SKKN PHƯƠNG PHÁP GIẢI các bài TOÁN về sự TIẾP xúc GIỮA các ĐƯỜNG

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HĨA
TRƯỜNG THPT ĐƠNG SƠN 2

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ SỰ TIẾP XÚC
GIỮA CÁC ĐƯỜNG

Người thực hiện: VŨ THỊ HẰNG
Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc mơn: Tốn

THANH HĨA, NĂM 2021
MỤC LỤC
1


Trang
1. MỞ ĐẦU.........................................................................................

2

1.1. Lý do chọn đề tài……………………………………......

2

1.2. Mục đích nghiên cứu.......................................................

2

1.3. Đối tượng nghiên cứu.......................................................

2

1.4.Phương pháp nghiên cứu...................................................

2

2. NỘI DUNG.................................................................................. ..

3

2.1. Cơ sở lí luận của
skkn.........................................................

3
4

2.2. Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh
nghiệm ................................................................................................
2.3. Một số phương pháp giải các bài toán về sự tiếp xúc giữa
các đường ...................................…………………………………..

4

2.3.1. Phương pháp Sử dụng mệnh đề 1...........................……

6

2.3.2.Phương pháp nội suy (tách bộ phận kép) ....................…

7

2.3.3. Phương pháp đạo hàm theo tham số m............…………

8

2.3.4. Phương pháp biên.............................................………

16

4

2.3.5. Phương pháp điều kiện cần và đủ...........................…….
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động
giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường.............................

20

3. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ.......................................................

20

3.1. Kết
luận...............................................................................

20

3.2. Kiến nghị............................................................................

21

1. MỞ ĐẦU
2


1.1. Lý do chọn đề tài
Trong chương trình tốn ở bậc THPT học sinh gặp nhiều bài toán liên
quan đến sự tiếp xúc của các đường cong.Đặc biệt trong các kì thi Đại học,Cao
đẳng ,kì thi học sinh giỏi cấp tỉnh mơn tốn các bài này thường gây cho học sinh
sự khó khăn nhất định.Chính vì thế mà các dạng bài tốn về sự tiếp xúc có sức
hấp dẫn,có ’’vẻ đẹp’’ riêng kích thích sự tìm tịi,khám phá những lời giải đẹp,lời
giải cơ đọng,súc tích và dễ hiểu. Việc giúp học sinh tìm tịi nhiều cách giải cho
một bài tốn là một việc mà các thầy cô giáo tâm huyết cần phải làm. Là một
giáo viên được trực tiếp giảng dạy mơn tốn với thời gian hơn 12 năm ở trường
THPT Đơng Sơn 2,tơi ln khơng ngừng tìm tịi ,nghiên cứu để tìm ra các
phương pháp giảng dạy hiệu quả nhất,những phương pháp giải phù hợp với
nhiều đối tượng học sinh ở đơn vị công tác.
Dưới đây tôi xin được trao đổi với quý đồng nghiệp đề tài:
“ Phương pháp giải các bài toán về sự tiếp xúc giữa các đường’’
1.2. Mục đích nghiên cứu
Đề tài giúp các em học sinh Trung học phổ thơng có kiến thức và phương
pháp vững chắc để giải quyết bài toán về sự tiếp xúc giữa các đường trong các
đề thi THPT Quốc gia, thi học sinh giỏi tỉnh,...Đồng thời rèn luyện cho các em
kỹ năng giải và trình bày bài tốn này. Góp phần nâng cao chất lượng dạy học
mơn Tốn trong Nhà trường.
1.3. Đối tượng nghiên cứu
Để hồn thành đề tài nói trên tôi đã nghiên cứu dựa trên các phương pháp giải
quyết bài toán về sự tiếp xúc giữa các đường trong chương trình Đại số và Giải
tích thuộc mơn Tốn Trung học phổ thông.
1.4. Phương pháp nghiên cứu

Đề tài đã thực hiện các phương pháp nghiên cứu như:
- Nghiên cứu lý luận: nghiên cứu các tài liệu về sự tiếp xúc giữa các đường
trong chương trình Tốn Trung học phổ thông.
- Nghiên cứu thực tiễn: Khảo sát năng lực của học sinh giải quyết bài tốn có sự tiếp xúc giữa các đường
- Thực nghiệm sư phạm: Tiến hành dạy thực nghiệm trên một số đối tượng học
sinh cụ thể để đánh giá tính khả thi và hiệu quả của đề tài.

2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm.
3


-Nhiệm vụ trung tâm trong trường học THPT là hoạt động dạy của thầy và
hoạt động học của trò, xuất phát từ mục tiêu đào tạo “Nâng cao dân trí, đào
tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài”. Giúp học sinh củng cố những kiến thức
phổ thông đặc biệt là bộ mơn tốn học rất cần thiết khơng thể thiếu trong đời
sống của con người. Mơn Tốn là một mơn học tự nhiên quan trọng và khó với
kiến thức rộng, đa phần các em ngại học môn này.
- Muốn học tốt mơn tốn các em phải nắm vững những tri thức khoa học ở mơn
tốn một cách có hệ thống, biết vận dụng lý thuyết linh hoạt vào từng dạng bài
tập. Điều đó thể hiện ở việc học đi đơi với hành, địi hỏi học sinh phải có tư duy
logic và cách biến đổi. Giáo viên cần định hướng cho học sinh học và nghiên
cứu mơn tốn học một cách có hệ thống trong chương trình học phổ thơng, vận
dụng lý thuyết vào làm bài tập, phân dạng các bài tập rồi tổng hợp các cách giải.
- Do vậy, tôi mạnh dạn đưa ra sáng kiến kinh nghiệm này với mục đính giúp
cho học sinh THPT vận dụng và tìm ra phương pháp giải khi gặp các bài toán
liên quan đến sự tiếp xúc giữa các đường.
Để giúp cho hoc sinh phân tích bài tốn và tìm ra phương pháp giải, tôi hướng
dẫn học sinh tiến hành theo các bước sau đây:
+ Bước1:Dự đoán đường cong ( đường thẳng).

+ Bước 2:Chứng minh tiếp xúc.
Để giải các bài toán về sự tiếp xúc giữa các đường ta cần nắm vững một số kiến
thức sau:
*) Một số định nghĩa
Định nghĩa 1
Hai đường cong (C) và (G) được gọi là tiếp xúc với nhau,nếu giữa chúng tồn
tại một tiếp tiếp tuyến chung tại cùng một điểm.
Định nghĩa 2.
Cho các họ đường cong (Cm): y =f(m,x); (Gm): y = g(m,x) phụ thuộc tham số
m. Hai họ (Cm) và (Gm) được gọi là tiếp xúc với nhau nếu ứng với mỗi m,ta có
cặp (Cm) và (Gm) của chúng là cặp tiếp xúc .
Định nghĩa 3.
(Cm) được gọi là họ tiếp xúc nếu mọi đường cong của họ cùng tiếp xúc với
một đường thẳng tại một điểm.
*) Điều kiện tiếp xúc.
Mệnh đề 1
Các đường cong y = f ( x) (C) và y = g ( x) (G) tiếp xúc nhau khi và chỉ khi hệ sau
có nghiệm:
4


 f ( x) = g ( x)

 f '( x) = g '( x)
Mệnh đề 2
Các đường cong (Cm) và (Gm) tiếp xúc nhau khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm với
mọi m:

 f ( x) = g ( x)


 f '( x) = g '( x)
2.2. Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
- Trong sách giáo khoa Toán ở bậc trung học phổ thông hiện nay các bài tập về
sự tiếp xúc giữa các đường có tham số có số lượng rất hạn chế. Hầu hết học sinh
đều gặp khó khăn khi giải các bài toán dạng này.
- “ Phương pháp giải các bài toán về sự tiếp xúc giữa các đường’’ là tập
hợp các phương pháp cho ta cách giải các bài tốn tiếp xúc giữa các đường có
chứa tham số phức tạp một cách đơn giản và dễ hiểu hơn đối với các đối tượng
học sinh học lực trung bình trở lên.
- “ Phương pháp giải các bài tốn về sự tiếp xúc giữa các đường’’cho ta
cách nhìn đa chiều về một bài tốn,kích thích sự sáng tạo tính ham học hỏi,ham
khám phá của học sinh.
- “ Phương pháp giải các bài toán về sự tiếp xúc giữa các đường’’ có thể
giúp học sinh phát huy tối đa sự tự học,tự bồi dưỡng tri thức – một con đường
tiết kiệm , kinh tế nhất để học tập tốt.
2.3. Một số phương pháp giải các bài toán về sự tiếp xúc giữa các đường.
-Nhằm giúp cho học sinh có kĩ năng giải các bài toán về sự tiếp xúc giữa các
đường , giúp cho các em có kiến thức vững vàng và có kết quả cao trong các kì
thi tuyển sinh.
- Giáo viên nên mạnh dạn giới thiệu các phương pháp này cho học sinh từ năm
lớp 11, 12. Giáo viên phải dựa vào trình độ của khối lớp để có thể đưa ra các
dạng bài tập từ cấp độ thấp đến cấp độ cao mang tính vừa sức, giúp cho các em
quen dần với các phương pháp theo các hướng sau đây và đây cũng là nội dung
chính của đề tài.
2.3.1. Phương pháp Sử dụng mệnh đề 1.
Các đường cong y = f ( x) (C) và y = g ( x) (G) tiếp xúc nhau khi và chỉ khi hệ sau
có nghiệm:

 f ( x) = g ( x)


 f '( x) = g '( x)
5


Bài tốn 1
Tìm trong hai họ (Cm) và (Gm) cho trước các cặp đường cong (Cm), (Gm) tiếp
xúc với nhau.
Phương pháp giải: Sử dụng mệnh đề 1.

Ví dụ 1.Tìm m để parabol ( Pm ) : y = x 2 + 5mx − 9 tiếp xúc với đường thẳng
(dm): y = mx + 4m – 12.
Giải:
(Pm) và (dm) tiếp xúc với nhau khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm:

 x 2 + 5mx − 9 = mx + 4m − 12
 x 2 + 4mx − 4m + 3 = 0
⇔
 2
(
x
+
5
mx
−
9)
'
=
(
mx
+

4
m
−
12)
'
2 x + 5m = m


 x 2 + 4mx − 4m + 3 = 0  x 2 − 2 x − 3 = 0


⇔
⇔
x
x
m=−

 m=−

2

2
  x = −1

  x = −1
 m = 1

 
 x=3
2

⇔ 
⇔
x

  x = 3
m
=
−


3
2
 m = −
2


+Với m =

5
1
2
ta có pa ra bol (P): y = x + x − 9 tiếp xúc với đường thẳng
2
2

1
2

(d) : y = x − 10 .

15
3
2
ta có pa ra bol (P): y = x − x − 9 tiếp xúc với đường
2
2
3
thẳng (d): y = − x − 18
2
+Với m = −

Bình luận: Ở ví dụ này ta có thể giải bằng phương pháp:’’Điều kiện
nghiệm kép’’ .
6


2.3.2.Phương pháp nội suy (tách bộ phận kép)

Bài toán 2
Cho họ đường cong (Cm): y = f(m,x) phụ thuộc tham số m. Tìm đường cong (G)
tiếp xúc với cả họ (Cm).
Cách giải
Bước 1: Đoán đường cong (G).
Bước 2: Chứng minh (G) và (Cm) tiếp xúc với nhau.
Các phương pháp dự đoán đường cong (G)
1.Phương pháp nội suy(tách bộ phận kép)
Nếu f(m,x)=h(m,x)+g(x) trong đó h(m,x) có nghiệm kép,g(x) độc lập với m thì
(d) có phương trình y= g(x).
2.Phương pháp biên
Xem y = f(m,x) (1) là phương trình đối với m.

Nếu y=g(x) là điều kiện giới hạn giữa sự có nghiệm và vơ nghiệm của phương
trình (1) đối với ẩn m,thì y = g(x) là phương trình của (G).
3.Phương pháp đạo hàm theo tham số.
Viết lại phương trình y = f(x) thành F(x,y,m) = 0 .
 F ( x , y , m) = 0

Từ hệ phương trình  dF ( x, y, m)
khử m, ta có y = g(x). Đó chính là phương
=0

dm

trình của (G).
Nhận xét:
Nếu (G) đã biết hình dạng (là đường thẳng, parabol, hypebol, đường trịn,…) ta
cịn có thêm phương pháp 4: hệ số bất định.
Đặc biệt khi (G) là đường thẳng, bài tốn cịn có thêm cách giải bằng phương
pháp điều kiện cần và đủ (hay là đạo hàm theo đối số) và được trình bày thành
một bài tốn riêng (bài tốn 3) ở sau
Ví dụ 2. Chứng minh rằng khi m thay đổi,họ đồ thị (Cm) luôn tiếp xúc với
một đồ thị cố định.
7


m2
(Cm ) : f ( x) = x + 4mx + mx +
2
3

2

(1)
Giải :

Cách 1(Phương pháp nội suy)
Bước 1: Dự đốn đường cong (G)
Ta có:
1 2
7
( m + 2mx + x 2 ) + x 3 + x 2
2
2
1
7
f ( x ) = ( x + m) 2 + x 3 + x 2 .
2
2

(1) ⇔ f ( x) =

7
2

3
2
Bước 2. Ta chứng minh (C) tiếp xúc với (G) : g ( x ) = x + x

Thật vậy xét hệ
7 2
7 2

1
2
3
3
 f ( x ) = g ( x)
 ( x + m) + x + x = x + x
⇔ 2
2
2

2
2
 f ( x ) ' = g ( x) '

3 x + 8 x + m = 3x + 7 x

x+m =0

⇔ x = −m
 2
2
3x + 8 x + m = 3x + 7 x

=>Với ∀m ∈ R ,hệ trên ln có nghiệm x = -m => hai họ (Cm) và (G)
luôn tiếp xúc với nhau =>đpcm.
2.3.3. Phương pháp đạo hàm theo tham số m
Tiếp tục với VD2 ở trên bằng phương pháp khác
Ví dụ 2. Chứng minh rằng khi m thay đổi,họ đồ thị (Cm) luôn tiếp xúc với
một đồ thị cố định.
m2

(Cm ) : f ( x) = x + 4mx + mx +
2
3

2

(1)

Cách 2 ( Phương pháp đạo hàm theo tham số m)
Bước 1 : Dự đoán đường cong (G)
8


Ta có

df (m, x)
df (m, x )
= x + m,
= 0 ⇔ m = − x.
dm
dm

(ở đây ký hiệu

df (m, x )
là đạo hàm theo biến số m của hàm số f(m,x) )
dm

Thế m= -x vào (1) ta có

g ( x) = x 3 +

7 2
x
2

7 2
3
Bước 2. Ta chứng minh (C) tiếp xúc với (G) : g ( x ) =x + x
2
( chứng minh tương tự cách 1)

2.3.4. Phương pháp biên
Cách 3 (Phương pháp biên).
Bước 1: Dự đoán đường cong (G).
Ta có:

m2
(1) ⇔
+ mx + x 3 + 4 x 2 − y = 0
2

(2)

Xem (2) là phương trình với ẩn m;

∆ m = x 2 − 2( x 3 + 4 x 2 − y ) = −2( x 3 +

7 2
x − y)

2

Phương trình (2) vơ nghiệm đối với m khi và chỉ khi
∆ m < 0 ⇔ x3 +

7 2
7
x − y > 0 ⇔ y < x3 + x2
2
2

3
Bước 2. Ta chứng minh (C) tiếp xúc với (G) : g ( x ) = x +

7 2
x
2

( chứng minh tương tự cách 1)
(*) Một số ví dụ về bài tốn tiếp xúc sử dụng các phương pháp ở trên
Bài toán tổng quát
Cho họ đường cong (Cm): y = f(m,x) phụ thuộc tham số m. Tìm đường cong (G)
9


tiếp xúc với cả họ (Cm).
Cách giải
Bước 1: Đoán đường cong (G).
Bước 2: Chứng minh (G) và (Cm) tiếp xúc với nhau.
Các phương pháp dự đoán đường cong (G)

Cách 1.Phương pháp nội suy(tách bộ phận kép)
Nếu f(m,x)=h(m,x)+g(x) trong đó h(m,x) có nghiệm kép,g(x) độc lập với m thì
(d) có phương trình y= g(x).
Cách 2 .Phương pháp biên
Xem y = f(m,x) (1) là phương trình đối với m.
Nếu y=g(x) là điều kiện giới hạn giữa sự có nghiệm và vơ nghiệm của phương
trình (1) đối với ẩn m,thì y = g(x) là phương trình của (G).
Cách 3.Phương pháp đạo hàm theo tham số.
Viết lại phương trình y = f(x) thành F(x,y,m) = 0 .
 F ( x, y , m ) = 0

Từ hệ phương trình  dF ( x, y, m)
khử m, ta có y = g(x). Đó chính là phương
=0

dm

trình của (G).
Nhận xét:

Ví dụ 3. Tìm đường cố định tiếp xúc với họ hypebol (Hm):

2 x 2 + (1 − m) x + 1 + m
y = f ( x) =
m−x

(1)

Giải
Cách1.

Bước 1: Dự đốn đường cong (G).
Ta có: (1) => y(m-x) = 2x2 + (1-m)x + 1 + m
<=>m(y + x – 1) = 2x2 +x + 1 + xy.

(2)
10


y + x −1 = 0

2
2 x + x +1 + xy ≠ 0

Phương trình (2) vơ nghiệm khi và chỉ khi 

Bước 2. Ta chứng minh (Hm) tiếp xúc với đường thẳng (d ) :g(x) = 1 – x
Thật vậy : Xét hệ
 f ( x) = g ( x)

 f '( x ) = g '( x)

(3)

 2 x 2 + (1 − m) x + 1 + m
 x2 + 2x + 1 = 0
= 1− x

 x = −1
m−x



2
⇔
⇔
⇔


(
m
+
1)
2
3
 −2 x + 4mx − m + 2m + 1 = −1  − (m + 1) 2 = −1 m ≠ −1


(m − x) 2
⇔ x 2 + 2 x + 1 = 0 ⇔ ( x + 1) 2 = 0 ⇔ x = −1

Vậy với mọi m≠-1 ,hệ (3) ln có nghiệm x = -1 ⇔ ( H m ) và đường thẳng d ln
tiếp xúc với nhau => đpcm.
Nhận xét :
• (Hm) tiếp xúc với đường thẳng (d) y = 1- x tại tiếp điểm cố định có hồnh
độ x= -1  Họ hypecbol (Hm) ln tiếp xúc với nhau.
• Khi m = -1 họ (Hm) suy biến thành đường thẳng y = - x – 2,khơng có sự
tiếp xúc.
Cách 2.(Đạo hàm theo m)
Bước 1: Dự đốn đường cong (G).
Ta có (1) = > y(m – x) = 2x2 + (1 - m)x + 1+ m
<=> m( y+ x – 1) – (2x2 + x + 1 +xy) = 0.

Gọi F(m) = m( y+ x – 1) – (2x2 + x + 1 +xy) => [F(m)]’m= y +x - 1
= > [F(m)]’m =0 < = > y + x - 1 =0 < = > y = - x + 1
Bước 2. Ta chứng minh (Hm) tiếp xúc với đường thẳng (d ) :g(x) = 1 – x
( chứng minh tương tự cách 1).
Đối với dạng toán chứng minh họ (Hm) tiếp xúc với hai đường thẳng cố định
11


chúng ta cũng làm tương tự , ta xet ví dụ sau :
Ví dụ 4. Chứng minh rằng họ hypebol (Hm) :
y = f ( x) =

(m − 2) x − (m 2 − 2m − 4)
x−m

(1)

luôn tiếp xúc với 2 đường thẳng cố định.
Giải
Từ (1) suy ra : m2 – m(x + y +2) + 2x + xy + 4 = 0

(2)

Cách 1. (Phương pháp biên)
Bước 1: Dự đoán đường thẳng.
Ta có thể xem (2) là phương trình với ẩn m ;

∆ m = ( x + y + 2) 2 − 4(2 x + xy + 4) = ( y − x) 2 + 4( y − x) − 12
(2) vô nghiệm đối với ẩn m khi và chỉ khi ∆ m < 0 < = > -6 < y – x< 2
<=>x–6

Bước 2. Ta chứng minh (Hm) tiếp xúc với 2 đường thẳng (d1 ) :g1(x) = x – 6
(d2 ) :g2(x) = x + 2
Thật vậy :
Xét hệ :
 (m − 2) x − (m 2 − 2m + 4)
= x−6
 f ( x) = x − 6 
x−m
⇔

4
f
(
x
)
'
=
1


=1

( x − m) 2
( x − m − 2) 2 = 0
⇔
⇔ x = m+2
2
(
x
−

m
)
=
4

 ∀ m ∈ R , hệ đang xét ln có nghiệm x = m + 2 < = > (H m) và đường
thẳng (d1) luôn tiếp xúc với nhau.

12


 f ( x) = x − 6
⇔ x = m−2
f
(
x
)
'
=
1


Tương tự hệ 

 ∀ m ∈ R , hệ đang xét ln có nghiệm x = m - 2 < = > (H m) và đường thẳng
(d2) luôn tiếp xúc với nhau.
 Đpcm.
Cách 2 .( Đạo hàm theo m)
Bước 1: Dự đoán đường thẳng.
Gọi F(m) = m2 – m(x + y +2) + 2x + xy + 4

(3)

Đạo hàm F(m) theo m ta có [F(m)]’m=2m - (x + y +2)
[F(m)]’m = 0 <= > m =

1
( x + y + 2) thế vào (3) ta có
2

1
1
( x + y + 2) 2 − ( x + y + 2) 2 + 2 x + xy + 4 = 0
4
2
 x− y =6
y = x−6
⇔ ( x − y ) 2 − 4( x − y ) − 12 = 0 ⇔ 
⇔
 x − y = −2
y = x+ 2
Bước 2. Ta chứng minh (Hm) tiếp xúc với 2 đường thẳng (d1 ) :g1(x) = x – 6
(d2 ) :g2(x) = x + 2 ( làm tương tự cách 1).
Cách 3.(Phương pháp hệ số bất định)
Gọi (d) là đường thẳng có phương trình : y = ax + b
• (Hm) tiếp xúc với (d) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm với mọi m :
( m −2) x −( m 2 −2m +4)
= ax +b(2)

 f ( x ) = ax +b


x −m
⇔

4
 f '( x ) = a

= a (3)
2

(
x
−
m
)


Phương trình (3) ln có nghiệm với mọi m ⇔ a > 0

(4)

Từ (2) => ax2 + [b + 1- m(a + 1)]x +m2 – m(b+2) + 4 = 0 (5)
Với a > 0 , phương trình (5) có:
13


∆x = [b + 1- m(a + 1)]2 -4a[m2 – m(b+2) + 4]
= (a - 1)2m2 + 2( a – 1)(b + 2 )m + (b + 2 )2 – 16 a.
Gọi h(x) = (a - 1)2m2 + 2( a – 1)(b + 2 )m + (b + 2 )2 – 16 a
Phương trình (5) có nghiệm với mọi m trong hai trường hợp sau đây:

Trường hợp 1:
a −1 = 0
 a =1



 (a − 1)(b + 2) = 0 ⇔  b = −6
(b + 2) 2 − 16a = 0
 b = 2



(6)

0 < a ≠ 1  0 < a ≠ 1
⇔
(vô nghiệm) (7)
2
∆
'
≤
0
16a(a − 1) ≤ 0
 m

Trường hợp 2: h( x) ≥ 0∀m ∈ ¡ ⇔ 

Từ (6) và (7) suy ra có hai đường thẳng tiếp xúc với họ hypebol (Hm) là:
(d1): g1(x) = x – 6 ;

(d1): g2(x) = x + 2 .

Ví dụ 5. Chứng minh rằng khi m thay đổi,họ parabol (Pm):
y = f(x) = 2x2 + 2(m – 1)x + m2 + 4m luôn tiếp xúc với một đồ thị cố định.
Giải
Cách 1(Phương pháp nội suy):
Bước 1: Dự đoán đường cong.
Ta có: f(x) = 2x2 + 2(m – 1)x + m2 + 4m
< = > f(x) = m2 + 2(x + 2 )m + 2x2 - 2x
< = > f(x) = (m + x + 2)2 + x2 – 6x – 4
Bước 2 :Ta sẽ chứng minh (Pm) tiếp xúc với (P): g(x) = x2 – 6x – 4.

(m + x + 2) 2 + x 2 − 6 x − 4 = x 2 − 6 x − 4
 f ( x) = g ( x)
⇔
Thật vậy: Xét hệ 
4 x + 2(m − 1) = 2 x − 6
 f '( x) = g '( x )

<=> x= - m – 2
Suy ra với mọi m, hệ trên ln có nghiệm x = - m – 2 suy ra (Pm) và (P) luôn tiếp
14


xúc với nhau => Đpcm.
Cách 2( phương pháp biên)
Bước 1: Dự đốn đường cong.
Ta có: y = 2x2 + 2(m – 1)x + m2 + 4m
 m2+ 2(x + 2)m + 2x2 – 2x – y = 0 (1)
Xem (1) là phương trình đối với ẩn m ;

∆ 'm = ( x + 2) 2 − 2 x 2 + 2 x + y = − x 2 + 6 x + 4 + y
2
Phương trình (2) vơ nghiệm đối với m ⇔ ∆ 'm < 0 ⇔ − x + 6 x + 4 + y < 0

⇔ y < x2 − 6x − 4
= > Dự đoán đường cong (P) : g ( x) = x 2 − 6 x − 4
Bước 2 :Ta sẽ chứng minh (Pm) tiếp xúc với (P): g(x) = x2 – 6x – 4
( chứng minh tương tự như ở cách 1).
Cách 3.(Phương pháp đạo hàm theo tham số)
Bước 1: Dự đoán đường cong.
Gọi F(m) = m2+ 2(x + 2)m + 2x2 – 2x – y

(2)

[F(m)]’m = 2m + 2(x + 2)
[F(m)]’m = 0 <=> m = - x - 2 thế vào phương trình F(m) = 0 ta có:
(x+2)2 – 2(x+2)2 + 2x2 – 2x – y =0
< = > x2 – 6x – 4 – y = 0 < = > y = x2 – 6x – 4.
= > Dự đoán đường cong (P) : g ( x ) = x 2 − 6 x − 4
Bước 2 :Ta sẽ chứng minh (Pm) tiếp xúc với (P): g(x) = x2 – 6x – 4
( chứng minh tương tự như ở cách 1).
Ví dụ 6. Chứng minh rằng khi α thay đổi,họ đường thẳng :
15


(dα) :xcosα + ysinα – 6cosα + 8 = 0 (1)
luôn tiếp xúc với một đường cong cố định.
Giải
Cách 1( phương pháp biên)

Bước 1: Dự đoán đường cong.
( 1)  (x - 6)cosx + ysinx = - 8 (2)
Phương trình (2) vô nghiệm đối với α  ( x- 6)2 + y2 < 64
Bước 2 : Ta sẽ chứng minh (dα) tiếp xúc với đường tròn (C) : ( x- 6)2 + y2 =64.
Thật vậy : Đường trịn (C) có tâm I(6 ; 0) bán kính R = 8
Khoảng cách từ tâm I(6 ; 0) của (C ) đến đường thẳng (dα) là :
d ( I ;(dα )) =

6 cos α + 0.sin α − 6 cos α + 8
cos 2α + sin 2 α

=8= R

 (dα) tiếp xúc với đường tròn (C).
Cách 2.(Phương pháp đạo hàm theo tham số)
Bước 1: Dự đoán đường cong.
Đặt F(α) = xcosα + ysinα – 6cosα + 8
Lấy đạo hàm theo α ta có : F’(α)α= - xsinα + ycosα + 6sinα = 0
= > ycosα +(-x+6) sinα = 0 kết hợp với (1) ta có hệ :
8( x − 6)

cosα =

−( x − 6) 2 − y 2
 (x-6)cosα + ysinα = -8 

⇔


8y

 ycosα + ( − x + 6 ) sinα = 0
 sin α

−( x − 6) 2 − y 2
2

2

 8( x − 6)  

8y
⇒
+
= 1 ⇔ ( x − 6) 2 + y 2 = 64
2
2
2
2
 −( x − 6) − y   −( x − 6) − y 

 Dự đoán đường cố định là đường tròn (C) : ( x- 6)2 + y2 =64.
Bước 2 : Ta sẽ chứng minh (dα) tiếp xúc với đường tròn (C) : ( x- 6)2 + y2 =64.
16


( chứng minh tương tự như ở cách 1).
2.3.5. Phương pháp điều kiện cần và đủ
Chú ý :Khi chứng minh đường thẳng tiếp xúc với đường trịn,các đường cơnic
ta sử dụng các đẳng thức về điều kiện tiếp xúc của nó.
Bài tốn 3 Tìm tiếp tuyến cố định của họ đồ thị (Cm) : y = f(x)

Cách giải
Điều kiện cần
Bước 1: Tìm trên đồ thị (Cm) các điểm x0 thỏa mãn y’(x0) = c (const) (1)
(Để có (1) nhiều khi phải đặt tham số phụ)
Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm x0 theo công thức :y = f’(x0)(x - x0) + y0.
Nếu tiếp tuyến tại x0 cố định thì đó chính là lời giải bài tốn.
Nếu tiếp tuyến tại x0 chưa cố định thì tiếp tục bước 2.
Bước 2:Tìm điều kiện của tham số phụ để tiếp tuyến tại x0 cố định
Điều kiện đủ. Thay giá trị của tham số phụ tìm được ở bước 2 vào (2), ta có
tiếp tuyến phải tìm
Ví dụ 7. Chứng tỏ tồn tại một tiếp tuyến cố định chung cho mọi đồ thị của họ
(Cm ) : y = (m + 1) x 3 − (2m + 1) x 2 + (m − 1) x + 1

Giải
Điều kiện cần. Ta có y’ = m(3x2 – 4x + 1) + 3x2- 2x – 1.
Nếu có một tiếp tuyến cố định chung cho mọi đồ thị của họ (Cm) thì hiển nhiên
hệ số góc của tiếp tuyến ấy khơng đổi. Theo ý nghĩa hình học của đạo hàm thì ắt
tồn tại điểm x sao cho y’ có giá trị khơng phụ thuộc vào m. Điều đó xảy ra khi
và chỉ khi 3x2- 4x +1= 0 < => x =1 và x =

1
(*)
3

Điều kiện đủ.
+ Tại x = 1 ta có y’(1) = 0 ; y(1) =0 , phương trình tiếp tuyến của (Cm)
tại x = 1 là y = 0. Đó là một tiếp tuyến cố định của họ đồ thị đã cho.
+ Tại x =

1

1
4
1
4m + 16
ta có y’( ) = - ; y( ) =
. Phương trình tiếp tuyến của (Cm)
3
3
3
3
27
17


tại x =

1
4
1
4m + 16
4
4m + 28
là : y = - (x - ) +
< = > y =- x+
.
3
3
3
27
3

27

Đó là một tiếp tuyến thay đổi theo m
Kết luận : khi m thay đổi, họ đồ thị (Cm) luôn tiếp xúc với đường thẳng y = 0.
Ví dụ 8. Chứng tỏ rằng có một tiếp tuyến cố định tiếp xúc với cả họ đồ thị :
(C m ) : y =

2 x 2 − mx + 2m + 1
, m ≠ −1 .
x−m

Giải
Tập xá định D = ¡ \ { m } .
Điều kiện cần : Ta có y ' =

2 x 2 − 4mx + m 2 − 2m − 1
.
( x − m) 2

Nếu có một tiếp tuyến chung mọi đồ thị của họ (Cm) thì hiển nhiên hệ số góc
của tiếp tuyến ấy khơng đổi. Theo ý nghĩa hình học của đạo hàm thì ắt tồn tại
m ≠ −1
nên nếu có điều
m≠x

điểm x sao cho y’ có giá trị khơng phụ thuộc vào m.Do 
đó xảy ra thì ắt phải xảy ra tại x = -1 .
Điều kiện đủ. Tại x = -1 ta có y’(-1) = 1 ,y(-1) = 3.
Phương trình tiếp tuyến tại x = -1 là y = x – 2.

Đó là một tiếp tuyến cố định duy nhất của họ đồ thị (Cm).
2 x 2 + (m − 2) x + m
Ví dụ 9. Tìm tiếp tuyến cố định của họ đồ thị (Cm) : y =
.
x2 − 2x + m

Giải
Viết lại y = 1 +

mx
x − 2x + m
2

2
Tập xác định J = { x ∈ ¡ / x − 2 x + m ≠ 0 }

(1)

Điều kiện cần
Trước hết để (Cm) có tiếp tuyến thì m ≠ 0
Ta có y’ =

(2)

− mx 2 + m2
( x 2 − 2 x + m) 2

Nếu có một tiếp tuyến cố định chung cho mọi đồ thị của họ (Cm) thì hiển nhiên
18

hệ số góc của tiếp tuyến ấy khơng đổi. Theo ý nghĩa hình học của đạo hàm thì ắt
tồn tại điểm x sao cho y’ có giá trị khơng phụ thuộc vào m.
m≠0
 m≠0
⇔
nên nếu có điều đó xảy ra thì ắt phải xảy ra tại
2
x − 2x + m ≠ 0
2 x − x ≠ m


Do 

2

x =0 hoặc x = 2.
Điều kiện đủ. Tại x =0 ta có y’(0) = 1, y(0) = 1 .phương trình tiếp tuyến tại x = 0
là y = x +1
Tại x = 2 ta có y’(2) = 1-

1
. Rõ ràng y’(2) thay đổi theo m nên giá trị x = 2
m

khơng thích hợp. duy
Vậy y = x – 2 là tiếp tuyến cố định của họ đồ thị (Cm) đã cho
Bài toán 4 Chứng minh (Cm) : y = f(x) là họ tiếp xúc
Cách giải:
Bước 1: Tìm các điểm cố định của (Cm).

Bước 2: Tìm đạo hàm f’(x) tại hồnh độ các điểm cố định.Chứng tỏ trong các
điểm cố định ấy,tồn tại một điểm mà tại đó f’(x) là một hằng số.
Ngồi ra ,bài tốn cịn có 4 cách giải như bài tốn 2.
Ví dụ 10. Cho họ hypecbol (Hm) : y =

x 2 + (m − 2) x + m
(1)
x2 − 2 x + m

Chứng tỏ với mọi m ≠ 0, (Hm) luôn tiếp xúc với nhau.
Giải
Từ (1) suy ra y(x2 - 2x + m) = x2 + (m-2)x + m
< = > m(y – x -1) + x(y – 1)(x – 2) =0
Tọa độ điểm cố định là nghiệm của hệ :
 x( y − 1)( x − 2) = 0
 x = 0, y = 1
⇔

=> với mọi m≠0 ,họ (Hm) luôn đi qua 2 điểm cố
 y − x −1 = 0
 x = 2, y = 3

định I( 0 ;1) và J(2 ;3)
y'=

m 2 − mx
( x 2 − 2 x + m) 2

y’(0) = 1 , với mọi m ≠ 0 suy ra tại điểm cố định J , (Hm) có hệ số góc của tiếp
19

tuyến khơng đổi. Điều đó chứng tỏ rằng khi m thay đổi ( m ≠0),họ hypecbol
(Hm) luôn tiếp xúc với nhau.
Bình luận :
Trong ví dụ trên (Hm) có hai điểm cố định.
• Để chứng minh bài tốn,chỉ cần tồn tại một trong các điểm ấy có đạo
hàm là hằng số là đủ.
• Để kết luận (Hm) khơng phải là họ tiếp xúc, phải chứng tỏ tại mọi điểm cố
định của nó,đạo hàm khơng phải là số hằng.
Ví dụ 11. Cho họ đường cong
(Cm): f(x) = mx3 + 2(3m+1)x2+(12m-1)x+8m+5

(1)

Chứng tỏ rằng khi m thay đổi, họ đường cong (Cm) luôn tiếp xúc với nhau.
Giải
Ta có (1) < = > f(x) = (x3 + 6x2 + 12x + 8)m + 2x2 -x +5
< = > y = m(x+2)3 + 2x2-x+5.
Tọa độ điểm cố định của họ (Cm) là nghiệm của hệ :
 x+2=0
 x = −2
⇔

2
 y = 15
 y = 2x − x + 5

+Khi m thay đổi , họ (Cm) luôn đi qua điểm cố định I(-2 ; 15)
+ y’ = 3m(x+2)2 +4x -1 ; y’(-2) = -9 không đổi

= > Tại điểm cố định I , (Cm) có hệ số góc của tiếp tuyến khơng đổi. Điều đó
chứng tỏ khi m thay đổi , họ (Cm) luôn tiếp xúc với nhau = > điều phải chứng
minh.
Bài tập : 1. CMR : (Cm) : y = x3 + 3mx2 +3(m2-1)x + m3 – 3m luôn tiếp xúc với
2 đường thẳng cố định.
2.CMR họ đường thẳng : d( α ) :xcos α +ysin α +2cos α +1 = 0 luôn tiếp xúc với
một đường cong cố định.
3.CMR tiện cận xiên của họ (Cm) : y =
parbol cố định.

(m + 1) x 2 − m 2
(m ≠ 0) luôn tiếp xúc với một
x−m

20


4.Tìm tiếp tuyến cố định của họ đồ thị (Cm ) : y =

x 2 + (m − 1) x − m
.
x2 − m

5.Tìm m để (Cm) : y = f(x)=2x3-3(m+3)x2+18mx – 8 tiếp xúc với trục Ox.
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với
bản thân, đồng nghiệp và nhà trường
Một số phương pháp giải các bài toán về sự tiếp xúc giữa các đường’’ đã được
bản thân tôi và các đồng nghiệp cùng đơn vị thí điểm trên các em có học lực từ
khá trở lên. Kết quả thu được rất khả quan, các em học tập một cách say mê
hứng thú. Một số em đã đạt được những thành tích tốt qua những đợt thi học

sinh giỏi vừa qua.
Tuy nhiên với đề tài này người thầy phải biết vận dụng sáng tạo các phương
pháp, ln khơng ngừng tìm tịi, tham khảo các tài liệu, tham khảo đồng nghiệp,
xâu chuỗi chúng lại và cho học sinh các bài tập định hướng để các em học tập,
tìm hiểu.
Đối tượng học sinh là học sinh khá giỏi, ln tin tưởng ở thầy, có điều kiện
học tập, nghiên cứu.
3. Kết luận và kiến nghị
3.1 kết luận:
Để có những tiết học đạt hiệu quả cao nhất ln là niềm trăn trở, suy nghĩ là
mục đích hướng tới của từng người giáo viên có lương tâm và trách nhiệm nghề
nghiệp, nhưng đây không phải là điều đạt được dễ dàng. Người giáo viên phải
nhận thức rõ vai trò là người “thắp sáng ngọn lửa” chủ động lĩnh hội tri thức
trong từng học sinh. Qua nghiên cứu và áp dụng “Phương pháp giải các bài
toán về sự tiếp xúc giữa các đường’’ cho học sinh Trường THPT Đông Sơn 2
tôi thu được hiệu quả nhất định, để học tập mơn tốn của các em có kết quả cao
hơn và kiến thức vững hơn.

3.2. Kiến nghị
“Phương pháp giải các bài toán về sự tiếp xúc giữa các đường” chỉ phù
hợp với học sinh có năng lực khá – giỏi nên chỉ xem nó là tài liệu tham khảo cho
giáo viên và học sinh trong ôn thi học sinh giỏi và Ơn thi Trung học phổ thơng
Quốc gia. Khơng nên giảng dạy đại trà cho tất cả các đối tượng học sinh.
Nếu đề tài được đánh giá tốt, tôi rất mong sẽ được phổ biến rộng rãi trong
học sinh và là một tài liệu tham khảo bổ ích trong ơn thi học sinh giỏi; ôn thi
Trung học phổ thông Quốc gia.
Mặc dù tôi đã rất cố gắng sưu tầm, nghiên cứu và tìm tịi nhưng vẫn cịn
nhiều vấn đề khác mà trong đề tài này chưa nghiên cứu được. Tôi hy vọng các
đồng nghiệp sẽ nghiên cứu tiếp.
Tơi kính mong đồng nghiệp và hội đồng khoa học của trường THPT Đông

sơn 2 cũng như hội đồng khoa học của Sở Giáo Dục và Đào Tạo Tỉnh Thanh
21


Hóa góp ý kiến thêm để đề tài của tơi hồn thiện hơn, có ứng dụng rộng rãi
trong q trình giảng dạy và bồi dưỡng học sinh.
Trong khi chờ sự xem xét, nghiên cứu đánh giá của Hội đồng khoa học các cấp
tôi xin chân thành cảm ơn nhiều. Chúc hội đồng khoa học các cấp sức khỏe,
hạnh phúc

TÀI LIỆU THAM KHẢO
1.Sách giáo khoa Giải tích 12 nâng cao-NXB Giáo dục Việt Nam
2. Đề thi Đại học , Cao Đẳng các năm.
3.Các chuyên đề Hàm số ,Trần Phương,NXB Hà Nội 2006.
4.Các bài toán về hàm số,Phan Huy Khải- NXB Hà Nội 1997.
5.Đề luyện thi tuyển sinh mơn tốn,NXB Giáo dục Việt Nam 2006.
6. Các sáng kiến kinh nghiệm đạt giải cấp tỉnh trong trường và ngồi trường.
7.Tạp chí tốn học và tuổi trẻ( các năm 2000-2013)
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG
ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 20 tháng 05 năm 2021
Tơi xin cam đoan đây là SKKN của mình
viết, khơng sao chép nội dung của người
khác.

VŨ THỊ HẰNG

22