Fourier, công thức Poisson để
nghiên cứu bài tốn Cauchy cho phương trình truyền nhiệt khơng thuần
nhất.
4. Bố cục luận văn
Nội dung luận văn gồm 41 trang trong đó có phần mở đầu, hai chương
nội dung, phần kết luận và danh mục tài liệu tham khảo.
Chương 1. Trình bày một số kiến thức chuẩn bị để thực hiện nội dung
của chương sau: Phân loại phương trình đạo hàm riêng, trình bày hệ thống
về phép biến đổi Fourier trong L1 (Rn ), trong L2 (Rn ), các công thức đơn
giản của biến đổi Fourier, biến đổi Fourier của một vài hàm số đơn giản.
Chương 2. Là nội dung chính của luận văn, trình bày các kết quả nghiên
cứu về bài tốn Cauchy đối với phương trình truyền nhiệt không thuần nhất
với hệ số hằng trong R1 , hệ số hằng trong Rn và hệ số chỉ phụ thuộc biến
thời gian trong Rn .
Cuối cùng là phần kết luận trình bày tóm tắt kết quả đạt được.

2


Chương 1

MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Trong chương này, ta sẽ nhắc lại một số kiến thức quan trọng làm nền
tảng để nghiên cứu chương sau, đó là các kiến thức về phương trình đạo
hàm riêng và biến đổi Fourier. Các nội dung trong chương được trích dẫn
từ các tài liệu tham khảo [1], [2], [3], [4], [5], [6], [9],[10], [11].

1.1

1.1.1

Phân loại phương trình đạo hàm riêng
Phân loại phương trình tuyến tính cấp hai trong trường hợp hai biến

Định nghĩa 1.1.1.1. Cho k là một số nguyên dương và U là một tập mở
trong Rn . Một biểu thức có dạng

F x, u (x) , Du (x) , . . . , Dk u (x) = 0,

x∈U

(1.1.1)

được gọi là một phương trình đạo hàm riêng bậc k với
k

F : U × R × Rn × · · · × Rn → R,
là hàm cho trước, và u : U → R là hàm cần tìm.

Phương trình đạo hàm riêng (1.1.1) được gọi là giải được nếu tìm được tất
cả các hàm số u thoả mãn (1.1.1).
Định nghĩa 1.1.1.2. Phương trình đạo hàm riêng (1.1.1) được gọi là tuyến
tính nếu phương trình đó có dạng

aα (x)Dα u = f (x) ,
|α|≤k

trong đó aα (x), f (x) là các hàm số đã cho.
Phương trình tuyến tính này được gọi là thuần nhất nếu f ≡ 0.

3


Định nghĩa 1.1.1.3. Giả sử u = u (x, y) là hàm xác định trong R2 ,
a (x, y) , b (x, y) , c (x, y) ∈ R2 . Phương trình đạo hàm riêng tuyến tính
cấp hai trong trường hợp hai biến là phương trình có dạng

a (x, y) uxx + 2b (x, y) uxy + c (x, y) uyy + F (x, y, u, ux , uy ) = 0.
a) Phân loại phương trình tuyến tính cấp hai trong trường hợp
hai biến
Xét phương đạo hàm riêng trình tuyến tính cấp hai với các hệ số thực

auxx + 2buxy + cuyy + F (x, y, u, ux , uy ) = 0,

(1.1.2)

có biệt thức ∆ = b2 − ac.

Xét một điểm (x0 , y0 ) cố định. Phương trình (1.1.2) tại điểm (x0 , y0 ) được
gọi là
- Thuộc loại elliptic nếu như tại điểm đó b2 − ac < 0.

- Thuộc loại hypecbolic nếu như tại điểm đó b2 − ac > 0.
- Thuộc loại parabolic nếu như tại điểm đó b2 − ac = 0.

Nếu tại mọi điểm trong một miền G mà phương trình (1.1.2) thuộc cùng
một loại thì ta nói rằng phương trình (1.1.2) thuộc loại đó trong miền G.
b) Dạng chính tắc của phương trình tuyến tính cấp hai trong
trường hợp hai biến
Ta đưa phương trình (1.1.2) về các dạng chính tắc sau

- Với b2 − ac > 0 thì dạng chính tắc của phương trình loại hypecbolic là
uxx − uyy = Φ hay uxy = Φ.
- Với b2 − ac < 0 thì dạng chính tắc của phương trình loại elliptic là
uxx + uyy = Φ.

- Với b2 − ac = 0 thì dạng chính tắc của phương trình loại parabolic là
uxx = Φ.
1.1.2

Phân loại phương trình tuyến tính cấp hai trong trường hợp nhiều
biến

Định nghĩa 1.1.2.1. Giả sử u = u (x1 , x2 , ..., xn ) là hàm xác định trong Rn .
Phương trình tuyến tính cấp hai trong trường hợp n− biến là phương trình
có dạng
4


n

aij uxi xj + F (x1 , ..., xn , u, ux1 , ..., uxn ) = 0,

(1.1.3)

i,j=1

với aij = aji và là hàm của các biến x1 , ..., xn .
a) Phân loại phương trình tuyến tính cấp hai trong trường hợp
nhiều biến
Ta ký hiệu x = (x1 , x2 , ..., xn ) là điểm trong không gian Ơ – clit n chiều với

các tọa độ là x1 , ..., xn .
Xét ma trận
A(x) = aij (x) .
(1.1.4)
Coi (1.1.4) là một ma trận đối xứng.
Ta cố định một điểm x0 = x1 0 , ..., xn 0 . Khi đó ma trận A(x) trở thành
ma trận hằng A(x0 ).
Phương trình
det(A(x0 ) − λE) = 0,
(1.1.5)

trong đó E là ma trận đơn vị, λ là một vô hướng, được gọi là phương trình
đặc trưng tại điểm x0 của phương trình (1.1.3). Từ đó ta có

- Phương trình (1.1.3) được gọi là thuộc loại elliptic tại điểm x0 = x1 0 , ..., xn 0
nếu như tại điểm đó, tất cả n nghiệm đối với λ của phương trình đặc trưng
(1.1.5) đều khác khơng và cùng một dấu.
- Phương trình (1.1.3) được gọi là thuộc loại hypecbolic tại điểm
x0 = x1 0 , ..., xn 0 nếu như tại điểm đó, tất cả n nghiệm đối với λ của
phương trình đặc trưng (1.1.5) đều khác khơng và trong đó có n − 1 nghiệm
cùng một dấu, còn nghiệm cuối cùng cịn lại có dấu khác.
- Phương trình (1.1.3) được gọi là thuộc loại parabolic tại điểm
x0 = x1 0 , ..., xn 0 nếu như tại điểm đó, trong n nghiệm đối với λ của
phương trình đặc trưng (1.1.5) có một nghiệm bằng khơng, cịn n−1 nghiệm
cịn lại đều khác không và cùng một dấu.
Nếu tại mọi điểm trong một miền Ω của khơng gian E mà phương trình
(1.1.3) thuộc cùng một loại, thì ta nói rằng phương trình (1.1.3) thuộc loại
đó trong Ω.

5

b) Dạng chính tắc của phương trình tuyến tính cấp hai trong
trường hợp nhiều biến
Xét phương trình tuyến tính cấp hai (1.1.3).
Dùng phương pháp đổi biến
ξ1 = ξ1 (x1 , ...., xn )
(1.1.6)

..........................
ξn = ξn (x1 , ...., xn ) .

Giả thiết trong một lân cận nào đó của điểm (x1 , x2 , ...., xn ), các hàm

ξr = ξr (x1 , . . . , xn ) ,

r = 1, . . . , n,

liên tục và có các đạo hàm riêng tới cấp hai liên tục với

D (ξ1 , . . . , ξn )
= 0.
D (x1 , . . . , xn )

(1.1.7)

Phép biến đổi (1.1.6) thỏa mãn điều kiện (1.1.7) được gọi là phép biến đổi
khơng suy diễn. Ta có
n
∂ξr

.
u ξr
uxj =
∂x
j
r=1
n

ux i x j

∂ξr ∂ξs
uξr ξs
=
+
∂x
∂x
j
i
r,s=1

n

uξ r
r=1

∂ 2 ξr
.
∂xi ∂xj

(1.1.8)

Thay (1.1.8) vào (1.1.3), ta được
n

a
˜rs uξr ξs + Φ (ξ1 , . . . , ξn , u, uξ1 , . . . , uξn ) = 0.

(1.1.9)

r,s=1

trong đó

n

a
˜rs =

aij
i,j=1

∂ξr ∂ξs
=a
˜sr .
∂xj ∂xi

Khi đó, phương trình dạng
n

λi uξi ξi + Φ (ξ1 , . . . , ξn , u, uξ1 , . . . , uξn ) = 0

(1.1.10)

i=1

được gọi là dạng chính tắc của phương trình (1.1.9) tại điểm x0 = x1 0 , ..., xn 0 .

6


- Giả thiết tại điểm x0 = x1 0 , ..., xn 0 phương trình (1.1.9) thuộc loại
elliptic. Khi đó, mọi λi trong (1.1.10) cùng một dấu, giả sử λi > 0 (ngược
lại nếu λi < 0 thì đổi dấu tồn bộ phương trình (1.1.9)). Đặt

λi = υi2 .
Vậy (1.1.10) có dạng
n

υi2 uξi ξi + Φ (ξ1 , . . . , ξn , u, uξ1 , . . . , uξn ) = 0.

(1.1.11)

i=1

Bằng cách co giãn tọa độ ξi = υi ξi′ . Từ (1.1.11) ta có
n

uξ ′ 1 ξ ′ i + Φ∗ ξ ′ 1 , . . . , ξ ′ n , u, uξ ′ 1 , . . . , uξ ′ n = 0.

(1.1.12)

i=1

(1.1.12) được gọi là dạng chính tắc của phương trình loại elliptic.
- Giả thiết tại x0 = x1 0 , ..., xn 0 phương trình (1.1.9) thuộc loại hypecbolic,
thì trong n nghiệm λ của phương trình đặc trưng có n − 1 nghiệm cùng dấu
và một nghiệm khác dấu. Do đó, từ (1.1.10) ta có
n−1

uξ ′ n ξ ′ n −

uξ ′ i ξ ′ i + Φ∗ ξ ′ 1 , . . . , ξ ′ n , u, uξ ′ 1 , . . . , uξ ′ n = 0.

(1.1.13)

i=1

(1.1.13) được gọi là dạng chính tắc của phương trình loại hypecbolic.
- Giả thiết tại x0 = x1 0 , ..., xn 0 phương trình (1.1.9) thuộc loại parabolic
thì trong n nghiệm đối với λ của phương trình đặc trưng có một nghiệm
bằng khơng, cịn n − 1 nghiệm cịn lại đều khác khơng và cùng một dấu,
nên từ (1.1.10) ta có
n−1

uξ ′ i ξ ′ i + Φ∗ ξ ′ 1 , . . . , ξ ′ n , u, uξ ′ 1 , . . . , uξ ′ n = 0.

(1.1.14)

i=1

(1.1.14) được gọi là dạng chính tắc của phương trình loại parabolic.
Như vậy, rõ ràng ta thấy
- Phương trình Laplace uxx +uyy +uzz = ∆u = 0 là phương trình loại eliiptic.
- Phương trình truyền nhiệt ut −a2 (uxx + uyy + uzz ) = 0 thuộc loại parabolic.

- Phương trình truyền sóng utt − a2 (uxx + uyy + uzz ) = 0 thuộc loại
hypecbolic.
7


1.2

Phép biến đổi Fourier trong L1 (Rn )

1.2.1

Biến đổi Fourier trong L1 (Rn )

Giả sử f (x) = f (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ L1 (Rn ) là hàm khả tích trong tồn bộ
khơng gian Rn .
Định nghĩa 1.2.1.1. Biến đổi Fourier của hàm số f (x), ký hiệu là (F f ) (ξ)
∧

hoặc f (ξ), là hàm số của biến ξ = (ξ1 , ξ2 , . . . , ξn ) ∈ Rn và được tính theo
cơng thức
∧

n

(F f ) (ξ) = f (ξ) = (2π)− 2

e−i x,ξ f (x) dx.

(1.2.1)

Rn

Định nghĩa 1.2.1.2. Biến đổi Fourier ngược của hàm số f (x) ký hiệu là
∨

F −1 f (ξ) hoặc f (ξ), là hàm số của biến ξ = (ξ1 , ξ2 , . . . , ξn ) ∈ Rn và được
tính theo công thức
∨

n

F −1 f (ξ) = f (ξ) = (2π)− 2

ei x,ξ f (x) dx.
Rn

1.2.2

Các tính chất của biến đổi Fourier trong L1 (Rn )

Mệnh đề 1.2.2.1.
Nếu f (x) ∈ L1 (Rn ) thì ∀ξ ∈ Rn ta có

(F f ) (ξ) = F −1 f (−ξ) .
Chứng minh.

Với f (x) ∈ L1 (Rn ), ∀ξ ∈ Rn ta có
n

(F f ) (ξ) = (2π)− 2

e−i x,ξ f (x) dx
Rn

= (2π)

− n2

ei x,−ξ f (x) dx
Rn

= F −1 f (−ξ) .
Vâỵ (F f ) (ξ) = F −1 f (−ξ) .
Mệnh đề 1.2.2.2.
Nếu f (x) ∈ L1 (Rn ) thì ∀ξ ∈ Rn ta có

(F f ) (ξ) = F −1 f (−x) (ξ) .
8

(1.2.2)


Chứng minh.
Với f (x) ∈ L1 (Rn ), ∀ξ ∈ Rn ta có
n

n

e−i x,ξ f (x) dx = (2π)− 2

(F f ) (ξ) = (2π)− 2

Rn

ei −x,ξ f (x) dx. (1.2.3)
Rn

Đặt −x = y ⇒ dx = −dy = d (−y) thay vào (1.2.3) ta được
n

(F f ) (ξ) = (2π)− 2

ei y,ξ f (−y) d (−y) = F −1 f (y) (ξ) = F −1 f (−x) (ξ) .
Rn

Vậy (F f ) (ξ) = F −1 f (−x) (ξ) .
Mệnh đề 1.2.2.3.
Giả sử hàm f (x) ∈ L1 (Rn ) . Khi đó hàm
∧

n

f (ξ) = (2π)− 2

f (x) e−i x,ξ dx,
Rn

∧

là hàm số liên tục, bị chặn và lim f (ξ) = 0.
|ξ|→∞

Chứng minh.
Vì f (x) khả tích tuyệt đối nên suy ra tích phân Fourier
∧

n

f (ξ) = (2π)− 2

f (u) e−i ξ,u du
Rn

hội tụ tuyệt đối.

∧

Vì ei ξ,u liên tục theo ξ nên theo dấu hiệu hàm trội suy ra f (ξ) liên tục
theo biến ξ . Với ε > 0 tồn tại số A > 0 để

ε
|f (x)|dx < .
2
|x|>A

Vì lim

|ξ|→∞ |u|
f (u) e−i ξ,u du = 0 nên ∃σ > 0 sao cho với ∀ξ : |ξ| > σ ta có
ε
f (u) e−i ξ,u du < .
2
|u|
9


Vậy với |ξ| > σ

f (u) e−i u,ξ du ≤

Rn

∧

n

Khi đó

Rn

ε ε
+ =ε
2 2

|u|
|u|>A

⇒ f (ξ) = (2π)− 2

f (u) e−i ξ,u du <

|f (u)| du +

f (u) e−i ξ,u du là giới nội khi |ξ| → +∞.
∧

lim f (ξ) = 0.

|ξ|→∞

Mệnh đề 1.2.2.4. (Tính tuyến tính)
Giả sử f (x), g(x) ∈ L1 (Rn ) và x ∈ Rn ; α, β ∈ R. Khi đó

F (αf + βg) (ξ) = αF (f ) (ξ) + βF (g) (ξ)
Chứng minh.
Với f (x), g(x) ∈ L1 (Rn ) và ξ, x ∈ Rn ; α, β ∈ R ta có
n

F (αf + βg) (ξ) = (2π)− 2

e−i x,ξ (αf (x) + βg (x)) dx

Rn

= (2π)

n

− n2

e−i x,ξ αf (x) dx + (2π)− 2
Rn
n

e−i x,ξ βg (x)dx
Rn
n

= α(2π)− 2

e−i x,ξ f (x) dx + β(2π)− 2
Rn

e−i x,ξ g (x)dx
Rn

= αF (f ) (ξ) + βF (g) (ξ) .
Vậy

F (αf + βg) (ξ) = αF (f ) (ξ) + βF (g) (ξ) .
Mệnh đề 1.2.2.5. (Biến đổi Fourier của đạo hàm)
Giả sử f (x) và Dxj f thuộc không gian L1 (Rn ) trong đó Dxj f =
Nếu ∃c > 0, ε > 0 sao cho

|f (x)| ≤
thì

c
∀x,
(1 + |x|)n−1+ε
∧

F Dxj f (ξ) = (iξj ) f (ξ) = (iξj ) (F f ) (ξ)

10

∂f
∂xj .


Chứng minh.
Theo định nghĩa biến đổi Fourier trong L1 (Rn ) ta có
n

F Dxj f (ξ) = (2π)− 2

Dxj f e−i x,ξ dx.
Rn

Áp dụng cơng thức tính tích phân từng phần trong Rn

f Dxj gdx =
Ω

f gγj dσ −
∂Ω

Dxj f gdx,
Ω

trong đó γ = (γ1 , γ2 , . . . , γn ) là véctơ pháp tuyến đơn vị ngồi tại điểm
x ∈ ∂Ω. Ta có
n

n

e−i x,ξ Dxj f dx = (2π)− 2 lim

F Dxj f (ξ) = (2π)− 2

A→+∞
|x|
Rn
n

= (2π)− 2 lim
Mặt khác

A→+∞ |x|=A

e−i x,ξ f γj dσ −

e−i x,ξ f γj dσ ≤
|x|=A

|f |dσ ≤
|x|=A

e−i x,ξ Dxj f dx

e−i x,ξ (−iξj ) f (x) dx .
|x|
c
n−1
,
n−1+ε ωn A
(1 + A)

trong đó ωn là diện tích mặt cầu đơn vị. Do đó
n

F Dxj f (ξ) = (2π)− 2

e−i x,ξ Dxj f dx
Rn

n

= (2π)− 2 lim

A→+∞ |x|

e−i x,ξ iξj f (x) dx

= (iξj ) (F f ) (ξ) .
Vậy F Dxj f (ξ) = (iξj ) (F f ) (ξ) .

Nhận xét 1.2.2.6.
Tương tự như đạo hàm cấp 1 ta có cơng thức biến đổi Fourier đối với các
đạo hàm cấp cao.
Giả sử f (x) ∈ L1 (Rn ), x, ξ ∈ Rn .
11


α = (α1 , α2 , . . . , αn ) ,

αi ≥ 0 và αi ∈ Z, |α| = α1 + α2 + . . . + αn .

D = (Dx1 , Dx2 , . . . , Dxn ) ,

ξ = (ξ1 , ξ2 , . . . , ξn ) .

Dα = Dxα11 , Dxα22 , . . . , Dxαnn ,

ξ α = (ξ1α1 , ξ2α2 , . . . , ξnαn ) .

Khi đó

∧

Dα f (ξ) = (iξ)α f (ξ) .

Hệ quả 1.2.2.7.
Nếu xα f (x) ∈ L1 (Rn ) thì ∀ξ ∈ Rn ta có

F (xα f (x)) (ξ) = i|α| Dξα (F f ) (ξ) .
Chứng minh.
∀ξ ∈ Rn , f (x) ∈ L1 (Rn ) ta có
n

F (xα f (x)) (ξ) = (2π)− 2

e−i x,ξ xα f (x) dx.
Rn

Mà Dξα e−i x,ξ

= (−i x)α e−i x,ξ


n

⇒ F (xα f (x)) (ξ) = Dξα (i)|α| (2π)− 2
= i|α| Dξα (F f ) (ξ) .

Rn



e−i x,ξ f (x) dx

Vậy F (xα f (x)) (ξ) = i|α| Dξα (F f ) (ξ) .

Mệnh đề 1.2.2.8. (Biến đổi Fourier của tích chập)
Giả sử f (x), g(x) ∈ L1 (Rn ) khi đó
n

F (f ∗ g) (ξ) = (2π) 2 (F f ) (ξ) . (F g) (ξ)
Chứng minh.
Theo định nghĩa tích chập ta có

(f ∗ g)(x) =
Rn

f (x − y) g (y)dy =

Rn

Trước hết ta chứng minh (f ∗ g)(x) ∈ L1 (Rn ).
12

f (y) g (x − y)dy.


Thật vậy

|(f ∗ g)(x)| =

Rn

f (y) g (x − y)dy ≤

|f (y)| |g (x − y)|dy.

Rn

Từ đó
Rn

|(f ∗ g)(x)|dx ≤

dx
Rn

Rn

=

|f (y)| |g (x − y)|dx

dy
Rn

= f

|f (y)| |g (x − y)|dy

Rn

g

L 1 ( Rn )

L 1 ( Rn )

hay

f (y) g (x − y) ∈ L1 (Rnx × Rny ).

Đổi thứ tự lấy tích phân ta có
n

F (f ∗ g)(ξ) = (2π)− 2

e−i x,ξ dx
Rn

n

= (2π)− 2

Rn

f (y)dy
Rn

Rn

f (y) g (x − y)dy

e−i x,ξ g (x − y) dx.

Đặt x − y = p ⇒ d(x − y) = dp ⇒ dx = dp và x = p + y .

Thay vào (1.2.4) ta được
n

F (f ∗ g) (ξ) = (2π)− 2

Rn

Rn

=

−n
(2π) 2
−n
(2π) 2

e−i p+y,ξ g (p) dp

f (y)dy

n

f (y) e−i y,ξ dy (2π)− 2

e−i p,ξ g (p) dp
Rn

Rn

n

= (2π) 2 (F f ) (ξ) . (F g) (ξ) .
1.3

Phép biến đổi Fourier trong L2 (Rn )

1.3.1

Định nghĩa biến đổi Fourier trong L2 (Rn )

Định lý 1.3.1.1. (Định lý Plancherel)
∧

∨

Giả sử f (x) ∈ L1 (Rn ) ∩ L2 (Rn ). Khi đó f và f ∈ L2 (Rn ) và
∧

∨

= f

f

L 2 ( Rn )

= f
L 2 ( Rn )
13

L 2 ( Rn ) .

(1.2.4)


Chứng minh.
∞
∧ ∧
Ta thấy rằng nếu v, ω ∈ L1 (Rn ) thì v, ω ∈ L(Rn ).
Mặt khác

∧

n

v (x) (2π)− 2

v (x) ω (x) dx =

Rn

Rn

n

= (2π)− 2

Rn



e−i x,y ω (y) dy  dx

e−i x,y v (x) ω (y) dxdy.

R n Rn

Và
∧

n

(2π)− 2

v (y) ω (y) dx =
Rn

Rn

Rn

= (2π)

e−i x,y v (x)ω (y) dxdy

− n2

e−i x,y v (x) ω (y) dydx.
Rn Rn

Suy ra

∧

∧

v (x) ω (x) dx =

v (y) ω (y) dy.

(1.3.1)

Rn

Rn

Mà

e

i x,y −t|x|

Rn

2

π
dx =
t

n
2

.e

−|y|2
4t

(t > 0).

2

Do đó, nếu ε > 0 và v0 (x) = e−ε|x| , ta có
2

e

∧

v0 (y) =

− |y|
4ε

n

(2ε) 2

.

Vậy với mỗi ε > 0 từ (1.3.1) suy ra
∧

2

ω (y) e−ε|y| dy =
Rn

1

ω (x) e

n

(2ε) 2

−|x|2
4ε

dx.

(1.3.2)

Rn

Lấy f (x) ∈ L1 (Rn ) ∩ L2 (Rn ). Đặt g(x) = f (−x) (trong đó f là số phức liên
hợp của f ).
Xét ω = f ∗ g ∈ L1 (Rn ) ∩ L2 (Rn ) ⇒ f (x), g(x) liên tục, giới nội và khả tích
tuyệt đối trên L1 (Rn ). Áp dụng Mệnh đề 1.2.2.8 ta được
∧

n

∧∧

∞

ω = (2π) 2 f g ∈ L(Rn ).
14


Mặt khác

1

∧

g (y) =

(2π)

e−i x,y g (x) dx

n
2

Rn

∧

n

= (2π)− 2
∧

e−i x,y f (−x) dx = f (y),
Rn

∧ 2

n

suy ra ω = (2π) 2 f . Vì ω là liên tục nên ta có

1

lim

n

(2ε) 2

ε→0

∧

n
2

∧ 2

Do ω = (2π) f

ω (x) e

−|x|2
4ε

n

dx = (2π) 2 ω (0) .

Rn

∧

≥ 0. Cho ε → 0+ từ (1.3.2) suy ra ω là khả tổng với
∧

1

2

ω (y) e−ε|y| dy = lim+

lim+

ε→0

(2ε)

ε→0

Rn

⇔
Vì vậy
∧ 2

n

ω (x) e

n
2

dx

Rn

∧

n

ω (y) dy = (2π) 2 ω (0) .
Rn

∧

(2π)− 2 ω (y) dy = (2π)−

u dy =

−|x|2
4ε

n
2

n

(2π) 2 ω (0)

Rn

Rn

f (x) g (−x) dx

= ω (0) =
Rn

f (x) f (x) dx =

=

Rn

Rn

∧ 2

Vậy ta chứng minh được

f dy =
Rn

Rn

∧

f

|f (x)|2 dx,

|f |2 dx, tức là

= f

L 2 ( Rn ) .

(1.3.3)

= f

L 2 ( Rn ) .

(1.3.4)

L 2 ( Rn )

Tương tự ta chứng minh được
∨

f

L 2 ( Rn )
∨

∧

Từ (1.3.3) và (1.3.4) ⇒ f

= f

= f

L 2 ( Rn )

L 2 ( Rn )

15

L 2 ( Rn ) .


Định nghĩa 1.3.1.2. (Định nghĩa biến đổi Fourier trong L2 (Rn ))
1
n
2

n
2
n
Cho một dãy {fk }∞
k=1 ⊂ L (R ) ∩ L (R ) với fk → f trong L (R ) và
∧

∧

f k − fj

L 2 ( Rn )

= fk − fj

L 2 ( Rn )

= fk − fj

L 2 ( Rn ) ,

2
n
khi đó {fk }∞
k=1 là một dãy Cauchy trong L (R ). Do đó dãy này hội tụ đến
∧

một giới hạn mà được định nghĩa là F f hoặc f .
∧

Định nghĩa f không phụ thuộc vào việc chọn dãy {fk }∞
k=1 tương ứng.

Định nghĩa 1.3.1.3. (Định nghĩa biến đổi Fourier ngược trong L2 (Rn ))
1
n
2
n
2
n
Cho một dãy {fk }∞
k=1 ⊂ L (R ) ∩ L (R ) với fk → f trong L (R ) và
∨

∨

∨

fk − fj
∨
fk

khi đó

∞

L 2 ( Rn )

= fk − fj

L 2 ( Rn )

= fk − fj

L 2 ( Rn ) ,

là một dãy Cauchy trong L2 (Rn ). Do đó dãy này hội tụ

k=1

∨

đến một giới hạn mà được định nghĩa là F −1 f hoặc f .
∨

Định nghĩa f không phụ thuộc vào việc chọn dãy

∨
fk

∞

tương ứng.

k=1

1.3.2

Các tính chất của biến đổi Fourier trong L2 (Rn )

Định lý 1.3.2.1. Giả sử f, g ∈ L2 (Rn ). Khi đó
∧∧

(1.3.5)

f g dy.

f gdx =
Rn

Rn

∧

Dα f = (iy)α f với mỗi đa chỉ số Dα f ∈ L2 (Rn ) .
n

∧∧

(f ∗ g) = (2π) 2 f g , với f (x) hoặc g (x) ∈ L1 (Rn )∩L2 (Rn ) .
f =

∧

f

∨

=

∨

f

∧

(1.3.6)
(1.3.7)
(1.3.8)

.

Nhận xét: (1.3.8) chính là cơng thức nghịch đảo đối với biến đổi Fourier
trong L2 (Rn ).

16


Chứng minh.
Chứng minh công thức (1.3.5).
∧ ∧

f g dy.

f gdx =
Rn

Rn

Thật vậy, cho f, g ∈ L2 (Rn ) và α ∈ C , khi đó

f + αg

2

∧

2
L 2 ( Rn )

= f +αg

.

(1.3.9)

L 2 ( Rn )

Khai triển (1.3.9) ta được

|f |2 + |αg|2 + f (αg) + f (α g) dx

Rn

∧ 2

=

f
Rn

∧

∧

∧

+ |αg|2 + f (αg) + f αg

dy.

Do đó theo Định lý 1.3.1.1.
∧∧

Rn

∧∧

αf g +α f g dy.

αf g + αf g dx =
Rn

Cho α = 1 ta được
∧∧

Rn

∧∧

f g + f g dy

f g + f g dx =
Rn

⇒
Công thức (1.3.5) được chứng minh.

∧∧

f g dy.

f gdx =
Rn

Rn

Chứng minh công thức (1.3.6).
Với f ∈ L2 (Rn ), Dα f ∈ L2 (Rn ), f là hàm trơn và có giá compact.
Ta có

Dα f

(y) = (2π)

−

n
2

e

−i x,y

α

D f (x) dx =

Rn

= (2π)−

(−1)|α|
(2π)

−

Dxα e−i x,y f (x) dx

n
2

Rn

∧

n
2

e−i x,y (iy)α f (x) dx = (iy)α f (y) .

Rn

17


Suy ra

∃ {fm } , fm ∈ C0∞ (Rn ) mà fm → fm ∈ L2 (Rn ).
D α f m → D α f ∈ L2 ( R n ) .
∧

∧

Dα fm = (iy)α fm cho m → ∞ ta được Dα f = (iy)α f .

Công thức (1.3.6) được chứng minh.

Chứng minh cơng thức (1.3.7).
Ta có
(f ∗ g) (x) = f (y)g(x − y)dy.
Rn
n

Ta chứng minh (f ∗ g) (x) ∈ L2 (R ).
Để cho xác định, ta giả sử f (x) ∈ L1 (Rn ) ∩ L2 (Rn ), g (x) ∈ L2 (Rn ).
Khi đó

|(f ∗ g) (x)| ≤

Rn

|f (y)| |g(x − y)| dy =

1

Rn

1

|f (y)| 2 |f (y)| 2 |g(x − y)| dy.

Sử dụng bất đẳng thức Holder ta được

|(f ∗ g) (x)|2 ≤

Rn

= f

|f (y)| dy
L 1 ( Rn )

Suy ra

(f ∗ g)

2
L 2 ( Rn )

Rn

≤ f

Rn

|f (y)| |g(x − y)|2 dy

|f (y)| |g(x − y)|2 dy
2
L 1 ( Rn )

g

2
L 2 ( Rn ) .

Nếu giả thiết thêm g (x) ∈ L1 (Rn ) ∩ L2 (Rn ) thì do f (x) , g (x) ∈ L1 (Rn )
nên theo Mệnh đề 1.2.2.8 ta có
n

F (f ∗ g) = (2π) 2 F (f ) F (g) .
Trong trường hợp chung, nếu g (x) ∈ L2 (Rn ), ta chọn dãy {gk } sao cho
gk ∈ L1 (Rn ) ∩ L2 (Rn ) và gk → g trong L2 (Rn ).
Khi đó

n

F (f ∗ gk ) = (2π) 2 F (f ) F (gk ) .
n

∧∧

Cho k → ∞ từ (1.3.10) ta được (f ∗ g) = (2π) 2 f g .
Công thức (1.3.7) được chứng minh.

18

(1.3.10)


Chứng minh công thức (1.3.8)
Với ∀f ∈ L2 (Rn ), cố định z ∈ Rn ; ε > 0 và đặt gε (x) = ei x,z
theo chứng minh của Định lý 1.3.1.1 ta có
∧
gε (y)

= (2π)

− n2

e

−i x,y−z −ε|x|

2

dx =

Rn

1
n

(2ε) 2

e

−|y−z|2
4ε

−ε|x|

2

khi đó

dx.

Sử dụng cơng thức (1.3.1) với f ∈ L1 (Rn ) ∩ L2 (Rn ) thì
∧

f (y) e

i z,y −ε|y|

2

dy = (2ε)

− n2

f (x) e

−|x−z|2
4ε

.

Rn

Rn

Theo [5] ta thấy
n

lim+ (2ε)− 2

f (x) e

ε→0

−|x−z|2
4ε

n

dx = (2π) 2 f (z) ,

Rn

với mỗi điểm Lebesgue của f, suy ra
∧

n

f (y) ei z,y dy = (2π) 2 f (z)
Rn

∧

n

⇒ f (z) = (2π)− 2
Vậy f =

1.4

∧

f

∨

f (y) ei z,y dy với hầu khắp z.
Rn

.

Các công thức đơn giản của biến đổi Fourier

Giả sử điều kiện để tồn tại các biến đổi Fourier gặp dưới đây đều thỏa mãn.
Khi đó ta có các cơng thức sau.
Công thức 1.4.1.
Nếu g (x) ∈ L1 (Rn ), và f (x) = g (αx) , α = 0 thì
∧

(F f ) (ξ) = g

ξ
α

1
.
|α|n

(1.4.1)

Chứng minh.
Giả sử g (x) ∈ L1 (Rn ). Ta có
n

n

e−i x,ξ f (x)dx = (2π)− 2

F (f ) (ξ) = (2π)− 2

Rn

e−i x,ξ g (αx)dx.

Rn

19


Đặt αx = t ⇒ d (αx) = dt ⇒ αn dx = dt ⇒ dx =
Do vậy
n

F (f ) (ξ) = (2π)− 2
∧

Vậy F (f ) (ξ) = g

ξ
α

1
n
|α|

1
|α|n

e−i

t
α ,ξ

1

αn dt.

g (t)dt =

Rn

1 ∧ ξ
g
|α|n
α

.

Công thức 1.4.2.
Giả sử g (x) ∈ L1 (Rn ) và f (x) = g

x
α

1
n, α
|α|

= 0. Khi đó

∧

(1.4.2)

F (f ) (ξ) = g (αξ) .

Chứng minh.
Với g αx ∈ L1 (Rn ) ,

∀α ∈ C, ∀x, ξ ∈ Rn và f (x) = g

x
α

Áp dụng công thức (1.4.1) ta được
∧

f (ξ) =

1
n.
|α|

∧
1 ∧
1
g
g
(αξ)
=
.
(αξ) .
n
|α|n α1

∧

Vậy F (f ) (ξ) = g (αξ) .
Công thức 1.4.3.
Với g (x) ∈ L1 (Rn ) và f (x) = g (−x). Khi đó
∧

∧

(1.4.3)

f (ξ) = g (−ξ) .

Chứng minh. Công thức (1.4.3) là trường hợp đặc biệt của công thức
(1.4.1) tương ứng với α = −1.
∧

f (x) = g (−x) ⇒ F (f ) (ξ) = g

ξ
−1

∧
1
n = g (−ξ) .
|−1|

∧

VậyF (f ) (ξ) = g (−ξ) .
Công thức 1.4.4.

Giả sử g (x) ∈ L1 (Rn ) và f (x) = g (x − β) , β ∈ Rn . Khi đó
∧

(F f ) (ξ) = g (ξ) e−iξβ .
20

(1.4.4)