SKKN hướng dẫn học trường lớp 11 trường THPT thường xuân 2 giải bài tập khoảng cách trong hình học 11

1. Mở đầu
1.1. Lí do chọn đề tài:
Khoảng cách là phần kiến thức cơ bản trong mơn hình học 11, cũng là
phần kiến thức thường gặp trong các bài kiểm tra cuối năm, thi tốt nghiệp THPT
và là tiền đề để hình thành kiến thức khoảng cách trong mơn hình học 12, tuy
nhiên thời lượng lý thuyết và bài tập trong sách giáo khoa chỉ có 03 tiết học . Để
cho học sinh hiểu rõ hơn phần này và luyện kỹ năng tìm khoảng cách trong hình
học khơng gian thì cần phải hướng dẫn thêm về phương pháp làm và đưa thêm
các ví dụ minh hoạ. Do vậy tơi biên soạn và lựa chọn đề tài “Hướng dẫn học
trường lớp 11 trường THPT Thường Xuân 2 giải bài tập khoảng cách trong
hình học 11 ”.
1.2. Mục đích nghiên cứu:
Truyền đạt đến học sinh phương pháp và các ví dụ phù hợp về tính
khoảng cách trong khơng gian theo tinh thần sách giáo khoa hình học 11 ban cơ
bản.
Qua đó rèn luyện các kĩ năng toán học và nâng các năng lực tư duy cho
học sinh khi gặp các bài tập liên qua đến khoảng cách.
1.3. Đối tượng nghiên cứu:
Để hoàn thành được bài viết của mình với đề tài nói trên tơi đã phải
nghiên cứu bài phương trình đường trịn trong sách giáo khoa cơ bản lớp 11
hiện hành và các tính chất của của khoảng cách ở các phần trước đó.
1.4. Phương pháp nghiên cứu:
Đưa ra phương pháp chung để tính các khoảng cách cơ bản và các ví dụ
minh hoạ cho các phương pháp đó, hướng dẫn các cách giải khác nhau cho mỗi
ví dụ.
2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm [1]:
2.1.1. Khoảng cách từ một điểm tới một đường
thẳng.
Cho điểm M và một đường thẳng D . Trong
mp( M , D )

gọi H là hình chiếu vng góc của M trên
D . Khi đó khoảng cách MH được gọi là khoảng cách
d ( M , D ) = MH
từ điểm M đến D .
Nhận xét: OH �OM , " M �D .
2.1.2. Khoảng cách từ một điểm tới một mặt phẳng.
( a ) và một điểm M , gọi H là hình
Cho mặt phẳng
( a ) . Khi đó khoảng
chiếu của điểm M trên mặt phẳng
cách MH được gọi là khoảng cách từ điểm M đến mặt
( a ) .d M ,( a ) = MH
phẳng

(

)

1


OH �MO, " M �( a )
Nhận xét:
2.1.3. Khoảng cách từ một đường thẳng tới một mặt
phẳng.
( a ) song song với
Cho đường thẳng D và mặt phẳng
nhau. Khi đó khoảng cách từ một điểm bất kì trên D
( a ) được gọi là khoảng cách giữa đường
đến mặt phẳng

( a ) d D,( a ) = d M ,( a ) , M �D .
thẳng D và mặt phẳng
2.1.4. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song.
( a ) và ( b) song song với nhau,
Cho hai mặt phẳng
khoảng cách từ một điểm bất kì trên mặt phẳng này đến
mặt phẳn kia được gọi là khoảng cách giữa hai mặt
( a ) và ( b) .
phẳng
d ( a ) ,( b) = d M ,( b) = d N ,( a )

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

, M �( a ) , N �( b)

.
2.1.5. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.
Cho hai đường thẳng chéo nhau a,b . Độ dài đoạn vng
góc chung MN của a và bđược gọi là khoảng cách giữa
hai đường thẳng a và b.
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến
kinh nghiệm:
Qua các năm giảng dạy tơi thấy cịn nhiều học sinh vẫn cịn lúng túng khi
làm bài tập khoảng cách, một phần các em chưa nắm và hiểu được kiến thức cơ
bản và khoảng cách, phần còn lại đa số các em chưa hiểu được phương pháp
tính khoảng cách và cảm thấy khó học phần này nên hay bỏ câu bài tập khoảng
cách trong quá trình kiểm tra và thi.
2.3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề:
Bài tốn 01: Tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng D .
Phương pháp: Để tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng D ta cần xác
định được hình chiếu H của điểm M trên đường thẳng D , rồi xem MH là
đường cao của một tam giác nào đó để tính. Điểm H thường được dựng theo
hai cách sau:
mp( M , D )
MH ^ D � d ( M , D ) = MH
 Trong
vẽ
( a ) qua M và vuông góc với D tại H � d ( M , D) = MH .
 Dựng mặt phẳng
Hai công thức sau thường được dùng để tính MH
1
1

1
=
+
2
2
MA
MB 2 .
 D MAB vng tại M và có đường cao AH thì MH
2


MH =

2SMAB
AB .

 MH là đường cao của D MAB thì
Các ví dụ
Ví dụ 1. Cho hình lập phương ABCD.A 'B 'C 'D ' có cạnh bằng a . Tính
khoảng các từ đỉnh D ' đến đường chéo AC ' .
Lời giải.
Gọi H là hình chiếu của D ' trên AC ' .
�
C 'D ' ^ D ' A '
�
� C 'D ' ^ ( ADD 'A ')
�
�
C
'

D
'
^
DD
'
Do �
� C ' D ' ^ D 'A .
Vậy tam giác D 'AC ' vng tại D ' có đường cao
D 'H suy ra
1
1
1
1
1
3
=
+
=
+
=
2
D 'H 2 D 'A 2 D 'C '2
a2 2a2
a 2

( )

3
3
d ( D ', AC ') = a

2 . Vậy
2.
Ví dụ 2. Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng tâm O cạnh a ,
( ABCD) và SA = a . Gọi I là trung điểm
cạnh SA vng góc với mặt phẳng
của cạnh SC và M là trung điểm của đoạn AB . Tính khoảng cách từ I đến
đường thẳng CM .
Lời giải.
( ICM ) kẻ IH ^ CM thì d( I ,CM ) = IH .
Trong
Gọi N = MO �DC , N �CD .
OH
OM
D MHO : D MNC �
=
CN
MC
Ta có
a
OM = CN = ,CM = BM 2 + BC 2
2
Mà
� D 'H = a

2

��
a
a 5
�

= �
+ a2 =
��
�
�
2�
2
��

.
CN .OM
a
OH =
=
MC
2 5 ,OI là đường trung bình trong tam giác
Suy ra
SA a
OI =
=
2
2.
SAC nên

3


�
OI / / SA
�

� OI ^ ( ABCD ) � OI ^ OH
�
�
SA ^ ( ABCD )
�
� D OHI vuông
Ta có �
2

2
�a �
��
a
3
a 30
�
�
�
�
�
IH = OH +OI = �
+
=
a
=
�
�
�
�
�

� �
2�
10
10
��
�
2 5�
2

tại O nên

2

a 30
10 .
Vậy
Ví dụ 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh a ,
�
0 SC ^ ( ABCD )
góc ABC = 120 ,
và SC = h . Tính khoảng cách từ điểm O
đến đường thẳng SA theo a và h .
Lời giải.
d ( O, SA) = OH
Kẻ OH ^ SA, H �SA thì
.
�
0
Do ABCD là hình thoi cạnh a và ABC = 120 nên
d ( I ,CM ) =

� CO =

a 3
2

(

)

D CBD đều cạnh a
� CA = 2CO = a 3 .

2

SA = CS 2 +CA 2 = h2 + a 3 = 3a2 + h2
Hai tam giác vuông AHO va ACS đồng dạng nên

a 3
.h
OH OA
OA.SC
ah 3
2
=
� OH =
=
=
SC
SA

SA
3a2 + h2
2 3a2 + h2
d (O, SA) = OH =

3ah

2 3a2 + h2 .
Vậy
Ví dụ 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a và
SA ^ ( ABCD )
cạnh bên
, SA = a . Gọi E là trung điểm của cạnh CD .Tính
khoảng cách từ S đến đường thẳng BE .
Lời giải.
( SBM ) kẻ SH ^ BM thì d ( S, BM ) = SH .
Trong
Gọi N = BM �AD , ta có
DN
MD
AD P BC �
=
= 1 � DN = BC = a
BC
MC

4


� AN = 2a .

Trong tam giác vng ABN có
1
1
1
=
+
2
2
AH
AB
AN 2
1
1
5
= 2+
=
2a 5
2
2
a
4
a
�
AH
=
2
a
( )
5

SA ^ ( ABCD ) � SA ^ AH � D ASH
vng tại A , do đó

SH = AH 2 + AS 2 =

4 2
3a 5
a + a2 =
5
5 .

3a 5
5 .
Vậy
Bài tốn 02: Tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
d ( S, BM ) = SH =

( a ) thì
Phương pháp: Để tính được khoảng từ điểm M đến mặt phẳng
điều quan trọng nhất là ta phải xác định được hình chiếu của
( a ) . Để xác định được vị trí hình chiếu này ta có
điểm M trên
một số lưu ý sau:
d ^ ( a)
 Nếu có
thì MH P d (h1).
( b) chứa điểm M , rồi xác định giao tuyến
 Chọn
D = ( a ) �( b)
( b) dựng MH ^ D � MH ^ ( a )

. Trong
(h2).
( a ) có hai điểm A, B sao cho MA = MB thì
 Nếu trong
( a ) kẻ đường trung trực d của đoạn AB , rồi trong
trong
mp( M ,d)
MH ^ ( a )
dựng MH ^ d . Khi đó
(h3)
Thật vậy , Gọi I là trung điểm của AB . Do MA = MB
M � MI ^ AB �( a )
nên D MAB cân tại
. Lại có
AB ^ d � AB ^ mp( M ,d)
� AB ^ MH .
�
MH ^ AB
�
� MH ^ ( a )
�
�
MH
^
d
Vậy �
.

5

( a)

có một điểm A và một đường thẳng d
( a ) kẻ đường
không đi qua A sao cho MA ^ d thì trong
mp( M ,d ')
thẳng d ' đi qua A và d ' ^ d , rồi trong
kẻ
MH ^ d ' � MH ^ ( a )
.( h4)
Thật vậy , do d ^ d ' và
d ^ MA � d ^ mp( M ,d ') � d ^ MH

 Nếu trong

Lại có

MH ^ d ' � MH ^ mp( d,d ') �( a )

.

( a ) có các điểm A1, A2,..., An ( n �3) mà
 Nếu trong
MA1 = MA2 = ... = MAn
hoặc các đường thẳng MA1, MA2,..., MAn tạo với
( a ) các góc bằng nhau thì hình chiếu của M trên ( a ) chính là tâm đường
tròn ngoại tiếp đa giác A1A2...An .
( a ) có các điểm A1, A2,..., An ( n �3) mà các mặt phẳng
 Nếu trong

( MA1A2) ,( MA2A3) ,...,( MAnA1) thì hình chiếu của M là tâm đường trịn nội
tiếp đa giác A1A2...An .

( a ) ta có
 Đơi khi, thay vì hình chiếu của điểm M xuống
thể dựng hình chiếu một điểm N khác thích hợp hơn sao
d M ,( a ) = d N ,( a )
MN P ( a )
cho
. Khi đó
. (h5)
 Một kết quả có nhiều ứng dụng để tính khoảng cách từ
một điểm đến mặt phẳng đối với tứ diện vuông (tương tư
như hệ thức lượng trong tam giác vuông) là:
 Nếu tứ diện OABC có OA,OB,OC đơi một vng góc
1
1
1
1
=
+
+
2
OA2 OB 2 OC 2 .
và có đường cao OH thì OH

(

)

(

)

Các ví dụ
Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là một tam giác đều cạnh a ,
( ABC ) và SA = h , góc giữa hai mặt phẳng ( SBC ) và
cạnh SA vng góc với
( ABC ) bằng 600 . Tính khoảng cách từ A đến ( SBC ) theo a và h .

6


Lời giải.
�
AI ^ BC
�
� ( SAI ) ^ BC
�
�
SA
^
BC
Gọi I là trung điểm của BC , ta có �
�
( SBC ) và
Vậy AI S chính là góc giữa hai mặt phẳng
( ABC )
� S = 600
� AI

.
( SBC ) kẻ AH ^ SI .
Trong
�
BC ^ ( SAI )
�
� AH ^ BC
�
�
AH
�
SAI
(
)
�
Ta có �
.
�
AH ^ BC
�
� AH ^ ( SBC )
�
�
AH
^
SI
Vậy �
� d A,( SBC ) = AH
.

(

)

AI =

a 3
2

Tam giác ABC đều cạnh a nên
Trong tam giác AIS ta có
1
1
1
1
1
4h2 + 3a2
=
+
=
+
=
2
AH 2 AI 2 AS 2 � �
h2
3a2h2
a 3�
�
ah 3
�

�
� AH =
�2 �
�
�
�
� �
4h2 + 3a2

(

)

d A,( SBC ) =

ah 3

4h2 + 3a2 .
Hay
Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vng tại A và
B , BA = BC = a, AD = 2a . Cạnh bên SA vng góc với đáy và SA = a 2 .
Gọi H là hình chiếu vng góc của A trên SB . Tính khoảng cách từ H đến
( SCD ) .
mặt phẳng
Lời giải.
( ABCD ) gọi M = AB �CD , trong ( SAM ) gọi K = AH �SM ,
Trong
kẻ AE ^ SC tại E và gọi N là trung điểm của AD .

7

Dễ thấy ABCN là hình vng nên
NC = AB = a . Do đó
NA = NC = ND = a � D ACD vuông
tại C � CD ^ AC , lại có

CD ^ SA � CD ^ ( SAC )
� ( SAC ) ^ ( SCD )

.

Vậy

�
( SAC ) ^ ( SCD )
�
�
�
�
( SAC ) �( SCD ) = SC � AE ^ SCD 1
�
�
( ) ()
�
AE �( SAC )
�
�
�
AE ^ SC

�
�
( AK E ) kẻ HF P AE , F �K E , thì từ (1) suy ra HF ^ ( SCD)
Trong
� d H ,( SCD ) = HF
.
MB
BC
a
1
BC P AD �
=
=
= � MA = 2AB = 2a � B
MA
AD
2a 2
Do
là
trung điểm của MA .
BH
BH .BS
BA 2
a2
1
=
=
=
=
2

2
2
2
BS
3
BS
AB + AS
a2 + a 2
Lại có
.
Vậy H là trọng tâm của tam giác SAM , do đó
HF
KH
1
1
=
= � HF = AE
AE
KA
3
3
.
Tứ diện ADMS có ba cạnh AD, AM , AS đơi một vng góc và

(

)

( )

1
1
1
1
=
+
+
AE ^ ( SMD )
2
AD 2 AM 2 AS 2
nên AE
1
1
1
1
= 2+ 2+ 2= 2
4a
4a
2a
a � AE = a .
1
a
� d H ,( SCD ) = HF = AE =
3
3.
Vậy

(

)

8


Nhận xét: Từ bài trên ta thấy nếu đường thẳng AB
d A,( a )
IA
=
IB
d B,( a )
a)
(
I
cắt
tại thì
.

(
(

)
)

Ví dụ 3. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A 'B 'C 'D ' có ba kích thức

AB = a, AD = b, AA ' = c . Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( DA 'C ') .
Lời giải.
Gọi I là tâm của hình bình hành ADD 'A ' thì I là
trung điểm của AD '.
d A,( DA 'C ')

IA
=
=1
ID '
d D ',( DA 'C ')
Ta có
� d A,( DA 'C ') = d D ',( DA 'C ')
.
Mặt khác ta có tứ diện D 'ADC ' có các cạnh
D 'D, D 'A ', D 'C ' đơi một vng góc nên
1
1
1
1
=
+
+
D 'D 2 D 'A '2 D 'C '2
d2 D ',( DA 'C ')

(

(

)

(

)

(

)

(

)

)

1
1
1 a2b2 + b2c2 + c2a2
+
+
=
a2 b2 c2
a2b2c2
.
1
abc
d A,( DA 'C ') =
=
1
1 1
a2b2 + b2c2 + c2a2
+
+
a2 b2 c2
Vây

.
Ví dụ 4. Cho hình hộp ABCD.A 'B 'C 'D ' có tất cả các mặt đều là hình thoi
�
�
�
0
cạnh a , các góc BAA ' = BAD = DAA ' = 60 . Tính khoảng cách từ A ' đến
( ABCD) .
Lời giải.
Do ABCD.A 'B 'C 'D ' có tất cả các mặt đều là hình thoi cạnh a và
� ' = BAD
� = DAA
� ' = 600
BAA
nên các tam giác ABA ', ABD, ADA ' đều
là các tam giác đếu cạnh a � A 'A = A 'B = A 'D ( A ' cách đếu ba đỉnh
của D ABD )
=

(

)

9


( ABCD ) thì
Gọi H là hình chiếu của A ' trên
các tam giác vuông A 'HA, A 'HB, A 'HD
bằng nhau nên HA = HB = HD suy ra H là

tâm của đường tròn ngoại tiếp D ABD .
Gọi O giao điểm của AC và BD , ta có
2
2 a 3 a 3
AH = AO = .
=
3
3 2
3 .
2

�
a 3�
2
�
�
2
2
2
�
A 'H = AA ' - AH = a - � �
=a .
�
�
�
3
�
�3 �

(

)

d A ',( ABCD ) = A 'H = a

2
3.

Vậy
Ví dụ 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vng tại A và
D , tam giác SAD đều và có cạnh bằng 2a , BC = 3a các mặt bên tạo với đáy
( ABCD) .
các góc bằng nhau. Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng
Lời giải.
Gọi I là hình chiếu vng góc của S trên
( ABCD) , Gọi I 1, I 2, I 3, I 4 lần lượt là hình chiếu
của I trên các cạnh AB, BC ,CD, DA thì các góc
I�I i S ( i = 1,4)
là góc giữa các mặt bên và mặt đáy
do đó chúng bằng nhau,suy ra các tam giác vuông
SII 1, SII 2, SI I 3, SII 4
bằng nhau nên

II 1 = II 2 = II 3 = II 4 � I
là tâm đường trịn
nội tiếp hình thang ABCD .
Vì tứ giác ABCD ngoại tiếp nên AB + DC = AD + BC = 5a
1
1
S = ( AB + DC ) AD = .5a.2a = 5a2

2
2
Diện tích hình thang ABCD là
Gọi p là nửa chu vi và r là bán kính đường trịn nội tiếp của hình thang
AB + DC + AD + BC
10a
p=
=
= 5a
2
2
ABCD thì

S
5a2
S = pr � r = =
= a � II 4 = r = a
p
5a
.
Tam giác SAD đều và có cạnh 2a nên

10


2a 3
= a 3 � SI = SI 42 - I I 42 = 3a2 - a2 = a 2
2
Vậy
d S,( ABCD ) = SI = a 2

.
Bài toán 03: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.
Phương pháp:
Để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau ta có thể dùng một trong
các cách sau:
 Dựng đoạn vng góc chung MN của a và b. Khi đó
d ( a,b) = MN
. Sau đây là một số cách dựng đoạn vng góc chung thường
dùng :
Nếu a ^ b thì ta dựng đoạnvng góc chung của a và b như sau
( a ) chứa b và vng góc với a .
- Dựng mặt phẳng
O = a �( a )
- Tìm giao điểm
.
- Dựng OH ^ b .
Đoạn OH chính là đoạn vng góc chung của
a và b.
Nếu a,b khơng vng góc với nhau thì có thể dựng đoạn vng góc chung của
a và b theo hai cách sau:
Cách 1.
( a ) chứa b và song song với a .
- Dựng mặt phẳng
- Dựng hình chiếu A ' của một điểm A �a trên
( a) .
( a ) dựng đường thẳng a ' đi qua A ' và
- Trong
song song với a cắt b tại M , từ M dựng đường thẳng song song với AA '
cắt a tại N . Đoạn MN chính là đoạn vng góc
chung của a và b.

Cách 2.
( a ) vng góc với a .
- Dựng mặt phẳng
O = a �( a )
- Tìm giao điểm
.
( a)
- Dựng hình chiếu b' của b trên
( a ) dựng OH ^ b' tại H .
- Trong
- Từ H dựng đường thẳng song song với a cắt b tại B .
- Từ B dựng đường thẳng song song với OH cắt a tại A .
- Đoạn AB chính là đoạn vng góc chung của a và b.
SI 4 =

(

)

11


 Xem khoảng cách giữa hai đường thẳng a,b chéo
nhau bằng khoảng cách từ một điểm A �a đến
( a ) chứa b và ( a ) Pa .
mặt phẳng
 Sử dụng

(

)

(

)

d ( a,b) = d ( a ) ,( b) = d A,( b) , A �( a )
 Sử dụng phương pháp vec tơ
a) MN là đoạn vuông góc chung của AB và
uuur
uuur
�
AM = xAB
�
�
uuur
uuu
r
�
�
CN = yCD
�
�
�uuur uuur
�
MN .AB = 0
�
�
uuur uuu
r

�
�
MN
.
CD
=0
�
CD khi và chỉ khi �

( a ) có hai vec tơ khơng cùng
b) Nếu trong
ur ur
u ,u
phương 1 2 thì
uuur ur
�
OH ^ u1
�
�
uuur ur
�
OH = d O,( a ) � �
OH
� ^ u2
�
�
�
H �( a )
�
�

uuur ur
�
OH .u1 = 0
�
�
uuur ur
�
�
��
OH .u2 = 0
�
�
�
H �( a )
�
�
.
Các ví dụ
Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a , cạnh
( ABCD ) và SA = a . Tính khoảng cách
bên SA vng góc với mặt phẳng đáy
giữa hai đường thẳng.
a) SB và AD .
b) BD và SC .
Lời giải.

(

)

12


a) Kẻ đường cao AH của tam giác SAB . Ta có
�
AD ^ AB
�
� AD ^ ( SAB ) � AD ^ AH
�
�
AD
^
SA
�
Vậ
y AH là đoạn vng góc chung của SB và AD
d ( AD, SB ) = AH
, nên
.
Tam giác SAB vng cân tại A có đường cao
1
a 2
AH = SB =
2
2 .
AH nên

Vậy

d ( AD, SB ) = AH

a 2
= 2 .

�
BD ^ AC
�
� BD ^ ( SAC )
�
�
BD
^
SA
b) Ta có �
. Gọi O là tâm của hình vng
ABCD và kẻ OK ^ SC , K �SC thì OK là đoạn vng góc chung của
BD và SC .
1
d ( BD, SC ) = OK = AI
2 ( I là trung điểm của SC )
Vậy

1
1
1
1
1
3
a 6
=

+
=
+
=
�
AK
=
2
3 .
AS 2 AC 2 a2 2a2 2a2
Ta có AK
a 6
d ( BD, SC ) =
6 .
Vậy
Ví dụ 2. Cho hình lập phương ABCD.A 'B 'C 'D ' cạnh a . Tính khoảng cách
giữa hai đường thẳng AD ' và BD .
Lời giải.
Cách 1. Dựng đường vng góc chung (theo
cách 1) rồi tính độ dài đoạn vng góc
chung.
�
BD P B 'D '
�
�
�
AD ' �( AB 'D ')
( AB 'D ') là mặt
�
Do �

nên
phẳng chứa AD ' và song song với BD .
Gọi O là tâm của hình vng ABCD
Ta dựng hình chiếu của điểm O trên
( AB 'D ') .

13


�
B 'D ' ^ A 'C '
�
� B 'D ' ^ (CC 'A ') � B 'D ' ^ A 'C ( 1)
�
�
B 'D ' ^ CC '
�
Do
A 'C ^ AD ' ( 2)
Tương tự
.
( 1) ,( 2) suy ra A 'C ^ ( AB 'D ') . Gọi G = A 'C �( AB 'D ') .
Từ
Do D AB 'D ' đều và A 'A = A 'B ' = A 'D ' nên G là trọng tâm của tam
giác AB 'D ' . Vậy Gọi I là tâm của hình vng A 'B 'C 'D ' thì AI là
trung tuyến của tam giác AB 'D ' nên A,G, I thẳng hàng.
( ACC 'A ') dựng OH PCA ' cắt AI tại H thì H là hình chiếu của
Trong
O �BD trên ( AB 'D ') .
Từ H dựng đường thẳng song song với BD cắt AD ' tại M , từ M dựng

đường thẳng song song với OH cắt BD tại N thì MN là đoạn vng góc
d ( AD ', BD ) = MN
chung của AD ' và BD do đó
.
MNOH
MN
=
OH
Dễ thấy
là hình chữ nhật nên
. Do OH là đường trung
1
ACG � OH = CG
2
bình trong tam giác
.
Mặt khác
GC
AC
2
2
2 3a
=
= 2 � CG = 2GA ' � CG = CA ' = a 3 =
GA ' A 'I
3
3
3 .

1 2 3a a 3

� OH = .
=
2 3
3 .
a 3
3 .
Vậy
Cách 2. Dựng đường vng góc chung (theo cách 2) rồi tính độ dài đoạn
vng góc chung.
d ( AD ', BD ) = MN = OH =

( DCB 'A ') vng góc với AD ' tại
Chon
trung điểm O của AD '. Gọi I là tâm của
hình vng BCC 'B ' thì BI ^ CB ' và
BI ^ CD nên BI ^ ( DCB 'A ') từ đó DI
( DCB 'A ') .
là hình chiếu của DB lên
( DCB 'A ') kẻ OH ^ DI , từ H
Trong
dựng đường thẳng song song với AD ' cắt
BD tại M , từ M dựng đường thẳng song
14


song với OH cắt OA tại N thì MN là đoạn vng góc chung của của
AD ' và BD do đó d ( AD ', BD ) = MN . Ta có OHMN là hình chữ nhật
nên MN = OH , mạt khác OH là đường cao trong tam giác vuông ODI
nên

1
1
1
3
a 3
=
+
=
�
OH
=
3 .
OH 2 OD 2 OI 2 a2
a 3
d ( AD ', BD ) = MN = OH =
3 .
Vậy
Cách 3. Giả sử MN là đoạn vng góc chung của AD ' và BD với
M �AD ', N �BD . Từ M kẻ MP ^ AD , từ N kẻ NQ ^ AD .
BD ^ ( MNP ) � BD ^ NP AD ' ^ ( MNQ ) � AD ' ^ MQ
Dễ thấy
;
.
Hai tam giác AMQ và DNP vuông cân nên
a
QD = QN = QP = MP = PA =
3
DP
2a
a 2

PN =
=
=
2
2
3 2
Lại có
2

2
�
��
a
a 2�
a2
a 3
�
�
2
2
2
�
�
�
MN = PM + PN = � �
+�
=
�
MN
=

�
�
�
�
�
3� �
3
� 3
��
�3 �

Từ đó
.
Cách 4. Xem khoảng cách cần tìm bằng khoảng cách của hai mặt phẳng
song song chứa hai đường đó.

15


�
AD ' �( AB 'D ')
�
�
�
BD �( BDC ')
�
�
�
�
( AB 'D ') P ( BDC ')

�
Dễ thấy �
� d ( AD ', BD ) = d ( AB 'D ') ,( BDC ')

(

).

Gọi I ,J lần lượt là giao điểm của A 'C với các
( AB 'D ') ,( BDC ') .
mặt phẳng
Theo chứng minh trong cách 1 thì I ,J lần lượt là trọng tâm của các tam
( BDC ') . Mạt khác dễ dạng chứng minh được
giác AB 'D ' và
A 'C ^ ( AB ' D ') , A 'C ^ ( BDC ')
.
1
a 3
d ( AD ', BD ) = d ( AB 'D ') , ( BDC ') = IJ = A 'C =
3
3 .
suy ra
Cách 5. Sử dụng phương pháp vec tơ
Gọi MN là đoạn vng góc chung của AD ' và BD với
M �AD ', N �BD
uuur r uuur r uuur r
r
r
r
r r rr r r

AB = x, AD = y, AA ' = z � x = y = z = a, xy = yz = zx = 0
Đặt
uuuu
r r r
uuur
uuuu
r
r r uuur r r
uuur
r r
AD ' = y + z � AM = kAD ' = k y + z , DB = x - y � DN = m x - y

(

)

(

)

(

)

.

uuur uuur uuur uuur uuur uuur
r
r
r

MN = AN - AM = AD + DN - AM = mx + ( 1- k - m) y - kz
Ta có
uuur uuur
uuur uuur
r
r
r r r
MN ^ DB � MN .DB = 0 � mx + ( 1- k - m) y + kz x - y = 0
Vì
� 2m + k - 1 = 0 .
uuur uuuu
r
Tương tự MN .AD ' = 0 � 1- m - 2k = 0, từ đó ta có hệ
�
2m + k = 1
1
�
� m=k =
�
�
m + 2k = 1
3
�
.
uuur 1 r 1 r 1 r
uuur
r 2 r 2 r 2� a 3
1�
�
MN = x + y - z � MN = MN =

x
+y +z �
=
�
�
�
�
3
3
3
9�
3
�
Vậy
Ví dụ 3. Cho tứ diện SABC có SA, SB, SC đơi một vng góc và
SA = SB = SC = a . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AB và SA . Dựng
đường vng góc chung và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SM và CN .
Lời giải.

(

)(

)

16


Cách 1. Dựng đoạn vng góc chung I K của
hai đường thẳng SM và CN ( theo cách 1) rồi

tính IK .
Gọi E là trung điểm của AM , ta có
�
NE �(CNE )
�
� SM P ( CNE )
�
�
SM
P
NE
�
�
, do đó
(CNE ) là mặt phẳng chứa CN và song song
với SM .
( SAB ) , kẻ SF ^ NE thì
Trong
�
NE ^ SF
�
� NE ^ ( CSF ) � ( CSF ) ^ (CNE )
�
�
NE
^
CS
(CSF ) kẻ
�
Trong

SH ^ CF � SH ^ (CNE )
(CNE ) , từ
vậy H là hình chiếu của S trên
H kẻ đường thẳng song song với SM cắt CN tại K , từ K kẻ đường
thẳng song song với SH cắt SM tại I thì I K là đoạn vng góc chung
của SN và CN .
1
1
9
a 2 1
a
=
+
=
SF = AM =
� SH =
2
2
2
2
SF
SC
a
4 , SH
3.
Ta có
a
d ( SM ,CN ) = IK = SH =
3.
Vậy

Cách 2. Dựng đoạn vng góc chung I K
của hai đường thẳng SM và CN ( theo
cách 2) rồi tính IK .
Gọi P ,Q lần lượt là trung điểm của
SB vàCN , E là giao điểm của NP và
SM .
NQ PCS,CS ^ ( SAB )
Khi đó
� NQ ^ ( SAB ) � NQ ^ SM
SM ^ NP � SM ^ ( NPQ )
Lại có
tại
E , dựng hình bình hành
CSEH � CH P SE , mà
SE ^ ( NPQ ) � CH ^ ( NPQ )

, vì vậy
NH là hình chiếu của NC trên ( NPQ ) .Kẻ EF ^ NH tại F , từ F kẻ
đường thẳng song song với SM cắt CN tại I , từ I kẻ đường thẳng song

17


song với EF cắt SM tại K thì I K là đoạn vng góc chung của CN và
SM .
Tam giác EHN vng tại E có đường cao EF
1
1
1
1

1
1
8
9
�
=
+
=
+
=
+
=
2
2
EF 2 EH 2 EN 2 CS 2 �
a2 a2
� a
AB
�
�
� �
�
�
�4 �
�
.
a
a
� EF =
d ( CN , SM ) = IK = EF =

3 . Vậy
3.
Cách 3. Sử dụng phương pháp véc tơ
Gọi EF là đoạn vng góc chung của SM và CN .
uur r uur r uuu
r r
r
r
r
rr rr rr
SA = a,SB = b, SC = c � a = b = c = a
Đặt
và ab = bc = ca = 0 .
EF là đoạn vng góc chung của SM và CN
uur
uuur
�
SE
=
xSM
�
�
E �SM
�
�
uuu
r
uuur
�
�

�
�
F �CN
CF = yCN
�
�
r uuur
��
��
�
�uuu
�
�
EF
^
SM
EF .SM = 0
�
�
�
�
uuur uuur
�
�
EF ^ CN
�
�
EF .CN = 0
�
�

�
uuu
r uur uuu
r uuu
r u.uu
r uuu
r uur r
uuur
uuur

Ta có EF = ES + SC +CF = SC +CF - SE = c + yCN - xSM
r x r r
r 1 r
r
�
1 r r�
1
�
�
=ca +b + y�
a
c
=
y
x
a
xb
+
1
y

c
�
(
) 2 ( )
�
�
� 2
2
2
�
�
.
� 4
uuu
r uuur
�
�
x=
�
EF .SM = 0 �
- 2x + y = 0 �
�
�
�
u
u
u
r
u
u

u
r
��
�� 9
�
�
�
�
x
+
5
y
=
4
8
EF .CN = 0 �
�
�
y=
�
�
�
� 9
Ta có
Vậy đường vng góc chung của SM và CN là đường thẳng EF
uur 4 uuur uuu
r 8 uuur
SE = SM ,CF = CN
9
9

với
.
uuu
r 2 r 2r 1r
4 r 2 4 r2 4 r2 a
EF = a - b + c � EF =
a + b + c =
9
9
9
81
81
81
3.
Lúc đó
a
d (CN , SM ) = EF =
3.
Vậy
Ví dụ 4. Cho hình lập phương ABCD.A 'B 'C 'D ' cạnh a . Tính khoảng cách
giữa hai đường thẳng AD ' và BD .

(

)

18


Lời giải.

Cách 1. Dựng đường vng góc chung (theo
cách 1) rồi tính độ dài đoạn vng góc
chung.
�
BD P B 'D '
�
�
�
AD ' �( AB 'D ')
( AB 'D ') là mặt
�
Do �
nên
phẳng chứa AD ' và song song với BD .
Gọi O là tâm của hình vng ABCD
Ta dựng hình chiếu của điểm O trên
( AB 'D ') .
�
B 'D ' ^ A 'C '
�
� B 'D ' ^ ( CC 'A ') � B 'D ' ^ A 'C ( 1)
�
�
B
'
D
'
^
CC
'

Do �
A 'C ^ AD ' ( 2)
Tương tự
.
( 1) ,( 2) suy ra A 'C ^ ( AB 'D ') . Gọi G = A 'C �( AB 'D ') .
Từ
Do D AB 'D ' đều và A 'A = A 'B ' = A 'D ' nên G là trọng tâm của tam
giác AB 'D ' . Vậy Gọi I là tâm của hình vng A 'B 'C 'D ' thì AI là
trung tuyến của tam giác AB 'D ' nên A,G, I thẳng hàng.
( ACC 'A ') dựng OH PCA ' cắt AI tại H thì H là hình chiếu của
Trong
O �BD trên ( AB 'D ') .
Từ H dựng đường thẳng song song với BD cắt AD ' tại M , từ M dựng
đường thẳng song song với OH cắt BD tại N thì MN là đoạn vng góc
d ( AD ', BD ) = MN
chung của AD ' và BD do đó
.
Dễ thấy MNOH là hình chữ nhật nên MN = OH . Do OH là đường trung
1
ACG � OH = CG
2
bình trong tam giác
.
Mặt khác
GC
AC
2
2
2 3a
=

= 2 � CG = 2GA ' � CG = CA ' = a 3 =
GA ' A 'I
3
3
3 .
1 2 3a a 3
� OH = .
=
2 3
3 .

Vậy

d ( AD ', BD ) = MN = OH =

a 3
3 .

19


Cách 2. Dựng đường vng góc chung (theo
cách 2) rồi tính độ dài đoạn vng góc chung.

( DCB 'A ') vng góc với AD ' tại trung
Chon
điểm O của AD '. Gọi I là tâm của hình
vng BCC 'B ' thì BI ^ CB ' và BI ^ CD
BI ^ ( DCB 'A ')
nên

từ đó DI là hình chiếu
( DCB 'A ') .
của DB lên
( DCB 'A ') kẻ OH ^ DI , từ H dựng
Trong
đường thẳng song song với AD ' cắt BD tại M , từ M dựng đường thẳng
song song với OH cắt OA tại N thì MN là đoạn vng góc chung của
d ( AD ', BD ) = MN
của AD ' và BD do đó
.
OHMN
MN
=
OH
Ta có
là hình chữ nhật nên
, mạt khác OH là đường
cao trong tam giác vuông ODI nên
1
1
1
1
1
3
a 3
=
+
=
+
=

�
OH
=
2
3
OH 2 OD 2 OI 2 � �
a2 a2
a
2
�
�
�
�
�2 �
�
�
�
� �
.
a 3
3 .
Vậy
Cách 3. Giả sử MN là đoạn vng góc chung của
AD ' và BD với M �AD ', N �BD . Từ M kẻ
MP ^ AD , từ N kẻ NQ ^ AD .
d ( AD ', BD ) = MN = OH =

BD ^ ( MNP ) � BD ^ NP
Dễ thấy
;

AD ' ^ ( MNQ ) � AD ' ^ MQ
.
Hai tam giác AMQ và DNP vuông cân nên
QD = QN = QP = MP = PA =

DP
2a
a 2
a
PN =
=
=
2
2
3 2
3 . Lại có
2

2
�
��
a
a 2�
a2
a 3
�
�
2
2
2

�
�
�
MN = PM + PN = � �
+�
=
�
MN
=
�
�
�
�
�
3� �
3
� 3
��
�3 �

Từ đó
.
Cách 4. Xem khoảng cách cần tìm bằng khoảng cách của hai mặt phẳng
song song chứa hai đường đó.

20


�
AD ' �( AB 'D ')

�
�
�
BD �( BDC ')
�
�
�
�
( AB 'D ') P ( BDC ')
�
Dễ thấy �
� d ( AD ', BD ) = d ( AB 'D ') ,( BDC ')

(

).

Gọi I ,J lần lượt là giao điểm của A 'C với các
( AB 'D ') ,( BDC ') .
mặt phẳng
Theo chứng minh trong cách 1 thì I ,J lần lượt là trọng tâm của các tam

 . Mặt khác dễ dạng chứng minh được
giác AB 'D ' và 
A 'C   AB'D' ,A 'C   BDC'
.
BDC'

1
a 3

d  AD',BD   d  AB'D' , BDC'  IJ  A 'C 
3
3 .
suy ra





Cách 5. Sử dụng phương pháp véc tơ
Gọi MN là đoạn vuông góc chung của AD' và BD với
M �AD',N �BD
uuur r uuur u
r uuuur r
r u
r r
ru
r u
rr rr
AB  x,AD  y,AA '  z � x  y  z  a,xy  yz  zx  0
Đặt
uuuur u
r r uuuur
uuuur
u
r r uuur r u
r uuuu
r
r u
r

AD'  y  z � AM  kAD'  k y  z ,DB  x  y � DN  m x  y
uuuur uuuu
r uuuur uuur uuuu
r uuuur
r
u
r
r.
MN  AN  AM  AD  DN  AM  mx   1 k  m y  kz
Ta có
uuuur uuur uuuur uuur
r
u
r
r r u
r
MN  DB � MN.DB  0 � mx   1 k  m y  kz x  y  0



Vì













� 2m  k  1 0 .

uuuur uuuur
MN.A
D'  0 � 1 m  2k  0 , từ đó ta có hệ
Tương tự
�
2m  k  1
1
� m k 
�
m  2k  1
3
�
.
uuuur 1 r 1 u
r 1r
uuuur
r2 r 2
1�r 2 u
a 3
MN  x  y  z � MN  MN 
x

y
z �

�
�
3
3
3
9�
� 3 .
Vậy
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với
bản thân, đồng nghiệp và nhà trường:
2.4.1. Đối với hoạt động giáo dục:
Năm học 2020-2021 tôi dạy 2 lớp 11B6 và 11B7 là hai lớp cơ bản có học
lực tương đương theo đánh giá trong kỳ 1. Do điều kiện về thời gian lớp 11B6
không được ôn tập nội dung trong sáng kiến này, cịn lớp 11B7 được ơn tập đầy
đủ các dạng bài tập trong sáng kiến kinh nghiệm này. Kết quả bài kiểm tra 45’
21


sau thời gian học và ôn tập bài “Khoảng cách” kết quả là học sinh lớp 11B7 làm
bài tốt hơn lớp 11B6.
Cụ thể như sau:
Sĩ số Số hs Số hs Số hs Điểm trung Điểm thấp
Điểm
điểm điểm
khá,
bình trung
nhất
cao
Lớp
yếu

trung
giỏi
cả lớp
nhất
11B6
bình
37

Lớp
11B7

5

Sĩ số Số hs
điểm
yếu
40

2

27

5

5,9

3

8

Số hs
điểm
trung
bình

Số hs
khá,
giỏi

Điểm trung
bình trung
cả lớp

Điểm thấp
nhất

Điểm
cao
nhất

26

12

6,8

5

10

2.4.2. Đối với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường: có tài liệu tham khảo khi
giảng dạy bài “Khoảng cách” chương trình hình học lớp 11.
3. Kết luận, kiến nghị
3.1. Kết luận:
Với việc triển khai giảng dạy cho học sinh chủ đề này, tôi thấy các em học
sinh đã tự tin hơn khi đứng trước bài tốn về tính khoảng cách trong khơng gian
và kết quả làm bài tập về phần này có nhiều tiến bộ.
Với thời lượng hạn chế trong khuôn khổ một sáng kiến kinh nghiệm, tôi
cũng chưa đưa thêm các bài tập cho học sinh rèn luyện thêm được nên cũng rất
mong sự góp ý của các thầy cơ giáo và các bạn đồng nghiệp để đề tài được hoàn
thiện hơn.
3.2. Kiến nghị: đối với nhà trường xem đề tài này là tài liệu tham khảo cho học
sinh học bài “Khoảng cách” và được lưu ở thư viện nhà trường để các đồng
nghiệp và học sinh tham khảo.
4.Tài liệu tham khảo
1. Trần Văn Hạo, Nguyễn Mộng Hy, Nguyễn Văn Đoàn, Trần Đức Huyên
và cộng sự (2006). Hình học 11, nhà xuất bản giáo dục, 3, 115-118.
5. Danh mục các đề tài SKKN mà tác giả đã được Hội đồng SKKN Ngành
GD, huyện, tỉnh và các cấp cao hơn đánh giá đạt từ loại C trở lên.
Họ và tên tác giả: Đỗ Văn Hào
Chức vụ và đơn vị công tác: giáo viên trường THPT Thường Xuân 2

T
T

Tên đề tài SKKN

Cấp đánh
giá xếp loại
(Ngành GD

cấp
huyện/tỉnh;
Tỉnh...)

Kết
quả
đánh
giá xếp
loại
(A, B,
hoặc C)

Năm
học
đánh
giá
xếp
loại

22


1

2

Hướng dẫn học sinh tìm tịi và
phát triển một bài tốn.
Hướng dẫn học sinh THPT
Thường Xn 2 sử dụng máy

tính Casio FX-570ES trong

Ngành GD

C

2006-2007

Ngành GD

C

2012-2013

Ngành GD

C

2015-2016

Ngành GD

C

2019-2020

giải toán.
Hướng dẫn học sinh THPT sử
dụng đường thẳng và đường
3

tròn trong mặt phẳng để giải
và biện luận một số hệ
phương trình và hệ bất
phương trình đại số.
Phân loại và phương pháp giải

4

bài tập phương trình đường
trịn cho học sinh lớp 10
trường THPT Thường Xuân 2

Xác nhận của Hiệu trưởng

Thường Xuân, ngày 18 tháng 5 năm 2021
Tôi xin cam đoan sáng kiến kinh nghiệm này
do tôi tự viết chứ không phải đi sao chép. Nếu
sai tôi xin chịu mọi trách nhiệm!
Tác giả

Đỗ Văn Hào

23