SKKN hướng dẫn học sinh tiếp cận bài toán cực trị số phức nhằm nâng cao hiệu quả học tập

Sáng kiến kinh nghiệm

Tốn 12

MỤC LỤC
1. MỞ ĐẦU

Trang 1
1

1.1. Lí do chọn đề tài

1

1.2. Mục đích nghiên cứu

1

1.3. Đối tượng nghiên cứu

2

1.4. Phương pháp nghiên cứu

2

2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

2

2.1. Cơ sở lý luận

2

2. 2. Thực trạng vấn đề

5

2.3. Giải pháp thực hiện

6

2.3.1. Bài toán cơ bản

6

2.3.2. Các bài toán cực trị liên quan đến đường thẳng

8

2.3.3. Các bài tốn cực trị liên quan đến đường trịn

1
3

2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm

1
9

3. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ

2
0

Tài liệu tham khảo


Sáng kiến kinh nghiệm

Tốn 12

I. MỞ ĐẦU
1.1. Lí do chọn đề tài:
Từ năm học 2016-2017, trong kỳ thi trung học phổ thơng quốc gia, đề thi
mơn tốn thay đổi từ hình thức tự luận sang hình thức trắc nghiệm khách quan.
Chính điều này đã tạo ra một sự chuyển biến lớn trong cả dạy và học. Để đạt
được điểm số cao trong kỳ thi này, học sinh không cần chỉ nắm vững kiến thức
cơ bản, làm thuần thục các dạng tốn quan trọng mà cần có khả năng logic cao
để tiếp cận vấn đề một cách nhanh nhất, chọn được cách giải quyết nhanh nhất
đến đáp án. Đây thực sự là một thách thức lớn.
Trong chương Số phức, học sinh đã bước đầu làm quen với các phép toán
cộng, trừ, nhân, chia, khai căn, lũy thừa; lấy mô đun, …các số phức. Bằng cách

(
) với mỗi điểm ( ) trên
đặt tương ứng mỗi số phức
mặt phẳng tọa độ OXY , từ đó có thể sử dụng hình học để giải quyết các vấn đề
khó như xác định giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của modul số phức, hay gọi
chung là bài tốn tìm cực trị số phức. Đặc biệt, trong các kỳ thi Đại học, Cao
đẳng và THPT Quốc gia những năm gần đây, việc sử dụng phương pháp Hình

học để giải quyết các bài tốn về Số phức là một trong những phương pháp khá
hay và hiệu quả, đặc biệt là các bài toán về Cực trị trong số phức. Hơn nữa, với
những bài tốn Hình học theo phương pháp trắc nghiệm, nếu khi biểu diễn được
trên giấy thì qua hình ảnh minh họa, ta có thể lựa chọn đáp án một cách dễ dàng.
Trong quá trình giảng dạy, ôn thi tôi phát hiện ra rằng: rất nhiều bài tốn
khó về số phức đều được xây dựng trên cơ sở một số bài tốn cực trị hình học
trong mặt phẳng, nếu học sinh tiếp cận theo hướng đại số thuần túy về tính tốn
sẽ rất khó giải quyết được vấn đề trong thời gian ngắn.
Chính vì những lý do trên nên tôi tổng hợp các kinh nghiệm trong quá
trình giảng dạy của mình, sưu tầm các dạng bài điển hình hay gặp trong các đề
thi để viết thành chuyên đề: “Hướng dẫn học sinh tiếp cận bài toán cực trị số
phức nhằm nâng cao hiệu quả học tập”.
1.2. Mục đích nghiên cứu
Tơi chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm này trước hết nhằm mục đích tạo
một tài liệu tham khảo nhỏ giúp các em học sinh có học lực khá giỏi có thêm
một phương pháp tiếp cận nhanh và hiệu quả khi gặp những bài toán cực trị trên
tập số phức. Sau đó là khuyến khích các em dựa vào những tính chất cực trị hình
học đã học để sáng tạo ra những bài tập hay trên tập số phức, qua đó giúp các
em phát triển tư duy logic, tổng hợp các phần, các chương đã học để chọn nhanh
được hướng tiếp cận đối với các câu hỏi trắc nghiệm ở mức độ vận dụng trong
các đề thi.
z = x + yi x , y ∈ ¡ , i 2 = −1

M x; y

2


Sáng kiến kinh nghiệm

•

Tốn 12

1.3. Đối tượng nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu của đề tài chủ yếu tập trung vào mối quan hệ giữa số
phức với hình học tọa độ trong mặt phẳng, qua đó chọn lọc một số bài tốn cực
trị đặc trưng trong hình học rồi chuyển hóa nó thành các bài tốn cực trị trong
tập số phức.
1.4. Phương pháp nghiên cứu
Để giúp học sinh có cách giải phù hợp với các bài toán cực trị số phức,
trước hết giáo viên cần yêu cầu học sinh ôn tập các kiến thức hình học liên quan.
Đặc biệt với riêng chuyên đề này giáo viên phải yêu cầu học sinh nắm vững mối
quan hệ giữa số phức với hình học tọa độ, các công thức chuyển đổi từ số phức
sang hình học. Sau đó giáo viên chọn một số bài tốn điển hình, các dữ kiện, u
cầu thường gặp để học sinh luyện tập nhiều, tạo ra “phản xạ” cho các em khi
gặp loại toán này. Bước cuối cùng là yêu cầu các em sáng tạo thêm các đề toán
từ bài tốn điển hình này cũng như từ các bài toán khác mà các em đã từng gặp.
2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm
2.1. Cơ sở lý luận.
Một số kiến thức cơ sở về số phức và phép toán:
2.1.1. Định nghĩa số phức
Số phức z là một biểu thức có dạng z = a + bi , trong đó a, b∈¡ , i là một số
thỏa mãn i = −1 .
a là phần thực.
b là phần ảo.
i là đơn vị ảo.
Tập hợp các số phức kí hiệu là £ .
Đặt biệt:
Số phức z = a + 0i có phần ảo bằng 0 được coi là số thực và viết z = a .

Số phức z = 0 + bi có phần thực bằng 0 được gọi là số ảo và viết z = bi .
Số phức z = 0 + 0i = 0 vừa là số thực vừa là số ảo.
2.1.2. Số phức bằng nhau.
Hai số phức z = a + bi và z ' = a '+ b 'i bằng nhau nếu phần thực và phần ảo của
chúng tương ứng bằng nhau.
2

o
o
o
•
•
o
o
o
•

a = a '

a + bi = a '+ b 'i ⇔ 
o
o
•

b = b '

a, a ', b, b ' ∈ ¡

Hai số phức z1 = a + bi và z2 = −a − bi được gọi là hai số phức đối nhau.
2.1.3. Số phức liên hợp.

Số phức liên hợp của số phức z = a + bi với a, b∈¡ là số phức z = a − bi .
3


Sáng kiến kinh nghiệm

•

Tốn 12

Tính chất:
a) z = z
d) z.z ' = z . z '
⇔ z = −z

b) z + z ' = z + z '

c) z − z ' = z − z '

 z z
 z ' ÷=
  z'

f) z là số thực

e)

⇔ z=z

; z là số ảo

2.1.4. Mơ đun số phức.
•
•

2

2

Mơđun số phức z = a + bi là số thực khơng âm kí hiệu z = a + b .
Như vậy, mô đun số phức z là z chính là khoảng cách từ điểm M biểu diễn số
phức z = a + bi, (a, b ∈¡ ) đến gốc tọa độ O của mặt phẳng phức là
uuuuu
r

OM = a 2 + b2 = z.z
•

.

Một số tính chất:
a) z ≥ 0; z = 0 ⇔ z = 0;
z1 + z2 ≤ z1 + z2 ;

z2 = z ; −z = z ; z = z ;
2

b)

c)

z1 z1
= .
f) z2 z2

d) z1 − z2 ≤ z1 − z2 ≤ z1 + z2 ;
e) z1.z2 = z1 . z2 ;
2.1.5. Cộng, trừ, nhân và chia số phức.
•

Cho hai số phức z = a + bi và z ' = a '+ b 'i , với a, a ', b, b ' ∈¡

o

Cộng hai số phức:

o

Trừ hai số phức:

o

Nhân hai số phức:

z + z ' = ( a + bi ) + ( a '+ b 'i ) = ( a + a ' ) + ( b + b ') i

z − z ' = ( a + bi ) − ( a '+ b 'i ) = ( a − a ') + ( b − b ' ) i

.

.

z.z ' = ( a + bi ) ( a '+ b 'i ) = ( aa '- bb ') + ( ab '+ a 'b ) i

.

z z.z '
=
z a + bi aa '- bb ' ab '+ a 'b
=
= 2
+ 2
i z' z' 2
2
2
a ' + b' ;
o Chia hai số phức: z ' a '+ b ' i a ' + b '
.
1 z
z −1 = = 2 .
z z
o Số phức nghịch đảo của số phức z ký hiệu

•

4k
4 k +1
4k +2
4 k +3
Chú ý: i = 1;i = i;i = −1;i = −i (k ∈¢ ) .
2.1.6. Căn bậc hai của số thực âm.

2
Cho số phức w . Mỗi số phức z thỏa mãn z = w được gọi là một căn thức bậc 2
của w . Mỗi số phức w ≠ 0 có hai căn bậc 2 là hai số phức đối nhau là z và − z

o

Trường hợp w là số thực ( w = a ∈¡ )

Khi a > 0 thì w có hai căn bậc 2 là

a;− a ;

Khi a < 0 thì w có hai căn bậc 2 là ±i a .
4


Sáng kiến kinh nghiệm

Toán 12

Trường hợp w = a + bi (a, b ∈¡ )
2
Gọi z = x + yi ( x, y ∈¡ ) là căn bậc 2 của w khi và chỉ khi z = w tức là
o

( x + yi ) 2 = a + bi . Khi đó:
2
2

x − y = a

⇒ x = ....; y = ...


 2 xy = b

2.1.7. Phương trình bậc hai với hệ số thực.
•

•

2
Cho phương trình bậc hai ax + bx + c = 0 với a, b, c ∈ ¡ , a ≠ 0 .

Khi ∆ < 0 phương trình có hai nghiệm phức:
2.1.8. Biểu diễn hình học của số phức.

x1,2 =

−b ± i ∆
2
2a
. ∆ = b − 4ac .

•

Biểu diễn hình học của số phức z = x + yi với x, y ∈ ¡ trên mặt phẳng tọa độ là

•

điểm M ( x; y ) . Khi đó z = OM .

Biểu diễn hình học của hai số phức z và z là hai điểm đối xứng nhau qua trục
Ox nên nếu quỹ tích điểm biểu diễn hai số phức z và z lần lượt là các hình

( C ) , ( C ') thì hai hình đó cũng đối xứng nhau qua trục Ox .
 z1 − z2 = AB
uuu
r uuu
r

z
+
z
=
OA
+
OB
= 2OM
1
2

z ,z
• Nếu điểm biểu diễn của hai số phức 1 2 là A, B thì 
với M là trung điểm đoạn AB .
z ,z
• Cho điểm biểu diễn của hai số phức 1 2 là A, B . Số phức z thay đổi thỏa mãn

z − z1 = z − z2 thì quỹ tích điểm biểu diễn số phức z là trung trực của đoạn AB
.
•

Cho điểm biểu diễn của hai số phức z1 , z2 là A, B . Số phức z thay đổi thỏa mãn

•

z − z1 = z − z2 thì quỹ tích điểm biểu diễn số phức z là một đường thẳng.
Cho z0 là một số phức không đổi có điểm biểu diễn là I , một số phức z thay

•

0
đổi thỏa mãn
thì quỹ tích điểm biểu diễn số phức z chính là
đường trịn tâm I bán kính R .
Cho z0 là một số phức khơng đổi có điểm biểu diễn là I , một số phức z thay

z−z =R>0

z − z0 < R > 0
đổi thỏa mãn
thì quỹ tích điểm biểu diễn số phức z là miền trong
đường trịn tâm I bán kính R .

5


Sáng kiến kinh nghiệm

Tốn 12

•

Cho z0 là một số phức khơng đổi có điểm biểu diễn là I , một số phức z thay

•

0
đổi thỏa mãn
thì quỹ tích điểm biểu diễn số phức z là miền ngồi
đường trịn tâm I bán kính R .
Cho hai số phức z1 , z2 khơng đổi có điểm biểu diễn là hai điểm A, B . Một số

z−z >R>0

phức z thay đổi thỏa mãn z − z1 + z − z2 = a > 0 . Khi đó
+ Nếu

z1 − z2 < a

thì quỹ tích điểm biểu diễn số phức z là đường E-lip nhận

A, B làm hai tiêu điểm và độ dài trục lớn bằng a .
z1 − z2 = a

+ Nếu
thì quỹ tích điểm biểu diễn số phức z là đoạn thẳng AB .
2.2. Thực trạng của vấn đề:
Hiện nay khi gặp dạng toán cực trị trên tập số phức được phát triễn từ bài
tốn cực trị hình học thường làm các học sinh kể cả những học sinh giỏi lúng
túng từ khâu phát hiện nút thắt mấu chốt cho đến cách xử lý. Đa số các em
không nhận ra “bẫy” trong đề bài, sa đà vào tính tốn, gây mất thời gian mà

thường không thu được kết quả mong đợi.
Khi gặp các bài toán về vấn đề trên, hầu như học sinh mất rất nhiều thời
gian để biến đổi bài toán. Một số học sinh do năng lực tư duy hạn chế chưa biết
cách phối hợp giữa tư duy hình học và tính tốn đại số.
Một thực tế nữa là nhiều học sinh khi làm bài toán loại này ở chương hình
học thì làm được khá thành thạo nhưng khi ở chương số phức với ngơn từ, giả
thiết khác thì các em lại không phát hiện ra vấn đề cốt lõi, quen thuộc mà rất
lúng túng cứ như là gặp những bài tốn mới.
Chính vì vậy người dạy phải hướng dẫn học sinh tìm ra bản chất vấn đề
cũng như cách giải đơn giản, để thuận lợi kết thúc bài toán.
+) Thuận lợi:
Khi chuyển hình thức thi từ tự luận sang thi 100% trắc nghiệm đối với
mơn Tốn đã làm thay đổi phương pháp truyền thụ của giáo viên cũng như cách
tiếp cận của học sinh. Mục tiêu chung khi thực hiện đề tài này là giúp các em
định hướng các phương pháp tư duy khi gặp bài toán cực trị số phức. Được sự
quan tâm của Ban giám hiệu, Tổ chuyên môn và sự giúp đỡ chia sẻ kinh nghiệm
từ các đồng nghiệp làm Tôi thêm quyết tâm thực hiện tốt đề tài này để đạt các
mục tiêu trên.
+) Khó khăn:
Đa số các em học sinh ở vùng nông thôn miền núi, khơng có thời gian,
phương tiện để tiếp cận các dạng toán mới lạ, tinh thần hiếu học chưa cao;

6


Sáng kiến kinh nghiệm

Tốn 12

Khi tìm tịi các tài liệu để nghiên cứu, học tập các em rất dễ bị bỡ ngỡ vì

có nhiều cách giải khác nhau và cho nhiều đáp án khác nhau trong cùng một bài
toán, do nguồn tài liệu chưa được chuẩn hóa;
Việc định hướng học tập của các em chưa rỏ ràng, chưa xác định mục tiêu
cụ thể nên chưa đầu tư đúng mức các kiến thức phân hóa điểm trong đề thi.

2.3. Giải pháp thực hiện:
+) Đối với giáo viên:
Tập hợp, phân loại các dạng toán cực trị số phức thường gặp trong
chương, biên soạn thành tài liệu học tập;
Truyền đạt kiến thức cơ bản, các dạng bài tập từ đơn giản đến phức tạp.
Phân cơng nhiệm vụ cho từng nhóm sau khi giải các bài tập mẫu, yêu cầu các
em thực hiện các bài tập tương tự. Có kiểm tra, đánh giá và cộng điểm khuyến
khích học tập.
+) Đối với học sinh:
Ngồi việc trên lớp học sinh phải lắng nghe, ghi chép các kiến thức do
giáo viên truyền thụ, tiếp nhận các yêu cầu của giáo viên thì về nhà cần phải học
bài và nhớ các kiến thức đã học;
Tuân thủ các kế hoạch đã đề ra, làm việc theo nhóm nghiêm túc, hồn
thành cơng việc được giao đúng thời hạn;
Tìm hiểu thêm thông qua sách, vở tại thư viện, các tài liệu được giáo viên
giới thiệu.
2.3.1. Bài toán cơ bản
*
Cho số phức z thỏa mãn điều kiện ( ) cho trước. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn

Phương pháp chung:
H
+ Bước 1: Tìm tập hợp ( ) các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều
*
kiện ( ) cho trước.

( ) sao cho
+ Bước 2: Tìm số phức z tương ứng với điểm biểu diễn
khoảng cách OM lớn nhất, nhỏ nhất
Ví dụ 1: Biết các số phức z có tập hợp điểm biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ là
hình vng tơ đậm như hình vẽ
M∈ H

7


Sáng kiến kinh nghiệm

Toán 12

Modul lớn nhất của số phức z là:
A.

z max = 1

B.

z max =

1
2

C.

z max =

2
2

D.

z max = 2
z

Gợi ý: max nữa độ dài đường chéo hình vng cạnh 2 . Đáp án D
Ví dụ 2: Biết các số phức z có tập hợp điểm biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ là
hình vng tơ đậm như hình vẽ
•

Modul nhỏ nhất của số phức z là:
A.

z min = 0

B.

z min = 1

C.

z min =

2
2

D.

z min = 2
z

=0

Gợi ý: min
, điểm biểu diễn là O . Đáp án A
Ví dụ 3: Biết các số phức z có tập hợp điểm biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ là
hình trịn tơ đậm như hình vẽ (kể cả đường viền)
•

Modul lớn nhất của số phức z là:
A.

z max = 1

B.

z max = 2

C.

z max = 3

D.

z max = 3
•

Gợi ý:

8


Sáng kiến kinh nghiệm

Tốn 12

·
Tam giác OAB có góc OAB tù nên ta có

OA < OB ⇒ z ≤ OB = 3 ⇒ z max = 3

. Đáp án C
Ví dụ 4: Biết các số phức z có tập hợp điểm biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ là
hình trịn tơ đậm như hình vẽ (kể cả đường viền)

Modul nhỏ nhất của số phức z là:
A.

z min = 1

B.

z min =

1
2

C.

z min =

2
3

D.

z min = 3
•

Gợi ý:

·
Tam giác OAB có góc OBA tù nên ta có

OA > OB ⇒ z ≥ OB = 1 ⇒ z min = 1

. Đáp án A
2.3.2. Các bài toán cực trị liên quan đến đường thẳng
2.3.2.1. Bài toán 1:
d
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho điểm A và đường thẳng ( ) . Điểm M chạy
d
trên đường thẳng ( ) sao cho độ dài đoạn AM nhỏ nhất .Khi đó hãy tìm vị trí
điểm M và tính độ dài AM .
9

Sáng kiến kinh nghiệm

Toán 12

a. Hướng dẫn giải:
A
d(M,d)
(d)
H

M

d
Gọi H là hình chiếu vng góc của điểm A lên đường thẳng ( ) . Khi đó
AM ≥ AH , nên độ dài đoạn AM nhỏ nhất khi và chỉ khi M là hình chiếu vng

góc của điểm A lên đường thẳng
b. Ví dụ minh họa:

( d ) và

AM min = AH = d ( M , d )

.

Ví dụ 1: Cho số phức z có điểm biểu diễn nằm trên đường thằng

( d ) : 3 x − 4 y − 3 = 0 . Tính giá trị nhỏ nhất của
1

A. 5 .
•

Gợi

z

.

3
B. 5 .

ý:

Gọi

M

là

Min z = OM min = d ( O; d ) =

4
C. 5 .

điểm

biểu

diễn

2
D. 5 .

số

phức

z⇒

3
5

Ví dụ 2: Cho các số phức z, w thỏa mãn z + 2 − 2i = z − 4i , w = iz + 1. Giá trị nhỏ
nhất của

w

là

3 2
.
A. 2

•

B. 2.

2
.

C. 2

D. 2 2.

A −2;2 ) , B ( 0; 4 )
Gợi ý: Gọi (
và M là điểm biểu diễn số phức z . Từ đề bài
ta có: MA = MB , hay quỹ tích điểm M là đường trung trực đoạn AB ⇒
Quỹ tích điểm M là đường thẳng ( d ) : x + y − 2 = 0 .

Mà

w = iz + 1 = i . z +

1
2
= z − i = IM
⇒
Min
w
=
d
(
I
;
d
)
=
i
2 .

với I ( 0;1)

z 2 + 4 = z ( z + 2i )
Ví dụ 3: Cho số phức z không phải số thuần ảo thỏa điều kiện

.Giá trị nhỏ nhất của
A. 2.
•

z +i

bằng
B. 1.

C. 3.

D. 4.

 z − 2i = z
z 2 + 4 = z ( z + 2i ) ⇒ z − 2i z + 2i = z z + 2i ⇒ 
 z = 2i(l ) . Như

Gợi ý:
vậy bài tốn đã trở về dạng giống Ví dụ 2.

10


Sáng kiến kinh nghiệm

Toán 12

z − 2 − 4i = z − 2i
Ví dụ 4: Cho các số phức z thỏa mãn
. Giá trị nhỏ nhất của
z +7−i

là
4 10
.
A. 5

3 10
.
C. 5

B. 3.

D. 10.

 z − 2i = z − 2i = z + 2i


 z +7−i = z + 7−i = z + 7+i
• Gợi ý: 
. Bài tốn trở thành: Cho các số
z − 2 − 4 i = z + 2i

phức z thỏa mãn
. Tìm giá trị nhỏ nhất của

Như vậy bài toán đã trở về dạng giống Ví dụ 2.

z +7+i

.

2.3.2.2. Bài tốn 2:
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai điểm phân biệt A , B và đường thẳng ( d ) .
Điểm M chạy trên đường thẳng ( d ) sao cho tổng độ dài đoạn AM + BM nhỏ
nhất .Khi đó hãy tìm vị trí điểm M và tính AM + BM .
a. Hướng dẫn giải:
Ta xét hai trường hợp
d
+) Trường hợp 1 : hai điểm A , B nằm về hai phía đối với đường thẳng ( )
A
(d)
D

M

B

Ta có MA + MB ≥ AB nên ( MA + MB ) min = AB , đạt được khi M = AB ∩ (d ) .
d
+) Trường hợp 2 : hai điểm A , B cùng phía đối với đường thẳng ( )

11


Sáng kiến kinh nghiệm

Toán 12

B
A
(d)
D

M

A'

Gọi điểm A ' là điểm đối xứng của điểm A qua đường thẳng ( d ) . Khi đó
MA = MA '

⇒ MA + MB = MA '+ MB ≥ A ' B

nên

( MA + MB ) min = A ' B , đạt được khi

M = A ' B ∩ (d ) .

b. Ví dụ minh họa:
z −1 = z +1
Ví dụ 5: Cho các số phức z thỏa mãn
. Giá trị nhỏ nhất của
z + 2 − 4i + z − 4 − 6i

là

A. 10 + 5.
•

B. 13.

C. 2 5

D. 2 10.

z −1 = z + 1
Gợi ý: Gọi M là điểm biểu diễn số phức z , từ điều kiện
suy
ra được quỹ tích điểm M là trục Oy . Đặt A ( −2; 4 ) , B ( 4;6 ) thì A, B nằm

về hai phía trục Oy . Khi đó z + 2 − 4i + z − 4 − 6i = MA + MB ≥ AB = 2 10.
2 z + 5 − 4i = 2 z + 3 + 4i
Ví dụ 6: Cho các số phức z thỏa mãn
. Giá trị nhỏ nhất

của z + 1 − 4i + z − 1 − i là
B. 13.

A. 5
•

C. 41

D. 10.

Gợi ý: Gọi M là điểm biểu diễn số phức z , từ 2 z + 5 − 4i = 2 z + 3 + 4i
⇒ z+

5
3
− 2i = z + + 2i
2
2
suy ra được quỹ tích điểm M là đường thẳng

( d ) : x − 4 y + 2 = 0 . Đặt A ( −1;4 ) , B ( 1;1)
với đường thẳng ( d ) . Điểm A ' ( −3; −4 )
đường thẳng ( d ) . Khi đó

thì A, B nằm về cùng một phía
là điểm đối xứng của điểm A qua

z + 1 − 4i + z − 1 − i = MA + MB = MA '+ MB ≥ A ' B = 41

.

2.3.2.3. Bài toán 3:

12


Sáng kiến kinh nghiệm

Toán 12

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho điểm I và đoạn thẳng AB . Điểm M chạy trên
đoạn thẳng AB sao cho độ dài đoạn IM nhỏ nhất .Khi đó hãy tìm vị trí điểm M
và tính độ dài IM .
a. Hướng dẫn giải:

Gọi H là hình chiếu vng góc của điểm I lên đường thẳng ( AB ) .Ta xét hai
trường hợp
• Trường hợp 1: điểm H nằm trong đoạn AB
I

M

A

H

B

IM max = max { IA; IB}
Dễ dàng thấy IM min = IH và
.
• Trường hợp 2: điểm H nằm ngoài đoạn AB
I

A

Dễ dàng thấy

M

IM min = min { IA; IB}

B

và

H

IM max = max { IA; IB}

.

b. Ví dụ minh họa:
Ví dụ 7: Xét số phức z thỏa mãn z + 2 − i + z − 4 − 7i = 6 2 . Gọi m , M lần lượt
là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của
A. P = 13 + 73 .
C. P = 5 2 + 2 73 .
•

z −1+ i

. Tính P = m + M .
B.
D.

P=

5 2 + 2 73
2
.

5 2 + 73
2
.
A ( −2;1) , B ( 4;7 )

P=

Gợi ý: Gọi M là điểm biểu diễn số phức z , gọi

. Từ giả

thiết z + 2 − i + z − 4 − 7i = 6 2 ⇔ MA + MB = AB ⇒ Quỹ tích điểm M
chính là đoạn thẳng AB . Gọi I ( 1; −1) thì z − 1 + i = IM . Vẽ hình trực quan
13


Sáng kiến kinh nghiệm

Tốn 12

dễ kiểm tra hình chiếu của I lên đường thẳng ( AB ) nằm trong đoạn AB .
Lại có:

IA = 13, IB = 73, d ( I ; AB) =

5 2
5 2 + 2 73
⇒P=
2

2
.

z + 1 − 2i + z − 2 + 2i
Ví dụ 8: Xét số phức z thỏa mãn
nhỏ nhất . Gọi m , M lần

lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của
B. P = 2 2 .

A. P = 2 .

z − 4i

. Tính

P=

M
m.

C. P = 2 5 .

D.

P=5 2.
•

A −1;2 ) , B ( 2; −2 )
Gợi ý: Gọi M là điểm biểu diễn số phức z , gọi (

. Ta có

z + 1 − 2i + z − 2 + 2i = MA + MB ≥ AB

, nghĩa là

z + 1 − 2i + z − 2 + 2i

nhỏ

I 0;4
nhất thì quỹ tích điểm M chính là đoạn thẳng AB . Gọi ( ) thì
z − 4i = IM

thẳng

. Vẽ hình trực quan dễ kiểm tra hình chiếu của I lên đường

( AB ) nằm ngồi đoạn

AB . Lại có: IA = 5, IB = 2 10 ⇒ P = 2 2 .

 z + 2 = z − 8 − 8i

z ≤5
Ví dụ 9: Xét số phức z thỏa mãn 
. Tìm giá trị nhỏ nhất của
z − 4i

B. 3 .

A. 4 .
•

6 5
C. 5 .
D. 2 5 .
z + 2 = z − 8 − 8i
z

Gợi ý: Gọi M là điểm biểu diễn số phức , vì

nên

M thuộc đường thẳng ( d ) : 2x + y − 10 = 0 , mà z ≤ 5 nên M thuộc
2
2
C
:
x
+
y
= 25 . Lại có ( d ) cắt ( C ) tại hai
(
)
miền trong đường trịn
điểm phân biệt A(3;4), B (5;0) nên quỹ tích điểm M là đoạn thẳng AB
. Gọi

I ( 0;4 )

thì

z − 4i = IM

, vẽ hình trực quan thấy hình chiếu vng
góc của điểm I lên đường thẳng ( d ) nằm ngoài đoạn AB mà
IA = 41, IB = 3 nên z − 4i min = 3 .

2.3.3. Các bài tốn cực trị liên quan đến đường trịn
2.3.3.1. Bài toán 1

14


Sáng kiến kinh nghiệm

Toán 12

C
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A và đường trịn ( ) có tâm I bán kính
R . Điểm M thay đổi trên đường trịn ( C ) . Xác định vị trí điểm M để độ dài
đoạn AM đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất và tính các giá trị này.

a. Hướng dẫn giải:
Ta xét ba trường hợp
•

C
Trường hợp 1: điểm A nằm ở miền ngồi đường trịn ( )

(C)
M
R
C

I

B

A

AM min = AB = AI − R và AM max = AC = AI + R
•

C
Trường hợp 2: điểm A nằm ở trên đường tròn ( )
(C)
M
R

A

C

I

B

AM min = 0 và AM max = AC = 2R
•

C
Trường hợp 3: điểm A nằm ở miền trong đường tròn ( )
(C)
R
B

A

C

I
M

AM min = AB = R − AI và AM max = AC = AI + R

b. Ví dụ minh họa:
z =2
Ví dụ 1: Cho số phức z có
thì số phức w = z + 3i có modun nhỏ nhất và
lớn nhất lần lượt là

15


Sáng kiến kinh nghiệm

A. 2 và 5 .

Toán 12

B. 1 và 6 .

C. 2 và 6 .

D. 1

và 5 .
•

z =2
Gợi ý: Gọi M là điểm biểu diễn số phức z . Vì
nên quỹ tích điểm

M

là đường trịn

( C ) tâm

O bán kính R = 2 . Đặt A(0; −3) thì

.Dễ thấy điểm A nằm ngồi đường trịn ( C ) nên
w min = AM min = AO − R = 1
w
= AM max = AO + R = 5
và max
.
z − 3 + 4i = 2
w

Ví dụ 2: Cho số phức z thoả
và w = 2 z + 1 − i . Khi đó
có giá trị
lớn nhất là:
w = z + 3i = AM

A. 16 + 74 .

B. 2 + 130 .

C. 4 + 74 .

D.

4 + 130 .
•

z − 3 + 4i = 2
Gợi ý: Gọi M là điểm biểu diễn số phức z . Vì
nên quỹ tích

điểm M là đường tròn

( C)

tâm

I ( 3; −4 )

1 1

A( − ; )
2 2
bán kính R = 2 . Đặt

1 i
w = 2 z + 1 − i = 2 z + − = 2AM
2 2
thì
.Dễ thấy điểm A nằm ngoài đường

w = 2 AM max = 2( AI + R) = 4 + 130
trịn ( C ) nên max
.
Ví dụ 3: Cho số phức z , tìm giá trị lớn nhất của | z | biết rằng z thoả mãn điều
−2 − 3i
z +1 = 1
kiện 3 − 2i

C. 1.
D. 2.
Gợi ý : Gọi M là điểm biểu diễn số phức z ⇒ z = OM .Theo bài ra :
A. 3.

•

B. 2.

−2 − 3i
−2 − 3i
3 − 2i

z +1 = 1 ⇔
z+
=1⇔ z +i =1
3 − 2i
3 − 2i
−2 − 3i
nên quỹ tích điểm M

là đường trịn ( C ) tâm I ( 0; −1) bán kính R = 1 . Dễ thấy điểm O nằm
z = 2R = 2
trên đường tròn ( C ) nên max
.
z −3 = 2 z
Ví dụ 4: Cho số phức z thỏa mãn
và
a+b.

min z +

3
+ 2i = a + b 2
2
. Tính

16


Sáng kiến kinh nghiệm

B. 2 2 .

A. 1 .
•

Gợi

Tốn 12

ý:

Đặt

1
C. 2 .

z = x + yi

với

4
D. 3 .
x, y ∈ ¡ .

Từ

z − 3 = 2 z ⇒ ( x − 3) + y 2 = 2 ( x 2 + y 2 )
2

⇒ x 2 + y 2 + 6x − 9 = 0 ⇒ ( x + 3) + y 2 = 18 ⇒ z + 3 = 3 2
2

M là
điểm biểu diễn số phức z thì quỹ tích M là đường trịn tâm I (−3;0) , bán

. Gọi

 3

3
A  − ; −2 ÷
z + + 2i = AM
2
 thì
kính R = 3 2 . Đặt  2
. Dễ thấy điểm A nằm
( C)
ở
miền
trong
đường
tròn
nên

5
1
AM min = R − AI = − + 3 2 ⇒ a + b =
2
2
2.3.3.2. Bài toán 2:
C

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d ) và đường tròn ( ) có tâm I
C
bán kính R khơng có điểm chung. Điểm M thay đổi trên đường tròn ( ) , điểm
N thay đổi trên đường thẳng (d ) . Xác định vị trí hai điểm M , N để độ dài đoạn
MN giá trị nhỏ nhất và tính các giá trị này.

a. Hướng dẫn giải:

I
R

M

A

H

N

MN min = AH = d ( I , d ) − R .

b. Ví dụ minh họa:
 z1 − i = z1 + 1

z −1− i = 1
z
,
z
Ví dụ 5: Xét hai số phức 1 2 thỏa mãn  2
. Tìm giá trị nhỏ nhất của

z1 − z2

.

17


Sáng kiến kinh nghiệm

Toán 12

A. 2 .

B. 1 .

C.

2 −1 .

1
D. 2 .
•

Gợi ý: Gọi M , N lần lượt là điểm biểu diễn của hai số phức z1 , z2 . Theo
 z1 − i = z1 + 1

z −1− i = 1
bài ra  2
, suy ra quỹ tích điểm M là đường thẳng
( d ) : x + y = 0 và quỹ tích điểm N là đường trịn ( C ) tâm I ( 1;1) có bán

( C)
( d)
R =1

kính

. Vẽ hình trực quan dễ thấy

z − z = MN

mà 1 2
2.3.3.3. Bài tốn 3:

nên

và

khơng có điểm chung,

z1 − z2 min = MN min = d ( I , d ) − R = 2 − 1.

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn ( C ) có tâm I bán kính R . Đoạn
AB là một đường kính của ( C ) . Điểm M thay đổi trên đường tròn ( C ) . Xác
định vị trí điểm M để tổng độ dài k .MA + l.MB (với k ≥ l > 0 ) đạt giá trị nhỏ nhất

và tính giá trị này.
a. Hướng dẫn giải:
M

A

R

I

B

Ta có : k ≥ l > 0 ⇒ kMA + lMB ≥ l ( MA + MB) ≥ lAB , dấu bằng xảy ra khi M ≡ A .
b. Ví dụ minh họa:
z =1
Ví dụ 6: Cho số phức z thỏa mãn
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
T = z +1 + 2 z −1

.

A. min T = 2 5 .

B. min T = 2 .

C. min T = 5 .

D.

MinT = 2 .
•

z =1
Gợi ý: Gọi M là điểm biễu diễn số phức z . Theo bài ra
nên quỹ

tích điểm M là đường trịn ( C ) tâm O bán kính R = 1 . Đặt
18


Sáng kiến kinh nghiệm

A ( −1;0 ) , B ( 1;0 )

Tốn 12

, vẽ hình trực quan dễ thấy AB là một đường kính của

đường trịn ( ) . Khi đó
, dấu bằng xảy ra khi M ≡ B . Suy ra min T = 2 .
2.3.3.4. Bài toán 4:

T = z + 1 + 2 z − 1 = MA + 2MB ≥ MA + MB ≥ AB = 2

C

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn ( C ) có tâm I bán kính R . Đoạn
AB cố định nhận điểm I làm trung điểm. Điểm M thay đổi trên đường tròn

( C ) . Xác định vị trí điểm

M để tổng độ dài k .MA + l.MB (với k > 0, l > 0 ) đạt giá

trị lớn nhất và tính giá trị này.

a. Hướng dẫn giải:
M

A

I

B

MA2 + MB 2 AB 2
MI =
−
2
4
Theo công thức đường trung tuyến ta có
AB 2
⇒ MA2 + MB 2 = 2 MI 2 +
= a = const
2
2

2
2
2
2
2
2
Lại có: k .MA + l.MB ≤ k + l . MA + MB = k + l . a , dấu bằng xảy ra khi và

MA MB

k
k2 + l2
=
⇒ MA = MB ⇒ (
) MB = k 2 + l 2 . a
l
l
l
chỉ khi k
, hay M là giao

l a

điểm của đường (C ) với đường trịn tâm B bán kính
b. Ví dụ minh họa:

k2 + l2 .

z =1
Ví dụ 7: Cho số phức z thỏa mãn
. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
T = z +1 + 2 z −1

.

A. max T = 2 5

B. max T = 2 10

C. max T = 3 5

D.

max T = 3 2
19


Sáng kiến kinh nghiệm

•

Tốn 12

z =1
Gợi ý: Gọi M là điểm biễu diễn số phức z . Theo bài ra
nên quỹ
C
tích điểm M là đường trịn ( ) tâm O bán kính R = 1 . Đặt
A ( −1;0 ) , B ( 1;0 )

, vẽ hình trực quan dễ thấy AB nhận O làm trung điểm

MA2 + MB 2 AB 2
MO =
−
2
4
nên trong ∆MAB ta có
2

AB 2
⇒ MA + MB = 2MO +
=4
2
. Khi đó
2

2

2

T = z + 1 + 2 z − 1 = MA + 2MB ≤ 12 + 2 2 . MA2 + MB 2 = 2 5

ra khi

MB = 2 MA ⇒ MA =

, dấu bằng xảy

2 5
⇒A
C
5
là giao điểm của đường tròn ( ) với

2 5
đường trịn tâm A bán kính 5 . Suy ra max T = 2 5 .

2.3.3.5. Bài toán 5:
C

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn ( ) có tâm I bán kính R . Điểm
M cố định nằm ở miền trong đường tròn; hai điểm A, B thay đổi trên ( C ) sao
cho ba điểm M , A, B thẳng hàng . Xác định vị trí hai điểm A, B để tổng độ dài

k .MA + l.MB (với k > 0, l > 0 ) giá trị nhỏ nhất và tính giá trị này.

a. Hướng dẫn giải:

I

M

A

B

C
Ta có tích MA.MB chính là độ lớn phương tích của điểm M với đường tròn ( )
2
2
2
2
, suy ra MA.MB = R − MI . Nên k .MA + l .MB ≥ 2 klMA.MB = 2 kl ( R − MI ) ,
dấu
bằng
xảy
ra
khi
và
chỉ

khi

20


Sáng kiến kinh nghiệm

Toán 12

kMA = lMB = kl ( R 2 − MI 2 ) ⇒ MA =

đường tròn tâm M bán kính
b. Ví dụ minh họa:

l 2
( R − MI 2 )
k

hay A là giao điểm của

l 2
( R − MI 2 )
C
k
với đường tròn ( ) .

 z1 − 1 − i = z2 − 1 − i = 1


1

1
z1 − z2 = z1 − 1 − i + z2 − 1 − i

2
2 . Tìm
Ví dụ 8: Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn 

giá trị nhỏ nhất của biểu thức
A. min T = 2 5 .

T = 2 z1 − 2 − i + 2iz2 + 1 − 2i

B. min T = 2 3 .

.

C. min T = 2 2 .

D.

min T = 3 2 .
•

Gợi ý: Gọi A, B lần lượt là điểm biểu diễn của hai số phức z1 , z2 . Theo
bài ra

z1 − 1 − i = z2 − 1 − i = 1

, suy ra quỹ tích điểm A và quỹ tích điểm B

 1
M 1; ÷
là đường trịn ( C ) tâm I ( 1;1) có bán kính R = 1 . Đặt điểm  2  , ta có
1
1
z1 − z2 = z1 − 1 − i + z2 − 1 − i ⇒ MA + MB = AB ⇒
2
2
điểm M thuộc đoạn
AB , nên theo cơng thức phương tích ta có

T = 2 z1 − 2 − i + 2iz2 + 1 − 2i = 2 z1 − 1 −
⇒ T = 2 ( MA + MB ) ≥ 4 MA.MB = 2 3

MA.MB = R 2 − IM 2 =

3
4 . Lại có

i
1

i
i 
+ 2i z2 + − 1 = 2  z1 − 1 − + z2 − 1 − ÷
2
2i
2
2


, dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

MA = MB hay A, B là giao điểm của đường thẳng qua M vuông góc với
IM và đường trịn ( C ) .

2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối hoạt động giáo dục, với bản
thân, đồng nghiệp và nhà trường.
Trong quá trình giảng dạy, tôi nhận thấy rằng: sau khi đưa ra hệ thống bài
tập trên, học sinh đã biết vận dụng phương pháp linh hoạt vào các bài toán khác
nhau, từ đơn giản đến phức tạp. Học sinh khơng cịn tâm lý e ngại khi gặp các
bài toán này nữa. Một hiệu quả nữa mà tôi nhận thấy là những học sinh của
mình sau khi đọc tài liệu này đã nhìn các bài toán cực trị trên tập số phức với

21


Sáng kiến kinh nghiệm

Toán 12

con mắt “bớt sợ” hơn. Những em khá, ham tìm tịi cũng đã manh nha nghiên cứu
những bài tốn hình học khác để thử áp dụng cho các bài tốn cực trị khác.
Tuy vậy vẫn cịn một bộ phận học sinh do những kiến thức còn hạn chế
nên vẫn chưa thấy được điểm mạnh của phương pháp, và vận dụng vẫn chưa
linh hoạt ở các dạng đề khác nhau.
Kết quả thực nghiệm trên các lớp đã giảng dạy như sau
Thực hiện được bài toán cực trị số phức qua kiểm tra 1
tiết
Lớp

Chưa đạt
Đạt
12A4 (20118 2019)
12A6 (2019 –2020)

30/38

8/38

18/29

11/29

12A7 (2020 –2021)
29/36
7/36
Với kết quả đạt được của chuyên đề là nền tảng tạo động lực cho Tôi tiếp
tục thực hiện các chuyên đề liên quan ở các chương khác. Đây là chuyên đề mà
các câu hỏi nằm ở mức độ vận dụng trong các đề kiểm tra, thi học kỳ và đặc biệt
là những câu hỏi phân hóa trong đề thi THPT Quốc gia nên sẽ là tài liệu tham
khảo có ích cho cả học sinh và giáo viên.

3. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
3.1. Kết luận
Tóm lại, việc chuyển từ hình thức thi tự luận sang trắc nghiệm địi hỏi
giáo viên phải khơng ngừng nghiên cứu, tìm tịi và học hỏi. Tính bao qt kiến
thức của hình thức thi trắc nghiệm khá lớn đòi hỏi học sinh phải phát huy tính tự
học và có mục tiêu cụ thể trong việc học của mình. Đây là một đề tài nhỏ mà Tơi
tổng hợp nhằm góp phần nâng cao hiệu quả giảng dạy của bản thân, thiết nghĩ
trong thời gian tới sẽ cố gắng phối hợp với các đồng nghiệp để tổng hợp thêm

nhiều chuyên đề khác nữa nhằm phục vụ tốt hơn việc giảng dạy.
3.2. Kiến nghị

22


Sáng kiến kinh nghiệm

Tốn 12

Mặc dù đề tài này tơi nghiền ngẫm, đúc rút kinh nghiệm và vận dụng
trong giảng dạy ở nhiều năm, cũng đã giúp được những điều bổ ích cho học sinh
học tập tốt hơn. Xong chắc chắn cịn phải tiếp tục được hồn thiện, bổ sung
thêm. Vậy tơi rất mong được sự góp ý chân tình của các đồng nghiệp.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
XÁC NHẬN CỦA
THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Thanh Hoá, ngày 19 tháng 05 năm 2021
Tơi xin cam đoan đây là SKKN của
mình viết, khơng sao chép nội dung
của người khác.

Trương Thị Tuyến

23


Sáng kiến kinh nghiệm

Toán 12

TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Sách “Hàm biến phức” của tác giả Nguyễn Văn Khuê – Lê Mậu Hải – Nhà
xuất bản đại học quốc gia Hà Nội năm 2001.
2. Tổng hợp các đề thi thử của các trường và Sở Giáo Dục và Đào Tạo các tỉnh.
3. Cơng thức và thủ thuật tính nhanh cực trị số phức – Tốn từ A đến Z.
, cơ hoạt động giải đề và nghiên cứu trên
4. Các ý kiến đóng góp của quý thầy
cộng đồng mạng.

24