Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh giải bài toán khoảng cách trong hình không gian

SỞ GIÁO DỤC-ĐÀO TẠO BẾN TRE

----------

BẢN MÔ TẢ SÁNG KIẾN
KINH NGHIỆM

KINH NGHIỆM
HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI BÀI TOÁN
KHOẢNG CÁCH TRONG HÌNH KHÔNG GIAN

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
0


Độc lập – Tự do – Hạnh phúc

MÔ TẢ SÁNG KIẾN
I. Tên sáng kiến: Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh giải bài toán khoảng
cách trong hình không gian. (Nguyễn Văn Quí – Trường THPT Chuyên
Bến Tre )
II. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Giảng dạy môn Toán.
III. Mô tả bản chất của sáng kiến:
1. Tình trạng giải pháp đã biết:
Trong kỳ thi THPT Quốc gia năm học 2017-2018 môn toán sẽ được thi bằng
hình thức TNKQ , vấn đề nầy làm cho GV và học sinh không ít lo lắng. Về phía
GV phải suy nghĩ dạy như thế nào để các em làm chủ được kiến thức, kĩ năng
đáp ứng tốt với hình thức thi TNKQ.
Trong đề thi tham khảo môn toán năm 2018 của BGD, chúng ta thấy 30 câu
đầu thuộc dạng nhận biết, thông hiểu, 20 câu cuối thuộc dạng câu hỏi vận dụng
cao đòi hỏi học sinh phải suy luận. Trong đó câu hỏi về hình không gian mà nhất

là câu hỏi về tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng, tính khoảng cách
giữa 2 đường thẳng chéo nhau làm cho học sinh sợ và mất tự tin khi giải quyết
vấn đề nầy.
Trong phần hình học không gian, các bài toán về khoảng cách chiếm vị trí
quan trọng. Tuy nhiên trong thực tế lại có rất nhiều học sinh sợ học phần này. Vì
vậy tác giả đã chọn chuyên đề " Khoảng cách trong không gian " , nhằm giúp
các em học sinh có một cách nhìn rõ ràng hơn về phương pháp giải các bài toán
tính khoảng cách .
Chuyên đề nêu lên ba phương pháp tính khoảng cách trong không gian, mỗi
phương pháp tương ứng với một phần của chuyên đề:
Phần I. Công thức chuyển đổi khoảng cách
Phần II. Phương pháp sử dụng thể tích
Phần III. Phương pháp gắn hệ trục tọa độ
Hiện nay có rất nhiều tài liệu cũng như các sách tham khảo viết về vấn đề
nầy, tuy nhiên các tài liệu ấy đa phần là thiên về giải bài tập mà ít phân tích và
chỉ ra các phương pháp hữu hiệu giải quyết vấn đề.
2. Nội dung giải pháp đề nghị công nhận là sáng kiến:

1


Để tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, ngoài các cách
thông thường tôi chú trọng đến " công thức chuyển đổi khoảng cách " , một
công cụ hữu hiệu khi dùng để tính khoảng cách. Đó là nội dung của phần I. Nội
dung của phần nầy là để tính d(A,(P)) ta có thể chuyển về tính d(B,(P)) nếu việc
tính d(B,(P)) thành công thì bài toán được giải quyết. Vấn đề nầy cũng được đề
cập ở một số tài liệu, tuy nhiên điểm mới là GV hướng dẫn HS biết viết một dãy
các suy luận ngược có dạng:
d(A,(P)) ? <----d(B,(P)) ? <------d(C,(P)) ?
Để tính khoảng cách trong không gian, chúng ta còn có thể sử dụng phương

pháp thể tích. Ta biết một tứ diện có thể coi là hình chóp tam giác với đỉnh là
đỉnh bất kì của tứ diện. Như vậy dùng thể tích ta cũng có được một cách để tính
khoảng cách từ một điểm đến mặt phằng dễ dàng. Ngoài ra trong phần 2, tôi còn
giới thiệu một công thức để tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau,
công thức nầy giúp học sinh giải quyết nhanh chóng các câu hỏi trắc nghiệm về
tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau. Bài toán nầy được quy về việc
tính thể tích một tứ diện và độ dài các cạnh của tứ diện ấy. Nội dung công thức
ấy như sau:
Kết quả: Cho tứ diện ABCD, ta có công thức:

1
Công thức nầy được suy ra từ công thức: VABCD  . AB.CD.d .sin 
6
Chú ý: Sau khi tính được V và độ dài 6 cạnh của tứ diện, ta dùng máy tính
CASIO để tìm ra kết quả một cách nhanh chóng. Cần chú ý là nếu độ dài các
cạnh phụ thuộc vào a thì ta cho a = 1 để bấm máy, khi được kết quả ta nhân
thêm a.
Phần III nêu lên phương pháp tính khoảng cách nhờ gắn tọa độ.

2


Phần 1:
CÔNG THỨC CHUYỂN ĐỔI KHOẢNG CÁCH
I. Công thức chuyển đổi khoảng cách

Cho hai điểm phân biệt A, B và mặt phẳng ( P) ,  A, B �( P )  . Khi đó:
- Nếu đường thẳng AB song song với ( P) thì d  A;( P )   d  B;( P )  .
- Nếu đường thẳng AB cắt ( P) tại điểm I thì

d  A;( P )  AI

.
d  B;( P )  BI

Ứng dụng của “công thức chuyển đổi khoảng cách” rất lớn. Bởi vì khi bài toán
yêu cầu tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng ( P) ta có thể chuyển về tính
khoảng cách từ điểm B tới mặt phẳng ( P) dễ tính hơn.

II. Ví dụ minh họa
�  900 ,
Ví dụ 1. Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình thang, �
ABC  BAD
BA  BC  a , AD  2a . Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA  a 2 . Gọi H là hình
chiếu vuông góc của A trên SB . Tính khoảng cách từ H tới mặt phẳng ( SCD) .
Phân tích: Sơ đồ chuyển khoảng cách:
d  H ;  SCD   a d  B;  SCD   a d  A;  SCD   .
Hướng dẫn giải:
SA2 2a

, AC  a 2 . Gọi E là giao
Ta có SB  a 3, SH 
SB
3
điểm của đường thẳng AB, CD . Dễ chứng minh AC vuông
góc với CD . Gọi K là hình chiếu của A lên SC . Khi đó
AK là khoảng cách từ A lên ( SCD) . Ta lại có :
2a
d  H ;  SCD   HS
2 (1) ;


 3 
d  B;  SCD   BS a 3 3
d  B;  SCD  
d  A;  SCD  



BE 1

(2).
AE 2

Từ (1) và (2) ta có
1
AK a
d  H ;  SCD    d  A;  SCD   
 .
3
3
3
Ví dụ 2. Cho hình hộp ABCD. A ' B ' C ' D ' , có A ' A  A ' B '  A ' D '  a 3 , AB '  3a ,
BD  2a , AD '  a 3 . Tính khoảng cách từ C tới mặt phẳng  AB ' D ' .
Phân tích : Sơ đồ chuyển khoảng cách : d  C ;  AB ' D '  a d  A ';  AB ' D '   .
Hướng dẫn giải :

3


Gọi H là hình chiếu của A ' lên  AB ' D ' . Khi đó

các tam giác vuông A ' HA, A ' HB ', A ' HD ' bằng
nhau suy ra H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam
giác AB ' D ' .
Theo công thức Hê –rông ta có : S AB ' D ' 
� HA 

11a 2
2

AB '.B ' D '. AD ' 3 3a .

4SAB ' D '
11

Từ đó ta có
27a 2 a 6
.
AH  A ' A  AH  3a 

11
11
2

2

2

Lại theo công thức chuyển khoảng cách ta có :
d  C ;  AB ' D ' 

d  A ';  AB ' D ' 



Từ đó suy ra khoảng cách từ C tới  AB ' D ' là

CE
 2.
A' E
2 6a
.
11

Ví dụ 3. Cho hình chóp đều S . ABCD có đáy là hình vuông tâm O , cạnh bằng a ,
SA  a . Gọi K là trung điểm của cạnh SC .
a) Tính khoảng cách từ O tới mặt phẳng ( SAB) ;
b) Tính khoảng cách từ C và K tới mặt phẳng ( SAB) .
Hướng dẫn giải:
a) Do S . ABCD là hình chóp đều nên SO  ( ABCD ) .
Gọi I là trung điểm của AB thì OI  AB , do đó ( SOI )  ( SAB ) .
Kẻ OH  SI ,( H �SI ) thì OH  ( SAB ) .
Do đó d  O;( SAB)   OH .
a 2
Mà ABCD là hình vuông cạnh a nên AO 
.
2
Tam giác SAO vuông tại O có SO  SA2  AO 2 
Lại có OI 

a 2

.
2

a
. Do đó tam giác SOI vuông tại
2

S

O có:

H

a
1
1
1
6
.

 2  2 � OH 
2
2
6
OH
SO OI
a
a
Vậy d  O;( SAB)  
.

6
b) Ta có CO �( SAB)  A . Do đó

4

K
A

D

I
O
B

C


d  C ;( SAB )  CA
2a a 6

 2 � d  C ;( SAB )   2.d  O;( SAB)  

.
d  O;( SAB )  OA
3
6
Ta lại có tam giác SAC có OK P SA . Do đó OK P( SAB ) . Suy ra
a
d  K ;( SAB )   d  O;( SAB)  
.

6
a 6 d K ;( SAB )  a

Vậy d  C ;( SAB )  
, 
.
6
3
Ví dụ 4.(D-11) Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B , AB  3a
�  300 .
, BC  4a . Mặt phẳng ( SBC ) vuông góc với ( ABC ) . Biết SB  2a 3 , SBC
Tính khoảng cách từ điểm B tới mặt phẳng ( SAC ) theo a .
Hướng dẫn giải:
Trong mặt phẳng ( SBC ) kẻ SH  BC , H �BC
� SH  ( ABC ) (do ( SBC )  ( ABC ) ).
S
�  300
Xét tam giác SBH vuông tại H có SBH
� SH 

SB
 a 3.
2

3
Và BH  SB.cos30  2a 3.
 3a � CH  a .
2
d  B,( SAC ) 
BC


 4.
Mà BH �( SAC )  C nên
d  H ;( SAC )  HC
Hạ HI  AC , I �AC . Kẻ HK  SI , K �SI .
Dễ dàng có HK  ( SAC ) � HK  d  H ;( SAC )  .
0

K
I

A

C
H

B

Ta có ABC vuông tại B AC  AB 2  BC 2  5a .
CA AB
CH . AB a.3a 3
CAB , CHI đồng dạng �

� HI 

 a.
CH HI
CA
5a
5

1
1
1
28
3a

 2  2 � HK 
Tam giác SHI vuông tại H có
.
2
2
HK
SH
HI
9a
2 7
6a
Vậy d  B;( SAC )   4d  H ;( SAC )  
.
7
Ví dụ 5. (D-2008) Cho lăng trụ đứng ABC. A ' B ' C ' có đáy là tam giác vuông,
AB  BC  a, AA '  a 2 . Gọi M là trung điểm của BC . Tính theo a khoảng cách giữa
AM , B ' C .
Phân tích: Gọi N là trung điểm của BB ' . Khi đó B ' C song song với mặt phẳng
( AMN ) .
Sơ đồ chuyển khoảng cách:
d  AM , B ' C  a d  B ' C ;  AMN   a d  B ';  AMN   a d  B;  AMN   .

5

Hướng dẫn giải:

d  B ' C; AM   d  B ' C ;  AMN    d  B ';  AMN   .

Lại có :

d  B ';  AMN  
d  B;  AMN  



B'N
 1.
BN

Suy ra d  B ' C; AM   d  B;  AMN    h .
Xét tứ diện vuông B. AMN có:
1
1
1
1
2
4 1
7
a



 2  2  2  2 �h

.
2
2
2
2
h
BN
BM
BA
a
a a
a
7
Ví dụ 6. Cho hình hộp chữ nhật ABCD. A ' B ' C ' D ' có AB  a, AD  2a, AA '  3a . Gọi
M , N lần lượt là trung điểm của AB và CD .
a) Tính khoảng cách giữa  AB ' C  và  A ' C ' D  ;

b) Tính khoảng cách giữa A ' C và MN .
Hướng dẫn giải :
a) d   AB ' C  ;  A ' C ' D    d  B ';  A ' C ' D   .
Gọi E là giao điểm của B ' D ' và A ' C ' .
d  B ';  A ' C ' D  

d  D ';  A ' C ' D  



B'E
 1.
D'E

Xét tứ diện vuông D '. A ' C ' D với h  d  D ';  A ' C ' D   ta có:
1
1
1
1
49
6a




�h
.
2
2
2
2
2
h
D 'C ' D ' A' D ' D
36a
7
Như vậy ta được d   AB ' C  ;  A ' C ' D   

6a
.
7

c) Ta có

d  A ' C ; MN   d  MN ;  A ' D ' C    d  N ;  A ' D ' C   .

Lại có

d  N ; A ' D 'C  

d  C ';  A ' D ' C  



NI
NC
1

 .
C ' I D 'C ' 2

Xét tứ diện C.C ' A ' D ' , kẻ đường cao C ' J của tam giác
CC ' D ' . Khi đó C ' J  d  C ';  A ' D ' C   .
1
1
1
10
3a


 2 � C 'J 
.
2
2

2
C'J
C 'C
C'D'
9a
10
Vậy d  MN ; A ' C  

3a
.
10

6


Ví dụ 7. Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB  a, AC  a 2 , SA  2a
. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AD, BC . Biết rằng mặt phẳng ( SDN ) và mặt
phẳng ( SAC ) cùng vuông góc với ( ABCD) . Tính khoảng cách giữa SA và CM .
Phân tích : Sơ đồ chuyển khoảng cách :
d  SA; CM  a d  CM ;  SAN   a d  C ;  SAN   a d  I ;  SAN   .
Ví dụ 8. Cho hình chóp tam giác S . ABC có đáy là tam giác vuông ở B . Cạnh bên SA
vuông góc với đáy. Từ A kẻ các đoạn thẳng AD  SB, AE  SC ,( D �SB, E �SC ) .
Biết AB  BC  a, SA  2a .
a) Tính diện tích tam giác ADE ;
b) Tính khoảng cách từ E đến ( SAB ) .
Lời giải:
a) Xét tam giác SAB vuông ở A có:

S
E

D

SB  SA2  AB 2  a 5 .
1
1
1
5
2a



�
AD

.
AD 2 SA2 AB 2 4a 2
5
4a 2
4a
SA2  SB.SD � SD 

.
a 5
5
Dễ dàng có BC  ( SAB ) � BC  AD . Mà AD  SB

C

A

B

nên AD  ( SBC ) .
�AD  DE (1)
Do đó �
�AD  SC (2).
Từ (2) suy ra DE  SC (do AE  SC ). Ta được VSDE KK VSCB . Suy ra
4a
SD DE
SD.CB
5  4a .

� DE 

SC CB
SC
a 6
30
a.

1
1 2a 4a
4a 2
S

.
AD
.
DE


.
.

Từ (1) ta được ADE
.
2
2 5 30 5 6
b) Ta có
d  E ,( SAB )  SE SE.SC
EC �( SAB )  S �



d  C ,( SAB)  SC
SC 2
BC  ( SAB ) � d  C ,( SAB )   CB  a .
2
2a
Do đó d  E ,( SAB)   d  C ,( SAB)  
.
3
3

7

SA2
SA2  AC 2



4a 2 2
 .
6a 2 3


Bài tập tự luyện
Bài 1. Cho lăng trụ ABC. A ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác vuông tại A , AB  a ,
BC  2a . Mặt bên BCC ' B ' là hình thoi và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy
và hợp với mặt bên ABB ' A ' một góc  . Tính khoảng cách từ A tới mặt bên

 BCC ' B ' .
Bài 2. Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A với
BC  2a, �
ABC  600 . Gọi M là trung điểm của cạnh BC . Biết SA  SC  SM  a 5 .
a) Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng ( ABC ) .
b) Tính khoảng cách từ S đến AB .
�  450 .
Bài 3. Cho lăng trụ ABC. A ' B ' C ' có AB '  a 22; BC '  4a; AC  a 2; BAC
Tính khoảng cách giữa hai đáy lăng trụ và góc giữa AB ' và BC ' .
Bài 4. Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình vuông cạnh a ,  SAB    ABCD  , góc
giữa  SAD  và  SBC  là 300 , SD  a 2 . Tính thể tích của khối chóp S . ABCD và
khoảng cách giữa AD và SC .
2a
Bài 5. Cho lăng trụ ABC. A ' B ' C ' có đáy là tam giác vuông tại A , AB  2a, AC 
3
và cot   ABC  ,  A ' BC    2 . Tính theo a khoảng cách từ B ' tới mặt phẳng  A ' BC  .
Bài 6. Cho hình chóp S . ABC có đáy là tam giác vuông ABC tại B ,
AB  4a, BC  6a . Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng ( ABC ) trùng với
trọng tâm G của tam giác ABC và góc giữa SA và đáy là 45o . Tính G và khoảng

cách từ G tới  SAC  .
Bài 7. Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình chữ nhật, hai mặt chéo  SAC  ,  SBD 
cùng vuông góc với đáy, AB  a, BC  a 3 , điểm I �SC sao cho SI  2CI và thỏa
mãn AI  SC . Tính góc giữa SA và đáy.
Bài 8. Cho hình chóp S . ABC có đáy là tam giác cân tại A , AB  3a, BC  2a . Các
mặt bên  SAB  ,  SBC  ,  SCA  cùng hợp với đáy góc 60o . Kẻ đường cao SH của hình
chóp. Tính SH .
Bài 9. Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và D ,
AB  2CD  2a , AD  a , SA vuông góc với đáy. Tính SA trong các trường hợp sau:
a) Góc  SBC  và đáy góc  .
b) Góc giữa  SAB  ,  SCD  bằng  .
c) Góc giữa  SAD  ,  SBC  bằng  .
d) Góc giữa  SCD  và  SCB  bằng  .
Bài 10. Cho lăng trụ ABC. A ' B ' C ' có đáy là tam giác đều cạnh a, cạnh bên AA '  a .
Gọi M , N lần lượt là trung điểm của BC , AA ' . Giả sử A ' M   ABC  . Tính khoảng
cách từ A ' tới mặt BCC ' B ' và tính góc giữa BN và AC .

8


Bài 11. Cho hình chóp đều S . ABC có AB  a , ( P) là mặt phẳng đi qua A và trung
điểm M của SB đồng thời song song với BC . ( P) cắt SC tại N . Tính SA biết rằng
( P)   SBC  .
Bài 12. Cho hình chóp S . ABC có chân đường cao hạ từ S xuống đáy là tâm đường
tròn nội tiếp tam giác ABC và đáy ABC là tam giác vuông tại A có
AB  3a, AC  4a . Góc giữa cạnh bên SA và đáy là 60o . Tính khoảng cách từ S tới
đáy.
�  120o và
Bài 13. Cho lăng trụ ABC. A ' B ' C ' có AB  AC  4a, BAC
A ' A  A ' B  A ' C . Góc giữa cạnh bên và đáy là 30o . Tính theo a khoảng cách giữa

hai đáy của lăng trụ và khoảng cách AA ' và BC .
Bài 14. Cho hình chóp đều S . ABCD có AB  a . Gọi  P  là mặt phẳng qua trung
điểm M của SB và qua AD , cắt SC tại N . Tính SA biết rằng  P  vuông góc với

 SBC  .

Bài 15. Cho hình chóp S . ABCD có SA   ABCD  , đáy ABCD là hình chữ nhật,
AB  2a, AD  a, SA  a . Tính:
a) Góc giữa các mặt phẳng  SCD  và  SBC  ;  SBC  và  SAC  ;  SBC  và  SBD  .
b) Khoảng cách giữa SC và BD .
c) Tính góc giữa AC và SB .
Bài 16. Cho hình chóp đều S . ABCD có AB  a, SA  2a . Tính:
a) Góc giữa các mặt phẳng  SCD  và  SBC  ;  SBC  và  SAC  ;  SBC  và  SBD  ;

 SBC 

và  SAD  .
b) Khoảng cách giữa SC và BD .
Bài 17. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA vuông góc
với mặt phẳng đáy và SA  a 3 . Tính khoảng cách từ:
a) Trọng tâm của tam giác SAB đến mặt phẳng ( SAC ) ;
b) Điểm A đến mặt phẳng ( SBC ) ;
a) Tâm O của hình vuông ABCD đến mặt phẳng ( SBC ) .
Bài 18. Trong mặt phẳng ( ) cho tam giác ABC vuông tại A có BC  2a, �
ACB  600
. Dựng hai đoạn BB '  a, CC '  2a cùng vuông góc với ( ) và ở cùng một bên đối với
( ) . Tính khoảng cách từ:
a) Điểm C ' đến mặt phẳng  ABB ' ;
b) Trung điểm của B ' C đến mặt phẳng  ACC ' ;
c) Điểm B ' đến mặt phẳng  ABC ' ;

d) Trung điểm của BC đến mặt phẳng  AB ' C  .
Bài 19. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB  a, AD  2a
, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA  a .
a) Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng ( SBD) . Suy ra khoảng cách từ
trung điểm I của cạnh SC đến mặt phẳng ( SBD) ;
b) Gọi M là trung điểm của CD . Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( SBM ) .
Bài 20. Cho hình chóp tứ giác S . ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a ,
�
ABC  60o , SA  SB  SC  2a . Tính theo a khoảng cách từ S tới mặt phẳng ( ABC ) .
9


�  900 ,
Bài 21. Cho hình chóp S . ABC có SA  SB  SC  a , �
ASB  900 , BSC
�
ASC  1200 . Gọi I là trung điểm của cạnh AC . Chứng minh rằng SI vuông góc với
mặt phẳng ( ABC ) và tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng ( ABC ) .
�  ,
Bài 22. Cho hình chóp S . ABC có ABC là tam giác cân đỉnh A , AB  a, BAC
a 2
. Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng ( ABC ) . Tìm điều kiện
2
của  để bài toán có nghĩa.
Bài 23. Cho hình lăng trụ ABC. A ' B ' C ' có đáy là tam giác đều cạnh a , AA ' vuông
góc với mặt phẳng ( ABC ) . Đường chéo BC ' của mặt bên BCC ' B ' hợp với
 ABB ' A ' góc 300 .
SA  SB  SC 

a) Tính AA ' ;
b) Tính khoảng cách từ trung điểm M của AC đến mặt phẳng  BA ' C ' ;
c) Gọi N là trung điểm của cạnh BB ' . Tính góc giữa MN và mặt phẳng  BA ' C '
.
Bài 24. Cho lăng trụ ABC. A ' B ' C ' có các mặt bên đều là hình vuông cạnh a . Gọi
D, E , F lần lượt là trung điểm các cạnh BC , A ' C ', C ' B ' . Tính khoảng cách giữa các
cặp đường thẳng:
a) DE và AB ' ;
b) A ' B và B ' C ' ;
c) DE và A ' F .
Bài 25. Cho lăng trụ ABC. A ' B ' C ' có AA ' vuông góc với mặt phẳng ABC và
AA '  a . Đáy ABC là tam giác vuông tại A có BC  2a, AB  a 3 .
a) Tính khoảng cách từ AA ' đến mặt phẳng  BCC ' B ' ;
b) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng  A ' BC  ;

c) Chứng minh rằng AB vuông góc với mặt phẳng  ACC ' A ' và tính khoảng
cách từ A ' đến mặt phẳng  ABC ' .
Bài 26. Cho hình chóp S.ABC có SA   ABC  , SA  a . Xác định hình chiếu của S lên
mặt (SBC). Tính khoảng cách từ A đến ( SBC ) trong các trường hợp sau:
a) ABC vuông tại A , AB  b, AC  c .
b) ABC đều cạnh a .
�  120o , BA  a .
c) ABC cân tại B , B
2
Bài 27. Cho hình chóp S.ABC, SA   ABC  , SA  a 3, tam giác ABC cân tại A ,
�
A  120o , AB  a . Gọi M là trung điểm của SA . Tính khoảng cách từ S đến mặt
phẳng ( MBC ) .
Bài 28. [D-07] Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình thang, AD  2 AB  2 BC  2a ,
� �

DAB
ABC  900 . Cạnh bên SA   ABCD  , SA  a 2 , Gọi H là hình chiếu của A
lên SB .
a) Chứng minh SCD vuông.
b) Tính khoảng cách từ H tới ( SCD) .
10


Bài 29. Cho S . ABC là một tứ diện có ABC là một tam giác vuông cân đỉnh B và
AC  2a ; cạnh SA vuông góc với mặt  ABC  và SA  a
1. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng  SBC 
2. Gọi O là trung điểm AC . Tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng  SBC 

Bài 30. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB  2a, BC  a.
Các cạnh bên của hình chóp bằng nhau và bằng a. 2

1. Tính thể tích của hình chóp S . ABCD
2. Gọi M , N , E , F lần lượt là trung điểm của AB, CD, SC , SD . Tính khoảng cách
từ S tới mặt phẳng  MEF 

3. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng  SCD 
Bài 31. Cho hình lập phương ABCD. A ' B ' C ' D ' , có cạnh bằng a . Tính theo a khoảng
cách giữa hai đường thẳng  A ' B, B ' D  .
Bài 32. Cho hình lập phương ABCD. A ' B ' C ' D ' cạnh a , Gọi M , N lần lượt là trung
điểm của AB, CD . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng A ' C , MN .
Bài 33. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với
AB  a, AD  a 2, SA  a và SA vuông góc với mặt  ABCD  . Gọi M , N lần lượt là
trung điểm của DA, SC ; I là giao điểm của BM , AC . Chứng minh rằng mặt  SAC 
vuông góc với mặt  SMB  . Tính thể tích khối tứ diện ANIB
Bài 34. Cho hình chóp S . ABCD , ABCD là hình thoi tâm O , cạnh a , A  600 và

đường cao SO  a .
a) Tính kc từ O đến ( SBC ) .
b) Tính khoảng cách giữa AD, SB .
Bài 35. Cho tứ diện đều ABCD cạnh a .
a) Tìm khoảng cách giữa các cặp cạnh đối.
b) Tìm khoảng cách từ A tới mặt  BCD  .
Bài 36. Cho tứ diện SA, SB, SC đôi một vuông góc với nhau và SA  a, SB  b, SC  c .
a) Tính khoảng cách từ S tới mặt  ABC  .
b) Tính khoảng cách AB với SC .

11


Phần II
PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG THỂ TÍCH
II. Phương pháp chung
Để tính khoảng cách từ điểm M tới mặt phẳng  ABC  ta có thể quy về bài toán
tính 2 yếu tố, đó là tính:
M
- Thể tích của hình chóp M . ABC .
- Diện tích của tam giác ABC .
Khi đó:
A
3V
d  M ;( ABC )   M . ABC .
S ABC
C

B

MỘT KỸ THUẬT TÍNH KHOẢNG CÁCH GIỮA 2 ĐƯỜNG THẲNG
CHÉO NHAU TRONG HKG
Trong đề thi THPTQG môn toán ta thường gặp câu hỏi tính khoảng cách giữa 2 đường
thẳng chéo nhau của HKG. Đây là câu hỏi vận dụng cao, đối với các HS giỏi HKG mới giải
quyết được. Công thức sau đây đưa ra một phương án giải quyết vấn đề một cách tương đối
đơn giản mà không cần vẽ hình thêm. Nội dung của phương pháp nầy là: Để tính khoảng cách
giữa 2 cạnh đối AB, CD của một tứ diện ta chỉ cần biết độ dài 6 cạnh và thể tích của nó.

Kết quả: Cho tứ diện ABCD, ta có công thức:

1
VABCD  . AB.CD.d .sin 
6
Công thức nầy được suy ra từ công thức:
Chú ý: Sau khi tính được V và độ dài 6 cạnh của tứ diện, ta dùng máy tính
CASIO để tìm ra kết quả một cách nhanh chóng. Cần chú ý là nếu độ dài các
cạnh phụ thuộc vào a thì ta cho a = 1 để bấm máy, khi được kết quả ta nhân
thêm a.

Bài tập áp dụng:
Ví dụ 1 (THPT QG 2015): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA
⊥ (ABCD), góc giữa SC và (ABCD) bằng 450 . Tính VS . ABCD và
theo a.
Ví dụ 2: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có các mặt bên là các hình vuông cạnh a. Gọi D, E, F lần
lượt là trung điểm của các cạnh BC, A’C’, B’C’. Tính
.
Ví dụ 3: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của
AB, B’C’. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AN và DM.

12

Ví dụ 4 (A_2011): Cho hình chóp S.ABC có ΔABC vuông cân tại B, AB = BC = 2a; (SAB),
(SAC) ⊥(ABC). Gọi M là trung điểm AB, mặt phẳng qua SM và song song BC, cắt AC tại N.
� (ABC) � 600 . Tính d[AB;SN] theo a.
(SBC);
Biết �
�
�
Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, BC = a 3 . Hai
mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với đáy. Điểm I thuộc đoạn SC sao cho SC =
3.CI. Tính thể tích khối chóp S.ABCD và d[AI;SB], biết rằng AI ⊥ SC.

Bài tập tự luyện
Bài 1. Cho tứ diện SABC có SA  3a, SA  ( ABC ) . Tam giác ABC có AB  BC  2a
,�
ABC  1200 . Tính khoảng cách từ A tới ( SBC ) .
Bài 2. Cho tứ diện SABC có SA  2a, SA  ( ABC ) . Tam giác đều cạnh a 3 . Tính
khoảng cách từ A tới ( SBC ) .
Bài 3. Cho tứ diện ABCD , có AB  CD  c; AC  BD  b; BC  AD  a .
a) Tính khoảng cách giữa các cặp cạnh đối diện.
b) Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt  BCD  .
Bài 4. Cho hình chóp S . ABCD , ABCD là hình thoi cạnh a và A  60o , cạnh
a 3
. Tính khoảng cách từ S đến  ABCD  và độ dài SC .
SA  SB  SD 
2
Bài 5. Cho tứ diện ABCD có AB  CD  c; AC  BD  b; BC  AD  a .
b) Tính khoảng cách giữa các cặp cạnh đối diện.
c) Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt  BCD  .

Bài 6. Trên cạnh DA của hình vuông ABCD cạnh a , lấy điểm M với AM  x ,
 0  x  a  và trên nửa đường thẳng Ax vuông góc  ABCD  tại A , lấy điểm S sao
cho AS  y  0 .
a) Chứng minh rằng: Nhị diện cạnh SB của hình chóp S . ABCM là nhị diện
vuông.
b) Tính khoảng cách từ điểm M tới mặt phẳng  SAC  .
Bài 7. Cho tam giác đều ABC cạnh a , trên đường thẳng Ax vuông góc với mặt
 ABC  tại A , lấy điểm S với AS  a. 2 . Tính khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng
 SBC  .
Bài 8. Cho tứ diện SA, SB, SC đôi một vuông góc với nhau và SA  a, SB  b , SC  c .
a) Tính khoảng cách từ S tới mặt  ABC  .
b) Tính khoảng cách AB với SC .
Bài 9. Cho tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mặt phẳng  ABC  ;
AC  AD  4  cm  ; AB  3  cm  ; BC  5  cm  . Tính khoảng cách từ A tới mặt ( BCD) .

13


Phần III
PHƯƠNG PHÁP GẮN HỆ TRỤC TỌA ĐỘ
I. Các công thức
 Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
Khoảng cách từ điểm M  x0 ; y0 ; z0  đến mặt phẳng ( ) : Ax  By  Cz  0 là:
d  M ;( )  

Ax0  By0  Cz0

.
A2  B 2  C 2
 Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

r
Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng  đi qua M , có vectơ chỉ phương u là:
r uuuu
r
�
�
u
,
AM
�
�
d  A;   
.
r
u
 Khoảng cách giữa hai đường thẳng
ur
Cho đường thẳng 1 đi qua điểm M 1 và có vectơ chỉ phương u1 , đường thẳng  2 đi
uu
r
qua điểm M 2 và có vectơ chỉ phương u2 .
- Nếu 1 ,  2 song song thì khoảng cách giữa hai đường thẳng 1 ,  2 là:
d  1 ,  2   d  M 1 ,  2   d  M 2 , 1  .
- Nếu 1 ,  2 chéo nhau thì khoảng cách giữa hai đường thẳng 1 ,  2 là:
ur uu
r uuuuuur
�
�
u
,

u
.M 1M 2
�1 2 �
d  1 ,  2  
.
ur uu
r
�
�
u
,
u
�1 2 �

II. Bài tập tự luyện
Bài 1. Cho hình lập phương ABCD. A ' B ' C ' D ' . Gọi M và N lần lượt là trung điểm
của AB, CD . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng A ' C , MN .
Bài 2. Trên cạnh AD của hình vuông ABCD cạnh a lấy điểm M với
AM  x  0  x  a  và trên At   ABCD  lấy điểm S sao cho AS  y  0 .
a) Chứng minh nhị diện cạnh SB của hình chóp S . ABCM là nhị diện vuông.
b) Tính khoảng cách từ M đến mặt  SAC  .
c) Lấy IS  IC , IH  CM . Tìm quỹ tích của H khi M �AD, S �Ax.
Bài 3. Cho hình lập phương ABCD. A ' B ' C ' D ' có cạnh bằng a.
a) Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng A ' B, B ' D .
b) Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm của BB ', CD, A ' D ' . Tính góc giữa hai
đường thẳng MP, C ' N .
c) Tính góc nhị diện  B, A ' C , D  .
Bài 4. Cho tứ diện S . ABC có SA   SBC  , SBC là tam giác đều cạnh a , SA  a 2 ,
Xác định đường vuông góc chung của SC , AB và tính độ dài của nó.
14

Bài 5. Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B cạnh a ,
SA   ABC  , SA  2a . Xác định đường vuông góc chung và tính khoảng cách giữa hai
đường thẳng SC , AB
Bài 6. Cho tứ diện đều ABCD cạnh a
a) Tìm khoảng cách giữa các cặp cạnh đối.
b) Tìm khoảng cách từ A tới mặt  BCD  .
Bài 7. Cho hình chóp tam giác đều S . ABC đỉnh S có độ dài cạnh đáy bằng a . Gọi
M , N lần lượt là trung điểm của SB, SC và cho biết mặt phẳng  AMN  vuông góc
với mặt phẳng  SBC  . Tính khoảng cách từ A tới mặt phẳng SBC .

15


KẾT LUẬN
SKKN nầy được tác giả xây dựng nhằm cung cấp cho các đồng nghiệp và các
em học sinh một tài liệu tương đối đầy đủ về các phương pháp tính khoảng cách trong
không gian. Tuy nhiên chuyên đề chưa đề cập được đến việc tính khoảng cách từ một
điểm đến một đường thẳng. Các phương pháp giải toán ở đây chủ yếu có tính định
hướng chung cho những lớp bài toán cơ bản thường xuất hiện trong các kì thi học sinh
tuyển sinh Đại học - Cao đẳng, thi học sinh giỏi. Đối với một vài ví dụ trong chuyên
đề các bạn có thể tự tìm tòi và sẽ thấy có các cách giải khác.
Trong thời gian tiếp theo, tác giả sẽ tiếp tục bổ sung các bài toán về tích khoảng
cách từ một điểm đến một đường thẳng, các bài toán sử dụng công cụ khoảng cách để
giải toán.
Hi vọng rằng đây sẽ là tài liệu tham khảo giúp ích nhiều cho các thầy cô giáo,
các em học sinh và những người quan tâm đến giáo dục toán học THPT.

16

TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Nguyễn Xuân Liêm. Bài tập nâng cao và một số chuyên đề Hình học 11. Nhà
xuất bản Giáo dục- 2008.
2. Trần Phương. Tuyển tập các chuyên đề luyện thi đại học môn toán. Nhà xuất bản
Hà Nội- 2004.
3. Nguyễn Văn Qúi. Các vấn đề trọng tâm môn Toán 12. Nhà xuất bản Đà Nẵng1998.
4. Tạp chí toán học và tuổi trẻ. Nhà xuất bản Giáo dục.
5. Tủ sách toán học và tuổi trẻ. Nhà xuất bản Giáo dục- 2010.

17