Bài giảng Sức bền vật liệu 2 - ĐH Lâm Nghiệp

ThS. NGUYỄN THỊ LỤC (Chủ biên)
KS. THÂN VĂN NGỌC

SøC BÒN VËT LIÖU II

TRƯỜNG ĐẠI HỌC LÂM NGHIỆP - 2017


THS. NGUYỄN THỊ LỤC, KS. THÂN VĂN NGỌC

BÀI GIẢNG

SỨC BỀN VẬT LIỆU II

TRƯỜNG ĐẠI HỌC LÂM NGHIỆP - 2017
1


2


LỜI NĨI ĐẦU
Ngày nay, các ngành cơng trình giao thơng và cơ khí phải giải quyết nhiều
bài tốn cơ học phức tạp, đòi hỏi các kĩ sư phải biết nhiều kiến thức rộng hơn,
nhìn nhận và giải quyết những bài tốn phức tạp có liên quan đến kiến thức đàn
hồi, lí thuyết dẻo… Các đối tượng nghiên cứu ngồi những thanh thẳng được đề
cập trong bài giảng Sức bền vật liệu 1, chúng ta còn gặp những vật thể đàn hồi
khác như: các thanh cong, thanh hay dầm làm việc ngoài miền đàn hồi, dầm trên
nền đàn hồi... Mỗi vấn đề là một chuyên đề sẽ được nghiên cứu trong quyển bài
giảng Sức bền vật liệu 2. Trong môn học Sức bền vật liệu 2 cũng đề cập đến những
vấn đề trên ở một khối lượng nhất định để trình bày những kiến thức cơ bản và

tối thiểu nhằm giúp các bạn sinh viên có thể tìm hiểu các vấn đề đó mà trong q
trình học tập và trong cơng tác có thể gặp phải.
Trong q trình biên soạn bài giảng này đã nhận được sự giúp đỡ tận tình
của các giảng viên trong Bộ môn và trong Khoa để chúng tơi có thể hồn thiện
bài giảng, dù có cố gắng vẫn khơng tránh khỏi những thiếu sót về nội dung cũng
như hình thức, rất mong nhận được sự đóng góp của q độc giả theo địa chỉ Bộ
mơn Cơ sở kỹ thuật Khoa Cơ điện và Cơng trình.
Xin chân thành cảm ơn!
Nhóm tác giả

3


4


Chương 1
UỐN NGANG VÀ UỐN DỌC ĐỒNG THỜI
1.1. Khái niệm chung
Trong môn sức bền vật liệu 1, khi nghiên cứu thanh chịu lực phức tạp phần
thanh bị uốn ngang và kéo (nén) đồng thời, ta đã giả thiết biến dạng do các tác
dụng thành phần gây ra là bé, vì vậy các tác dụng được coi là độc lập, không ảnh
hưởng lẫn nhau. Do đó, giả thiết này ta đã có thể áp dụng phương pháp cộng tác
dụng. Trong thực tế, khi thanh bị uốn ngang đồng thời bị kéo (nén) có biến dạng
lớn (do thanh có độ mảnh lớn) thì hai tác dụng ảnh hưởng lẫn nhau, vì vậy không
thể áp dụng nguyên lý độc lập tác dụng tức là nguyên lý cộng tác dụng được áp
dụng để tính trong bài tốn này.
Do đó, khi tính độ cong của thanh bị uốn ta phải xét thêm ảnh hưởng của
lực kéo (nén) khi tính tốn mơmen uốn và lực cắt.
Ở chương này, chúng ta nghiên cứu thanh có độ mảnh tương đối lớn chịu

uốn ngang phẳng và chịu nén đúng tâm ở đầu thanh, gọi là uốn ngang và uốn dọc
đồng thời. Nếu uốn ngang làm cho thanh bị uốn cong về một phía nào đó thì lực
nén ở đầu thanh tạo mômen phụ làm tăng thêm mômen uốn ở các mặt cắt ngang.
Điều này làm thanh chịu lực bất lợi hơn so với trường hợp giả thiết thanh vẫn
thẳng. Trái lại, nếu lực ở đầu thanh là lực kéo thì mơmen phụ lại làm giảm mơmen
do uốn ngang. Chính vì vậy, ở chương này ta chỉ quan tâm đến trường hợp lực ở
đầu thanh là lực nén.
Như vậy, thanh chịu uốn ngang và uốn dọc đồng thời là thanh chịu tác dụng
của các thành phần gây ra uốn theo phương vng góc với trục thanh và thành
phần gây ra uốn dọc trục thể hiện như trên hình 1.1a.
R2

R3

P
A

B

a)

B

b)

l

R1

R2

1

R3

A'

yz

P

y0

A

1

O

R1
H×nh 1.1

Hình 1.1. Dầm chịu uốn ngang uốn dọc đồng thời
5


1.2. Các thành phần nội lực của thanh chịu uốn ngang và uốn dọc đồng thời
Giải sử ta có một thanh AB chịu uốn ngang do các lực ngang R1, R2, R3 và
uốn dọc P đồng thời chịu lực như hình 1.1a. Dưới tác dụng của các lực làm cho
thanh AB biến dạng, đến lúc nào đó thanh sẽ ở vị trí cân bằng mỗi đường cong A/

B thể hiện độ võng.
Để xác định nội lực ta dùng phương pháp mặt cắt, xét mặt cắt (1.1) như
hình 1.1b, viết phương trình cân bằng tại điểm tâm O của mặt cắt ta có:
1
Mx

yz

P

y0

A
A'

1

z

R1

Nz z
O
Qy

H×nhphần
1.2 nội lực trên mặt
Hình 1.2. Các thành
cắt
 Fz  N z  P  0

N z  P


 Qy  R1
 Fy  Qy  R1  0
 M 0  M  R .z  P( y  y )  0  M  R .z  P ( y  y )
 x
1
z
0
x
1
z
0
 ( F )

(1.1)

Trong đó:
- y0 là độ võng ban đầu tại đầu tự do, do các lực dọc và lực ngang gây ra;
- yz là độ võng tại mặt cắt đang xét.
*
Đặt: M x  R1z .

Biểu thức mơmen (1.1) có thể viết dưới dạng: M x  M x*  P( yz  y0 ) (1.2)
Với: - M x* : Mômen uốn do thành phần lực ngang gây ra uốn ngang phẳng;
- M x : Mômen của cả hệ gồm lực dọc P và lực ngang Ri.

M x* trong vế phải của (1.2) là lượng mômen do lực ngang gây ra. P  yz  y0 
là lượng mômen do lực dọc gây ra, lượng này tăng nhanh khi lực dọc và lực ngang

tăng, vì thế bài tốn này được gọi là bài toán uốn ngang và uốn dọc đồng thời. Nó
có hai điểm khác trước đây:
1- Chuyển vị có ảnh hưởng đến trị số của nội lực (vì nó làm dời chuyển
điểm đặt lực khá lớn);
2- Nội lực không tỷ lệ bậc nhất với ngoại lực vì y(z) là hàm của P và R1, R2, R3
nên số hạng thứ hai trong phương trình (1.2) khơng tỷ lệ bậc nhất với P được.
6


Một cách chặt chẽ hơn, ta nói lực dọc ở các mặt cắt khơng cịn là khơng đổi
và bằng lực P nữa vì mọi mặt cắt đã xoay đi. Tuy vậy, lực dọc tính một cách chính
xác khơng sai nhiều so với P nên người ta vẫn xem lực dọc là bằng giá trị lực P:

N z  P .
Trên mỗi mặt cắt, ứng suất pháp do lực dọc NZ và mơmen uốn M(z) gây ra
có giá trị tuyệt đối lớn nhất tại thớ biên chịu nén bằng:

max  z  

Nz M x
P M

  x
F Wx
F Wx

(1.3)

N M
P [M  P  yz  y0 ]

Hay: max  z   z  x    x
F Wx
F
Wx
*

(1.4)

Chú ý: Người ta chỉ tính uốn ngang và uốn dọc đồng thời khi dầm dài có tỷ
số l/h > 12 (với h là chiều cao mặt cắt ngang của dầm, l là chiều dài).
Như vậy, uốn ngang uốn dọc đồng thời trong bài tốn phẳng trong mặt
phẳng (zOy) có 3 thành phần nội lực: Mx, Qy, Nz.
1.3. Phương trình vi phân đường đàn hồi của thanh chịu uốn ngang và uốn
dọc đồng thời
Như đã giới thiệu ở chương thanh chịu uốn đường đàn hồi là đường cong
của dầm sau khi bị ngoại lực tác dụng nó có dạng như hình 1.3 và có phương trình
như sau:
R2

M
,,
y  x
E.J x

Thay biểu thức (1.2) ta được:
M
M  P( yz  y0 )
,,
y x
E.J x

E.J x
*
x

A

B

l

(1.5)
Hỡnh

Đ-ờng đàn hồi
Hình
1.3 hi ca dầm
1.3. Đường
đàn

Ta thành lập phương trình vi phân của mơmen uốn bằng cách đạo hàm hai
lần liên tiếp phương trình (1.2) ta được:

d 2 M x d 2 M x*
d 2 yz

P 2
dz 2
dz 2
dz

(1.6)

Trong chương uốn ta có mối liên hệ vi phân giữa lực phân bố, lực cắt và
d 2M 
Mx
d2y
 qz .
mômen như sau: 2  
và
dz 2
dz
EJ x

7

(1.7)


Thay (1.6) vào (1.7), ta được:
Đặt:  2 

d 2M x
P
q 
Mx .
2
dz
EJ x

(1.8)

P
d 2M x
 Phương trình (1.8) có thể được viết lại:
  2 .M x  q .
EJ x
dz 2

Hay: y IV   2 . y''  

q( z)
.
EJ x

(1.9)

Cơng thức (1.9) là phương trình vi phân không thuần nhất của thanh chịu
uốn ngang và uốn dọc đơng thời. Nghiệm của phương trình có hai nghiệm phân
*
biệt: y  yz  yz .

(1.10)

Trong đó:
- yz  A.sin  z  B.cos z  Cz  D là nghiệm phương trình thuần nhất;
*

- y z là nghiệm riêng của phương trình có vế phải.
1.4. Tính độ võng của thanh chịu uốn ngang uốn dọc đồng thời bằng phương
pháp gần đúng

Giả sử có hai dầm giống nhau đặt trên hai gối tựa, có chiều dài l và chịu tải
trọng đối xứng. Một dầm chỉ chịu tải trọng các lực ngang (hình 1.4a) và một dầm
ngồi lực ngang cịn có thêm lực dọc P tác dụng vào đầu khớp di động (hình 1.4b).
Đường đàn hồi của hai dầm có tính chất đối xứng và có thể xem dạng
đường đàn hồi là hình sin. Do đó, phương trình đường đàn hồi của hai dầm được
lập dưới đây.
q

q
P

A

B

l

A

B

l

f*

f*

a)

b)

Hình 1.4. Độ
võng
H×nh
1.4của dầm chịu uốn
Dầm a
- Phương trình vi phân:
2
*/ /
* 
f

y

l2

Dầm b
- Phương trình vi phân:

sin(

z
l

)

2
l2

//

f

2
l2

sin(z )
l

- Mơmen:

- Mơmen:
M x* 

y

EJx .sin

 .z
l

. f z* 

2
l2

Mx 

EJx . y*z

8

2
l2

EJ x . sin

 .z
l

.f 

2
l2

EJ x . y z


Mà M x  M x*  P. yz .
2

2

y*z
→ M x  2 EJ x . yz  2 EJ x . y  P. yz → yz 
.
P
l
l
1

EJ x . 2
l2

Ta thấy biểu thức

*
z

EJ x . 2
 Pth là biểu thức ơle đã gặp trong chương uốn dọc
l2

y*z
thanh thẳng nên ta có: y z 
.
P
1
pth

(1.11)

Vậy biểu thức (1.11) là công thức xác định chuyển vị của hệ thanh chịu uốn
ngang và uốn dọc đồng thời.
Trong đó:
+ y*z : Độ võng do lực ngang R gây ra uốn ngang. Được xác định trong môn
sức bền vật liệu 1 (phương pháp tích phân, phương pháp năng lượng…);
+ P là lực dọc trục;

 2 EJ x
+ Pth 

: Lực tới hạn trong công thức ơle về ổn định của thanh chịu
( .l ) 2
nén đúng tâm.
Chú ý: Nếu thay đổi dạng liên kết 2 đầu thanh thì các hệ số tính ở chương
ổn định SB1.
P



P

P





P



H×nhhai
1.5đầu thanh và hệ số liện kết
Hình 1.5. Các dạng liên giữa

Ở đây ta cần phân biệt sự khác nhau giữa lực tới hạn P0th trong uốn dọc (ổn
định) với lực tới hạn Pth trong uốn ngang và uốn dọc đồng thời.
Lực tới hạn trong thanh chịu nén đúng tâm P 0th trong ổn định được tính theo
Jmin (mặt cắt có mơmen qn tính nhỏ nhất).
9

Còn lực tới hạn trong thanh chịu uốn ngang và uốn dọc Pth được tính theo
mặt có chứa mơmen. Thí dụ: Nếu MX(z) nằm trong mặt phẳng yOz thì ta dùng
mơmen qn tính đối với trục Ox là Jx.
1.5. Ứng suất và bài tốn kiểm tra bền
1.5.1. Cơng thức tính ứng suất
Từ công thức (1.2) thay vào biểu thức (1.3) ta có một cách tính ứng suất:

 max

P M
P M  P  yz  y0 
  x   x
F Wx
F
Wx
*

(1.12)

Công thức (1.12) công thức xác định ứng suất thông qua việc xác định Mx
theo phương pháp mặt cắt đã nói ở trên, ta gọi là phương pháp gần đúng thứ nhất.
y*z
Mà ta có: yz 
.
P
1
pth

(1.13)

Lấy đạo hàm hai vế của phương trình (1.13) nhân vào 2 vế với một lượng
*,,
(-EJx) ta được:  EJ x yz,,  yz ( EJ x ) .

1

P
Pth

Theo phương trình vi phân đường đàn hồi thì ta được:
M x*
Mx 
P
1
pth

(1.14)

Theo cơng thức (1.2) (phương pháp gần đúng 1) ta có:

M x  M x*  P( yz  y0 )
Đạo hàm (1.10), ta được cơng thức gần đúng để tính lực cắt Q(z)
*

Qy
dM x
 Qy  Qy 
P

dz
1
Pth

(1.15)

Thay biểu thức (1.10) vào biểu thức (1.2) trên ta có thể tính ứng suất:



* 

P M
P 1 M
 max    x     x 
(1.16)
F Wx
F Wx 1  P 
 Pth 
Công thức (1.16) xác định ứng suất thông qua việc xác định Mx theo
phương trình của độ võng, ta gọi là phương pháp gần đúng thứ hai.
10


1.5.2. Điều kiện bền
Để kiểm tra bền cho thanh chịu uốn ngang uốn dọc đồng thời ta cũng so
sánh giữa ứng suất lớn nhất tính được trong thanh với ứng suất cho phép của vật
liệu theo biểu thức (1.17) như sau:

 max      0

(1.17)

Từ hai cách tính ứng suất theo phương pháp như trên ta có hai phương pháp
so sánh:
- Theo phương pháp gần đúng thứ nhất:


max

 P M x   P M * x  P  yz  y0  
 
  F 
   
F
W
W

x 

x


(1.18)

- Theo phương pháp gần đúng thứ hai:
 max




*

P
1 M x max 

   


F Wx  1  P 

Pth 



(1.19)

Khi bài toán có xét đến hệ số an tồn n (hệ số tải trọng) thì cơng thức kiểm
tra bền có dạng:
- Theo phương pháp gần đúng thứ nhất:



*
nP
n  *
n. y max 
 M x max  P. z
   
 max 


P 
F Wx 
1 n

Pth 

- Theo phương pháp gần đúng thứ hai:


 max



n  M X* max 

   


F
Wx  1  n P 

Pth 


nP

(1.20)

(1.21)

1.5.3. Các bài toán
Cũng giống như trong các bài toán thanh chịu kéo (nén) đúng tâm hay thanh
chịu uốn thuần túy thì ta cũng có 4 dạng bài tốn chính như sau:
- Bài tốn kiểm tra bền;
- Bài tốn chọn kích thước mặt cắt;
- Bài toán xác định hệ số tải trọng cho phép (n);
- Bài tốn tìm tải trọng.
Sau đây là một số ví dụ điển hình để biết cách vận dụng cơng thức và tính tốn:
11


1.6. Ví dụ
Ví dụ 1.1: Cho dầm có tiết diện mặt cắt ngang là hình vng, chịu tác dụng
của lực như hình 1.6a. Cho E = 104, Mpa = 103 kN/cm2..Hãy xác định độ võng tại
C và xác định ứng sut ln nht trong dm?
R=0,48kN

8,5cm

A

a=1,4m

b=2,5m

0,17kN

8,5cm

P=10kN

B
0,31kN
0,43kN.m
(MR)

Pk=1đv
0,987kN.m
(Mk)

Hình 1.6
Hỡnh 1.6. Biu mụ
men uốn tính chuyển vị

Bài giải:
1. Xác định độ võng tại C
*
Để xác định độ võng tại C ta áp dụng cơng thức (1.11): yC  y z (C)
z
P
1

p
th

- Tìm các thơng số với:
+ Mơmen qn tính đối với trục ox:

b.h3 8,54
Jx  J y 


 435,0052  cm4 
12
12
+ Mômen chống uốn của mặt cắt ngang:
Wx 

Jx
435,0052

 102,35 (cm)
h /2
8,5/2

12


+ Diện tích mặt cắt ngang: F = 8,5 × 8,5 = 72,25 (cm2).
+ Chiều dài đoạn thanh: l = b + a = 3,9 (m) = 390 (cm).
+ Dạng liên kết hai đầu thanh một đầu gối cố định:   1 .
Vậy lực tới hạn được xác định theo công thức ơle:

 2 EJ x 3,142.103.435,0052
Pth 

 28, 2 (kN )
(.l )2
(1.390)2
- Xác định độ võng tại C do các thành phần lực ngang gây ra, ta sử dụng
phương pháp năng lượng, nhân biểu đồ Verexeghin.
yC* 

1
1 1
2
1
2

M P .M k  
.0,43.2,5.
.0,897

.0,43.1,4.
.0,897

  0,501423 (cm)
E.J x
E.J x  2
3
2
3

Vậy xác định độ võng tại C khi có cả lực dọc trục:

y

C
z

yz* (C)
0,501423



 0,77693 (cm)
P
10
1
1
pth
28,2

Qua trên ta thấy khi có sự tham gia của lực dọc thì độ võng của dầm lớn
hơn khi khơng có lực dọc tham gia (bài toán uốn).
2. Xác định ứng suất
- Theo phương pháp gần đúng thứ nhất biểu thức (1.12) ứng suất nén lớn nhất:

 max  

M  P  yz  y0 
P
M
P
 x    x
F
Wx
F
Wx

Vẽ biểu đồ mômen uốn do các thành phần lực ngang gây ra như hình 1.6b
từ biểu đồ ta được: Mmax* = 0,43 (kN.m) = 43 (kN.cm).
Ta có độ võng ban đầu y0 = 0 (cm).

*
2
Vậy M x  M x  P( yz  y0 )  0,43.10 10.0,77693  50,7693 (kN.cm)

P M
P M  P  yz  y0  10 50,7693
kN
 max    x    x


 0,634 ( 2 )
F Wx
F
Wx
72,25 102,35
cm
*

- Theo phương pháp gần đúng thứ hai biểu thức (1.16) ứng suất nén lớn nhất:


P M
P 1  M x*
 max    x    
F Wx
F Wx  1  P
 P
th





  10

1
43 
kN



   0,789 ( 2 )
cm
 72,25 102,35  1  10 
 28,2 




13


Ví dụ 1.2: Cho dầm

q=15kN/m
P=10kN

hình chữ nhật bxh, b = 2 cm,

A

h = 2b, chịu tác dụng của lực

B

l=3m

0,17kN

như hình vẽ 1.7. Cho E =

h

b

có tiết diện mặt cắt ngang

0,31kN
ql2/8
(Mx)

2.107 N/cm2, [σ] = 24 kN/cm2.
Hãy xác định hệ số an toàn n
và hệ số an toàn về ổn định
kođ = ?

Hình 1.7. Biểu đồH×nh
mơ1.7men uốn của dầm
có lực phân bố đều

Bài giải:
1. Xác định hệ số an toàn về ổn định kođ
Theo chương ổn định của thanh chịu nén đúng tâm trong giới hạn đàn hồi
trong môn sức bền vật liệu 1 ta có:

Poth
k0d 
P
Với P = 100 kN, F = b×h = 8 cm2.
+ Mơ men qn tính nhỏ nhất:

J min

3
3
hb3 4.23
 Jy 

 2,67 (cm4 ) ; J x  bh  2.4  10,67 (cm4 )
12
12
12
12

J x bh2 2.42
Wx 


 5,333 (cm3 )
h

6
6
2
+ Lực tới hạn tính trong thanh chịu nén đúng tâm:

P

o
th

 2 EJ min 3,142.2.107.2,67

 5,850.103 ( N )  5,850 (kN )
2 
2
4
( .l )
1.3 .10

+ Lực tới hạn trong thanh chịu uốn ngang và uốn dọc đồng thời:

 2 EJ x 3,142.2.107.10,67
Pth 
 23,378.103 ( N )  23,378 (kN )
2 
2
4
( .l )
1.3 .10
Poth 5,850


 0,585 .
Vậy hệ số an toàn về ổn định: kod 
P
10
14


2. Xác định hộ số an toàn n
Để xác định hệ số an tồn ta nên đi từ cơng thức (1.19) xác định ứng suất
theo phương pháp gần đúng thứ hai xác định sơ bộ hệ số n, vì trong cơng thức
tính theo phương pháp gần đúng thứ nhất cịn phải tính độ võng rất phức tạp mà
hai phép tính cho kết quả tương đương:

 max


nP
n  M z*



F Wx  1  n P

Pth




   





Trước tiên ta xác định mômen do lực ngang gây ra bằng cách vẽ biểu đồ
mômen uốn ta được: M*x = ql2/8 = 16,875 (kN.m).


2 

n10
n
16,875.10


     24
8
5,333  1  n 10 

23,378 


Giải bất phương trình ta tìm được n ≤ 0,074 và n ≥ 603,47 với n ≠ 2,32.

15


Chương 2
THANH CONG PHẲNG
2.1. Khái niệm chung

Trong các kết cấu, ngồi thanh có trục thẳng ta cịn gặp thanh có trục là một
đường cong, gọi là thanh cong. Ở chương này ta chỉ nghiên cứu loại thanh cong
có các đặc điểm sau đây: mặt cắt của thanh có một trục đối xứng, trục thanh nằm
trong một mặt phẳng đối xứng; ngoại lực nằm trong mặt phẳng đó và thanh có độ
cong khơng đổi, ví dụ như hình 2.1, a, b, c, d: móc cần trục, các vịng xích, vành
bánh xe, cầu vịm…
P

P

P

P

d)

c)

P
a)

P
b)b)

d)

c)

Hình 2.1. Ứng dụng của thanh cong
Trong chương uốn ngang phẳng khi tính tốn chúng ta chưa để ý đến độ

cong của trục thanh. Người ta nhận thấy rằng những thanh cùng vật liệu, cùng liên
kết như nhau, cùng có mặt cắt như nhau, nhưng có độ cong khác nhau thì khả
năng chịu lực cũng khác nhau. Ảnh hưởng của độ cong đến độ bền của thanh được
đặc trưng bởi tỷ số R0/h, trong đó h là chiều cao của mặt cắt và R0 là bán kính
cong của trục thanh tại mặt cắt có chiều cao h đó.
Người ta phân thanh cong thành:
- Thanh có độ cong lớn khi tỷ số bán kính chính khúc của trục R0 và chiều
cao mặt cắt h nhỏ hơn 10 (R0/h ≤ 10);
- Thanh có độ cong bé khi tỷ số (R0/h ≥ 10) lúc này sự phân bố ứng suất trên
mặt cắt ngang giống như trên thanh thẳng do đó khi tính toán như thanh thẳng.
2.2. Nội lực trong thanh cong phẳng
Như ta đã biết trong mặt phẳng có 3 thành phần nội lực chính, ta xét trong
mặt phẳng (y0z) thì có Nz , Mx, Qy .
16


Dấu của các thành phần nội lực được mô tả trên hình vẽ 2.2 và ta có quy
ước được thể hiện như trên hình 2.2 như sau:
+ Lực dọc trục Nz là dương khi có chiều hướng ra ngồi mặt cắt;
+ Lực cắt Qy mang dấu dương khi quay pháp tuyến ngồi cùng chiều kim
đồng hồ gặp trục oy thì khi đó là chiều dương của Qy , cịn chiều ngược lại là âm;
+ Mômen uốn Mx mang dấu dương khi chúng làm cho thanh cong có xu
hướng cong hơn và ngược lại là âm;
+ Biểu đồ vẽ phần dương ở phía ngồi, phần âm vẽ vào bên trong của trục thanh;
+ Biểu đồ có đánh dấu dương (+) hoặc âm (-);
+ Phải vẽ đường kẻ dóng song song với bán kính của thanh.
Qy

Nz

Mx > 0
Nz>0
Qy>0

Qy

Mx

Nz

Mx

Hình 2.2. Các thành phần H×nh
nội lực
2.2 trên mặt cắt của thanh cong
Ví dụ 2.1: Vẽ biểu đồ nội lực cho thanh cong phẳng, chịu lực tập trung P
tại đầu tự do như hình 2.3a.
Nz

Mx
Qy
R

P

R

P

C

A

C

a)

A

b)
PR

P 


P
_




P

P 





_

(Nz)
(c)

P


 PR

P

+

+

(Qy)

P

(d)
H×nh 2.3

Hình 2.3. Vẽ điểu đồ nội lực của thanh cong
17

(Mx)
(e)




PR


Bài giải:
Thanh cong AB chỉ chịu một lực tập trung tại đầu tự do B nên ta chỉ cần
dùng một mặt cắt (1.1) đi qua tâm C của thanh cong như hình 2.3b.
Xét mặt cắt (1.1) (0 ≤ 𝜑 ≤ 𝜋) tách ra như hình 2.4.

Nz
1

O
1

Mx

h

Qy



R

P

C
Hình 2.4. Các thành phần
nội2.4

lực trên mặt
H×nh
- Lập PTCB và PT mơmen tại O: cắt
- Lập bảng: Theo tính chất.

Fy  Nz  P.sinφ  0

Fy  Qy  P.cos  0

0
M F  M x  P.R.sin  0

φ (rad)

(Nz )

(Qy )

(Mx)

0

0

-P

0

𝜋⁄
4

- 22 P

- 22 P

𝜋⁄
2

-P

0

3𝜋⁄
4

- 22 P

𝜋

0

 N z   Psin

  Qy   Pcos
M  P.Rsin
 x
- Kết quả vẽ biểu như hình 2.3 c, d, e.

2

2P

P

2

2 PR

PR
2

2 PR

0

q

Ví dụ 2.2: Xác định các giá trị

nội lực cho thanh cong phẳng như
hình 2.5. Làm tương tự như trên ta thu
được kết quả các thành phần nội lực
R
như sau:
P
B
O
A
N = qR(1 - cosφ) cosφ;
H×nh

Q = - R(1 - cosφ)sinφ;
Hình 2.5. Thanh
cong2.5
chịu tác dụng
M = qR/2(1 - cosφ)2.
của lực phân bố đều
18


Ví dụ 2.3: Xác định các giá trị

q

nội lực cho thanh cong phẳng như
hình 2.5. Làm tương tự như trên ta
thu được kết quả các thành phần nội
lực như sau:

R

N = qR φ cosφ;
Q = - qR φ sinφ;
M = - qR2 φ(cosφ - cosφ/2).

B

O

A

Hình 2.6. LựcH×nh
phân2.6
bố khơng đều
theo phương pháp tuyến

Ví dụ 2.4: Cho hệ thanh thẳng và thanh cong tiết diện hình trịn chịu lực
như hình vẽ 2.6. Cho P = 6 kN, q = 2 kN/cm,   20 cm, M = 140 kN.cm, E =
2.104 kN/cm2, D = 6 cm. Hãy vẽ biểu đồ nội lực cho hệ?
M

q

D

A

𝜌

C

𝜑

Mx

𝜌

Qy

Nz

𝜌

M

q

Mx

B
a)

z

Nz

P

z

B

0

A

b)

0
Qy

P

ρ
B

c)
6

0

20

26

C

A

C

P

A

6

C

A

46 120

-

-

+
+

4,24

B

d)

540

(Nz )

B

4,24

e)

84,85

6

(Qy )

Hình 2.7. Kết quả vẽ biểu đồ nội lực
19

B

f) (Mx )


Bài giải:
Để vẽ biểu đồ nội lực ta cần tìm giá trị nội lực theo từng đoạn mặt cắt.

 

- Xét mặt cắt (1.1) với   0,  hình 2.7b.
 2
Lập phương trình cân bằng tĩnh học và phương trình mơmen tại 0:
 Fx : N z  P.sin   0
 N z  P sin 


 Qy  P cos
 Fy : Qy  P.cos  0


0
 M F : M x  P..sin   0 M x   P..sin 

Lập bảng:
φ

Nz

Qy

Mx

0

0

P=6

0

π/4

2
P  4,24
2

π/2

P=6

2
2
P.  84,85
P  4,24 2
2

-P. ρ = -120

0

- Mặt cắt (2.2) (0 ≤ z ≤ ρ) hình 2.7c.
Biểu thức các thành phần nội lực:


Fz : N z  0


Fy :Qy  P  qz  0

2
M F0 : M x  M  q z  P    z   0

2


N  0
 z
Qy   P  qz

2
 M x   M  q z  P(   z )

2

Lập bảng:

z

0

ρ /2

ρ

Nz

0

0

0

Qy

-P=-6

- (P + q. ρ/2) = - 26

- (P + q. ρ) = - 46

- M - q.ρ2/8 + P.ρ/2 = - 180

- M - q. ρ2/2 = - 540

Mx - M + P.ρ = - 20

Kết quả vẽ biểu đồ như hình (2.7d, e, f).
20


2.3. Ứng suất trong thanh cong chịu kéo (nén) (NZ ≠ 0)
2.3.1. Khái niệm chung
Thanh cong chịu kéo (nén) đúng tâm khi trên mọi mặt cắt ngang chỉ tồn tại
1 thành phần nội lực dọc trục Nz như hình 2.8.
F

ds

A
0

σ

x

n

y m

01
Nz

F

Hình 2.8. Nội lực trên mặt cắt ngang

dφ

02

n,

∆dφ

Nz

0

Hình 2.9. Đoạn thanh cần xét
ứng suất

2.3.2. Ứng suất
Để xác định ứng suất ta xét thanh cong chịu lực kéo Nz , việc xác định sự
phân bố của ứng suất trên mặt cắt ngang, ta vẫn sử dụng giả thiết mặt cắt phẳng,
tức là mặt cắt ngang phẳng trước và sau khi thanh biến dạng vẫn phẳng và quay
chung quanh tâm chính khúc của thanh. Do đó, ứng suất sinh ra trên mặt cắt là
ứng suất pháp phân bố đều trên mọi điểm như hình 2.8.
a) Xác định mối quan hệ giữa biến dạng và ứng suất
Xét một đoạn thanh cong có chiều dài ở trục là ds tương ứng với góc ở tâm
là dφ. Đoạn thanh bị kéo bởi lực dọc trục N như hình 2.9.
Trước khi chịu lực có chiều dài đoạn dây cung hình 2.8:

mn  ds  (r  y)d
Sau khi chịu lực kéo Nz thì thanh bị giãn ra một đoạn:

nn '  (r  y )d  l  ds

Vậy độ dãn tỷ đối của thớ  

ds d

 const .
ds
d

Theo định luật Hooke biến dạng dài thì ta có:

l 
d
  const     .E    E.
l E
d
b) Xét mối quan hệ giữa ứng suất và nội lực N



(2.1)

Xét mặt cắt và điểm N thuộc mặt cắt, ta lấy vi phân vô cùng bé thì nội lực
tại điểm đang xét là σ.dF ta có:
21


 .dF  N

z

F



  E.
F

d
d
d
.dF  N  E.
.dF  N  E.
.F  N z

d
d F
d

d N z

d E.F

(2.2)

Thế biểu thức (2.2) vào biểu thức (2.1) ta được cơng thức tính ứng suất cho
thanh cong chịu kéo (nén) đúng tâm như sau :



Nz

F

Trong đó:
- Nz là lực dọc trục;
- F là diện tích mặt cắt ngang.
Như vậy, khi thanh cong bị kéo (nén) dọc trục, ứng suất pháp phân bố đều
trên mặt cắt ngang cũng giống với thanh thẳng đã nghiên cứu trong môn sức bền
vật liệu 1.
2.4. Ứng suất trong thanh cong chịu uốn thuần túy
2.4.1. Khái niệm chung
Thanh cong phẳng chịu uốn thuần túy khi trên mọi mặt cắt ngang chỉ tồn
tại 1 thành phần mômen uốn Mx (hoặc My ) như hình 2.10.
dF
N

a

0

σ

y

x

m

C
Mx z

F

r0

0
C

0

n,

r

y

r

∆d
φ

n

y

M

rth

x

Hình 2.10. Nội lực trong thanh chịu uốn
22

0

dφ
0

rt
h

Hình 2.11. Đoạn thanh cần xét
ứng suất

M
x


2.4.2. Xác định ứng suất
Để nghiên cứu ứng suất trên mặt cắt ngang của thanh cong bị uốn thuần
túy, ta vẫn sử dụng giả thiết mặt cắt ngang phẳng và giả thiết về các thớ dọc như
đã nêu ở sức bền 1 như sau:
- Mặt cắt ngang phẳng trước và sau biến dạng mặt cắt ngang của thanh vẫn
phẳng và vng góc với trục thanh;
- Trong q trình biến dạng các thớ dọc vẫn song song với trục cong của
thanh, không ép lên nhau và cũng không tách xa nhau.
Với giả thiết 1 chúng ta có thể khẳng định trên mặt cắt ngang của thanh chỉ
có ứng suất pháp mà khơng có ứng suất tiếp.
a) Xét mối quan hệ giữa ứng suất và biến dạng
Xét một đoạn thanh cong chịu uốn thuần túy có chiều dài ds, tương ứng với

góc ở tâm là dφ, nội lực trên mặt cắt ngang là mơmen uốn Mx như hình 2.11 ta
xét biến dạng của đoạn thanh:
Trước khi chịu lực tác dụng có chiều dài đoạn dây cung:

mn  ds  (r  y)d
Sau khi chịu lực tác dụng thanh uốn cong một đoạn và biến dạng:

nn '  cn.d  (r  y  rth )d  l  ds
Theo định luật Hooke:  

nn ' (r rth )d
r d

 (1  th ).
.
mn
rd
r d

Đặt: y + r0 = r (thớ đang xét ứng suất).
    .E    E.(1 

rth d
)
.
r d

(2.3)

b) Tìm mối quan hệ giữa mơmen uốn Mx với ứng suất σ

Xét mặt cắt tròn như trên hình 2.10.
Theo định luật Hooke ta có biến dạng trên một đơn vị chiều dài tại mỗi mặt
cắt là không đổi:  

ds d

 const .
ds
d

dN z   dF

Nội lực tại điểm N: Đưa về tâm 0, dM x  ( dF ) y .
dM  ( dF ) x
 y
Lấy tích phân trên tồn mặt cắt ta được các giá trị:
23


Lực dọc trục:

r
rth d
d (1  th ).dF
N z    dF   E (1  )
.dF E
0
r
r d
d F

F
F
  (1 
F

 rth 

rth
1
).dF  0  F  rth  dF  0
r
F r

F
dF
F r

(2.4)

Vậy biểu thức (2.4) là biểu thức tính bán kính cong của thớ trung hịa.
Mơmen quay xung quanh trục ox:

 M x   ( dF ). y  M x   E.(1 
F



F

rth d

d
d
)
dF . y E.
( y  a)dF E.
.F.a

r d
d F
d

d
Mx

d E.F.a

(2.5)

Chú ý: Ta có mơmen tĩnh của toàn bộ mặt cắt so với điểm C hay so với trục
trung hòa:

S x   ydF  F . yc nên S x   ( y  a)dF  F . y02  F .a
F

F

Thay biểu thức (2.4) vào biểu thức (2.3) ta được công thức xác định ứng
sất trên thanh cong chịu uốn thuần túy được biểu thức (2.6):

  (1 

rth M x
)
r F .a

(2.6)

Trong đó:
- r: Bán kính cong tới điểm tính ứng suất;
- a: Khoảng cách từ trọng tâm mặt cắt ngang tới đường trung hịa a = r – rth;
- rth: Bán kính cong của thớ trung hịa xác định theo cơng thức tổng quát (2.4).
2.5. Xác định bán kính chính khúc của lớp trung hịa
Muốn áp dụng được cơng thức tính ứng suất pháp (2.6) cần tính được bán
kính cong của thớ trung hòa. Đối với mặt cắt bất kỳ ta dùng cơng thức (2.4).
Sau đây, ta sẽ tính rth cho một số mặt cắt đơn giản thường gặp:
24