SKKN rèn luyện tư duy giải toán phương trình vô tỷ cho học sinh bằng phương pháp đặt ẩn phụ

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT NGUYỄN THỊ LỢI

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

ĐỀ TÀI

RÈN LUYỆN TƯ DUY GIẢI TỐN PHƯƠNG TRÌNH
VƠ TỶCHO HỌC SINH BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN
PHỤ

Người thực hiện: Nguyễn Thị Bắc
Chức vụ: Giáo viên
Đơn vị công tác: Trường THPT Nguyễn Thị Lợi
SKKN thuộc lĩnh vực (mơn): Tốn

THANH HỐ NĂM 2021
MỤC LỤC

Trang


PHẦN I : MỞ ĐẦU
1.1.Lý do chọn đề tài

1

1.2.Mục đích nghiên cứu.

2

1.3.Đối tượng nghiên cứu.

2

1.4.Phương pháp nghiên cứu.

3

1.5.Những điểm mới của SKKN.
PHẦN II : NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh
nghiệm .
2.3. Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc các giải pháp đã sử

3
3
14
15

dụng để giải quyết vấn đề.
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động

16

giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường.
PHẦN III : KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
3.1.Kết luận.

18

3.2. Kiến nghị.

19

1.MỞ ĐẦU
1.1.Lý do chọn đề tài

2


Mục tiêu đào tạo của nhà trường phổ thông Việt Nam là hình thành những
cơ sở ban đầu và trọng yếu của con người mới: phát triển toàn diện phù hợp với
yêu cầu và điều kiện hoàn cảnh đất nước con người Việt Nam.
Mơn Tốn trong trường phổ thơng giữ một vai trị, vị trí hết sức quan
trọng là mơn học cơng cụ nếu học tốt mơn Tốn thì những tri thức trong Toán
cùng với phương pháp làm việc trong tốn sẽ trở thành cơng cụ để học tốt những
mơn học khác.
Mơn Tốn góp phần phát triển nhân cách, ngồi việc cung cấp cho học
sinh hệ thống kiến thức, kĩ năng tốn học cần thiết mơn Tốn cịn rèn luyện cho
học sinh đức tính, phẩm chất của người lao động mới: cẩn thận, chính xác, có
tính kỉ luật, tính phê phán, tính sáng tạo, bồi dưỡng óc thẩm mĩ.
Một trong các môn học cung cấp cho học sinh nhiều kỹ năng, đức tính,
phẩm chất của con người lao động mới là giải bài tốn giải phương trình vơ tỷ.
Vì vậy để giúp học sinh học tốt môn đại số 10 nói chung và phương trình vơ tỷ
nói riêng, tơi đã chọn đề tài :
“ Rèn luyện tư duy giải toán phương trình vơ tỷ cho học sinh bằng
phương pháp đặt ẩn phụ"
1.2.Mục đích nghiên cứu:

Rèn luyện kĩ năng đặt ẩn phụ để giải nhanh các bài tốn phương trình vơ
tỷ đồng thời rèn luyện cho các em thành thạo tư duy tìm, chọn đặt ẩn phụ trong
một số bài tốn luyện thi đại học như hàm số dưới dạng hàm hợp, phương trình
bất phương trình mũ logrit, ngun hàm tích phân đổi biến số.... Chuyển bài
toán phức tạp thành bài tốn đơn giản. Tìm ra phương pháp dạy học phù hợp với
học sinh, tạo hứng thú học tập cho học sinh, từ đó nâng cao chất lượng học tập
của học sinh trong các tiết học.
1.3.Đối tượng nghiên cứu:
Một số phương pháp đặt ẩn phụ trong bài tốn phương trình vơ tỷ giải
toán đại số lớp 10.
1.4.Phương pháp nghiên cứu:
3


Để thực hiện mục đích và nhiệm vụ của đề tài, trong q trình nghiên cứu
tơi đã sử dụng các nhóm phương pháp sau:
• Nghiên cứu các loại tài liệu sư phạm, quản lí có liên quan đến đề
tài.
Phương pháp quan sát (công việc dạy- học của giáo viên và HS).
• Phương pháp điều tra (nghiên cứu chương trình, hồ sơ chun mơn,
…).
• Phương pháp đàm thoại phỏng vấn (lấy ý kiến của giáo viên và HS
thông qua trao đổi trực tiếp).
• Phương pháp thực nghiệm.
1.5.Những điểm mới của SKKN
Giúp học sinh khơng thấy khó khăn khi giải phương trình vơ tỷ.
Học sinh phân tích, tư duy được phương pháp chọn ẩn phụ phù hợp cho
mỗi bài tốn, từ đó dễ dàng giải phương trình.
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm

Một số dạng phương trình cơ bản
*)Dạng căn bậc hai:


 f ( x ) ≥ 0


f ( x ) = g ( x ) ⇔  g ( x ) ≥ 0 .


 f ( x) = g ( x)



 g ( x ) ≥ 0
f ( x) = g ( x) ⇔ 
.
2
f
x
=
g
x
(
)
(
)




f ( x) +

g ( x) =

h( x)

 f ( x) ≥ 0

Điều kiện:  g ( x ) ≥ 0 .

h ( x ) ≥ 0

Với điều kiện trên, bình phương hai vế PT đã cho ta được
f ( x ) + 2 f ( x ) .g ( x ) + g ( x ) = h ( x ) .
Đến đây ta đưa về phương trình dạng 2.
*)Dạng căn bậc cao:

4


2n

 g ( x ) ≥ 0
f ( x) = g ( x) ⇔ 
,n∈¥*
2n
 f ( x ) = g ( x )

f ( x ) = g ( x ) ⇔ f ( x ) = g 2 n +1 ( x ) , n ∈ ¥ *

2 n +1

Để hình thành kiến thức cho học sinh tơi đã soạn ba tiết minh họa phương pháp
này nhằm đào sâu kiến thức cho học sinh
Tiết 1 : Luyện tập các dạng phương trình vơ tỷ cơ bản
1.Ví dụ
VD1: Giải phương trình:

x − 2x − 4 =
2

2− x

.

Phân tích
Áp dụng phương trình dạng:
 f ( x ) ≥ 0


.
f ( x ) = g ( x ) ⇔  g ( x ) ≥ 0


 f ( x) = g ( x)

Lời giải
x − 2x − 4 =
2

2−x ⇔

2 − x ≥ 0
2 − x ≥ 0
⇔ 2
⇔ x = −2 .
 2
x − 2x − 4 = 2 − x x − x − 6 = 0

VD 2: Giải phương trình: x 2 − 6 x + 6 = 2 x − 1 .
Phân tích
g ( x) ≥ 0


Áp dụng phương trình dạng: f ( x ) = g ( x ) ⇔ 

2
 f ( x ) = g ( x )

.

Lời giải
1

2 x − 1 ≥ 0
x ≥
x − 6x + 6 = 2x −1 ⇔  2
⇔
⇔ x =1.

2
2
 x − 6 x + 6 = 4 x − 4 x + 1 3 x 2 + 2 x − 5 = 0

VD 3: Giải phương trình: 15 − x + 3 − x = 6 .
2

Phân tích
Áp dụng phương trình dạng:
f ( x) +

g ( x) =

h ( x)

.

Lời giải

5



x ≤ 3
15 − x + 3 − x = 6 ⇔ 

18 − 2 x + 2 (15 − x)(3 − x ) = 36

 −9 ≤ x ≤ 3
 x ≤ 3

 −9 ≤ x ≤ 3
⇔
⇔
⇔ x = −1 .
2 ⇔ 
 (15 − x)(3 − x) = 9 + x
36 x + 36 = 0
(15 − x )(3 − x) = ( 9 + x )

2. Bài tập tự luyện
Câu 1: Giải phương trình:

3x − 4 x − 4 =
2

2x + 5

.

Phân tích
 f ( x ) ≥ 0


f ( x ) = g ( x ) ⇔  g ( x ) ≥ 0 .


 f ( x) = g ( x)

Áp dụng phương trình dạng:

Lời giải
3x − 4 x − 4 =
2

2 x + 5 ≥ 0

 x = −1
⇔
x = 3 .
2

3 x − 4 x − 4 = 2 x + 5

2x + 5 ⇔ 

Câu 2: Giải phương trình: 3x − 4 = x − 3
Phân tích
 g ( x ) ≥ 0
f ( x) = g ( x) ⇔ 
.
2
 f ( x ) = g ( x )

Áp dụng phương trình dạng:

Lời giải
3x − 4 = x − 3 ⇔

 x − 3 ≥ 0
x ≥ 3

9 + 29
⇔x=

2 ⇔  2
.
2
 x − 9 x + 13 = 0
3 x − 4 = ( x − 3)

Câu 3: Giải phương trình:

(x

2

− 3x

)

2 x − 3x − 2 = 0 .
2

Phân tích
Áp dụng phương trình dạng:
A = 0
A.B = 0 ⇔ 
B = 0
 g ( x ) ≥ 0
f ( x) = g ( x) ⇔ 
.

2
 f ( x ) = g ( x )

Lời giải

6


(x

2

− 3x

)


2 x 2 − 3 x − 2 ≥ 0
 2 x 2 − 3 x − 2 ≥ 0
x = 3




2
2 x − 3 x − 2 = 0 ⇔   x 2 − 3x = 0
⇔   x 2 − 3x = 0
⇔ x = 2 .
 2
 2


1
2 x − 3x − 2 = 0
  2 x − 3x − 2 = 0
x = −

2

Câu 4: Giải phương trình: x + 4 − 1 − x = 1 − 2 x
Phân tích
Áp dụng phương trình dạng:

f ( x) +

g ( x) =

h ( x)

Lời giải
x + 4 ≥ 0
1

Điều kiện: 1 − x ≥ 0 ⇔ −4 ≤ x ≤
2
1 − 2 x ≥ 0


Với điều kiện trên, PT đã cho tương đương với
x + 4 = 1 − x + 1 − 2 x ⇔ x + 4 = 1 − x + 2 1 − 3x + 2 x2 + 1 − 2 x

⇔ 1 − 3x + 2 x 2 = 2 x + 1
1


2 x + 1 ≥ 0
x ≥ −
⇔
⇔ x=0.
2
2 ⇔ 
2
1 − 3 x + 2 x = ( 2 x + 1)
2 x 2 + 7 x = 0



Kết hợp với điều kiện ban đầu, phương trình đã cho có nghiệm x = 0 .
3. Bài tập về nhà:
1. Giải các phương trình sau:
a. x 2 − 1 = x − 1
b. x + 9 = 5 − 2 x + 4
d. ( x + 3) 10 − x 2 = x 2 − x − 12

c. 3x + 4 − 2 x + 1 = x + 3

Tiết 2,3: Luyện tập giải phưưng trình vô tỷ bằng phương pháp đặt ẩn phụ
1. ĐẶT MỘT ẨN PHỤ
a. Đặt một ẩn phụ hoàn toàn
Dùng ẩn phụ chuyển phương trình chứa căn thức thành một phương
trình với một ẩn phụ

1.Ví dụ
VD 1: Giải phương trình: 2 ( x 2 − 2 x ) + x 2 − 2 x − 3 − 9 = 0 .
Lời giải
x ≥ 3
(1)
 x ≤ −1

2
Điều kiện x − 2 x − 3 ≥ 0 ⇔ 

Phương trình tương đương 2 ( x 2 − 2 x − 3) + x 2 − 2 x − 3 − 3 = 0
Đặt t = x 2 − 2 x − 3, t ≥ 0
7


t = 1
Khi đó phương trình trở thành: 2t + t − 3 = 0 ⇔  −3 ⇔ t = 1
t=

2
x = 1+ 5
2
2
Thay t = 1 ta có x − 2 x − 3 = 1 ⇔ x − 2 x − 4 = 0 ⇔ 
(thỏa mãn điều
 x = 1 − 5
2

kiện (1))
Vậy phương trình có hai nghiệm là x = 1 + 5; x = 1 − 5 .

VD 2: Giải phương trình: 3x 2 + 15 x + 2 x 2 + 5 x + 1 = 2 (1) .
Lời giải
2
Biến đổi phương trình ta có: 3 ( x + 5 x + 1) + 2 x 2 + 5 x + 1 = 0 (1)

−5 + 21
x ≥
2
2
Điều kiện: x + 5 x + 1 ≥ 0 ⇔ 

−5 − 21
x ≤

2
Đặt t = x 2 + 5 x + 1 ( t ≥ 0 ) .Phương trình trở thành:

t = 1 ( t / m )
3t + 2t − 5 = 0 ⇔ 
5
t = − ( l )

3
2

x = 0
 x = −5
Kết hợp với điều kiện ta có hai nghiệm của phương trình là: x = 0; x = −5 .

Với t=1 ta được

x + 5x + 1 = 1 ⇔ 
2

VD 3: Giải phương trình: ( x − 1) ( x + 3) + 2 ( x − 1)

x+3
=8
x −1

Lời giải
 x ≤ −3
x > 1

Điều kiện: 

Đặt t = ( x − 1)

x+3
⇒ t 2 = ( x − 1) ( x + 3) .
x −1

PT đã cho trở thành:
t = 2
t 2 + 2t − 8 = 0 ⇔ 
t = −4

Với t = 2 ta được ( x − 1)

 x = −1 + 2 2(TM )

x+3
= 2 ⇒ ( x − 1) ( x + 3) = 4 ⇔ 
x −1
 x = −1 − 2 2( L)

Với t = −4 ta được ta được

( x − 1)

 x = −1 + 2 5(L)
x+3
= −4 ⇒ ( x − 1) ( x + 3) = 16 ⇔ 
x −1
 x = −1 − 2 5(TM)

Vậy phương trình có các nghiệm là x = −1 + 2 2; x = −1 − 2 5 .
8


VD 4: Giải phương trình: x ( x + 5 ) = 2 3 x 2 + 5 x − 2 − 2
Lời giải
Đặt t = 3 x 2 + 5 x − 2 . Phương trình trở thành:
t 3 − 2t + 4 = 0 ⇔ ( t + 2 ) ( t 2 − 2t + 2 ) = 0 ⇔ t = −2

 x = −2
 x = −3

3 2
2
Ta được x + 5 x − 2 = −2 ⇔ x + 5 x + 6 = 0 ⇔ 

Vậy phương trình có tập nghiệm là

S = { −3; −2}

2.Bài tập tự luyện
Câu 1: Giải phương trình: x 2 + x + 12 x + 1 = 36 .
Lời giải

Điều kiện x ≥ −1
Đặt t = x + 1, ( t ≥ 0 ) ⇒ x = t 2 − 1 . Phương trình đã cho trở thành:

( t − 2 ) ( t 3 + 2t 2 + 3t + 18 ) = 0 ⇔ t = 2

Với t = 2 ta được x + 1 = 2 ⇔ x = 3
Vậy phương trình có một nghiệm x = 3
Câu 2: Giải phương trình: 2 x + 3 + x + 1 = 3 x + 2 2 x 2 + 5 x + 3 − 16 .
Lời giải
Điều kiện: x ≥ −1
Đặt t = 2 x + 3 + x + 1, ( t ≥ 0 )
t 2 = 3x + 4 + 2 2 x 2 + 5 x + 3
t = 5(t / m)
t = −4(l )

2
Phương trình đã cho trở thành: t − t − 20 = 0 ⇔ 

Với t = 5 ta có: 2 x + 3 + x + 1 = 5 ⇔ x = 3
Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 3
b. Đặt một ẩn phụ khơng hồn tồn

Dùng ẩn phụ chuyển phương trình chứa căn thức thành một phương
trình với một ẩn phụ nhưng các hệ số vẫn cịn chứa x
Phương pháp:
Ta lưu ý có những phương trình khi lựa chọn ẩn phụ cho một biểu thức
thì các biểu thức cịn lại khơng biểu diễn được triệt tiêu để qua ẩn phụ đó
hoặc nếu biểu diễn được thì cơng thức biểu diễn lại q phức tạp. Khi đó
ta chọn lựa một trong hai hướng sau:
-Hướng 1: Lựa chọn phương pháp khác
-Hướng 2: Thử để phương trình ở dạng “chứa ẩn phụ nhưng hệ số vẫn
chứa ẩn x ban đầu”. Trong hướng này ta thường được một phương trình

9


bậc hai theo ẩn phụ (hoặc vẫn theo ẩn x ban đầu) có biệt số ∆ là một số
chính phương( hoặc bình phương của biểu thức.
1. Ví dụ
VD 1: Giải phương trình: ( 4 x − 1) x3 + 1 = 2 x3 + 2 x + 1 .
Lời giải
x
≥
−
1
Điều kiện
Đặt t = x3 + 1, t ≥ 0 . ta có t 2 = x3 + 1
2
Khi đó phương trình có dạng: 2t − ( 4 x − 1) t + 2 x − 1 = 0
2
2
Ta có: ∆ = ( 4 x − 1) − 8 ( 2 x − 1) = ( 4 x − 3) . Do đó phương trình có nghiệm

t = 2 x − 1
4 x − 1 ± ( 4 x − 3)
t=
⇔ 1
t =
2
 2

1
x≥


  2 x − 1 ≥ 0
2
 
x = 2
 3
2
x
=
0


x
+
1
=
2
x
−

1
(
) ⇔ 
⇔
Khi đó có:  
x = − 3 3
  x = 2

1
3

x +1 =
4


3
4
x = −3
4


Kết hợp với điều kiện, phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt
x = 2; x = − 3

3
4

VD 2: Giải phương trình: 2 x 2 + x + 3 = 3 x x + 3
Lời giải
Điều kiện x ≥ −3

Đặt t = x + 3, ( t ≥ 0 ) . Phương trình đã cho trở thành:
t 2 − 3xt + 2 x 2 = 0 ⇔ ( t − x ) ( t − 2 x ) = 0


−1 + 13
 x+3 = x
t = x
x=
⇔
⇒
⇔
2

t = 2 x  x + 3 = 2 x
 x = 1

Kết hợp với điều kiện, phương trình có hai nghiệm x = 1; x =

−1 + 13
2

2. Bài tập tự luyện
Câu 1: Giải phương trình: 6 x 2 − 10 x + 5 = ( 4 x − 1) 6 x 2 − 6 x + 5 .
Lời giải
Đặt t = 6 x 2 − 6 x + 5, ( t ≥ 0 ) . Phương trình đã cho trở thành:

10


t = 1

t 2 − ( 4 x − 1) t − 4 x = 0 ⇔ 
t = 4 x
 6 x2 − 6x + 5 = 1
−3 + 59
⇒
⇔ x=
10
 6 x 2 − 6 x + 5 = 4 x

Vậy phương trình đã cho có nghiệm:
x=

−3 + 59
10

c. Đặt một ẩn phụ chuyển về hệ phương trình
1.Ví dụ
VD 1: Giải phương trình: x 2 = 2 − x + 2 .
Lời giải

Điều kiện x ≤ 2
Đặt t = 2 − x , ( t ≥ 0 ) . Ta có hệ phương trình:
2

t = − x
x = t + 2
⇔
2
t = − x + 2
t = x − 1


 x = 1 ⇒ t = −1( L)
Với t = − x ta được 
 x = −2 ⇒ t = 2(TM )

1+ 5
5 −1
⇒t =
(TM)
x =
2
2

Với t = x − 1 ta được

1− 5
− 5 −1
⇒t =
(L)
x =

2
2

Kết hợp với điều kiện, phương trình có 2 nghiệm x = −2; x =
VD 2:

(

)

1+ 5
2

Giải phương trình: x. 3 35 − x 3 x + 3 35 − x 3 = 30 .

Lời giải
Đặt t = 35 − x . Ta có hệ phương trình:
3

3

 x = 2

 xt ( x + t ) = 30
x + t = 5
t = 3
⇔
⇔
 3 3
 x = 3
 x.t = 6
 x + t = 35

 t = 2
Vậy phương trình có 2 nghiệm x = 2; x = 3

2. Bài tập tự luyện
Câu 1: Giải phương trình: x3 + 1 = 2 3 2 x − 1 .
Lời giải

3
3
Đặt t = 2 x − 1 ⇔ t = 2 x − 1 ⇔ 2 x = t 3 + 1
11


 x 3 + 1 = 2t
 x = t (TM )

⇔ 2 2
Ta có hệ phương trình  3
t + 1 = 2 x
 x + t + xt + 2 = 0(VN)



x = 1

−1 + 5

3
Với x = t có: x = 2 x − 1 ⇔  x =
2

 x = −1 − 5

2

Vậy phương trình có 3 nghiệm x = 1; x =

−1 + 5
−1 − 5
;x =
2
2

Câu 2: Giải phương trình: x3 + 2 = 3 3 3x − 2 .
Lời giải
3
3
Đặt y = 3x − 2 ⇔ y = 3x − 2 ⇔ 3x = y 3 + 2
 x3 + 2 = 3 y
 x = y (TM )

⇔ 2
Ta có hệ phương trình  3
2
 y + 2 = 3x
 x + y + xy + 3 = 0(VN)


x =1
 x = −2


3
2
Với x = y có: x = 3 3x − 2 ⇔ x − 3x + 2 = 0 ⇔ ( x − 1) ( x + x − 2 ) = 0 ⇔ 

KL: Vậy phương trình có hai nghiệm x = 1; x = −2

2. ĐẶT HAI ẨN PHỤ
a. Đặt hai ẩn phụ, chuyển về hệ phương trình
Bên cạnh phương pháp đặt một ẩn phụ , có rất nhiều bài toán cần dùng
nhiều ẩn phụ
và tùy theo đặc thù của bài toán đã cho, ta thu được các mối liên hệ giữa
các đại lượng
tương ứng. Chẳng hạn đối với phương trình m a − f ( x ) + m b + f ( x ) = c ta có
thể đặt
u = m a − f (x)
, khi đó suy ra u m + v m = a + b .

m
v = b + f ( x)
u m + v m = a + b
Ta thu được hệ phương trình: 
u + v = c

1.Ví dụ
VD 1: Giải phương trình: x 2 + 3 + 10 − x 2 = 5 .
Lời giải
Điều kiện − 10 ≤ x ≤ 10
Đặt u = x 2 + 3; v = 10 − x 2 , ( u, v ≥ 0 ) . Ta có hệ phương trình:

12


 u = 2

u + v = 5
u + v = 5

v = 3
⇔
⇔
 2 2
 u = 3
u + v = 13 u.v = 6

 v = 2

u = 2
⇒ x = ±1
v = 3
u = 3
⇒x=± 6
Với 
v = 2

Với 

Kết luận: Kết hợp với điều kiện, phương trình có tập nghiệm là

{

S = −1;1; − 6; 6

}

VD 2: Giải phương trình: 2 3 3x − 2 + 3 6 − 5 x − 8 = 0 .
Lời giải
Giải: Điều kiện x ≤

6
5

 2u + 3v = 8(1)

Đặt Đặt u = 3 3x − 2; v = 6 − 5 x ; ( v ≥ 0 ) . Ta có hệ phương trình 
8 − 2u
, thế vào (2) ta được
3
15u 3 + 4u 2 − 32u + 40 = 0

3
2
5u + 3v = 8(2)

Từ (1) có v =

⇔ ( u + 2 ) ( 15u 2 − 26u + 20 ) = 0

u = −2
⇔ 2
⇔ u = −2
15
u
−
26
u
+
20

=
0(
VN
)

Thay u = −2 có v = 4
 3 3x − 2 = −2
⇔ x = −2 (Thỏa mãn điều kiện)
Khi đó 
6
−
5
x
=
4

KL: vậy phương trình có nghiệm x = −2

2. Bài tập tự luyện
Câu 1: Giải phương trình: 3 24 + x + 12 − x = 6 .
Lời giải
Điều kiện x ≤ 12
Đặt Đặt

u=

3

24 + x ; v = 12 − x

( 1)
3
2

u + v = 36 ( 2 )

u + v = 6

( v ≥ 0 ) . Ta có hệ phương trình 

Từ (1) có v = 6 − u , thế vào (2) ta được

13


u 3 + u 2 − 12u = 0

u ( u 2 + u − 12 ) = 0
u = 0
⇔ u = 3
u = −4
-Thay u = 0 có v = 6
 3 24 + x = 0
⇔ x = −24 (Thỏa mãn điều kiện)
Khi đó 
 12 − x = 6

-Thay u = 3 có v = 3

 3 24 + x = 3

⇔ x = 3 (Thỏa mãn điều kiện)
Khi đó 
12
−
x
=
3

-Thay u = −4 có v = 10
 3 24 + x = −4
⇔ x = −88 (Thỏa mãn điều kiện)
Khi đó 
 12 − x = 10
Kết luận: Vậy phương trình có ba nghiệm x = −24; x = 3; x = −88

b. Đặt hai ẩn phụ chuyển về giải một phương trình hai ẩn
1.Ví dụ
VD 1: Giải phương trình: 2 x + 1 + x x 2 + 2 + ( x + 1) x 2 + 2 x + 3 = 0
Lời giải
2
2
Đặt a = x + 2; b = x + 2 x + 3; ( a, b > 0 )
⇒x=

b2 − a2 − 1
2

2

a + b)

(
1
1
+ =0⇔a=b⇒ x=−
Phương trình đã cho trở thành: ( b − a )  a + b +
2
2 
2

−1
Vậy phương trình có nghiệm x =
2

VD 2: Giải phương trình: 4 x 2 − 1 − 2 x + 1 = 1 + x − 2 x 2
Lời giải
Đặt 4 x 2 − 1 = a; 2 x + 1 = b, ( a, b ≥ 0 )
.Ta có:1 + x − 2 x 2 =

−1
1
4 x 2 − 1) + ( 2 x + 1)
(
2
2

Phương trình trở thành
1 2
b − a2 ) ⇔ ( b − a ) ( a + b + 2) = 0 ⇔ a = b
(
2

1 2
a − b = ( b − a2 ) ⇔ ( b − a ) ( a + b + 2) ⇔ a = b
2
a −b =

14


Thay vào ta được x = 1; x =

−1
2

Kết luận:Vậy phương trình có nghiệm x = 1; x =

−1
2

2. Bài tập tự luyện
Câu 1: Giải phương trình: x 2 + x 2 + 1 = x + x + 1 .
Lời giải
Đặt a = x 2 + 1, b = x + 1, ( a, b ≥ 0 ) ⇒ a 2 − b 2 = x 2 − x

2
2
Phương trình đã cho trở thành: a − b + a = b ⇔ ( a − b ) ( a + b + 1) = 0 ⇔ a = b

x = 0
x =1

2
Ta có: x + 1 = x + 1 ⇔ 

KL: Vậy phương trình có hai nghiệm x = 0; x = 1
3. Bài tập về nhà:
1. Giải các phương trình sau:
a. x 2 − 3x + 3 + x 2 − 3x + 6 = 3
b. 3x − 2 + x − 1 = 4 x − 9 + 2 3x 2 − 5 x + 2
c. x 2 − 1 = 2 x x 2 − 2 x
d. x 2 + 4 x = ( x + 2 ) x 2 − 2 x + 4
e. 3 9 − x = 2 − x − 1

f. x − x − 1 − ( x − 1) x + x 2 − x = 0

g. 3 x + 1 = −4 x 2 + 13 x − 5

h. x + 17 − x 2 + x 17 − x 2 = 9

2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm :
Trong quá trình dạy học mơn Tốn, nhất là chun đề phương trình vơ tỷ thì
q trình học tập của học sinh cịn khá nhiều em học tập chưa tốt. Đặc điểm cơ
bản của chun đề là mơn u cầu các em có trí tưởng tượng phong phú.Cách
trình bày chặt chẽ, suy luận logic của một bài phương trình làm cho học sinh
khó đạt điểm cao trong bài tập phương trình vơ tỷ.
Ở trường các em học sinh được học sách Đại số cơ bản, các bài tập tương
đối đơn giản so với sách nâng cao nhưng khi làm các bài tập trong đề thi khảo
sát chất lượng thì bài tập có u cầu cao hơn nên cũng gây một phần lúng túng
cho học sinh.Nhiều em khơng biết cách trình bày bài giải, sử dụng các kiến thức
phương trình vơ tỷ đã học chưa thuần thục, lộn xộn trong bài giải của mình. Có
một vài em khơng định hướng được cách biến đổi, cách giải phương trình vơ tỷ,

hoặc qn khơng đối chiếu điều kiện, không đáp ứng được yêu cầu của một bài

15


giải phương trình.Vậy thì nguyên nhân nào cản trở quá trình học tập của học
sinh?
Khi giải các bài tốn phương trình vơ tỷ các giáo viên và học sinh thường
gặp một số khó khăn với nguyên nhân như là :
+) Học sinh cần phải có tư duy lơgic tốt khi gặp một bài tốn phương
trình vơ tỷ.
+) Do đặc thù mơn phương trình vơ tỷ có tính trừu tượng cao nên việc tiếp
thu, sử dụng các kiến thức phương trình vơ tỷ là vấn đề khó đối với học sinh
+) Học sinh quen với phương trình đại số cơ bản nên khi học các khái
niệm của phương trình vơ tỷ, học sinh thấy lạ và lúng túng trong việc định
hướng cách làm .
+) Bên cạnh đó cịn có ngun nhân như các em chưa xác định đúng đắn
động cơ học tập, chưa có phương pháp học tập cho từng bộ môn, từng phân môn
hay từng chuyên đề mà giáo viên đã cung cấp cho học sinh. Cũng có thể do
chính các thầy cô chưa chú trọng rèn luyện cho học sinh, hay phương pháp
truyền đạt kiến thức chưa tốt làm giảm nhận thức của học sinh...v.v.
+) Trong các kỳ thi chọn học sinh giỏi, thi tuyển sinh đại học cao đẳng, tốt
nghiệp thpt có xuất hiện dạng bài phương trình vơ tỷ hoặc hệ phương trình vơ tỷ,
các bài tốn vận dụng đặt ẩn phụ để chuyển biểu thức về dạng đơn giản.
Từ một số nguyên nhân trên tôi mạnh dạn đưa ra một hướng giải quyết
nhằm nâng cao chất lượng dạy và học của thầy và trò trong chuyên đề phương
trình vơ tỷ.Tạo hứng thú cho học sinh trong q trình học phương trình vơ tỷ ở
trường phổ thơng bằng cách: Rèn luyện tư duy giải tốn phương trình vô tỷ
cho học sinh bằng phương pháp đặt ẩn phụ .
2.3. Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc các giải pháp đã sử dụng để giải quyết

vấn đề.
Để giải được bài tốn phương trình vơ tỷ tốt theo tơi nghĩ có một số giải
pháp tăng cường kỹ năng kiến thức cho học sinh đó là:

16


Hướng dẫn học sinh giải được và chắc kiến thức cơ bản về phương trình
vơ tỷ như điều kiện của phương trình nếu có, xác định dạng cơ bản nào và cách
giải tương ứng.
Tăng cường vấn đáp nhằm giúp học sinh hiểu rõ các khái niệm trong
phương trình vơ tỷ, mối quan hệ các biểu thức có trong phương trình để tìm ra
cách đặt ẩn phụ phù hợp chuyển phương trình về dạng đơn giản..v..v
Dạy học theo các chủ đề, mạch kiến thức mà đã được giáo viên phân chia
từ khối lượng kiến thức cơ bản của chương trình nhằm giúp học sinh hiểu sâu
các kiến thức mà mình đang có, vận dụng chúng một cách tốt nhất.
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với
bản thân, đồng nghiệp và nhà trường.
Để kiểm chứng kết quả kết quả học tập của học sinh lớp 10D tôi đã thu
thập các dữ liệu qua một số học sinh nhằm kiểm chứng chất lượng học tập của
học sinh. Sau đây là các kết quả nghiên cứu
STT

Họ và tên

Điểm kiểm tra

Điểm kiểm

trước tác động

tra sau tác

Ghi chú

động
1

Lê Hải Anh

7

8

2

Lê Hoài Anh

8,5

8,5

3

Nguyễn Đức Anh

9,5

9

4

Nguyễn Sỹ Tuấn Anh

8

9

5

Lê Ngọc Ánh

6

8

6

Lê Thị Dương

7

8

7

Ngô Hải Dương

9

8,5

8

Nguyễn Thế Dương

7

7

9

Lê Thành Đạt

7,5

8

10

Nguyễn Văn Đức

8

7

11

Vũ Phạm Ngọc Hiển

7,5

9

12

Trần Trí Hiệp

6,5

8,5

13

Nguyễn Văn Hiếu

5

9
17


14

Lường Văn Hồng

9

8

15

Nguyễn Việt Hồng

8

10

16

Vũ Đình Hồng

7

8

17

Nguyễn Thị Huệ

8

8

18

Vũ Khánh Huy

9

9

19

Đỗ Hữu Kiên

7,5

8

20

7

10

22

Vũ Thị Xuân Mai
Nguyễn Thị Xuân
Mỹ
Ngô Hữu Nam

8

9

23

Lường Thị Ngọc

7

9,5

24

Vũ Thị Yến Nhi

8

9

25

Lê Văn Phi

9,5

10

26

Trần Văn Phước

27

Lê Thị Mai Phương

28

Trần Thị Phương

29

Trần Như Quỳnh

30

Nguyễn Chơn Thành

21

6

5

8

9

9
8

5

7

8,5

8

8

9

Trước tác động
Mốt
Trung vị
Giá trị trung bình
Độ lệch chuẩn

8
7.5
7.318181818
1.286796082

Sau tác động
8
8
8.4
0.957427108

Qua kết quả các bài kiểm tra cho ta thấy trước tác động vẫn còn một số em
điểm thấp, sự chênh lệch khi có tác động là khá cao. Nó thể hiện trong kết quả
của độ lệch chuẩn 1,286. Ngoài ra, điểm trung bình của các em học sinh được
7,32 đạt kết quả khá. Sau khi tác động với phương pháp phù hợp kết quả của các
em có nâng lên ít điểm thấp sụ chênh lệch về điểm số khơng cịn nhiều. Ngồi
ra, điểm trung bình của các em có nâng lên. Kết quả học tập của học sinh được
nâng cao sau khi kết hợp một số kết quả của các bài toán phương trình vơ tỷ, học

18


sinh đã cảm thấy hứng thú hơn với chuyên đề phương trình vơ tỷ, khơng cảm
thấy bị áp lực, tạo được niềm tin và sự hứng thú trong học tập .
3. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
3.1.Kết luận:
Qua thời gian nghiên cứu sáng kiến và vận dụng sáng kiến vào giảng dạy tơi
rút ra được một số kết quả sau:
• Đã hình thành phương pháp tư duy ,suy luận tốn học cho học sinh
THPT
• Bước đầu khẳng định tính khả thi,tính hiệu quả qua việc kiểm nghiệm
thực nghiệm sư phạm.
Bên cạnh đó sáng kiến này cũng giúp cho giáo viên, học sinh những yêu cầu
nhằm thúc đẩy quá trình giảng dạy và học tập chun đề PHƯƠNG TRÌNH
VƠ TỶ được tốt hơn.
• Giáo viên:
Tạo ra tâm thế hứng thú, sẵn sàng lĩnh hội tri thức chuyên đề để thúc đẩy
tính tích cực tư duy của học sinh, khắc phục tâm thế ngại, sợ khi tiếp cận nội
dung chuyên đề . Nếu có nhiều hình thức tổ chức dạy học kết hợp môn học sẽ
trở lên hấp dẫn và người học thấy được ý nghĩa của môn học.
Về phương pháp dạy học, cần chú ý hơn đến phương pháp lĩnh hội tri của
HS, giúp các em có khả năng tiếp thu sáng tạo và vận dụng linh hoạt tri thức
trong tình huống đa dạng.
Rèn luyện cho học sinh thói quen, tính kỉ luật trong việc thực hiện các kĩ
năng giải tốn thơng qua việc luyện tập; nhằm khắc phục tính chủ quan, hình
thành tính độc lập, tính tự giác ở người học, thơng qua đó hình thành và phát
triển nhân cách của các em.
Phải thường xuyên học hỏi trau rồi chuyên môn để tìm ra phương pháp dạy
học phù hợp.

Phải nhiệt tình, gương mẫu quan tâm tới học sinh, giúp đỡ các em để các em
không cảm thấy áp lực trong học tập.
19


Ln tạo ra tình huống có vấn đề, kích thích hứng thú tìm tịi học tập ở học
sinh.
Cho học sinh thấy ứng dụng của lý thuyết vào thực hành.
Đặt ra câu hỏi gợi mở phù hợp với đối tượng học sinh.
• Học sinh:
Khả năng tiếp thu kiến thức mới tốt hơn khi biết phân tích một bài tốn
PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỶ.Các em có thể vận dụng các qui trình hay các
phương pháp giải các bài tốn phương trình vơ tỷ vào các bài tập cụ thể.Các
em đã biết huy động các kiến thức cơ bản, các tri thức liên quan để giải các
bài tập toán,biết lựa chọn hướng giải bài tập phù hợp.Trình bày lời giải hợp
lý chặt chẽ, ngắn gọn và rõ ràng hơn .
Có ý thức học tập, hiểu vấn đề một cách sâu sắc. Liên hệ với các kiến
thức đã được học. Biết chuyển ngôn ngữ thông thường sang ngơn ngữ Tốn.
3.2. Kiến nghị:
a) Khi giảng dạy về phương trình vơ tỷ giáo viên nên dành một số tiết nhắc
lại các kiến thức về phương trình, hệ phương trình cơ bản đã học ở THCS. Nên
có các chuyên đề tự chọn để giáo viên và học sinh có thể trao đổi thẳng thắn với
nhau về các vấn đề, từ đó có thể rút ra các phương pháp phù hợp với từng đối
tượng học sinh.
b) Trong lớp giáo viên nên phân nhóm học theo trình độ nhận thức của các
em.
Do kinh nghiệm còn thiếu, thời gian nghiên cứu và ứng dụng chưa dài nên
đề tài của tôi không tránh khỏi cịn nhiều hạn chế. Bên cạnh đó đề tài chỉ nghiên
cứu trong phạm vi lớp 10 nên các phần khác liên quan ở lớp 11,12 chưa bổ
xung cho nhau nhằm hoàn thiện hơn đề tài.

Rất mong được sự đóng góp của các đồng nghiệp để tơi có thể hồn thiện
hơn đề tài của mình.

20


XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Thanh Hoá, ngày 18 tháng 5 năm 2021
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của
mình viết, khơng sao chép nội dung của
người khác

Nguyễn Thị Bắc

21