Tài liệu Lý thuyết robot song song P3 ppt

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (378.6 KB, 16 trang )

38
38
CHƯƠNG III:
PHÂN TÍCH ĐỘNG HỌC ROBOT SONG SONG 3RPS

3.1 Bài toán phân tích vị trí
3.1.1 Các phương trình liên kết cho Robot song song 3RPS tổng quát
Trên hình 3.1 mô tả sơ đồ động học của Robot song song 3RPS. Cấu trúc các
khâu của Robot này được mô tả trong mục 1.6

a) Quan hệ về hình học và các hệ toạ độ
Do cấu trúc Robot đảm bảo tính hợp lý nên các chân A
i
B
i
⊥ Z
i
(các trục
quay). Gọi O và P là trọng tâm của hai tam giác A
1
A
2
A
3
và B
1
B
2

B
3
, ta đặt lên
đó các hệ toạ độ như trên hình 3.1:
- Ox
0
y
0
z
0
: Hệ toạ độ cố định.
- Pxyz : Hệ toạ độ động gắn liền với bàn máy động.
- A
i
x
i
y
i
z
i
, (i = 1,2,3): Hệ động gắn với chân thứ i. Với x
i
≡
ii
BA
và z
i
≡ trục
quay, trục y
i

lập với x
i
và z
i
một hệ quy chiếu thuận.
Ta đưa thêm vào 3 toạ độ suy rộng α
i
(i = 1,2,3) là góc hợp bởi trục z
0
và trục
x
i
như hình vẽ.
A1

A2
A3
B1

B3
B2
Hình 3.1: Cấu trúc chấp hành song song 3RPS
Đế cố định
Bàn máy động
x
0
y
0
z
0

x
1
x
1
x
2
x
3
z
1
z
2
z
3
1
α

2
α

3
α
P
O
y
1
z
1

39
39
Ngoài ra ta sử dụng các ký hiệu:
- a
i
: Véc tơ đại số chứa các toạ độ của điểm A
i
trên hệ cố định, a
i
=
[]
T
iii
aaa
321
,,

b
i
: Véc tơ đại số chứa các toạ độ của điểm B
i
trên hệ cố định.
-
B
b
i
: Véc tơ đại số chứa các toạ độ của điểm B
i
trên hệ cố động,
B

b
i
=
[]
T
iziyix
b,b,b
.
- p: véc tơ đại số chứa các toạ độ của điểm P trên hệ cố định, p = [p
1
,p
2
,p
3
]
T
.
- d
i
: độ dài chân thứ i (d
i
= A
i
B
i
).
- b
i
và
B

b
i
: Xác định được từ kết cấu hình học của robot.
-
A
R
B
: Ma trận cosin chỉ hướng của hệ động Pxyz so với hệ cố định Ox
0
y
0
z
0
.
-
A
R
i
: Ma trận cosin chỉ hướng của hệ động A
i
x
i
y
i
z
i
so với hệ cố định
Ox
0
y

0
z
0
.
A
R
B
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
zzz
yyy
xxx
wvt
wvt
wvt
,
A
R
i
⎥
⎥

⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
iziziz
iyiyiy
ixixix
wvu
wvu
wvu
với: (i = 1,2,3). (3.1)
Các phần tử của ma trận
A
R
B
và ma trân
A
R
i
tuỳ theo kết cấu của bàn đế cố
định, là hàm của góc α
i
.
Từ hình vẽ ta có:
i

i
OAOB =
+
ii
BA
(i = 1,2,3) (3.2)
OPOB
i
=
+
i
PB
(i = 1,2,3) (3.3)
Ta có thể biểu diễn (3.2) và (3.3) dưới dạng sau:

b
i
=
a
i
+
A
R
i
.
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤

⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
0
0
d
i
(i = 1,2,3) (3.4)

b
i
=
p
+
A
R
B
.
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡

0
0
d
i
(i = 1,2,3) (3.5)
Kết hợp hai phương trình trên ta có :

p
+
A
R
B
.
B
b
i
=
a
i
+
A
R
i
.
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢

⎢
⎢
⎣
⎡
0
0
d
i
(i=1,2,3) (3.6)

40
40
Hệ thức (3.6) gồm có 9 phương trình chứa các ẩn là toạ độ diểm P, độ dài các
chân d
i
, các góc α
i
. Khi giải các bài toán động học thuận/ngược, ta đã biết 3
thông số p/d
i
nên công việc còn lại chỉ chỉ giải bài toán 6 phương trình 6 ẩn,
các thông số còn lại như hướng của bài máy động, hướng của các chân
ii
BA

sẽ được xác định khi đã biết các thông số này.
Hệ thức này có ý nghĩa rất quan trọng, qua đó ta có thể giải quyết bài toán
động học một cách trọn vẹn cả bài toán thuận và bài toán ngược, điều mà các
phương pháp trước đây chưa giải quyết được hay mới chỉ đưa ra cách giải

quyết bài toán thuận
b) Tính toán các phần tử của hệ thức (3.6)
Các ma trận cosin chỉ hướng
A
R
i
được xác định bởi các phép quay liên tiếp
dựa vào lý thuyết trình bày ở mục 2.2, ta thực hiện các phép biến đổi liên tiếp
để hệ toạ độ cố định Oxyz trùng với hệ A
i
x
i
y
i
z
i
.

Hình 3.2

Áp dụng hệ thức trong tam giác ta có thể tính được độ dài các đường trung
bình, như vậy sẽ xác định được ϕ

2
và ϕ
3
.
cos ϕ
2
=
21
2
21
2
2
2
1
OAOA2
AAOAOA ++
cos ϕ
3
=
31
2
31
2
3
2
1
OAOA2
AAOAOA ++

Ma trận

A
R
i
được xác định bởi các phép quay liên tiếp từ hệ cố định quanh
chính nó như sau:
A
R
i
=
A
z1
.
A
x2
.
A
z3
.
A
x4
Với
A
z1
,
A
x2
,
A
z3
,

A
x4
lần lượt là ma trận cosin chỉ hướng của các phép
quay sau:
-Quay một góc (
1
2
β
−
∏
) quanh trục z
0
.
Y
0
Z
2
Z
1
Z
3
2
ϕ
3
β
3
ϕ
β
1
2

β
X
0

41
41
-Quay tiếp quanh trục x của hệ mới một góc (Π/2)
-Quay tiếp quanh trục z của hệ mới một góc (Π/2 + α
1
)
-Quay tiếp quanh trục x của hệ mới một góc Π
Vậy :
A
R
1
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
⎥

⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
α−α
α−α−
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢

⎣
⎡
ββ
β−β
100
010
001
.
000
1sincos
0cossin
.
010
100
001
.
100
0sincos
0cossin
11
11
11
11

A
R
1
=
⎥

⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
αα
βαβαβ−
β−αβαβ−
0sincos
sincoscossincos
coscossinsinsin
11
11111
11111

Bằng cách tương tự ta cũng xác định được các ma trận
A
R
2
và
A
R
3

Ma trận

A
R
2
được xác định bởi các phép quay sau:
- Quay hệ cố định một góc (
22
2
ϕ+β−
∏
) quanh trục z
0
.
- Quay tiếp quanh trục x của hệ mới một góc (Π/2).
- Quay tiếp quanh trục z của hệ mới một góc (Π/2 + α
2
).
- Quay tiếp quanh trục x của hệ mới một góc Π.
A
R
2
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣

⎡
−
−
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
α−α
α−α−
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
⎥
⎥
⎥
⎦

⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
ϕ−βϕ−β
ϕ−β
−ϕ−β
100
010
001
.
000
1sincos
0cossin
.
010
100
001
.
100
0)sin()cos(
0)cos()sin(
22
22
2222
2222

A

R
2
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
αα
ϕ−βαϕ−βαϕ−β−
ϕ−β
−αϕ−βαϕ−β−
0sincos
)sin(cos)cos(sin)cos(
)cos(cos)sin(sin)sin(
22
22222222
22222222

Ma trận
A
R
3
được xác định bởi các phép rơ quay sau:

- Quay hệ cố định một góc (
33
2
ϕβ
−−
∏
) quanh trục z
0
.
- Quay tiếp quanh trục x của hệ mới một góc (Π/2).

42
42
- Quay tiếp quanh trục z của hệ mới một góc (Π/2 + α
3
).
- Quay tiếp quanh trục x của hệ mới một góc Π.
A
R
3
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢

⎣
⎡
−
−
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
α−α
α−α−
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
⎥
⎥
⎥

⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
ϕ−βϕ−β
ϕ−β−ϕ−β
100
010
001
.
000
1sincos
0cossin
.
010
100
001
.
100
0)sin()cos(
0)cos()sin(
33
33
3333
3333

A

R
3
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
αα
ϕ−βαϕ−βαϕ−β−
ϕ−β
−αϕ−βαϕ−β−
0sincos
)sin(cos)cos(sin)cos(
)cos(cos)sin(sin)sin(
33
33333333
33333333

Ta thấy các thành phần của các ma trận
A
R
i
(i=1,2,3) chỉ chưa các ẩn là các
góc α

i
còn ϕ
2
, ϕ
3
và β
i
(i=1,2,3) đã biết do kết cấu của robot.
Mặt khác dựa vào kết cấu của bàn di động B ta có :
(
b
1
–
b
2
)
T
(
b
1
-
b
2
) =
2
21
BB

(3.7)
(

b
1
–
b
3
)
T
(
b
1
-
b
3
) =
2
31
BB
(3.8)
(
b
2
–
b
3
)
T
(
b
2
-

b
3
) =
2
32
BB
(3.9)
Với
b
i
=
a
i
+
A
R
i
.
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
0
0

d
i
(i = 1,2,3)
Như vậy các thành phần của hệ thức (3.6) được xác định thông qua 9 ẩn số
α
1
, α
2
, α
3
, d
1
, d
2
, d
3
, p
1
, p
2
, p
3
.
Khi giải quyết bài toá động học thuận hay ngược, ta biết trước được 3 ẩn (d
1
,
d
2
, d
3

hoặc p
1
, p
2
, p
3
). Công việc còn lại chỉ phải giải hệ 6 phương trình 6 ẩn
số.

3.1.2 Bài toán động học thuận
Bài toán động thuận là bài toán biết độ dài các chân d
i
(i=1,2,3), ta phải tìm vị
trí của bàn máy động p và ma trận
A
R
B
.
Ta thay các giá trị d
i
vào hệ (3.6), ta được hệ 6 phương trình với 6 ẩn số là:
α
1
, α
2
, α
3
,, p
1
, p

2
, p
3
.

3.1.3 Bài toán động học ngược

43
43
Bài toán động ngựoc là bài toán biết vị trí của bàn máy di động p
i
(i=1,2,3), ta
phải tìm vị trí của các chân d
i
(i=1,2,3) và các góc α
i
(i=1,2,3).
Ta thay các giá trị p
i
vào hệ (3.6), ta được hệ 6 phương trình với 6 ẩn số là:
α
1
, α
2
, α
3
, d
1
, d

2
, d
3
.

3.1.4 Tính toán vị trí cho robot song song 3RPS cụ thể
Trên hình 3.3 mô tả sơ đồ động học của một con robot song song 3RPS, có đế
cố định A
1
A
2
A
3
và bàn di động B
1
B
2
B
3
là các tam giác đều. Độ dài PB
1
=h:
OA
1
= g. Khi các góc ϕ
2
= ϕ
3
= 2π/3. Để đảm bảo tính hợp lý của kết cấu ta có
z