(Luận văn thạc sĩ) một vài kết quả về sự tồn tại nghiệm của bài toán quy hoạch toàn phương

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

ĐÀO THỊ THU

MỘT VÀI KẾT QUẢ VỀ SỰ TỒN TẠI NGHIỆM
CỦA BÀI TOÁN QUY HOẠCH TỒN PHƯƠNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC

Thái Ngun - 2017


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

ĐÀO THỊ THU

MỘT VÀI KẾT QUẢ VỀ SỰ TỒN TẠI NGHIỆM
CỦA BÀI TOÁN QUY HOẠCH TỒN PHƯƠNG

Chun ngành: Tốn ứng dụng
Mã số:

60 46 01 12

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

GS.TSKH. LÊ DŨNG MƯU

Thái Nguyên - 2017


i

Mục lục

Mục lục

ii

Danh sách ký hiệu

iii

Mở đầu

1

1

Kiến thức chuẩn bị

3

1.1

Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1.1

Không gian tiền Hilbert . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1.2

Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.1.3

Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.1.4

Một vài tính chất cơ bản . . . . . . . . . . . . . . .

5

Tập lồi và hàm lồi trong không gian Hilbert . . . . . . . . .

7

1.2.1

Tập lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.2.2

Hàm lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

Hàm toàn phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

1.2

1.3
2

Bài toán quy hoạch tồn phương

21

2.1

Giới thiệu bài tốn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

2.1.1

Phát biểu bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

Các định lí về sự tồn tại nghiệm . . . . . . . . . . . . . . .

23

2.2


ii
2.2.1

Bài tốn quy hoạch tồn phương với ràng buộc tuyến
tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2.2

23

Bài tốn quy hoạch tồn phương lồi với hữu hạn ràng
buộc toàn phương lồi trong không gian Hilbert thực .

37

Kết luận

60

Tài liệu tham khảo

61


iii

Danh sách ký hiệu
N

Tập số tự nhiên

R

Tập số thực

Rn

Không gian các số thực n chiều

., .

Tích vơ hướng

.

Chuẩn

0+ F

Nón lùi xa của tập lồi F

∂f (x)

Dưới vi phân của f tại x

∂ε f (x0 )

ε−Dưới vi phân của f tại x0

∇f (x)

Đạo hàm của f tại x

Rm×n

Khơng gian ma trận cấp m × n

Rn×n
S

Khơng gian ma trận đối xứng cấp n × n

AT

Ma trận chuyển vị của ma trận A

B(x0 , ρ)

Hình cầu đóng tâm x0 bán kính ρ

H

Khơng gian Hilbert thực


1

Mở đầu
Quy hoạch toàn phương là một bộ phận đặc biệt của quy hoạch phi tuyến,
có nhiều ứng dụng trong lý thuyết và trong thực tế. Đây là vấn đề đã được
nhiều nhà Toán học nghiên cứu và xây dựng nên nhiều thuật toán để giải.
Sau khi học những kiến thức trong chun ngành Tốn ứng dụng, với
mong muốn tìm hiểu sâu hơn về những kiến thức đã học, mối quan hệ và ứng
dụng của chúng. Đồng thời muốn tìm hiểu sâu hơn về kết quả tồn tại nghiệm
của bài tốn quy hoạch tồn phương. Tác giả chọn đề tài nghiên cứu "Một vài
kết quả về sự tồn tại nghiệm của bài tốn quy hoạch tồn phương".
Luận văn trình bày sự tồn tại nghiệm của bài tốn quy hoạch tồn phương
với ràng buộc tuyến tính trong Rn và bài tốn quy hoạch toàn phương lồi với
những ràng buộc toàn phương lồi trong không gian Hilbert. Các kết quả và
thông tin trong luận văn được viết dựa vào bài báo "On the Solution Existence
of Convex Quadratic Programming Problems in Hilbert Spaces" của Vũ Văn
Đông và Nguyễn Năng Tâm, 2016.
Luận văn được chia thành hai chương với nội dung chính như sau:
Chương 1: "Kiến thức chuẩn bị", chương này trình bày một số kiến thức
cơ sở về không gian Hilbert, tập lồi và hàm lồi trong khơng gian Hilbert.
Chương 2: "Bài tốn quy hoạch tồn phương", chương này trình bày

nội dung bài tốn quy hoạch tồn phương và sự tồn tại nghiệm của bài tốn
quy hoạch tồn phương với ràng buộc tuyến tính trong khơng gian Rn và bài
tốn quy hoạch tồn phương lồi với hữu hạn ràng buộc toàn phương lồi trong


2
không gian Hilbert thực.
Thái Nguyên, ngày 05 tháng 9 năm 2017
Tác giả luận văn

Đào Thị Thu


3

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị
Chương này trình bày một số kiến thức cở bản về khơng gian Hilbert và
giải tích lồi. Đó là những kết quả sẽ được dùng cho chương sau. Nội dung
trong chương này được trích dẫn chủ yếu từ các tài liệu tham khảo [1], [2],
[3] và [4].

1.1

Không gian Hilbert

1.1.1 Không gian tiền Hilbert
Định nghĩa 1.1.1. Cho H là khơng gian trên trường K. Tích vơ hướng trên H
là một ánh xạ xác định như sau: ., . : H × H → K, (x, y) → x, y , thỏa

mãn các điều kiện sau đây:
a) x, y = y, x với mọi x, y ∈ H;
b) x + y, z = x, z + y, z với mọi x, y, z ∈ H;
c) λx, y = λ x, y với mọi x, y ∈ H; λ ∈ K;
d) x, x ≥ 0 với mọi x ∈ H và x, x = 0 khi và chỉ khi x = 0.
Số x, y được gọi là tích vơ hướng của hai véctơ x và y. Cặp (H, ., . )
được gọi là khơng gian tiền Hilbert (hay cịn gọi là không gian Unita).
Từ định nghĩa ta thấy rằng với trường R thì tích vơ hướng ., . là một dạng
song tuyến tính xác định dương trên H. Khi đó H được gọi là khơng gian tiền
Hilbert thực.


4
Định lí 1.1.2. Cho H là khơng gian tiền Hilbert với x, y ∈ H ta ln có bất
đẳng thức sau
| x, y |2 ≤ x, x . y, y .
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x, y phụ thuộc tuyến tính.
Định lí 1.1.3. Cho H là khơng gian tiền Hilbert. Khi đó x = x, x , x ∈ H
xác định một chuẩn trên H.

1.1.2 Không gian Hilbert
Một không gian tiền Hilbert xem như không gian định chuẩn có thể đầy
đủ hoặc khơng đầy đủ.
Định nghĩa 1.1.4. Nếu H là một không gian tiền Hilbert và đầy đủ với chuẩn
cảm sinh từ tích vơ hướng thì được gọi là không gian Hilbert.
Cũng tương tự như trường hợp khơng gian tiền Hilbert, với trường R thì
ta có khơng gian Hilbert thực.

1.1.3 Các ví dụ
i) Rn là khơng gian Hilbert thực với tích vơ hướng

n

xi yi , trong đó x = (x1 , x2 , . . . , xn ), y = (y1 , y2 , . . . , yn ) ∈ Rn .

x, y =
i=1

ii) Xét không gian
∞
2

l =

|xn |2 < +∞ .

x = (xn )n ⊂ K
i=1

Ta đã biết l2 là không gian Banach với chuẩn
∞

|xn |2 .

x =
i=1

(1.1)


5

Với x = (xn )n∈N , y = (yn )n∈N ∈ l2 , từ bất đẳng thức
2

∞

xn yn

≤ x 2. y

2

< +∞,

i=1

dễ kiểm tra rằng x, y =

∞

xn yn xác định một tích vơ hướng trong l2 và nó

i=1

cảm sinh (1.1). Vậy l2 là khơng gian Hilbert.

1.1.4 Một vài tính chất cơ bản
Định lí 1.1.5. Cho H là khơng gian Hilbert. Khi đó ., . : H × H → R là
một hàm liên tục.
Định lí 1.1.6. Với mọi x, y thuộc khơng gian tiền Hilbert H ta ln có đẳng
thức hình bình hành sau đây:

x+y

2

+ x−y

2

= 2( x

2

+ y 2 ).

(1.2)

Hệ quả 1.1.7. Cho H là không gian tiền Hilbert và x, y, z ∈ H. Khi đó, ta có
đẳng thức Apollonius:
2

2

x−y

2

+ x−z

2

=4 x−

y+z
2

+ y − z 2.

Định lí 1.1.8. Giả sử (H, . ) là một không gian định chuẩn trên trường R,
trong đó bất đẳng thức hình bình hành nghiệm đúng với mọi x, y ∈ H:
x+y

2

+ x−y

2

= 2( x

2

+ y 2 ).

Khi đó, với trường R ta đặt
1
x, y = p(x, y) = ( x + y
4

2

− x − y 2 ),

thì ., . là một tích vơ hướng trên H và ta có
x, x = x 2 , ∀x ∈ H.


6
Định lí 1.1.9. Với mọi khơng gian tiền Hilbert H đều tồn tại không gian
Hilbert chứa H sao cho H là một không gian con trù mật trong H.
Định nghĩa 1.1.10. Cho D = ∅ và y là một véctơ bất kỳ, đặt
dD (y) := inf x − y .
x∈D

Ta nói dD (y) là khoảng cách từ y tới D. Nếu tồn tại π ∈ D sao cho dD (y) :=
y − π thì ta nói π là hình chiếu (khoảng cách) của y trên D và kí hiệu là
π := pD (y).
Định lí 1.1.11. Cho M là một tập lồi, đóng và khác rỗng trong khơng gian
Hilbert H. Khi đó, với mỗi x ∈ H tồn tại duy nhất phần tử y ∈ M sao cho
x − y = d(x, M ).
Định nghĩa 1.1.12. Hai phần tử x, y trong không gian Hilbert H được gọi là
trực giao với nhau nếu x, y = 0 và kí hiệu là x ⊥ y.
Định lí 1.1.13. Giả sử M là khơng gian con đóng của khơng gian Hilbert.
Khi đó, mỗi phần tử x ∈ H được biểu diễn một cách duy nhất dưới dạng
x = y + z trong đó y ∈ M và z ∈ M ⊥ được gọi là hình chiếu trực giao của
x lên M .
Định nghĩa 1.1.14. Ánh xạ p : H → M xác định bởi p(x) = y trong đó
x ∈ H được biểu diễn duy nhất: x = y + z mà y ∈ M và z ∈ M ⊥ của Định
lí 1.1.13 được gọi là phép chiếu trực giao từ H lên M .
Định lí 1.1.15. Phép chiếu trực giao p của khơng gian Hilbert H lên khơng
gian đóng M = {0} là một tốn tử tuyến tính liên tục và có p = 1.

Định nghĩa 1.1.16. Cho H là không gian Hilbert. Dãy {xn } ⊂ H được gọi
là hội tụ yếu đến phần tử x trong H, nếu với mọi y ∈ H ta có lim xn , y =
n→∞

x, y . Kí hiệu xn ⇀ x.


7
Định lí 1.1.17. Giả sử H là khơng gian Hilbert.
i) Nếu dãy {xn } hội tụ yếu đến x ∈ H và dãy {yn } hội tụ mạnh đến y ∈ H
thì dãy số { xn , yn } hội tụ đến x, y .
ii) Nếu dãy {xn } hội tụ yếu đến x ∈ H và dãy { xn } hội tụ đến x thì
dãy {xn } hội tụ mạnh đến x ∈ H.

1.2

Tập lồi và hàm lồi trong không gian Hilbert

1.2.1 Tập lồi
Định nghĩa 1.2.1. Cho hai điểm a, b ∈ H.
i) Một đường thẳng đi qua a, b là tập hợp có dạng:
{x ∈ H : x = αa + βb, α, β ∈ R, α + β = 1}.
ii) Đoạn thẳng nối hai điểm a, b trong H có dạng:
{x ∈ H : x = αa + βb, α ≥ 0, β ≥ 0, α + β = 1}.
Định nghĩa 1.2.2. Một tập D được gọi là tập affin nếu D chứa mọi đường
thẳng đi qua hai điểm bất kì x, y ∈ D, tức là
∀x, y ∈ D, ∀λ ∈ R ⇒ λx + (1 − λ)y ∈ D.
Mệnh đề 1.2.3. Tập D = ∅ là tập affin khi và chỉ khi nó có dạng D = M + a
với M là không gian con của H và a ∈ H. Không gian M được xác định duy
nhất và được gọi là không gian con song song của D.

Định nghĩa 1.2.4. Thứ nguyên (hay chiều) của một tập affin D là thứ nguyên
của không gian con song song với D và được kí hiệu là dim D.
Định nghĩa 1.2.5. Siêu phẳng trong không gian H là một tập hợp các điểm
có dạng
{x ∈ H : aT x = α},


8
trong đó a ∈ H là một véctơ khác 0 và α ∈ R.
Định nghĩa 1.2.6. Cho a ∈ H là một véctơ khác 0 và α ∈ R. Tập
{x : aT x ≥ α}
được gọi là nửa không gian đóng và tập {x : aT x > a} gọi là nửa không gian
mở.
Định nghĩa 1.2.7. Một tập D được gọi là tập lồi nếu với mọi a, b ∈ D và mọi
α ∈ [0; 1], ta có
λa + (1 − λ)b ∈ D.
Ví dụ 1.2.8. Tập rỗng là tập lồi.
+ Tồn bộ khơng gian là tập lồi.
+ Các khơng gian con là tập lồi.
+ Các tam giác, hình trịn trong mặt phẳng là các tập lồi.
+ Quả cầu C = {x

x ≤ 1} là tập lồi.

Định lí 1.2.9. Tập lồi đóng với phép giao, phép cộng và phép nhân với một
số thực tức là, nếu C và D là hai tập lồi trong H thì C ∩ D, αC + βD cũng
là các tập lồi.
Định nghĩa 1.2.10. Ta nói x là tổ hợp lồi của các điểm (véctơ) x1 , . . . , xk nếu
k

k

λj = 1.

λj xj , λj ≥ 0 (j = 1, . . . , k),

x=

j=1

j=1

Mệnh đề 1.2.11. Tập hợp D là lồi khi và chỉ khi nó chứa mọi tổ hợp lồi của
các điểm của nó. Tức là, tập D lồi khi và chỉ khi
k

k
∗

λj xj ∈ D.

λj = 1, ∀x1 , . . . , xk ∈ D ⇒

∀k ∈ N , ∀λ1 , . . . , λk ,
j=1

j=1


9

Mệnh đề 1.2.12. Nếu A, B, C là các tập lồi đóng trong H, thì các tập sau là
lồi
A ∩ B := {x ∈ H| x ∈ A, x ∈ B};
αA + βB := {x ∈ H| x = αa + βb, a ∈ A, b ∈ B, α, β ∈ R};
A × C := {x ∈ H × H| x = (a, c); a ∈ A, c ∈ C}.
Định nghĩa 1.2.13. Một tập được gọi là tập lồi đa diện nếu nó là giao của
một số hữu hạn các nửa khơng gian đóng.
Như vậy, theo định nghĩa tập lồi đa diện là tập hợp nghiệm của một hệ
hữu hạn các bất phương trình tuyến tính. Dạng tường minh của tập lồi đa diện
được cho như sau:
C := {x ∈ H| aj , x ≤ bj , j ∈ I, |I| < +∞}.
Mệnh đề 1.2.14. Giao của một họ bất kỳ các tập lồi là một tập lồi.
Chứng minh. Giả sử {Aα }α∈I là họ các tập lồi. Ta cần chứng minh A =
Aα là một tập lồi.
α∈I

+ Với mọi x1 , x2 ∈ A ⇒ x1 , x2 ∈ Aα (∀α ∈ I).
+ Với mọi α ∈ I. Do Aα lồi nên ∀λ ∈ [0; 1] ta có
λx1 + (1 − λ)x2 ∈ A.

Theo định nghĩa A =

Aα là một tập lồi.
α∈I

Định nghĩa 1.2.15. Một tập C ⊂ H được gọi là nón nếu
∀x ∈ C, ∀λ > 0 ⇒ λx ∈ C.
Một nón được gọi là nón lồi nếu nó là nón và là một tập lồi.

10
Định nghĩa 1.2.16. Cho C ⊆ H, x0 ∈ C. Nón pháp tuyến (ngồi) của tập C
tại x0 là tập hợp
NC (x0 ) := {w | w, x − x0 ≤ 0 ∀x ∈ C}.
Định nghĩa 1.2.17. Cho D ⊆ H là một tập lồi và x0 ∈ D. Tập
NDε (x0 ) := {w ∈ H | w, x − x0 ≤ ε ∀x ∈ D}
được gọi là nón pháp tuyến ε của D tại x0 .
Hiển nhiên 0 ∈ ND (x0 ) và từ định nghĩa ta có ND (x0 ) là một nón lồi
đóng.
Định nghĩa 1.2.18. Cho hai tập C và D, ta nói rằng siêu phẳng
H := {x : v, x = λ}
i) tách hai tập C và D nếu v, a ≤ λ ≤ v, b ∀a ∈ C, b ∈ D.
ii) tách chặt C và D nếu v, a < λ < v, b ∀a ∈ C, b ∈ D.
iii) tách mạnh C và D nếu sup v, x < λ < inf v, y .
x∈C

y∈D

Định lí 1.2.19 (Định lí tách 1). Cho C và D là hai tập lồi khác rỗng trong H
sao cho C ∩ D = ∅. Khi đó, có một siêu phẳng tách C và D.
Định lí 1.2.20 (Định lí tách 2). Cho C và D là hai tập lồi đóng khác rỗng
trong H cho C ∩ D = ∅. Giả sử có ít nhất một tập compact. Khi đó, hai tập
C và D có thể tách mạnh được bởi một siêu phẳng.
Áp dụng định lí tách cho H là Rn ta được hệ quả sau:
Định lí 1.2.21 (Bổ đề Farkas). Cho a ∈ Rn và A là ma trận thực cấp m × n.
Khi đó a, x ≥ 0 với mọi x thỏa mãn Ax ≥ 0 khi và chỉ khi tồn tại y ≥ 0 và
y ∈ Rm sao cho a = AT y.


11

Ý nghĩa hình học của Bổ để Farkas: Siêu phẳng đi qua gốc tọa độ
a, x = 0 để nón Ax ≥ 0, về một phía của nó khi và chỉ khi véctơ pháp
tuyến a của siêu phẳng nằm trong nón sinh bởi các hàng của ma trận A.
Định nghĩa 1.2.22. Cho tập lồi khác rỗng F ⊂ H. Ta nói véctơ d là một
phương lùi xa của F nếu
x + λd ∈ F, ∀x ∈ F, ∀λ > 0.
Tập hợp tất cả các phương lùi xa của F được gọi là nón lùi xa của F và kí
hiệu là 0+ F . Vậy
0+ F = {d ∈ H| x + λd ∈ F, ∀x ∈ F, ∀λ > 0.}

1.2.2 Hàm lồi
Định nghĩa 1.2.23. Cho D là một tập lồi và f : H → R ∪ {+∞}. Hàm f
được gọi là
i) lồi trên D nếu
f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y), ∀x, y ∈ D, 0 ≤ λ ≤ 1;
ii) lồi chặt trên D nếu
f (λx + (1 − λ)y) < λf (x) + (1 − λ)f (y), ∀x, y ∈ D, 0 < λ < 1.
Hàm f lõm (lõm chặt) nếu −f là lồi (lồi chặt).
Định nghĩa 1.2.24. Ta gọi miền hữu hạn (effective domain) của hàm f là tập
được cho bởi
dom(f ) = {x ∈ X|f (x) < ∞} .
Định nghĩa 1.2.25. Hàm f được gọi là chính thường (proper) nếu dom(f ) =
∅ và f (x) > −∞, ∀x ∈ X.


12
Định nghĩa 1.2.26. Ta nói hàm f : Rn → (−∞, ∞] là bức trên tập ∆ ⊂ Rn
nếu với mỗi dãy {xk } ⊂ ∆ sao cho xk → ∞ thì lim f (xk ) = ∞. Trong
k→∞

trường hợp ∆ = R , ta nói f là bức.
n

Ví dụ 1.2.27. 1) Hàm a-phin. f (x) := aT x + α, trong đó a ∈ H, α ∈ R. Dễ
dàng kiểm tra được f là một hàm vừa lồi vừa lõm trên tồn khơng gian. Khi
α = 0 thì hàm này được gọi là hàm tuyến tính.
Cho C = ∅ là một tập lồi.
2) Hàm tựa. Hàm dưới đây được gọi là hàm tựa của C:
sC (y) := sup y, x .
x∈C

3) Hàm khoảng cách. Cho C lồi đóng, hàm khoảng cách đến tập C được
định nghĩa bởi
dC (x) := min x − y .
y∈C

4) Hàm chuẩn. Giả sử x = (x1 , . . . , xn ).
f (x) := x

i

:= max |xi |
i

hoặc
f (x) := x := (x21 + · · · + x2n )1/2 .
5) Hàm chỉ.


0

nếu x ∈ C
δC (x) =
 +∞ nếu x ∈
/C

Định lí 1.2.28. Cho f và g là hai hàm lồi trên tập C và D tương ứng. Khi đó,
các hàm số αf + βg với mọi α, β ≥ 0; max{f, g} cũng lồi trên C ∩ D.
Một hàm lồi có thể không liên tục tại một số điểm trên biên miền xác định
của nó, tuy nhiên nó liên tục tại mọi điểm trong của tập đó theo định lí sau:


13
Định lí 1.2.29. Một hàm lồi f : H → R liên tục tại mọi điểm.
Tính chất sau đây đặc trưng cho một hàm lồi khả vi và thuận lợi để kiểm
tra tính lồi của một hàm số. Ta kí hiệu f ′ (a) hoặc ∇f (a) là đạo hàm của f tại
a.
Định lí 1.2.30. Cho f : H → R là một hàm khả vi trên tập lồi mở D. Điều
kiện cần và đủ để f lồi trên D là
f (x) + ∇f (x), y − x ≤ f (y), ∀x, y ∈ D.
Nếu f khả vi hai lần thì điều kiện cần và đủ để f lồi trên D là với mọi
x ∈ D, ma trận Hessian H(x) của f tại x xác định không âm, tức là
y T H(x)y ≥ 0, ∀x ∈ D, y ∈ Rn .
Như vậy, hàm f (x) = xT Qx (Q là ma trận đối xứng) là hàm lồi khi và
chỉ khi Q xác định không âm. Hàm này là lồi chặt khi và chỉ khi ma trận của
nó xác định dương.
Tính khả vi của hàm lồi giữ vai trò quan trọng trong các phương pháp tối
ưu hóa. Lớp các hàm lồi có những tính chất khả vi rất đẹp mà các lớp khác
khơng có. Giả sử f : H → R ∪ {+∞} là hàm lồi. Ta có các khái niệm sau:
Định nghĩa 1.2.31. Cho hàm f : H → R được gọi là nửa liên tục dưới đối với
E tại một điểm x, nếu với mọi dãy {xk } ⊂ E, xk → x ta có lim inf f (xk ) ≥

f (x). Hàm f được gọi là nửa liên tục trên, đối với E tại x nếu −f nửa liên
tục dưới, đối với E tại x.
Hàm f được gọi là liên tục đối với E tại x nếu nó vừa nửa liên tục trên và
nửa liên tục dưới đối với E tại x.
Hàm f được gọi là nửa liên tục dưới, đối với E trong A, nếu nó liên tục
dưới đối với E, tại mọi điểm thuộc A. Tương tự, ta cũng nói như vậy đối với


14
hàm nửa liên tục trên và hàm liên tục. Khi f liên tục (nửa liên tục) tại một
điểm x, đối với tồn khơng gian, thì ta nói đơn giản f liên tục (nửa liên tục)
tại x.
Định nghĩa 1.2.32. Cho ε > 0. Một véctơ w ∈ H được gọi là một ε− dưới
gradient của f tại x0 ∈ H nếu
w, x − x0 ≤ f (x) − f (x0 ) + ε ∀x ∈ H.
Tập tất cả các ε− dưới gradient gọi là ε− dưới vi phân của hàm f tại x0 , được
kí hiệu là
∂ε f (x0 ) := w ∈ H : w, x − x0 ≤ f (x) − f (x0 ) + ε, ∀x ∈ H .
Nhận xét: Khi ε = 0 thì w được gọi là dưới gradient của f tại x ∈ H.
Tập tất cả các gradient của f tại x0 , được kí hiệu là ∂f (x0 )
Hàm f được gọi là khả dưới vi phân tại x0 nếu ∂f (x0 ) = ∅.
Ví dụ 1.2.33. Cho D là một tập lồi, khác rỗng của không gian H. Xét hàm
chỉ trên tập D


0
nếu x ∈ D
δD (x) =
 +∞ nếu x ∈
/ D.

Với mọi x0 ∈ D ta có w ∈ ∂δD (x0 ), suy ra

δD (x) − δD (x0 ) ≥ w, x − x0 , ∀x ∈ D.
Do đó w, x − x0 ≤ 0, ∀x ∈ D, suy ra w ∈ ND (x). Điều này chứng tỏ
∂δD (x0 ) = ND (x0 ), ∀x0 ∈ D.
Cũng có trường hợp tồn tại những điểm x∗ tại đó f khơng có dưới vi phân,
nghĩa là tập ∂f (x∗ ) có thể là tập rỗng. Tuy nhiên đối với hàm lồi ta có định lí
sau.


15
Định lí 1.2.34. Cho f là hàm lồi hữu hạn trên H. Lúc đó f có dưới vi phân
tại mọi điểm thuộc H.
Định nghĩa 1.2.35. Ta gọi đạo hàm theo hướng d của một hàm số f (không
nhất thiết là lồi) tại điểm x là đại lượng
′

f (x, d) := lim+

f (x + λd) − f (x)
λ

λ→0

,

nếu giới hạn này tồn tại.
Định lí 1.2.36. Nếu f là một hàm lồi trên tập lồi D thì với mọi x ∈ D và
mọi d sao cho x + d ∈ D, đạo hàm theo hướng d của f tại x luôn tồn tại và

nghiệm đúng
f ′ (x, d) ≤ f (x + d) − f (x).
Ngoài ra, với mỗi điểm x cố định thì f ′ (x, .) là một hàm lồi trên tập lồi
{d : x + d ∈ D}.
Định nghĩa 1.2.37. Cho D ⊆ Rn là tập lồi, f : D → R là hàm lồi và ε ≥ 0.
Xét bài toán
min f (x).
x∈D

(P ′ )

Mỗi điểm x ∈ D được gọi là ε− nghiệm của bài toán (P ′ ) nếu
f (x) ≤ min f (x) + ε.
x∈D

Mệnh đề 1.2.38. Véctơ x ∈ D là ε− nghiệm của bài toán (P ′ ) khi và chỉ khi
0 ∈ ∂ε f (x).


16
Chứng minh. Giả sử x ∈ D là ε− nghiệm của bài tốn (P ′ ). Khi đó
f (x) ≤ f (x) + ε, ∀x ∈ D.
Suy ra
0; x − x ≤ f (x) − f (x) + ε, ∀x ∈ D ⇔ 0 ∈ ∂ε (f (x)).
Ngược lại, nếu 0 ∈ ∂ε f (x) thì ta có
0; x − x ≤ f (x) − f (x) + ε, ∀x ∈ D.
Chứng tỏ x là ε− nghiệm của bài toán (P ′ ) .
Mệnh đề 1.2.39. Cho D là tập lồi đóng khác rỗng. Khi đó px là ε− chiếu
của x trên D khi và chỉ khi
(1.3)

x − px , px − y ≥ −ε, ∀y ∈ D.
Chứng minh. Giả sử px là ε− chiếu của x trên D. Ta có bài tốn

min
y∈D

1
2

x−y

2

hay min


1

2

x − y + δD (y)

trong đó δD (y) là hàm chỉ của y trên tập D. Đặt
f (y) :=

1
2






,

(1.4)

x − y 2 , x ∈ Rn .

Theo Định nghĩa 1.2.32, px là ε− nghiệm của bài toán (1.4). Từ Mệnh đề
1.2.38 ta được
0 ∈ ∂ε [f (px ) + δD (px )] = ∂ε f (px ) + ∂ε δD (px ).
Theo Ví dụ 1.2.33 ta có ∂ε δD (px ) = NDε (px ) nên từ (1.5) ta được
0 ∈ {−x + px } + NDε (px ).

(1.5)


17
Suy ra
(x − px ) ∈ NDε (px ) ⇔ x − px , ω − px ≤ ε, ∀ω ∈ D.
Ngược lại, giả sử có (1.3). Ta có
x−y

2

2

= x − px

+ 2 x − p x , px − y + p x − y
2

≥ x − px

2

− 2 x − p x , y − px .

Suy ra
2

x−y

≥ x − px

2

− 2ε.

Chứng tỏ px là ε− chiếu của x trên D.
Nhận xét: Khi ε = 0, ta nói là hình chiếu chính xác.

1.3

Hàm tồn phương

Trong phần này ta xét H là không gian Hilbert thực.
Định nghĩa 1.3.1. Hàm tồn phương (hay cịn gọi là hàm bậc hai) là hàm có
dạng

f (x) =

1
2

x, T x + c, x + α,

với T là tốn tử tuyến tính, tự liên hợp trong không gian Hilbert H và c ∈
H, α ∈ R.
Định nghĩa 1.3.2. (i) Tốn tử tuyến tính, tự liên hợp T được gọi là xác định
dương nếu x, T x > 0, ∀x ∈ H\{0}. Nếu x, T x ≥ 0, ∀x ∈ H thì T được
gọi là nửa xác định dương.
(ii) Tốn tử tuyến tính, tự liên hợp T được gọi là xác định âm (nửa xác
định âm) nếu −T là xác định dương (nửa xác định dương).


18


Ví dụ 1.3.3. Xét A = 

1

−1

−1

1

R2 \{0}, ta có



 và xT = (x1 , x2 ) ∈ R2 . Với mọi ∀xT ∈


 
1 −1
x
  1
x, Ax = xT Ax = (x1 , x2 ) 
−1 1
x2


x1 − x2

= (x1 , x2 ) 
−x1 + x2
= x21 − x1 x2 − x1 x2 + x22
= x21 − 2x1 x2 + x22 ≥ 0.
Suy ra A là ma trận nửa xác định dương.
Mệnh đề 1.3.4. Cho f (x) =

1

x, Dx + C, x + α với D ∈ Rn×n
S ,C ∈
2
Rn , α ∈ R. Nếu D là ma trận nửa xác định dương thì f (x) là hàm tồn

phương lồi.
Chứng minh. Ta có hàm x → C, x + α là hàm lồi. Thật vậy, với mọi t ∈
[0; 1], x ∈ Rn
C, tx + (1 − t)y + α = t C, x + (1 − t) C, y + α
= tf (x) + (1 − t)f (y).
Tổng của hai hàm lồi là hàm lồi nên để chứng minh mệnh đề trên ta đi chứng
minh f (x) = x, Dx là hàm lồi khi D nửa xác định dương.
Thật vậy, do D là ma trận nửa xác định dương nên với mọi u, v ∈ Rn ta
có
0 ≤ u − v, D(u − v) = u, Du − 2 v, Du + v, Dv .
Suy ra
v, Dv ≤ u, Du − 2 v, D(u − v) .

(1.6)


19
Cho x, y ∈ Rn , ∀t ∈ [0; 1]. Đặt z = tx + (1 − t)y. Trong (1.6) thay v bởi z
ta có
z, Dz ≤ y, Dy − 2 z, D(y − z) ;
z, Dz ≤ x, Dx − 2 z, D(x − z) .
Vì z = tx + (1 − t)y nên y − t = t(y − x), x − t = −(1 − t)(y − x). Suy ra
z, Dz ≤ y, Dy − 2t z, D(y − x) ;
z, Dz ≤ x, Dx − 2(1 − t) z, D(y − x) .
Vì t ∈ (0; 1) nên 1 − t > 0; t > 0. Suy ra
t z, Dz + (1 − t) z, Dz ≤ (1 − t) y, Dy + t x, Dx
hay
z, Dz ≤ t x, Dx + (1 − t) y, Dy
hay
f1 (tx + (1 − t)y) ≤ tf1 (x) + (1 − t)f1 (y).

Suy ra f1 (x) = x, Dx là hàm lồi. Do vậy f (x) = x, Dx + C, x + α là
hàm toàn phương lồi.
Nhận xét: Nếu D nửa xác định âm thì f là hàm lõm, tức là ∀x, y ∈ Rn , t ∈
(0; 1) thì
f (tx + (1 − t)y) ≥ tf (x) + (1 − t)f (y).
Ví dụ 1.3.5. Cho hàm tồn phương
1

f (x) = (3x21 − 4x1 x2 + 4x22 ) + 4x1 − 3x2 − 9.
2


 
3; −2
4
 , C =   , α = −9. Do ma trận D là xác định
Ta có D = 
−2; 4
3
dương (dùng quy tắc Jacobi) nên f là hàm lồi ngặt trên R2 .


20
Mệnh đề 1.3.6 (Định lí Weierstrass). Xét hàm lồi chính thường đóng f :
Rn → (−∞, +∞] và giả sử một trong ba điều kiện sau đây thỏa mãn
(i) dom(f ) là bị chặn;
(ii) tồn tại số thực γ sao cho tập mức {x| f (x) ≤ γ} khác rỗng và bị
chặn;
(iii) f là hàm bức.
Khi đó, tập cực tiểu Sol(P ) của f trên Rn khác rỗng và compact.

Chứng minh. • Giả sử điều kiện (i) đúng. Vì f là hàm chính thường đóng nên
dom(f ) = ∅. Xét dãy {xk } ⊂ dom(f ) sao cho lim f (x) = infn f (x).
k→∞

x∈R

Vì dom(f ) bị chặn nên dãy có ít nhất một điểm giới hạn yếu x∗ . Vì f
lồi, đóng nên f là nửa liên tục dưới yếu tại x∗ . Do vậy f (x∗ ) ≤ lim f (x) =
inf f (x), suy ra x là điểm cực tiểu của f (x).

k→∞

∗

x∈Rn

Như vậy Sol(P ) = ∅; vì Sol(P ) ⊂ dom(f ) và dom(f ) bị chặn nên

suy ra Sol(P ) bị chặn. Tuy nhiên Sol(P ) là giao của tất cả các tập mức
{x| f (x) ≤ γ} trong đó γ > infn f (x). Vì f đóng nên các tập mức là
x∈R

đóng, bởi vậy Sol(P ) là đóng, suy ra Sol(P ) compact yếu.
• Giả sử điều kiện (ii) đúng, ta chỉ việc thay f bởi hàm

 f (x) khi f (x) ≤ γ
f (x) =
∞
khi f (x) > γ

Miền xác định của f là tập mức {x| f (x) ≤ γ}. Nó bị chặn bởi giả thiết và
đóng vì f đóng.
Tập cực tiểu của f bằng tập cực tiểu của f . Áp dụng điều kiện (i) suy ra
điều phải chứng minh.
• Giả sử điều kiện (iii) đúng. Vì f chính thường nên sẽ có một tập mức
khác tập rỗng. Vì f là bức nên tập mức khác rỗng, bị chặn hay {x| f (x) ≤
γ} = ∅ và bị chặn, suy ra (ii) đóng, suy ra điều phải chứng minh.