TÍCH PHÂN BỘI BA_ GIẢI TÍCH 3

§2. Tích phân bội ba – Định nghĩa và cách
tính
1 2
, , ,
n
Ω Ω Ω
1 2
, , ,
n
V V V∆ ∆ ∆
Định nghĩa:
Cho hàm f(x,y,z) xác định trên miền đóng và bị chặn Ω
trong không gian Oxyz. Chia Ω thành n phần không
dẫm lên nhau có thể tích tương ứng là
Trong mỗi miền Ω
k
lấy 1 điểm bất kỳ M
k
(x
k
,y
k
,z
k
)
Lập tổng tích phân
1
( , , )
n
n k k k k
k

S f x y z V
=
= ∆
∑
Cho , nếu tổng trên tiến tới giá trị hữu
hạn S không phụ thuộc vào cách chia miền Ω và cách
lấy điểm M
k
thì giới hạn hữu hạn S được gọi là tích
phân bội ba của hàm f(x,y,z) trên miền Ω
max ( ) 0
k
d Ω →
Chú ý : Vì tích phân không phụ thuộc vào cách chia
miền Ω nên ta có thể chia Ω bởi các mặt phẳng song
song với các mặt tọa độ . Khi ấy mỗi miền nhỏ là
hình hộp chữ nhật nên ta có ΔV = Δx Δy Δz = dxdydz
Vì vậy ta thường dùng kí hiệu :
( , , ) ( , , )f x y z dV f x y z dxdydz
Ω Ω
=
∫∫∫ ∫∫∫
§2. Tích phân bội ba – Định nghĩa và cách
tính
max ( ) 0
1
( , , ) lim ( , , )
k
n
k k k k

d
k
f x y z dV f x y z V
Ω →
=
Ω
= ∆
∑
∫∫∫
Vậy:
Tính chất: Các hàm f, g khả tích trên Ω
Nếu Ω được chia thành 2 miền không dẫm lên nhau
Ω1, Ω2
§2. Tích phân bội ba – Định nghĩa và cách
tính
( )dxdydz V
Ω
= Ω
∫∫∫
1.
. ( , , ) ( , , )C f x y z dxdydz C f x y z dxdydz
Ω Ω
=
∫∫∫ ∫∫∫
2.
( ( , , ) ( , , )) ( , , ) ( , , )f x y z g x y z dxdydz f x y z dxdydz g x y z dxdydz
Ω Ω Ω
+ = +
∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫
3.

( , , ) ( , , )f x y z dxdydz g x y z dxdydz
Ω Ω
≤
∫∫∫ ∫∫∫
4. Nếu g ≥ f trên Ω thì
1 2
( , , ) ( , , ) ( , , )f x y z dxdydz f x y z dxdydz f x y z dxdydz
Ω Ω Ω
= +
∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫
5.
0 0 0
( , , ) ( , , ) ( )f x y z dxdydz f x y z V
Ω
= Ω
∫∫∫
Ta gọi giá trị trung bình của hàm f trên Ω là đại lượng
1
( , , )
( )
f x y z dxdydz
V
Ω
∫∫∫
Ω
6. Định lý giá trị trung bình: Nếu hàm f(x,y,z) liên tục
trong miền đóng, giới nội, liên thông Ω thì trong Ω tồn
tại ít nhất 1 điểm M
0
(x

0
,y
0
,z
0
) sao cho :
§2. Tích phân bội ba – Định nghĩa và cách
tính
Cách tính
( , )
( , )
( , , ) ( , , )
x y
D x y
f x y z dxdydz f x y z dz dxdy
ϕ
ψ
Ω
 
=
∫∫∫ ∫∫ ∫
 
 
Nếu miền Ω có hình chiếu xuống mặt phẳng Oxy là
miền D và giới hạn trên bởi mặt z = φ(x,y), giới hạn
dưới bởi mặt z = ψ(x,y) thì
Ta còn viết tích phân trên ở dạng
( , )
( , )
( , , )

x y
D x y
dxdy f x y z dz
ϕ
ψ
∫∫ ∫
Như vậy, để tính tích phân bội ba ta cần xác định
hình chiếu của Ω xuống mặt phẳng tọa độ, sau đó đi
xác định mặt giới hạn trên, dưới của Ω
§2. Tích phân bội ba – Định nghĩa và cách
tính
Ví dụ 1 : Tính tích phân
1
2I zdxdydz
Ω
=
∫∫∫
Trong đó Ω giới hạn bởi
2 2
0 ,0 , 4x y x y z≤ ≤ + ≤ ≤
Còn z giới hạn bởi x
2
+y
2
≤z ≤4, nên
2 2
4
1
2
D

x y
I dxdy zdz
+
=
∫∫ ∫
2 2
2 4
( )
x y
D
z dxdy
+
=
∫∫
2 2 2
(16 ( ) )
D
x y dxdy= − +
∫∫
2
2
4
0 0
(16 )d r r dr
π
ϕ
= −
∫ ∫
§2. Tích phân bội ba – Định nghĩa và cách
tính

Hình chiếu của Ω xuống mặt phẳng Oxy là phần
hình tròn D : x
2
+y
2
≤4, 0≤x, 0≤y
§2. Tích phân bội ba – Định nghĩa và cách
tính
D
x=0
y=0
z=4
z=x
2
+y
2
Mặt trụ parabolic song song với trục Oz và tựa lên
đường parabol y=x
2
là mặt trụ không kín, ta cần thêm
giao tuyến của mặt phẳng z + y = 1 với mặt phẳng
Oxy là đường thẳng y = 1 để có được hình chiếu của
Ω xuống mặt phẳng Oxy là miền đóng D
Trong miền D, ta có y≤1
tức là 0 ≤ 1 - y nên trong
Ω mặt phẳng z = 1 – y
nằm trên mặt phẳng z = 0
2
( )I x y dxdydz
Ω

= +
∫∫∫
Ví dụ 2 : Tính tích phân
Trong đó Ω giới hạn bởi y=x
2
, y+z=1, z=0
§2. Tích phân bội ba – Định nghĩa và cách
tính
-1 1
1
D
Vì vậy:
1
2
0
( )
y
D
I dxdy x y dz
−
= +
∫∫ ∫
1
0
( ( ))
D
y
zx y dxdy
−
= +

∫∫
2
1 1
2
1
( )(1 )
x
I dx x y y dy
−
= + −
∫ ∫
§2. Tích phân bội ba – Định nghĩa và cách
tính
y+z=1
z=0
y=x
2
§2. Tích phân bội ba – Định nghĩa và cách
tính
Ví dụ 3: Tính tích phân bội ba hàm f(x,y,z)=x trên
miền Ω giới hạn bởi x=0, y=0, z=0, x+y=1, x+y=z
Hình chiếu của Ω xuống mặt phẳng z=0 là miền D
giới hạn bởi x=0, y=0, x+y=1
x
+
y
=
1
Miền D ứng với x+y≥0 nên
ta được 0≤z ≤x+y. Vậy :

3
( , , )I f x y z dxdydz
W
=
òòò
3
0
x y
D
I dxdy xdz
+
=
òò ò
1 1
3
0 0
x
I xdx dy
-
=
ò ò
§2. Tích phân bội ba – Định nghĩa và cách
tính
x=0x+y=1
y=0
x+y=z
Xét điểm M(x,y,z) trong không gian, N(x,y,0) là hình
chiếu của M xuống mặt phẳng xy. Gọi (r,φ) là tọa độ
của N trong tọa độ cực thì : x = rcos φ, y = rsin φ
Vậy điểm M được xác

định bởi bộ ba số (r, φ, z),
chúng được gọi là tọa độ
trụ của điểm M. Công
thức liên hệ giữa tọa độ
trụ và tọa độ Descartes là
cos
sin
x r
y r
z z
ϕ
ϕ
=


=


=

§2. Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ
trụ
y
x
z
M(x,y,z)
y
x
z
M(x,y,z)

z
φ
N(r,φ)
r
Ta có công thức tính tích phân trong tọa độ trụ
Chú ý : Ta thường đổi tích phân bội ba sang tọa độ trụ
nếu hình chiếu của miền lấy tích phân xuống 1 trong 3
mặt tọa độ là 1 phần hình tròn hoặc 1 phần ellipse.
( , , ) . ( cos , sin , )f x y z dxdydz r f r r z drd dz
ϕ ϕ ϕ
Ω Ω
=
∫∫∫ ∫∫∫
§2. Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ
trụ
2 2 2 2
z x y x y= + = +
Miền Ω giới hạn bởi 2 mặt cong nên ta sẽ khử biến z
từ 2 phương trình để tìm hình chiếu của Ω xuống mặt
phẳng z = 0
2 2 2 2 2
( ) 0x y x y⇔ + − + =
2 2
2 2
0
1
z x y
z x y

= + =


⇔

= + =

(loại)
§2. Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ
trụ
Ví dụ 4: Tính tích phân
3
I zdxdydz
Ω
=
∫∫∫
2 2 2 2
,z x y z x y= + = +
Trong đó Ω là miền giới hạn bởi
Suy ra, hình chiếu của Ω xuống mặt phẳng Oxy là
hình tròn , tương ứng ta có
2 2
1x y+ ≤
Vậy:
Hình chiếu của miền lấy tích phân là hình tròn nên ta
sẽ đổi tích phân trên sang tọa độ trụ bằng cách đặt :
cos
sin
x r
y r
z z
ϕ

ϕ
=


=


=

2 2
2 2 2 2
3
1
x y
x y x y
I dxdy zdz
+
+ ≤ +
=
∫∫ ∫
và ta có
2
2 1
3
0 0
r
r
I d rdr zdz
π
ϕ

=
∫ ∫ ∫
12
π
=
§2. Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ
trụ
2 2 2 2
x y x y+ ≤ +
Vì x
2
+y
2
≤1 nên
2
2
1 1
2 4
3
0 0
2 . .( ) . ( )
2
r
r
z
I rdr r r r dr
π π
= = −
∫ ∫
§2. Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ

trụ
Miền D
Mặt trụ kín x
2
+y
2
=1 song song với trục Oz nên chiếu Ω
xuống mặt phẳng Oxy ta được hình tròn : x
2
+y
2
≤1
§2. Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ
trụ
Ví dụ 5: Tính tích phân
Trong đó Ω giới hạn bởi
5
2 2
z
I dxdydz
x y
Ω
=
∫∫∫
+
2 2
1, 0, 2x y z x y z+ = = + + =
Với 2 mặt còn lại, ta phải so
sánh giữa z=0 và z=
để có cận đối với dz

√2 -x-y
Ta vẽ thêm đường thẳng
√2 -x-y
=0
trong mp z=0 để
so sánh
√
2
-
x
-
y
=
0
Rõ ràng, trong hình tròn
ta có
√2 -x-y
≥0
§2. Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ
trụ
Hình chiếu của Ω là hình tròn nên ta sẽ đổi tích
phân trên tọa độ trụ bằng cách đặt
cos
sin
x r
y r
z z
ϕ
ϕ
=



=


=

2 cos sin
2 1
5
0 0 0
r r
z
I d rdr dz
r
j j
p
j
- -
=
ò ò ò
2 cos sin
2 1
2
5
0
0 0
2
r r
z

I d dr
j j
p
j
- -
æ ö
÷
ç
=
÷
ç
÷
ç
è ø
ò ò
2 2
2
5
2 2
0
1
x y
x y
z
I dxdy dz
x y
− −
+ ≤
=
∫∫ ∫

+
Vậy :
§2. Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ
trụ
Ta sẽ tính bằng
cách thứ 2
2
5
0
1 1 7
2 2(cos sin ) (1 sin2 )
2 3 3
I d
p
p
j j j j
æ ö
÷
ç
= - + + + =
÷
ç
÷
ç
è ø
ò
x+y+z=√2
Miền D
x
2

+y
2
=1
2 2
2 2
2 2
1
2 2 2 2 2 2
x y
x y x y xy
dxdy
x y
+ ≤
+ + − − +
=
∫∫
+
Ta đang có tích phân kép trên cả hình tròn nên ta sẽ
đổi tích phân kép trên sang tọa độ cực thông thường
và được
§2. Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ
trụ
2 2
2
2
5
2 2
1
0
1

2
x y
x y
z
I dxdy
x y
− −
+ ≤
 
=
∫∫
 ÷
+
 
2 2
2 1
5
0 0
2 2 2 (cos sin ) 2 sin cosr r r
I d r dr
r
π
ϕ ϕ ϕ ϕ
ϕ
+ − + +
=
∫ ∫
Như vậy, thực chất việc ta tính tích phân bội ba trong
tọa độ trụ chính là việc tính tích phân đó bình thường
theo dz, sau đó đổi tích phân kép trên hình chiếu

sang tọa độ cực.
§2. Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ
trụ
§2. Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ
trụ
Ví dụ 6: Tích tích phân bội ba hàm f(x,y,z) = y
2
+z
2
trên
miền Ω giới hạn bởi y
2
+z
2
=1, y
2
+z
2
=4, x=2π, x=4π
Trong 4 mặt tạo nên Ω có 2 mặt trụ cùng song song
với Ox nên ta sẽ chiếu Ω xuống mặt phẳng x=0, và
được miền D : 1≤ y
2
+z
2
≤4
2 mặt còn lại cho ta cận tích phân theo dx: 2π≤x ≤4π
4
2 2
6

2
( )
D
I dydz y z dx
p
p
= +
òò ò
2 2
2 2
1 4
( ).2
y z
y z dydzp
£ + £
= +
òò
2 2
2 2
6
0 1
2 . 15I d r r dr
p
p j p= =
ò ò
Trong không gian cho điểm
M(x,y,z), N là hình chiếu của M
xuống mặt phẳng xy. Ta đặt:
ρ là độ dài đoạn OM
Như vậy 0 ≤ ρ +∞, - 2˂ π ≤ φ ≤ 2π, 0 ≤ θ ≤ π

Nếu M nằm trên Oz thì góc φ không xác định, còn
khi M trùng với gốc tọa độ thì cả θ cũng không xác
định. Còn tất cả các điểm khác đều có thể xác định
φ, θ, ρ và ta gọi đó là tọa độ cầu của điểm M
§2. Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ
cầu
θ
φ
N
M
φ là góc giữa Ox và tia ON
θ là góc giữa Oz và tia OM
ρ
Khi đó, ta dễ dàng tính được
sin cos
sin sin
cos
x
y
z
ρ θ ϕ
ρ θ ϕ
ρ θ
=


=


=


Ngược lại, ta có công thức chuyển từ tọa độ cầu
sang tọa độ Descartes như sau
2 2 2
2 2
tan
tan
x y z
y
x
x y
z
ρ
ϕ
θ


= + +


=



+
=


§2. Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ
cầu

Từ đó, ta có công thức đổi biến tích phân bội 3 sang
tọa độ cầu:
2
( , , )
sin ( sin cos , sin sin , cos )
f x y z dxdydz
f d d d
ρ θ ρ θ ϕ ρ θ ϕ ρ θ ϕ θ ρ
Ω
Ω
∫∫∫
=
∫∫∫
Thông thường, nếu miền lấy tích phân là 1 phần
hình cầu hoặc 1 phần ellipsoid thì ta sẽ đổi tích phân
bội ba sang tọa độ cầu.
Cận của φ được xác định dựa vào hình chiếu của Ω
xuống mặt phẳng Oxy, còn đối với θ, ρ thì dựa vào
phần cắt dọc Ω bởi 1 mặt phẳng chứa trục Oz
§2. Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ
cầu