Tài liệu Bài tập toán học pdf

BÀI TẬP ĐƯỜNG THẲNG
1. Cho tam giác ABC với A( 2;1), B(-1;3), C(1;-5).
1. Viết pt đường cao BH, đường trung tuyến AM của tam giác ABC.
2. Viết pt đường thẳng đối xứng với AM qua B.
2. Cho đường thẳng d: 3x+y-4=0 và điểm A(-1;-2).
1. Lập pt tham số và pt chính tắc (nếu có) của d.
2. Tìm điểm M
∈
d sao cho M cách A một khoảng bằng 5.
3. Viết pt đường thẳng đi qua M và vuông góc với d.
3.Viết pt đường thẳng d đi qua điểm A( 2;3) và tạo với hai trục Ox, Oy một tam giác có diện tích bằng 4
4. Viết pt đường thẳng d đi qua điểm B( 1;3) và cắt hai trục Ox, Oy lần lượt tại P, Q sao cho OP + OQ
nhỏ nhất.
5. Viết pt đường thẳng d đi qua điểm C( 2;1) và cắt hai trục Ox, Oy lần lượt tại M, N sao cho tam giác
OMN có diện tích nhỏ nhất.
6. Cho 2 điểm A(-1;3), B(2;-5) và đường thẳng
∆
có pt
3
1 2
x t
y t
= −


= +

. Xác định toạ độ điểm M trên đường
thẳng
∆
sao cho:

a) Tam giác MAB vuông tại M.
b) Tam giác MAB cân tại A.
c) Tam giác MAB đều.
d) MA+MB nhỏ nhất.
e)
MA MA−
lớn nhất.
7. Trong mp Oxy cho 2 đường thẳng d
1
: 2x – y +5 =0, d
2
: -x + y -3=0.
a.Viết pt đường thẳng d
3
đối xứng d
1
qua d
2
.
b. Cho điểm M (1;2). Viết pt đường thẳng d
4
đối xứng với d
1
qua M.
8. Cho hình vuông ABCD, biết B(2;1) và một đường chéo có pt:
1 2
1 3
x y+ +
=
−

. Xác định toạ độ các đỉnh
còn lại của hình vuông.
9. Một tam giác có hai cạnh nằm trên 2 đường thẳng d
1
: 2x – y +5 =0, d
2
: -x + y -3=0 và một trung
điểm là P(-1;-2). Viết pt cạnh còn lại của tam giác.
10. Cho tam giác ABC có pt cạnh AB: x + y - 1=0, và pt 2 trung tuyến AM: 3x - 2y =6, BN: -2x + y =1.
Viết pt cạnh còn lại cua tam giác.
11. Cho tam giác ABC có các đường cao BE: 9x – 3y =4, CF: x + y -2 =0. Và trung điểm của AC là
M( 1/2;5/2). Viết pt cạnh BC.
12. Cho tam giác ABC có đỉnh A(0;3), đường cao BH: 3x-2y+3 =0 và trung tuyến CM: x + 7y – 10 = 0.
Viết pt đường cao xuất phát từ A.
13. Cho tam giác ABC với A(1;1), đường trung trực đoạn AB: x +2y-8=0 và đường phân giác trong của
góc C có pt: y – 2= 0. Hãy viết pt các cạnh của tam giác.
Mộ t s ố d ạ ng toán c ơ b ả n th ườ ng g ặ p .
Dạng 1 : Tìm điểm đối xứng M' của điểm M qua đường thẳng Δ.
Phương pháp chung : Xét đường thẳng (d) chứa M và (d)
⊥
Δ ; gọi H là giao điểm của (d) với Δ khi đó H
là trung điểm của MM'.
VD1: Cho đt Δ : x + 3y + 2 = 0 và điểm A(−1, 3), tìm điểm A' đối xứng với A qua Δ.
Dạng 2 : Biết một đỉnh, biết hai trung tuyến xuất phát từ hai đỉnh còn lại. Viết pt các cạnh.
VD 2. Lập pt các cạnh của tam giác ABC biết A(1, 3) và hai trung tuyến qua B,C lần lượt có phương trình
: x − 2y + 1 = 0 (
1
∆
) , y − 1 = 0 2 (
2

∆
)
Dạng 3 : Bài toán cho biết tọa độ của một đỉnh A ; đường cao hạ từ đỉnh B và đường phân giác
trong của góc C. Tìm phương trình các cạnh.
VD 3. (Đề thi Đại học Kiến trúc năm 1998)
Cho tam giác ABC có đỉnh A(−1, 3), đường cao BH có phương trình : x − y = 0, đường phân giác trong
của góc C nằm trên đường thẳng Δ : x + 3y + 2 = 0. Trên phương trình các cạnh.
Dạng 4 : Bài toán cho biết đỉnh A, đường trung tuyến hạ từ đỉnh B, đường phân giác trong của góc
C. Tìm phương trình các cạnh.
VD 4 : Cho điểm A(4, 4) là đỉnh của tam giác ABC, biết trung tuyến BB1 có phương trình
2x + 3y − 10 = 0 (∆1) và đường phân giác trong của góc C có phương trình : x-(1+
2
)y = 0 (∆2).
Hãy viết phương trình các cạnh.
Dạng 5 : Biết hai cạnh của tam giác và biết một điểm là trọng tâm (trực tâm, tâm vòng tròn ngoại
tiếp). Tìm phương trình cạnh thứ ba.
VD 5 : Cho tam giác ABC, cạnh AB nằm trên đường thẳng 1Δ có phương trình 5x − 2y + 6 = 0, cạnh AC
nằm trên 2 Δ : 4x + 7y − 21 = 0 ; Biết điểm O(0, 0) là trực tâm tam giác ABC. Tìm phương trình cạnh BC.
Chú ý : Bài toán tương tự, khi thay điểm O(0, 0) là trọng tâm hoặc tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
ABC.
Dạng 6 : Biết ba đỉnh, viết phương trình đường phân giác trong của tam giác.
VD 6 : Cho tam giác ABC có A(−6, −3), B(−4, 3), C(9, 2).
a) Viết phương trình đt (d) chứa đường phân giác trong của góc A của tam giác ABC.
b) Tìm điểm P trên đường thẳng (d) để tứ giác ABPC là hình thang. ( ĐH Sư phạm II HN 1999).
Dạng 7 : Biết đỉnh A, hai đường phân giác trong của góc và góc B, C. Hãy tìm phương trình các
cạnh.
VD 7 : (Đề thi Đại học Thương Mai - 2000).
Cho tam giác ABC biết A(2, −1) và phương trình hai đường phân giác trong của B và góc C lần lượt là :
(dB) : x − 2y + 1 = 0 (dC) : x + y + 3 = 0. Tìm phương trình đường thẳng BC.
Bài t ậ p t ự gi ả i

1. Đề thi Đại học Hàng hải (1999) Cho tam giác ABC biết đỉnh A(2, −1), đường cao qua B có phương
trình : 2x − y + 1 = 0, đường cao qua C có phương trình : 3x + y + 2 = 0.
Lập phương trình đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh A. Đáp số : x + 32y + 30 = 0.
2. Đề thi Đại học Huế (2001)
Viết phương trình ba cạnh của tam giác ABC biết đỉnh C(4, 3), đường phân giác trong và trung tuyến kẻ
từ đỉnh A của tam giác có phương trình lần lượt là x + 2y − 5 = 0 ( 1) Δ và 4x + 13y − 10 = 0 . ( 2)Δ
Đáp số : Phương trình AC : x + y − 7 = 0. AB : x + 7y + 5 = 0. BC : x − 8y + 20 = 0.
3. Đề thi Đại học Sư phạm II Hà Nội, 2000
Trên mặt phẳng, cho hệ tọa độ trực chuẩn Oxy và cho tam giác ABC với đỉnh A(1, 1). Các đường cao hạ
từ B và C lần lượt nằm trên các đường thẳng (d1) và (d2) theo thứ tự có phương trình −2x + y − 8 = 0 và
2x + 3y − 6 = 0. Hãy viết phương trình đường thẳng chứa đường cao hạ từ đỉnh A và xác định tọa độ của
các đỉnh B, C của tam giác ABC. Đáp số đường cao AH : 10x + 13y − 23 = 0 C(3, 0), B(−17, −26).