SKKN phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh THPT thông qua các bài tập trắc nghiệm cực trị số phức được xây dựng từ bài toán cực trị hình học phẳng

MỤC LỤC
1. PHẦN MỞ ĐẦU....................................................................................................2
1.1 Lý do chọn đề tài.................................................................................................2
1.2. Mục đích nghiên cứu..........................................................................................2
1.3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu.....................................................................3
1.4. Phương pháp nghiên cứu...................................................................................3
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM........................................................3
2.1 Cơ sở lý luận........................................................................................................3
2.1.1. Tư duy sáng tạo................................................................................................3
2.1.2. Bài tập trắc nghiệm cực trị số phức thường gặp trong đề thi TNTHPT...............3
2.1.3. Các dạng bài tốn cực trị hình học phẳng khai thác trong đề tài...................3
2.1.4. Giải pháp giải quyết vấn đề..............................................................................4
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm........................4
2.2.1. Thực trạng nói chung......................................................................................4
2.2.2. Nguyên nhân....................................................................................................5
2.3. Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn
đề................................................................................................................................ 5
2.3.1. Khai thác bài toán cực trị đường thẳng xây dựng bài tập cực trị số phức........6
2.3.2. Khai thác bài toán cực trị đường tròn xây dựng bài tập cực trị số phức.............8
2.3.3. Khai thác các bài toán cực trị dạng đoạn thẳng xây dựng bài tập trắc nghiệm
cực trị số phức..........................................................................................................11
2.3.4. Khai thác bài toán dạng elip xây dựng bài tập trắc nghiệm cực trị số phức.....13
2.3.5. Tổng quát phương pháp giải bài tập trắc nghiệm cực trị số phức bằng
phương pháp hình học.............................................................................................14
2.4. Hiệu quả của Sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, bản thân,
đồng nghiệp và nhà trường.....................................................................................14
2.4.1. Mục đích thực nghiệm sư phạm....................................................................14
2.4.2. Nội dung thực nghiệm sư phạm.....................................................................14
2.4.3. Kết quả thực nghiệm sư phạm.......................................................................14
2.4.4. Đánh giá kết quả thực nghiệm.......................................................................15
3. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ.............................................................................15

3.1. Quá trình nghiên cứu và ứng dụng đề tài.......................................................15
3.2. Ý nghĩa của đề tài.............................................................................................15
3.3. Kết luận.............................................................................................................16
3.4. Kiến nghị và đề xuất.........................................................................................16

1


1. PHẦN MỞ ĐẦU
1.1 Lý do chọn đề tài
Xã hội ngày nay đang phát triển với tốc độ chóng mặt về khoa học, kĩ
thuật, đời sống,… lượng thông tin bùng nổ địi hỏi con người phải có tính năng
động và khả năng thích nghi cao. Như vậy, rèn luyện tư duy sáng tạo cho học
sinh là nhiệm vụ quan trọng, cấp thiết. Điều này thể hiện rõ ở Nghị quyết số 29NQ/TW ngày 04/11/2013, Hội nghị Ban chấp hành Trung ương khóa XI về đổi
mới căn bản, tồn diện giáo dục và đào tạo.
Ở trường phổ thơng, dạy học tốn là dạy hoạt động tốn học, ngồi việc
cung cấp kiến thức, kĩ năng thì phải làm sao phát triển được năng lực, tư duy
sáng tạo của học sinh phù hợp với chương trình giáo dục.
Nội dung số phức đưa vào chương trình phổ thơng đã góp phần hồn thiện
về tập hợp số, đồng thời cũng một lần nữa thể hiện được mối quan hệ giữa các
nội dung đại số, hình học và lượng giác khá gần gũi nhau. Một số bài tốn đại số
về số phức khi chuyển về hình học được minh họa một cách trực quan, sinh
động với những phương pháp giải tối ưu, hay ngược lại từ những bài tốn quen
thuộc của hình học có thể sáng tạo những bài tốn số phức độc đáo. Chính vì
thế, số phức góp phần hình thành và phát triển tư duy, năng lực và tính sáng tạo
của học sinh do đó nó thường xuyên xuất hiện trong các đề thi, đặc biệt kì thi
TNTHPT với hình thức thi trắc nghiệm mơn tốn thì nội dung này xuất hiện đa
dạng và phong phú hơn ở cả bốn mức độ. Song nhiều học sinh đang lúng lúng
trong quá trình làm bài, xác định phương pháp giải hay nhận dạng bài toán đặc
biệt là các bài toán cực trị số phức. Thực tế cho thấy, nếu giáo viên hình thành

bài tập bắt nguồn từ kiến thức đã biết sẽ kích thích hứng thú, phát triển tư duy
cho học sinh hạn chế sai sót hay khó khăn trong q trình làm bài.
Để dạy tốt nội dung số phức, tôi đã trăn trở trong việc dạy cái gì? dạy như
thế nào? để học sinh hứng thú tiếp thu bài giảng một cách tốt nhất, đây cũng là
vấn đề mà được nhiều giáo viên đặc biệt quan tâm.
Chính từ những yêu cầu và nhận thức trên, tôi chọn đề tài: “Phát triển tư
duy sáng tạo cho học sinh THPT thông qua các bài tập trắc nghiệm cực trị số
phức được xây dựng từ bài toán cực trị hình học phẳng”.
1.2. Mục đích nghiên cứu
- Giúp học sinh có cách nhìn bao qt về bài tập trắc nghiệm cực trị số
phức;
- Chỉ ra mối quan hệ giữa hình học phẳng và số phức từ đó xây dựng hệ
thống bài tập trắc nghiệm cực trị số phức từ các bài tốn hình học phẳng;
- Nâng cao năng lực giải bài tập trắc nghiệm số phức nói riêng và bài tập
trắc nghiệm nói chung;
- Bồi dưỡng cho học sinh về tư duy sáng tạo trong giải toán nhằm nâng cao
khả năng làm bài, ôn thi tốt nghiệp THPT.

2


1.3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
1.3.1. Đối tượng nghiên cứu: Các bài tập trắc nghiệm cực trị số phức được
xây dựng từ các bài tập cực trị hình học phẳng.
1.3.2. Phạm vi nghiên cứu: Nội dung số phức giảng dạy cho đối tượng học
sinh lớp 12 tiếp cận kì thi tốt nghiệp THPT ở trường THPT Đào Duy Từ TP
Thanh Hóa.
1.4. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu sách giáo khoa, sách tham
khảo, đề minh họa, đề thi THPT QG, đề thi TNTHPT năm 2017, 2018, 2019,

2020, 2021 và các vấn đề có liên quan đến đề tài.
- Phương pháp điều tra, quan sát: Dự giờ, quan sát, lập phiếu điều tra thực
trạng, kiểm tra trắc nghiệm việc giải bài tập trắc nghiệm cực trị số phức.
- Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Tổ chức thực nghiệm sư phạm đánh
giá tính khả thi và hiệu quả của đề tài.
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1 Cơ sở lý luận
2.1.1. Tư duy sáng tạo
Theo nhà tâm lí học người Đức Mehlhow cho rằng:“Tư duy sáng tạo là hạt
nhân của sự sáng tạo cá nhân, đồng thời là mục tiêu cơ bản của giáo dục”.
Theo giáo sư Nguyễn Bá Kim,“ Tính sáng tạo của tư duy thể hiện rõ nét ở khả
năng tạo ra cái mới, phát hiện vấn đề mới, tìm ra hướng đi mới, tạo ra kết quả
mới. Nhấn mạnh cái mới không có nghĩa là coi nhẹ cái cũ”.
Trong tác phẩm “ Sáng tạo Toán học”, G. Polya cho rằng: “Một tư duy gọi
là có hiệu quả nếu tư duy đó dẫn đến lời giải của một bài toán cụ thể nào đó.
Có thể coi là sáng tạo nếu tư duy đó tạo ra những tư liệu, phương tiện giải các
bài toán sau này”.
Như vậy tư duy sáng tạo là một dạng tư duy độc lập, tạo ra ý tưởng mới
độc đáo và có hiệu quả giải quyết vấn đề cao.
2.1.2. Bài tập trắc nghiệm cực trị số phức thường gặp trong đề thi TNTHPT
Bài tập số phức trong đề thi TNTHPT đa dạng, phong phú ở cả bốn mức độ,
trong đề tài khai thác bài tập hình học phẳng để xây dựng một số bài tập cực trị số
phức sau:
- Tính giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của môđun số phức;
- Tìm số phức để mơđun số phức đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất;
- Các bài toán liên quan đến tìm phần thực, phần ảo để số phức thỏa mãn
điều kiện môđun đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.
2.1.3. Các dạng bài tốn cực trị hình học phẳng khai thác trong đề tài
- Cho điểm A, B và đường thẳng d . Tìm điểm M thuộc đường thẳng d . sao
MA  MB

cho MA đạt giá trị nhỏ nhất, MA  MB đạt giá trị nhỏ nhất;
đạt giá
trị lớn nhất;
- Cho điểm A và đường trịn. Tìm điểm M thuộc đường tròn sao cho MA
đạt giá trị nhỏ nhất, lớn nhất;
3


- Tính khoảng cách nhỏ nhất, lớn nhất giữa hai điểm thuộc hai đường tròn;
giữa điểm thuộc đường tròn và điểm thuộc đường thẳng;
- Cho điểm A và đoạn thẳng. Tìm điểm M thuộc đoạn thẳng sao cho MA
đạt giá trị nhỏ nhất, lớn nhất;
- Cho điểm A và đường elip. Tìm điểm M thuộc đường elip sao cho MA
đạt giá trị nhỏ nhất, lớn nhất;
2.1.4. Giải pháp giải quyết vấn đề
a) Biểu diễn hình học của số phức
uuu
r
- Nếu điểm A biểu diễn số phức z thì OA cũng biểu diễn số phức z ;
r
r
a z
- a biểu diễn số phức z thì
;
- Nếu hai điểm A , B lần lượt biểu diễn số phức z1 , số phức z2 thì
AB  z2  z1
.
b) Tính chất của mơđun số phức
z .z  z1 . z2 ;
- 1 2

z
z1
 1 , ( z2 �0)
z
z2
- 2
;
2
z  z.z
;
z  z �z1  z2
- 1 2
. Dấu “=” xảy ra khi hai vectơ biểu diễn số phức z1 , z2 cùng
hướng.
c) Tập điểm biểu diễn số phức
z  a  bi  z  c  di
tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng;
z  a  bi  m,(m  0)
tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm
I ( a; b) ;
- z  a  bi  z  c  di  k , A(a; b), B(c; d ) và AB  k thì tập hợp điểm
biểu diễn số phức z là đường Elip có tiêu điểm A, B và độ dài trục lớn bằng k ;
- z  a  bi  z  c  di  k , A(a; b), B(c; d ) và AB  k thì tập điểm biểu
diễn số phức z là đoạn thẳng AB .
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
2.2.1. Thực trạng nói chung
Cách dạy học truyền thống theo kiểu “thầy đọc, trò chép”, “truyền thụ một
chiều” đang dần được thay thế bằng các phương pháp tích cực hơn nhằm phát
huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo của học sinh. Các giáo viên đã quan tâm
hơn trong việc bồi dưỡng các kĩ năng, tư duy cho học sinh song song với việc

hình thành tri thức. Tuy nhiên, vấn đề dạy học nhằm bồi dưỡng và phát triển tư
duy sáng tạo cho học sinh vẫn chưa được chú trọng đúng mức, nhất là việc dạy

4


học chủ đề “Số phức”. Giáo viên dạy cho học sinh cịn thiên về kĩ năng giải
tốn, áp dụng cơng thức, các phương pháp giải, các dạng tốn có sẵn. Chính vì
thế mà tư duy sáng tạo của học sinh bị kìm hãm, khơng được phát triển tốt.
2.2.2. Ngun nhân
Có nhiều nguyên nhân dẫn đến thực trạng trên. Một số nguyên nhân chính
là:
- Áp lực thi cử cao, bệnh thành tích, học ơn theo đúng chương trình kiểm
tra;
- Giáo viên chưa có nhiều kiến thức trong việc phát triển tư duy sáng tạo,
hoặc không đầu tư nhiều trong việc phát triển tư duy sáng tạo;
- Hầu hết giáo viên không đầu tư thời gian để xây dựng hệ thống bài tập
nhằm tác động đến yếu tố cụ thể của tư duy sáng tạo;
Như vậy, từ thực tế yêu cầu phải tìm ra các biện pháp thích hợp trong khi
giảng dạy toán để phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh đáp ứng yêu cầu ngày
càng cao về nhân lực xã hội.
2.3. Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc các giải pháp đã sử dụng để giải quyết
vấn đề.
- Sử dụng phương pháp xây dựng các bài toán cực trị số phức từ những
kiến thức có trước sẽ giúp học sinh tiếp cận dạng toán dễ dàng hơn, hiểu rõ bản
chất và giải quyết bài tốn nhanh, chính xác. Khơng những ở các tập số phức mà
còn các dạng bài tập khác sẽ giúp học sinh tư duy tốt. Học sinh khơng chỉ làm
bài mà cịn sáng tạo ra các dạng tốn độc đáo hơn.
- Học sinh khơng cịn ngần ngại với cụm từ “cực trị" và có cách nhìn thân
thiện với các dạng tốn số phức, góp phần tạo hứng thú khi học toán và làm bài

trắc nghiệm toán, học sinh chủ động hơn khi làm bài tập, tạo ra bài tập mới.
- Sáng tạo bài toán mới là bước quan trọng trong q trình giải tốn, một
phương thức rèn luyện tư duy sáng tạo toán học, một trong những mục tiêu chính
của học tập sáng tạo. Để xây dựng bài tốn mới, có thể hướng dẫn học sinh theo
các con đường sau:
- Sử dụng các thao tác tư duy như: Tương tự hóa, đặc biệt hóa hay tổng
quát,… để đi đến bài toán tương tự, bài toán đảo, đặc biệt hóa hay tổng quát hóa.
- Nghiên cứu sâu bản chất của bài tốn, đốn được cơ sở hình thành bài
toán để xây dựng bài toán cùng dạng.
- Xét sự vận động giả thiết dẫn đến sự vận động tương ứng của kết luận, từ
đó xây dựng bài tốn mới.
Sau đây, tơi xin trình bày q trình xây dựng, giải bài tập cực trị số phức
từ việc khai thác các bài tập cực trị hình học phẳng:
2.3.1. Khai thác bài toán cực trị đường thẳng xây dựng bài tập cực trị số
phức
Bài toán 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng d : ax  by  c  0 ,
điểm A( x A ; y A ) không thuộc đường thẳng d . Điểm M ( x; y ) thuộc đường thẳng
d.

5


a) Tính độ dài MA sao cho MA đạt giá trị nhỏ nhất.
b) Tìm điểm M ( x; y) để độ dài MA nhỏ nhất.
Hướng giải bài toán gốc:
a) Gọi M 0 là hình chiếu của điểm A lên
đường thẳng d . Khi đó MA �M 0 A .
Giá trị nhỏ
M 0 A  d ( A; d ) .

nhất

của

MA

bằng

b) Viết phương trình đường thẳng M 0 A qua
A và vng góc với đường thẳng d .
Khi đó M 0 là giao của đường thẳng d và
M0A .

Xây dựng bài tốn cực trị số phức
Phân tích: z bằng khoảng cách từ gốc tọa độ O(0;0) đến điểm biểu diễn
số phức z , z  z0 là khoảng cách từ điểm A biểu diễn số phức z0 đến điểm biểu
diễn số phức z .
Hướng xây dựng 1: Cho tập hợp số phức z biểu diễn là đường thẳng. Tìm
z nhỏ nhất, tìm z  z0 nhỏ nhất.

Ví dụ 1: Cho số phức z thỏa mãn z  1  2i  z  i . Giá trị nhỏ nhất của

z bằng:
1
A. 2

B. 2
C. 3
D. 2
Giải: Gọi điểm M ( x; y ) biểu diễn số phức z  x  yi , x, y ��. Khi đó

z  OM
Từ giả thiết z  1  2i  z  i � x  y  2  0 .
Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng d : x  y  2  0

z min  d (O; d )  2

. Chọn đáp án B.
Ví dụ 2: Cho số phức z thỏa mãn z  1  2i  z  i . Giá trị nhỏ nhất của
z  3  2i .
3
A. 2

B. 3 2
C. 3
D. 2 3
Giải: Gọi điểm M ( x; y ) biểu diễn số phức z  x  yi , x, y ��, điểm
A(3;2) biểu diễn số phức z0  3  2i . Khi đó z  3  2i  MA

6


Từ giả thiết z  1  2i  z  i � x  y  2  0 .
Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng  : x  y  2  0
z  3  2i min  d ( A, )
. Chọn đáp án A.
Hướng xây dựng 2: Xuất phát từ câu hỏi b của bài toán 1
Cho tập hợp số phức z biểu diễn là đường thẳng. Tìm số phức z để z nhỏ
nhất, z  z0 nhỏ nhất.
Ví dụ 3: Cho tập hợp số phức z thỏa mãn z  1  2i  z  i . Tìm số phức
z có mơđun nhỏ nhất.

A. z  1  2i
B. z  1  3i
C. z  x  yi
D. z  x  yi
Giải: Gọi điểm M ( x; y ) biểu diễn số phức z  x  yi , x, y ��. Khi đó

z  OM

Từ giả thiết z  1  2i  z  i � x  y  2  0 . (1)
z
Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là  : x  y  2  0 . min khi OM   .
Phương trình đường thẳng qua O vng góc với  là d : x  y  0 .(2)
�x  1
�
y 1
Giải hệ phương trình (1),(2) ta được: �
. Vậy số phức z  1  i
Ví dụ 4:
z  i 1  z  i
Gọi z là số phức có mơđun nhỏ nhất thỏa mãn
. Tổng phần
z
thực và phần ảo của số phức bằng
3
1
3
1
A. 10
B. 5
C. 10

D. 5
Giải: Gọi điểm M ( x; y ) biểu diễn số phức z  x  yi , x, y ��. Khi đó

z  OM

Từ giả thiết

z  i  1  z  i � 2x  4 y  1  0
.(1)

z
Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z là  : 2 x  4 y  1  0 , min khi
OM  
Phương trình đường thẳng qua O vng góc với  là d :2 x  y  0 .(2)
1
1
3
x
y .
x y
10 ,
5 Vậy
10 . Chọn đáp án A.
Giải hệ PT (1),(2) ta được:
Bài toán 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng  : ax  by  c  0 ,

điểm A( x A ; y A ), B ( xB ; y B ) không thuộc đường thẳng  . Điểm M ( x; y ) thuộc
đường thẳng  .

7

a) Tính độ dài MA  MB sao cho MA  MB đạt giá trị nhỏ nhất.
b) Tìm điểm M ( x; y) để độ dài MA  MB nhỏ nhất.
Hướng giải bài toán gốc:
Trường hợp 1: Điểm A, B nằm về hai phía
đường thẳng  . Khi đó MA  MB �AB
Giá trị nhỏ nhất của MA  MB bằng AB khi
M là giao điểm của đường thẳng AB và đường
thẳng  .
Trường hợp 2: Điểm A, B nằm về một phía
đường thẳng  . Gọi A ' là điểm đối xứng của A
qua 
Khi đó MA  MB  MA ' MB �A ' B
Giá trị nhỏ nhất của MA  MB bằng A ' B khi
M là giao của đường thẳng A ' B và đường thẳng
.
Xây dựng bài tốn cực trị số phức
Ví dụ 5: Cho số phức z thỏa mãn z  2i  z  i . Tìm phần thực của số
phức z biết z  1  2i  z  4i đạt giá trị nhỏ nhất.
5
A. 6

1
2
3
B. 6
C. 3
D. 4
Giải: Gọi điểm M ( x; y ) biểu diễn số phức z  x  yi , x, y ��.

Từ giả thiết z  2i  z  i , ta có M thuộc đường thẳng  :2 y  1  0 , điểm

A(1;2), B(0; 4) ở vị trí khác phía so với đường thẳng  . Đường thẳng
AB : 6 x  y  4  0 . Tọa dộ giao điểm của đường thẳng AB và  là nghiệm của
� 3
x
�
2y 1  0
�
� 4
��
�
6
x

y

4

0
3
�
�y  1
� 2 . Vậy phần thực của z là 4 . Chọn đáp án D.
hệ
Ví dụ 6: Cho số phức z thỏa mãn z  1  i  z  2  3i . Tìm giá trị nhỏ
nhất của biểu thức P  z  2  i  z  3  2i .
13 61
5 493
10 251

A. 17
B. 17
C. 17
Chọn đáp án B.

D.

71
3

8


2.3.2. Khai thác bài tốn cực trị đường trịn xây dựng bài tập cực trị số
phức
Bài toán 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A( x A ; y A ) và đường tròn
(C ) : x 2  y 2  2ax  2by  c  0 . Điểm M ( x; y ) thuộc đường trịn (C ) .
a) Tính độ dài MA sao cho MA đạt giá trị nhỏ nhất, ( MA đạt giá trị lớn
nhất).
b) Tìm điểm M ( x; y) để độ dài MA nhỏ nhất, ( MA đạt giá trị lớn nhất).
Hướng giải bài tốn gốc: Đường trịn (C ) có tâm I (a; b) , bán kính R .
a) Gọi M 0 , N 0 là giao điểm của đường
thẳng AI với đường trịn (hình vẽ). Khi đó,
MA �M 0 A  IA  R , MA �N 0 A  IA  R
.
Giá trị nhỏ
M 0 A  IA  R

nhất

của

MA

bằng

Giá trị lớn nhất của MA bằng
N 0 A  IA  R
b) Viết phương trình đường AI qua A và
I
Khi đó M 0 , N 0 là giao của AI và (C ) .
Xây dựng bài toán cực trị số phức
Hướng xây dựng 1: Cho tập hợp số phức z biểu diễn là đường trịn. Tìm
mơđun z nhỏ nhất (lớn nhất), tìm mơđun z  z0 nhỏ nhất (lớn nhất).
Ví dụ 7: Cho số phức z thỏa mãn z  2  3i  1 . Giá trị lớn nhất của
z 1 i

.

B. 13  1
C. 13  2
D. 6
Giải: Gọi điểm M ( x; y ) biểu diễn số phức z  x  yi , x, y ��, điểm
A(1;1) biểu diễn số phức z0  1  i . Khi đó z  1  i  z  1  i  MA .
Từ giả thiết z  2  3i  1 thì M ( x; y) thuộc đường trịn có tâm I (2;3) , bán
A. 4

z 1 i
 IA  R  13  1
max

kính R  1 . Khi đó
. Chọn đáp án B.
Hướng xây dựng 2: Tìm các yếu tố liên quan đến số phức
Ví dụ 8: Cho số phức z thỏa mãn z  4  3i  2 . Giả sử biểu thức P  z
đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất tại z1  a1  b1i , a1 , b1 �� và
z2  a2  b2i, a2 , b2 ��. Tính S  a1  a2

9


B. 6
C. 8
D. 10
Giải: Gọi điểm M ( x; y ) biểu diễn số phức z  x  yi , x, y ��. Khi đó
z  OM .
A. 4

Từ giả thiết z  4  3i  2 thì M ( x; y ) thuộc đường trịn có tâm I (4; 3) ,
2
2
x

4

y

3
 4 , (1).





bán kính R  2 , có phương trình
Phương trình đường thẳng OI là d :3 x  4 y  0 , (2).
28
21
12
9
x
y
x
y
5 ,
5 hoặc
5 ,
5
Giải hệ (1),(2) ta được:
Vậy a1  a2  8 . Chọn đáp án C.

Bài toán 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho phương trình đường trịn I 2 (a2 ; b2 )
2
2
2
2
(C1 ) : x  a1    y  b1   R12
(
C
)
:
x


a

y

b
 R22 .




2
2
2
và
Điểm

M 1 ( x; y ) � C1  , M 2 ( x; y) � C2  . Tính độ dài nhỏ nhất, lớn nhất của M 1M 2 .

Hướng giải bài tốn gốc: Đường trịn (C1 ) có tâm I1 (a1 ; b1 ) , bán kính R1 .
Đường trịn (C2 ) có tâm , bán kính R1 .
a) Gọi M 1 , M 2 lần lượt là các điểm
thuộc đường tròn (C1 ) , (C2 ) .

A, B, C , D là các giao điểm của
đường thẳng I1I 2 với hai đường trịn
(hình
vẽ).
Khi
đó

I1I 2  R1  R2  CD �M 1M 2 , và
M 1M 2 �AB  I1I 2  R1  R2

Xây dựng bài toán cực trị số phức
Hướng xây dựng: Cho tập hợp số phức z1 , z2 có tập điểm biểu diễn là
đường trịn. Tìm z1  z2 nhỏ nhất, z1  z2 lớn nhất.
Ví dụ 9: (Đề thi thử Sở giáo dục Kiên Giang) Cho hai số phức z1 , z2 thỏa
z  1  2i  1
mãn z1  2  3i  2 và 2
. Giá trị lớn nhất của P  z1  z2 .
A. P  3  34 B. P  3  10
C. P  6
D. P  3
Giải: Gọi điểm M ( x; y ) biểu diễn số phức z  x  yi , x, y ��.

10


Tập hợp điểm biểu diễn số phức z1 là
đường tròn tâm I1 (2;3) , bán kính R1  2 , biểu
diễn số phức z2 là đường tròn tâm I 2 (1; 2) , bán
R1  1 .
I1I 2  34 .
kính
AB  R1  R2  I1I 2  3  34
Khi đó z1  z2  M 1M 2 �AB .

Chọn đáp án A.
Ví dụ 10: Gọi T là tập hợp số phức thỏa mãn z  i �2 và z  i �4 . Gọi
z1 , z2 thuộc T lần lượt là các số phức có mơ đun nhỏ nhất và mơ đun lớn nhất

trong T. Khi đó z1  z2 bằng ?.

A. 5
B. 4  i
C. 5  i
D. 5  i
Chọn đáp án C
Bài toán 5: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho phương trình đường tròn
2
2
(C ) :  x  a    y  b   R 2 và phương trình đường thẳng d : Ax  By  C  0 .
Điểm M 1 � C1  , M 2 �d . Tính độ dài nhỏ nhất, lớn nhất của M 1M 2 .
Hướng giải bài tốn gốc: Đường trịn (C1 )
có tâm I (a; b) , bán kính R . Gọi H là hình chiếu
của I lên đường thẳng d . Điểm A, B là các giao
điểm của đường thẳng IH với đường trịn (hình
vẽ). Khi đó
IH  R  BH �M 1M 2 �AH  IH  R
Xây dựng bài toán cực trị số phức
Hướng xây dựng: Cho tập hợp số phức z1 , z 2 có tập điểm biểu diễn lần
lượt là đường tròn và đường thẳng. Tìm z1  z2 nhỏ nhất, z1  z2 lớn nhất.
'
Ví dụ 11: Cho hai số phức z , z thỏa mãn. z  5  5 và
z ' 1  3i  z ' 3  6i . Giá trị nhỏ nhất nhất của P  z  z ' .
A.

P

5
2

B.

P

5
4

C. P  10

D. P  3 10

11


Giải: Gọi điểm M , M ' biểu diễn số
phức z , z ' . H là hình chiếu của I lên đường
thẳng 
Từ giả thiết thì tập hợp điểm biểu diễn số
phức z , z ' là đường tròn có tâm I (5;0) , bán
kính R  5 và đường thẳng  :8 x  6 y  35  0
.
P  z  z '  MM ' �AH  d ( I ,  )  R
5
Pmin  AH 
2 . Chọn đáp án A.
Vậy
2.3.3. Khai thác các bài toán cực trị dạng đoạn thẳng xây dựng bài tập
trắc nghiệm cực trị số phức
Bài toán 6: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A( x A ; y A ) , B( xB ; yB ) và

điểm I ( xI ; yI ) không thuộc đường thẳng  . Điểm M ( x; y) thuộc đoạn thẳng
AB .
a) Tính độ dài MI sao cho MI đạt giá trị nhỏ nhất, (lớn nhất).
b) Tìm điểm M ( x; y) để độ dài MI nhỏ nhất, (lớn nhất).
Hướng giải bài tốn gốc:
Gọi H là hình chiếu của điểm I lên đường
thẳng AB .
a) Trường hợp 1: Khi H thuộc đoạn thẳng
AB
MI �IH , IH �max  MA, MB .
Trường hợp 2: Khi H nằm ngoài đoạn AB
MI �min  MA, MB , MI �max  MA, MB .

b) Trường hợp 1: Khi H thuộc đoạn thẳng AB
Tìm điểm H là giao của đường thẳng AB và đường thẳng qua I vng góc
với đường thẳng AB . Khi đó MI �IH , IH �max  MA, MB .

Trường hợp 2: Khi H nằm ngoài đoạn AB
MI �min  MA, MB , MI �max  MA, MB . Điểm M cần tìm là điểm A hoặc
điểm B .
Xây dựng bài toán cực trị số phức
Hướng xây dựng: Cho tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đoạn thẳng.
Tìm z nhỏ nhất, tìm z  z0 nhỏ nhất.

12


Ví dụ 12: (Đề minh họa) Cho số phức z thỏa mãn
z  2  i  z  4  7i  6 2 . Gọi m, M là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của
z  1  i . Tính giá trị P  m  M .

A. 13  73

5
2  73
C. 2

B. 5 2  73
Giải: Gọi điểm M ( x; y ) biểu diễn số
phức z  x  yi , x, y ��, điểm A(2;1) ,

5 2  73
2
D.

B (4;7) , I (1; 1)

lần lượt biểu diễn
z1  2  i , z2  4  7i , z3  1  i . Khi đó
z  1  i  MI
Từ
giả
thiết
z  2  i  z  4  7i  6 2 thì
MA  MB  AB  6 2 . Vậy tập hợp điểm
biểu diễn số phức z là đoạn thẳng AB .
Phương trình đường thẳng AB là d : x  y  3  0 .

Điểm H là hình chiếu của I lên đường thẳng d thì điểm H thuộc đoạn
5
IH  d ( I , d ) 

2 . Chọn đáp án C.
AB (hình vẽ) . IA  13, IB  73 ,

z  1  i  z  3  2i  5
Ví dụ 13: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện
.
M

m
Gọi m, M lần lượt là giá trị nhỏ nhất của mơđun z . Tính giá trị
.
5  5 13
5
A. 5  5 13
B. 2  13
C. 2  2 13
D.
Đáp án: B
Nhận xét: Sai lầm thường gặp của học sinh trong trường hợp này là môđun
nhỏ nhất của số phức z bằng IH  d ( I , AB ) nhưng do H không thuộc đoạn AB
nên không tồn tại điểm M .
z  2  i  z  2  3i  2 5 .
Ví dụ 14: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện
Tích giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của môđun w  z  1  2i .
4 5
A. 2
B. 2 5
C. 4 2
D. 5

13


2.3.4. Khai thác bài toán dạng elip xây dựng bài tập trắc nghiệm cực trị số
phức
Bài toán 7: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tập hợp điểm M ( x0 ; y0 ) thuộc

x2 y 2
 2 1
2
b
đường elip có phương trình a
, điểm O(0;0) là gốc tọa độ.
a) Tính độ dài MO sao cho MO đạt giá trị nhỏ nhất, lớn nhất.
b) Tìm điểm M ( x; y) để độ dài MO đạt giá trị nhỏ nhất, lớn nhất.
Hướng giải bài toán gốc:
M ( x0 ; y0 ) thuộc đường elip thì
MF1  MF2  2a , AB  2a là độ dài trục lớn
F1 F2  2c là khoảng cách 2 tiêu cự, CD  2b

2
2
2
là độ dài trục bé ( b  a  c ). Khi đó
b �MO �a
MO đạt giá trị nhỏ nhất khi M �C
hoặc M �D . MO đạt giá trị lớn nhất khi
M �A hoặc M �B .
Xây dựng bài toán cực trị số phức
Phân tích: z bằng khoảng cách từ gốc tọa độ O đến điểm biểu diễn số

phức z , z  z0 là khoảng cách từ điểm A biểu diễn số phức z0 đến điểm biểu
diễn số phức z .
Hướng xây dựng: Cho tập hợp số phức z biểu diễn là đường elip. Tìm z

nhỏ nhất, lớn nhất.

Ví dụ 15: Cho số phức z thỏa mãn z  1  z  1  4 . Tính tổng giá trị nhỏ
nhất và giá trị lớn nhất của z .
B. 3  2
C. 2  3
D. 3 2
Giải: Gọi điểm M ( x; y ) biểu diễn số phức z  x  yi , x, y ��, điểm
F1 (1;0) , F2 (1;0) biểu diễn số phức z1  1, z2  1. Từ giả thiết z  1  z  1  4
A. 2 3

ta có MF1  MF2  4 �F1F2  2 . Vậy quỹ tích điểm M ( x; y ) là đường elip có độ
3 �z �2
dài trục lớn 2a  4 , đọ dài trục bé 2b  2 3 . Khi đó
. Chọn đáp án C
Ví dụ 16: Cho số phức z thỏa mãn z  3  z  3  8 . Tính tổng giá trị nhỏ
nhất và giá trị lớn nhất của z .
A. 4  7
B. 4  7
Chọn đáp án B

C. 7

D. 4  5

14

Ví dụ 17: Cho số phức z thỏa mãn z  3  z  3  10 . Tìm giá trị lớn nhất
của z .
A. 4
B. 9
C. 25
D. 5
Chọn đáp án D
2.3.5. Tổng quát phương pháp giải bài tập trắc nghiệm cực trị số phức
bằng phương pháp hình học
- Bước 1: Từ giả thiết chỉ ra tập hợp điểm biểu diễn số phức là đường
thẳng, đoạn thẳng, đường tròn, elip, …
- Bước 2: Chuyển yêu cầu bài toán trắc nghiệm số phức về u cầu của bài
tốn hình học, áp dụng phương pháp giải đối với bài tốn hình học.
- Bước 3: Kết luận với bài toán số phức.
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, bản
thân, đồng nghiệp và nhà trường.
2.4.1. Mục đích thực nghiệm sư phạm
Kiểm nghiệm tính khả thi và hiệu quả của đề tài đã triển khai.
2.4.2. Nội dung thực nghiệm sư phạm
- Triển khai đề tài:“ Phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh THPT thông
qua các bài tập trắc nghiệm cực trị số phức được xây dựng từ bài tốn cực trị
hình học phẳng”.
- Đối tượng áp dụng: Học sinh lớp 12.
- Thời gian thực hiện: 2 buổi (giáo án minh họa thể hiện ở phụ lục 3)
- Nội dung thực hiện: Giảng dạy các bài toán cực trị số phức, kiểm tra
đánh giá.
2.4.3. Kết quả thực nghiệm sư phạm
Tôi đã triển khai đề tài này trong q trình ơn tập cho học sinh dự thi

TNTHPT. Các em học sinh đã tiếp cận và giải quyết tốt các bài tập. Kết quả cụ
thể:
Điểm kiểm tra của học sinh trước và sau triển khai đề tài của lớp 12A6
Lớp điều tra
Dưới Từ 1 đến Từ 5 đến dưới
Sỷ số
Từ 8 đến 10
12A6
1
5
8
Trước triển khai
53
0
20
28
5
Sau triển khai
53
0
7
32
14
2.4.4. Đánh giá kết quả thực nghiệm
Kết quả thực nghiệm cho thấy việc xây dựng các phương thức sư phạm đã
có tác dụng tích cực hố hoạt động học tập của học sinh, giúp học sinh định
hướng lời giải nhanh và chính xác hơn, tỷ lệ học sinh không làm được bài giảm
rõ rệt, năng lực làm bài được nâng cao. Kết quả cụ thể:
+ 26,5% học sinh làm tốt trên 80% số bài.
+ 60 % học sinh làm được Từ 50% đến 80%

+ 13,5 % học sinh làm dưới 50% số bài.

15


Đối với đồng nghiệp trong trường tôi cũng đã triển khai ở các buổi sinh
hoạt chuyên môn và được các đồng chí đánh giá cao về hiệu quả trong quá trình
giảng dạy, ra đề thi trắc nghiệm và hướng dẫn học sinh làm bài thi trắc nghiệm
mơn Tốn.
3. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
3.1. Quá trình nghiên cứu và ứng dụng đề tài
Đề tài được nghiên cứu trong những năm bản thân trực tiếp dạy nội dung
số phức ở giải tích lớp 12 và ơn thi TNTHPT.
Q trình nghiên cứu được thực hiện theo trình tự từ nghiên cứu cơ sở lí
luận, thực tiễn, các phương pháp dạy học và thực nghiệm sư phạm trên đối
tượng học sinh lớp 12 nhằm kiểm nghiệm tính khả thi của đề tài.
Tơi đã vận dụng đề tài vào việc luyện thi TNTHPT các năm học 2018 –
2019, 2019 - 2020 và 2020 - 2021 thu được một số kết quả như sau:
+ Tạo được hứng thú cho học sinh khi học nội dung số phức;
+ Năng lực tư duy, tính sáng tạo và khả năng làm bài trắc nghiệm tốt hơn;
+ Học sinh hiểu rõ hơn mối quan hệ giữa hình học và số phức, hiểu bản
chất của phương pháp giải;
+ Kết quả học tập và làm bài của học sinh cao hơn.
Ngoài ra tôi mong muốn đồng nghiệp cũng như bạn đọc yêu tốn tiếp tục
khai thác để đề tài mà tơi đã nghiên cứu được phát triển sâu rộng hơn nữa, góp
phần vào việc nâng cao chất lượng dạy học trong môn Toán học THPT.
3.2. Ý nghĩa của đề tài
- Đối với bản thân: Cung cấp phương pháp, kinh nghiệm để dạy học tốt
nội dung số phức, kĩ năng tạo ra những câu hỏi trắc nghiệm hiệu quả đối với học
sinh.

- Đối với giáo viên và bộ môn:
+ Đề tài không chỉ đổi mới phương pháp dạy học cũng như đánh giá kết
quả học tập của HS, nâng cao kiến thức chuyên mơn, phương pháp dạy học mà
cịn là tài liệu hữu ích trong q trình học tập, ơn thi TNTHPT.
+ Đề tài được tác giả báo cáo ở tổ chuyên môn, hội đồng khoa học nhà
trường và được các đồng nghiệp đánh giá cao. Tổ chuyên môn đã dùng đề tài
làm tài liệu lưu hành nội bộ ôn thi TNTHPT của tổ, giáo viên trong tổ đã sử
dụng để ôn thi TNTHPT và bước đầu khẳng định có hiệu quả.
- Đối với học sinh: Giúp HS nắm vững nội dung, phương pháp giải bài tập
trắc nghiệm số phức, vận dụng thành thục trong q trình làm bài tập trắc
nghiệm. Góp phần rèn luyện cho HS một số kỹ năng cơ bản như kỹ năng nhận
biết, kỹ năng phân tích, kĩ năng phán đốn, tư duy sáng tạo,..
3.3. Kết luận
Đề tài trình bày phương pháp giải bài tập số phức bằng phương pháp hình
học cũng như khai thác bài tập hình học để xây dựng bài tập trắc nghiệm cực trị
số phức cho học sinh THPT. Với việc triển khai đề tài trong các buổi ôn thi
16


TNTHPT chúng tôi nhận thấy kết quả thu được rất khả quan, thể hiện qua việc
phần lớn học sinh sau khi được tiếp thu chuyên đề hầu hết các em hứng thú hơn
khi tiếp cận các bài tập trắc nghiệm số phức, đã làm tốt các câu hỏi trong các đề
thi thử TNTHPT.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng, song vì thời gian, năng lực cịn hạn chế, nên
đề tài khơng tránh khỏi những thiếu sót. Rất mong nhận được những ý kiến đóng
góp của q thầy cơ và bạn đọc để đề tài có ý nghĩa thiết thực hơn.
3.4. Kiến nghị và đề xuất
- Đối với cán bộ quản lí
+ Tăng cường triển khai các hội thảo, chuyên đề về nâng cao chất lượng
giảng dạy tập trung các giải pháp nâng cao chất lượng dạy học, ôn thi TNTHPT;

+ Nghiên cứu tính khả thi của đề tài để áp dụng cho nhiều bộ môn.
- Đối với tổ chuyên môn
+ Bám sát các văn bản hướng dẫn của Sở và các ý kiến chỉ đạo của lãnh
đạo nhà trường về các biện pháp nâng cao chất lượng giảng dạy, triển khai đầy
đủ cho tổ viên thông qua các buổi sinh hoạt tổ chuyên môn;
+ Triển khai chuyên đề dạy học với các phương pháp đã được nêu trong đề
tài;
+ Chủ động trong việc đề xuất các biện pháp giảng dạy tích cực, phổ biến
các cách dạy hay, có hiệu quả cho tổ viên.

17


XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 20 tháng 5 năm 2021.
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình
viết, khơng sao chép nội dung của người
khác.
(Ký và ghi rõ họ tên)

Nguyễn Việt Dũng


TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1]. Bộ Giáo dục và Đào tạo (2007), Những vấn đề chung về
đổi mới giáo dục trung học phổ thơng mơn Tốn, NXB Giáo dục,
Hà Nội.
[2]. Trần Văn Hạo (2009), Giải tích 12 , NXB Giáo dục.
[3]. Lê Hồnh Phị (2018), Phân dạng và phương pháp giải

tốn trắc nghiệm Số phức, NXB Đại học quốc gia Hà Nội.
[4]. G.Pơlia (1997), Sáng tạo tốn học, NXB Giáo dục.
[5]. Đoàn Quỳnh, Văn Như Cương, Phạm Vũ Khuê, Bùi Văn
Nghị (2008), Giải tích nâng cao 12 nâng cao, NXB Giáo dục, Hà
Nội.
[6]. Đoàn Quỳnh, Văn Như Cương, Phạm vũ Khuê, Bùi Văn
Nghị (2008), Giải tích 12 (sách giáo viên), NXB Giáo dục, Hà Nội.
[7]. Trần Minh Tiến (2017), Chinh phục các dạng bài tập
trắc nghiệm Hàm số - Số phức, NXB Thanh Hóa.
[8]. Đề thi THPTQG, TNTHPT năm 2017, 2018, 2019, 2020 của Bộ Giáo
Dục và Đào Tạo.
[9]. Đề minh họa THPTQG, TNTHPT năm 2017, 2018, 2019, 2020 của
Bộ Giáo Dục và Đào Tạo.
[10]. Tài liệu từ một số website.

PHỤ LỤC


Phụ lục 1: ĐỀ 01 KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG LỚP 12A6
Họ và tên:……………………………… Lớp ………Thời gian: 15 phút
Câu 1: Biểu diễn hình học của số phức z  1  2i là:
A. M (1; 2)
B. M (1;2)
C. M (2;1)
D. M (2; 1)
Câu 2: Điểm M trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn của số
phức z. Tìm phần thực và phần ảo của số phức z.
A. Phần thực là 4 và phần ảo là 3.
B. Phần thực là 3 và phần ảo là 4i .
C. Phần thực là 3 và phần ảo là 4 .

D. Phần thực là 4 và phần ảo là 3i.
Câu 3: Tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thỏa
z  z  3  4i
mãn điều kiện
là đường thẳng có phương trình:
A. 6 x  8 y  25  0
B. 3 x  4 y  25  0
C. 6 x  8 y  25  0
D. 3 x  4 y  25  0
Câu 4: Cho số phức z thỏa mãn z  1  i  2 . Chọn phát biểu đúng:
A. Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là một đường thẳng.

B. Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là một đường Parabol.
C. Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là một đường trịn có
bán kính 2 .
D. Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là một đường tròn có
bán kính 4 4 .
Câu 5: Cho số phức thỏa mãn z  4i  2  2i  z , giá trị nhỏ nhất của z bằng?
A. 2 2

B. 2

C. 1

D. 3 2

Câu 6: Cho số phức z thỏa mãn: z  3  4i  4 . Tìm giá trị nhỏ nhất của z .
A. 1 B. 2
C. 3
D. 4

Câu 7: Trong mặt phẳng phức Oxy , cho số phức z thỏa mãn z  2i  1  z  i .
A 1,3
Tìm số phức z được biểu diễn bởi điểm M sao cho MA ngắn nhất với   .
A. 3  i .
B.1  3i .
C. 2  3i .
D. 2  3i


Câu 8: Cho số phức z thỏa mãn z  3  z  3  8 . Tính tổng giá trị nhỏ nhất và
giá trị lớn nhất của z .
A. 4  7
D. 4  5

B. 4  7

C. 7

Phụ lục 2: ĐỀ 02 KHẢO SÁT SAU DẠY THỰC NGHIỆM LỚP 12A6
Họ và tên:……………………………… Lớp ………Thời gian: 15 phút
Câu 1: Cho số phức z  1  2i . Điểm nào dưới đây là điểm biểu diễn của số
phức w  z  i z trên mặt phẳng tọa độ?
A. M (3;3).
P(3 ; 3). D. Q(3;2).

B. N (2;3).

C.

Câu 2: Trong mặt phẳng Oxy , cho các điểm A, B

như hình vẽ bên. Trung điểm của đoạn thẳng AB
biểu diễn số phức
1
 i
A. 1  2i
B. 2
1
2 i
2
C. 2  i
D.
Câu 3: Tập hợp các điểm trong mặt phẳng tọa độ biểu diễn các số phức z thỏa
z  i  1  z  2i  1
mãn điều kiện
là đường thẳng có phương trình:
A. 4 x  y  1  0
B.

x  4y 1  0
C. 4 x  2 y  3  0
D.
2x  4 y  3  0
Câu 4: Cho số phức z thỏa mãn z  i  (1  i ) z . Tập hợp điểm biểu diễn số
phức z là đường trịn có tâm I . Tọa độ tâm I là:
A. I ( 1;0)
B. I (1;0)
C. I (0;1)
D. I (0; 1)

Câu 5: Cho số phức thỏa mãn z  1  z  i . Tìm mơ đun nhỏ nhất của số phức
w  2z  2  i .
3
3 2
A. 2 2
B. 3 2
C. 2
3
D. 2
Câu 6: Cho số phức z thỏa mãn z  1  2i  2 . z0 là số phức có mơđun nhỏ
nhất.

z  5 1
A. 0
D. z0  5  4

B.

z0  5  2

C.

z0  5

z  2  i  z  2  3i  2 5 . Tích giá
Câu 7: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện
trị lớn nhất và nhỏ nhất của môđun z  1  2i .
4 5
A. 2 .
B. 2 5 .

C. 4 2 .
D. 5
Câu 8: Cho số phức z thỏa mãn z  3  z  3  10 . Tìm giá trị lớn nhất của z .
A. 4

B. 9

C. 25

D. 4  5

Phụ lục 3: Giáo án thực nghiệm - PPCT: Tự chọn
BÀI TẬP CỰC TRỊ SỐ PHỨC
( Tiết 1)
I. Mục tiêu
1. Kiến thức
- Nắm vững các dạng toán trắc nghiệm cực trị số phức thường
gặp;
- Chỉ rõ mối quan hệ giữa hình học phẳng và số phức;
- Phương pháp giải bài tập trắc nghiệm cực trị số phức.
2. Kĩ năng
- Có cách nhìn tổng qt về các dạng bài tập trắc nghiệm cực
trị số phức;
- Giải thành thạo các dạng toán về trắc nghiệm cực trị số phức;
- Thấy rõ mối quan hệ giữa hình học phẳng và số phức.
3. Tư duy và thái độ


- Rèn luyện tư duy lơgíc, tư duy sáng tạo trong giải và phát
triển bài tốn;

- Cẩn thận, chính xác trong tính tốn;
- Thái độ học tập nghiêm túc, u thích mơn tốn.
II. Chuẩn bị phương tiện dạy học
1. Giáo viên: Giáo án, sách giáo khoa, các bài tập và đồ dùng
dạy học.
2. Học sinh: Các cơng thức, tính chất về số phức và hình học
tọa độ 0xy.
III. Phương pháp dạy học
- Gợi mở vấn đáp;
- Phân bậc hoạt động và tuỳ thuộc vào đối tượng học sinh
trong lớp, trong các lớp sao cho phù hợp với phương pháp.
IV. Tiến trình bài học và các hoạt động
Ổn định lớp, kiểm tra sỹ số
Hoạt động 1: Bài cũ
Hoạt động của giáo viên
Hoạt động của trị
H1: Nêu các tính chất của số phức
+ Hs trả lời
H2: Nêu tập hợp các điểm trong mặt
+ Hs trao đổi thực hiện theo yêu
phẳng phức biểu diễn các số phức z thỏa cầu của Gv
z  z  3  4i
mãn điều kiện
Hoạt động 2: Luyện tập giải bài tập trắc nghiệm cực trị số
phức
DẠNG 1: Tập hợp điểm biểu diễn số phức là đường thẳng
Hoạt động của thầy và trò
Nội dung kiến thức
GV: Yêu cầu học sinh giải quyết bài toán Bài toán 1: Trong mặt phẳng tọa
sau:

độ Oxy, cho d : ax  by  c  0 ,
Bài toán 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy,
điểm A( x A ; y A ) không thuộc
d
:
ax

by

c

0
cho đường thẳng
, điểm
M ( x; y )
d
A( x A ; y A ) không thuộc đường thẳng d . đường thẳng . Điểm
thuộc đường thẳng d .Tính độ dài
M
(
x
;
y
)
Điểm
thuộc đường thẳng d . MA sao cho MA đạt giá trị nhỏ
Tính độ dài MA sao cho MA đạt giá trị nhất.
nhỏ nhất.
HS: MA đạt giá trị nhỏ nhất bằng
d ( A; d )

Ví dụ 1. Cho số phức z thỏa mãn
z  1  2i  z  i . Giá trị nhỏ nhất
GV: Nêu Ví dụ 1
HS: Theo dõi ví dụ và suy nghĩ hướng
của z bằng:
giải
1
GV: Tập hợp điểm biễu diễn số
phức là?
A. 2
B. 2 C. 3
HS: Tập hợp điểm biễu diễn số phức là


đường thẳng
GV: Áp dụng bài toán 1 để giải quyết
HS: Giải quyết bài toán

D. 2
Giải : Gọi điểm M ( x; y) biểu diễn
số phức z  x  yi , x, y ��. Khi
đó z  OM . Từ giả thiết
z  1  2i  z  i � x  y  2  0 .

GV: Vậy những bài tập dạng nào có
phương pháp giải tương tự
HS: Những bài tập có tập hợp điểm biểu
diễn là số phức
GV: Hãy sáng tạo các bài tập tương tự và
trình bày lời giải

HS: Thực hiện nhiệm vụ
GV: Giới thiệu một số ví dụ
GV: Tổng quát phương pháp giải
HS: Trả lời
Bước 1: Chỉ ra tập hợp điểm biểu diễn số
phức
Bước 2: Áp dụng kiến thức hình học để
giải
Bước 3: Kết luận với bài toán số phức

Vậy tập hợp điểm biểu diễn số
z
phức
là đường thẳng
d :x  y  2  0

z min  d (O; d )  2

. Chọn đáp án

B.
Ví dụ 2: Cho số phức thỏa mãn
z  4i  2  2i  z , giá trị nhỏ
nhất của z bằng?
A. 2 2
B. 2 C. 1 D. 3 2
Ví dụ 3: Cho số phức thỏa mãn
z  1  z  i . Tìm mơ đun nhỏ

nhất của số phức w  2 z  2  i .

3
A. 2 2
B. 3 2

3 2
3
C. 2
D. 2
DẠNG 2: Tập hợp điểm biểu diễn số phức là đường tròn
GV: Mời học sinh suy nghĩ và giải quyết
Bài toán 2: Trong mặt phẳng tọa
bài toán 2
độ Oxy, cho điểm A( x A ; y A ) và
HS: MA đạt giá trị nhỏ nhất bằng đường
tròn
IA  R với I là tâm đường tròn
2
2
(C ) : x  y  2ax  2by  c  0 .
GV: Nêu Ví dụ 4
Điểm M ( x; y ) thuộc đường tròn
HS: Theo dõi ví dụ và suy nghĩ hướng giải (C ) Tính độ dài MA sao cho MA
GV: Tập hợp điểm biễu diễn số đạt giá trị lớn nhất
phức là?
Ví dụ 4. Cho số phức z thỏa mãn
HS: Tập hợp điểm biễu diễn số phức là
z  2  3i  1 . Giá trị lớn nhất của
đường tròn
GV: Áp dụng bài toán 2 để giải quyết
z 1 i

.
HS: Giải quyết bài toán


B. 13  1
C. 13  2
D. 6
Giải: Gọi điểm M ( x; y) biểu diễn
số phức z  x  yi , x, y ��, điểm
A. 4

A(1;1) biểu

GV: Vậy những bài tốn dạng nào có
phương pháp giải tương tự
HS: Những bài tốn có tập hợp điểm biểu
diễn số phức là đường tròn
GV: Hãy sáng tạo các bài tập tương tự và
trình bày lời giải
HS: Thực hiện nhiệm vụ
GV: Giới thiệu một số ví dụ
HS: Theo dõi và thực hiện
GV: Tổng quát phương pháp giải
HS: Trả lời
Bước 1: Chỉ ra tập hợp điểm biểu diễn số
phức là đương tròn
Bước 2: Áp dụng kiến thức hình học để
giải
Bước 3: Kết luận với bài toán số phức

z0  1  i .

diễn

số

phức

Khi
z  1  i  z  1  i  MA

đó

.
z  2  3i  1 thì

Từ giả thiết
M ( x; y ) thuộc đường trịn có tâm
I (2;3) , bán kính R  1 . Khi đó
z 1 i

max

 IA  R  13  1

.

Chọn đáp án B.
Ví dụ 5: Cho số phức z thỏa
mãn: z  3  4i  4 . Tìm giá trị

nhỏ nhất của z .
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
Ví dụ 6: Cho số phức z thỏa mãn
z  1  2i  2 . z0 là số phức có
mơđun nhỏ nhất.
z  5  1 B. z0  5  2
A. 0
z  5
z  54
C. 0
D. 0

Hoạt động 3: Củng cố và dặn dò tiết học
Hoạt động của giáo viên và học sinh
Nội dung
GV: Hãy tổng quát lại các dạng toán
Nắm phương pháp giải các dạng
HS: Trả lời
bài tập tắc nghiệm cực trị số phức
GV: Hệ thống lại phương pháp giải tốn
- Có tập điểm biểu diễn là đường
và cách nhận dạng các bài tập
thẳng
HS: Theo dõi
- Có tập điểm biểu diễn là đường
GV: Xem lại các dạng bài tập
tròn