De thi thu Toan THPT Nguyen Xuan Nguyen

<span class='text_page_counter'>(1)</span>TRƯỜNG THPT NGUYỄN XUÂN NGUYÊN ĐỀ CHÍNH THỨC. ĐỀ KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG CÁC MÔN THI ĐH -CĐ NĂM HỌC 2011 -2012 Môn: TOÁN, khối A, B Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề. I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7 điểm) Câu I (2 điểm) Cho hàm số y = x 4 −2(m −1)x 2+m− 2 (1). 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) khi m=2 . 2. Tìm m để hàm số (1) đồng biến trên khoảng 1; 3 ¿ . ¿ Câu II (2 điểm) 1. Giải phương trình: cos 2 x+5=2(2 −cos x )(sin x − cos x) ¿ x 2 −3 x ( y −1)+ y 2+ y (x −3)=4 (x , y ∈ R) 2. Giải hệ phương trình: x − xy −2 y=1 ¿{ ¿ Câu III (2 điểm) e x+( x − 2) ln x dx 1. Tính tích phân: I = ∫ x (1+ln x) 1 2. Cho ba số thực dương a , b , c thay đổi thỏa mãn điều kiện abc = 1. Chứng minh rằng: 1 1 1 1 1 1 1  b  c 1  c  a + + + + 1+ a+b 2+ a 2+ b 2+ c Câu IV (1 điểm) Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O , hai mặt ¿ 2 3a , phẳng ( SAC ) và ( SBD ) cùng vuông góc với mặt phẳng ( ABCD ). Biết AC BD. ¿. a. O. SAB. a 3 4. 2 , khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng ( ) bằng . Tính thể tích khối chóp S . ABCD theo a . II. PHẦN RIÊNG (3 điểm) Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc B) A. Theo chương trình Chuẩn Câu V.a (3 điểm) 1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có đỉnh A(3; -4). Phương trình đường trung trực cạnh BC, đường trung tuyến xuất phát từ C lần lượt là x+ y − 1=0 và 3 x − y − 9=0 . Tìm tọa độ các đỉnh B , C của tam giác ABC. 2. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho đường tròn ( C ) có phương trình 2 2 x + y +2 x − 4 y −8=0 và đường thẳng ( Δ ) có phương trình : 2 x −3 y −1=0 . Chứng minh rằng ( Δ ) luôn cắt ( C ) tại hai điểm phân biệt A, B . Tìm toạ độ điểm M trên đường tròn ( C ) sao cho diện tích tam giác ABM lớn nhất. x+1 x−1 2 3 . Giải phương trình: (3 x −2)log 3 =4 − . 9 2 3 3 B. Theo chương trình Nâng cao Câu V.b (3 điểm) 1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho điểm M (0; 2) và hai đường thẳng d 1 , d 2 có phương trình lần lượt là 3 x+ y +2=0 và x − 3 y + 4=0 . Gọi A là giao điểm của d 1 và d 2 . Viết phương trình đường thẳng đi qua M, cắt 2 đường thẳng d 1 và d 2 lần lượt tại B , 1 1 + 2 đạt giá trị nhỏ nhất. C ( B và C khác A ) sao cho 2 AB AC 2 2 2. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn ( C ): x + y −2 x+ 4 y +2=0 . Viết phương trình đường tròn ( C ') tâm M (5, 1) biết ( C ') cắt ( C ) tại hai điểm A , B sao cho AB=√ 3 ..

<span class='text_page_counter'>(2)</span> 0. 3. Tính giá trị biểu thức A =. 0. 1. 1. 2. 2. 3. 3. 2011. 2011. 2 C 2011 2 C 2011 2 C 2011 2 C 2011 2 C2011 − + − +¿ ......1 2 3 4 2012. ----------------------------- Hết ----------------------------Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh .........................................................số báo danh......................... HƯỚNG DẪN CHẤM THI MÔN TOÁN KHỐI A, B KỲ THI KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG CÁC MÔN THI ĐH - CĐ NĂM HỌC 2011 - 2012 Câu I (2đ). Đáp án 1. (1 điểm) Với m = 2, y=x 4 −2 x 2 1. TXĐ: D = R 2. Sự biến thiên: a) Chiều biến thiên: 3 3 y '=4 x − 4 x ; y '=0 ⇔ 4 x − 4 x=0 ⇔ x=0 , x=± 1 Hàm số đồng biến trên các khoảng (-1; 0) và (1; +∞ ) Hàm số nghịch biến trên các khoảng (- ∞ ; -1) và (0; 1) ----------------------------------------------------------------------------------------------------b) Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x = 0; ycđ = y(0) = 0 Hàm số đạt cực tiểu tại x = ± 1; yct = y( ± 1) = -1 ---------------------------------------------------------------------------------------------------c) Giới hạn tại vô cực: Lim (x 4 −2 x 2)=¿ + ∞ x → ±∞ d) Bảng biến thiên Bảng biến thiên. Điểm 0,25 đ. 0,25đ. 0,25 đ. ----------------------------------------------------------------------------------------------------3) Đồ thị:. 0,25 đ. 2) 1 điểm y' = 4 x 3 − 4( m−1)x y' = 0 ⇔ 4 x 3 − 4( m−1)x = 0 ⇔ x [ x 2 −(m−1) ]=0 ---------------------------------------------------------------------------------------------------TH1: Nếu m- 1 0 ⇔ m 1 Hàm số đồng biến trên khoảng (0; + ∞ ). Vậy m 1 thoả mãn ycbt --------------------------------------------------------------------------------------------------TH 2: m - 1 > 0 ⇔ m> 1 y' = 0 ⇔ x = 0, x = ± √m −1. 0,25 đ 0,25 đ.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Hàm số đồng biến trên các khoảng (- √ m−1 ; 0 ) và ( √ m−1 ; + ∞ ) ⇔ m Để hàm số đồng biến trên khoảng (1; 3 ) thì √ m−1 ≤ 1 2 ----------------------------------------------------------------------------------------------------Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (1; 3 ) ⇔ m ¿. 0,25 đ. 0,25 đ II (2 đ). 1. (1 đi ểm) cos 2 x+5=2(2 −cos x )(sin x − cos x) ⇔ 2cos2x - 1 + 5 = 4sinx - 2sinxcosx - 4cosx + 2cos2x =0 -------------------------------------------------------------------------------------------------------⇔ 2(sinx - cosx) - sinxcosx -2 = 0 Đặt t = sinx - cosx ( - √ 2≤ t ≤ √2 ) 1 −t 2 ⇒ sinxcosx = 2 Phương trình trở thành t2 + 4t - 5 = 0 t = 1; t = -5 (loại) ------------------------------------------------------------------------------------------------------π π Với t = 1 ⇔ sinx - cosx = 1 ⇔ √ 2 sin x − 4 = 1 ⇔ sin x − 4 = √2 2 -------------------------------------------------------------------------------------------------------π π x − = +k 2 π π x= +k 2 π 4 4 2 ¿ ¿ π 3π x− = +k 2 π x=π + k 2 π ⇔ ⇔ 4 4 ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ 2. (1 điểm) x2 -3x(y-1) + y2 + y(x-3) = 0 ⇔ (x-y)2 + 3(x-y) - 4 = 0 ------------------------------------------------------------------------------------------------------x − y =1 ¿ x − y=− 4 ¿ ¿ ¿ ¿ -----------------------------------------------------------------------------------------------------¿ x − y=1 * Với x- y = 1, ta có x − xy − 2 y=1 ¿{ ¿ ⇔ x = 1; y = 0 và x= -1; y = -2 ----------------------------------------------------------------------------------------------------¿ x − y =− 4 * Với x - y = -4 ta có x − xy − 2 y=1 (Hệ PT vô nghiệm) ¿{ ¿. (. ). (. ). Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm (x; y) = (1; 0) và (x; y) = (-1; -2) III 1. (1 điểm) e e e (2 đ) x (1+ ln x) −2 ln x ln x dx=∫ dx -2 ∫ dx I= ∫ x (1+ ln x ) 1 1 1 x (1+ ln x) -----------------------------------------------------------------------------------------------------. 0,25 đ. 0,25 đ. 0,25 đ. 0,25 đ. 0,25 đ 0,25 đ. 0,25 đ. 0,25 đ. 0,25 đ.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> Ta có e. ∫ dx=e −1. 0,25 đ. 1. ----------------------------------------------------------------------------------------------------e ln x dx Tính J = ∫ 1 x (1+ ln x) Đặt t = 1 + lnx 1 1− t 2 t −1 (¿) dt dt = J= ∫ = (t - ln |t| ) ¿21 = 1 - ln2 2 t 1 ∫¿ 1. 0,25 đ. 0,25 đ. ------------------------------------------------------------------------------------------------------Vậy I = e - 1 - 2(1- ln2) = e - 3 + 2ln2 2. (1 điểm) Do vai trò của a, b, c bình đẳng nên ta giả thiết 0 < a b c Khi đó 0 < 1 + a + b 1+a+c 1+b+c và 0 < 2 + a 2+b 2+c Ta có 1 1 1 1 1 1 + + + + = 2+ a 2+ b 2+ c 1+ a+b 1+ b+c 1+c + a b−1 c −1 a −1 = + + (2+a)(1+a+ b) (2+b)(1+b+ c) (2+c )(1+ a+c ). (. ). b −1 c −1 a −1 + + = (2+c )(1+ b+c ) (2+c )(1+b+c ) (2+c )(1+ b+c ). a+b+c −3 (2+c )(1+ b+c ). 3. 3 √ abc −3 =0 (2+c )(1+ b+c ). Vậy. 1 1 1 1+ a+b + 1  b  c + 1  c  a. 1 2+ a +. 1 2+ b +. 1 2+ c. IV Từ giả thiết hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) nên (1 đ) giao tuyến SO vuông góc với mặt phẳng (ABCD). 1 VSABCD = SO.SABCD 3 1 2 Diện tích đáy S ABCD = AC. BD=2 √ 3 a 1. 0,25 đ. ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------. 0 .Ta có tam giác ABO vuông tại O và AO = a 3 ; BO = a , do đó ABD=60 ⇒ tam giác ABD đều. Do tam giác ABD đều nên với H là trung điểm của AB, K là trung điểm của HB ta có 1 a 3 OK  DH  2 2  OK  AB  AB  DH  AB và DH = a 3 ; OK // DH và (SOK) Gọi I là hình chiếu của O lên SK ta có OI  SK; AB  OI  OI  (SAB) , hay OI là khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SAB) 1 1 1 a    SO  2 2 2 OK SO 2 Tam giác SOK vuông tại O, OI là đường cao  OI a SO  2. Đường cao của hình chóp Thể tích khối chóp S.ABCD:. 0,5 đ.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> 1 3a 3 VS . ABC D  S ABC D .SO  3 3 I. D. 0,25 đ. a 3 O. H. a K C B Va 1. (1 điểm) (3 đ) Gäi C = (c; 3c - 9) vµ M lµ trung ®iÓm cña BC ⇒ M(m; 1-m) Suy ra: B= (2m-c; 11 -2m- 3c). 0,25 đ -----------------------------------------------------------------------------------------------------2 m− c +3 7 − 2 m−3 c Gọi I lµ trung ®iÓm cña AB, ta có I( ; ) 2 2 0,25 đ Vì I nằm trên đường thẳng 3x - y - 9 = 0 nªn 3(. 2 m− c+3 7 −2 m− 3 c )−( )− 9=0 2 2. ⇒ m = 2 ⇒ M(2; -1) Ph¬ng tr×nh BC: x – y - 3=0 -------------------------------------------------------------------------------------------------------¿ ¿ 3 x − y − 9=0 x =3 Tọa độ của C là nghiệm của hệ: x − y − 3=0 ⇔ y=0 ¿{ ¿{ ¿ ¿ Tọa độ của C = (3; 0), toạ độ B(1; -2) 2. (1 điểm) Đường tròn (C) có tâm I(-1; 2), bán kính R = √ 13 . 9 Khoảng cách từ I đến đường thẳng ( Δ ) là d (I , Δ)= <R √ 13 Vậy đường thẳng ( Δ ) cắt (C) tại hai điểm A, B phân biệt. --------------------------------------------------------------------------------------------------------1 Gọi M là điểm nằm trên (C), ta có S Δ ABM= AB. d (M , Δ) 2 Trong đó AB không đổi nên S Δ ABM lớn nhất khi d (M , Δ) lớn nhất. -------------------------------------------------------------------------------------------------------Gọi d là đường thẳng đi qua tâm I và vuông góc với ( Δ ). PT đường thẳng d là 3x + 2y - 1 = 0 Gọi P, Q là giao điểm của đường thẳng d vời đường tròn (C). Toạ độ P, Q là nghiệm của hệ phương trình: x=1 , y=−1 ¿ ¿ x 2+ y 2 +2 x − 4 y −8=0 x=−3 , y=5 ⇔ 3 x+ 2 y −1=0 ¿ ¿ ¿{ ¿ ¿ ¿ ⇒ P(1; -1); Q(-3; 5) 4 22 Ta có d (P , Δ)= ; d (Q , Δ)= √ 13 √ 13 --------------------------------------------------------------------------------------------------------Ta thấy d (M , Δ) lớn nhất khi và chỉ khi M trùng với Q. Vậy tọa độ điểm M (-3; 5). 3. (1 điểm) Điều kiện: x > 1 x+1 2 x+1 x x−1 2 ⇔ (3 −2) [ log 3 ( x − 1) − log 3 3 ]=4 − 3 (3 x −2)log 3 =4 − . 9 2 3 3 3 -------------------------------------------------------------------------------------------------------⇔ (3 x −2) [ log 3 (x − 1) −1 ] =4 − 2. 3 x ⇔ (3 x −2)log 3 (x − 1)+3 x − 2=0. ⇔. (3 x −2) [ log 3 (x − 1)+1 ]=0. 0,25 đ. 0,25 đ. 0,25 đ. 0,25 đ. 0,25 đ. 0,25 đ. 0,25 đ. 0,25 đ. A.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> ---------------------------------------------------------------------------------------------------------x=log(loại) x 32 3 −2=0 ¿ ¿ 4 log 3 ( x −1)=−1 x= ⇔ ⇔ 3 ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ 4 Vậy PT có nghiệm x = 3 Vb 1. (1 điểm) (3 đ) Toạ độ điểm A(-1; 1) ----------------------------------------------------------------------------------------------------Ta thấy 2 đường thẳng d1 và d2 vuông góc với nhau Gọi Δ là đường thẳng đi qua M, cắt 2 đường thẳng d 1 và d 2 lần lượt tại B , C ( B và C khác A ). Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên Δ . Ta có: 1 1 1 1 + 2= ≥ (không đổi) 2 2 2 AB AC AH AM -----------------------------------------------------------------------------------------------------1 1 1 khi H M, hay Δ là đường + 2 đạt giá trị nhỏ nhất bằng ⇒ 2 AB AC AM 2 thẳng đi qua M và vuông góc với AM. ------------------------------------------------------------------------------------------------------PT đường thẳng Δ : x + y - 2 = 0 2. (1 đi ểm) Phương trình đường tròn (C): x2 + y2 – 2x + 4y + 2 = 0 có tâm I(1, –2), bk R= √ 3 Đường tròn (C') tâm M cắt đường tròn (C) tại A, B nên AB  IM tại trung điểm H của đoạn AB. -----------------------------------------------------------------------------------------------------AB √ 3 = Ta có AH=BH= 2 2 MI .  5  1. 2. 2.   1  2  5. 3 2 ----------------------------------------------------------------------------------------------------Trường hợp 1: MH = MI – IH = √ MH2 +AH 2 Khi đó bán kính của đường tròn (C’) là R’ = √ MH2 +AH 2 = 13 2 y − 1¿ =13 Phương trình đường tròn (C’) là: x − 5 ¿2+ ¿ ¿ ----------------------------------------------------------------------------------------------------3 13 Trường hợp 2 : MH = MI + IH = 5+ = 2 2 Khi đó bán kính của đường tròn (C’) là R’ = √ MH2 +AH 2 = 43 2 y − 1¿ =43 Phương trình đường tròn (C’) là: x −5 ¿2 +¿ ¿ Vậy có 2 đường tròn (C') thỏa mãn ycbt là: (x – 5)2 + (y – 1)2 = 13 và (x – 5)2 + (y – 1)2 = 43 3. (1 điểm). 0,5 đ. 0,25 đ. 0,25 đ. 0,25 đ 0,25 đ. 0,25 đ. 0,25 đ. 2 2 2 2 IH ¿ √ IA − AH = √ R − AH =. 0,25 đ. 0,25 đ.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> k. − 2¿ . 2011 ! −2 ¿ k . 2011 ! ¿ +1 ¿ −2 ¿k .C k2012 k ¿ −2 ¿ .2012 ! k k Ta có = == 1 ¿ k 2 . C2011 . ¿ −1 ¿ =¿ ¿ 2012 k +1 ¿ ¿ ¿ k +1 k+1 −2 ¿ . C2012 = 1 .¿ 4024 ----------------------------------------------------------------------------------------------------Với k = 0, 1, 2, …….., 2011 ta có: −2 ¿2012 C 2012 2012 2 2 −2 ¿ C2012 +. . .. .. .+¿ 1 A=. = 4024 − 2 ¿1 C 1202 +¿ ¿ ¿ − 2¿ 0 C 02012 − 2¿ 2012 C2012 2012 −¿ 2 2 −2 ¿ C2012 +. . .. .. .+¿ 1 =. = 4024 − 2 ¿1 C 1202 +¿ 0 0 −2 ¿ C 2012 +¿ ¿ ¿ −2 ¿0 C02012 1 1 2012 =. −2+1 ¿ −¿ = . [ 1−1 ] = 0 4024 4024 ¿ ¿ Vậy A = 0. 0,5 đ. 0,5 đ.

<span class='text_page_counter'>(8)</span>