(Luận văn thạc sĩ) phương pháp gradient tăng cường cho bài toán cân bằng hỗn hợp tổng quát, bài toán điểm bất động và bài toán bất đẳng thức biến phân​

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

HOÀNG TUẤN DOANH

PHƯƠNG PHÁP GRADIENT TĂNG CƯỜNG
CHO BÀI TOÁN CÂN BẰNG HỖN HỢP TỔNG QUÁT,
BÀI TOÁN ĐIỂM BẤT ĐỘNG VÀ BÀI TOÁN BẤT
ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC
Chun ngành: Tốn ứng dụng
Mã số: 60 46 01 12

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
TS. Trương Minh Tuyên

Thái Nguyên – 2017


ii

Lời cảm ơn
Luận văn này được thực hiện tại trường Đại học Khoa học - Đại học Thái
Nguyên và hoàn thành dưới sự hướng dẫn của TS. Trương Minh Tuyên. Tác giả
xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới người hướng dẫn khoa
học của mình, người đã đặt vấn đề nghiên cứu, dành nhiều thời gian hướng dẫn
và tận tình giải đáp những thắc mắc của tác giả trong suốt quá trình làm luận
văn.
Trong quá trình hồn thiện luận văn, tác giả cũng đã học tập được rất nhiều
kiến thức chuyên ngành bổ ích phục vụ cho công tác và nghiên cứu của bản thân.

Tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới các Thầy giáo, Cô giáo đã tham gia
giảng dạy lớp Cao học Tốn K9Y, Ban giám hiệu, các phịng chức năng và Khoa
Toán - Tin của trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên đã quan tâm và
giúp đỡ tác giả trong suốt thời gian tác giả học tập và nghiên cứu tại trường.
Xin chân thành cảm ơn các thành viên lớp cao học K9Y và bạn bè đồng
nghiệp đã trao đổi, động viên và khích lệ tác giả trong suốt q trình hồn thiện
luận văn.


iii

Mục lục
Một số ký hiệu và viết tắt

iv

Mở đầu
Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị
1.1. Một số tính chất của không gian Hilbert . . . . . .
1.2. Bài tốn tìm điểm bất động của ánh xạ khơng giãn
1.3. Bài toán bất đẳng thức biến phân . . . . . . . . . .
1.3.1. Phát biểu bài toán . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2. Phương pháp gradient . . . . . . . . . . . .
1.3.3. Phương pháp gradient tăng cường . . . . . .
1.4. Bài toán cân bằng . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.1. Phát biểu bài toán . . . . . . . . . . . . . .
1.4.2. Bài toán cân bằng và các bài toán liên quan
1.4.3. Bài toán cân bằng hỗn hợp tổng quát . . . .
1.4.4. Một số phương pháp giải bài tốn cân bằng

1

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

Chương 2 Phương pháp gradient tăng cường tìm nghiệm chung
của bài toán cân bằng hỗn hợp tổng quát, bài toán điểm bất
động và bài toán bất đẳng thức biến phân
2.1. Một số bổ đề bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2. Phương pháp gradient tăng cường tìm nghiệm chung của bài toán
cân bằng hỗn hợp tổng quát, bài toán điểm bất động và bài toán
bất đẳng thức biến phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3. Một số hệ quả . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4. Ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5. Ví dụ số minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Tài liệu tham khảo

3
3
10
11
11
12
13
14
14
14

16
18

20
20

25
36
41
46
49


iv

Một số ký hiệu và viết tắt

H

khơng gian Hilbert

., .

tích vô hướng trên H

.

chuẩn trên H

∪

phép hợp

∩

phép giao

R+

tập các số thực khơng âm

I

tốn tử đồng nhất

∅

tập rỗng

∀x

với mọi x

∃x

tồn tại x

x n → x0

dãy {xn } hội tụ mạnh về x0

x n ⇀ x0

dãy {xn } hội tụ yếu về x0


1

Mở đầu
Bài tốn cân bằng có vị trí quan trọng trong lĩnh vực giải tích phi tuyến, nó
có mối liên hệ mật thiết, qua lại (theo nghĩa bài toán này có thể đưa về bài tốn
kia và ngược lại) với một số bài toán quan trọng khác như bài toán tối ưu, bài
toán bất đẳng thức biến phân, bài toán bù, bài toán minimax, bài toán điểm bất
động ... Việc nghiên cứu các phương pháp giải bài toán điểm bất động, bài toán
bất đẳng thức biến phân hay bài toán cân bằng (hỗn hợp tổng quát) có nhiều
ý nghĩa thực tiễn trong các lĩnh vực kinh tế, tài chính, cơ khí và khoa học kỹ
thuật ...
Trong những năm gần đây vấn đề nghiên cứu các phương pháp tìm nghiệm
chung của mơ hình bao gồm nhiều bài tốn khác nhau đã thu hút được nhiều
người làm tốn trong và ngồi nước quan tâm nghiên cứu. Một trong những bài
toán được quan tâm nhiều là bài tốn tìm một nghiệm chung của bài toán cân
bằng hỗn hợp tổng quát, bài toán bất đẳng thức biến phân và bài toán điểm bất
động của ánh xạ khơng giãn.
Mục đích của luận văn này là trình bày lại chi tiết kết quả của các tác giả J.
W. Peng và J. C. Yao trong tài liệu [12] về sự kết hợp giữa phương pháp gradient
tăng cường, phương pháp lặp Mann và phương pháp lai chiếu cho bài tốn tìm
một nghiệm chung của bài tốn cân bằng hỗn hợp tổng quát, bài toán bất đẳng
thức biến phân và bài tốn điểm bất động trong khơng gian Hilbert.
Nội dung chính của luận văn được chia làm hai chương, trong đó:
Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị

Trong chương này luận văn tập trung trình bày về một số đặc trưng quan
trọng thường xuyên được sử dụng của không gian Hilbert thực H (một số đẳng
thức bất đẳng thức cơ bản, sự hội tụ yếu, tính chất Kadec-Klee, phép chiếu
mêtric, định lý tách tập lồi, tính đóng yếu của một tập con lồi và đóng C), sơ
lược về bài tốn điểm bất động của ánh xạ khơng giãn cùng với phương pháp
lai chiếu được đề suất bởi K. Nakajo và W. Takahashi [9], bài toán bất đẳng
thức biến phân cùng với các phương pháp gradient [3, 7], gradient tăng cường
[6, 10, 11] và bài toán cân bằng (hỗn hợp tổng quát) cùng với một số bài toán
liên quan.


2

Chương 2. Phương pháp gradient tăng cường tìm nghiệm chung của
bài toán cân bằng hỗn hợp tổng quát, bài toán điểm bất động và bài
toán bất đẳng thức biến phân
Trong chương này trước hết luận văn đề cập đến một số bổ đề bổ trợ nhằm
phục vụ cho chứng minh của các định lý chính như: Bổ đề KKM, bổ đề về tính
chất của ánh xạ giải Tr cho bài toán cân bằng hỗn hợp tổng quát. Tiếp theo,
luận văn trình bày lại chi tiết các chứng minh về sự hội tụ mạnh của phương
pháp gradient tăng cường cho bài tốn tìm nghiệm chung của bài tốn cân bằng
hỗn hợp tổng quát, bài toán bất đẳng thức biến phân và bài toán điểm bất động
trong tài liệu [12]. Cuối cùng của chương này là một ví dụ số đơn giản trên tập
các số thực R và thử nghiệm số dựa trên phần mềm MATLAB nhằm minh họa
thêm cho tính đúng đắn của phương pháp lặp.


3

Chương 1

Một số kiến thức chuẩn bị
Chương này gồm 4 mục. Mục 1.1 trình bày về một số tính chất của khơng
gian Hilbert. Mục 1.2 giới thiệu về bài tốn tìm điểm bất động của ánh xạ khơng
giãn. Mục 1.3 trình bày về bài tốn bất đẳng thức biến phân cùng với hai phương
pháp cơ bản để giải lớp bài toán này (phương pháp gradient và phương pháp
gradient tăng cường). Mục 1.4 tập trung trình bày về bài tốn cân bằng cùng
với các bài toán liên quan (bài toán tối ưu, bài toán điểm yên ngựa, bài toán
điểm bất động, bài toán tối ưu hàm lồi khả vi, bài toán bất đẳng thức biến
phân), bài toán cân bằng hỗn hợp tổng quát và một số phương pháp giải bài
toán cân bằng. Nội dung của chương này phần lớn được tham khảo từ các tài liệu
[1] và [2].

1.1.

Một số tính chất của không gian Hilbert

Ta luôn giả thiết H là không gian Hilbert thực với tích vơ hướng được kí hiệu
là ., . và chuẩn được kí hiệu là . .
Mệnh đề 1.1. Trong không gian Hilbert thực H ta luôn có đẳng thức sau
x−y

2

+ x−z

2

= y−z

2

+ 2 x − y, x − z ,

với mọi x, y, z ∈ H.
Chứng minh. Thật vậy, ta có
y−z

2

+ 2 x − y, x − z = y, y + z, z + 2 x, x − 2 x, z − 2 x, y
= [ x, x − 2 x, y + y, y ]
+ [ x, x − 2 x, z + z, z ]


4

= x−y

2

+ x − z 2.

Vậy ta được điều phải chứng minh.
Mệnh đề 1.2. Cho H là một không gian Hilbert thực. Khi đó, với mọi x, y ∈ H
và mọi λ ∈ [0, 1], ta có
λx + (1 − λ)y

2

=λ x

2

+ (1 − λ) y

2

− λ(1 − λ) x − y 2 .

(1.1)

Chứng minh. Ta có
λx + (1 − λ)y

2

= λ2 x

2

+ 2λ(1 − λ) x, y + (1 − λ)2 y
2

2

=λ x

2

+ (1 − λ) y

2

− λ(1 − λ)( x

− 2 x, y + y 2 )

=λ x

2

+ (1 − λ) y

2

− λ(1 − λ) x − y 2 .

Ta được điều phải chứng minh.
Mệnh đề 1.3. Cho H là một khơng gian Hilbert thực. Khi đó, nếu với x, y ∈ H
thỏa mãn điều kiện
| x, y | = x . y ,
tức là bất đẳng thức Schwars xảy ra dấu bằng thì hai véc tơ x và y là phụ thuộc
tuyến tính.
Chứng minh. Giả sử ngược lại rằng x = λy với mọi λ ∈ R. Khi đó, từ tính chất
của tích vơ hướng, ta có
0 < x − λy

2

= λ2 y

2

− 2λ x, y + x 2 ,

với mọi λ ∈ R. Ta thấy rằng nếu y = 0, thì hiển nhiên x và y là phụ thuộc tuyến
x, y
tính. Giả sử y = 0, khi đó với λ =
, thì bất đẳng thức trên trở thành
y 2
| x, y | < x . y ,
điều này mâu thuẫn với giả thiết. Vậy x và y là phụ thuộc tuyến tính.
Mệnh đề được chứng minh.
Nhắc lại rằng, dãy {xn } trong không gian Hilbert H được gọi là hội tụ yếu
về phần tử x ∈ H, nếu
lim xn , y = x, y ,
n→∞


5

với mọi y ∈ H. Từ tính liên tục của tích vơ hướng, suy ra nếu xn → x, thì
xn ⇀ x. Tuy nhiên, điều ngược lại không đúng. Chẳng hạn xét không gian
∞
2
2
l2 = {xn } ⊂ R :
n=1 |xn | < ∞ và {en } ⊂ l , được cho bởi
en = (0, ..., 0,

1

, 0, ..., 0, ...),

vị trí thứ n

với mọi n ≥ 1. Khi đó, en ⇀ 0, khi n → ∞. Thật vậy, với mỗi y ∈ H, từ bất
đẳng thức Bessel, ta có
∞

| en , y |2 < y

2

< ∞.

n=1

Suy ra limn→∞ en , y = 0, tức là en ⇀ 0. Tuy nhiên, {en } khơng hội tụ về 0, vì
en = 1 với mọi n ≥ 1.
Ta biết rằng mọi không gian Hilbert H đều thỏa mãn điều kiện của Opial,
tính chất này được thể hiện trong mệnh đề dưới đây:
Mệnh đề 1.4. Cho H là một không gian Hilbert thực và {xn } ⊂ H là một dãy
bất kỳ thỏa mãn điều kiện xn ⇀ x, khi n → ∞. Khi đó, với mọi y ∈ H và y = x,
ta có
lim inf xn − x < lim inf xn − y .
(1.2)
n→∞

n→∞

Chứng minh. Vì xn ⇀ x, nên {xn } bị chặn.
Ta có
xn − y

2

= xn − x

2

+ x−y

2

> xn − x

2

+ 2 xn − x, x − y .

+ 2 xn − x, x − y

Vì x = y, nên
lim inf xn − y
n→∞

2

> lim inf xn − x

n→∞

2

+ 2 xn − x, x − y

= lim inf xn − x 2 .
n→∞

Do đó, ta nhận được
lim inf xn − x < lim inf xn − y .
n→∞

Mệnh đề được chứng minh.

n→∞


6

Mệnh đề 1.5. Mọi không gian Hilbert thực H đều có tính chất Kadec-Klee, tức
là nếu {xn } ⊂ H là một dãy bất kỳ trong H thỏa mãn các điều kiện xn ⇀ x và
xn → x , thì xn → x, khi n → ∞.
Chứng minh. Ta có
xn − x

2

= xn

2

− 2 xn , x + x

2

→ 0, n → ∞.
Suy ra xn → x, khi n → ∞. Mệnh đề được chứng minh.
Mệnh đề 1.6. Cho C là một tập con lồi và đóng của khơng gian Hilbert thực
H. Khi đó, với mỗi x ∈ H, tồn tại duy nhất phần tử PC x ∈ C sao cho
x − PC x ≤ x − y với mọi y ∈ C.
Chứng minh. Thật vậy, đặt d = inf x − u . Khi đó, tồn tại {un } ⊂ C sao cho
u∈C

x − un −→ d, n −→ ∞. Từ đó ta có
un − um

2

2

= (x − un ) − (x − um )
= 2 x − un
≤ 2( x − un

2

+ 2 x − um
2

+ x − um

u n + um
2
2
2
) − 4d −→ 0,
2

2

−4 x−

khi n, m −→ ∞. Do đó {un } là dãy Cauchy trong H. Suy ra tồn tại
u = lim un ∈ C. Do chuẩn là hàm số liên tục nên x − u = d. Giả sử tồn
n→∞

tại v ∈ C sao cho x − v = d. Ta có
u−v

2

= (x − u) − (x − v)
= 2( x − u

2

2
2

+ x−v )−4 x−

u+v
2

2

≤ 0.
Suy ra u = v. Vậy tồn tại duy nhất một phần tử PC x ∈ C sao cho
x − PC x = inf u∈C x − u .
Định nghĩa 1.1. Phép cho tương ứng mỗi phần tử x ∈ H một phần tử PC x ∈ C
xác định như trên được gọi là phép chiếu mêtric từ H lên C.
Ví dụ 1.1. Cho C = {x ∈ H : x, u = y}, với u = 0. Khi đó
PC x = x +

y − x, u
u

2

u.


7

Ví dụ 1.2. Cho C = {x ∈ H : x − a ≤ R}, trong đó a ∈ H là một phần tử
cho trước và R là một số dương. Khi đó, ta có:

x nếu x − a ≤ R,
PC x =

R
a +
(x − a) nếu x − a > R.
x−a
Mệnh đề dưới đây cho ta một điều kiện cần và đủ để ánh xạ PC : H −→ C
là một phép chiếu mêtric.

Mệnh đề 1.7. Cho C là một tập con lồi đóng của khơng gian Hilbert thực H.
Khi đó, điều kiện cần và đủ để ánh xạ PC : H −→ C là phép chiếu mêtric từ H
lên C là
x − PC x, PC x − y ≥ 0 với mọi x ∈ H và y ∈ C.
(1.3)
Chứng minh. Giả sử PC là phép chiếu mêtric. Khi đó với mọi x ∈ H, y ∈ C và
mọi t ∈ (0, 1), ta có ty + (1 − t)PC x ∈ C. Do đó, từ định nghĩa của phép chiếu
mêtric, suy ra
x − PC x 2 ≤ x − ty − (1 − t)PC x 2 ,
với mọi t ∈ (0, 1).
Bất đẳng thức trên tương đương với
2

x − PC x

≤ x − PC x

2

− 2t x − PC x, y − PC x + t2 y − PC x 2 ,

với mọi t ∈ (0, 1). Từ đó, ta có
x − PC x, PC x − y ≥ −

t
y − PC x 2 ,
2

với mọi t ∈ (0, 1). Cho t → 0+ , ta nhận được
x − PC x, PC x − y ≥ 0.
Ngược lại, giả sử
x − PC x, PC x − y ≥ 0 với mọi x ∈ H và y ∈ C.
Khi đó, với mỗi x ∈ H và y ∈ C, ta có
x − PC x

2

= x − PC x, x − y + y − PC x
= x − PC x, y − PC x + x − PC x, x − y


8

≤ x−y

2

+ y − PC x, x − PC x + PC x − y

= x−y

2

+ y − PC x, x − PC x − y − PC x

2

≤ x − y 2.
Suy ra PC là phép chiếu mêtric từ H lên C.
Từ mệnh đề trên, ta có hệ quả dưới đây:
Hệ quả 1.1. Cho C là một tập con lồi đóng của khơng gian Hilbert H và PC là
phép chiếu mêtric từ H lên C. Khi đó, với mọi x, y ∈ H, ta có
PC x − PC y

2

≤ x − y, PC x − PC y .

Chứng minh. Với mọi x, y ∈ H, từ Mệnh đề 1.7, ta có
x − PC x, PC y − PC x ≤ 0,
y − PC y, PC x − PC y ≤ 0.
Cộng hai bất đẳng thức trên ta nhận được điều phải chứng minh.
Mệnh đề 1.8. Cho C là một tập con lồi đóng của khơng gian Hilbert H và PC
là phép chiếu mêtric từ H lên C. Khi đó, với mọi x ∈ H và y ∈ C, ta có
2

x−y

≥ x − PC x

2

+ y − PC x 2 .

Chứng minh. Với mọi x ∈ H và y ∈ C, từ Mệnh đề 1.7, ta có
x − PC x, y − PC x ≤ 0.
Từ đó, ta có
x−y

2

= (x − PC x) − (y − PC x)

2

= x − PC x

2

+ y − PC x

2

≥ x − PC x

2

+ y − PC x 2 .

− 2 x − PC x, y − PC x

Mệnh đề được chứng minh.
Mệnh đề 1.9. Cho C là một tập con lồi, đóng của khơng gian Hilbert H và

x∈
/ C. Khi đó, tồn tại một phần tử v ∈ H, v = 0 sao cho
sup v, y ≤ v, x − v 2 .
y∈C


9

Chứng minh. Vì x ∈
/ C, nên v = x − PC x = 0. Từ Mệnh đề 1.7, ta có
v, y − PC x ≤ 0,
với mọi y ∈ C. Suy ra
v, y − x + x − PC x ≤ 0,
với mọi y ∈ C. Điều này tương đương với
v, y ≤ v, x − v 2 ,
với mọi y ∈ C. Do đó
sup v, y ≤ v, x − v 2 .
y∈C

Mệnh đề được chứng minh.
Chú ý 1.1. Mệnh đề 1.9 còn được gọi là định lý tách tập lồi cho trước với một
điểm khơng thuộc nó.
Mệnh đề 1.10. Nếu C là một tập con lồi và đóng của khơng gian Hilbert H,
thì C là tập đóng yếu.
Chứng minh. Giả sử C khơng là tập đóng yếu. Khi đó, tồn tại dãy {xn } trong C
thỏa mãn xn ⇀ x, nhưng x ∈
/ C. Vì C là tập lồi và đóng, nên theo định lý tách
các tập lồi, tồn tại y ∈ H và ε > 0 (chẳng hạn lấy y = v và ε = v 2 /2 trong
chứng minh của Mệnh đề 1.9 sao cho
y, z < y, x − ε,

với mọi z ∈ C. Đặc biệt
y, xn < y, x − ε,
với mọi n. Cho n → ∞, ta nhận được
y, x ≤ y, x − ε,
điều này là vơ lý. Do đó, C là tập đóng yếu.
Chú ý 1.2. Nếu C là tập đóng yếu trong H thì hiển nhiên C là tập đóng.
Từ định lý Banach-Alaoglu, ta có mệnh đề dưới đây:
Mệnh đề 1.11. Mọi tập con bị chặn của H đều là tập compact tương đối yếu.


10

1.2.

Bài tốn tìm điểm bất động của ánh xạ khơng giãn

Định nghĩa 1.2. Cho C là một tập con lồi, đóng và khác rỗng của khơng gian
Hilbert thực H. Ánh xạ T : C −→ H được gọi là một ánh xạ không giãn, nếu
với mọi x, y ∈ C, ta có
Tx − Ty ≤ x − y .
Ta ký hiệu tập điểm bất động của ánh xạ không giãn T là F ix(T ), tức là
F ix(T ) = {x ∈ C : T x = x}.
Mệnh đề dưới đây cho ta mơ tả về tính chất của tập điểm bất động F ix(T ).
Mệnh đề 1.12. Cho C là một tập con lồi, đóng và khác rỗng của không gian
Hilbert thực H và T : C −→ H là một ánh xạ khơng giãn. Khi đó, F ix(T ) là
một tập lồi và đóng trong H.
Chứng minh. Giả sử F ix(T ) = ∅.
Trước hết, ta chỉ ra F ix(T ) là tập đóng. Thật vậy, vì T là ánh xạ không giãn
nên T liên tục trên C. Giả sử {xn } là một dãy bất kỳ trong F ix(T ) thỏa mãn
xn → x, khi n → ∞. Vì {xn } ⊂ F ix(T ), nên

T xn − xn = 0,
với mọi n ≥ 1. Từ tính liên tục của chuẩn, cho n → ∞, ta nhận được T x − x =
0, tức là x ∈ F ix(T ). Do đó, F ix(T ) là tập đóng.
Tiếp theo, ta chỉ ra tính lồi của F ix(T ). Giả sử x, y ∈ F ix(T ), tức là T x = x
và T y = y. Với λ ∈ [0, 1], đặt z = λx + (1 − λ)y. Khi đó, từ Mệnh đề 1.2 và tính
khơng giãn của T ta có
Tz − z

2

= λ(T z − x) + (1 − λ)(T z − y)
= λ Tz − x

2

= λ Tz − Tx
≤λ z−x

2

2

+ (1 − λ)(T z − y)
2

2

− λ(1 − λ) x − y

+ (1 − λ) (T z − T y)

+ (1 − λ) (z − y)

= λ(z − x) + (1 − λ)(z − y)

2

2

2

2

− λ(1 − λ) x − y

− λ(1 − λ) x − y

2

2

= 0.

Suy ra T z = z và do đó z ∈ F ix(T ). Vậy F ix(T ) là một tập lồi.
Bài toán. Cho T : C −→ H là một ánh xạ không giãn từ tập con lồi, đóng
và khác rỗng C của khơng gian Hilbert H vào H là một ánh xạ không giãn với
F ix(T ) = ∅. Tìm phần tử x∗ ∈ F ix(T ).


11

Đã có nhiều phương pháp nổi tiếng được đề xuất để giải bài toán trên, như
phương pháp lặp Mann, phương pháp lặp Ishikawa, phương pháp lặp Halpern,
phương pháp xấp xỉ mềm, phương pháp sử dụng siêu phẳng cắt ... Trong luận
văn chúng tôi chỉ giới thiệu phương pháp lai chiếu được đề xuất bởi K. Nakajo
và W. Takahashi [9] vào năm 2003. Kết quả này được cho bởi định lý dưới đây:
Định lí 1.1. [9] Cho H là một khơng gian Hilbert thực và C là tập con lồi,
đóng, khác rỗng của H. Cho T là một ánh xạ không giãn từ C vào chính nó với
F ix(T ) = ∅. Với x1 ∈ C bất kỳ, ta xác định dãy {xn } như sau


yn = αn xn + (1 − αn )T xn ,




C = {z ∈ C : y − z ≤ x − z },
n
n
n
(1.4)

Q
=
{z
∈
C
:
x
−

z,
x
−
x
≥
0},

n
n
n



x
n+1 = PCn ∩Qn x1 , n ≥ 1,

trong đó {αn } là dãy số thực thỏa mãn điều kiện {αn } ⊂ [0, a), với a < 1. Khi
đó, dãy {xn } hội tụ mạnh về PF ix(T ) x1 , khi n → ∞.

1.3.
1.3.1.

Bài toán bất đẳng thức biến phân
Phát biểu bài tốn

Cho C là một tập con lồi và đóng của không gian Hilbert H và A : C −→ H
là một ánh xạ liên tục. Bài toán bất đẳng thức biến phân được phát biểu như
sau:
Tìm x∗ ∈ C sao cho
A(x∗ ), x − x∗ ≥ 0 với mọi x ∈ C.

(1.5)

Tập hợp những điểm x∗ ∈ C thỏa mãn (1.5) được gọi là tập nghiệm của bài toán
và ký hiệu là V I(C, A).
Trước hết chúng ta nhắc lại một số khái niệm sau.
Cho H là một không gian Hilbert thực, C là một tập lồi đóng khác rỗng của H
và A : C −→ H là một ánh xạ từ C vào H.
a) Ánh xạ A được gọi là đơn điệu trên C nếu với mọi x, y ∈ C ta có:
A(x) − A(y), x − y ≥ 0.


12

b) Ánh xạ A được gọi là giả đơn điệu trên C nếu với mọi x, y ∈ C ta có:
A(y), x − y ≥ 0 suy ra A(x), x − y ≥ 0.
c) Ánh xạ A được gọi là α−đơn điệu mạnh trên C nếu tồn tại một hằng số
α > 0 sao cho với mọi x, y ∈ C ta có:
A(x) − A(y), x − y ≥ α x − y 2 .
d) Ánh xạ A được gọi là α-ngược đơn điệu mạnh trên C nếu tồn tại một hằng
số α > 0 sao cho với mọi x, y ∈ C ta có:
A(x) − A(y), x − y ≥ α A(x) − A(y) 2 .
e) Ánh xạ A được gọi là h-liên tục trên C nếu A(x + ty) ⇀ A(x) khi t −→ 0+
sao cho với mọi x, y ∈ C.
f) Ánh xạ A được gọi là L-liên tục Lipschitz trên C nếu tồn tại một hằng số
L > 0 sao cho với mọi x, y ∈ C ta có:
A(x) − A(y) ≥ L x − y .
Dễ dàng thấy rằng, nếu ánh xạ A là α-ngược đơn điệu mạnh thì ánh xạ A là
một ánh xạ đơn điệu và liên tục Lipschitz. Sau đây là một số phương pháp tìm
nghiệm cho bất đẳng thức biến phân cổ điển (1.5) trong khơng gian Hilbert.

1.3.2.

Phương pháp gradient

Ta có mệnh đề dưới đây:
Mệnh đề 1.13. Phần tử x∗ ∈ C là nghiệm của bất đẳng thức biến phân cổ điển
(1.5) nếu và chỉ nếu
x∗ = PC (x∗ − λA(x∗ ))
(1.6)
ở đây λ > 0 là một hằng số.
Chứng minh. Từ Mệnh đề 1.7, ta có
x∗ = PC (x∗ − λA(x∗ ))
khi và chỉ khi
(x∗ − λA(x∗ )) − x∗ , x − x∗ ≤ 0, ∀x ∈ C.


13

Điều này tương đương với
A(x∗ ), x − x∗ ≥ 0 với mọi x ∈ C,
tức là x∗ là nghiệm của bất đẳng thức biến phân cổ điển (1.5).
Dựa vào kết quả này, khi F là ánh xạ đơn điệu mạnh và Lipschitz, năm 1967
J. L. Lions và G. Stampacchia [7] đã đề xuất phương pháp gradient, để xác định
nghiệm cho bất đẳng thức biến phân cổ điển (1.5). Với phương pháp lặp được
xác định như sau:
x0 ∈ C, xn+1 = PC (xn − λF (xn )), n = 0, 1, 2...

(1.7)

Gần đây, A. Bnouhachem và các cộng sự [3] cũng đề xuất một kết quả mới để

tìm nghiệm cho bài toán (1.5). Họ xây dựng dãy lặp xác định như sau:
x0 ∈ C, xn+1 = PC (xn − λF (xn+1 )), n = 0, 1, 2...

(1.8)

và chứng minh được dãy lặp (1.8) hội tụ mạnh tới nghiệm duy nhất x∗ của bài
toán (1.5).
1.3.3.

Phương pháp gradient tăng cường

Như đã biết, phương pháp gradient chỉ cho sự hội tụ mạnh khi ánh xạ F
đơn điệu mạnh và liên tục Lipschitz. Một số nhà toán học đã áp dụng mở rộng
phương pháp gradient tăng cường, được đề xuất bởi G. M. Korpelevich [6], để tìm
nghiệm cho bất đẳng thức biến phân (1.5) và đã chứng minh được các phương
pháp này hội tụ mạnh khi ánh xạ F chỉ có tính chất đơn điệu, thậm chí là giả
đơn điệu (xem [10], [11]). Với phương pháp này dãy lặp {xn } được xác định theo
công thức sau:
x0 = x ∈ C,
yn = PC (xn − λF (xn )),

(1.9)

xn+1 = PC (xn − λF (yn )), n = 0, 1, 2...
trong đó λ ∈ (0, 1/L) với L là hằng số liên tục Lipschitz của ánh xạ F và họ
đã chứng minh được sự hội tụ mạnh của các dãy lặp {xn } và {yn } xác định bởi
(1.9) tới nghiệm x∗ của bài toán (1.5).


14

1.4.
1.4.1.

Bài toán cân bằng
Phát biểu bài toán

Cho C là một tập con khác rỗng của không gian Hilbert H và F : C×C −→ R
là một song hàm thỏa mãn tính chất
F (x, x) = 0, ∀x ∈ C.

(1.10)

Bài tốn cân bằng ứng với hàm F ký hiệu là EP (F ) và được phát biểu như
sau:
Tìm phần tử x ∈ C sao cho
F (x, y) ≥ 0 với mọi y ∈ C.

(EP)

Chú ý 1.3. Người ta thường giả thiết C là tập lồi, đóng và song hàm F thỏa
mãn điều kiện đơn điệu, tức là
F (x, y) + F (y, x) ≤ 0 với mọi x, y ∈ C.
1.4.2.

(1.11)

Bài toán cân bằng và các bài toán liên quan

Dưới đây, luận văn đề cập đến một số bài tốn có thể đưa về bài toán cân

bằng.
Bài toán tối ưu.
Cho ϕ : C −→ R là một hàm số. Xét bài tốn tìm phần tử x ∈ C sao cho:
ϕ(x) ≤ ϕ(y) với mọi y ∈ C.

(1.12)

Đặt F (x, y) = ϕ(y) − ϕ(x) với mọi x, y ∈ C. Khi đó, x là nghiệm của bài tốn
(1.12) khi và chỉ khi x là nghiệm của bài toán cân bằng EP (F ).
Chú ý 1.4. Trong trường hợp này song hàm F thỏa mãn điều kiện đơn điệu
(1.11), vì
F (x, y) + F (y, x) = 0 với mọi x, y ∈ C.
Bài toán điểm yên ngựa.
Cho C1 và C2 là các tập con của không gian Hilbert H và cho ϕ : C1 ×C2 −→
R là một hàm số. Khi đó, điểm (x1 , x2 ) ∈ C1 × C2 được gọi là điểm yên ngựa của
ϕ nếu và chỉ nếu
ϕ(x1 , y2 ) ≤ ϕ(y1 , x2 ) với mọi (y1 , y2 ) ∈ C1 × C2 .


15

Nhận xét 1.1. Nếu (x1 , x2 ) ∈ C1 × C2 là điểm yên ngựa của hàm ϕ, thì ta có
ϕ(x1 , y2 ) ≤ ϕ(x1 , x2 ) ≤ ϕ(x1 , x2 ) với mọi (y1 , y2 ) ∈ C1 × C2 .
Đặt C = C1 × C2 và F ((x1 , x2 ), (y1 , y2 )) = ϕ(y1 , x2 ) − ϕ(x1 , y2 ) với mọi
(x1 , x2 ), (y1 , y2 ) ∈ C. Khi đó, bài tốn điểm n ngựa tương đương với bài toán
cân bằng EP (F ).
Chú ý 1.5. Dễ nhận thấy rằng với mọi (x1 , x2 ), (y1 , y2 ) ∈ C ta đều có
F ((x1 , x2 ), (y1 , y2 )) + F ((y1 , y2 ), (x1 , x2 )) = 0.
Do đó song hàm F thỏa mãn điều kiện đơn điệu (1.11).
Bài toán điểm bất động.

Cho T : C −→ C là một ánh xạ. Xét bài tốn tìm một điểm bất động của
T , tức là tìm một phần tử x ∈ C sao cho T x = x.
Xét hàm số F : C × C −→ R được xác định bởi
F (x, y) = x − T x, y − x ,
với mọi x, y ∈ C. Giả sử x là một điểm bất động của T . Khi đó, F (x, y) = 0 với
mọi y ∈ C, tức là x là một nghiệm của bài toán cân bằng EP (F ).
Ngược lại, giả sử x là một nghiệm của bài toán cân bằng EP (F ), tức là
F (x, y) = x − T x, y − x ≤ 0,
1
với mọi y ∈ C. Vì x, T x ∈ C và C là tập lồi nên y = (x + T x) ∈ C. Do đó từ
2
bất đẳng thức trên, ta nhận được
1
x − Tx
2

2

≤0

hay tương đương với x = T x.
Như vậy ta nhận được bài toán điểm bất động tương đương với bài toán cân
bằng.
Nhận xét 1.2. Song hàm
F (x, y) = x − T x, y − x ≤ 0
thỏa mãn điều kiện đơn điệu khi và chỉ khi
T x − T y, x − y ≤ x − y 2 ,


16

với mọi x, y ∈ C. Do đó, từ định nghĩa của ánh xạ không giãn, dễ nhận thấy nếu
T là ánh xạ khơng giãn thì F là một song hàm đơn điệu.
Bài toán tối ưu lồi khả vi.
Xét bài tốn:
min ϕ(x),
(1.13)
x∈C

trong đó ϕ : H −→ R là một phiếm hàm lồi khả vi. Ta biết rằng phần tử x ∈ C
là nghiệm của bài toán (1.13) khi và chỉ khi x thỏa mãn điều kiện
▽ϕ(x), y − x ≥ 0 với mọi y ∈ C.
Đặt F (x, y) = ▽ϕ(x), y − x với mọi x, y ∈ C. Khi đó, dễ thấy x là nghiệm
của bài tốn (1.13) khi và chỉ khi nó là nghiệm của bài toán EP (F ).
Chú ý 1.6. Ta biết rằng toán tử vi phân ▽ϕ của hàm lồi ϕ là đơn điệu, tức là
▽ϕ(x) − ▽ϕ(y), x − y ≥ 0 với mọi x, y ∈ C.
Từ đó, ta có
F (x, y) + F (y, x) = ϕ(x), y − x + ϕ(y), x − y
= − ▽ϕ(x) − ▽ϕ(y), x − y ≤ 0,
với mọi x, y ∈ C. Do đó, trong trường hợp này song hàm F thỏa mãn điều kiện
đơn điệu (1.11).
Bài toán bất đẳng thức biến phân.
Cho A : C −→ H là một ánh xạ liên tục. Xét bài tốn bất đẳng thức biến
phân tìm một phần tử x ∈ C sao cho
Ax, y − x ≥ 0 với mọi y ∈ C.
Với mỗi x, y ∈ C, đặt F (x, y) = Ax, y − x . Khi đó, ta nhận được một song
hàm F : C × C −→ R. Dễ dàng nhận thấy phần tử x là nghiệm của bài toán
bất đẳng thức biến phân V I(C, A) khi và chỉ khi nó là nghiệm của bài toán cân
bằng EP (F ).
1.4.3.

Bài toán cân bằng hỗn hợp tổng quát

Cho C là một tập con lồi, đóng và khác rỗng của khơng gian Hilbert H.
Cho B : C −→ H là một ánh xạ phi tuyến, ϕ : C −→ R là một hàm số và


17

F : C × C −→ R là một song hàm. bài toán cân bằng hỗn hợp tổng quát được
phát biểu như sau:
Tìm một phần tử x ∈ C sao cho
F (x, y) + ϕ(y) − ϕ(x) + Bx, y − x ≥ 0 với mọi y ∈ C.

(GMEP)

Tập nghiệm của bài toán (GMEP) được ký hiệu là GM EP (F, ϕ, B).
Nhận xét 1.3. a) Nếu B = 0, thì bài tốn cân bằng hỗn hợp tổng qt (GMEP)
trở thành bài tốn cân bằng hỗn hợp:
Tìm một phần tử x ∈ C sao cho
F (x, y) + ϕ(y) − ϕ(x) ≥ 0 với mọi y ∈ C.

(MEP)

Tập nghiệm của bài toán (MEP) được ký hiệu là M EP (F, ϕ).
b) Nếu ϕ = 0, thì bài tốn cân bằng hỗn hợp tổng quát (GMEP) trở thành bài
toán cân bằng tổng quát:
Tìm một phần tử x ∈ C sao cho
F (x, y) + Bx, y − x ≥ 0 với mọi y ∈ C.

(GEP)

Tập nghiệm của bài toán (GEP) được ký hiệu là GEP (F, B).
c) Nếu ϕ = 0 và B = 0, thì bài tốn cân bằng hỗn hợp tổng quát (GMEP) trở
thành bài toán cân bằng EP (F ).
d) Nếu F = 0, thì bài tốn cân bằng hỗn hợp tổng quát (GMEP) trở thành bài
toán bất đẳng thức biến phân tổng quát:
Tìm một phần tử x ∈ C sao cho
ϕ(y) − ϕ(x) + Bx, y − x ≥ 0 với mọi y ∈ C.

(GVI)

Tập nghiệm của bài toán (GVI) được ký hiệu là V I(C, B, ϕ).
e) Nếu F = 0 và ϕ = 0, thì bài toán cân bằng hỗn hợp tổng quát (GMEP) trở
thành bài toán bất đẳng thức biến V I(C, B).
f) Nếu F = 0 và B = 0, thì bài tốn cân bằng hỗn hợp tổng quát (GMEP) trở
thành bài toán tìm cực tiểu phiếm hàm ϕ.
Tìm một phần tử x ∈ C sao cho ϕ(x) ≤ ϕ(y) với mọi y ∈ C. Tập nghiệm của
bài toán này được ký hiệu là arg minx∈C ϕ.


18

1.4.4.

Một số phương pháp giải bài toán cân bằng

Năm 2007, Y. Su, M. Shang và X. Qin [13], đã xây dựng một phương pháp
lặp dựa trên phương pháp xấp xỉ mềm cho bài tốn tìm một điểm chung của
tập nghiệm của bài toán cân bằng ứng với song hàm F , tập điểm bất động của

ánh xạ không giãn S và tập nghiệm của bất đẳng thức biến phân với tốn tử
α-ngược đơn điệu mạnh A trong khơng gian Hilbert. Cụ thể hơn với x1 ∈ H, họ
đã xác định các dãy {xn } và {un } như sau:

F (un , y) + 1 y − un , un − xn ≥ 0, ∀y ∈ C,
rn
(1.14)

xn+1 = αn f (xn ) + (1 − αn )SPC (un − λn Aun ), n ≥ 1.

Họ đã chỉ ra với một số điều kiện thích hợp đặt lên các dãy tham số {rn }, {αn } và
{λn } thì các dãy {xn } và {un } cùng hội tụ về phần tử z = PF ix(S)∩EP (F )∩V I(C,A) f (z).
A. Tada và W. Takahshi [14] đã xây dựng phương pháp lặp mới dựa trên
phương pháp lai chiếu cho bài tốn tìm một phần tử thuộc giao của tập nghiệm
của bài toán EP (F ) và tập điểm bất động của ánh xạ không giãn S như sau:
Với x1 = x ∈ H, xác định các dãy {xn } và {un } bởi

1


y − un , un − xn ≥ 0, ∀y ∈ C,
F
(u
,
y)
+

n



rn




wn = (1 − αn )xn + αn Sun ,
(1.15)
Cn = {z ∈ H : wn − z ≤ xn − z },





Qn = {z ∈ H : xn − z, x − xn ≥ 0},




xn+1 = PC ∩Q x, n ≥ 1.
n
n

Họ đã chỉ ra với một số điều kiện thích hợp đặt lên các dãy tham số {rn } và
{αn } thì các dãy {xn } và {un } cùng hội tụ về phần tử z = PF ix(S)∩EP (F ) x.
Năm 2006, bởi sự kết hợp giữa phương pháp lai chiếu và phương pháp gradient
tăng cường, các tác giả N. Nadezhkina và W. Takahashi [8] đã đưa ra phương
pháp lặp dưới đây


x1 = x ∈ C,






yn = PC (xn − λn Axn ),




z = β x + (1 − β )SP (x − λ Ay ),
n
n n
n
C n
n
n
(1.16)

C
=
{z
∈
H
:
w
−
z
≤
x

−
z
},

n
n
n





Qn = {z ∈ H : xn − z, x − xn ≥ 0},




xn+1 = PCn ∩Qn x, n ≥ 1.


19

Họ đã chỉ ra rằng với một vài điều kiện thích hợp đặt lên các dãy {λn } và {βn },
thì các dãy {xn }, {yn } và {zn } xác định bởi (1.16) cùng hội tụ mạnh về phần tử
z = PF ix(S)∩V I(C,A) x.
Năm 2010, L. C. Ceng, N. Hadjisavvas và N. C. Wong [4] cũng đã nghiên
cứu kết phương pháp lai chiếu và phương pháp gradient tăng cường cho bài tốn
tìm một phần tử chung của tập điểm bất động của ánh xạ không giãn S và tập
nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân với toán tử đơn điệu, Lipschitz A.
Họ đã đưa ra phương pháp lặp sau:



x1 = x ∈ C,





yn = (1 − γn )xn + γn PC (xn − λn Axn ),




z = (1 − α − β )x + α y + β SP (x − λ Ay ),
n

n

n

n

n n

n

C

n

n

n


Cn = {z ∈ H : wn − z 2 ≤ xn − z 2 + (3 − 3γn + αn )b2 Axn 2 },






Qn = {z ∈ H : xn − z, x − xn ≥ 0},




xn+1 = PCn ∩Qn x, n ≥ 1.

(1.17)
Với những điều kiện thích hợp đặt lên {λn }, {αn }, {γn } và {βn }, họ đã chỉ ra
rằng các dãy {xn }, {yn } và {zn } xác định bởi (1.16) cùng hội tụ mạnh về phần
tử z = PF ix(S)∩V I(C,A) x.
Nhận xét 1.4. Nếu γn = 1 và αn = 0 với mọi n ≥ 1, thì phương pháp lặp (1.17)
trở về phương pháp lặp (1.16).


20

Chương 2

Phương pháp gradient tăng cường
tìm nghiệm chung của bài toán cân
bằng hỗn hợp tổng quát, bài toán
điểm bất động và bài toán bất đẳng
thức biến phân
Trong chương này luận văn tập trung trình bày lại kết quả của J. W. Peng
và J. C. Yao trong tài liệu [12] về sự kết hợp giữa phương pháp gradient tăng
cường, phương pháp lặp Mann và phương pháp lai chiếu cho bài toán tìm nghiệm
chung của các bài tốn cân bằng hỗn hợp tổng quát, bài toán điểm bất động và
bài toán bất đẳng thức biến phân trong không gian Hilbert.

2.1.

Một số bổ đề bổ trợ

Cho H là một không gian Hilbert. Với mỗi B ⊂ H, ta ký hiệu conv(B) là
bao lồi của B. Một ánh xạ đa trị G : B −→ 2H được gọi là ánh xạ KKM nếu
với mọi tập con hữu hạn {x1 , x2 , ..., xn } ⊂ B, ta đều có
conv({x1 , x2 , ..., xn }) ⊆ ∪nk=1 G(xk ).
Ta có bổ đề dưới đây:
Bổ đề 2.1. [5] Cho B là một tập con khác rỗng của không gian véctơ tôpô
Hausdorff X và cho G : B −→ 2X là một ánh xạ KKM. Nếu G(x) là tập đóng
với mỗi x ∈ B và là tập compact tại ít nhất một điểm x ∈ B, thì ∩x∈B G(x) = ∅.
Để giải bài tốn cân bằng hỗn hợp tổng quát hay bài toán cân bằng hỗn hợp,
ta cần đặt một số giả thiết dưới đây lên các hàm F , ϕ và tập C:


21

(A1) F (x, x) = 0 với mọi x ∈ C;

(A2) F là đơn điệu, tức là F (x, y) + F (y, x) ≤ 0 với mọi x, y ∈ C;
(A3) Với mỗi y ∈ C, x −→ F (x, y) là nửa liên tục trên yếu;
(A4) Với mỗi x ∈ C, y −→ F (x, y) là hàm lồi trên C;
(A5) Với mỗi x ∈ C, y −→ F (x, y) là nửa liên tục dưới;
(B1) Với mỗi x ∈ H và r > 0, tồn tại một tập bị chặn Dx ⊆ C và một phần tử
yx ∈ C sao cho với mọi z ∈ C \ Dx , ta đều có
F (z, yx ) + ϕ(yx ) − ϕ(z) +

1
yx − z, z − x < 0;
r

(B2) C là tập bị chặn;
(B3) Với mỗi x ∈ H và r > 0, tồn tại một tập bị chặn Dx ⊆ C và một phần tử
yx ∈ C sao cho với mọi z ∈ C \ Dx , ta đều có
ϕ(yx ) − ϕ(z) +

1
yx − z, z − x < 0;
r

(B4) Với mỗi x ∈ H và r > 0, tồn tại một tập bị chặn Dx ⊆ C và một phần tử
yx ∈ C sao cho với mọi z ∈ C \ Dx , ta đều có
F (z, yx ) +

1
yx − z, z − x < 0;
r

Dưới đây là bổ đề chìa khóa dùng để chứng minh định lý chính của luận văn.

Bổ đề 2.2. Cho C là tập con lồi, đóng và khác rỗng của khơng gian Hilbert H.
Cho F : C × C −→ R là một song hàm thỏa mãn các điều kiện (A1)-(A4) và
cho ϕ : C −→ R là một hàm lồi, chính thường, nửa liên tục dưới. Với r > 0 xác
định ánh xạ Tr : H −→ C như sau:
Tr (x) = {z ∈ C : F (z, y) + ϕ(y) − ϕ(z) +

1
y − z, z − x ≥ 0, ∀y ∈ C}
r

với mọi x ∈ H. Giả sử một trong hai điều kiện (B1) hoặc (B2) đúng. Khi đó, ta
có các khẳng định dưới đây:
(1) Tr (x) = ∅ với mọi x ∈ H;