CHƯƠNG 2: HÀM NHIỀU BIẾN SỐ

Chương 2. Hàm nhiều biến số
2.1. Các khái niệm cơ bản:
2.1.1. Định nghĩa hàm nhiều biến số:
* Định nghĩa:
u= f(M). x
1
; x
2
; ; x
n
; D;
{ }
)n,1i(Rx:)x;...;x;x(RD
in21
n
==
)x....;;x;x(f)M(fu)x....;;x;x(M
RD:f
n21n21
==


{ }
)x;....;x;x(fy:R)y;x;...;x;x(R
n21
1n
n21f
==
+

VÝ dô :
{ }
22
22
22
2
yx1)y;x(f)y;x(
R1yx:)y;x(D:f)2
yx)y;x(fz)y;x(
RR:f)1
−−=
→≤+=
+==
→




2.1.2. Giới hạn của dãy điểm trong R
n
* Định nghĩa: Dãy điểm {M
p
(x
1p;
x
2p
; .;x
np

) } trong R
n
gọi là dần
tới M
o
( x
1
; x
2
; ; x
n
) khi
Ký hiệu:

+p
)n,1i(xxLim
0)xx(Lim)M;M(dLim
iip
p
n
1i
2
iip
p
op
p
==
==
+
=

++





=
+
+
op
p
op
MMLim
p;MM


2.2. Giíi h¹n cña hµm 2 biÕn sè.
2.2.1. Giíi h¹n lÆp cña hµm 2 biÕn sè.

§Þnh nghÜa:
2
R)y;x(M;D);y,x(fz
ooof
∈=
).()y;x(flimLim)y,x(flimLim
).()y;x(flimLim)y,x(flimLim
oooo
oooo
yyxxyyxx
xxyyxxyy

22
12






=






=
→→→→
→→→→



VÝ dô: TÝnh c¸c giíi h¹n lÆp sau:
11
11
0
22
22
00
0
22

22
00
==
+
−
=
−=−=
+
−
=
→→→
→→→
)(Lim
yx
yx
limLimJ
)(Lim
yx
yx
limLimI
xyx
yxy


Mở rộng: giới hạn lặp của hàm n biến số:

Cho hàm số u = f(x
1
; x
2

; . ; x
n
) có tập xác định D
f
;
M
o
( x
1o
; x
2o
; .; x
no
).
Cố định x
j
khác x
jo
, ta tính giới hạn lặp của hàm n -1
biến x
1
; x
2
; ; x
j - 1
; x
j+1
; ; x
n
:

)x()x;...;x;x(flim...limlim.....limLim
jn
xxxxxxxxxx
nonojjojjoo
=

++
21
11112211
)x(Lim
j
xx
joj




2.2.2. Giíi h¹n cña hµm 2 biÕn sè

§Þnh nghÜa: Hµm z= f(x;y) x¸c ®Þnh trong V(M
o
) cã thÓ trõ
M
o
(x
o;
y
o
).
ε<−⇒δ<∀>δ∃>ε∀⇔

==
→
→
→
L)M(f)M;M(dM:;
)L)M(fLim(L)y;x(fLim
o
MM
yy
xx
o
o
o
00


VÝ dô 1:
0
00
00
22
2222
22
0
0
=⇒
≠∀≤
+
≤−⇒
≠∀≤

+
≤
+
+
=
→
→
I
);()y;x(y
yx
xy
y
);()y;x(yy
yx
x
yx
xy
yx
xy
LimI
y
x


VÝ dô 2: T×m
22
0
0
yx
xy

Lim
y
x
+
→
→
Kh«ng tån t¹i giíi h¹n trªn


2.3. Tính liên tục của hàm 2 biến số:

Định nghĩa: hàm số u =f(M) xđ trong D
f
;
f(M) liên tục tại M
o
nếu
Khi đó điểm M
o
là điểm liên tục của f(M).
Hàm không liên tục tại M
o
thì M
o
được gọi là điểm gián
đoạn của hàm số.
fo
DM
).()M(f)M(fLim
o

MM
o
32=

)y;x(f)yy;xx(f)y;x(f
).()y;x(fLim).(
oooo
oo
y
x
00
0
0
42032
++=
=





Hµm f liªn tôc D

TÝnh chÊt liªn tôc cña hµm nhiÒu biÕn

Hµm liªn tôc ®Òu trªn D:
ε<−⇒δ<∈∀
>δ∃>ε∀
)'M(f)M(f)'M,M(dD'M,M
:, 00