SKKN một số giải pháp giúp cho học sinh lớp 5 giải các bài toán về dãy số

MỤC LỤC
Stt
1.
1.1
1.2
1.3
1.4
2.
2.1.
2.2.
2.3.
2.3.1.
2.3.2.
2.3.3.
2.3.4.
2.4.
3.
3.1
3.2.

Mở đầu
Lí do chọn đề tài
Mục đích nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu
Phương pháp nghiên cứu
Nội dung
Cơ sở lí luận của sáng kiến
Thực trạng việc dạy và học dạng toán về dãy số ở lớp 5
Các giải pháp thực hiện
Giải pháp 1. Tìm hiểu kỹ nội dung đề tốn:
Giải pháp 2. Cung cấp cho học sinh hiểu "dãy số" là gì?

Muốn làm được tốn về dãy số trước hết ta phải hiểu gì?
Giải pháp 3: Một số vấn đề cần lưu ý giúp học sinh nắm
các loại bài toán và nhận dạng bài tập về dãy số theo dạng.
Giải pháp 4: Học sinh vận dụng kiến thức để giải một số
dạng bài toán về dãy số dưới sự hướng dẫn của giáo viên.
Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm
Kết luận – kiến nghị
Kết luận
Kiến nghị

Trang
1
1
1
2
2
2
2
3
4
4
5
6
6
16
17
17
18

1. MỞ ĐẦU

1.1. Lý do chọn đề tài:
Đất nước Việt Nam đã chủ động, tích cực hội nhập quốc tế để phát triển
giáo dục và đào tạo, đồng thời giáo dục và đào tạo phải đáp ứng yêu cầu hội
0


nhập quốc tế để phát triển đất nước. trước xu thế tồn cầu hố nền kinh tế tri thức
của thời đại “Giáo dục và đào tạo là quốc sách hàng đầu, là sự nghiệp của Đảng,
Nhà nước và của toàn dân. Đầu tư cho giáo dục là đầu tư phát triển, được ưu tiên
đi trước trong các chương trình, kế hoạch phát triển kinh tế-xã hội. Đổi mới
chương trình nhằm phát triển năng lực và phẩm chất người học, hài hịa đức, trí,
thể, mỹ; dạy người, dạy chữ và dạy nghề.
Đối với người làm công tác giáo dục trong nhà trường đứng trước vận
mệnh của đất nước trong tương lai, địi hỏi mỗi thầy cơ giáo phải ln cố gắng
vươn lên bằng chính năng lực của mình và tự đổi mới khơng ngừng để bắt kịp
với tình hình đổi mới của giáo dục, của đất nước góp phần thực hiện tốt nhiệm
vụ giáo dục của mình trong sự nghiệp giáo dục đổi mới của đất nước.
Qua quá trình giảng dạy, nghiên cứu tơi thấy mơn Tốn ở Tiểu học được
chia làm 5 mạch kiến thức cơ bản là: Số học; Đại lượng cơ bản; Yếu tố đại số;
Yếu tố hình học và Giải tốn có lời văn. Trong 5 mạch kiến thức đó thì số học là
mạch kiến thức quan trọng của mơn học. Trong đó, ta sẽ gặp khơng ít các bài
toán về dãy số ở cả số tự nhiên, phân số và số thập phân, đặc biệt là trong
chương trình bồi dưỡng học sinh có khả năng phát triển mơn tốn. Các em phải
được làm quen với nhiều dạng toán. Các bài toán về dãy số lại được chia thành
các loại nhỏ mà khi gặp phải các em thường lúng túng hoặc không phát hiện ra
quy luật của dãy số và cách giải. Nhưng nếu học tốt dạng bài này sẽ có tác dụng
giúp các em có kĩ năng phân tích, tổng hợp từ khái quát đến cụ thể, giúp các em
năng động, sáng tạo hơn trong học tập. Các bài toán về dãy số là một trong
những dạng tốn giúp học sinh rèn luyện về trí tuệ, đồng thời giúp học sinh hình
thành những kỹ năng biến đổi các phép tính, các dãy tính để hình thành được

quy luật của dãy số. Nó giúp các em định hướng được cách giải để tìm ra kết
quả dãy số cần tìm. Chính vì vậy, việc nâng cao hiệu quả giảng dạy các dạng
bài tập về dãy số để bồi dưỡng học sinh ở bậc tiểu học nói chung và học sinh lớp
5 nói riêng là một việc rất cần thiết của mỗi giáo viên để nâng cao hiệu quả học
tập của học sinh.
Xuất phát từ những lý do trên cùng với mong muốn nâng cao hiệu quả
giảng dạy về dãy số cho học sinh lớp 5 ở trường Tiểu học, tôi đã nghiên cứu và
rút ra kinh nghiệm: "Một số giải pháp giúp học sinh lớp 5 giải các bài tốn về
dãy số". Qua kinh nghiệm này, tơi xin đưa ra một vài ý kiến về phương pháp
giảng dạy, nhằm nâng cao nghiệp vụ chuyên môn cho bản thân và các bạn đồng
nghiệp, mong phần nào nâng cao chất lượng giảng dạy mơn Tốn nói chung và
nhất là nâng cao hiệu quả giảng dạy về dãy số cho học sinh giỏi lớp 5 ở trường
Tiểu học Quảng Thành.
1.2. Mục đích nghiên cứu:
Việc chọn nghiên cứu kinh nghiệm "Một số giải pháp giúp học sinh lớp
5 giải các bài toán về dãy số" nhằm mục đích:
- Nâng cao chất lượng giảng dạy mơn Tốn cho học sinh lớp 5 trong
trường Tiểu học Quảng Thành
- Rèn được kỹ năng giải các dạng bài tập về dãy số cho học sinh giỏi lớp
5, kỹ năng tìm quy luật dãy số và biến đổi dãy số cho học sinh.
1


- Rèn luyện cách tính nhanh, nhẩm nhanh kết quả một dãy tính, để vận
dụng vào tính nhẩm trong cuộc sống hàng ngày cho mỗi học sinh lớp 5.
1.3. Đối tượng nghiên cứu:
- Điều tra việc giảng dạy các dạng bài tập về dãy số trong mơn Tốn của
giáo viên dạy lớp 5 trường Tiểu học Quảng Thành.
- Điều tra việc học Toán và làm bài tập với các dạng bài về dãy số của học
sinh lớp 5 trường Tiểu học Quảng Thành.

- Nghiên cứu tại lớp 5B trường Tiểu học Quảng Thành - thành phố Thanh
Hóa.
1.4. Phương pháp điều tra, nghiên cứu:
- Phương pháp điều tra khảo sát.
- Phương pháp thử nghiệm.
- Phương pháp thực hành.
- Phương pháp phân tích tổng hợp.
- Phương pháp kiểm tra đánh giá.
- Phương pháp nghiên cứu tài liệu.
- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm.
2. NỘI DUNG
2.1. Cơ sở lý luận:
Toán học với tư cách là môn khoa học nghiên cứu một số mặt của thế giới
thực có một hệ thống kiến thức cơ bản và phương pháp nhận thức cơ bản rất cần
thiết cho đời sống, sinh hoạt và lao động, đồng thời nó cũng là những cơng cụ
rất cần thiết để học các môn học khác và để tiếp tục nhận thức thế giới xung
quanh, và để hoạt động có hiệu quả trong thực tiễn.
Khả năng giáo dục nhiều mặt của môn Tốn rất to lớn, nó có nhiều khả
năng để phát triển tư duy lơ gíc, bồi dưỡng và phát triển những thao tác trí tuệ
cần thiết để nhận thức thế giới hiện thực như: trừu tượng hoá, khái quát hoá,
phân tích và tổng hợp, so sánh và dự đốn, chứng minh và bác bỏ. Nó có vai trị
to lớn trong việc rèn luyện phương pháp suy nghĩ, phương pháp suy luận,
phương pháp giải quyết vấn đề có căn cứ khoa học, tồn diện chính xác. Nó có
nhiều tác dụng trong việc phát triển trí thơng minh, tư duy độc lập linh hoạt
sáng tạo trong việc hình thành và rèn luyện nề nếp, phong cách và tác phong làm
việc khoa học rất cần thiết trong mọi lĩnh vực hoạt động của con người góp phần
giáo dục ý chí và những đức tính tốt cho học sinh.
Nhiều năm học qua, bản thân tôi được giao chủ nhiệm trực tiếp dạy lớp 5,
bồi dưỡng học sinh lớp 5, tôi luôn luôn trăn trở đi sâu tìm hiểu những vấn đề cịn
vướng mắc trong giảng dạy. Thực tế cho thấy khi giảng dạy có rất nhiều học

sinh nắm lí thuyết một cách máy móc và khi vận dụng vào thực hành thì gặp
nhiều lúng túng khó khăn. Tơi nhận thấy trong chương trình Tốn ở bậc Tiểu
học, các vấn đề về dãy số, quy luật của dãy số đã trở thành một chủ đề khá quan
trọng trong chương trình tốn nâng cao lớp 5. Các bài toán về dãy số cũng hay
xuất hiện trong các kì thi giao lưu học sinh, thi định kỳ. Vì thế, việc tìm ra quy
luật của dãy số, nắm được cách giải thành thạo các bài toán về dãy số là một yêu
cầu cần thiết đối với tất cả các em học sinh ở cuối bậc Tiểu học, đặc biệt là đối
với các em học sinh có khả năng học tốt mơn tốn.
2


Vậy dạy và học như thế nào để học sinh nắm chắc kiến thức, vận dụng
kiến thức đã học để giải tốn từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp một cách
linh hoạt, chủ động? Đó là điều trăn trở của giáo viên Tiểu học nói chung và của
mỗi giáo viên dạy bồi dưỡng học sinh học tốt mơn tốn nói riêng.
Từ cơ sở lý luận trên, tơi đã nghiên cứu những mặt cịn tồn tại trong q
trình dạy và học dạng tốn về dãy số. Để tìm ra những biện pháp giảng dạy đạt
được hiệu quả cao nhất trong quá trình dạy bồi dưỡng học sinh lớp 5 trường
Tiểu học Quảng Thành.
2.2. Thực trạng việc dạy và học dạng toán về dãy số ở lớp 5
Trong dạy học tốn ở phổ thơng nói chung và ở tiểu học nói riêng,
phương pháp giải các bài tốn về dãy số có một vị trí quan trọng. Có thể coi dạy
- học giải tốn là "Hịn đá thử vàng " của dạy - học toán. Khi giải các bài toán về
dãy số học sinh phải tư duy một cách tích cực và linh hoạt huy động thích hợp
các kiến thức và khả năng đã có vào các tình huống khác nhau trong nhiều
trường hợp phải biết phát hiện những dữ kiện hay điều kiện chưa được nêu ra
một cách tường minh và trong chừng mực nào đó phải biết suy nghĩ năng động,
sáng tạo. Vì vậy, có thể coi giải các bài toán về dãy số là một trong những biểu
hiện năng động nhất của hoạt động trí tuệ của học sinh.
Qua thực tế nhiều năm trực tiếp giảng dạy và bồi dưỡng học sinh lớp 5,

khi đưa ra các bài tốn về dãy số cho học sinh làm thì tơi nhận thấy kết quả cịn
rất thấp. Để biết chính xác hơn học sinh lúng túng giải loại toán này như thế nào
tôi đã tiến hành khảo sát chất lượng vòng đầu với 5 bài tập ở 5 dạng như sau:
Dạng 1: Các bài toán về điền thêm số hạng vào sau, ở giữa hoặc trước....
một dãy số.
Bài 1: Tìm 2 số hạng điền vào chỗ chấm của các dãy số sau:
a) …..; …..; 39; 42; 45.
b) 20; 27; 34; 41; .....;......;
c) 2; 4; 8; ...; ..... ; 64; 128; 256.
Dạng 2: Xác định một số a nào đó thuộc dãy số đã cho hay không.
Bài 2: Cho dãy số: 2; 4; 6; 8; ....
a) Dãy số được viết theo quy luật nào?
b) Số 25 có phải là số hạng của dãy khơng? Vì sao?
Dạng 3: Tìm số các số hạng của dãy số.
Bài 3: Cho dãy số: 1; 3; 5; 7;....; 63;65.
Hãy xác định dãy số trên có bao nhiêu số hạng?
Dạng 4: Tìm tổng các số hạng của dãy số.
Bài 4: Cho dãy số: 2; 4; 6; 8; ...; 48; 50. Hãy tính tổng của dãy số.
Dạng 5: Các bài toán về dãy chữ.
Bài 5: Một người viết liên tiếp nhóm chữ CHAM HOC thành dãy:
CHAMHOCCHAMHOCCHAMHOC.... hỏi chứ cái thứ 50 trong dãy là chữ gì?
* Kết quả chất lượng khảo sát đầu năm:
Hoàn thành bài tốt

Chưa hoàn thành
bài

3

Các dạng toán về dãy
Tổng số học
SL
TL
SL
TL
số
sinh khảo sát
Dạng 1: Các bài toán
về điền thêm số hạng
20
7
35
13
65
vào sau, ở giữa hoặc
trước.... một dãy số.
Dạng 2: Xác định một
số a nào đó thuộc
20
6
30
14
70
dãy số đã cho hay
khơng.
Dạng 3: Tìm số các số
20
7
35

13
65
hạng của dãy số.
Dạng 4: Tìm tổng các
20
6
30
14
70
số hạng của dãy số.
Dạng 5: Các bài toán
20
5
25
15
75
về dãy chữ.
Qua khảo sát chất lượng, theo dõi cách học và cách làm bài của học sinh,
tơi nhận thấy học sinh vẫn cịn mắc nhiều những lỗi sau:
+ Học sinh chưa nắm vững kiến thức cơ bản về dãy số.
+ Học sinh chưa biết cách tìm ra quy luật của dãy số.
+ Học sinh chưa nắm chắc phương pháp giải với mỗi dạng bài tập.
+ Kỹ năng thực hiện phép tính, trình bày bài giải còn lúng túng.
+ Kỹ năng biến đổi dãy số chưa tốt.
+ Chưa biết cách tìm ra mối liên quan trong dãy số để phát hiện ra đặc
điểm chung của dãy số đó.
Trước thực trạng như vậy, đầu năm học 2020-2021, được sự đồng ý của
chuyên môn, tôi đã áp dụng các giải pháp nâng cao hiệu quả dạy học dạng bài
tập về dãy số ở lớp 5, nhằm nâng cao hiệu quả dạy học, góp phần tăng chất
lượng và tỉ lệ học sinh có khả năng học tốt mơn tốn. Nghiên cứu dạng bài tập

về dãy số tơi đã thực hiện như sau:
2.3. Các giải pháp thực hiện:
2.3.1. Giải pháp 1. Tìm hiểu kỹ nội dung đề tốn:
Giải pháp này tôi đưa ra nhằm nối giữa lý thuyết với thực hành tốn học
Qui trình giải tốn ở tiểu học thường thơng qua 4 bước sau:
Bước 1: Tìm hiểu đề bài
Bước 2: Lập kế hoạch giải
Bước 3: Thực hiện kế hoạch giải
Bước 4: Kiểm tra và đánh giá cách giải
Trong 4 bước của q trình giải tốn về "dãy số" thì bước: “Tìm hiểu đề
bài” có vị trí quan trọng có thể ví như “chiếc chìa khóa để mở ra kho tàng tri
thức” bởi lẽ làm tốt được bước này thì các bước sau mới đi đúng hướng và đạt kết
quả cao.
- Đọc kỹ đề bài :
4


Đọc kỹ đề bài để biết được những dữ kiện bài tốn đó cho và u cầu.
Đây là bước nghiên cứu đầu tiên để giúp học sinh có suy nghĩ ban đầu về ý
nghĩa bài tóan, nắm được nội dung bài toán.
- Xây dựng và thiết lập mối liên hệ giữa các số đã cho của bài tốn:
Tìm cách diễn đạt nội dung của bài tốn bằng ngơn ngữ, ký hiệu tốn học
ngắn gọn bằng cách tóm tắt điều kiện bài toán hoặc minh họa các dữ kiện bài
toán theo sơ đồ hình vẽ.
- Lập kế hoạch giải tốn .
Suy nghĩ xem để trả lời câu hỏi của bài toán cần biết gỡ? Trên cơ sở đó
lập kế hoạch trình tự để giải.
- Thực hiện các phép tính theo kế hoạch để tìm kết quả đúng của bài tốn:
Mỗi phép tính đều được kiểm tra lại cho đúng và thử lại đáp số sau khi
tìm được. Tự kiểm tra xem có trả lời đúng câu hỏi của bài hay khơng? Đó phù

hợp với điều kiện bài tốn hay chưa?
2.3.2 Giải pháp 2. Cung cấp cho học sinh hiểu "dãy số" là gì? Muốn
làm được tốn về dãy số trước hết ta phải hiểu gì?
Học sinh hiểu quy luật về "dãy số", bản chất toán học, ta cần dựa trên
từng bài tập cụ thể làm để dẫn đến quy luật, khi dạy dạng bài tập về dãy số, giáo
viên nên chú trọng giúp học sinh hiểu rõ bản chất toán học, hiểu rõ ý nghĩa, bản
chất của nội dung kiến thức. Hướng dẫn học sinh tự tìm hiểu kiến thức bằng
hiểu biết của mình dựa trên những gợi ý rồi tơi mới hướng dẫn học sinh chốt
kiến thức.Cung cấp cho học sinh các dạng ví dụ cụ thể theo từng dạng:
- Trong dãy số tự nhiên liên tiếp, cứ một số chẵn lại đến một số lẻ rồi lại
đến một số chẵn…
- Dãy số bắt đầu là một số lẻ, kết thúc là một số chẵn thì số lượng các số
chẵn bằng số lượng các số lẻ.
- Dãy số bắt đầu là một số chẵn, kết thúc là một số lẻ thì số lượng các số
chẵn bằng số lượng các số lẻ.
- Dãy số bắt đầu là một số lẻ, kết thúc cũng là một số lẻ, thì số lượng các
số lẻ nhiều hơn số lượng các số chẵn là 1 số.
- Dãy số bắt đầu là một số chẵn, kết thúc cũng là một số chẵn, thì số
lượng các số chẵn nhiều hơn số lượng các số lẻ là 1 số.
- Trong dãy số tự nhiên liên tiếp bát đầu từ số 1 thì số lượng các số trong
dãy số chính bằng giá trị của số cuối cùng của dãy số ấy.
- Trong dãy số tự nhiên liên tiếp bắtt đầu từ số khác 1 thì số lượng các số
trong dãy số bằng hiệu giữa số cuối cùng của dãy số với số liền trước số đầu
tiên.
Trong quá trình cung cấp kiến thức cho học sinh, giáo viên cho học sinh
ghi chép đầy đủ ,nhớ kỹ, để áp dụng vào thực tế bài tập.
2.3.3.Giải pháp 3: Một số vấn đề cần lưu ý giúp học sinh nắm các loại
bài toán và nhận dạng bài tập về dãy số theo dạng.
5

Trước một bài tập cụ thể ta cần hướng dẫn cho học sinh thực hiện thuần
thục theo các bước :
- Đọc, hiểu kĩ yêu cầu của đề bài.
- Nhận dạng bài.
- Tiến hành giải.
- Kiểm tra lại kết quả của bài.
Bậc tiểu học có đặc điểm riêng về tâm sinh lý lứa tuổi nên việc chấm chữa
kịp thời của giáo viên đối với trẻ là rất phù hợp, nó tác động ngay tới hành động
của trẻ. Chấm chữa kịp thời của giáo viên trong giờ học toán là rất quan trọng.
Qua chấm chữa, giáo viên nắm được tình hình chất lượng tiếp thu bài học và bản
thân học sinh cũng tự thấy mình hiểu chỗ nào, chỗ nào chưa hiểu.
Các bài toán về dãy số cá thể phân ra các loại sau:
* Dãy số cách đều.
- Dãy số tự nhiên.
- Dãy số chẵn, lẻ.
- Dãy số chia hết hoặc không chia hết cho một số nào đó.
* Dãy số khơng cách đều:
- Dãy số Phi bo na xi.
- Dãy số có tổng (hiệu) giữa 2 số liên tiếp là một dãy số.
- Dãy số thập phân, phân số.
* Để học sinh nắm được phương pháp giải các bài toán về dãy số, trước
hết tơi chia loại tốn này thành 5 dạng toán nhỏ như sau để dạy cho học sinh:
- Đối với những bài tốn có cấu trúc giống nhau trong q trình giải học
sinh dễ nhầm lẫn, máy móc, giữa bài này với bài khác. Vì vậy phải giúp các em
so sánh và phân biệt từng dạng toán.
Dạng 1: Các bài toán về điền thêm số hạng vào sau, ở giữa hoặc trước....
một dãy số.
Dạng 2: Xác định một số a nào đó thuộc dãy số đã cho hay khơng.
Dạng 3: Tìm số các số hạng của dãy số.

Dạng 4: Tìm tổng các số hạng của dãy số.
Dạng 5: Các bài toán về dãy chữ.
2.3.4 Giải pháp 4: Học sinh vận dụng kiến thức để giải một số dạng bài
toán về dãy số dưới sự hướng dẫn của giáo viên.
Học sinh phải tham gia vào các hoạt động học tập một cách tích cực,
hứng thú, tự nhiên và tự tin. Trách nhiệm của học sinh là phát hiện, chiếm lĩnh
và vận dụng linh hoạt các đơn vị kiến thức trong học tập. Tạo điều kiện để học
sinh có cơ hội được thể hiện kiến thức của mình. Một số ví dụ minh họa cho các
dạng tốn về dãy số. Sau khi phân ra 5 dạng nhỏ, tôi nghiên cứu, đọc tài liệu,
tìm phương pháp giải từng bài tốn rồi sắp xếp các bài toán phù hợp với từng
dạng để dạy cho học sinh. Mỗi dạng tốn nhỏ, tơi tìm các bài tốn điển hình cho
dạng đó để hướng dẫn các em tìm ra phương pháp giải chung. Sau đó, trên cơ sở
học sinh đã hiểu, các em tự nêu ra quy luật của dãy số hoặc cách giải của từng
dạng bài. Khi cung cấp kiến thức cho học sinh tơi đi từ bài dễ đến bài khó để các
em dễ nắm bắt kiến thức hơn. Cụ thể như sau:
6


Dạng 1: Các bài toán về điền thêm số hạng vào sau, ở giữa hoặc
trước.... một dãy số.
Ví dụ 1: Điền thêm 3 số hạng vào dãy số sau :
1; 2; 3; 5; 8; 13; ……
Hướng dẫn: Muốn giải được dãy số này, trước hết phải xác định quy luật
của dãy số như sau:
Ta thấy: 1 + 2 = 3
3+5=8
2+3=5
5 + 8 = 13
………..
…………

Dãy số trên được lập theo quy luật sau: Kể từ số hạng thứ 3 trở đi, mỗi số
hạng bằng tổng của hai số hạng liền trước nó.
Vậy dãy số được viết đầy đủ là: 1; 2; 3; 5; 8; 13; 21; 34; 55.
Ví dụ 2: Viết tiếp 3 số hạng vào dãy số sau:
0; 2; 4; 6; 12; 22….
Bài giải:
Số hạng thứ tư của dãy số là:
6=0+2+4
Số hạng thứ năm của dãy số là: 12 = 2 + 4 + 6
Số hạng thứ sáu của dãy số là: 22 = 4 + 6 +12
Từ đó ta rút ra được quy luật của dãy số là: Mỗi số hạng (kể từ số hạng
thứ 4) bằng tổng của 3 số hạng đứng liền trước nó.
Số hạng thứ bảy của dãy là: 6+ 12+ 22 = 40
Số hạng thứ tám của dãy là: 12+ 22+ 40 = 74
Số hạng thứ bảy của dãy là: 22+ 40+ 74 = 136
Vậy dãy số được viết như sau: 0; 2; 4; 6; 12; 22; 40; 74; 136.
Ví dụ 3: Tìm số hạng đầu tiên của các dãy số sau:
a) …; 24; 27; 30; Biết mỗi dãy số có 10 số hạng.
b) ...; 64; 81; 100; Biết mỗi dãy số có 10 số hạng.
Bài giải:
a) Ta nhận xét:
Số hạng thứ mười của dãy số là: 30 = 10 �3
Số hạng thứ chín của dãy số là: 27 = 9 �3
Số hạng thứ tám của dãy số là:
24 = 8 �3
Từ đó ta suy ra quy luật của dãy số đó: Mỗi số hạng bằng số chỉ thứ tự
của nó nhân với 3.
Vậy số hạng đầu tiên của dãy số là: 1 �3 = 3.
b) Ta nhận xét:
Số hạng thứ 10 là: 100 = 10 �10

Số hạng thứ 9 là: 81 = 9 �9
Số hạng thứ 8 là: 64 = 8 �8
Từ đó ta suy ra quy luật của dãy số đó: Mỗi số hạng bằng chính thứ tự
nhân với chính nó.
Vậy số hạng đầu tiên của dãy số là: 1 �1 = 1.
Ví dụ 4: Tìm các số hạng cịn thiếu trong dãy số sau :
a) 3; 9; 27; ....... ; 729; .....
b) 3; 8; 32; ...... ; 608; .....
7


Bài giải:

a) Ta nhận xét : 3 �3 = 9
9 �3 = 27

.................
Từ đó ta suy ra quy luật của dãy số đó: Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ 2)
trở đi, mỗi số liền sau bằng 3 lần số liền trước.
Vậy các số hạng còn thiếu trong dãy số là :
27 �3 = 81 ; 81 �3 = 243 ; 243 �3 = 729 (đúng)
Vậy dãy số còn thiếu 2 số là: 81 và 243.
b) Ta nhận xét : 3 �3 – 1 = 8 ;
8 �3 – 1 = 23.
.......................
Quy luật của dãy số đó là: Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ 2) trở đi, mỗi
số liền sau bằng 3 lần số liền trước trừ đi 1.
Vậy các số hạng còn thiếu trong dãy số là :
23 �3 - 1 = 68 ; 68 �3 – 1 = 203 ; 203 �3 – 1 = 608 (đúng).
Vậy dãy số còn thiếu 2 số là : 68 và 203.

Ví dụ 5: Điền các số thích hợp vào ô trống sao cho tổng số 3 ô liên tiếp
đều bằng 2002:
496
996
Bài giải:
Ta đánh số thứ tự các ô như sau:
ơ1

ơ2

ơ3

ơ4

ơ5

496
ơ6

ơ7

ơ8

ơ9

996
ơ 10

Theo đề bài, ta có: 496 + ơ7 + ô 8 = 1996.
ô 7 + ô 8 + ô 9 = 1996.

Vậy ô 9 + 496; từ đó ta tính được:
ơ 8 = ơ 5 = ơ 2= 1996 - (496 + 996) = 504
ô 7 = ô 4 = ô 1 = 996
ô 3 = ô 6 = 496.
Điền số vào các ô, ta được:
996

504

496

996

504

496

996

504

496

996

Khi giảng dạy dạng toán này, cần lưu ý: Trước hết cần xác định quy luật
của dãy số là dãy tiến, dãy lùi hay dãy số theo chu kỳ? Từ đó giúp học sinh có
thể điền được các số vào dãy đã cho.
Học sinh cần nhớ:
- Để làm tốt dạng toán trên trước hết cần xác định lại quy luật của dãy số.

+ Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ 2) bằng số hạng đứng trước nó cộng
(hoặc trừ) với một số tự nhiên a.
+ Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ 2) bằng số hạng đứng trước nó nhân
(hoặc chia) với một số tự nhiên q khác 0.
+ Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ 3) bằng tổng 2 số hạng đứng trước nó.
8


+ Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ 4) bằng tổng số hạng đứng trước nó
cộng với một số tự nhiên d rồi cộng với thứ tự của số hạng ấy.
+ Số hạng bằng số hạng đứng trước nó nhân với số thứ tự.
+ Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ 2) trở đi, mỗi số liền sau bằng 3 lần số
liền trước.
+ Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ 2) trở đi, mỗi số liền sau bằng 3 lần số
liền trước trừ đi 1.
Dạng 2 : Xác định số a có thuộc dãy số đã cho hay không?
Yêu cầu của loại bài tập này là xác định quy luật dãy số, sau đó dựa vào
quy luật đó kiểm tra số a có thoả mãn quy luật đó khơng.
Ví dụ 1: Em hãy cho biết:
Các số 60, 483 có thuộc dãy 80, 85, 90,…… hay khơng?
Bài giải:
Cả 2 số 60, 483 đều không thuộc dãy đã cho vì:
- Các số hạng của dãy đã cho đều lớn hơn 60.
- Các số hạng của dãy đã cho đều chia hết cho 5, mà 483 khơng chia hết
cho 5.
Ví dụ 2: Em hãy cho biết:
a) Các số: 50; 133; có thuộc dãy số: 90; 95; 100;.....hay khơng?
b) Số 1996 có thuộc dãy: 2; 5; 8; 11;.... hay khơng ?
c) Số nào trong các số 666; 1000; 9999 có thuộc dãy: 3; 6; 12; 24; ......?
Bài giải:

a) Số 50 không thuộc dãy số trên vì dãy số gồm các số lớn hơn 50.
Quy luật của dãy số là gồm các số chia hết cho 5 mà 133 không chia hết
cho 5 nên số 133 cũng không thuộc dãy số trên.
Vậy cả số 50 và số 133 đều không thuộc dãy số đã cho.
b) Dãy số: 2; 5; 8; 11;.......là các số chia cho 3 đều dư 2 nhưng 1996 chia 3
dư 1 nên 1996 không thuộc dãy số trên.
c) Ta thấy :"Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ 2) bằng số hạng liền trước
nhân với 2". Cho nên (từ số hạng thứ 3) các số hạng đều có "số hạng đứng liền
trước là số chẵn" mà 666 : 2 = 333 là số lẻ nên 666 không thuộc dãy: 3; 6; 12;
24;.....
Các số trong dãy: 3; 6; 12; 24.......đều chia hết cho 3 và từ số hạng thứ 2
của dãy đều là số chẵn mà số 1000 là số không chia hết cho 3 nên số 1000
không thuộc dãy số trên.
Số 9999 là số lẻ nên 9999 không thuộc dãy số trên.
Vậy cả 3 số 666, 1000, 9999 đều khơng thuộc dãy số:3; 6; 12; 24;......
Ví dụ 3: Em hãy cho biết:
a) Các số 60, 483 có thuộc dãy 80, 85, 90,… hay khơng?
b) Số 2002 có thuộc dãy 2, 5, 8, 11,...hay không ?
c) Số nào trong các số 798, 1000, 9999 có thuộc dãy 3, 6, 12,
24,....khơng? Tại sao?
Bài giải:
a) Cả 2 số 60, 483 đều không thuộc dãy số đã cho vì :
9


- Các số hạng của dãy đã cho đều lớn hơn 60.
- Các số hạng của dãy đã cho đều chia hết cho 5, mà 483 không chia hết
cho 5.
b) Số 2002 khơng thuộc dãy 2, 5, 8, 11,...vì mọi số hạng của dãy đều chia
cho 3 dư 2, mà 2002 thì chia cho 3 dư 1.

c) Cả 3 số 798, 1000, 9999 đều không thuộc dãy 3, 6, 12, 24,....vì :
- Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ 2) bằng số hạng đứng trước nó nhân với
2, nên các số hạng (kể từ số hạng thứ 3) có số hạng đứng liền trước là số chẵn,
mà 798 chia cho 2 = 399 lại là số lẻ.
- Các số hạng của dãy đã cho đều chia hết cho 3, mà 1000 không chia hết
cho 3.
- Mỗi số hạng ( kể từ số hạng thứ 2) đều chẵn, mà 9999 lại là số lẻ.
Ví dụ 4: Cho dãy số: 1; 2,2; 3,4;……; 13; 14, 2.
Nếu viết tiếp thì số 34,6 có thuộc dãy số trên khơng?
Bài giải:
Ta có : 2,2 - 1 = 1,2;
3,4 - 2,2 = 1,2; 14,2 - 13 = 1,2;……
Quy luật của dãy số là: Kể từ số hạng thứ 2 trở đi, mỗi số hạng sau hơn số
hạng liền trước nó 1,2 đơn vị.
Mặt khác, các số hạng trong dãy số trừ đi 1 đều chia hết cho 1,2
Ta thấy: (13 - 1) : 1,2
(3,4 - 1) : 1,2
(34,6 - 1) : 1,2 = 28 dư 0.
Vậy nếu viết tiếp thì số 34,6 cũng thuộc dãy số trên.
Ví dụ 5: Cho dãy số: 1996; 1993; 1990; 1997;……; 55; 52; 49.
Các số 100; 123; 456; 789; 1900; 1995; 1999 có phải là số hạng của dãy
trên khơng?
Bài giải:
Nhận xét: Đây là dãy số cách đều nhau 3 đơn vị.
Trong dãy số này, số lớn nhất là 1996, số bé nhất là 49. Do đó 1999 khơng
phải là số hạng của dãy số đã cho.
Mỗi số hạng của dãy số đã cho là số chia cho 3 dư 1. Do đó số 100 và số
1900 là số hạng của dãy số đó.
Các số 123, 456, 789, 1995 đều chia hết cho 3 nên các số đó khơng phải là
số hạng của dãy số đã cho.

Học sinh cần nhớ: Như vậy, sau khi các em làm xong bài tập tôi cho học
sinh tự chốt lại kiến thức như sau:
- Xác định đặc điểm của các số hạng trong dãy số.
- Kiểm tra xem số a có thuộc quy luật đó khơng.
- Nêu kết luận về số a.
Dạng 3: Tìm số các số hạng của dãy.
Ví dụ 1: Cho dãy số: 11; 14; 17; .......; 68.
a) Dãy trên có bao nhiêu số hạng ?
b) Nếu tiếp tục kéo dài dãy số đó thì số hạng thứ 1996 là số mấy ?
Bài giải:
10


a) Có 14 - 11 = 3; 17 - 14 = 3; ..... Vậy mỗi số hạng đứng sau bằng số
hạng đứng trước nó cộng với 3.
Vậy số các số hạng của dãy là: (68 - 11) : 3 + 1 = 20 (số hạng).
b) Số hạng thứ 2 là: 14 = 11 + 3 = 11 + (2 - 1) �3
Số hạng thứ 3 là: 17 = 11 + 6 = 11 + (3 - 1) �3
Số hạng thứ 4 là: 20 = 11 + 9 = 11 + (4 - 1) �3
.....................
Vậy số hạng thứ 1996 là: 11 + (1996 - 1) �3 = 5996.
Đáp số: a) 20 số hạng ; B) 5996.
* Như vậy để giải bài tập trên ở phần a học sinh phải hiểu được từ 1 đến
68 gồm 68 số hạng liên tiếp nhau(giữa hai số hạng hơn kém nhau 1 đơn vị). Từ
1 đến 11 gồm 11 số hạng như vậy. Nên từ 11 đến 68 có 68 - 11 = 57 (số hạng
liên tiếp mà khoảng cách giữa hai số hạng liền nhau là 1). Nhưng vì dãy số đó
có khoảng cách giữa hai số hạng liền nhau là 3 nên ta lấy:
(số cuối - số đầu) : giá trị khoảng cách + 1 = số các số hạng của dãy.
(dựa vào tốn trồng cây)
Cịn ở phần b cần nâng cao hơn, học sinh phải tìm ra thủ thuật để tìm số

hạng thứ 1996 của dãy.
Ví dụ 2: Trong các số có 3 chữ số, có bao nhiêu số chia hết cho 4.
Bài giải:
Dãy số chia hết cho 4 có 3 chữ số sẽ bắt đầu từ 100 và kết thúc ở 996 và
một số hạng của dãy (kể từ số hạng thứ 2) bằng số hạng đứng kề trước cộng
thêm 4.
Do vậy, số các số có 3 chữ số chia hết cho 4 là:
(996 - 100) : 4 + 1 = 225 (số)
Đáp số: 225 số
Ví dụ 3: Viết các số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến 1996 thì cần bao nhiêu chữ
số?
Bài giải:
Dãy số tự nhiên đó là:
1 2 3.......9 10 11........98 99 100 101 ......... 998 999 1000 1001 ........ 1996.
Nhóm 1
Nhóm 2
Nhóm 3
Số các chữ số của nhóm 1 là: (9 - 1) + 1 = 9 (chữ số)

Nhóm 4

Số các chữ số của nhóm 2 là: (99 - 10) + 1 �2 = 180 (chữ số)
Số các chữ số của nhóm 3 là:
Số các chữ số của nhóm 4 là:

(999 - 100) + 1 �3 = 2700 (chữ số)
(1996 - 1000) + 1 �4 = 3988 (chữ số)

Vậy dãy số trên gồm: 9 + 180 + 2700 + 3988 = 6877 (chữ số)
Đáp số: 6877 chữ số.

Ví dụ 3: Cho dãy số 1, 3, 5, 7, ………
là dãy số lẻ liên tiếp. Hỏi số
1981 là số hạng thứ bao nhiêu trong dãy số này?
11


Bài giải:
Ta thấy:
Số hạng thứ 1 là : 1 = 1 + 2 �0
Số hạng thứ 2 là : 3 = 1 + 2 �1
Số hạng thứ 3 là : 5 = 1 + 2 �2
…………………………….
Số hạng cuối cùng là : 1981 = 1 + 2 �990
Vì vậy, số 1981 là số hạng thứ 991 của dãy số trên.
Lưu ý: Với dạng toán này cách giải như sau:
- Sử dụng phương pháp giải toán khoảng cách (Toán trồng cây), ta có
cơng thức sau: Số các số hạng của dãy = số khoảng cách + 1.
- Nếu quy luật của dãy là: Mỗi số hạng đứng sau bằng số hạng đứng liền
trước cộng với số khơng đổi d khác 0 thì :
Số các số hạng của dãy = (số cuối - số đầu) : d + 1.
Dạng 4 : Tìm tổng các số hạng của dãy số
Ví dụ 1: Tính tổng của 19 số lẻ liên tiếp đầu tiên:
Bài giải:
19 số lẻ liên tiếp đầu tiên là: 1; 3; 5; 7; 9; 11; 13; 15; 17; 19; 21; 23; 25;
27; 29; 31; 33; 35; 37.
Ta thấy :
1 + 37 = 38
;
5 + 33 = 38
1 + 35 = 38

;
7 + 31 = 38
Nếu ta sắp xếp các cặp số từ hai đầu dãy số vào, ta được các cặp số đều có
tổng số là 38.
Số cặp là: 19 : 2 = 9 (cặp) dư 1 số hạng.
Số hạng dư này là số hạng ở chính giữa dãy số và là số 19, Vậy tổng của
19 số lẻ liên tiếp đầu tiên là:
39 �9 + 19 = 361
Đáp số: 361
Nhận xét: Khi số lượng số hạng của dãy số lẻ (19 số hạng) thì khi sắp xếp
cặp số sẽ dư lại số hạng ở chính giữa, vì số lẻ khơng chia hết cho 2 nên dãy số
có nhiều số hạng thì việc tìm số hạng cịn lại (khơng trong cặp nào) sẽ rất khó
khăn. Vậy ta có thể hướng dẫn học sinh làm theo 2 cách sau:
Ta thấy:
3 + 37 = 40
;
7 + 33 = 40
5 + 35 = 40 ;
9 + 31 = 40
………
………
Khi đó, nếu sắp xếp các cặp số từ 2 đầu dãy số vào gồm 18 số hạng, thì
được các cặp số có tổng là 40.
Số cặp là: 18 : 2 = 9 (cặp số) tổng của 19 số liên tiếp đầu tiên là :
1 + 40 �9 = 361
Chú ý: Khi số số hạng là số lẻ, ta để lại một số hạng ở một trong 2 đầu
dãy số (số đầu hoặc số cuối) để còn lại một số chẵn các số hạng rồi sắp cặp, lấy
tổng của mỗi cặp nhân với số cặp rồi cộng với số hạng đã để lại thì được tổng
của dãy số.
- Từ ví dụ trên, ta nhận thấy: Khi giải dạng tốn bằng phương pháp lí

thuyết tổ hợp, phải chú ý phân biệt rõ cặp nào sắp xếp thứ tự và cặp nào không
sắp xếp thứ tự để tránh sự nhầm lẫn trong tính tốn.
12


Ví dụ 2: Tính tổng của 100 số lẻ đầu tiên.
Bài giải:
Nhận xét: Các số lẻ cách đều nhau 2 đơn vị. Coi 2 đơn vị là một khoảng
cách, mà dãy số trên có 100 số, nên sẽ có 100 - 1 = 99 (khoảng cách).
Số cuối cùng của dãy số này hơn số đầu tiên của dãy số này là:
99 �2 = 198 đơn vị.
Nên số thứ 100 của dãy số đó là 199 hay dãy số cần tính tổng là:1; 3; 5; 7;
......; 197; 199.
Vậy cần tính tổng: A = 1 + 3 + 5 +.......+ 195 + 197 + 199.
Ta thấy: 1 + 199 = 200
3 + 197 = 200
5 + 195 = 200
.......................
Vậy A = 200 �(100 : 2) = 10000.
Ví dụ 3: Cho một số tự nhiên gồm các số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến 1983
được viết như sau:12345678910......198119821983.
Hãy tính tổng tất cả các chữ số của số đó.
Hướng dẫn giải:
Với bài này là một bài khó cần hướng dẫn học sinh như sau:
Các cặp số: 0 và 1999 có tổng các chữ số là: 0 + 1 + 9 + 9 + 9 = 28.
1 và 1998 có tổng các chữ số là: 1 + 1 + 9 + 9 + 8 = 28.
2 và 1997 có tổng các chữ số là: 2 + 1 + 9 + 9 + 7 = 28.
.......................................
Như vậy, trong dãy số tự nhiên liêp tiếp từ 0 đến 1999 có các cặp số cách
đều 2 đầu dãy số mà tổng các chữ số của mỗi cặp đều bằng 28.

Mà từ 0 đến 1999 có: (1999 - 0) : 1 + 1 = 2000 (số hạng).
Nên có 2000 : 2 = 1000 cặp số có tổng các chữ số là 28.
Vậy tổng các chữ số của dãy số: 0123456......19981999 là:
28 �1000 = 28000.
Nhưng từ 1984 đến 1999 có tổng các chữ số là:
(1 + 9 + 8 + 4) + (1 + 9 + 8 + 5) + (1 + 9 + 8 + 6) +...................+(1 + 9 + 8
+ 9) + (1 + 9 + 9 + 0) + ........+(1 + 9 + 9 + 8) + (1 + 9 + 9 +9) = 22 + 23 + 24
+........+ 27 + 19 +......+ 27 + 28 = 382.
Vậy tổng các chữ số của số tự nhiên 123456......198119821983 là:
28000 - 382 = 27618
Đáp số: 27618
Ví dụ 4: Tính tổng tất cả số thập phân có phần ngun là 9, phần thập
phân có 3 chữ số:
Bài giải:
Ta có: 9,000; 9,001; 9,002; 9,003; 9,004; 9,005; 9,006; 9,007; 9,008; … ;
9,999 ; tức là có 1000 số.
Ta thấy : 9,001 + 9,999 = 19
9,005 + 9,995 = 19
9,002 + 9,998 = 19
9,006 + 9,994 = 19
……………
……………
13


Nếu ta bỏ số đầu tiên và sắp xếp các cặp số cách đều 2 đầu dãy vào như
trên thì được các cặp số đều có tổng là 19, cịn lại 9,005 chưa được tính.
Số cặp số được sắp xếp là:
998 : 2 = 499 ( cặp số) chưa kể hai số 9,000 và 9,500
Tổng tất cả các số ở dãy số trên là:

19 �499 + 9,5 + 9,005 = 9499,5
Đáp số : 9499,5
Học sinh cần nhớ:
- Nếu số hạng của dãy số cách đều nhau thì tổng của 2 số hạng cách
đều số hạng đầu và số hạng cuối trong dãy số đó bằng nhau. Vì vậy, tổng các số
hạng của dãy bằng tổng của một cặp hai số hạng cách đều số hạng đầu cà cuối
nhân với số hạng của dãy rồi chia cho 2.
- Viết thành công thức :
Tổng của dãy số cách đều = (số đầu + số cuối) �(số hạng : 2)
Từ đó suy ra :
Số đầu của dãy = Tổng �2 : số số hạng – số hạng cuối
Số cuối của dãy = Tổng �2 : số số hạng – số hạng đầu
Dạng 5: Các bài toán về dãy chữ.
Ở dạng bài tập này tơi cho học sinh tiếp cận với bài tập sau:
Ví dụ 1: Một người viết liên tiếp nhóm chữ: TO QUOC VIET NAM
thành dãy TOQUOCVIETNAMTOQUOCVIETNAM .......Hỏi:
a) Chữ cái thứ 1996 trong dãy chữ trên là chữ gì ?
b) Nếu đếm được 50 chữ T trong dãy thì có bao nhiêu chữ O? bao nhiêu
chữ I ?
c) Nếu đếm được trong dãy có 1995 chữ O thì đếm đúng hay sai? Vì sao ?
d) Nếu tơ màu các chữ cái trong dãy theo thứ tự lần lượt: "Xanh, đỏ, tím,
vàng, xanh, đỏ,......." thì chữ cái thứ 1995 là chữ tơ màu gì?
Bài giải:
a) Nhóm chữ: TO QUOC VIET NAM có 13 chữ cái.
Mà 1996 : 13 = 153 (dư 7). Vậy kể từ chữ cái đầu tiên đến chữ cái thứ
1996 thì có 153 nhóm chữ TO QUOC VIET NAM và 7 chữ cái tiếp theo là TO
QUOC V.
Vậy chữ cái thứ 1996 trong dãy chữ trên là chữ V.
b) Mỗi nhóm chữ: TO QUOC VIET NAM có 2 chữ T, 2 chữ O và 1 chữ I.
Vậy nếu đếm được trong dãy 50 chữ T thì có 50 chữ O và có 50 : 2 = 25 chữ

I.
c) Nếu đếm được trong dãy có 1995 chữ O trong dãy thì đó là kết quả
đếm sai bởi số lượng chữ O luôn luôn phải là số chẵn mà 1995 là số lẻ.
d) Một nhóm màu:" Xanh, đỏ, tím, vàng" gồm 4 màu.
Mà 1995 : 4 = 398 (dư 3). Vậy 3 màu cịn lại khơng đủ tạo thành một
nhóm nên chữ cái thứ 1995 được tơ màu tím.
Ví dụ 2 : Bạn Hải cho các viên bi vào hộp lần lượt theo thứ tự là: bi xanh,
bi đỏ, bi vàng rồi lại đến bi xanh, bi đỏ, bi vàng … cứ như vậy. Hỏi:
a) Viên bi thứ 100 có màu gì?
b) Muốn có 10 viên bi đỏ thì phải bỏ vào hộp ít nhất bao nhiêu viên bi?
14


Bài giải:
a) Ta thấy, cứ 3 viên bi thì lập thành 1 nhóm màu: xanh, đỏ, vàng. 100
viên bi thì có số nhóm là: 100 : 3 = 33 nhóm (dư 1 viên bi)
Như vậy, bạn Hải đã cho vào hộp được 33 nhóm, cịn dư 1 viên của nhóm
thứ 34 và là viên bi đầu tiên của nhóm này. Vậy viên bi thứ 100 có màu xanh.
b) Một nhóm thì có 3 viên bi, muốn có 10 viên bi đỏ thì cần bỏ vào hộp:
3 x 10 = 30 viên bi. Nhưng viên bi màu đỏ là viên bi thứ 2 của nhóm. Vậy cần
bỏ vào hộp ít nhất số viên bi là: 30 – 1= 29 viên.
Ví dụ 3: Bạn Dương viết liên tiếp các nhóm chữ DIEN BIEN PHU
thành dãy: DIENBIENPHUDIENBIENPHU … Hỏi:
a) Chữ cái thứ 1954 là chữ gì?
b) Nếu trong dãy đã viết có 2010 chữ E thì có bao nhiêu chữ H?
Bài giải:
a) Nhóm chữ: DIEN BIEN PHU có 11 chữ cái.
Mà 1954 : 11 = 177 (dư 7). Vậy kể từ chữ cái đầu tiên đến chữ cái thứ
1996 thì có 153 nhóm chữ DIENBIENPHUDIENBIENPHU …và 7 chữ cái
tiếp theo là DIENBIE.

Vậy chữ cái thứ 1954 trong dãy chữ trên là chữ E.
b) Mỗi nhóm chữ: DIEN BIEN PHU có 2 chữ E, 1 chữ H.
Vậy nếu đếm được trong dãy 2010 chữ E thì có 2010 : 2 = 1005 chữ H.
* Một số lưu ý khi giải toán về dãy số học sinh cần nhớ:
Trong bài toán về dãy số thường, người ta cho biết cả dãy số (vì dãy số có
nhiều số khơng thể viết ra hết được). Vì vậy, phải tìm ra được quy luật của dãy
(mà có rất nhiều quy luật khác nhau) mới tìm được các số mà dãy số khơng cho
biết. Đó là những quy luật của dãy số cách đều, dãy số không cách đều hoặc dựa
vào dấu hiệu chia hêt để tìm ra quy luật ở dạng 1, muốn giải bài tốn về tìm chữ
số cuối cùng của dãy (khi biết dãy đó có tất cả bao nhiêu số hạng) thì ta phải tìm
số khoảng cách của dãy số bằng cách lấy số số hạng của dãy số đó trừ đi 1, sau
đó tìm hiệu của số đầu và số cuối băng số khoảng cách giữa 2 số nhân với số
khoảng cách. Từ đó tìm được số cuối cùng của dãy bằng hiệu của số cuối và số
đầu cộng với số đầu tiên của dãy.
- Ở dạng 2: Muốn kiểm tra số a có thỏa mãn quy luật của dãy đã cho hay
không? Ta cần xem dãy số cho trước và số cần xác định có cùng tính chất hay
khơng? (có cùng chia hết cho một số nào đó hoặc có cùng số dư) thì số đó thuộc
dãy đã cho.
- Ở dạng 3: Có các yêu cầu sau:
+ Tìm tất cả các chữ số của dãy.
+ Tìm tất cả các số hạng của dãy.
Khi giải cũng tính bằng một cơng thức như ở phần hướng dẫn cách giải đã
nêu.
+ Tìm chữ số thứ n của dãy.
Ta cần tìm số đầu tiên đến số liên quan đến chữ số thứ n của dãy số là có
bao nhiêu chữ số, từ đó tìm ra lời giải của bài tốn.
+ Tìm số hạng thứ n của dãy
15

Ta chỉ việc tìm ra quy luật của dãy số là được (nếu là dãy số cách đều),
nếu là dãy số ( khơng cách đều) được tính theo cơng thức n  (n - 1) : 2
- Ở dạng 4: Có các u cầu sau:
+ Tìm tổng các số hạng của dãy.
+ Tính nhanh tổng.
Khi giải : Sau khi tìm ra quy luật của dãy, ta sắp xếp các số theo từng cặp
sao cho có tổng đều bằng nhau, sau đó tìm cặp số, rồi tìm tổng các số hạng của
dãy. Khi tìm số cặp số mà cịn dư một số hạng thì khi tìm tổng ta phải cộng số
dư đó vào.
- Ở dạng 5: Đó là dãy chữ khi giải phải dựa vào quy luật của dãy, sau đó
có thể xem mỗi nhóm chữ có tất cả bao nhiêu chữ rồi đi tìm có tất cả bao nhiêu
nhóm và đó chính là phần trả lời của bài tốn.
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm
Qua quá trình thực hiện tơi thấy:
- Các em đã có kĩ năng vận dụng kiến thức sơ bản, tìm số hạng tiếp theo
của dãy số, tìm số các số hạng, tính tổng các số hạng, các bài toán về dãy chữ rất
tốt.
- Tuy nhiên cịn một số ít các em có hạn chế về cách vận dụng tổng hợp
các kiến thức toán học nên tốc độ tiến bộ còn chậm.
- Để kiểm tra kết quả cuối cùng trong q trình thực nghiệm tơi đã ra đề
sau:
Dạng 1: Các bài toán về điền thêm số hạng vào sau, ở giữa hoặc trước....
một dãy số.
Bài 1: Tìm 3 số hạng điền vào chỗ chấm của các dãy số sau:
a) …; …; 32; 64; 128; 256; 512; 1024.
b) 1; 5; 6; 11; 17; 28;.....;......;
c) 3; 9; 27; .... ; …, 729.
Dạng 2: Xác định một số a nào đó thuộc dãy số đã cho hay khơng.
Bài 2: Cho dãy số: 2; 5; 8; 11; 14; 17;……
a) Viết tiếp 3 số hạng vào dãy số trên?

b) Số 2009 có thuộc dãy số trên khơng? Tại sao?
Dạng 3: Tìm số các số hạng của dãy số.
Bài 3: Cho 1; 3; 5; 7; ……… là dãy số lẻ liên tiếp đầu tiên. Hỏi 1981 là
số hạng thứ bao nhiêu trong dãy số này? Giải thích cách tìm?
Dạng 4: Tìm tổng các số hạng của dãy số.
Bài 4: Tính E = 10,11 + 11,12 + 12,13 + …+ 98,99 + 100.
Dạng 5: Các bài toán về dãy chữ.
Bài 5: Một người viết liên tiếp nhóm chữ: TOAN NAM thành dãy:
TOANNAMTOANNAMTOAN…… Hỏi:
a) Chữ cái thứ 2010 trong dãy là chữ gì?
b) Nếu người ta đếm được trong dãy có 50 chữ N thì dãy đó có bao nhiêu
chữ A? Bao nhiêu chữ O?
c) Một người đếm được trong dãy có 2009 chữ A, hỏi người đó đếm đúng
hay sai? Giải thích tại sao?
16


d) Người ta tô màu các chữ cái trong dãy theo thứ tự XANH, ĐỎ, TÍM,
VÀNG, XANH, ĐỎ, TÍM…… hỏi chữ cái thứ 2009 trong dãy được tơ màu gì?
**Kết quả bài kiểm tra cuối cùng trong quá trình thực nghiệm:
Hồn thành bài
Các dạng tốn về dãy
Tổng số học Hồn thành bài tốt
số
sinh khảo sát
SL
TL
SL
TL
Dạng 1: Các bài toán

về điền thêm số hạng
20
19
95
1
5
vào sau, ở giữa hoặc
trước.... một dãy số.
Dạng 2: Xác định một
số a nào đó thuộc
20
18
90
1
10
dãy số đã cho hay
khơng.
Dạng 3: Tìm số các số
20
18
90
2
10
hạng của dãy số.
Dạng 4: Tìm tổng các
20
19
95
1
5

số hạng của dãy số.
Dạng 5: Các bài toán
20
17
85
3
15
về dãy chữ.
- Qua bài thực nghiệm, qua các bài kiểm tra viết ở lớp, chất lượng làm bài
tập về dãy số của học sinh giỏi lớp 5B trường Tiểu học Quảng Thành đã có sự
tiến bộ vượt bậc.
- Đặc biệt qua kết quả thi giao lưu học sinh cấp trường khối 5 và thi giao
lưu học sinh các cấp lớp 5 số lượng em đạt giải cao vượt chỉ tiêu nhiều so với
đầu năm đặng ký.
- Kết quả các bài dạy thực nghiệm và bài kiểm tra giữa kì, cuối kì so với 3
bài khảo sát thì đã vượt lên rất nhiều. Học sinh có nhiều em thích học dạng bài tập
về dãy số và biết vận dụng các kiến thức toán học để làm bài tập về dạng này.

3. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
3.1. Kết luận:
Để học sinh làm tốt các bài tập về dãy số thì giáo viên khi giảng dạy cần
chú ý vào những điểm trọng tâm sau:
- Bồi dưỡng kỹ năng giải các bài tập về dãy số cho học sinh.
- Bồi dưỡng kiến thức cơ bản về dạng các bài tập về dãy số cho học sinh.
- Thường xuyên cho học sinh thực hành, luyện tập các phương pháp giải
dạng các bài tập về dãy số thơng qua các giờ học tốn.
Các giờ học Toán về dạng các bài tập về dãy số chiếm một phần trong bộ
mơn Tốn bồi dưỡng học sinh lớp 5 ở chương trình Tiểu học. Qua thực tế điều
tra và tiến hành dạy thực nghiệm dạng bài tập về dãy số cho học sinh lớp 5A, tôi
thấy rằng: việc học sinh làm tốt các bài tập về dãy số sẽ góp phần cho các em

làm tốt các bài tập ở các dạng khác thuộc mơn Tốn… Chất lượng giờ Tốn của
học sinh nâng cao rõ rệt. Qua đó bổ sung và trau dồi vốn kiến thức về tư duy
Toán học, về khả năng phân tích tổng hợp cho học sinh. Không những vậy, qua
17


các bài tập về dãy số, các em còn nâng cao cho bản thân những kiến thưc cơ bản
nhất về Tốn học. Qua đó góp phần giúp các em học tốt các môn học khác.
Kinh nghiệm nêu trên dễ áp dụng vào chương trình giảng dạy, nên có thể
phổ biến rộng rãi ở các lớp và các trường.
Tất cả các tổ chức, cá nhân đều có thể cùng kết hợp để làm tốt các chương
trình bồi dưỡng nâng cao chất lượng học sinh có khả năng học tốt mơn Tốn,
nhằm phát triển tư duy cho học sinh…
Qua việc đề xuất "Một số giải pháp giúp học sinh lớp 5 giải các bài tốn
về dãy số”, tơi mong muốn sẽ góp phần cùng đồng nghiệp nâng cao chất lượng
giảng dạy các bài tốn về dãy số cho học sinh hồn thành tốt lớp 5 nói riêng và
nâng cao chất lượng bồi dưỡng học sinh có khả năng học tốt mơn tốn nói chung
ở trường Tiểu học.
3.2. Kiến nghị
* Đối với giáo viên đứng lớp:
- Cần đầu tư vốn thực tiễn hơn khi dạy phần các bài toán về dãy số cho
học sinh có khả năng học tốt mơn tốn ở lớp 5.
- Cần quan tâm đến việc rèn kỹ năng giải các bài toán về dãy số cho học
sinh lớp 5, để các em có hứng thú làm dạng bài tập này được tốt hơn..
- Nên quan tâm rèn kĩ năng sử dụng kết hợp vận dụng các kiền thưc Toán
học khác để giải các bài toán về dãy số cho học sinh.
* Đối với cán bộ quản lí:
- Cần tạo điều kiện cho nhiều học sinh được thi giao lưu học sinh các
cấp để các em có điều kiện thể hiện khả năng học tập của mình. Đồng thời
cũng đánh giá được chất lượng học tập và giảng dạy môn Toán của học sinh

và giáo viên.
- Tổ chức các chuyên đề về giảng dạy các bài toán về dãy số lớp 5 cho
giáo viên để nâng cao chất lượng dạy và học mơn Tốn.
Trên đây là kinh nghiệm " Một số giải pháp giúp học sinh lớp 5 giải các
bài tốn về dãy số" mà tơi đúc rút kinh nghiệm qua quá trình giảng dạy. Quá
trình viết kinh nghiệm sẽ khơng tránh khỏi những sai sót. Tơi mong Hội đồng
Khoa học trường Tiểu học Quảng Thành - Hội đồng Khoa học Phịng Giáo dục
Đào tạo thành phố Thanh Hóa góp ý cho tôi, để tôi rút kinh nghiệm và làm tốt
hơn những kinh nghiệm, sáng kiến sau này.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
XÁC NHẬN
Thanh Hóa, ngày 15 tháng 3 năm2021
CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết,
khơng sao chép nội dung của người khác
NGƯỜI THỰC HIỆN
Lê Văn Bình
Trần Thị Hiên
TÀI LIỆU THAM KHẢO
18


TT
Tên tài liệu
Nhà xuất bản
1
Chương trình tiểu học
NXB Giáo dục
2
Phương pháp dạy học các môn NXB Giáo dục

học ở lớp 5 ( Tập 1)
3
SGK Toán 1,2,3,4,5
NXB Giáo dục
4
Bài tập Toán 5
NXB Giáo dục

5

Toán chọn lọc lớp 4 &5

6

Toán nâng cao lớp 5

7

Toán bồi dưỡng học sinh lớp 5

8
9

Tác giả
Bộ giáo dục
Bộ giáo dục

Bộ giáo dục
Đỗ Đình Hoan ( chủ
biên)

Nguyễn Áng, Đỗ Tiến
Đạt
NXB Giáo dục Phạm Đình Thực
Vũ Dương Thụy (Chủ
NXB Giáo dục biên)
Nguyễn Danh Ninh
Nguyễn Áng (Chủ
NXB Giáo dục biên)
Dương Quốc Ấn
Hồng T.Phước Hảo

Tơ Hồng Phong
Tuyển chọn 400 bài tập Toán 5 NXB Đà Nẵng Huỳnh Minh Chiến
Trần Huỳnh Thống
10 chuyên đề bồi dưỡng học NXB Giáo dục Trần Diên Hiển
sinh giỏi Toán 4 - 5(Tập Một)

DANH MỤC
19


SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN KINH
NGHIỆM NGÀNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN, TỈNH VÀ CÁC
CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN
Họ và tên tác giả:
Trần Thị Hiên
Chức vụ và đơn vị công tác: Giáo viên – Trường Tiểu học Quảng Thành

TT

1.

2.

3.

4.

5.

Tên đề tài SKKN

Một số biện pháp phát triển
lời nói cho học sinh qua dạy
học Tập làm văn lớp 3.
Một số biện pháp nâng cao
chất lượng giải Tốn có lời
văn cho học sinh lớp 3.
Một số biện pháp nâng cao
chất lượng giải Tốn có lời
văn cho học sinh lớp 2.
Một số biện pháp nâng cao
chất lượng giải Tốn có lời
văn cho học sinh lớp 2.
Một số giải pháp giúp học
sinh lớp 5 làm tốt bài văn tả
cảnh.

Cấp đánh giá Kết quả
xếp loại

đánh giá
(Ngành GD cấp xếp loại
huyện/tỉnh;
(A, B,
Tỉnh...)
hoặc C)

Năm học
đánh giá
xếp loại

Ngành GD cấp
Huyện

B

2010-2011

Ngành GD cấp
Huyện

A

2012-2013

Ngành GD cấp
Huyện

A

2014-2015

Ngành GD cấp
Tỉnh

B

2014-2015

Ngành GD cấp
Thành phố

A

2018-2019

20