Đề tài Sử dụng phương pháp véctơ và tọa độ giải một số bài toán sơ cấp thường gặp

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Vũ Thị Xuân THPT Trần Hưng Đạo. Saùng kieán kinh nghieäm. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NINH BÌNH TRƯỜNG THPT TRẦN HƯNG ĐẠO.  S¸ng kiÕn kinh nghiÖm. SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP VÉCTƠ VAØ TỌA ĐỘ GIẢI MỘT SỐ BAØI TOÁN SƠ CẤP THƯỜNG GẶP. Giáo viên: Vũ Thị Xuân Tổ: Toán Trường: THPT Trần Hưng Đạo. Ninh bình – Tháng 04 năm 2010 Trang 1 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Vũ Thị Xuân THPT Trần Hưng Đạo. Saùng kieán kinh nghieäm. A. ĐẶT VẤN ĐỀ: Dựa vào phương pháp toạ độ do chính mình phát minh Descartes đã sáng lập ra môn hình học giải tích .Qua đó cho phép chúng ta nghiên cứu hình học bằng ngôn ngữ đại số thay cho ngôn ngữ hình học.Việc này giúp ta bỏ đi thói quen tư duy cụ thể, trực quan, nhằm đạt tới đỉnh cao của sự khái quát hoá và trừu tượng của toán học và nhiều lĩnh vực khác. Trong dạy và học toán việc lựa chọn công cụ phù hợp để giải các bài toán là việc làm rất cần thiết, chọn được công cụ thích hợp tất nhiên lời giải sẽ tốt nhất. Sau đây tôi xin trình bày việc sử dụng“phương pháp vectơ và toạ độ” để giải một số bài toán sơ cấp ơ’ phổ thông.. B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ PHAÀN I: LYÙ THUYEÁT I. HỆ TRỤC TOẠ ĐỘ DESCARTES VUÔNG GÓC TRONG MẶT PHẲNG. 1. Định nghĩa: Trong mặt phẳng cho hai đường thẳng x’ox, y’oy vuông góc với   nhau.Trên Ox, Oy lần lượt chọn các véc tơ đơn vị e1 , e2 .Như vậy ta có một hệ trục toạ độ Descartes vuông góc Oxy. 2. Toạ độ của một điểm và của một véc tơ: Cho điểm M trong mp Oxy. Hạ MH vuoâng goùc x’Ox vaø MK vuoâng goùc y’Oy. Theo qui taéc hình bình haønh, ta coù:.    OM  OH   OK   xe1  ye2. Bộ hai (x, y) được hoàn toàn xác định bởi điểm M và được gọi là toạ độ của ñieåm M, kyù hieäu M(x, y).    Cho a trên hệ trục. Khi đó tồn tại duy nhất một điểm M sao cho OM  a . Gọi  (x,y) là toạ độ của điểm M . Khi đó bộ hai (x,y) gọi là toạ độ của véc tơ a trên hệ trục Oxy  vaø kyù hieäu laø a = (x,y). 3. Caùc pheùp tính veùc tô :   Cho hai véc tơ a  (a1 , a2 ) ; b  (b1 , b2 ) và k là một số thực. Các phép tính véc tơ như phép cộng, phép trừ, phép nhân một số với một véctơ, tích vô hướng hai véc tơ được xác định như sau:. Trang 2 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Vũ Thị Xuân THPT Trần Hưng Đạo. Saùng kieán kinh nghieäm  . a  b  (a1  b1 , a2  b2 ) . . a  b  (a1  b1 , a2  b2 )  k.a  (ka1 , ka1 )  . a.b  a1b1  a2b2 4. Các công thức về lượng :   Cho hai véc tơ a  (a1 ; a2 ) ; b  (b1 ; b2 ) và gọi  là góc tạo bởi hai véctơ đó       a.b  a . b khi và chỉ khi a và b là hai véctơ cùng hướng  . a1.b1  a2 .b2 a.b cos      2 ab a1  a2 2 . b12  b2 2. Khoảng cách từ điểm M(x0, y0) đến đường thẳng (D):Ax +By +C = 0 là :. d ( M , D) . Axo  Byo  C A2  B 2. 5. Phương trình của đường thẳng, đường tròn . * Phương trình của đường thẳng (D) đi qua điểm M(x0, y0) và nhận véctơ  n  ( A, B) laøm veùc tô phaùp tuyeán laø: A(x – x0) + B(y – y0) = 0 * Phương trình đường tròn tâm I (a, b) bán kính R là: (x – a)2 + (y – b)2 = R 2 II.HỆ TRỤC TOẠ ĐỘ DESCARTES VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN. 1. Ñònh nghóa : Trong không gian cho ba đường thẳng x’ox, y’oy, z’Oz vuông góc với nhau    đôi một. Trên Ox, Oy, Oz lần lượt chọn các véc tơ đơn vị e1 , e2 , e3 . Như vậy ta có một hệ trục toạ độ Descartes vuông góc Oxyz. 2. Toạ độ của một điểm và của một véc tơ. Cho ñieåm M trong kh oâng gian Oxyz. Haï MH vuoâng goùc x’Ox, MK vuoâng goùc y’Oy vaø ML vuoâng goùc z’Oz. Theo qui taéc hình hoäp, ta coù :    . OM  OH  OK  OL     xe1  ye2  ze3. Bộ ba (x,y,z) được hoàn toàn xác định bởi điểm M và được gọi là toạ độ của điểm M, ký hiệu M(x,y,z). Trang 3 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> Saùng kieán kinh nghieäm Vũ Thị Xuân THPT Trần Hưng Đạo    Cho a . Khi đó tồn tại duy nhất một điểm M sao cho OM  a . Gọi (x, y. z) là  toạ độ của điểm M. Khi đó bộ ba (x, y, z) gọi là toạ độ của véc tơ a trên hệ trục Oxyz và ký  hieäu laø a = (x,y,z). 3. Caùc pheùp tính veùc tô :   Cho hai véc tơ a  (a1 , a2 , a3 ) ; b  (b1 , b2 , b3 ) và k là một số thực. Các phép tính vectơ như phép cộng, phép trừ, phép nhân một số với một vectơ, tích vô hướng, tích có hướng hai vectơ được xác định như sau:  . a  b  (a1  b2 , a2  b2 ) . . a  b  (a1  b1 , a2  b2 )  k.a  (ka1 , ka1 )  . a.b  a1b1  a2b2   a a a a aa  a.b   ( 2 3 , 3 1 , 1 2 )   b2 b3 b3 b1 b1 b2 4. Các công thức về lượng :   Cho hai vectơ a  (a1 , a2 , a3 ) ; b  (b1 , b2 , b3 ) và gọi  là góc tạo bởi hai vectơ đó       a.b  a . b khi và ch ỉ khi a và b là hai vectơ cùng hướng  . a1.b1  a2 .b2  a3.b3 a.b cos      2 ab a1  a2 2  a32 . b12  b2 2  b32.  Cho (D) là đường thẳng đi qua A và có vectơ chỉ phương a  (a1, a2 , a3 ) và điểm  M. Giả sử ta tính được AM  (b1,b2 , b3 ) Khi đó khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng (D) được tính là :. a2 a3. d ( M , D) . 2. 2. a a aa  3 1  1 2 b2 b3 b3 b1 b1 b2. 2. a12  a2 2  a32. 5. Phương trình của mặt phẳng, đường thẳng và mặt cầu. a. Phöông trình cuûa maët phaúng (P) ñi qua ñieåm M(x0,y0,z0) vaø coù caëp vectô chæ  phöông a  (a1 , a2 , a3 ) ; b  (b1 , b2 , b3 ) laø :. . a2 a3 a a aa ( x  x0 )  3 1 ( y  y0 )  1 2 ( z  z0 )  0 b2 b3 b3 b1 b1 b2 b. Phương trình tham số của đường thẳng (D) đi qua điểm M(x0,y0,z0) v à nhận vectô a  (a1 , a2 , a3 ) laøm vectô chæ phöông laø:. . Trang 4 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> Vũ Thị Xuân THPT Trần Hưng Đạo. Saùng kieán kinh nghieäm.  x  x0  a1t   y  y0  a2t z  z  a t 0 3 . (t laø tham soá). c. Phöông trình maët caàu t aâm I (a, b,c) vaø coù baùn kính R laø : (x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = R 2. PHAÀN II :. CÁC BAØI TOÁN. A. CÁC BAØI TOÁN TRONG ĐẠI SỐ: Bài 1: Cho 4 số thực x1, x2, x3, x4. chứng minh rằng (x12 +y12)(x22 +y22)  (x1 x2+ y1 y2)2 Giaûi:   Trên mặt phẳng toạ độ xét 2 vectơ : a  ( x1 , y1 ); b  ( x2 , y2 )      2  2   2 Ta coù. a b  a.b  a b  (a.b). vaäy (x12 +y12) (x22 +y22)  (x1 x2+ y1 y2)2   đẳng thức xãy ra  a // b  x1 y2  x2 y1 Bài 2: Chứng minh rằng nếu x, y, z > 0 thì. x 2  xy  y 2  x 2  xz  z 2  y 2  yz  z 2 Giaûi Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:. y 3 2 z 3 2 y z 3 3 2 ( x  )2  ( y )  ( x  )2  ( z )  (  )2  ( y z ) (1) 2 2 2 2 2 2 2 2 Xeùt 3 ñieåm A( x . y. ,. 3 3 3 y z z ) ; B(0, y  z ) ; C (  ,0) 2 2 2 2 2. 2 (1)  AB + AC > BC Ta có AB  AC  BC với 3 điểm A, B, C bất kỳ ở đây   y 3 y)  AB  ( x  ,  2 2   z 3   AC  ( x  ,  z )  2 2 Hai véctơ này không thể ngược hướng (vì hoành độ cùng âm) do đó không thể xãy ra đẳng thức AB + AC > BC.. Trang 5 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> Vũ Thị Xuân THPT Trần Hưng Đạo. Saùng kieán kinh nghieäm Vậy bất đẳng thức (1) được chứng minh. Baøi 3 Giaûi baát phöông trình:. x  1  x  3  2( x  3) 2  2 x  2(1). Giaûi Ñieàu kieän x  1 Xét mặt phẳng toạ độ Oxy các vectơ:  u  ( x  3, x  1)  v  (1,1)   u  ( x  3) 2  x  1    v  3   u.v  x  1  x  3     Suy ra baát phöông trình (1) töông ñöông u.v  u . v    u  v.  x  3  x 1  x2  6x  9  x 1  x  3  x 2  7 x  10  0  x  3  x  5     x  2 x  3   x5. Vaäy x=5 laø nghieäm duy nhaát. Baøi 4 Chứng minh rằng:. cos 4 x  1  sin 4 x  1  cos 2 x , x  R Giaûi. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, các vectơ:.  a  (cos 2 x,1)    a  b  (cos 2 x,0)  2 b  (sin x,1). Khi đó, từ.     a  b  a b. . cos 4 x  1  sin 4 x  1  cos 2 x  (dpcm). Baøi 5 Tìm giaù trò nhoû nhaát cuûa haøm soá: Trang 6 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> Vũ Thị Xuân THPT Trần Hưng Đạo. Saùng kieán kinh nghieäm. y  f ( x)  cos 2 x  2cos x  5  cos 2 x  4cos x  8 Giaûi Trong mặt phẳng toạ độ xét các véctơ:.  a  (1  cos x,2)  b  (2  cos x,2).   a  (1  cos x) 2  22  cos x 2  2cos x  5   2 2 2 Khi đó :  b  (2  cos x)  2  cos x  4cos x  8    a  b  32  42  5      a  b  ab từ <=> y  5 Daáu “=” xaûy ra (chaúng haïn) taïi x . 2 3. Vaäy miny=5 Bài 6 : T ìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức. y  x 2  2 px  2 p 2  x 2  2qx  2q 2 ( p  q) Gi aûi Ta c où. y  ( x  p)2  p 2  ( x  q)2  q 2. Trên mp toạ độ lấy hai điểm A(p, q) : B(q,q). Bài toán trở thành: Tìm M(x,0) thuộc Ox sao cho (MA +MB) đạt giá trị nhỏ nhất. Xét hai trường hợp: - Nếu pq <0 thì A hoặc B trùng O, hoặc A,B nằm về hai phía đối với O .Khi đó (MA + MB) nhỏ nhất  M trùng O, tức là ymin  2 p 2  2q 2  2( p  q ) đạt được khi x = 0 - Nếu pq >0 thì A, B nằm cùng phía đối với O (đồng thời nằm cùng phía đối với Ox). Lấy A’ đối xứng với A qua Ox ta có A’(p, -p), đồng thời : MA  MB  MA ' MB  A ' B Đẳng thức xãy ra  A’, M, B thẳng hàng. Trang 7 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> Saùng kieán kinh nghieäm . Vũ Thị Xuân THPT Trần Hưng Đạo .  x  p  k (q  p ).  A' M  k A' B  .  p  k (q  p ). y. p  k  p  q    x  2 pq  pq. B A x. ymin  A ' B  ( p  q)2  ( p  q)2  2( p 2  q 2 ). O. đạt được khi x = 2pq/(p+q). M A ’. Baøi 7 Giaûi phöông trình:. x 2  2 x  2  4 x 2  12 x  25  9 x 2  12 x  29 Giaûi Trong mặt phẳng toạ độ Oxy xét các vectơ:    u  ( x  1,1)  u  v  (3 x  2,5)  v  (2 x  3, 4).   u  x2  2x  2     v  4 x 2  12 x  25    u  v  9 x 2  12 x  29  Suy ra phöông trình (1) töông ñöông:     uv  u  v. Trang 8 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> Vũ Thị Xuân THPT Trần Hưng Đạo. Saùng kieán kinh nghieäm    u  kv(k  0)  x  1  k (2 x  3)  1  k .4 1  k   4   x  1  1 (2 x  3)  4 1  k   4 4 x  4  2 x  3 1  k  4  x  7  2. Vaäy phöông trình (1) coù nghieäm duy nhaát x . 7 2. Bài 8:Tìm m để phương trình sau có nghiệm. 3  x  6  x  (3  x)(6  x)  m Giaûi Ñaët u  3  x ; v  6  x Phương trình đã cho trở thành u  v  1  10  2m (1) u  v  uv  m   2 2  u 2  v 2  9 (2) u  v  9 u  0, v  0 u  0, v  0 (3)   - Phương trình (1) biểu thị 1 đường thẳng thay đổi song song với đường phân giác thứ hai, phương trình (2) biểu diễn 1 đường tròn có tâm tại góc toạ độ và bán kính = 3 Hệ có nghiệm khi và chỉ khi đường thẳng (1) và đường tròn (2) có điểm chung thoả điều kiện (3). Vaäy Pt coù nghieäm khi. 3  1  10  2m  3 2 . 6 2 9 m3 2. Bài 9: Chứng minh rằng:. a 2  a  1  a 2  a  1  2, a  R. Trang 9 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> Saùng kieán kinh nghieäm Đạo (Hướng dẫn) Xeùt hai vectô   1 3  x   a  ,  2 2     1 3     y   a  2 , 2    . Vũ Thị Xuân THPT Trần Hưng. 1  2cos 2 x  1  2sin 2 x  m Baøi 10: Tìm giaù trò nhoû nhaát cuûa haøm soá :. y  f ( x)  cos 2 x  6cos x  13  cos 2 x  2cos x  2 treân.  2004 , 2006 . (Hướng dẫn) Xeùt hai vectô  a  (3  cos x, 2)  b  (1  cos x,1) Baøi 1:Giaûi heä phöông trình x  y  z 1  2 2 2 x  y  z 1  3 3 3 x  y  z 1 Giaûi.    Xét hai véc tơ u  ( x0 , y0 , z0 ) ; v  ( x0 2 , y0 2 , z0 2 ) trong đó u  ( x0 , y0 , z0 ) Là nghiệm tuỳ ý (nếu có) của hệ đã cho.   Ta coù u.v  x03  y03  z03  1   Ngoài ra tính được u  1 ; v  1  2( x02 y02  y02 z02  z02 x02  1     Vaäy u . v  1  u.v     Do đó u.v  u . v.  x0 y0  1  y z 1 Daáu baèng xaõy ra   0 0  z0 x0  1 x  y  z 1 0 0  0  x0  1  x0  0  x0  0    Từ đó suy ra  y0  0 ;  y0  1 ;  y0  0 z  0 z  0 z 1  0  0  0 Thử lại ta được hệ đã cho có 3 nghiệm (1,0,0) ; (0,1,0) : (0,0 ,1) Baøi 2 : Giaûi baát phöông trình: Trang 10 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> Saùng kieán kinh nghieäm Đạo x  1  2 x  3  50  3 x  12 Giaûi. Vũ Thị Xuân THPT Trần Hưng.   x  1  3 3 50  Ñieàu kieän:  x x  2 2 3  50   x  3 Trong maët phaúng Oxy xeùt caùc vectô:  u  (1,1,1)  v  ( x  1, 2 x  3, 50  3 x )  u  3     u  x  1  2 x  3  50  3 x  48  4. 3   u.v  x  1  2 x  3  50  3 x     Suy ra(1)  u.v  u . v Đẳng thức này luôn đúng Vậy nghiệm bất phương trình đã cho là Baøi 3.    Giaûi heä:    . 3 50 x a2 2 3. x y z 3 x2  y2  z 2 3(1) x3 y3 z33. Giaûi Xeùt trong Khoâng gian Oxyz caùc vectô:  u  ( x, y, z )  v  (1,1,1). Trang 11 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(12)</span> Saùng kieán kinh nghieäm Vũ Thị Xuân THPT Trần Hưng Đạo   u  x2  y 2  z 2  3    u  3   u.v  x  y  z  3      u.v  u . v    u  v x y z    0 1 1 1  x  y  z 1 (Thoả (1) Vậy: x=y=z=1 là nghiệm duy nhất của hệ (1).. Bài 4 : Cho a, b là hai số thực tuỳ ý. Chứng minh rằng. 1 (a  b)(1  ab) 1    2 (1  a 2 )(1  b2 ) 2. Giaûi Trong không gian với hệ trục toạ độ Đề - các vuông góc Oxyz, đặt  u  (1, a,0)  v  (1, b,0)    1  ab cos(u, v)  1  a 2 1  b2     ab  sin( u , v )   1  a 2 1  b2 .       2(1  ab)(a  b) ta coù sin 2(u, v)  2sin(u, v).cos(u, v)  1 2 2. (1  a )(1  b ) 1 (a  b)(1  ab) 1    2 (1  a 2 )(1  b2 ) 2. B. CÁC BAØI TOÁN HÌNH HỌC :. Bài 1. Cho hình chóp O.ABC có OA = a, OB = b, OC = c đôi một vuông góc. Điểm M cố định thuộc tam giác ABC có khoảng cách lần lượt đến các mp(OBC), mp(OCA), mp(OAB) là 1, 2, 3. Tính a, b, c để thể tích O.ABC nhỏ nhất. Giải. Trang 12 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(13)</span> Vũ Thị Xuân THPT Trần Hưng. Saùng kieán kinh nghieäm Đạo. Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, ta có: O(0; 0; 0), A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c). d[M, (OAB)] = 3 Þ zM = 3. Tương tự Þ M(1; 2; 3). x y z pt(ABC): + + = 1 a. b c 1 2 3 M Î (ABC) Þ + + = 1 (1). a b c 1 VO.ABC = abc (2). 6 1 2 3 1 2 3 (1) Þ 1 = + + ³ 3 3 . . a b c a b c 1 Þ abc ³ 27 . 6 1 2 3 1 (2) Þ Vmin = 27 Û = = = . a b c 3. Baøi 1: Cho tam giaùc ABC vuoâng taïi A, caùc caïnh goùc vuoâng laø bvaø c, M laø moät ñieåm treân cạnh BC sao cho góc BAM =  . Chứng minh rằng: AM =. bc c.cos   b sin . Giaûi. Chọn hệ trục toạ độ như hình vẽ Khi đó A(0,0) , B(b,0), C(0,c) , M9x,y) Từ định nghĩa: x = AM cos  , y = AM sin  . Neân M(AM cos  , AM sin  ) y   Do M thuộc BC  CM cùng phương v ới CB c. AM cos  AM sin  0 b c  AM (c cos   b sin  )  bc bc  AM  c cos   b sin  . M. y O. B. X. x. Bài 2: Cho tam giác ABC có độ dài các trung tuyến va độ dài bán kính đường tròn ngoại tiếp lần lượt là ma , mb , mc , R Chứng minh:. ma  mb  mc . 9R 2. (Đại học y dược TPHCM năm2000) Giaûi Trang 13 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(14)</span> Vũ Thị Xuân THPT Trần Hưng. Saùng kieán kinh nghieäm Đạo. A c. B. O. a. b C. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giac ABC.Ta có:    (OA  OB  OC ) 2  0        OA2  OB 2  OC 2  2(OA.OB  OB.OC  OC.OA)  0.  3R 2  2 R 2 (cos 2 A  cos 2 B  cos 2C )  0  3  2(3  2sin 2 A  2sin 2 B  2sin 2 C )  0 9  sin 2 A  sin 2 B  sin 2 C  4 Do đó theo bất đẳng thức Bunhiacopski: ma  mb  mc  3(ma2  mb2  mc2 ) . 9 2 (a  b 2  c 2 ) 4.  9(sin 2 A  sin 2 B  sin 2 C ).R 2 9 9  9. .R 2  .R 4 2 9 R 2 Dấu”=” xảy ra khi tam giác ABC đều.  ma  mb  mc . Baøi 3: Cho tam giaùc ABC caân taïi A. Goïi H laø trung ñieåm cuûa BC, D laø hình chieáu cuûa H treân AC , M là trung điểm của HD. Chứng minh AM vuông góc BD. Giaûi Chọn hệ trục toạ độ như hình vẽ Khi đó: H(0,0), A(0,a), B(-c,0), D(x,y). Y Lop12.net. A. Trang 14.

<span class='text_page_counter'>(15)</span> Vũ Thị Xuân THPT Trần Hưng. Saùng kieán kinh nghieäm Đạo.    DH  AC ( x,  y )(c, a)  0      Ta coù :  AD cung phuong AC   x y  a  c a 0   a 2c x   cx  ay  0 a2  c2    2  ax  cy  ac y  c a  a2  c2 . Vaäy D(. a 2c c2 a , ) , M laø trung ñieåm cuûa HD neân: a2  c2 a2  c2. a 2c c2 a , ) 2(a 2  c 2 ) 2(a 2  c 2 )   2a 2c  c3 c2 a a 2c -c2 a  2a3  BD. AM  ( 2 2 , 2 2 )( 2 2 , ) a  c a  c 2(a  c ) 2(a 2  c 2 ) 2a 4c 2  a 2c 4 -c4 a 2  2a 4c 2   0 2(a 2  c 2 ) 2(a 2  c 2 ) M(. Vaäy BD Vuoâng goùc AM (ñpcm) Bài 4 (Đề thi HSG toàn quốc – Năm 1979) Điểm M nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC. Chứng minh giá trị của MA4 + MB4 + MC4 khoâng phuï thuoäc vaøo vò trí cuûa M. Giaûi Trang 15 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(16)</span> Saùng kieán kinh nghieäm Vũ Thị Xuân THPT Trần Hưng Đạo Gọi I,R là tâm và bán kính của đường tròn (c) ngoại tiếp tam giác đều ABC. Dựng heä truïc nhö hình veõ, ta coù A(0,0); B(. 3R R 3 3R  R 3 , ); C ( , ); I ( R,0) 2 2 2 2. M ( x, y)  (C )  MI  R  MI 2  R 2  x 2  y 2  2 Rx.  3R R 3 2 MA  MB MC  ( x  y )  ( x  )2  ( y  ) 2 2   4. Ta coù. 4. 4. 2. 2. 2 2.  3R R 3 2  ( x  )2  ( y  ) 2 2  . 2.  (2 Rx)2  (3R 2  Rx  R 3 y)2  (3R 2  Rx  R 3 y)2  6 R 2 x  6 R 2 y 2  18R 4 12 R3 x  6 R 2 ( x 2  y 2 )  18R 4 12 R3 x  6 R 2 2 Rx  18R 4 12 R3 x  18R 4 Vaäy giaù trò MA4 + MB4 + MC4 khoâng phuï thuoäc vaøo vò trí M Baøi 5 (Ñ eà thi voâ ñòch Anh - n aêm 1981) Cho tam giác ABC cân tại A. D là trung điểm cạnh AB, I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, E là trọng tâm của tam giác ACD. Chứng minh IE vuông góc CD. Gi aûi Choïn heä truïc nhö hình veõ (O laø trung ñieåm cuûa BC) Khi đó : O(0,0); A(0,a); B(-c,0); C(c,0); D(-c/2, a/2); E(c/6,a/2),(a,c>0) Goïi I(x, y) Giaû thieát suy ra y   c a   DI  BA ( x  , y  ).( c , a )  0  2 2      A ( x, y ).(2c, o)  0 OI  BC x  0 D 2 2   a c E y  2a  V aäy I (0,. I. a2  c2 ) 2a.  . c c 2 3c a c 2 c 2  IE.DC  ( , )( ,  )    0 6 2a 2 2 4 4  IE  DC (dpcm). B. O. x C A. Baøi 1 Trang 16 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(17)</span> Saùng kieán kinh nghieäm Vũ Thị Xuân THPT Trần Hưng Đạo Cho tam diện oxyz. A, B, C lần lượt là các điểm di động trên ox, oy, oz sao cho:. 1 1 1 1    OA OB OC 2005 Chứng minh rằng: (ABC)luôn luôn đi qua một điểm cố định. Giaûi. z. o x. y B. A. Chọn hệ trục toạ độ vuông góc oxyz (như hình vẽ ) Sao cho: A(a,0,0),B(0,b,0),C(0,0,c)(với OA=a,OB=b,OC=c) Khi đó phương trình mặt phẳng (ABC) là:. x y z   1 a b c Hơn nữa:. 1 1 1 1 (Do giaû thieát)    a b c 2005  M (2005,2005,2005)  mp ( ABC ) =>mp(ABC)luoân ñi qua ñieåm coá ñònh M(2005,2005,2005).. Bài 2:Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ với AB = a, BC = b, AA’ = c. a/ Tính dieän tích cuûa tam giaùc ACD’ theo a, b, c b/ Giả sử M và N lần lượt là trung điểm của AB và BC. Hãy tính thể tích của tứ diện D’DMN theo a, b, c. Giaûi a/ Ta lập hệ trục toạ độ vuông góc có gốc trùng với đỉnh A, các trục có phương    trùng với AB ; AD ; AA ' Khi đó : A(0,0,0) , C(a,b,0) , D’(0,b,c).. Trang 17 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(18)</span> Saùng kieán kinh nghieäm Đạo . Vũ Thị Xuân THPT Trần Hưng .  . AC  (a, b,0); AD '  (0, b, c);[ AC , AD]  (bc, ca, ab) 1   S  [ AC , AD]  ACD ' 2 A’ 1  b 2 c 2  c 2 a 2  a 2b 2 2 b/ Dễ dàng tính được B’ 3ab S  DMN 8 B 1 abc V  S DD '   DMN 3 8. D’. C’ D C. Bài 3:Cho hai nửa mp (P) và (Q) vuông góc với nhau theo giao tuyến (d). Trên (d) lấy AB = a (a là độ dài cho trước). Trên nửa đường thẳng Ax vuông góc với (d) và ở trong (Q) lấy. a2 ñieåm N sao cho BN = 2 . b. a/ Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BMN) theo a, b. b/ Tính MN theo a , b. Với giá trị nào của b thì MN có độ dài cực tiểu. Tính độ dài cực tiểu đó. Giaûi a/ Chọn hệ trục toạ độ Oxyz sao cho A trùng với gốc toạ độ (A(0,0,0)): B có toạ độ a2 (0,a,0); N có toạ độ ( , a, 0 ). Ta có b . BM  (0, a, b)  a2 BN  ( ,0,0) b. b 0 a b a b 2 , 2 [ BM , BN ]  ( , )  (0, a 2 , a 2 ) a a 0 0 0 0 b b  a 2 (0,1, 1)  Do đó mp(BMN) qua B(0,a,0) và có VTPT là v  (0,1, 1)  . Phöông trình cuûa maët phaúng naøy laø: (y – a).1 – (z – 0) = 0 hay y–z -a=0 Khoảng cách từ A(0,0,0,) đến mặt phẳng đó là :. z. M. a a  11 2  a2 a4 b/ Ta coù MN  ( , a, b)  MN   a 2  b2 4 b b. b A. b B. NTrang 18 Lop12.net. x. Y.

<span class='text_page_counter'>(19)</span> Vũ Thị Xuân THPT Trần Hưng. Saùng kieán kinh nghieäm Đạo. MN  a 2  2a 2 (bất đẳng thức Côsi) a4 a 3  2  b2  b  a MN có độ dài cực tiểu b MinMN  a 3 khi b  a Bài 4: Cho một góc tam diện ba mặt vuông góc Oxyz. Lấy lần lượt trên Ox, Oy,Oz các điểm P, Q, R khác điểm O. Gọi A, B, C lần lượt là trung điểm của PQ, QR, RP. Chứng minh rằng nếu góc nhị diện cạnh OA của tứ` diện OABC là góc nhị diện vuông thì hai góc B và C của tam giác ABC thoả hệ thức tgB.tgC = 2. Giaûi Chọn hệ trục toạ độ Đề-Các vuông góc Oxyz sao cho P(2a,0,0) ; Q(0,2b,0) ;R(0,0,2c). Khi đó: A(a,b,0) ; B(0,b,c) ; C(a,0,c) Pháp véc tơ của mặt phẳng (OAB) và (OAC) lần lượt là: . n1  (bc, ac, ab)  n2  (bc, ac, ab). Goùc nhò dieän caïnh OA vuoâng khi vaø chæ khi:   2 2 2. n1.n2  0  b c  a c 2  a 2b2. Trong tam giaùc ABC ta coù:. b 2 c 2  a 2 c 2  a 2b 2 a2 b 2 c 2  a 2 c 2  a 2b 2 tgC  b2 b 2 c 2  a 2 c 2  a 2 b 2 2a 2 b 2  2 2  2(dpcm) Vaäy tgB.tgC  a 2b 2 ab tgB . Bài 5: Cho tam giác vuông goc ở A.tìm quỹ tích các điểm M trong không gian thoả mãn : MB 2  MC 2  MA2 Giaûi. z. A,O B sao cho A truøng O, B(b,0,.0),C(0,c,0) C Chọn hệ trục toạ độ Đề các Oxyz x y ( Với AB =b>0,AC=c>0) Trang 19 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(20)</span> Saùng kieán kinh nghieäm Vũ Thị Xuân THPT Trần Hưng Đạo Khi đó M(x, y, z) thoả : MB 2  MC 2  MA2  ( x  b) 2  y 2  z 2  ( y  c ) 2  z 2  x 2  y 2  z 2.  ( x  b) 2  ( y  c ) 2  z 2  0 x  b   y  c z  0   M (b, c, 0) Vaäy quyõ tích caàn tìm chæ coù moät ñieåm duy nhaát M(b,c,0). Trang 20 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(21)</span>