SKKN bồi dưỡng học sinh giỏi toán từ việc khai thác các bài tập quen thuộc ở sách giáo khoa, sách bài tập

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HỐ

PHỊNG GD & ĐT THÀNH PHỐ THANH HÓA

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN TỪ VIỆC KHAI
THÁC CÁC BÀI TẬP QUEN THUỘC

Người thực hiện : Bùi Thị Hiền
Chức vụ
: Giáo viên
Đơn vị công tác : Trường THCS Trần Mai Ninh
SKKN thuộc mơn: Tốn

THANH HỐ NĂM 2021


MỤC LỤC
Nội dung
Phần 1: Mở đầu
1.1 Lý do chọn đề tài
1.2 Mục đích nghiên cứu
1.3 Đối tượng nghiên cứu
1.4 Phương pháp nghiên cứu
Phần 2: Nội dung của sáng kiến kinh nghiệm
2.1 Cơ sở lí luận
2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
a) Đối với học sinh
b) Đối với giáo viên
2.3 Các giải pháp

a) Đưa ra mục tiêu của tiết học
b) Chuẩn bị
c) Tiến trình giảng dạy
d) Cụ thể từ một số bài toán sách bài tập tôi đã khai thác như sau
2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm
Phần 3: KẾT LUẬN
3.1 Kết luận
3.2 Kiến nghị
Tài liệu tham khảo
Danh mục các đề tài sáng kiến kinh nghiệm được hội đồng đánh giá
xếp loại từ cấp phòng, sở GD&ĐT và các cấp cao hơn xếp loại

Trang
1
1
1
2
2
2
2
3
3
3
4
4
4
5
6
13
14

14
14


Phần 1: MỞ ĐẦU
1.1 Lí do chọn đề tài:
Hình học là mơn học khó đối với học sinh. Từ những lớp dưới các em đã được
làm quen với mơn hình học song đó chỉ là những bài tốn hình có tính định
lượng. Ở hình học Lớp 8, 9 thì khác hẳn, các em phải dùng lập luận có căn cứ để
làm một bài tập hình. Càng khó hơn khi tư duy logic của các em chưa có nhiều.
Bên cạnh đó việc bồi dưỡng học sinh giỏi là công việc thường xuyên, liên
tục và bền bỉ. Để có học sinh giỏi đòi hỏi người giáo viên phải rèn luyện tư duy,
bổ sung kiến thứ hàng ngày, hàng giờ lên lớp. Mỗi tiết học cần hướng dẫn các
em khai thác bài toán, lật ngược vấn đề, thêm điều kiện, vẽ thêm các đường phụ
để có những sáng tạo mới. Vì vậy người giáo viên cần giúp các em khai thác bài
toán quen thuộc từ đó để có những câu hỏi hay, khó phù hợp với các em học
sinh giỏi.
Mặt khác học sinh trường THCS Trần Mai Ninh có đặc thù là: Đa số các
em tiếp thu bài nhanh, làm hết được các bài tập sách giáo khoa và sách bài tập.
Nhiều em có tư chất tốt nên giờ luyện tập chỉ chữa bài tập thơi thì chưa đủ, cần
phải làm gì để các em có hứng thú trong các giờ này. Trong mỗi giờ học cần dạy
để các em có thể khai thác trong nhưng bài toán quen thuộc ở sách giáo khoa,
sách bài tập như thế nào để tạo ra những câu hỏi khó, phong phú sáng tạo hơn
phù hợp với năng lực của các em.
Trước tình trạng trên tơi thiết nghĩ cần phải đổi mới giờ luyện tập, đặc biệt
là luyện tập hình học để giờ học có hiệu quả, từ đó mới thu hút được học sinh
học tập say mê, sáng tạo bồi dưỡng học sinh giỏi tốt hơn. Vì thế mỗi giờ học cần
dạy các em cách khai thác những gì trong các bài tốn quen thuộc ở sách giáo
khoa, sách bài tập để phát huy tư duy sáng tạo logic, phù hợp với năng lực của
học sinh.

Tôi đã làm việc này cách đây bốn năm (năm 2018) và tơi thấy trong giờ
học các em có hứng thú hơn nhiều, kết quả giáo dục cũng tăng lên.
Hai năm học trước tôi đã áp dụng phương pháp dạy này cho học sinh lớp
8C năm học 2018 – 2019 và 9C năm học 2019 – 2020. Năm nay tôi đã áp dụng
phương pháp dạy này cho học sinh lớp 8B, 8F trường THCS Trần Mai Ninh tôi
thấy rất hiệu quả, các em có hứng thú học tập mơn tốn hơn, kết quả giáo dục
cũng tăng rõ rệt.
Vì vậy tơi viết sáng kiến kinh nghiệm với đề tài “Bồi dưỡng học sinh
giỏi toán từ việc khai thác các bài tập quen thuộc ở sách giáo khoa, sách bài
tập".
Đề tài giúp tôi củng cố thêm nghiệp vụ giảng dạy, bổ sung thêm vốn kiến
thức cho bản thân và giúp các em có tư duy sáng tạo và cũng u thích mơn hình
học hơn. Cũng qua đó tơi xin được trao đổi kinh nghiệm với đồng nghiệp về
phương pháp dạy học, mong rằng đề tài này sẽ được mở rộng và phát triển hơn.
1.2Mục đích nghiên cứu:
1


Sáng kiến kinh nghiệm này ngoài việc củng cố các kiến thức cơ bản trong
sách giáo khoa còn cung cấp kiến thức nâng cao, mở rộng phát triển tư duy sáng
tạo và rèn luyện kỹ năng trình bày cho học sinh. Với mỗi bài tốn hình học sinh
phát hiện ra dạng và tìm ra cách giải phù hợp nhất, nhanh nhất, biết tổng quát
bài toán và đặt đề toán tương tự. Từ đó học sinh phát triển tư duy logic, hiểu sâu
kiến thức, có hứng thú nghiên cứu khoa học và nâng cao hiệu quả giáo dục.
1.3 Đối tượng nghiên cứu:
Đối tượng nghiên cứu là các học sinh lớp 7; 8; 9, các giờ hình học đặc biệt
là các giờ luyện tập…
1.4 Phương pháp nghiên cứu:
Phương pháp khảo sát thực tiễn, nghiên cứu lý luận, phân tích, tổng hợp,
khái quát hóa, so sánh, quan sát, kiểm tra, đánh giá.

Trong quá trình nghiên cứu đề tài này tơi đã làm như sau:
- Đọc sách nghiên cứu thu thập, xử lí tài liệu sưu tầm được.
- Điều tra giáo viên, học sinh.
- Tự tìm hiểu đối tượng học sinh.
- Tổng kết đúc rút kinh nghiệm trong quá trình giảng dạy
- Cập nhật thơng tin từ Internet, báo tốn tuổi thơ, tốn học tuổi trẻ.
- Dựa vào các phương pháp này và phân tích ngun nhân tơi đã định
hình cho việc nghiên cứu đề tài.
Phần 2: NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1 Cơ sở lý luận:
Trong giai đoạn hiện nay nước ta cần rất nhiều nhân tài để phục vụ cho
công cuộc xây dựng đất nước. Học giỏi mơn tốn là chìa khoá để mỗi học sinh
trở thành những nhân tài chất lượng cho quốc gia. Hiện nay phương pháp dạy
học đóng vai trò rất quan trọng, phương pháp dạy học phù hợp sẽ giúp học sinh
nắm bắt nhanh chóng kiến thức, hơn thế nữa nếu học sinh nắm bắt được phương
pháp học thì học sinh sẽ hiểu được bản chất của vấn đề, rút ngắn được thời gian
học tập và có thời gian để nghiên cứu các tài liệu nâng cao và việc tự học hiện
nay ta cần khuyến khích nhiều hơn.
Mơn hình học là bộ mơn địi hỏi học sinh phải có tư duy, suy luận chặt
chẽ, biết phân tích, tổng hợp khái quát vấn đề, có những tưởng tượng phong phú
và sáng tạo. Tuy vậy đặc điểm tâm lý học sinh độ tuổi THCS chưa ổn định, các
em muốn khám phá, sáng tạo nhưng việc làm thì chưa chín chắn, chưa biết cách
khai thác vấn đề đó. Nếu mỗi tiết dạy giáo viên đáp ứng được nguyện vọng đó
của các em thì sẽ tạo ra những học sinh có tư duy, sáng tạo tốt và việc bồi dưỡng
học sinh sẽ đạt kết quả cao hơn.
Việc làm của người giáo viên là từ những bài tập quen thuộc trong sách
giáo khoa, sách bài tập để hướng dẫn học sinh sáng tạo, khám phá đến những
câu hỏi phong phú hơn, có độ tư duy logic cao hơn, làm cho tiết học không bị
căng thẳng và cũng không bị nhàm chán. Hơn thế nữa hình học ở cấp THCS là
2

nền tảng để học hình các lớp trên, nếu khơng nắm được kiến thức, khơng u
thích mơn hình ở lớp 7, 8 thì khơng có kiến thức, hứng thú để học hình lớp cấp
THPT. Đặc biệt trong các tiết luyện tập học sinh được củng cố, đào sâu hệ thống
hóa kiến thức và rèn luyện phát triển tư duy logic nhiều nhất. Như vậy rèn luyện
phát triển tư duy logic trong các giờ hình học là cần thiết đặc biệt việc bồi dưỡng
học sinh giỏi toán từ việc khai thác các bài tập quen thuộc ở sách giáo khoa,
sách bài tập là việc làm thường xuyên và liên tục của mỗi giáo viên.
2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm:
a) Đối với học sinh:
Trường THCS Trần Mai Ninh đa số các em là học sinh khá giỏi, kiến thức
cơ bản đều nắm tương đối vững có trí tuệ nhất định. Đa số các em làm hết bài
tập cô giao về nhà. Song các em chỉ làm một cách định lượng, khơng suy nghĩ
xem bài tốn đó có cịn cách nào nữa khơng? Các bài tốn có liên quan gì với
nhau khơng? Giải bài tốn này ta sẽ làm tương tự với những bài toán nào nữa?
Cách trình bày bài như thế nào?... Học sinh Trần Mai Ninh có những em học tốt
song khơng phải 100% các em học tốt mơn tốn với mức độ giống nhau. Nhiều
em cịn chưa u thích mơn hình học. Vì thế giáo viên khơng thể giao bài tập
khó ở tất cả các tiết học được. Trong khi đó nhiều em có nguyện vọng thi vào
các trường chuyên và mong muốn đạt điểm cao ở kì thi học sinh giỏi, vào lớp 10
PTTH. Vì thế các em phải giải quyết được các bài tốn khó, biết cách sáng tạo
và lập luận chặt chẽ.
Khảo sát thực tiễn của đề tài:
*) Số liệu thống kê
Khi chưa áp dụng đề tài, tôi điều tra mức độ u thích mơn hình học và có
sự sáng tạo qua khảo sát 40 học sinh lớp 8C; 9C trường THCS Trần Mai Ninh
năm học 2018 – 2019 và năm học 2019 – 2020 tôi nhận được kết quả như sau:
Số học sinh
20

15

Tỷ lệ
50%
38%

5

12%

Kết quả
Khơng thích học hình
Thích học nhưng không biết cách đặt câu hỏi liên
quan đến bài tập vừa giải.
u thích mơn hình học và biết sáng tạo khi làm bài

b) Đối với giáo viên
*) Thuận lợi:
- Hầu hết các thầy cơ có trình độ, được đào tạo cơ bản, tâm huyết với
nghề và luôn cầu tiến bộ.
- Nhà trường có cơ sở vật chất tốt mỗi phịng học có máy chiếu, giáo viên
soạn giáo án điện tử thành thạo, vận dụng tốt các công nghệ thông tin trong giờ
dạy.
- Các tổ, nhóm chun mơm hoạt động tích cực, thường xun dự giờ,
trao đổi, góp ý rút kinh nghiệm để nâng cao nghiệp vụ.
3


*) Khó khăn:
- Các giờ luyện tập hình học dễ nhàm chán, dễ biến thành giờ chữa bài

tập.
- Mức độ rèn luyện phát triển tư duy logic trong các giờ hình học là khác
nhau, chủ yếu cịn dựa vào kinh nghiệm của người giáo viên. Đòi hỏi người giáo
viên phải có kiến thức, có sự tổng hợp, có sự liên hệ giữa các vấn đề, có thời
gian, có tâm huyết và có tinh thần học hỏi cao thì mới có giờ luyện tập hay, độc
đáo, đáp ứng được chuyên môn và cơng việc giảng dạy của mình.
Trong tiết hình học tôi thường xuyên quan tâm để ý đến các câu trả lời,
cách diễn đạt, trình bày của các em trong mỗi vấn đề, mỗi câu hỏi mà tôi nêu ra.
Kết quả cho thấy ở đa số học sinh thể hiện rõ sự non yếu, thiếu chặt chẽ. Các em
thiếu hẳn kỹ năng phân chia vấn đề để xem xét một cách đầy đủ các khả năng có
thể xảy ra. Đặc biệt là khâu trình bày tự luận ở các bài tốn địi hỏi suy luận,
chứng minh cho thấy học sinh vấp phải nhiều sai lầm mà nguyên nhân chủ yếu
là do khả năng tư duy logic tốn học cịn non kém. Do vậy nhiều em khơng thích
học hình, đặc biệt các em khơng thích giờ luyện tập hình.
2.3 Các giải pháp:
Đề tài này được trình bày bằng những ví dụ cụ thể, đó là một trong những
giờ luyện tập tơi thấy thành công, đạt hiệu quả rõ nét. Trong mỗi tiết dạy tôi đã
rèn luyện phát triển tư duy logic, phát huy khả năng sáng tạo cho học sinh các
khía cạnh khác nhau, từ đó có thể mở rộng ra các giờ luyện tập khác. Để một giờ
học có kết quả cao tôi đã đưa ra một số biện pháp sau:
- Yêu cầu học sinh nắm chắc phần kiến thức trước đó.
- Trong tiết luyện tập chọn giải tại lớp một số bài tập cần thiết.
- Mỗi bài tập thường qua các bước: Tìm hiểu đề bài, vẽ hình, viết giả thiết,
kết luận, tìm tịi lời giải (phân tích hướng làm bài), trình bày lời giải, nghiên cứu
thêm về lời giải.
- Khai thác tối đa các yếu tố có trong bài, vẽ thêm hình hoặc bổ sung yếu tố
cố định để tạo ra các câu hỏi lí thú.
Từ đó tơi đã thực hiện các bước sau:
a. Đưa ra mục tiêu của tiết học:
Mục tiêu của tiết luyện tập hình học đơn giản là củng cố về kiến thức của

tiết học trước, rèn luyện những kĩ năng cơ bản về vẽ hình, tình tốn trên hình,
rèn luyện khả năng phân tích và tổng hợp, kĩ năng chứng minh hình học, phát
triển tư duy logic.
Đạt được đều đó tơi đã phải chuẩn bị trước những vấn đề sau:
b. Chuẩn bị:
*) Đối với học sinh:
Trên cơ sở tiết học học sinh chuẩn bị những vấn đề sau:
- Dụng cụ: Thước kẻ, com pa, e ke, thước đo độ…
4


- Bài cũ, bài tập giáo viên ra về nhà.
- Học thuộc phần lý thuyết.
*) Đối với giáo viên:
Để đảm bảo cho tiết học hiệu quả tôi đã đọc kỹ sách giáo khoa, sách bài
tập, các tài liệu tham khảo khác. Giải các bài toán trên bằng nhiều cách khác
nhau, sắp xếp các bài toán như thế nào để rèn luyện phát triển tư duy logic cho
học sinh tốt nhất. Ngồi ra tơi cịn tìm mối liên hệ giữa các bài tốn, tơi thường
đặt ra các câu hỏi khác xung quanh một bài tốn. Sau đó tơi phải soạn giáo án
trên máy tính để có thể trình chiếu nhanh, rõ và thuận tiện nhất. Tôi luôn chú ý
đến các hiệu ứng khi trình chiếu vì đó giúp cho học sinh có hứng thú hơn, bài
giảng sẽ phong phú hơn.
c. Tiến trình dạy học
Trong q trình dạy giờ luyện tập tơi thường tuân theo các bước sau:
*) Kiểm tra kiến thức cơ bản của tiết học trước (Có thể đầu tiết hoặc
trong q trình làm bài tập): Mục đích giúp học sinh ôn lại kiến thức cũ, vận
dụng và giải quyết các bài tập. Cần lưu ý học sinh tránh thói quen chỉ học qua
loa bài cốt nắm được một vài cơng thức để áp dụng vào giải bài tập. Thói quen
tai hại đó sẽ biến người học thành một cái máy chỉ biết làm những bài tập theo
rập khuôn theo mẫu.

*) Tạo tình huống có vấn đề:
Tuỳ theo từng bài học giáo viên tạo ra tình huống có vấn đề, điều khiển
học sinh phát hiện vấn đề hoạt động tự giác tích cực để giải quyết vấn đề. Thơng
qua đó mà lĩnh hội tri thức rèn luyện kỹ năng và đạt những mục đích học tập
khác, để thực hiện cho tiết dạy có chất lượng trong việc dạy học đặt và giải
quyết vấn đề thì điểm xuất phát là phải tạo ra tình huống có vấn đề, cụ thể các
cách thông dụng.
*) Chọn giải tại lớp một số bài tập cần thiết:
Các bài được chọn giải tại lớp có sự chuẩn bị trước được sắp xếp từ dễ
đến khó, từ cụ thể đến tổng quát. Các bài toán được thống nhất, liền mạch với
nhau, đa dạng từ kênh hình đến kênh chữ và ngược lại tạo điều kiện rèn luyện
phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh tốt hơn.
*) Rút kinh nghiệm tiết học:
Cùng với việc tham khảo tài liệu, học tập kinh nghiệm của đồng nghiệp
tơi thường có thói quen tự đánh giá bài lên lớp của minh, rút ra những kinh
nghiệm thành công hay thất bại của chính bản thân.
Khi chuẩn bị mỗi bài lên lớp giáo viên nên định rõ: Trong bài này, sẽ rút
kinh nghiệm về những vấn đề chính nào. Những điều sau đây cần được lưu ý.
- Nhìn chung yêu cầu đề ra đối với bài học có đạt được khơng ? Đến mức
độ nào ? Học sinh có hứng thú học khơng ? Vì sao? Có cần điều chỉnh gì trong
kế hoạch các bài tiếp theo không ? Rèn luyện cho học sinh những kỹ năng nào?
- Học sinh gặp khó khăn gì khi học bài này ? Khắc phục bằng cách nào ?
5


- Học sinh có những sai lầm gì (về kiến thức, kĩ năng, …) ?
- Học sinh có thắc mắc gì, có ý gì hay, sáng tạo ?
- Các thí dụ, bài tập đưa ra có thích hợp khơng ? Cần thay đổi gì ?
Nếu việc rút kinh nghiệm được tiến hành đều đặn sạu mỗi bài lên lớp (có
ghi chép chu đáo, tỉ mỉ, nếu có điều kiện thì so sánh đối chiếu với các tài liệu

tham khảo) thì giáo viên có thể tích lũy được nhiều điều bổ ích, giúp đón trước
được nhiều tình huống, chủ động khi lên lớp và việc dạy học mang lại nhiều
niềm vui sáng tạo.
Một điều tơi thấy thích thú nhất trong mỗi giờ luyện tập là các em thi nhau
làm bài toán bằng các cách khác nhau tạo ra nhiều câu hỏi hay, khó và phong
phú hơn. Từ đó làm cho giờ học sơi nổi, sinh động hơn. Ngồi ra trong giờ luyện
tập tôi thường cho các em đặt ra các câu hỏi tương tự để mở rộng, nâng cao bài
toán, bản thân các em cũng có tính sáng tạo, rèn luyện phát triển tư duy logic
cho học sinh nhiều hơn và đó là việc tơi đã bồi dưỡng học sinh giỏi trong từng
tiết học.
d. Cụ thể từ một bài toán sách bài tập tôi đã khai thác như sau:
Bài 1. (Bài tập số 55 trang 58 Sách bài tập toán 8 tập 2)
“Cho V ABC và các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Chứng minh
AH.DH=BH.EH=DC.FH”.

*) Đối với bài tập này các em xét các tam giác đồng dạng từ đó rút ra các
tích bằng nhau. Từ bài tập này giáo viên hướng dẫn các em chứng minh các tích
khác bằng nhau như:
1.1) Chứng minh AC.AE=AF.AB;

BE.BA=BC.BD

*) Cũng từ các yêu cầu học sinh chứng minh tích các đoạn thẳng bằng
nhau, ở mức độ cao hơn yêu cầu các em chứng minh:
1.2

) Chứng minh BH.BE+CH.CF=BC2

Đây là những câu hỏi ở mức độ khó hơn song nếu liên kết được mối liên
hệ giữa câu hỏi dễ ở trên thì giáo viên có một câu hỏi dễ dàng dành cho các bạn

học sinh có năng lực tốt. Để cần chứng minh điều này ta cần chứng minh:
BH.BE = BD. BC; CH.CF=CD.BC rồi cộng các kết quả lại ta được điều cần
chứng minh.
*) Bên cạnh việc chứng minh các tích bằng nhau ta còn tận dụng các yếu
tố khác nữa từ các tam giác đồng dạng. Với hai góc tương ứng của tam giác
6


đồng dạng bằng nhau giáo viên sẽ có thêm những câu hỏi về góc như hãy chỉ ra
các góc bằng nhau từ các tam giác đồng dạng trên và đặt câu hỏi mới sau:
1.3) Chứng minh BE là phân giác của góc DEF.
Thật vậy từ ∆ EAH

·
·
∆ CBH ⇒ FEB
Từ ∆ HED
= HCB

∆ HAB

mà HCB
(cùng phụ với ·ABC ) Khi đó FEB
·
·
·
·
·
·
⇒ HED

⇒ EB là
= HAB
= HAB
= DEB
phân giác của góc FED. Chứng minh tương tự ta có DA là phân giác của tam
giác DEF. Hay H là giao điểm của ba phân giác của tam giác DEF. Từ đó ta có
câu hỏi với mức độ khó hơn.
1.4) Chứng minh H là điểm cách đều 3 cạnh của tam giác DEF.
Như thế giáo viên sẽ tạo ra sự tò mò hứng thú của học sinh. Thế nhưng
nếu quan sát kỹ ta có EB ⊥ EA mà EB là phân giác trong của tam giác DEF thì
EA là phân giác ngồi của tam giác DEF. Khi đó dùng tính chất đường phân giác
ta có

HK KE AK KE
HK KA
=
;
=
⇒
=
hay HK.AD=AK.DH (Với K là giao điểm
HD ED AD ED
HD AD

của FE và AH). Từ đó có thêm câu hỏi về tích bằng nhau mà không phải vận
dụng tam giác đồng dạng như sau:
1.5) Gọi giao điểm của EF và AD là K. Chứng minh HK.AD=AK.DH
*) Trong khi dạy bài toán này nếu người giáo viên quan tâm đến tính chất
tam giác vng. Đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh ấy, khi
đó gọi R là trung điểm của AH, M là trung điểm của BC thì ER, FR, EM, FM là

các đường trung tuyến trong tam giác vuông AHE, AHF, BEC, BFC ta có:
1
2

1
2

RF = RE(= AH); ME = MF(= BC). Khi đó RM là trung trực của EF hay RM
⊥ EF.

Đây cũng là câu hỏi dành cho học sinh giỏi như sau:
1.6) Gọi R, M lần lượt là trung điểm của AH, BC. Chứng minh RM ⊥ EF.
*) Cũng khai thác về bài tốn về trực tâm giáo viên có thể vẽ thêm O là
giao điểm 3 đường trung trực của tam giác ABC. Giáo viên có thể chứng minh
1
2

được OM= AH.
*) Hơn thế nữa gọi G là trong tâm của tam giác ABC giáo viên có thêm
câu hỏi.
1.7) Gọi O là điểm cách đều 3 đỉnh, G là trọng tâm của tam giác ABC.
Chứng mình G, O, H thẳng hàng.
Cũng là bài toán này đối với học sinh lớp 9 phát biểu như sau:
Bài 2: Cho tam giác ABC nhọn, nội tiếp đường tròn (O; R), đường cao
AD, BE, CF cắt nhau ở H. Chỉ ra các tứ giác nội tiếp từ 4 trong số các điểm A,
B, C, D, E, F, H. (Bài 7.1 sách bài tập toán 9).

7

*) Đối với bài tập này các em cũng cần có sự lựa chọn phù hợp. Khi đó
giáo viên có thể yêu cầu học sinh thêm các đoạn thẳng để đặt ra câu hỏi mới
như: Nối OA, có nhận xét gì về mối liên hệ giữa OA và EF rồi yêu cầu học sinh
chứng minh OA ⊥ EF.

Tương tự ta có OB ⊥ FD, OC ⊥ DE. Từ đó giáo viên cho học sinh phát biểu bài
toán mới. Sau khi để các em phát biểu ý kiến theo sức sáng tạo riêng của từng
em rồi giáo viên đưa ra ý kiến chốt lại bài toán như sau:
Bài 2.1: Cho tam giác ABC nhọn, đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H.
Chứng minh đường thẳng đi qua A và vuông góc với EF. Đường thẳng đi qua B
vng góc với DF. Đường thẳng đi qua C vng góc với DE đồng quy.
(Đề thi học sinh giỏi thành phố Thanh Hoá)
Khi dạy đến đây thấy cả lớp nhạc nhiên và công nhận một điều rằng nếu
chưa được dẫn dắt của giáo viên thì qua đây là một bài tốn khó. Nhưng sau khi
xem lai bài thì các em thấy 3 đường thẳng này đồng quy tại điểm O là tâm
đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Từ đó các em thấy hứng thú hơn với mơn
hình học và việc khai thác một bài tốn có ý nghĩa rất lớn trong các rèn luyên tư
duy và phat huy tính sáng tạo của học sinh.
*) Cũng vấn đề này khi tôi dạy đội tuyển tốn. Tơi u cầu các em liên hệ
việc tính diện tích của tứ giác có 2 đường chéo vng góc. u cầu học sinh viết
1
2

cơng thức tính diện tích AEOF có S AEOF = AO.EF
1
2

Tương tự diện tích tứ giác BDOF có: S BDOF = BO.DF
1
2

Diện tích tứ giác CDOE có: SCDOE = CO.DE
Rồi u cầu các em tìm mối liên hệ của diện tích AEOF, BDOF, CDOE và diện
tích của tam giác ABC. Từ đó rút ra được nhận xét gì?
Đa số các em đã tìm ra được S AEOF + S BDOF + SCDOE = S ABC
8


Và rút ra công thức

1
1
1
1
AO.EF + BO.DF + CO.DE = AD.BC
2
2
2
2

Vì OA = OB = OC = R nên ta có R(EF+FD+DE)=AD.BC.
Hay DE + DF + EF =

AD.BC
R

Từ kết quả trên em hãy phát biểu bài tài mới.
Cũng như những lần trước sau khi các em tìm cách phát biểu bài tốn thì giáo
viên đã dẫn dắt đến yếu tố cố định và yêu tố thay thay đổi bằng cách cho đường
tròn (O) và dây BC cố định, Điểm A thay đổi trên cung lớn BC ta được chu vi

của tam giác DEF cũng thay đổi phụ thuộc vào AD, khi đó chu vi tam giác DEF
lớn nhất ⇔ AD lớn nhất ⇔ A là đỉnh chính giữa của cung lớn BC.
Sau đó phát biểu bài tốn lại như sau:
Bài 2.2: Cho (O; R) và dây BC cố định. Điểm A di động trên cung lớn
BC. Tìm vị trí của điểm A để chu vi tam giác DEF lớn nhất.
(Đề thi HSG tỉnh năm học 2015-2016)
Học sinh sẽ thấy thú vị hơn vì bài tốn liên quan đến chu vi mà giải bằng
phương pháp diện tích.
*) Cũng bài tốn này ở góc độ khác giáo viên có thể khai thác như sau:
Gọi giao điểm của (O) và AD là I, ta có ∆BHC = ∆BIC

*) Khi đó bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác BHC và tam giác BIC
bằng nhau. Mà bán kinh đường tròn ngoại tiếp tam giác BIC bằng R nên bán
kinh đường tròn ngoại tiếp tam giác BHC bằng R. Làm tương tự với tam giác
AHB và tam giác AHC ta có ba tam giác AHB, tam giác AHC, tam giác BHC có
bán kính đường trịn ngoại tiếp bằng nhau nên phát triển bài toán mới lạ hơn như
sau:
Bài 2.3: Cho tam giác ABC nhọn, trực tâm H. Chứng minh bán kính
đường trịn ngoại tiếp các tam giác ABH, ACH, BCH bằng nhau.
*) Giáo viên có thể khai thác bài toán này bằng cách khác trong điều kiện
AB < AC như sau:
Gọi K là giao điểm của EF và BC, L là giao điểm của AK và đường tròn (O), ta
chứng minh được AK.LK=BK.CK.

9


Vì tứ giác BFEC nội tiếp nên EK.FK=BK.CK
Từ đó suy ra KL.AK=EK.FK suy ra ALFE nội tiếp. Mà tứ giác AEHF nội tiếp
đường trịn đườn kính AH nên 5 điểm A, E, H, F, L cùng thuộc đường trịn

đường kính AH suy ra góc ALH vng.
Gọi giao điểm của AO và (O) là P, ta có L thuộc đường trịn đường kính
AP nên góc ALP vng. Hay L, H, P thẳng hàng.
Chưa dùng lại đó nếu quan sát kỹ ta có C, B cũng thuộc đường trịn
đường kính AP, nghĩa là góc ACP và góc ABP đều là góc vng. Hay PC ⊥ AC,
BP ⊥ AB. Từ đó ta có PC//BH, BP//HC. Nghĩa là tứ giác BHCP là hình bình
hành. Khi đó HP cắt BC tại trung điểm M của BC ⇒ M, L H thẳng hàng, hay
MH ⊥ AK. Khi đó H là trực tâm của tam giác AKM ⇒ KH ⊥ AM. Giáo viên có
các cách phát biểu bài toán cho các em như sau.
Bài 2.3: Cho tam giác ABC nhọn, (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O;R),
đường cao BE, CF cắt nhau tại H, đường thẳng EF cắt BC tại K. AK cắt đường
tròn (O) ở L. Tính góc ALM.
Bài 2.4: Cho tam giác ABC nhọn, (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O;R),
đường cao BE, CF cắt nhau tại H, đường thẳng EF cắt BC tại K. Gọi M là
trung điểm của BC. Chứng minh HK ⊥ AM.
Bài 2.5: Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O;R).
Đường cao BE, CF. Đường thẳng EF cắt BC ở K. Gọi M là trung điểm của BC.
Chứng minh tam giác ABC và tam giác AKM có cùng trực tâm.
Từ đó giáo viên có thể đặt ra nhiều câu hỏi khác dành cho các em học
sinh có khả năng tư duy cao hơn nữa.
*) Liên quan đến yêu tố cố đinh và yếu tố thay đổi giao viên có thể bài
tốn như sau.
Bài 2.6: Cho đường tròn (O; R) cố định đi qua 2 điểm B, C. Cho trước điểm A
di động trên cung lớn BC. Đường cao BE, CF của tam giác ABC cắt nhau tại H.
Đường thẳng EF cắt đường thẳng BC tại K. Đường thẳng AK cắt đường tròn
(O) tại L. Chứng minh rằng khi A di động thì HL ln đi qua một điểm cố định.
Cách phát biểu bài toán này cũng làm thay đổi trong sự tư duy logic, suy
nghĩ của các học sinh. Làm các em thấy HL ln đi qua trung điểm M của BC
và khơng khó khăn khi gặp những bài toán liên quan đến yếu tố cố định, di động
nữa.

10


*) Gọi giao điểm của KH và AM là N. Khi đó KH ⊥ AM tại M. ·ANH = 900

Suy ra N thuộc đường trịn đường kính AH. Lại có L cũng thuộc đường trịn
đường kính AH khi đó ta được AK.KL=KH.KN. Trước đó ta đã có
KL.AK=BK.CK=EK.FK ⇒ HK.KN=BK.CK=EK.FK ⇒ Tứ giác EFHN và tứ
giác BHNC nội tiếp được đường trịn.
*) Từ những yếu tố ở trên giáo viên có thể đặt thêm nhiều câu hỏi có sự
địi hỏi tư duy cao hơn từ các em học sinh có năng lực tốt hơn.
*) Cũng liên quan đến vấn đề này đề thi tuyển sinh vào lớp 10 PTTH
Thành phố Hà Nội năm học 2019 – 2020 như sau:
Bài 3: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB < AC) nội tiếp đường
tròn (O). Hai đường cao BE và CF của tam giác ABC cắt nhau tại điểm H.
1) Chứng minh bốn điểm B, C, E, F cùng thuộc một đường trịn.
2) Chứng minh đường thẳng OA vng góc với đường thẳng EF.
3) Gọi K là trung điểm của đoạn thẳng BC. Đường thẳng AO cắt đường
thẳng BC tại điểm I, đường thẳng EF cắt đường thẳng AH tại điểm P. Chứng
minh tam giác APE đồng dạng với tam giác AIB và đường thẳng KH song song
với đường thẳng IP.
Giải

·
·
Vì BE, CF là các đường cao của ∆ ABC nên: BEC
= BFC
= 90o
⇒ E, F thuộc đường trịn đường kính BC
⇒ Bốn điểm B, C, E, F cùng thuộc một đường trịn.

b) Cách 1: Vẽ đường kính AD của (O), AD cắt EF tại J.
µ 1 = ABC
·
·
Vì BCEF là tứ giác nội tiếp ⇒ E
(= 180o − CEF)

11


Ã
à 1 = 1 sAC
ằ E
à1 =D
à1
=D
M ABC

ữ

2

o
Ã
Ta có ACD = 90 (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn)
µ1+D
µ 1 = 90o ⇒ A
µ1+E
µ 1 = 90o ⇒ AJE
·

⇒A
= 90o ⇒ OA ⊥ EF tại J

Cách 2:
 1



µ 1 = ABC
·
·
= 180o − CEF
Vì BCEF là tứ giác nội tiếp ⇒ E

µ 2 = ABC
·
»
Qua A, vẽ tiếp tuyn xy ca (O) A
= sAC ữ
2

(

)

à2 =E
à 1 ⇒ xy // EF Mà OA ⊥ xy (tính chất tiếp tuyến) ⇒ OA ⊥ EF
Do đó A
Cách 3:Tia BE cắt (O) tại M, tia CF cắt (O) tại N
à1 =C

à 1 AM
ẳ = AN
ằ (tớnh cht gúc nội tiếp)
Vì BCEF là tứ giác nội tiếp ⇒ B
⇒ OA ⊥ MN (liên hệ giữa cung và dây)

(

)

µ =F
$1 = B
µ 2 ⇒ MN // EF ⇒ OA ⊥ EF
Ta chứng minh N
c)

µ 3 + ABC
·
Ta có A
= 90o
µ1+D
µ 1 = 90o và ABC
·
µ1⇒A
µ3 =A
µ 1 ⇒ BAI
·
·
Mà A
=D

= PAE
·
·
µ 1 = ABC
·
∆ APE và ∆ AIB có: PAE
= BAI
;E
⇒ ∆ APE

∆ AIB (g-g) ⇒

Ta chứng minh ∆ AEH
Từ (1) và (2) ⇒

AP AE
=
AI AB

∆ ABD (g-g) ⇒

(1)
AE AH
=
AB AD

(2)

AP AH
=

AI AD

⇒ PI // HD (định lí Ta-lét đảo)

Chứng minh được BHCD là hình bình hành
⇒ H, K, D thẳng hàng ⇒ KH // IP (đpcm).
Như vậy từ một vài bài tốn quen thuộc giáo viên có thể khai thác được rất
nhiều câu hỏi khác phục vụ công tác bồi dưỡng học sinh giỏi trong nhiều tình
huống khác nhau. Tùy từng mức độ của học sinh mà giáo viên có thể đặt ra
những câu hỏi khác nhau về mức độ tư duy phù hợp với mức độ của từng nhóm
học sinh làm giờ học trở nên phong phú hơn.
Ngồi ra các câu hỏi tôi đưa ra người giáo viên có thể dẫn dắt học sinh các
câu hỏi khác như:
12


Bài 4: Cho tam giác ABC nhọn, đường cao AD, BE, CF cắt nhau ở H.
a)

S AEF AE
=
= cos 2 A
S ABC AF

b) S DEF = S ABC (1 − cos 2 A − cos 2 B − cos 2C )
HA HB HC
+
+
≥6
HD HE HF

HA HB HC
d)
+
+
≥ 3
BC AC AB

c)

Như vậy bằng cách đặc biệt hóa tương tự hóa ta có nhiều bài tốn hay,
khó bồi dưỡng học sinh giỏi mà mỗi tiết học người giáo viên cần giúp học sinh
tìm mối quan hệ giữa chúng với nhau.
2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm
1. Kết quả, đánh giá
Qua quá trình thực hiện nêu trên đối với học sinh các lớp tôi giảng dạy
trong những năm qua lớp 8C; 9C trường THCS Trần Mai Ninh năm học 2018 –
2019 và năm học 2019 – 2020 lớp 8F, 8B năm học 2020 – 2021 tôi nhận được
kết quả đã cho thấy kết quả rõ rệt
• Các em bớt lúng túng khi làm bài tốn hình.
• Biết lựa chọn phương pháp phù hợp sao cho ngắn gọn dễ hiểu.
• Khắc phục các lỗi khi phát biểu cũng như trình bày mỗi bài tốn.
• Khả năng tư duy nâng lên rõ rệt.
• Khả năng tư duy logic các vấn đề trong đời sống hằng ngày cũng như
trong các bài toán được cải thiện rất nhiều.
• Hứng thú mơn học được ghi nhận rõ nét các em có niềm tin niềm say mê
trong học tốn, trong học hình.
• Số em u thích mơn hình học tăng lên nhiều so với khóa học trước
khơng cịn chán nản khi học hình.
• Biết khai thác một bài toán với nhiều câu hỏi phong phú hơn và sáng tạo
hơn trong giải toán cũng như trong cuộc sống.

Sau khi vận dụng sáng kiến kinh nghiệm vào dạy học kết quả với 40 học sinh
lớp 9D năm học 2019 – 2020 có nhiều khả quan, số em đậu chuyên Lam Sơn
nhiều hơn (23 em trong đó có 7 em đậu chuyên toán, tin) như sau:

13


Số học sinh
5
13
22

Tỷ lệ
12,5%
32,5%

Kết quả
Khơng thích học hình
Thích học nhưng không biết cách đặt câu hỏi liên

55%

quan đến bài tập vừa giải.
u thích mơn hình học và biết sáng tạo khi làm bài

2. Tính ứng dụng của đề tài
Phương pháp nghiên cứu đề tài này được vận dụng với các giờ hình học
nói chung, giờ luyện tập tốn nói riêng và có thể áp dụng vào các mơn học khác.
Giáo viên có thể dùng làm tài liệu giảng dạy, nâng cao trình độ chun
mơn đặc biệt trong việc bồi dưỡng học sinh giỏi, ơn thi vịa lớp 10 PTTH. Nếu

được cho phép, có thể thực hiện một chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán cho
học sinh.
Phần 3: Kết luận
3.1 Kết luận:
Trong các tiết luyện tập học sinh có điều kiện phát huy năng lực sáng tạo
qua việc khai thác bài toán từ những bài toán đơn giản sách giáo khoa. Để học
sinh được rèn luyện, phát triển tư duy logic tốt thông qua giờ dạy luyện tập cần
thông qua những vấn đề sau:
• Tìm hiểu nắm được khung chương trình tốn từng khối lớp từ đó đưa ra
cho học sinh các bài tập các ví dụ phù hợp. ở tiết luyện tập nên chọn một số bài
toán vừa đủ để có điều kiện khắc sâu kiến thức được vận dụng và phát triển các
năng lực tư duy trong giải toán, sắp sếp các bài tập thành chùm bài để học sinh
tìm thấy mối quan hệ giữa các bài đó. Giải một bài ứng dụng trong nhiều bài.
• Nghiên cứu kĩ yếu tố logic trong chương trình tốn từng khối lớp
• Nắm vững khả năng thực tế của học sinh trong vấn đề tư duy logic nói
chung và tư duy tốn nói riêng. Từ đó có sự điều chỉnh hợp lí các biện pháp thực
hiện nhằm mang lại hiệu quả cao nhất.
• Trong q trình áp dụng các biện pháp cần chú nâng dần mức độ khó
cho phù hợp với quá trình phát triển tư duy của học sinh.
3.2 . Kiến nghị
Những sáng kiến kinh nghiệm hay trong thành phố, Phòng Giáo dục nên tổ chức
hội thảo cho giáo viên trong thành phố học tập và áp dụng những sáng kiến đó
để nâng cao chất lượng dạy và học.
Những biện pháp và bài học của tơi trình bày ở trên chưa thật mỹ mãn
với tâm ý của bản thân nhưng nếu thực hiện tốt nó tơi nghĩ nó cũng góp phần đổi
mới phương pháp dạy học mà ngành đang qua tâm và chỉ đạo để nâng cao chất
lượng học sinh. Nội dung của đề tài này và những kinh nghiệm của tôi cũng chỉ
là biện pháp nhỏ nâng cao chất lượng giáo dục, nó khơng tránh khỏi những thiếu
sót. Vì vậy rất mong có sự góp ý xây dững của các bạn đồng nghiệp nhằm giúp
tơi từng bước hồn thiện phương pháp dạy học của mình.

14


Tôi xin chân thành cảm ơn!
Tôi xin cam đoan đây là sáng kiếm kinh nghiệm của mình khơng sao chép
nội dung của người khác.
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG
ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 6 tháng 4 năm 2021
CAM KẾT KHÔNG COPY
Người viết

Bùi Thị Hiền

15


TÀI LIỆU THAM KHẢO
- Sách giáo khoa, sách bài tập toán 8; 9.
- Toán nâng cao và phát triển toán 8; 9 – Vũ Hữu Bình.
- Các chuyên đề chọn lọc tốn 8; 9 – Tơn Thân, Phạm Thị Lệ Hằng,
Nguyễn Đức Trường.
- Bài tập nâng cao và một số chuyên đề toán 8; 9 – Bùi Văn Tuyên.
- Tài liệu chuyên toán trung học cơ sở - Toán 8; 9 Vũ Hữu Bình – Nguyễn
Ngọc Đạm – Nguyễn Bá Đang – Lê Quốc Hân – Hồ Quang Vinh.
- Rèn luyện tư duy qua việc giải toán - Nguyễn Thái Hịe
- Kinh nghiệm dạy tốn và học tốn - Vũ Hữu Bình.
- Phương pháp dạy học tốn của trường phổ thơng trung học cơ sở - Hồng
Chúng.

- Báo tốn tuổi thơ, toán học tuổi trẻ.
- Mạng Internet .


DANH MỤC
CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG ĐÁNH GIÁ XẾP
LOẠI CẤP PHÒNG GD&ĐT, CẤP SỞ GD&ĐT VÀ CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI
TỪ C TRỞ LÊN

Họ và tên tác giả: Bùi Thị Hiền
Chức vụ và đơn vị công tác: Giáo viên - Trường THCS Trần Mai Ninh

TT
1.

Tên đề tài SKKN

sinh lớp 9
Rèn luyện kỹ năng giải
phương trình vơ tỉ cho học

4.

Năm học
đánh giá xếp
loại

- Phịng GD - Loại A
- Sở GD
- Loại B

2013 - 2014

- Phòng GD - Loại A
- Sở GD
- Loại B

2015 - 2016

học 7
Rèn luyện kỹ năng giải
phương trình vơ tỉ cho học

3.

Kết quả
đánh giá
xếp loại
(A, B,
hoặc C)

Rèn luyện, phát triển tư duy
logic trong giờ luyện tập hình

2.

Cấp đánh
giá xếp loại
(Phịng, Sở,
Tỉnh...)

sinh lớp 9
Rèn luyện kỹ năng giải
phương trình vơ tỉ cho học
sinh lớp 9

- Loại A
- Phòng GD - Loại C
- Sở GD

2018 - 2019

- Phòng GD - Loại A

2019 - 2020