SKKN phương pháp giảng dạy chủ đề dao động tắt dần vật lý lớp12 trong việc bồi dưỡng học sinh giỏi và ôn thi tốt nghiệp THPT quốc gia

MỞ ĐẦU
I. Lí do chọn đề tài
Qua thực tế giảng dạy bộ môn Vật lý trong ôn thi THPT Quốc Gia, ôn thi
học sinh giỏi, tác giả nhận thấy chủ đề “Dao động tắt dần” các thầy cô, các em học
sinh cịn gặp phải một số khó khăn nhất định. Đối với thầy cô, tài liệu viết về chủ
đề này cịn ít và viết chưa sâu; cịn với các em học sinh sau khi học xong lí thuyết
cũng chỉ áp dụng các công thức mà các thầy cô cung cấp để giải một số dạng bài
tập hết sức cơ bản và đơn giải. Khi gặp các dạng bài tập lạ và khó thì thường các
em khơng có hướng để giải quyết. Điều này là vì trong quá trình nghiên cứu thầy
cô chưa cung cấp cho các em hệ thống kiến thức cơ bản về các dạng bài tập này.
Mặt khác khi nghiên cứu sâu về dao động tắt dần sẽ giúp ích cho các em học
sinh hiểu sâu thêm về “Dao động điều hồ”. Vì dao động tắt dần trong mỗi nửa
chu kì được “xem như” là dao động điều hồ nhận tâm dao động tức thời làm vị trí
cân bằng, nên việc áp dụng để tính tốn các đại lượng Vật lý như quãng đường,
thời gian,…trong dao động tắt dần hồn tồn có thể sử dụng đường trịn lượng giác
như trong dao động điều hồ. Từ những lí do nêu trên mà tác giả lựa chọn đề tài
nghiên cứu: Phương pháp giảng dạy chủ đề “Dao động tắt dần” Vật lý lớp12
trong việc bồi dưỡng học sinh giỏi và ôn thi tốt nghiệp THPT Quốc Gia, với
mục tiêu là xây dựng được một hệ thống các bài tập tổng quát về dao động tắt dần
của con lắc lò xo và con lắc đơn thuộc chương trình Vật lý lớp 12 THPT; giải một
cách chi tiết, tường minh từng câu và kèm theo những nhận xét, bình luận để giúp
quý thầy cô và các em học sinh hiểu sâu thêm vấn đề.
II. Mục đích nghiên cứu
- Nâng cao chất lượng chất lượng giảng dạy chương trình bộ mơn Vật lý nói
chung, bài tốn “Dao động tắt dần” nói riêng.
- Xây dựng các bài tốn lí thuyết tổng qt về dao động tắt dần của con lắc
lò xo và con lắc đơn thuộc chương trình Vật lý lớp 12 THPT.
- Rèn luyện và cung cấp cho các em học sinh lớp 12 một số kĩ năng giải bài
tập Vật lý như: kĩ năng vận dụng phương pháp động lực học; phương pháp năng
lương; phương pháp vận dụng các kiến thức Toán học như kiến thức về tam thức
bậc hai, kiến thức về đạo hàm,… để giải các bài toán Vật lý.

- Cung cấp cho các thầy cô giảng dạy bộ môn Vật lý có thêm tài liệu hữu ích
trong việc ơn thi THPT Quốc Gia, cũng như trong việc bồi dưỡng học sinh giỏi Vật
lý THPT.
III. Đối tượng nghiên cứu
- Các bài toán về dao động tắt dần của con lắc lò xo: Dao động tắt dần của
con lắc lò xo nằm ngang; con lắc lò xo trên mặt phẳng nghiêng; con lắc lị xo thẳng
đứng.
- Bài tốn về dao động tắt dần của con lắc đơn.
IV. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lý thuyết: Nghiên cứu tài liệu từ
sách, báo, mạng internet về các bài tốn dao động tắt dần của con lắc lị xo và con
lắc đơn thuộc chương trình Vật lý lớp 12 THPT.
1


- Phương pháp thực nghiệm: trực tiếp giảng dạy ở các lớp thực nghiệm, tổ
chức cho các em thảo luận, trao đổi, để đưa ra các lời giải khác nhau trong việc xây
dựng các ý trong bài toán tổng quát, cũng như việc vận dụng vào giải các dạng bài
toán cụ thể thuộc chủ đề dao động tắ dần.
- Phương pháp nghiên cứu thực nghiệm sư phạm: tổ chức kiểm tra, đánh giá
kết quả ở các lớp thực nghiệm và các lớp đối chứng.

2


NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
I. Cơ sở lí thuyết
Trong chương trình Vật lý phổ thơng, ta chỉ xét trường hợp ma sát nhỏ,
nghĩa là dao động tắt dần của vật là dao động tắt dần chậm. Ta xét bài tốn dưới
hai góc độ là khảo sát gần đúng và khảo sát chi tiết.

Bài tốn khảo sát gần đúng thì ta xem như sau một thời gian dao động vật sẽ
dừng lại tại vị trí cân bằng (VTCB) ban đầu. Ví dụ con lắc lị xo nằm ngang thì
VTCB ban đầu là vị trí lị xo có chiều dài tự nhiên; Con lắc lị xo thẳng đứng thì
VTCB ban đầu là vị trí lực đàn hồi của lị xo cân bằng với trọng lực; Con lắc đơn
thì VTCB ban đầu là vị trí dây treo vật có phương thẳng đứng,…
Bài tốn khảo sát chi tiết thì sau một thời gian dao động vật sẽ khơng dừng
lại tại vị trí cân bằng ban đầu mà nó sẽ dừng lại tại bất kì vị trí nào thuộc miền
nghỉ. Miền nghỉ là khoảng cách giữa hai tâm dao động tức thời và tại vị trí mà vật
dừng lại trên miền nghỉ thì hợp lực tác dụng vào vật bằng không. Để hiểu rõ bản
chất của vấn đề ta khảo sát các bài toán dưới đây.
1.1. Khảo sát dao động tắt dần của con lắc lị xo
1.1.1. Khảo sát gần đúng
Bài tốn tổng qt: Một lị xo có độ cứng k, một đầu giữ cố định còn đầu
kia gắn vật nặng khối lượng m và trượt có ma sát trên mặt phẳng nằm ngang với hệ
số ma sát trượt là . Từ Vị trí lò xo chưa biến dạng, ta kéo vật ra để lò xo dãn một
đoạn rồi thả nhẹ để vật dao động tắt dần. Gia tốc trọng trường là g.
a) Tính độ giảm li độ cực đại của vật sau mỗi nữa chu kì và sau mỗi chu kì.
b) Tính số dao động mà vật thực hiện được kể từ khi bắt đầu dao động cho
đến khi dừng lại.
c) Tính thời gian dao động của vật.
d) Tính quãng đường mà vật đã đi được.
e) Tính tốc độ trung bình của vật trong suốt q trình dao động.
g) Tính tốc độ cực đại mà vật đạt được trong quá trình dao động.
h) Tính li độ cực đại của vật sau lần thứ n vật đi qua O.
i) Tính quãng đường vật đi được sau khi đạt li độ cực đại mà vật qua O lần
thứ n.
k) Xác định tốc độ của vật khi nó qua O lần thứ n.
Giải:
Chọn trục tọa độ Ox như hình vẽ. Gốc toạ độ O là vị trí lị xo chưa biến
dạng.

a) Tính độ giảm li độ cực đại của vật sau mỗi nữa chu kì và sau mỗi chu
kì
li độ cực đại ban đầu của vật và là độ lớn li độ cực đại của vật sau khi qua
O lần thứ 1, thứ 2, thứ 3,…thứ n.
m

k
A1

O

A2 A0

(+)
x
3


Xét trong nửa chu kì đầu tiên khi vật chuyển động từ A0 đến A1, ta có:

(1)
Xét trong nửa chu kì tiếp theo khi vật chuyển động từ A1 đến A2, tao có:
(2)
Lấy (1) cộng với (2) theo vế với vế ta có:
(3)
Lí luận hồn tồn tương tự cho các chu kì tiếp theo ta có kết quả như trên.
Qua biểu thức (1), (2) và (3) ta rút ra nhận xét:
Độ giảm li độ cực đại sau nửa chu kì là không thay đổi và được xác định:
(4)
Độ giảm li độ cực đại sau mỗi chu kì là khơng thay đổi và được xác định:

(5)
b) Tính số dao động mà vật thực hiện được kể từ khi bắt đầu dao động
cho đến khi dừng lại
Trong mỗi chu kì dao động thì li độ cực đại giảm một lượng khơng đổi là ;
trong N chu kì thì li độ cực đại giảm là (nghĩa là giảm hết). Như vậy ta có số chu
kì (số dao động) mà vật thực hiện được là:
(6)
c) Tính thời gian dao động của vật
Thời gian để vật thực hiện một chu kì dao động là . Như vật vật thực hiện
được N dao động thì thời gian sẽ là:
(6)
d) Tính quãng đường mà vật đã đi được
Giọ S là quãng đường vật đã đi được trong suốt q trình dao động. Ta có:
(7)
e) Tính tốc độ trung bình của vật trong suốt quá trình dao động
Tốc độ trung bình của vật trong suốt quá trình dao động được xác đinh:
(8)
trong đó, S được xác định bởi công thức (7) và được xác định bởi công thức
(6).
g) Tính tốc độ cực đại mà vật đạt được trong q trình dao động
Xét khi vật ở vị trí có li độ x bất kì, ta có:

(9)
Đặt:

(10)
4


Từ biểu thức (10), ta nhận thấy y là một hàm số bậc 2 của ẩn x. Như vậy, bài

toán trở thành tìm x để ymax và tính ymax. Tính được ymax thì từ phép đặt ta ính được
vmax. Để tìm ymax ta có 2 cách là như sau:
Cách 1: Từ (10) ta suy ra:
(11)
từ biểu thức (11) vào phép đặt, ta có:

Thay ymax
(12)
Như vậy, vật đạt tốc độ cực đại khi bắt đầu chuyển động từ vị trí ban đầu về
gốc toạ độ O tại li độ và tốc độ cực đại được xác định bởi biểu thức (12).
Cách 2: Từ (10) ta suy ra:
Thay ymax từ biểu thức (11) vào phép đặt, ta có:
(13)
Bình luận:
Như vậy khi tính tốc độ cực đại mà vật đạt được trong quá trình dao động
thì học sinh hồn tồn áp dụng kiến thức Vật lý đã được học ở lớp 10: Sử dụng
định luật bảo toàn năng lượng (độ giảm cơ năng bằng độ lớn công của lực ma sát
trượt) hoặc biến thiên cơ nămg bằng cơng của lực ma sát.
Khi tìm ymax có 2 cách: cách 1 sử dụng tam thức bậc hai và cách 2 sử dụng
kiến thức đạo hàm. Với hai cách giải này nhằm mục đích để các em áp dụng một
cách thành thạo các kiến thức Toán học đã được học vào giải các bài tập Vật lý;
làm tăng sự hứng thú, kích thích tính sáng tạo ở các em học sinh khi giải các bài
tập với nhiều cách giải khác nhau.
h) Tính li độ cực đại của vật sau lần thứ n vật đi qua O
Li độ cực đại sau khi đi qua O lần 1 là:
Li độ cực đại sau khi đi qua O lần 2 là:
Li độ cực đại sau khi đi qua O lần 3 là:
………………
Li độ cực đại sau khi đi qua O lần n là:
Vậy li độ cực đại cần tính là:

(14)
i) Tính quãng đường vật đi được sau khi đạt li độ cực đại mà vật qua O
lần thứ n
Cứ sau mỗi nửa chu kì (sau mỗi lần vật qua O) thì li độ cực đại của vật được
xác định như ở câu h.
Quãng đường vật đi được sau thời gian lần lượt là:
thì
thì
thì
……..
thì
Vậy qng đường cần tính là:
(15)
5


Nếu thay A1, A2,…, An theo A0 vào công thức (15) thì ta sẽ rút ra được cơng
thức tổng qt như sau:
(16)
Bình luận:
Khi làm bài tập các em học sinh có thể sử dụng cơng thức (15) hoặc (16) để
tính quãng đường vật đi được sau thời gian là . Việc các em sử dụng công thức
(15) cho một bài toán trắc nghiệm sẽ mất nhiều thời gian hơn so với việc sử dụng
công thức (16). Tuy nhiên, không phải lúc nào các em cũng nhớ được chính xác
cơng thức (16); cịn việc các em rút ra cơng thức (15) thì rất đơn giản. Vì vậy, thầy
cơ giảng dạy cũng lưu ý các em về cách ghi nhớ công thức, cách tìm ra cơng thức
tính cho một bài tốn trắc nghiệm.
k) Xác định tốc độ của vật khi nó qua O lần thứ n
Xét vật qua O lần thứ 1 (Vật chuyển động từ A0 đến O), ta có:

Xét vật qua O lần thứ 2 (Vật chuyển động từ A1 đến O), ta có:
Xét vật qua O lần thứ 3 (Vật chuyển động từ A2 đến O), ta có:
……………….
Xét vật qua O lần thứ n (Vật chuyển động từ An-1 đến O), ta có:
Vậy tốc độ cần tính được xác định bởi cơng thức:
(17)
1.1.1. Khảo sát chi tiết
Bài tốn tổng qt: Một lị xo có độ cứng k, một đầu giữ cố định còn đầu
kia gắn vật nặng khối lượng m và trượt có ma sát trên mặt phẳng nằm ngang với hệ
số ma sát trượt là . Từ Vị trí lị xo chưa biến dạng, ta kéo vật ra để lò xo dãn một
đoạn rồi thả nhẹ để vật dao động tắt dần. Gia tốc trọng trường là g.
1. Chứng minh rằng “chu kì” dao động của vật khơng đổi.
2. Chứng minh rằng tâm dao động của vật bị dịch chuyển theo hướng của
lực ma sát một đoạn không đổi.
3. Khảo sát sự thay đổi của các đại lượng sau:
a) Biên độ dao động của vật.
b) Tốc độ cực đại của vật.
c) Gia tốc cực đại của vật.
4. Hãy xác định:
a) Quãng đường mà vật đi được khi gia tốc đổi chiều lần thứ n.
b) Vị trí mà vật dừng lại.
c) Thời gian dao động của vật.
d) Quãng đường mà vật đã đi được.
e) Tốc độ của vật khi vật qua O lần thứ n.
Giải:
1. Chứng minh rằng “chu kì” dao động của vật khơng đổi
6


Chọn trục toan độ Ox, với gốc tọa độ O là vị trí lị xo khơng co dãn. Giả sử

tại thời điểm bất kì ngay sau thời điểm thả vật, vật có li độ x và đang chuyển động
sang trái theo chiều âm của trục tọa độ hướng từ M1 sang M2 .
m

K
M2

(+)

Áp dụng định luật II Niu-Tơn, ta có:

O

M3 M1

x

(1)
Chiếu (1) lên trục Ox, ta có:
(2)
Đặt , lấy đạo hàm hai vế theo thời gian: .
Như vậy, từ (2) ta có:
(3)
Đặt , từ (3) ta suy ra:
(4)
Phương trình (4) là một phương trình vi phân bậc 2, nghiệm của nó có dạng:
(5)
Vậy:
(6)
Khi vật chuyển sang phải hướng từ M2 sang M3 , lập luận hoàn toàn tương tự

như trên ta thu được kết quả như sau:
và
(7)
Như vậy, khi vật chuyển động ngược chiều dương của trục tọa độ thì phương
trình dao động của vật có dạng:
,(
(8)
Khi vật chuyển theo chiều dương của trục tọa độ thì phương trình dao động
của vật có dạng:
,(
(9)
Kết luận: “chu kì” dao động của vật là:
(10)
2. Chứng minh rằng tâm dao động của vật bị dịch chuyển theo hướng
của lực ma sát một đoạn không đổi
- Khi vật chuyển động sang trái theo chiều âm của trục toạ độ thì lực ma sát
X = x−

hướng sang phải. Theo chứng minh như trên ta có: , mà
µ mg
X =0⇒ x =
k

µ mg
k

nên khi

. Điều này chứng tỏ rằng tâm dao động của vật đã bị dịch sang
µ mg

k

phải (theo hướng của lực ma sát) một đoạn
.
- Lí luận hồn tồn tương tự cho trường hợp khi vật dịch chuyển theo chiều
X = x+

dương của trục toạ độ, ta có: , mà

µ mg
k

X =0⇒ x=−

nên khi

µ mg
k

. Điều này
7


chứng tỏ rằng tâm dao động của vật đã bị dịch sang trái (theo hướng của lực ma
µ mg
k

sát) một đoạn
.
Kết luận: Khi có lực ma sát tác dụng lên vật thì VTCB hay cịn gọi là tâm

dao động của vật đã bị dịch chuyển theo hướng của lực ma sát một đoạn
Fmst µ mg
=
k
k

I’

I

(+)

O

x

Từ các phương trình (8) và (9) chúng ta cũng rút kết luận: Khi có lực ma sát
tác dụng lên vật thì VTCB hay cịn gọi là tâm dao động của vật đã bị dịch chuyển
Fmst µ mg
=
k
k

theo hướng của lực ma sát một đoạn
. Điều này có nghĩa là khi vật
chuyển động theo chiều âm của trục toạ độ thì tâm dao động bị dịch chuyển đến
xI =

điểm I có toạ độ

µ mg
k

và khi vật chuyển động theo chiều dương thì tâm dao
xI ' = −

µ mg
k

động bị dịch chuyển đến điểm I’ có toạ độ
. Hai điểm I và I’ được gọi là
2 tâm dao dao động tức thời và tại hai vị trí này thì lực đàn hồi và lực ma sát cân
Fdh = Fmst ⇔ k x = µ mg ⇒ x =

µ mg
= xI = x I '
k

bằng nhau. Thật vậy, ta có:
.
’
Bình luận: Hai tâm dao động tức thời I và I đối xứng nhau qua O. Trên
đoạn từ I đến I’ được gọi là “miền nghỉ” và vật có thể dừng lại có thể dừng lại tại
bất kì vị trí nào trên “miền nghỉ” này. Trong bài tốn khảo sát gần đúng ta xem
như vật dừng lại ở O là một điểm thuộc “miền nghỉ”.
3. Khảo sát sự thay đổi của các đại lượng
a) Sự thay đổi biên độ dao động của vật
Li độ ban đầu của vật Xét tại thời điểm ban đầu tại M1 khi , nên từ (8) ta có:
(11)
Vậy:

(12)
x1(t1)
M2

x3(t3)
M4

x2(t2)x0(t=0)
O

M3 M1

(+)
x

Gọi là thời điểm vật dừng lần 1 (tại vị trí M 2) thì , thay vào (12), ta có:
(13)
Sau vật chuyển động sang phải theo chiều dương của trục tọa độ và điều
kiện ban đầu là và . Từ phương trình (9) với chú ý , ta có:
(14)
8


Như vậy:
(15)
Gọi là thời điểm vật dừng lần thứ 2 (tại vị trí M3) thì , thay vào (15), ta có:
(16)
Sau thời điểm vật chuyển động sang trái theo chiều âm của trục tọa độ với
phương trình chuyển động là
(17)

Để xác định thì ta thay vào (17):
(18)
Từ (15) suy ra:
(19)
Như vậy sau thời điểm vật chuyển động từ M3 sang M4 (là vị trí vật dừng lại
lần thứ 3) theo phương trình (19).
Gọi là thời điểm vật dừng lại lần thứ 3 tại M 4 thì . Thay vào (19) ta xác
định được :
(20)
Hoàn toàn tương tự như trên, ta khảo sát được quá trình dao động tiếp theo
của vật m.
Bình luận: Đến đây giáo viên (GV) có thể đặt câu hỏi: Hãy chỉ rõ các biên
độ trên hình vẽ? Ta có thể dự đốn trước được câu trả lời của phần lớn các em
học sinh (HS) là: Như vậy, phần lớn các em HS đã hiểu sai. Để giúp các em HS
hiểu được rõ bản chất của dao động tắt dần thì GV cần lí giải như sau:
Khi vật dao động từ M1 đến M2 thì vật nhận I làm tâm dao động tức thời
(VTCB tức thời), nghĩa là tại I thì:
Mặt khác:
Vậy khi vật dao động từ M1 đến M2 thì nhận I làm VTCB tức thời với biên
độ dao động là a1 và M1, M2 là hai vị trí biên.
Xét khi vật dao động từ M 2 đến M3 thì thì vật nhận I ’ làm tâm dao động tức
thời, nghĩa là tại I’ thì :
Từ trên hình vẽ, ta có:
Vậy khi vật dao động từ M2 đến M3 thì nhận I’ làm VTCB tức thời với biên
độ dao động là a2 và M2, M3 là hai vị trí biên.
I’
M2

I
O

(+)
M3

M1

x

Lí luận hồn tồn tương tự như trên ta rút ra quy luật như sau:
- Trong nửa chu kì đầu tiên vật dao động từ M 1 đến M2 quanh VTCB I với
biên độ:
- Trong nửa chu kì thứ 2 vật dao động từ M 2 đến M3 quanh VTCB I’ với biên
độ:
- Trong nửa chu kì thứ 3 vật dao động từ M 3 đến M4 quanh VTCB I với biên
độ:
- Trong nửa chu kì thứ 4 vật dao động từ M 4 đến M5 quanh VTCB I’ với biên
độ:
9


Từ đó ta suy ra biểu thức tổng quát xác định biên độ dao động của vật:
Trong nửa chu kì thứ n vật dao động từ M n đến Mn+1 quanh VTCB I (nếu n là số lẻ:
n = 1, 3, 5,…); I’ (nếu n là số chẵn: n = 2, 4, 6,…) với biên độ:
(21)
Độ giảm biên độ sau mỗi nửa chu kì là:
(22)
Như vậy, biên độ dao động của vật giảm theo cấp số cộng với công sai là:
(23)
Bình luận: GV cũng cần nhấn mạnh để các em phân biệt được hai khái
niệm là li độ cực đại và biên độ. Li độ là toạ độ x của vật so với vị trí cân bằng O,

cịn biên độ dao động là nói đến biên độ đối với hai tâm dao động tức thời I và I ’.
Trong bài toán khảo sát gần đúng ở trên ta đã chứng minh được độ giảm li độ cực
đại trong nửa chu kì và trong một chu kì được xác định và . Vậy trong bài toán
khảo sát chi tiết này chúng ta cũng có thể hồn tồn chúng minh được điều này.
Cụ thể như sau:
Li độ cực đại ban đầu của vật là
Sau

T
2
2.

Sau
3.

Sau
Sau

x1 = − x0 +

thì li độ cực đại của vật là
T
2

T
2

T
4.
2

5.

x0 = A0

2 µ mg
k

x2 = x0 −

thì li độ cực đại của vật là

4 µ mg
k

x3 = − x0 +

thì li độ cực đại của vật là
x4 = x0 −

thì li độ cực đại của vật là

T
2

6 µ mg
k

8µ mg
k

x5 = − x0 +

10µ mg
k

Sau
thì li độ cực đại của vật là
……………………………….
Như vậy sau mỗi nữa chu kì thì độ lớn li độ cực đại giảm một lượng là
∆x1/2 =

2 µ mg
k

∆x =

và sau một chu kì thì

4µ mg
k

dx =

. Nói cách khác, li độ cực đại cũng

2 µ mg
.
k

giảm theo cấp số cộng với cơng sai là
Bình luận: Đến đây GV cần khẳng định lại cho các em HS thấy rằng, trong
bài toán khảo sát gần đúng, cũng như bài toán khảo sát chi tiết đều cho kết quả
như nhau về độ giảm li độ cực đại sau nửa chu kì, sau một chu kì. Điều đó có
∆A1/ 2 ∆A

nghĩa là những kết quả thu được khi tính
,
là kết quả chính xác chứ khơng
phải kết quả gần đúng. Trong bài tốn khảo sát gần đúng thì ta xem như vật dừng
lại tại VTCB O, nên một số đại lượng cho kết quả gần đúng như: Quãng đường vật
đi được; Thời gian dao động của vật,..còn các đại lượng khác vẫn cho kết quả
10


chính xác. Vì vậy trong q trình giảng dạy GV cần làm cho các em HS rõ bản
chất của từng vấn đề để trách các em có quan điểm cho rằng bài tốn khảo sát
gần đúng là tồn bộ cho kết quả gần đúng, mà điều quan trọng là khi vận dụng
làm bài tập thì lúc nào ta cần tính chính xác và lúc nào ta cần tính gần đúng.
b) Tốc độ cực đại của vật
Vật dao động tắt dần trong mỗi nửa chu kì là dao động “điều hồ” quanh các
VTCB tức thời I và I’. Như vậy tốc độ cực đại mà vật đạt được sẽ là tại các VTCB
tức thời I và I’. Từ kết quả trên ta có:
- Trong nửa chu kì đầu tiên vật dao động từ M 1 đến M2 quanh VTCB I với
biên độ:
- Trong nửa chu kì thứ 2 vật dao động từ M 2 đến M3 quanh VTCB I’ với biên
độ:
- Trong nửa chu kì thứ 3 vật dao động từ M 3 đến M4 quanh VTCB I với biên
độ:
- Trong nửa chu kì thứ 4 vật dao động từ M 4 đến M5 quanh VTCB I’ với biên

độ: .
Như vậy tốc độ cực đại của vật đạt được cũng giảm dần theo một cấp số
cộng với công sai là và tốc độ lớn nhất mà vật đạt được trong quá trình dao động là
tốc độ cực đại trong nửa chu kì đầu tiên, nghĩa là:
(24)
c) Gia tốc cực đại của vật
- Trong nửa chu kì đầu tiên vật dao động từ M 1 đến M2 quanh VTCB I thì
gia tốc cực đại mà vật đạt được tại M2 và được xác định:
- Trong nửa chu kì thứ 2 vật dao động từ M 2 đến M3 quanh VTCB I’ thì gia
tốc cực đại mà vật đạt được tại M3 và được xác định:
- Trong nửa chu kì thứ 3 vật dao động từ M 3 đến M4 quanh VTCB I thì gia
tốc cực đại mà vật đạt được tại M4 và được xác định:
Như vậy độ lớn gia tốc cực đại mà vật đạt được sau mỗi nửa chu kì giảm dần
theo một cấp số cộng với công sai là . Gia tốc lớn nhất mà vật đạt được trong quá
trình dao động là gia tốc cực đại mà vật đạt được trong nửa chu kì đầu tiên, nghĩa
là:
(25)
4. Hãy xác định
a) Quãng đường mà vật đi được khi gia tốc đổi chiều lần thứ n
I và I’ là hai tâm dao động tức thời nên gia tốc của vật sẽ đổi chiều khi qua
hai vị trí này. Li độ cực đại ban dầu của vật là A0. Gọi A1, A2, A3, …An lần lượt là li
độ cực đại mà vật đạt được sau khi qua O lần thứ 1, lần thứ 2, lần thứ 3,…lần thứ
n, ta có:

……………………...
11


Gọi S1, S2, S3,…Sn lần lượt là quãng đường vật đi được sau khi gia tốc đổi
chiều lần 1, lần 2, lần 3,…lần n. Ta có:

…………………………………..

(26)
trong đó: với và
Vậy quãng đường cần tính được xác định bởi cơng thức (26).
b) Vị trí mà vật dừng lại
Vật dừng lại trên miền nghỉ từ I đến I’. Mỗi lần vật qua VTCB O thì li độ
cực đại giảm một lượng là .
Xét tỉ số: với là phần nguyên của tỉ số; là phần thập phân.
Nếu thì lần cuối vật đi qua O vật ở trong đoạn I ’I và dừng lại ở đó, nên tổng
số nửa chu kì vật thực hiện được là Giả sử trên hình vẽ lần cuối vật qua O vật
dừng lại tại D trên miền nghỉ. Vị trí vật dừng được xác định:
(27)
Lần cuối vật qua O

I’

I
O

(+)
x

D

Nếu thì lần cuối vật
đi qua
’
O vật ở ngoài đoạn I I nên nó khơng dừng lại được mà nó phải quay trở lại thêm

nửa chu kì nhận I hoặc I’ làm vị trí cân bằng. Vì vậy tổng số nửa chu kì vật thực
hiện được là
Lần cuối vật qua O

I’

I N
O D
Từ N vật quay lại miền nghỉ dừng tại D

(+)
x

Giả sử trên hình vẽ lần cuối vật qua O thì vật đến N, vật quay trở lại miền
nghỉ nhận I làm VTCB thực hiện thêm nửa chu kì và dừng tại D. Vị trí vật dừng
được xác định: (28)
c) Thời gian dao động của vật
Xét tỉ số: với là phần nguyên của tỉ số; là phần thập phân.
Nếu
(29)
Nếu
(30)
d) Quãng đường mà vật đã đi được
Cách 1: Gọi là số nủa chu kì mà vật thực hiện được (hoặc Quãng đường
vật đi được xác định bởi công thức:
(31)
12


Cách 2: Áp dụng định luật bảo toàn năng lượng, ta có:

(32)
trong đó là vị trí vật dừng lại được xác định bởi công thức (27) hoặc (28).
e) Tốc độ của vật khi vật qua O lần thứ n
Cách 1: Như đã trình bày trong bài tốn khảo sát gần đúng, ta có kết quả
sau:
(33)
Cách 2: Vật dao động tắt dần trong mỗi nửa chu kì là dao động điều hịa có
VTCB là các tâm dao động tức thời I và I ’. Trong dao động điều hòa tốc độ được
xác định:
Lần 1 vật qua O nhận I làm tâm dao động nên:
Lần 2 vật qua O nhận I’ làm tâm dao động nên:
Lần 3 vật qua O nhận I làm tâm dao động nên:
…………………………………………….
Lần n vật qua O nhận I làm tâm dao động nên:
Như vậy tốc độ của vật khi qua O lần thứ n được xác định:
(34)
Bình luận: Để khẳng định sự chính xác của các cách giải khác nhau thì GV
nên yêu cầu các em HS chứng minh sự đồng nhất giữa hai công thức (33) và (34).
1.2. Khảo sát tắt dần của con lắc đơn
1.2.1. Khảo sát gần đúng
Bài toán tổng quát: Một con lắc đơn có chiều dài l, quả cầu nhỏ có khối
lượng m, dao động tại nơi có gia tốc trọng trường g. Đưa con lắc ra khỏi vị trí cân
bằng sao cho dây treo con lắc làm với phương thẳng đứng một góc nhỏ rồi thả nhẹ
cho con lắc dao động. Trong quá trình dao động dao động nhỏ quả cầu của con lắc
chịu lực cản không đổi tác dụng nên nó dao động tắt dần.
a) Tính độ giảm li độ cực đại của vật sau mỗi nữa chu kì và sau mỗi chu kì.
b) Tính số dao động mà vật thực hiện được kể từ khi bắt đầu dao động cho
đến khi dừng lại.
c) Tính thời gian dao động của vật.
d) Tính quãng đường mà vật đã đi được trong suốt q trình dao động.

e) Tính tốc độ trung bình của vật trong suốt q trình dao động.
g) Tính tốc độ cực đại mà vật đạt được trong quá trình dao động.
h) Tính li độ cực đại của vật sau lần thứ n vật đi qua O.
i) Tính quãng đường vật đi được sau khi đạt li độ cực đại mà vật qua O lần
thứ n.
k) Xác định tốc độ của vật khi nó qua O lần thứ n.
Giải: Chọn mốc tính thế năng trọng lực tại vị trí O (. Quả cầu m của con lắc
chịu tác dụng lực cản FC, nên biến thiên cơ năng bằng công của lực cản.
a) Tính độ giảm li độ cực đại của vật sau mỗi nữa chu kì và sau mỗi chu
kì
13


I

M0

M1

OM2

Xét chuyển động của m từ vị trí M 0 có li độ góc cực đại đến vị trí M 1 có li
độ góc cực đại ta có:
(1)
Xét chuyển động của m từ vị trí M 1 có li độ góc cực đại đến vị trí M 2 có li
độ góc cực đại ta có:
(2)
Lấy (1) cộng với (2) theo vế với vế, ta có:
(3)
Xét tượng tự cho các chu kì chuyển động tiếp theo của vật m, ta rút ra các

nhận xét sau:
+) Độ giảm li độ góc cực đại sau mỗi nửa chu kì là khơng đổi và được xác
đinh:
(4)
+) Độ giảm li độ góc cực đại sau mỗi chu kì là khơng đổi và được xác đinh:
(5)
b) Tính số dao động mà vật thực hiện được kể từ khi bắt đầu dao động
cho đến khi dừng lại
Sau mỗi chu kì thì li dộ góc cực đại giảm một lượng không đổi là . Vậy sau
N dao động vật dừng lại thì li độ góc cực đại đã giảm (nghĩa là giảm hết). Do đó ta
có số chu kì (số dao động) mà vâth thực hiện được là:
(6)
c) Tính thời gian dao động của vật
Thời gian để vật thực hiện một chu kì dao động là . Như vật vật thực hiện
được N dao động thì thời gian sẽ là:
(7)
d) Tính quãng đường mà vật đã đi được trong suốt quá trình dao động
Giọ S là quãng đường vật đã đi được trong suốt quá trình dao động. Ta có:
(8)
e) Tính tốc độ trung bình của vật trong suốt quá trình dao động
Tốc độ trung bình của vật trong suốt q trình dao động được xác đinh:
(9)
trong đó, S được xác định bởi công thức (8) và được xác định bởi cơng thức
(7).
g) Tính tốc độ cực đại mà vật đạt được trong quá trình dao động
14


M0

M1

OM

Vì dao động của vật là dao động tắt dần nên tốc độ cực đại mà vật đạt được
sẽ là nửa chu kì đầu tiên, nghĩa là khi vật chuyển động từ vị trí M 0 đến vị trí M1.
Xét tại một vị trí M bất kì có li độ góc khi vật chuyển động từ vị trí M 0 đến vị trí
M1 (hình vẽ), ta có:

Đặt , tìm nghĩa là tìm .
Như vậy y làm một hàm số bậc hai của ẩn với các hệ số:
Để tìm ta có 2 cách giải như sau:
Cách 1: Vì y làm một hàm số bậc hai nên:
và
Thay vào phép đặt, ta có:
(10)
Như vậy vật đạt tốc độ cực đại trong nửa chu kì đầu tiên tại vị trí M có li độ
góc và
Cách 2: Hàm số y đạt cực đại khi đạo hàm của nó theo ẩn bằng 0, nghĩa là:
ta suy ra:
Thay vào phép đặt, ta có:
Vậy:
(11)
h) Tính li độ cực đại của vật sau lần thứ n vật đi qua O
Li độ cực đại sau khi đi qua O lần 1 là:
Li độ cực đại sau khi đi qua O lần 2 là:
Li độ cực đại sau khi đi qua O lần 3 là:
………………
Li độ cực đại sau khi đi qua O lần n là:
Vậy li độ cực đại cần tính là:

(12)
i) Tính quãng đường vật đi được sau khi đạt li độ cực đại mà vật qua O
lần thứ n
15


Cứ sau mỗi nửa chu kì (sau mỗi lần vật qua O) thì li độ cực đại của vật được
xác định như ở câu h.
Quãng đường vật đi được sau thời gian lần lượt là:
thì
thì
thì
……..
thì
Vậy qng đường cần tính là:
(13)
Nếu thay 1, 2,…, n theo 0 vào công thức (13) thì ta sẽ rút ra được cơng thức
tổng qt như sau:
(14)
k) Xác định tốc độ của vật khi nó qua O lần thứ n
Xét vật qua O lần thứ 1 (Vật chuyển động từ M0 đến O), ta có:
vì .
Xét vật qua O lần thứ 2 (Vật chuyển động từ M1 đến O), ta có:
Xét vật qua O lần thứ 3 (Vật chuyển động từ M2 đến O), ta có:
……………….
Xét vật qua O lần thứ n (Vật chuyển động từ Mn-1 đến O), ta có:
Vậy tốc độ cần tính được xác định bởi cơng thức:
(15)
1.2.2. Khảo sát chi tiết
Bài tốn tổng quát: Một con lắc đơn có chiều dài l, quả cầu nhỏ có khối

lượng m, dao động tại nơi có gia tốc trọng trường g. Đưa con lắc ra khỏi vị trí cân
bằng sao cho dây treo con lắc làm với phương thẳng đứng một góc nhỏ rồi thả nhẹ
cho con lắc dao động. Trong quá trình dao động dao động nhỏ quả cầu của con lắc
chịu lực cản khơng đổi tác dụng nên nó dao động tắt dần.
1. Chứng minh rằng “chu kì” dao động của vật khơng đổi.
2. Chứng minh rằng tâm dao động của vật bị dịch chuyển theo hướng của
lực ma sát một đoạn không đổi.
3. Khảo sát sự thay đổi của các đại lượng sau:
a) Biên độ dao động của vật.
b) Tốc độ cực đại của vật.
c) Gia tốc cực đại của vật.
4. Hãy xác định:
a) Quãng đường mà vật đi được khi gia tốc đổi chiều lần thứ n.
b) Vị trí mà vật dừng lại.
c) Thời gian dao động của vật.
d) Quãng đường mà vật đã đi được.
16


e) Tốc độ của vật khi vật qua O lần thứ n.
Giải:
1. Chứng minh rằng “chu kì” dao động của vật khơng đổi
Chọn trục toạ độ Ox như hình vẽ. Gốc toạ độ O là vị trí của vật mà dây treo
vật có phương thẳng đứng. Giả sử tại thời điểm bất kì ngay sau thời điểm thả vật,
vật có li độ x và đang chuyển động theo chiều âm của trục tọa độ. Áp dụng định
luật II Niu-Tơn, ta có:
(1)
Chiếu (1) lên trục Ox:

(2)

Đặt . Thay vào phương trình (2), ta có:
(3)
Đặt , từ phương trình (3):
(4)
Phương trình (4) là một phương trình vi phân bậc 2 nên nghiệm của nó có
dạng: Thay vào phép đặt:
(5)
Khi vật chuyển động theo chiều dương của trục toạ độ (, lập luận hoàn toàn
tương tự như trên ta thu được kết quả như sau:
và
(6)
Như vậy, khi vật chuyển động ngược chiều dương của trục tọa độ thì phương
trình dao động của vật có dạng:
,(
(7)
Khi vật chuyển theo chiều dương của trục tọa độ thì phương trình dao động
của vật có dạng:
,(
(8)
Kết luận: “chu kì” dao động của vật là:
(9)
2. Chứng minh rằng tâm dao động của vật bị dịch chuyển theo hướng
của lực ma sát một đoạn không đổi
Khi vật chuyển động theo chiều âm của trục toạ độ thì:
(10)
Biều thức (10) chứng tỏ rằng khi vật chuyển động theo chiều âm của trục toạ
độ (lực ma sát hướng theo chiều dương) thì tâm dao động của vật dịch chuyển theo
chiều dương đến vị trí có li độ .
Khi vật chuyển động theo chiều dương của trục toạ độ thì:
(11)

Biều thức (11) chứng tỏ rằng khi vật chuyển động theo chiều dương của trục
toạ độ (lực ma sát hướng theo chiều âm) thì tâm dao động của vật dịch chuyển theo
chiều đến vị trí có li độ .
II. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
Qua thực tế tìm hiểu việc giảng dạy chủ đề này của các thầy cô trong tổ Vật
lý tại trường THPT Tĩnh Gia 2, tác giả nhận thầy rằng: trước tiên các thầy cô cung
17


cấp cho các em kiến thức lí thuyết cơ bản như trong sách khoa Vật lý hiện hành
trình bày; sau đó đọc và tìm hiểu ở một số tài liệu nâng cao rồi cung cấp thêm cho
các em một số cơng thức cơ bản như tính độ giảm li độ cực đại sau nửa chu kì, sau
một chu kì; tính quãng đường vật đi được; tính thời gian dao động của vật,…để các
em học sinh áp dụng vào làm bài tập.
Đối với việc học của các em học sinh thì tiếp thu kiến thức lí thuyết một
cách bị động, ghi nhớ một cách máy móc các cơng thức rồi áp dụng vào giải các
bài tập trắc nghiệm mà các thầy cơ cung cấp. Vì vậy các em học sinh hiểu một
cách “lơ mơ” về dao động tắt dần cả lí thuyết cũng như bài tập, nên việc ghi nhớ
kiến thức chưa có độ sâu; gặp các bài tốn lạ và khó thì các em khơng được.
III. Giải pháp thực hiện
Tác giả tổ chức hội thảo trong tổ Vật lý trường THPT Tĩnh Gia 2, trình bày
những quan điểm, luận điểm của mình trước các đồng nghiệp để xin ý kiến nhận
xét, góp ý trước khi đưa ra giảng dạy cho các em học sinh.
Để đem lại hiệu quả cao nhất trong quá trình giảng dạy đối với mảng chủ đề
này, trước tiên giáo viên phải trang bị cho các em kiến thức lí thuyết cơ bản mà các
sách giáo khoa đã trình bày. Ngồi ra, đối với các em ở các lớp mũi nhọn, các em
trong đội tuyển học sinh giỏi Vật lý thì cần yêu cầu các em phải có một nền tảng
kiến thức Tốn học vững chắc về đạo hàm, tam thức bậc hai,…để áp dụng vào việc
khảo sát các bài toán Vật lý.
Giáo viên phải xây dựng được các bài toán tổng quát về dao động tắt dần

của con lắc lò xo và con lắc đơn. Sau đó chia lớp thực nghiệm thành các nhóm có
lực học ngang nhau, giao nhiệm vụ cụ thể cho từng nhóm trên lớp cũng như về
nhà. Đối với những câu cơ bản thì giáo viên có thể cho đại diện các nhóm lên bảng
trình bày; sau đó tổ chức cho các em trao đổi, nhận xét, góp ý bài làm của bạn, của
nhóm khác. Cuối cùng giáo viên tổng hợp và đưa ra kết luận. Đối với những câu
nâng cao thì giáo viên giảng giải trực tiếp và lựa chọn phương pháp vấn đáp, gợi
mở để từng bước giúp các em giải quyết được vấn đề.
Sau khi nghiên cứu kĩ các bài toán tổng quát, giáo viên cho các em luyện tập
bằng hệ thống bài tập vận dụng (trình bày ở các phụ lục). Khi giải các bài tập này
cần lưu ý là không cho các em vận dụng các công thức đã xây dựng mà thay vào
đó là các em giải các bài toán một cách tường minh, cụ thể. Có như vậy, các em
mới khơng phụ thuộc vào việc ghi nhớ cơng thức một cách máy móc; tạo cho các
em các kĩ năng, kĩ xảo về các thao tác biến đổi toán học, tạo ra được những phản
xạ nhanh nhẹn trong q tính tốn. Mặt khác, để các em hiểu sâu hơn các bài tốn
tổng qt thì giáo viên yêu cầu các em học sinh về nhà làm lại những bài tập này
vào giấy rồi nộp cho giáo viên chấm điểm, xem như đây là một bài tập lớn, một bài
kiểm tra. Điều này vừa giúp các em ôn tập, vừa rèn luyện được tinh thần trách
nhiệm của từng em đối với cơng việc học tập của mình.
Tác giả tiến hành kiểm tra ở 4 lớp 12: Lớp 12B1; 12B5 là hai lớp thực
nghiệm và lớp 12B2; 12B3 là hai lớp đối chứng. Sau khi giảng dạy xong ở các lớp,
tác giả tiến hành kiểm tra (cho các lớp thực nghiệm và đối chứng làm chung một
đề kiểm tra), chấm bài, thu thập số liệu để đưa ra những nhận xét, đánh giá và kết
luận về hiệu quả của việc áp dụng đề tài nghiên cứu.
18


IV. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với
bản thân, đồng nghiệp và nhà trường
4.1. Đối với hoạt động giáo dục
Sau khi tiến hành giảng dạy ở các lớp thực nghiệm và đối chứng, tác giả

nhận thấy rằng: các em học sinh ở các lớp thực nghiệp rất hứng thú với các bài
giảng; các em hoạt động nhóm hết sức hiệu quả; các em đưa ra những lời nhận xét
sâu sắc; những lời giải rất hay và sáng tạo.
Qua việc kiểm tra, chấm bài ở các lớp thực nghiệm và các lớp đối chứng, tác
giả thu được kết quả như sau:
Điểm
Lớp
Lớp TN 15 phút
12B1 45 phút
Lớp TN 15 phút
12B5 45 phút
Lớp ĐC 15 phút
12B2 45 phút
Lớp ĐC 15 phút
12B3 45 phút

1

2

3

4

5

6

0
0

0

0
0
0

0
0
0

0
0
0

1 5
1 6
10 7

6 17 9
13 15 7
6 13 5

7
5
5

0
0
0
0

0

0
0
0
0
0

0
2
2
1
2

0
5
6
5
4

9
12
14
13
15

10
6
4
5

5

4
0
0
0
0

7
13
11
12
13

7

8

11
3
5
5
4

9

4
1
0
1

0

10

Sĩ số
42
42
42
42

Qua kết quả bài kiểm tra tác giả rút ra một số nhận xét như sau:
- Các lớp thực nghiệm 12B1, 12B5 cao hơn so với các lớp đối chứng 12B2,
12B3 về tỷ lệ điểm trên trung bình, những điểm cao của lớp thực nghiệm cũng
nhiều hơn hẳn so với lớp đối chứng theo tỷ lệ phần trăm.
- Các lớp thực nghiệm nắm vững kiến thức một cách hệ thống, khoa học hơn
so với các lớp đối chứng.
4.2. Đối với bản thân, đồng ngiệp và nhà tường
Đối với bản thân tác giả thì đề tài xuất phát từ thực tế giảng dạy các học sinh
lớp 12 ôn thi tốt nghiệp THPT Quốc Gia, bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi Vật lý
lớp 12. Đề tài nghiên cứu như một đứa con tinh thần của bản thân mình, với những
bài tốn tổng qt xây dựng được, cùng với lời giải chi tiết, từng minh. Đặc biệt là
đã khảo sát được một cách chi tiết dao động tắt dần của con lắc đơn mà trong các
tài liệu Vật lý nâng cao hầu như chưa đề cập đến. Tác giả thiết nghĩ rằng đó là một
thành cơng lớn của bản thân trong việc tự nghiên cứu, tìm tịi để khơng ngừng nâng
cao nghiệp vụ chun mơn của bản thân.
Sau khi có kết quả giảng dạy, tác giả trình bày trước tổ chun mơn để lấy ý
kiến góp ý, nhận xét, đánh giá thì được các đồng nghiệp đánh giá rất cao về tính
khả thi của đề tài. Đặc biệt, nhiều thầy cô hết sức tâm đắc về việc tác giả đã xây
dựng được các bài toán tổng quát cùng với lời giải chi tiết, tường minh về mảng
chủ đề này. Đề tài nghiên cứu đã cung cấp thêm cho các thầy cô, các em học sinh

một tư liệu hỗ trợ đắc lực và hiệu quả trong quá trình giảng dạy bộ mơn Vật lý lớp
12 THPT.
19


KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
1. Kết luận
Đề tài nghiên cứu đã giải quyết được các vấn đề sau:
Xây dựng được các bài toán tổng quát về dao động tắt dần con lắc lị xo và
con lắc đơn thuộc chương trình Vật lý lớp 12 THPT. Đồng thời đưa ra được lời giải
một cách chi tiết, tường minh từng câu, từng ý và kèm theo những nhận xét, bình
luận để giúp thầy cô và các em hiểu được bản chất của vấn đề.
Trang bị cho các em hệ thống các bài tập luyện tập kèm theo lời giải một
cách chi tiết, cùng với những nhận xét, bình luận để giúp các em rèn luyện, cũng
cố, khắc sâu kiến thức bài học.
Khơi dậy niềm đam mê nghiên cứu khoa học, khả năng vận dụng kiến thức
liên môn của các em học sinh trong việc giải quyết một vấn đề, đặc biệt là việc vận
dụng kiến thức toán học trong giải các bài toán Vật lý.
2. Kiến nghị
Đối với các em học sinh phải có tinh thần học tập nghiêm túc, cầu tiến bộ.
Ln nêu cao tinh thần tự học và rèn luyện. Các em phải có kiến thức tổng hợp,
biết vận dụng kiến thức của các môn học khác nhau trong việc giải quyết một vấn
đề và điều quan trọng là các em phải có niềm đam mê đối với mơn học, có niềm tin
và khát khao chinh phục những thử thách.
Đối với giáo viên đứng lớp phải luôn nêu cao tinh thần tự học và sáng tạo;
khơng ngừng nghiên cứu tìm tịi những phương pháp mới hữu ích trong việc truyền
thụ tri thức cho các em học sinh. Ngồi việc có chun mơn vững vàng thì thầy cơ
cần có những kiến thức của các môn học khác nhau. Đặc biệt là bộ mơn Tốn học một cơng cụ khơng thể thiếu trong việc khảo sát các bài toán Vật lý.
Đối với nhà trường THPT Tĩnh Gia 2 thì BGH nhà trường cần tạo mọi điều
kiện về vật chất và tinh thần cho các thầy cơ giảng dạy có những đóng góp lớn về

mặt chuyên môn như xây dựng các chuyên đề dạy học hữu ích; các sáng kiến kinh
nghiệm đạt giải cao cấp ngành và đem lại hiệu quả thiết thực khi áp dụng vào thực
tế giảng dạy. Bên cạch đó BGH nhà trường cần có những biểu dương, khen thương
thưởng kịp thời để nhân rộng các điển hình tiên tiến trong cơ quan; tạo động lực
cho sự phát triển chung cuả nhà trường.
Thanh hóa, ngày 15 tháng 5 năm 2021
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG
Tôi xin cam đoan đây là SKKN do
CƠ QUAN
chính bản thân mình viết, khơng sao
20


chép nội dung của người khác.
Người viết SKKN

Bùi Sỹ Khiêm

21