SKKN - Phuong phap giai phuong trinh vo ty

Trờng THCS GIA sơn
Phần I: Lý do nghiên cứu
1-C s lý lun:
Trong quỏ trỡnh phỏt trin ,xã hội luôn đề ra những yêu cầu mới cho sự nghiệp
đào tạo con ngời .Chính vì vậy mà dạy toán không ngừng đợc bổ xung và đổi mới để
đáp ứng với sự ra đời của nó và sự đòi hỏi của xã hội .Vì vậy mỗi ngời giáo viên nói
chung phải luôn luôn tìm tòi ,sáng tạo ,đổi mới phơng pháp dạy học để đáp ứng với
chủ trơng đổi mới của Đảng và Nhà nớc đặt ra.
Trong chơng trình môn toán ở các lớp THCS kiến thức về phơng trình vô tỉ
không nhiều song lại rất quan trọng .đó là những tiền đề cơ bản để học sinh tiếp tục
học lên ở THPT.
Khi giải toán về phơng trình vô tỉ đòi hỏi học sinh nắm vững các kiến thức cơ bản về
căn thức, phơng trình, hệ phơng trình, các phộp biến đổi đại số Học sinh biết vận
dụng linh hoạt , sáng tạo các kiến thức , kỹ năng từ đơn giản đến phức tạp.
Một số phơng pháp giải phơng trình vô tỷ giúp học sinh phát triển t duy, phát huy
tính tích cực chủ động, sáng tạo trong giải toán.Đồng thời giáo dục t tởng, ý thức,thái
độ, lòng say mê học toán cho học sinh.
2.Cơ sở thực tiễn:
Phơng trình vô tỉ là loại toán mà học sinh THCS coi là loại toán khó, nhiều học
sinh không biết giải phơng trình vô tỉ nh thế nào?có những phơng pháp nào?
Các bài toán về phơng trình vô tỉ là một dạng toán hay và khó, có nhiều trong các đề
thi học sinh giỏi các cấp, thi vào lớp 10 THPT. Tuy nhiên, các tài liệu viết về vấn đề
này rất hạn chế hoặc cha hệ thống thành các phơng pháp nhất định gây nhiều khó
khăn trong việc học tập của học sinh, cũng nh trong công tác tự bồi dỡng của giáo
viên.
Mặt khác, việc tìm hiểu các phơng pháp giải phơng trình vô tỉ hiện nay còn ít
giáo viên nghiên cứu.
Vì vậy việc nghiên cứu các phơng pháp giải phơng trình vô tỉ là rất thiết thực,
giúp giáo viên nắm vững nội dung và xác định đợc phơng pháp giảng dạy phần này
đạt hiệu quả, góp phần nâng cao chất lợng dạy và học, dặc biệt là chất lợng học sinh
giỏi và giáo viên giỏi ở các trờng THCS.

Sáng kiến kinh nghiệm GV: Đinh Quang Thạch
Trờng THCS GIA sơn
II-Mục đích nghiên cứu:
+ Nghiên cứu về phơng pháp giải phơng trình vô tỉ trong chơng trình toán THCS.
Giúp giáo viên nâng cao năng lực tự nghiên cứu, đồng thời vận dụng tổng hợp các tri
thức đã học, mở rộng, đào sâu và hoàn thiện hiểu biết. Từ đó có phơng pháp giảng dạy
phần này có hiệu quả.
+ Nghiên cứu vấn đề này để nắm đợc những thuận lợi, khó khăn khi dạy học phần ph-
ơng trình vô tỉ trong bồi dỡng học sinh khá giỏi, từ đó định hớng nâng cao chất l-
ợngdạy và học môn toán.
+ Nghiên cứu vấn đề này còn giúp giáo viên có t liệu tham khảo và dạy thành công
về phơng trình vô tỉ.
III- Nhiệm vụ nghiên cứu:
1. Nghiên cứu về tình hình dạy học và học vấn đề này ở nhà trờng.
2. Hệ thông hoá một số phơng pháp giải phơng trình vô tỉ.
3. Tìm hiểu mức độ và kết quả đật đợc khi triển khai đề tài.
4. Phân tích rut ra bài học kinh nghiệm.
IV- Phạm vi và đối tợng nghiên cứu:
1. Đối tợng nghiên cứu:
a. Các tài liệu
b. Giáo viên, học sinh khá giỏi ở trờng THCS Gia Sơn
2. Phạm vi nghiên cứu:
Các phơng pháp để giải phơng trình vô tỉ thờng gặp ở THCS.
V- Phơng pháp nghiên cứu:
1. Phơng pháp nghiên cứu tài liệu.
2. Phơng pháp điều tra, khảo sát.
3. Phơng pháp thử nghiệm
4. Phơng pháp ttổng kết kinh nghiệm
VI- Giả thuyết khoa học:
Nâng cao chất lợng dạy và học trong và sau khi nghiên cứu áp dụng sáng kiến

kinh nghiệm, giúp cho giáo viên dạy có hiệu quả cao hơn, học sinh ham thích học
dạng toán này hơn
Sáng kiến kinh nghiệm GV: Đinh Quang Thạch
Trờng THCS GIA sơn
PHầN II: Nội dung
A- Một số phơng pháp giải phơng trình vô tỉ:
* Khái niệm: Phơng trình vô tỉ là phơng trình đại số chứa ẩn trong dấu căn thức (ở đây
tôi chỉ đề cập đến những phơng trình mà ẩn nằm dới dấu căn bậc hai và căn bậc ba)
* Phơng trình vô tỉ rất phong phú và đa dạng, hớng chung để giải quyết phơng trình
vô tỉ là làm cho phơng trình đợc chuyển về dạng hữu tỉ.
I-Phơng pháp nâng lên luỹ thừa:
1. Kiến thức vận dụng:
+ (A

B)
2
= A
2


2AB + B
2
+ (A

B)
3
= A
3

3A
2
B + 3AB
2


B
3
+
[ ]





=


=
2
)()(
0)(
0)(
)()(
xgxf
xg
xf
xgxf
+
3

3
mAmA ==
2. Ví dụ:
Ví dụ 1: Giải phơng trình sau:
xx =+ 122
(1)
Giải
Điều kiện căn có nghĩa:
012

x
(2)

2
1
x
(1)
212 = xx
(3)
Với điều kiện
02 x
(4)
(3)

2x - 1 = (x-2)
2
(5)
056
4412
2

2
=+
+=
xx
xxx
Giải ra ta đợc x
1
=1 không thoả mãn (4)
x
2
= 5 thoả mãn (2) và (4) nghiệm duy nhất của phơng trình: x = 5
Ví dụ 2: Giải phơng trình:
23151 = xxx
(1)
Sáng kiến kinh nghiệm GV: Đinh Quang Thạch
Trờng THCS GIA sơn
Phơng trình (1) có nghĩa:
0
023
015
01

x
x
x
x
(2)
(1)
15231 += xxx
Hai vế đều dơng, bình phơng hai vế ta đợc




=+


+=
++=
)3()72()21315(4
072
21315272
)15)(23(215231
22
2
xxx
x
xxx
xxxxx
Giải (3) ta đợc:
7
2

x
không thoả mãn (1).
Vậy phơng trình vô nghiệm.
Ví dụ 3:Giải phơng trình
121 =+ xx
(1)
Giải
Điều kiện:
2x
(2)
Viết PT (1) dới dạng

121 +=+ xx
(3)
Hai vế của (3) không âm, bình phơng hai vế ta đợc

22121 ++=+ xxx

31212222 ==== xxxx
thoả mãn điều kiện (2)
Vậy phơng trình có nghiệm duy nhất x= 3
Lu ý:
+ Nếu để (1) bình phơng ta phải đặt ĐK
x+1
2 x
(Đk này luôn đúng)
+ Nếu biến đổi (1) thành
112 += xx
rồi bình phơng hai vế ta phải đặt ĐK
011 + xx

Ví dụ 4: Giải phơng trình:
33
721 xx =+
(1)
Giải:
Sáng kiến kinh nghiệm GV: Đinh Quang Thạch
Trờng THCS GIA sơn

33
33
33
2)71(
2271)1(
=++
=++
xx
xx
Giải (1)
7;1
0)7)(1(
0)7)(1(
21
3
==
=+
=+
xx
xx
xx
Là nghiệm của phơng trình

Chú ý:
- Khi bình phơng hai vế của phơng trình cần chú ý điều kiện hai vế cùng dơng
Trớc khi lên luỹ thừa cần biến đổi phơng trình về dạng thuận lợi nhất để hạn chế các
trờng hợp hoặc có lời giải ngắn gọn.
Ví dụ5: Giải pt:
844
2
=++ xxx
(1)
Giải:
8)2(
2
=+ xx
2 x
+
8=x
Nếu
2x
thì
582 ==+ xxx
Nếu
x
<
2
thì
82
=+
xx
vô nghiệm
Kết luận : x=5 là nghiệm của pt

4- Bài tập tơng tự:
Giải các pt sử dụng phép bình phơng.
1/ x
2
-4x =8
1x
(x=4+2
2
)
2/
682
2
++ xx
+
1
2
x
=2x+2
3/
2
2
7
x
x
+
2
7
x
x
=x (x=2)

4/
1+x
-
2+x
=
5+x
-
10+x
(x=-1)
Sử dụng phép lập phơng:
1/
3
1x
+
3
2x
=
3
32 x
(x=4; 2)
2/
3
1+x
+
3
1x
=
3
5x
(x=0;

2
5
)
3/
3
1+x
+
3
13 +x
=
3
1x
(x=- 1)
Sáng kiến kinh nghiệm GV: Đinh Quang Thạch
Trờng THCS GIA sơn
4/
3
1 x+
+
3
1 x
=1 (x=
27
28
)
II -Phơng trình đa về phơng trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối
1/kiến thức vận dụng :
+)
== )()(

2
xfxf

)(xf
nu
0)( xf

)(xf
nu
0)( <xf

+)phơng pháp giải phơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối (tự tìm hiểu )
2-Ví dụ:
Ví dụ6 :Giải phơng trình :
242 + xxx
+
1267 =+ xx
(1)
Giải:
Điều kiện : x-2
0
hay x
2
(2)

13222
1)32()22(
22
=+
=+

xx
xx
Cách 1: Chia các trờng hợp để bỏ dấu giá trị tuyệt đối.
Cấch 2: Sử dụng bất đẳng thức
baba ++
, dấu = xảy ra khi a,b > 0.
Khi đó
123222322 =++ xxxx
(3)
Dấu =xảy ra khi:
( )( )
02322 xx
(4)
Giải (4) ta đợc:
116 x
Thoả mãn (2)
Vậy nghiệm của phơng trình (1)là :
116

x
3/ Chú ý :
+ Phơng pháp này thờng đợc áp dụng khi các biểu thức trong dấu căn bậc hai viết đợc
thành bình phơng của một biểu thức.
+ Có những phơng trình cần phải biến đổi mới có dạng trên.
4/ Bài tập áp dụng: Giải các phơng trình sau:
1)
21212
22
=++++ xxxx
( )

1x
2)
211
22
=+ xxxx
( )
2=x

Sáng kiến kinh nghiệm GV: Đinh Quang Thạch
Trờng THCS GIA sơn
3)
225225232 =+++ xxxx







3
2
5
x
III- Phơng pháp đặt ẩn phụ:
1. Đặt ẩn phụ đa về phơng trình ẩn mới:
Ví dụ 7: Giải phơng trình
954135
22
+=+ xxxx
(1)

Giải :
Ta có :
4
11
2
5
95
2
+






=+ xxx
> 0
Đặt:
222
95095 yxxyxx =+=+

Khi đó (1)

y
2
+ 4 = 4y

055
455
2

2
2
=+
=+
=
xx
xx
y








=
+
=
2
55
2
55
x
x
Ví dụ 8: Giải phơng trình:
2
4
1
2

1
=++++ xxx
(1)
Giải:
Điều kiện:
4x
(2)
Đặt:
0
4
1
=+ yx

4
1
2
= yx
Khi đó (1) trở thành
2)
2
1
(
4
1
22
=++ yy
0744
2
=+ yy

=


=

2
122
0
2
122
y
y
Trờng hợp
2
122
=y
< 0 loại
Sáng kiến kinh nghiệm GV: Đinh Quang Thạch
Trờng THCS GIA sơn

22 = x
, thoả mãn điều kiện (2)
Vậy nghiệm của phơng trình là :
22 =x

Ví dụ 9: Giải phơng trình:
0331
333
=+++++ xxx
(1)
Giải:
Đặt:
yx =+ 2
(1)
yyy =++
3
3
3
3
11
Lập phơng hai vế ta có :
3
63
1= yyy




=
=

3
62
1
0

yy
y
(+) Nếu:
2020
3
==+= xxy
(+) Nếu
11
66
3
62
== yyyy
, vô nghiệm
Vậy nghiệm của phơng trình là : x = -2
2. Đặt ẩn phụ đa về hệ phơng trình:
a. Dạng:
edxvuxrbax +++=+ )(
(1)
Với a,u,r
0
Đặt
baxvyu +=+.
Khi đó phơng trình (1) đa đợc về dạng :
0)12)(( =+++ urruxruyyxu
Ví dụ 10: Giải phơng trình:
203232152
2
+=+ xxx
(1)
Giải:

Điều kiện:
2
15
0152

+ xx
Khi đó: (1)
28)24(2152
2
+=+ xx
(2)
Đặt:
15224 +=+ xy
(3)
Điều kiện:
2
1
024

+ yy
Khi đó (2) trở thành (4x + 2)
2
= 2y + 15 (4)
Từ (3) ta có : (4y + 2)
2
= 2x + 15 (5)
Sáng kiến kinh nghiệm GV: Đinh Quang Thạch
Trờng THCS GIA sơn
Từ (4) và (5) có hệ:

+=+
+=+
)5(152)24(
)4(152)24(
2
2
xy
yx
Trừ vế với vế của (4) cho (5) ta đợc (x- y)(8x + 8y + 9) = 0
+) Nếu: x-y = 0
yx =
thay vào (5) ta đợc : 16x
2
+ 14x-11 =0






=
=

8
11
2

1
x
x
với
8
11
=x
, loại
+) nếu 8x + 8y + 9 = 0
988 = xy
, Thay vào 9 (4) ta đợc:
64x
2
+ 72x-35 =0
, loại
Vậy nghiệm của phơng trình là :
2
1
1
=x

16
2219
2
+
=x
b) Dạng:
edxvuxrbax +++=+
3
3

)(
(1)
Đặt
3
baxvuy +=+
(1) đa đợc về dạng:
0)1)((
22
=+++ rQrPQrPvyu

Trong đó:
vuyP +=

vuxQ +=
Ví dụ 11: Giải phơng trình:
255336853
23
3
+= xxxx
(1)
Giải
(1)
3
53 x
=(2x-3)
3
-x+2 (2)
Sáng kiến kinh nghiệm GV: Đinh Quang Thạch

+
=

=

16
2219
16
2219
x
x
Trờng THCS GIA sơn
Đặt :2y-3=
3
53 x

3
)32(53 = yx
(3)
khi đó (2)
3
)32(52 =+ xxy
(4)
Từ (3),(4) có hệ :

=+
=
3
3
)32(52
)32(53
xxy
yx

Trừ vế với vế ta đợc :
0)1)((
22
=+++ PQQPyx
(5)
Trong đó :
32 = yP

32 = xQ
Vì:
01.
22
>+++ QPQP

yx,
Do đó :(5)
yx
=

Thay vào (3) ta đợc:
(x-2)(8x
2
-20+11)=0


x
1
=2 ; x
2
=
2
35 +
; x
3
=
2
35
c. Một số dạng khác:
Ví dụ 12: Giải phơng trình:
312
3
=++ xx
(1)
Giải
Điều kiện: x
1
(2)
Đặt:
3

3
22 yxyx ==

3
101
22
2
=
=+=+
yz
zxzx
Với điều kiện (2) thì (1) đa về hệ:







=
=+
0
3
3
22
z
yz
zy
Giải hệ này ta đợc:

=
=
2
1
z
y
Từ đó suy ra: x = 3 là nghiệm của phơng trình (1)
Ví dụ 13: Giải phơng trình:
2
2
11
2
=

+
x
x
(1)
Sáng kiến kinh nghiệm GV: Đinh Quang Thạch
Trờng THCS GIA sơn
Giải:
Điều kiện:



<<

22

0
x
x
Đặt:
202
222
=+>= yxyx
Ta có hệ: (1)





=+
=+
2
11
2
22
yx
yx

Đặt: x +y = S ; xy = P

(1)




==

==




=
=

1,
2
1
2,1
2
22
2
SP
SP
PS
PS

+Trờng hợp 1: Ta đợc x=y=1; Trờng hợp 2:








=

+
=
2
31
2
31
y
x
hoặc







+
=

=
2
31
2
31
y
x
Từ đó ta đợc x = 1; x =
2
31
là nghiệm

3. Chú ý:
* Giải phơng trình vô tỉ bằng phơng pháp đặt ẩn phụ giúp ta giải đợc nhiều bài toán
khó, tuy nhiên để đặt cái gì làm ẩn phụ và có mấy ẩn phụ thì phải biết nhận xét và tìm
mối liên quan giữa các biểu thức trong phơng trình, liên quan giữa các ẩn
* Cần phải có kỹ năng giải phơng trình và hệ phơng trình.
4. Bài tập áp dụng:
1)
22
24692 xxxx ++=+
2)
41212 =++ xxxx
(đặt
5;01 == xyx
)
3)
14421 =+++ xxxx
(đặt
41; = xyx
)
Đặt hệ phơng trình:
1-
46283
23
+=+ xxx
Sáng kiến kinh nghiệm GV: Đinh Quang Thạch
Trờng THCS GIA sơn
Đặt:
bxxax =+=+ 42,2
2
2-

)2(215
23
+=+ xx
Đặt:
)
2
375
(1;1
2

=+=+ xbxxax

133;133 =+= xx
3-
x
xx
x =+
1
1
1
Đặt:
2
51
;
1
1;
1 +
=== xb
x
a

x
x
4 -
112
3
=+ xx
Đặt
10;2;1;2
3
= xax
5 -
513413
2
+=+ xxx
(Đặt
)
8
3711
;
4
11
;1,1332
+
=+= xxy
6 -
534
2
= xxx
(Đặt
)

2
295
;1,25
+
==+ xyx
7 -
3
3
2332 =+x
(Đặt
)2;1,23 == xyx
IV- Phơng pháp bất đẳng thức:
Chứng tỏ tập giá trị ở hai vế rời nhau khi đó phơng trình vô nghiệm:
* Phơng trình: f(x) = g(x)
Nếu tập giá trị của f(x), g(x) lần lợt là: S
1
, S
2
mà S
1
giao với S
2
bằng rỗng thì phơng
trình vô nghiệm.
* Ví dụ 14: Giải phơng trình:
25373 = xxx
(1)
Giải
Điều kiện: x
3

Với điều kiện này thì:
373 < xx
Khi đó vế trái của (1) âm, còn vế phải dơng do đó phơng trình (1) vô nghiệm
2- Sử dụng tính đối nghịch ở hai vế:
Sáng kiến kinh nghiệm GV: Đinh Quang Thạch
Trờng THCS GIA sơn
* Phơng trình F(x) = G(x) (1)
Nếu: F(x)

K, dấu đẳng thức sảy ra khi x = a
G(x)

K, dấu đẳng thức sảy ra khi x=b
(k,a,b là các hằng số)
.) a = b

(1) có nghiệm là: x = a
.) a

b

(1) vô nghiệm
* Ví dụ 15: Giải phơng trình:
222
2414105763 xxxxxx =+++++
(1)
Giải
Vế trái:
5949)1(54)1(3
22

=++++++ xx
Vế phải: 4-2x x
2
= 5- (x+1)
2


5
Do đó cả hai vế đều bằng 5 khi x =-1, với giá trị này cả hai bất đẳng thức trên đều là
đẳng thức.
Vậy x = -1 là nghiệm của phơng trình.
* Ví dụ 16: Giải phơng trình:
13626
2
+=++ xxxx
(1)
Giải
Sử dụng bất đẳng thức:
2
2
2
1
2
2
2
12211
. bbaababa +++
(Với dấu = xảy ra khi
)
2

2
1
1
b
a
b
a
=
Vế trái:
426.1126
22
=++++ xxxx
Dấu = xảy ra khi x=3
Vậy phơng trình vô nghiệm.
c. Sử dụng tính đơn điệu của hàm số:
* Ta chỉ ra nghiệm cụ thể và chứng minh đợc các trờng hợp khác của ẩn không là
nghiệm của phơng trình .
* Ví dụ 17: Giải phơng trình:
312
3
=++ xx
(1)
Giải
Ta thấy x = 3 nghiệm đúng phơng trình.
+ Với x > 3 thì
<+> 21,12
3
xx
vế trái của (1) lớn hơn 3
+ Với -1

3
<
x
thì
<+> 21,12
3
xx
vế trái của (1) nhỏ hơn 3
Sáng kiến kinh nghiệm GV: Đinh Quang Thạch
Trờng THCS GIA sơn
Vậy x = 3 là nghiệm duy nhất của phơng trình.
d. Sử dụng điều kiện xảy ra dấu = ở bất đẳng thức không chặt.
* Ví dụ 18: Giải phơng trình:
2
14
14
=

+

x
x
x
x
(1)
Giải
Điều kiện: x >
4
1
(2)

Sử dụng bất đẳng thức:
2+
a
b
b
a
Với a,b > 0 thì dấu = xảy ra khi và chỉ khi a = b
Do đó:
2
14
14


+

x
x
x
x
Dấu = xảy ra
14 = xx

32
014
2
=
=+
x
xx
Thoả mãn (2)

Vậy nghiệm của phơng trình là: x = 2
3
e. Bài tập áp dụng:
1)
271064
2
+=+ xxxx
(x = 5)
2)
51343
26122
=++
+
yyx
x
(x = y = 2)
3)
126
22
=+ xxx
(Vô nghiệm)
4)
xxxxxx 24)53)(1(.231
2
=++++
5)
665
1225
1
4

3
16

+

+
zyx
= 82 -
66513 zyx
(x = 19; y = 5; z = 1890)
V- Những chú ý:
* Khi giải phơng trình vô tỉ cần tránh những sai lầm sau:
+ Không chú ý đến điều kiện có nghĩa của căn thức.
+ Không đặt điều kiện có nghĩa của căn thức.
* Để giải phơng trình vô tỉ thành thạo thì các kiến thức sau cần nắm vững.
Sáng kiến kinh nghiệm GV: Đinh Quang Thạch
Trờng THCS GIA sơn
+ Các phép biến đổi căn thức.
+ Các phép biến đổi biêủ thức đại số.
+ Các kiến thức và phơng pháp giải các phơng trình và hệ phơng trình.
+ Các kiến thức về bất đẳng thức
PHầN III : Kết luận
I-Bài học kinh nghiệm:
Phơng trình vô tỷ là một dạng toán không thể thiếu đợc trong chơng trình bồi dỡng
học sinh giỏi THCS. Nếu chỉ dừng lại yêu cầu trong sách giáo khoa thì cha đủ, vì vậy
đòi hỏi giáo viên phải tích cực tự học, tự nghiên cứu, tìm tòi sáng tạo thờng xuyên bổ
xung kiến thức và tích luỹ kinh nghiệm về vấn đề này.
*Để dạy học cho học sinh hiểu và vận dụng tốt phơng pháp giải phơng trình vô tỷ thì
bản thân mỗi giáo viên phải hiểu và nắm vững về phơng trình vvô tỷ: các dạng phơng
trình vô tỷ, phân biệt sự khác nhau giữa phơng trình vô tỷ với các dạng phơng trình

khác, đồng thời phải nắm vững các phơng pháp giải phơng trình vô tỷ.
*Qua việc nghiên cứu bên cạnh việc giúp cho bản thân nâng caokiến thức nâng cao
nghiệp vụ, bồi dỡng học sinh giỏi có hiệu quả,ngoài ra còn giúp bản thân nâng cao
phơng pháp tự học, tự nghiên cứu để có thể tiếp tục nghiên cứu các vấn đề khác tốt
hơn trong suốt quá trình dạy học của mình.
II-Kết luận chung:
Để thực hiện tốt công việc giảng dạy, đặc biệt là công tác bồi dỡng học sinh
giỏi ngời thày phải thờng xuyên học, học tập, nghiên cứu.
Trong quá trình giảng dạy, học sinh học tập, học sinh bồi dỡng, đọc tài liệu
tham khảo tôi đã rút ra một số kinh nghiệm nêu trên. hy vọng đề tài Một số ph-
ơng pháp giải phơng trình vô tỷ làm một kinh nghiệm của mình để giúp học sinhtiếp
thu vấn đề này, phần nào nâng cao năng lực t duy, sự sáng tạo và rèn kỹ năng giải các
phơng trình vô tỷ cho học sinh.
Trong quá trình nghiên cứu khôngh thể tránh khỏi sai sót, hạn chế rrất mong đ-
ợc sự giúp đỡ, góp ý của đồng nghiệp.
Sáng kiến kinh nghiệm GV: Đinh Quang Thạch