Điều kiện tối ưu và tính đối ngẫu cho bài toán tối ưu đa mục tiêu không trơn

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
-------------------------------

TRẦN THỊ LAN HƯƠNG

ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU VÀ TÍNH ĐỐI NGẪU
CHO BÀI TỐN TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU KHÔNG TRƠN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2017


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
-------------------------------

TRẦN THỊ LAN HƯƠNG

ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU VÀ TÍNH ĐỐI NGẪU
CHO BÀI TỐN TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU KHÔNG TRƠN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC
Chun ngành: Tốn ứng dụng
Mã số
: 60 46 01 12

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS.TS. Đỗ Văn Lưu

THÁI NGUYÊN - 2017


i

Mục lục
Mở đầu

1

1 Điều kiện tối ưu và đối ngẫu cho các nghiệm hữu hiệu
chính thường và cơ lập của bài tốn tối ưu đa mục tiêu
khơng trơn

4

1.1. Các định nghĩa và kết quả bổ trợ . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2. Điều kiện tối ưu và đối ngẫu cho các nghiệm hữu hiệu chính
thường và cơ lập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.3. Đối ngẫu cho nghiệm hữu hiệu chính thường . . . . . . . .

18

2 Điều kiện tối ưu và đối ngẫu cho các nghiệm hữu hiệu

và nghiệm hữu hiệu yếu của bài tốn tối ưu đa mục tiêu
khơng trơn

24

2.1. Các kết quả bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

2.2. Điều kiện tối ưu

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

2.3. Các định lý đối ngẫu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

2.3.1. Đối ngẫu kiểu Wolfe . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

2.3.2. Đối ngẫu kiểu Mond - Weir . . . . . . . . . . . . .

44

Kết luận

48

Tài liệu tham khảo

50


1

Mở đầu
1. Lí do chọn đề tài
Điều kiện tối ưu và đối ngẫu là các hướng nghiên cứu quan trọng của
lý thuyết tối ưu đa mục tiêu. Với một bài tốn tối ưu khơng trơn, người
ta thường dùng các khái niệm dưới vi phân để thiết lập các điều kiện
tối ưu và các định lý đối ngẫu như các dưới vi phân lồi, Clarke, Michel Penot, Mordukhovich, dưới vi phân suy rộng. T.D. Chuong [2], 2013 đã
sử dụng giải tích biến phân, dạng không trơn của quy tắc Fermat và dưới
vi phân Mordukhovich để thiết lập các điều kiện tối ưu và các định lý đối
ngẫu kiểu Wolfe cho nghiệm hữu hiệu chính thường và nghiệm hữu hiệu
cơ lập của bài tốn tối ưu đa mục tiêu có ràng buộc đẳng thức và bất
đẳng thức. T.D. Chuong - D.S. Kim [3], 2014 đã thiết lập các điều kiện
tối ưu và các định lý đối ngẫu kiểu Wolfe và Mond - Weir cho nghiệm hữu
hiệu và nghiệm hữu hiệu yếu của bài tốn đó. Đây là đề tài được nhiều
tác giả quan tâm nghiên cứu. Chính vì thế tơi chọn đề tài: "Điều kiện tối
ưu và đối ngẫu cho bài toán tối ưu đa mục tiêu khơng trơn".
2. Mục đích của đề tài
Luận văn trình bày các kết quả về điều kiện tối ưu và đối ngẫu của
T.D. Chuong đăng trong tạp chí Nonlinear Analysis 76 (2013), 93 - 104
cho nghiệm hữu hiệu chính thường và nghiệm hữu hiệu cơ lập của bài
tốn tối ưu đa mục tiêu có ràng buộc đẳng thức và bất đẳng thức, và
của T.D. Chuong - D.S. Kim đăng trong tạp chí Annals of Operations
Research 217 (2014), 117 - 136 cho nghiệm hữu hiệu và nghiệm hữu hiệu

2

yếu của bài tốn đó.
3. Nội dung của luận văn
Luận văn bao gồm phần mở đầu, hai chương, kết luận và danh mục tài
liệu tham khảo
Chương 1. "Điều kiện tối ưu và đối ngẫu cho các nghiệm hữu hiệu chính
thường và cơ lập của bài tốn tối ưu đa mục tiêu khơng trơn"
Trình bày các điều kiện cần cho các nghiệm hữu hiệu chính thường địa
phương và cơ lập địa phương của bài tốn tối ưu đa mục tiêu có ràng
buộc đẳng thức và bất đẳng thức bằng cách sử dụng cơng cụ giải tích
biến phân và vi phân suy rộng như: Quy tắc Fermat không trơn, dưới vi
phân Mordukhovich (hay còn gọi là dưới vi phân giới hạn) của hàm max,
quy tắc tổng cho các dưới vi phân Fréchet và giới hạn. Các điều kiện đủ
tối ưu được trình bày với các giả thiết về tính lồi suy rộng dưới ngôn ngữ
dưới vi phân giới hạn của hàm Lipschitz địa phương. Các định lý đối ngẫu
yếu, mạnh cũng được trình bày trong chương này. Các kết quả trình bày
trong chương này được tham khảo trong [2], [1], [7], [8].
Chương 2. "Điều kiện tối ưu và đối ngẫu cho các nghiệm hữu hiệu và hữu
hiệu yếu của bài toán tối ưu đa mục tiêu khơng trơn"
Trình bày các điều kiện cần cho nghiệm hữu hiệu và nghiệm hữu hiệu
yếu của bài toán tối ưu đa mục tiêu với ràng buộc đẳng thức và bất đẳng
thức bằng cơng cụ giải tích biến phân như: Nguyên lý cực trị xấp xỉ, quy
tắc tổng mờ cho vi phân Fréchet, quy tắc tổng cho vi phân giới hạn và
cơng thức vơ hướng hóa đối đạo hàm. Các điều kiện đủ cho nghiệm hữu
hiệu yếu và nghiệm hữu hiệu được trình bày với các giả thiết về tính lồi
suy rộng dưới ngơn ngữ dưới vi phân giới hạn. Các định lý đối ngẫu Wolfe
và Mond - Weir cũng được trình bày trong chương này. Các kết quả được

trình bày trong chương này được tham khảo trong [3], [7], [1].
Luận văn này được thực hiện tại Trường Đại học Khoa học - Đại học
Thái Nguyên và hoàn thành dưới sự hướng dẫn của PGS.TS. Đỗ Văn


3

Lưu. Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới người
hướng dẫn khoa học của mình, người đã đặt vấn đề nghiên cứu, dành
nhiều thời gian hướng dẫn tận tình và đầy trách nhiệm để tác giả hoàn
thành luận văn này.
Tác giả đã học tập được rất nhiều kiến thức chuyên ngành bổ ích cho
công tác và nghiên cứu của bản thân. Nhân dịp này tác giả xin gửi lời
cảm ơn sâu sắc tới các Thầy giáo, Cô giáo đã tham gia giảng dạy lớp Cao
học Tốn K9Y; Nhà trường và các phịng chức năng của Trường; Khoa
Toán - Tin, trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên đã quan
tâm và giúp đỡ tác giả trong suốt thời gian học tập tại trường.
Cuối cùng tác giả xin cảm ơn gia đình, bạn bè và đồng nghiệp đã động
viên, ủng hộ và tạo mọi điều kiện cho tác giả trong suốt thời gian nghiên
cứu và học tập.
Thái Nguyên, ngày 05 tháng 9 năm 2017
Tác giả luận văn

Trần Thị Lan Hương


4

Chương 1

Điều kiện tối ưu và đối ngẫu cho
các nghiệm hữu hiệu chính thường
và cơ lập của bài tốn tối ưu đa
mục tiêu khơng trơn
Chương 1 trình bày các điều kiện cần cho các nghiệm hữu hiệu chính
thường địa phương và cô lập địa phương của T.D. Chuong [2], 2013 cho
bài tốn tối ưu đa mục tiêu có ràng buộc đẳng thức và bất đẳng thức
bằng cách sử dụng công cụ giải tích biến phân và vi phân suy rộng. Các
điều kiện đủ tối ưu được trình bày với các giả thiết về tính lồi suy rộng
dưới ngơn ngữ dưới vi phân giới hạn của hàm Lipschitz địa phương. Các
định lý đối ngẫu Wolfe cũng được trình bày trong chương này.

1.1.

Các định nghĩa và kết quả bổ trợ

Nón cực của Ω ⊂ Rn là tập
Ωo := {v ∈ Rn | v, x

0, ∀ x ∈ Ω}.

(1.1)


5

Cho ánh xạ đa trị F : Rn ⇒ Rn , ta kí hiệu:
Lim sup F (x) := {v ∈ Rn : ∃xn → x và vn → v với vn ∈ F (xn ), ∀n ∈ N}
x→x

là giới hạn trên (ngoài) Painlevé - Kuratowski dãy của F khi x → x.
Một tập Ω ⊂ Rn được gọi là đóng xung quanh x ∈ Ω nếu có một lân
cận U của x sao cho Ω ∩ clU là tập đóng. Ta nói Ω là đóng địa phương
nếu Ω đóng xung quanh x với mọi x ∈ Ω. Cho Ω ⊂ Rn là tập đóng xung
quanh x ∈ Ω. Nón pháp tuyến Fréchet của Ω tại x ∈ Ω được định nghĩa
bởi
N (x, Ω) :=

x∗ , x − x
x ∈ R | Lim sup
≤0 ,
x
−
x
Ω
x−→x
∗

n

(1.2)

Ω

trong đó x −→ x nghĩa là x → x với x ∈ Ω.
Nếu x ∈
/ Ω ta đặt N (x, Ω) = ∅.
Nón pháp tuyến Mordukhovich N (x, Ω) của Ω tại x ∈ Ω nhận được
từ các nón pháp tuyến Fréchet bằng việc lấy giới hạn trên Painlevé Kuratowski dãy như sau
N (x, Ω) := Lim sup N (x, Ω).

Ω

(1.3)

x−→x

Nếu x ∈
/ Ω ta đặt N (x, Ω) := ∅. Đặc biệt, nếu Ω là tập lồi địa phương
xung quanh x, nghĩa là có một lân cận U ⊂ Rn của x sao cho Ω ∩ U là
tập lồi thì ta có
N (x, Ω) := {x∗ ∈ Rn | x∗ , x − x ≤ 0, ∀x ∈ Ω ∩ U }.

(1.4)

Với một hàm giá trị thực mở rộng ϕ : Rn → R := Rn ∪ {∞}, ta đặt
domϕ := {x ∈ Rn | (x) < }
epi := {(x, à) Rn ì R | µ ≥ ϕ(x)}.
Dưới vi phân Modukhovich và dưới vi phân Fréchet của ϕ tại x ∈ domϕ
được định nghĩa tương ứng bởi
∂ϕ(x) := {x∗ ∈ Rn | (x∗ , −1) ∈ N ((x, ϕ(x); epiϕ)}.

(1.5)


6

và
∂ϕ(x) := {x∗ ∈ Rn | (x∗ , −1) ∈ N ((x, ϕ(x); epiϕ)}.

(1.6)

Nếu x ∈
/ domϕ, ta đặt ∂ϕ(x) = ∂ϕ(x) := ∅.
Từ (1.3), (1.5) và (1.6), ta có ∀ x ∈ Rn , ∂ϕ(x) ⊂ ∂ϕ(x). Đặc biệt, nếu
ϕ là hàm lồi thì dưới vi phân được định nghĩa trong (1.5) và (1.6) trùng
với vi phân dưới trong giải tích lồi cổ điển.
Xét hàm chỉ δ(., Ω) được định nghĩa bởi δ(x, Ω) = 0 với x ∈ Ω và
δ(x, Ω) := ∞ nếu x ∈
/ Ω. Ta có một mối quan hệ giữa nón pháp tuyến
Mordukhovich và dưới vi phân Mordukhovich của hàm chỉ như sau (xem
[7]):
N (x, Ω) := ∂δ(x, Ω), ∀ x ∈ Ω.

(1.7)

Dạng không trơn của quy tắc Fermat (xem [7]) rất quan trọng cho nhiều
ứng dụng có thể phát biểu như sau:
Nếu x là cực tiểu địa phương của ϕ thì
0 ∈ ∂ϕ(x) ⊂ ∂ϕ(x).

(1.8)

Trong chương này ta cũng xét dưới vi phân trên Fréchet của ϕ tại x với
|ϕ(x)| < ∞, được định nghĩa bởi
∂ + ϕ(x) := −∂(−ϕ)(x).

(1.9)

Quy tắc tổng cho dưới vi phân Fréchet như sau:
Bổ đề 1.1 [8] Cho ϕi : Rn → R hữu hạn tại x ∈ Rn với i := 1, 2. Nếu

∂ + ϕ2 (x) = ∅ thì
∂ϕ1 (x) + x∗ .

∂(ϕ1 + ϕ2 )(x) ⊂
x∗ ∈∂ + ϕ2 (x)

Bổ đề 1.2 [7] Cho ϕi : Rn → R, i = 1, 2, ..., n, n ≥ 2 là nửa liên tục dưới
quanh x ∈ Rn và tất cả những hàm này, có thể ngoại trừ một hàm là liên


7

tục Lipschitz quanh x. Khi đó,
∂(ϕ1 + ϕ2 + ... + ϕn )(x) ⊂ ∂ϕ1 (x) + ∂ϕ2 (x) + ... + ∂ϕn (x).

1.2.

(1.10)

Điều kiện tối ưu và đối ngẫu cho các nghiệm hữu hiệu
chính thường và cơ lập

Cho Ω là tập con đóng địa phương = ∅ của Rn và cho K := {1, 2, ..., m},
I := {1, 2, ..., p} ∪ ∅, J := {1, 2, ..., q} ∪ ∅ là tập chỉ số. Giả sử rằng
f := (fk ), k ∈ K, g := (gi ), i ∈ I, h := (hj ), j ∈ J là các hàm vectơ với
các thành phần Lipschitz địa phương xác định trong Rn .
Xét bài toán tối ưu đa mục tiêu có ràng buộc sau:
min
{f (x)|x ∈ C}.
m

R+

(1.11)

Tập chấp nhận được C được định nghĩa bởi
C := {x ∈ Ω| gi (x) ≤ 0, i ∈ I, hj (x) = 0, j ∈ J}.

(1.12)

Định nghĩa 1.1 (i) Ta nói x ∈ C là nghiệm hữu hiệu địa phương của
bài toán (1.11) nếu tồn tại một lân cận U của x sao cho
/ −Rm
∀x ∈ U ∩ C, f (x) − f (x) ∈
+ {0}.
(ii) [4] Điểm x ∈ C được gọi là nghiệm hữu hiệu cô lập địa phương của
bài toán (1.11) nếu tồn tại một lân cận U của x và một hằng số ν > 0
sao cho
∀x ∈ U ∩ C, max {fk (x) − fk (x)} ≥ ν x − x .
1≤k≤m

(iii) Điểm x ∈ C được gọi là nghiệm hữu hiệu chính thường địa phương
của bài toán (1.11) nếu tồn tại một lân cận U của x và λ ∈ intRm
+ sao
cho
∀x ∈ U ∩ C, λ, f (x) ≥ λ, f (x) .


8

Ta kí hiệu các tập nghiệm hữu hiệu địa phương, nghiệm hữu hiệu cơ

lập địa phương, nghiệm hữu hiệu chính thường địa phương của bài toán
(1.11) tương ứng là locS(P ), locS iv (P ), locS p (P ). Khi U := Rn ta kí hiệu
các tập nghiệm trên tương ứng S(P ), S iv (P ), S p (P ).
Ta biết rằng (xem [4]), locS iv (P ) ⊂ locS(P ) và locS p (P ) ⊂ locS(P ).
Nhưng bao hàm thức ngược lại không đúng. Chú ý rằng các tập locS iv (P )
và locS p (P ) có thể khác nhau.
Xét hai ví dụ sau:
Ví dụ 1.1 Cho f : R → R2 xác định bởi f (x) := (f1 (x), f2 (x)) với
f1 (x) :=

f2 (x) :=

x,

nếu x ≥ 0,

3x,

nếu x < 0,

−3x,

nếu x ≥ 0,

−x,

nếu x < 0,

và cho g, h : R → R được xác định bởi g(x) := −|x| và h(x) := 0 với
x ∈ R. Ta xét bài toán (1.11) với m = 2, Ω = R. Chọn x = 0 ∈ C = R và

ν = 1 ta có
max{f1 (x) − f1 (x), f2 (x) − f2 (x)} = |x| ≥ ν|x| = ν|x − x|, ∀x ∈ C.
/ locS p (P ). Thật vậy, giả sử ngược
Như vậy x ∈ locS iv (P ). Trong khi x ∈
lại rằng tồn tại một lân cận U của x và điểm (λ1 , λ2 ) ∈ intR2+ sao cho
λ1 f1 (x) + λ2 f2 (x) ≥ 0 = λ1 f1 (x) + λ2 f2 (x), ∀x ∈ U ∩ C.
Điều này tương đương với
λ1 x − 3λ2 x ≥ 0,

nếu x ∈ U ∩ (0, +∞),

3λ1 x − λ2 x ≥ 0,

nếu x ∈ U ∩ (−∞, 0).

Điều này cho ta λ2 ≥ 9λ2 (mâu thuẫn).
Ví dụ 1.2 Cho f : R → R2 được xác định bởi f (x) := (f1 (x), f2 (x))
trong đó


9

f1 (x) := −x4 , f2 (x) := x4 , và cho g, h : R → R xác định bởi g(x) := x−1,
h(x) := 0 với x ∈ R. Ta xét bài toán (1.11) với m = 2, Ω = R. Chọn
1 1
∈ intR2+ , ta có
,
x = 0 ∈ C = (−∞, 1] và λ :=
2 2
1

1
1
1
f1 (x) + f2 (x) = 0 ≥ 0 = f1 (x) + f2 (x), ∀x ∈ C.
2
2
2
2
/ locS iv (P ) với ν > 0.
Điều này cho thấy x ∈ locS p (P ), trong khi đó x ∈
Thật vậy, với v > 0 cố định bất kì, bất đẳng thức
max{f1 (x) − f1 (x), f2 (x) − f2 (x)} = x4 ≥ ν|x| = ν|x − x|.
/ locS iv (P ).
(khơng thỏa mãn ∀x ∈ C gần x). Do đó, x ∈
Với x ∈ Ω, ta đặt I(x) = {i ∈ I| gi (x) = 0} và J(x) = {j ∈ J| hj (x) = 0}.
Định nghĩa 1.2 Ta nói điều kiện chính quy (CQ) được thỏa mãn tại
x ∈ Ω nếu khơng tồn tại µi ≥ 0, i ∈ I(x) và γj ≥ 0 ∈ J(x) sao cho
γj = 0 và

µi +
i∈I(x)

j∈J(x)

µi ∂gi (x) +

0∈
i∈I(x)

γj (∂hj (x) ∪ ∂(−hj )(x)) + N (x, Ω).

j∈J(x)

Khi xét x ∈ C xác định trong (1.12) với Ω = Rn điều kiện (CQ) đã nêu
trên đúng nếu điều kiện chính quy Mangasarian - Fromovitz đúng trong
trường hợp trơn.
Định lý sau đưa ra một điều kiện cần cho nghiệm hữu hiệu cô lập của
bài toán (1.11) dưới định nghĩa trên (CQ).
Định lý 1.1 Cho (CQ) xác định trong Định nghĩa 1.2 thỏa mãn tại x ∈
Ω. Nếu x ∈ locS iv (P ) với ν > 0 nào đó thì
λk ∂fk (x) +

νBRn ⊂
k∈K

µi ∂gi (x)
i∈I

γj (∂hj (x) ∪ ∂(−hj )(x)) |λk ≥ 0, k ∈ K,

+
j∈J

λk = 1,
k∈K

µi ≥ 0, µi gi (x) = 0, i ∈ I, γj ≥ 0, j ∈ J + N (x, Ω).

(1.13)

10

Chứng minh
Lấy x ∈ locS iv (P ). Đặt
ϕ(x) = max {fk (x) − fk (x)} − ν x − x .
1≤k≤m

Xét bài toán tối ưu sau:
min ϕ(x).
x∈C

Do x ∈ locS iv (P ), tồn tại một lân cận U của x sao cho
ϕ(x) ≥ 0 = ϕ(x), ∀x ∈ U ∩ C.

(1.14)

Điều này có nghĩa là x là cực tiểu địa phương của (1.14). Do đó, x là một
cực tiểu địa phương của bài tốn tối ưu hóa vơ hướng khơng có ràng buộc
min ϕ(x) + δ(x, C).

x∈Rn

(1.15)

Áp dụng dạng không trơn của quy tắc Fermat (1.8) cho bài tốn (1.15)
ta có
0 ∈ ∂(ϕ + δ(., C))(x).

(1.16)

Đặt ϕ1 (x) := max {fk (x) − fk (x)} + δ(x, C) và ϕ2 (x) := −k x − x . Khi
1≤k≤m

đó, ϕ + δ(., C) = ϕ1 + ϕ2 . Do (1.16) nên ta có
0 ∈ ∂(ϕ1 + ϕ2 )(x).

(1.17)

Dễ thấy −ϕ2 là hàm lồi nên
∂ + ϕ2 (x) = −∂(−ϕ2 )(x) = ∂(ν ., −x )(x) = νBRn = ∅.
Sử dụng Bổ đề 1.1 và (1.17) ta có
∂ϕ1 (x) + x∗ .

0∈
x∗ ∈νBRn

Điều này dẫn dến νBRn ⊂ ∂ϕ1 (x). Như vậy,
νBRn ⊂ ∂ϕ1 (x) = ∂

max {fk (.) − fk (x)} + δ(., C) (x).

1≤k≤m

(1.18)


11

Vì max {fk (.) − fk (x)} là hàm Lipschitz liên tục quanh x và hàm δ(., C)
1≤k≤m

là nửa liên tục dưới quanh điểm này, từ quy tắc tổng (1.10) áp dụng vào
(1.18), và từ mối quan hệ trong (1.7) ta suy ra
νBRn ⊂ ∂

max {fk (.) − fk (x)} (x) + N (x, C).

1≤k≤m

(1.19)

Đặt Ω := {x ∈ Rn | gi (x) ≤ 0, i ∈ I, hi = 0, j ∈ J}. Ta có C = Ω ∩ Ω.
Điều kiện (CQ) thỏa mãn tại x kéo theo không tồn tại µi ≥ 0, i ∈ I(x)
và γj ≥ 0, j ∈ J(x) = J sao cho
0∈

µi ∂gj (x) +
i∈I(x)

γj = 0 và

µi +
i∈I(x)

j∈J(x)

γj (∂hj (x) ∪ ∂(−hj )(x)).
j∈J(x)

Do đó, từ Mordukhovich [7, Hệ quả 4.36] ta có

N x, Ω ⊂

γj (∂hj (x) ∪ ∂(−hj )(x)) | µi ≥ 0,

µi ∂gj (x)+
i∈I(x)

j∈J(x)

i ∈ I(x), γj ≥ 0, j ∈ J(x) .
Vì điều kiện (CQ) được thỏa mãn tại x, từ [7, Hệ quả 3.37] ta có
N (x, C) = N (x, Ω ∩ Ω) ⊂ N (x, Ω) + N (x, Ω).
Do đó,
N (x, C) ⊂

µi ∂gj (x)+
i∈I(x)

γj (∂hj (x) ∪ ∂(−hj )(x)) | µi ≥ 0,
j∈J(x)
(1.20)
i ∈ I(x), γj ≥ 0, j ∈ J(x) + N (x, Ω).

Bên cạnh đó, sử dụng cơng thức cho dưới vi phân cơ bản của hàm max
(xem [7], Định lý 3.46(ii)) và quy tắc tổng (1.10) ta thu được
∂ max {fk (.) − fk (x)} (x) ⊂
1≤k≤m

(1.21)
λk ∂fk (x)|λk ≥ 0, k ∈ K,

k∈K

λk = 1 .
k∈K


12

Đặt µi = 0 với i ∈
/ I(x), (1.13) được suy ra từ (1.20) - (1.21). Định lý
được chứng minh.
Đinh lí 1.1 có thể sai nếu điều kiện (CQ) khơng thỏa mãn tại điểm
đang xét như trong ví dụ sau:
Ví dụ 1.3 Cho f : R → R2 được xác định bởi f (x) := (f1 (x), f2 (x))
với f1 (x) = f2 (x) = x và cho g, h : R → R được xác định bởi g(x) :=
x2 , h(x) := 0, ∀x ∈ R. Xét bài toán (1.11) với m = 2 và Ω = R. Chú ý
rằng C = {0} và x := 0 ∈ S iv (P ) với ν > 0 bất kì. Dễ thấy rằng điều
kiện (CQ) không thỏa mãn tại x. Khi đó (1.13) khơng thỏa mãn.
Để xây dựng điều kiện đủ cho cực tiểu cơ lập địa phương của bài tốn
(1.11), trong định lý tiếp theo ta nhắc lại một hàm ϕ : Ω ⊂ Rn → R là
hàm lồi địa phương (affine địa phương) tại x ∈ Ω nếu tồn tại một lân cận
U của x sao cho Ω ∩ U là tập lồi và ϕ là hàm lồi (affine) trên Ω ∩ U .
Định lý 1.2 Cho x ∈ C. Giả sử fk , k ∈ K; gi , i ∈ I là hàm lồi địa
phương tại x và hj , j ∈ J là hàm affine địa phương tại x. Nếu x thỏa
mãn (1.13) thì x ∈locS iv (P ).
Chứng minh
Từ giả thiết của định lý, tồn tại một lân cận U của x sao cho U ∩ Ω là
một tập lồi và fk , k ∈ K; gi , i ∈ I là hàm lồi trên U ∩ Ω và hj , j ∈ J là
hàm affine trên U ∩ Ω. Chú ý rằng với ∀ z ∈ Rn , z = max (z ∗ , z). Do
đó, tồn tại z ∈ BRn sao cho z = z , z .

∗

∗

z∈BRn

Lấy bất kì x ∈ U ∩ C, tồn tại z ∗ ∈ BRn sao cho
(1.22)

x − x = x∗ , x − x .
Vì x ∈ C thỏa mãn (1.13) nên tồn tại λk ≥ 0, k ∈ K với
k∈K

∂fk (x), k ∈ K, µi ≥ 0,

x∗i

λk = 1, zk∗ ∈

∈ ∂gi (x) với µi gi (x) = 0, i ∈ I, γj ≥ 0, yi∗ ∈


13

∂hj (x) ∪ ∂(−hj )(x), j ∈ J sao cho
vx∗ −

λk zk∗ +

µi x∗i +

i∈I

k∈K

γj yj∗

∈ N (x, Ω).

i∈J

Từ (1.4) suy ra
µi x∗i , x − x

λk zk∗ , x − x +

ν x∗ , x − x −

i∈I

k∈K

γj yj∗ , x − x

+

(1.23)
≤ 0.

i∈J

Từ tính chất lồi địa phương của fk , gi và tính chất affine địa phương của
hj ta có
µi x∗i , x − x +

λk zk∗ , x − x +
i∈I

k∈K

≤

i∈J

λk [fk (x) − fk (x)] +

j∈J

µi [gi (x) − gi (x)]
i∈I

k∈K

+

γj yj∗ , x − x

1
γj [hj (x) − hj (x)] ≤
ωj

(1.24)

λk [fk (x) − fk (x)],
k∈K

trong đó ωj ∈ {−1, 1} và bất đẳng thức sau đúng vì
µi gi (x) = 0, µi gi (x) ≤ 0, i ∈ I và hj (x) = 0, hj (x) = 0, j ∈ J.
Kết hợp (1.22) với (1.23) và (1.24) ta nhận được
ν x−x ≤

λk [fk (x) − fk (x)].
k∈K

Hơn nữa,
λk [fk (x)−fk (x)] ≤
k∈K

λk max {fk (x)−fk (x)} = max {fk (x)−fk (x)}.
k∈K

1≤k≤m

1≤k≤m

Nên
ν x − x ≤ max {fk (x) − fk (x)}.
1≤k≤m

Suy ra x ∈ locS iv (P ) vì x bất kì trong U ∩ C.
Ví dụ tiếp theo chỉ ra rằng tính lồi địa phương của hàm mục tiêu f tại

điểm x trong Định lý 1.2 là rất quan trọng. Cụ thể là, một điểm khả thi


14

x thỏa mãn (1.13) không cần thiết là cực tiểu cơ lập của bài tốn (1.11)
nếu khơng có tính lồi địa phương của f tại x.
Ví dụ 1.4 Cho f : R → R2 được xác định bởi f (x) := (f1 (x), f2 (x)) với

 x2 sin 1 ,
nếu x = 0,
x
f1 (x) = f2 (x) :=
 0,
nếu x = 0,

và gọi g, h : R → R được xác định bởi g(x) := x − 1 và h(x) := 0 với

x ∈ R. Xét bài toán (1.11) với m = 2, Ω = R thì C = (−∞, 1]. Chú ý rằng
f1 , f2 là Lipschitz địa phương tại x = 0 ∈ C và ∂f1 (x) = ∂f2 (x) = [−1, 1].
/ locS iv (P ), do f1 , f2
Ta thấy x thỏa mãn (1.13) ∀ ν ∈ (0, 1]. Tuy nhiên, x ∈
không lồi địa phương tại x.
Định lý sau đây trình bày điều kiện cần cho nghiệm hữu hiệu chính
thường địa phương của bài tốn (1.11) với điều kiện (CQ) như trong Định
nghĩa 1.2.
Định lý 1.3 Giả sử điều kiện (CQ) thỏa mãn tại x ∈ Ω. Nếu x ∈
loc S p (P ) thì tồn tại λk > 0, k ∈ K, µi ≥ 0, i ∈ I và γj ≥ 0, j ∈ J
sao cho
0∈

λk ∂fk (x) +

µi ∂gi (x)
i∈I

k∈K

γj (∂hj (x) ∪ ∂(−hj )(x)) + N (x, Ω),

+

(1.25)

j∈J

µi gi (x) = 0, i ∈ I.
Chứng minh
Giả sử x ∈ locS p (P ). Khi đó tồn tại một lân cận U của x và λ :=
(λ1 , ...λm ) ∈ int Rm
+ sao cho
λk [fk (x) − fk (x)] ≥ 0, ∀x ∈ U ∩ C.
k∈K

Điều đó có nghĩa là x là một cực tiểu địa phương của bài toán tối ưu


15

khơng có ràng buộc sau:

min θ(x),
x∈C

trong đó
θ(x) =

λk fk (x).

(1.26)

k∈K

Như vậy, x là cực tiểu địa phương của bài toán tối ưu không ràng buộc
sau
min θ(x) + δ(x, C).

x∈Rn

(1.27)

Áp dụng dạng không trơn của quy tắc Fermat (1.8) cho bài tốn (1.27)
ta có
0 ∈ ∂(θ + δ(., C))(x).

(1.28)

Vì θ là Lipschitz địa phương tại x và δ(., C)) là nửa liên tục dưới quanh
x, từ (1.10) và (1.7), ta có
0 ∈ ∂θ(x) + ∂δ(x, C)) = ∂θ(x) + N (x, C).

(1.29)

Tương tự chứng minh của Định lý 1.3 ta nhận được
µi ∂gi (x)+

N (x, C) ⊂
i∈I(x)

γj (∂hj (x) ∪ ∂(−hj )(x))| µi ≥ 0,
j∈J(x)
(1.30)
i ∈ I(x), γi ≥ 0, j ∈ J(x) + N (x, Ω).

Áp dụng quy tắc tổng (1.10), từ (1.30) ta nhận được
λk ∂fk (x) +

0∈
k∈K

µi ∂gi (x) +
i∈I

γj (∂hj (x) ∪ ∂(−hj (x))
j∈J

(1.31)

+ N (x, Ω), µi ≥ 0, i ∈ I(x), γi ≥ 0, j ∈ J(x).
Lấy µi = 0, i ∈ I(x) trong (1.31) ta nhận được (1.25). Định lý được
chứng minh.

16

Nhận xét 1.1 Như đã chỉ ra trong Ví dụ 1.3, kết quả của Định lý 1.3 có
thể khơng đúng nếu điều kiện (CQ) khơng thỏa mãn.
Để trình bày điều kiện đủ cho nghiệm hữu hiệu chính thường tồn cục
của bài toán (1.11) trong định lý tiếp theo ta cần khái niệm lồi bất biến
vô hạn (suy rộng) cho hàm Lipschitz địa phương.
Định nghĩa 1.3 Ta nói (f, g, h) là L - lồi bất biến trên Ω tại x ∈ Ω
nếu ∀x ∈ Ω, zk∗ ∈ ∂fk (x), k ∈ K, x∗i ∈ ∂gi (x), i ∈ I và yj∗ ∈ (∂hj (x) ∪
∂(−hj )(x)), j ∈ J thì tồn tại v ∈ N (x, Ω)o sao cho
fk (x) − fk (x) ≥ zk∗ , v , k ∈ K,
gi (x) − gi (x) ≥ x∗i , v , i ∈ I,
hj (x) − hj (x) = ωj yj∗ , v , j ∈ J.
trong đó ωj = 1 (tương ứng ωj = −1) với yj∗ ∈ ∂hj (x) (tương ứng
yj∗ ∈ ∂(−hj )(x).)
Chú ý rằng nếu Ω lồi, fk , k ∈ K, gi , i ∈ I lồi và hj , j ∈ J là affine thì
(f, g, h) là L - lồi bất biến trên Ω tại ∀x ∈ Ω với v = x − x, x ∈ Ω.
Định lý 1.4 Cho x ∈ C và giả sử (f, g, h) là L - lồi bất biến trên Ω tại
x. Nếu x thỏa mãn (1.25) thì x ∈ S p (P ).
Chứng minh
Giả sử tồn tại λk > 0, k ∈ K, µi ≥ 0, i ∈ I và γj ≥ 0, j ∈ Ω thỏa mãn
(1.25). Khi đó, tồn tại zk∗ ∈ ∂fk (x), k ∈ K, x∗i ∈ ∂gi (x) với µi gi (x) =
0, i ∈ I và yj∗ ∈ (∂hj (x) ∪ ∂(−hj )(x)), j ∈ J sao cho


−

λk zk∗ +

k∈K

µi x∗i +

i∈I

j∈J

γj yj∗  ∈ N (x, Ω).

(1.32)

Do tính chất L - lồi bất biến của (f, g, h) trên Ω tại x, với mỗi x ∈ Ω ta
có v ∈ N (x, Ω)o sao cho


17

k∈K

λk zk∗ , v +

i∈I

µi x∗i , v +

j∈J

λk [fk (x) − fk (x)] +

≤

γj yj∗ , v

µi [gi (x) − gi (x)] +
i∈I

k∈K

j∈J

1
γj [hj (x) − hj (x)],
ωj

trong đó ωj ∈ {−1, 1}. Từ định nghĩa của nón cực (1.1), từ (1.32) và
v ∈ N (x, Ω)o ta suy ra
λk zk∗ , v +

0≤

µi x∗i , v +
i∈I

k∈K

γj yj∗ , v
j∈J

Vì vậy,
µi gi (x)+

λk fk (x)+
i∈I

k∈K

λk fk (x)+

σj hj (x) ≤
j∈J

µi gi (x)+
i∈I

k∈K

σj hj (x),
j∈J

γj
∈ R, j ∈ J. Chú ý rằng µi gi (x) = 0, i ∈ I và hj (x) =
ωj
0, j ∈ J. Do đó, khi x ∈ C,
trong đó σj =

λk fk (x) =
k∈K

λk fk (x) +

µi gi (x) +
i∈I

k∈K

≤

j∈J

λk fk (x) +

≤

µi gi (x) +
i∈I

k∈K

σj hj (x)
σj hj (x)
j∈J

λk fk (x).
k∈K

Từ đó suy ra x ∈ S p (P ). Định lý được chứng minh.
Một điểm thỏa mãn (1.25) không nhất thiết là nghiệm hữu hiệu chính
thường của bài tốn (1.11) thậm chí cả trong trường hợp trơn nếu tính

chất L - lồi bất biến trên Ω tại điểm x của (f, g, h) khơng đúng. Điều đó
được minh họa bởi ví dụ sau.
Ví dụ 1.5 Cho f : R → R2 được xác định bởi f (x) := (f1 (x), f2 (x))
với f1 (x) = f2 (x) := x3 và cho g, h : R → R được xác định bởi g(x) :=
−x4 , h(x) := 0, ∀x ∈ R. Xét bài toán (1.11) với m := 2 và Ω := R. Khi
đó, C = R, và do đó x = 0 ∈ C. Ta thấy rằng x thỏa mãn (1.25). Tuy
/ S p (P ).
nhiên, x ∈


18

1.3.

Đối ngẫu cho nghiệm hữu hiệu chính thường

Với z ∈ Rn , λ := (λk ), λk > 0, k ∈ K, µ := (µi ), µi ≥ 0, i ∈ I, ta đặt
f (z, λ, µ, γ) := f (z) + µ, g(z) e + γ, h(z) e,
trong đó e := (1, 1, ..., 1) ∈ Rm . Với bài tốn tối ưu đa mục tiêu có ràng
buộc (P) cho trong (1.11) ta xét bài toán đối ngẫu đa mục tiêu Dw theo
nghĩa Wolfe
(1.33)

max
{f (z, λ, µ, γ)| (z, λ, µ, γ) ∈ Cw }.
m
R+

Tập chấp nhận được Cw được xác định bởi
Cw := (z, λ, µ, γ)| 0 ∈

λk ∂fk (z) +
k∈K

+

µi ∂gi (z)
i∈I

γj (∂hj (z) ∪ ∂(−hj (z)) + N (z, Ω), λ, e = 1,

(1.34)

j∈J

h(z) ∈ (γ − S(0, γ ))o .
trong đó z ∈ Ω, λ := (λk ), λk > 0, k ∈ K, µ := (µi ), µi ≥ 0, i ∈ I, γ :=
(γj ), γj ≥ 0, j ∈ J và S(0, γ ) := {σ := (σj ), σj ∈ R, j ∈ J| σ =
γ }.
Chú ý rằng một nghiệm hữu hiệu địa phương (tương ứng nghiệm hữu
hiệu chính thường địa phương) của bài toán đối ngẫu (1.33) được định
nghĩa tương tự như trong định nghĩa (1.11) bằng việc thay −Rm
+ (tương
m
m
ứng intRm
+ ) bởi R+ (tương ứng -intR+ ). Tập các nghiệm hữu hiệu (tương

ứng nghiệm hữu hiệu chính thường) của bài tốn (1.33) được kí hiệu bởi
S(Dw ) (tương ứng S p (Dw )).

Để thuận tiện, ta sử dụng kí hiệu:
u

v ⇔ u − v ∈ −Rm
+ \ {0}, u

v là phủ định của u

v.

Định lý sau miêu tả quan hệ đối ngẫu yếu giữa bài toán cơ sở (P) trong
(1.11) và bài toán đối ngẫu Dw trong (1.33).


19

Định lý 1.5 (Đối ngẫu yếu) Giả sử x ∈ C và (z, λ, µ, γ) ∈ Cw . Nếu
(f, g, h) là L - lồi bất biến trên Ω tại z, thì
f (x)

f (z, λ, µ, γ).

Chứng minh
Vì (z, λ, µ, γ) ∈ Cw , tồn tại λ := (λk ), λk > 0, zk∗ ∈ ∂fk (z), k ∈
K, µ = µi , µi ≥ 0, x∗i ∈ ∂gi (z), i ∈ I và γ := (γj ), γj ≥ 0, yj∗ ∈ ∂hj (z) ∪
∂(−hj )(z), j ∈ J sao cho

−

λk zk∗ +

k∈K

µi x∗i +
i∈I

j∈J



γj yj∗  ∈ N (z, Ω).

λ, e = 1, γ − σ, h(z) ≤ 0, ∀σ = (σj ), σj ∈ R, j ∈ J,
σ = γ .

(1.35)

(1.36)

Giả sử ngược lại,
f (x)

(1.37)

f (z, λ, µ, γ).

Do λ ∈ int Rm
+ , ta có λ, f (x) − f (z, λ, µ, γ) < 0. Điều này tương đương
với bất đẳng thức sau
λ, f (x) − f (z) − µ, g(z) − γ, h(z) < 0.

(1.38)

Do tính chất L - lồi bất biến của (f, g, h) trên Ω tại z, với mỗi x như vậy
tồn tại v ∈ N (z, Ω)o sao cho
k∈K

λk zk∗ , v +

≤

i∈I

µi x∗i , v +

j∈J

λk [fk (x) − fk (z)] +

γj yj∗ , v

µi [gi (x) − gi (z)] +
i∈I

k∈K

j∈J

1
γj [hj (x) − hj (z)],

ωj

trong đó ωj ∈ {−1, 1}. Từ định nghĩa của nón cực (1.1), từ (1.34) và
v ∈ N (z, Ω), ta suy ra
λk zk∗ , v +

0≤
k∈K

µi x∗i , v +
i∈I

γj yj∗ , v .
j∈J


20

Như vậy, bằng cách đặt σj :=

γj
∈ R, j ∈ J, ta có
ωj

0 ≤ λ, f (x) − f (z) + µ, g(x) − g(z) + σ, h(x) − h(z)

(1.39)

trong đó σ = (σj ), j ∈ J. Do x ∈ C, ta suy ra µ, g(x) ≤ 0 và σ, h(x) =
0. Vì vậy, (1.39) trở thành

0 ≤ λ, f (x) − f (z) − µ, g(z) − σ, h(z) .

(1.40)

Chú ý rằng σ = γ , do σj = γj , với mọi j ∈ J. Kết hợp (1.36),
(1.38), (1.40) ta đi đến mâu thuẫn. Định lý được chứng minh.
Ví dụ sau chỉ ra rằng tính chất L - lồi bất biến của (f, g, h) trên Ω ở
định lý trên khơng thể bỏ được.
Ví dụ 1.6 Cho f : R → R2 được xác định bởi f (x) := (f1 (x), f2 (x)) với
f1 (x) = f2 (x) := x5 . và gọi g, h : R → R được xác định bởi g(x) := −|x|
và h(x) := x2 + x với x ∈ R. Xét bài tốn (1.11) với m = 2, Ω = R. Khi
đó, C = {−1, 0} và ta lấy x = −1 ∈ C.
1 1
,
,
2 2
µ = 1 và γ = 1 ta có (z, λ, µ, γ) ∈ Cw . Ta thấy (f, g, h) không là L - lồi
Xét bài toán đối ngẫu Dw trong (1.33). Chọn z = 0 ∈ Ω, λ =

bất biến trên Ω tại x. Khi đó,
f (x) = (−1, −1)

(0, 0) = f (z, λ, µ, γ) .

Nhận xét 1.2 Không như những kết quả trước về đối ngẫu trong tối ưu
đa mục tiêu, ở đây tồn tại quan hệ
h(z) ∈ (γ − S(0, γ ))o

(1.41)

trong biểu diễn của tập ràng buộc Cw của bài tốn đối ngẫu trong (1.34).
Quan hệ này khơng xuất hiện trong những bài tốn xuất phát mà khơng
có ràng buộc đẳng thức, nghĩa là J = ∅. Với các bài toán xuất phát bao
gồm các điều kiện ràng buộc đẳng thức, quan hệ (1.41) tự động thỏa mãn


21

nếu h = 0. Tuy nhiên, quan hệ đã nói trên là một điều kiện có sẵn của
bài tốn với h = 0.
Định lý tiếp theo trình bày một quan hệ đối ngẫu mạnh giữa bài toán
xuất phát (P) trong (1.11) và bài toán đối ngẫu (Dw ) trong (1.33).
Định lý 1.6 (Đối ngẫu mạnh) Giả sử x ∈ locS p (P ) sao cho điều kiện
(CQ) xác định trong Định nghĩa 2.1 thỏa mãn tại điểm này. Khi đó, tồn
tại λ = (λk ), λk > 0, k ∈ K, µ = (µi ), µi ≥ 0, i ∈ I, γ = (γ j ), γ j ≥
0, j ∈ J sao cho (x, λ, µ, γ) ∈ Cw và f (x) := f (x, λ, µ, γ). Hơn nữa,
nếu (f, g, h) là L - lồi bất biến trên Ω tại mọi z ∈ Ω, thì (x, λ, µ, γ) ∈
S(Dw ).
Chứng minh
Theo Định lý 1.3, x thỏa mãn (1.25) nghĩa là tồn tại λk > 0, k ∈
K, µi ≥ 0, i ∈ I và γj ≥ 0, j ∈ J sao cho
0∈

λk ∂fk (x)+

µi ∂gi (x) +
i∈I

k∈K

γj (∂hj (x) ∪ ∂(−hj )(x))
(1.42)

j∈J

+ N (x, Ω), µi gi (x) ≥ 0, i ∈ I.
Đặt
λk :=

λk
k ∈ K,
λk
k∈K

µi :=

µi
, i ∈ I,
λk

γ j :=

k∈K

γj
, j∈J
λk
k∈K

ta có λ = (λk ), λk > 0, k ∈ K, λ, e = 1, µ := (µi ), µi ≥ 0, i ∈ I

và γ = (γ j ), γ j > 0, j ∈ J. Hơn nữa, khẳng định (1.42) cũng đúng
khi λk , µi , γj được thay lần lượt tương ứng bởi λk , µi , γ j . Hơn nữa, vì
x ∈ C nên hj (x) = 0, ∀j ∈ J. Từ đó suy ra γ j − σ, h(x) = 0 ∀σ =
(σj ), σj ∈ R, j ∈ J với σ = γ , nghĩa là h(x) ∈ (γ − S(0, γ ))o . Vì
vậy, x, λ, µ, γ) ∈ Cw . Vì µ, g(x) = γ, h(x) = 0 nên
f (x) = f (x) + µ, g(x) e + γ, h(x) e = f (x, λ, µ, γ) .

(1.43)

Giả sử (f, g, h) là L - lồi bất biến trên Ω với mọi z ∈ Ω. Sử dụng kết quả


22

đối ngẫu yếu trong Định lý 1.5 ta khẳng định f (x)

f (z, λ, µ, γ), ∀ (z, λ, µ, γ) ∈

Cw . Từ đó và (1.43) ta suy ra (x, λ, µ, γ) ∈ S(Dw ).
Cần phải nói rằng điều kiện (CQ) ở định lý trên đóng một vai trị quan
trọng. Nếu x là nghiệm hữu hiệu chính thường địa phương của bài toán
xuất phát mà điều kiện (CQ) khơng thỏa mãn, ta có thể khơng tìm đươc
bộ ba (λ, µ, γ) như mơ tả trong Định lý 1.6 sao cho (x, λ, µ, γ) thuộc
tập chấp nhận được của bài toán đối ngẫu. Trong trường hợp này, tất
nhiên ta khơng có quan hệ đối ngẫu mạnh. Để thấy điều này, ta xem lại
Ví dụ 1.3.
Nhận xét 1.3 Kết quả đối ngẫu mạnh trong Định lý 1.6 không xuất hiện
một cách thơng thường. Đó là, nghiệm của bài tốn đối ngẫu khơng là
nghiệm hữu hiệu chính thường, chỉ là nghiệm hữu hiệu, mặc dù nghiệm
của bài toán xuất phát là nghiệm hữu hiệu chính thường. Ví dụ sau chỉ

ra nói chung ta khơng thể thu được nghiệm hữu hiệu chính thường cho
bài tốn đối ngẫu, kể cả trong trường hợp lồi. Tuy nhiên, với một số giả
thiết thêm, ta có thể thu được nghiệm hữu hiệu chính thường cho bài
tốn đối ngẫu.
Ví dụ 1.7 Cho f : R → R2 được xác định bởi f (x) := (f1 (x), f2 (x)),
trong đó f1 (x) := x, f2 (x) := −x. và g : R → R được xác định bởi
g(x) = x − 1 với x ∈ R. Xét bài toán (1.11) với m = 2, Ω = R, I =
{1}, J = ∅ thì C = (−∞, 1] và chọn x = 0 ∈ C. Suy ra x := 0 ∈ S p (P ),
1
1
vì f1 (x) + f2 (x) = 0, ∀ x ∈ C.
2
2
Xét bài toán đối ngẫu (Dw ) trong (1.33). Tập ràng buộc
Cw := {(z, λ, µ) | λ1 − λ2 + µ = 0, λ1 + λ2 = 1},
trong đó z ∈ R, λ := (λ1 , λ2 ), λ1 > 0, λ2 > 0, µ ≥ 0. Hàm mục tiêu
f (z, λ, µ) := (f1 (z, λ, µ), f2 (z, λ, µ))
với f1 (z, λ, µ) := z + µ(z − 1) và f2 (z, λ, µ) := −z + µ(z − 1). Ta