(Luận văn thạc sĩ) toán tử monge ampere phức và bài toán dirichlet trong lớp f
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.16 MB, 47 trang )
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM
TRẦN THỊ MAI PHƢƠNG
TOÁN TỬ MONGE-AMPERE PHỨC
VÀ BÀI TOÁN DIRICHLET TRONG LỚP
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
THÁI NGUYÊN - 2015
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM
TRẦN THỊ MAI PHƢƠNG
TOÁN TỬ MONGE-AMPERE PHỨC
VÀ BÀI TOÁN DIRICHLET TRONG LỚP
Chuyên ngành: Tốn giải tích
Mã số: 60.46.01.02
LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC
Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. PHẠM HIẾN BẰNG
THÁI NGUYÊN - 2015
i
LỜI CAM ĐOAN
Tơi xin cam đoan đây là cơng trình nghiên cứu của riêng tôi. Các tài liệu
trong luận văn là trung thực. Luận văn chưa từng được công bố trong bất cứ
cơng trình nào.
Tác giả
Trần Thị Mai Phương
ii
LỜI CẢM ƠN
Bản luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm - Đại học
Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn tận tình của PGS.TS Phạm Hiến Bằng. Nhân
dịp này tôi xin cám ơn Thầy về sự hướng dẫn hiệu quả cùng những kinh
nghiệm trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn.
Xin chân thành cảm ơn Phịng Sau Đại học, Ban chủ nhiệm Khoa Tốn,
các thầy cô giáo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Viện Toán
học và Trường Đại học Sư phạm Hà Nội đã giảng dạy và tạo điều kiện thuận
lợi cho tơi trong q trình học tập và nghiên cứu khoa học.
Xin chân thành cảm ơn Trường THPT Công nghiệp Tỉnh Hồ Bình cùng
các đồng nghiệp đã tạo điều kiện giúp đỡ tơi về mọi mặt trong q trình học tập
và hoàn thành bản luận văn này.
Bản luận văn chắc chắn sẽ khơng tránh khỏi những khiếm khuyết vì vậy rất
mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn học viên
để luận văn này được hoàn chỉnh hơn.
Cuối cùng xin cảm ơn gia đình và bạn bè đã động viên, khích lệ tơi trong
thời gian học tập, nghiên cứu và hồn thành luận văn.
Tháng 7 năm 2015
Tác giả
Trần Thị Mai Phương
iii
MỤC LỤC
LỜI CAM ĐOAN ................................................................................................. i
LỜI CẢM ƠN ...................................................................................................... ii
MỤC LỤC ..........................................................................................................iii
MỞ ĐẦU ............................................................................................................. 1
1. Lý do chọn đề tài ......................................................................................... 1
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu .............................................................. 2
3. Phương pháp nghiên cứu ............................................................................. 2
4. Bố cục của luận văn ..................................................................................... 3
Chƣơng 1. CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ .................................................... 4
1.1. Hàm đa điều hoà dưới............................................................................... 4
1.2. Hàm đa điều hoà dưới cực đại
........................................................... 6
1.3. Hàm cực trị tương đối............................................................................... 7
1.4. Toán tử Monge-Ampère phức ................................................................ 10
1.5. Nguyên lý so sánh................................................................................... 13
Chƣơng 2. TOÁN TỬ MONGE-AMPÈME PHỨC VÀ BÀI TOÁN
DIRICHLET TRONG LỚP
................................................. 16
2.1. Mở đầu .................................................................................................... 16
2.2. Xấp xỉ bởi các hàm đa điều hòa dưới liên tục ........................................ 16
2.3. Tích phân từng phần ............................................................................... 18
2.4. Định nghĩa tốn tử Monge-Ampere phức .............................................. 21
2.5. Lớp
.................................................................................................... 25
2.6. Bài toán Dirchle đối với toán tử Monge-Ampere trong
................... 38
KẾT LUẬN....................................................................................................... 41
TÀI LIỆU THAM KHẢO............................................................................... 42
1
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Lý thuyết hàm biến phức nói chung và lý thuyết đa thế vị nói riêng đã
được xuất hiện từ lâu, tuy nhiên nó chỉ được phát triển trong vòng 30 năm trở
lại đây. Nhiều kết quả quan trọng của lý thuyết này được biết đến từ khá sớm.
Tuy nhiên sự phát triển của lý thuyết này cùng với việc tìm thấy những ứng
dụng vào các lĩnh vực khác nhau của toán học chỉ thực sự mạnh mẽ sau khi
E. Berfod, và B. A. Taylor năm 1982, xây dựng thành cơng tốn tử MongeAmpere phức cho lớp hàm đa điều hòa dưới bị chặn địa phương, một khái
niệm đóng vai trị quan trọng trung tâm trong lý thuyết đa thế vị. E. Berfod và
B. A. Taylor đã chỉ ra rằng toán tử này xác định trên lớp các hàm đa điều hòa
dưới bị chặn địa phương và có ảnh trong lớp các độ đo khơng âm. Tiếp đó, năm
1984, Kiselman đã chỉ ra rằng khơng thể mở rộng toán tử này tới lớp các hàm
đa điều hịa dưới bất kỳ mà vẫn có ảnh trong lớp các độ đo khơng âm. Do đó
miền xác định của toán tử Monge-Ampere là rất quan trọng trong lý thuyết đa
thế vị và nhận được sự quan tâm của nhiều nhà tốn học trong và ngồi nước.
Năm 1998, Cegrell đã định nghĩa các lớp năng lượng
0
( ),
p
( ), p ( ) trên
đó tốn tử Monge-Ampere phức là xác định. Năm 2004, Cegrell đã định nghĩa
các lớp ( ), ( ) và chỉ ra rằng lớp ( ) là lớp hàm định nghĩa tự nhiên của
tốn tử Monge-Ampere phức. Đó là lớp hàm lớn nhất trên đó tốn tử Monge Ampère xác định, liên tục dưới dãy giảm các hàm đa điều hịa dưới. Với mong
muốn tìm hiểu sâu hơn về toán tử Monge-Ampere và áp dụng các kết quả đạt
được trong việc giải bài toán Dirichlet trong lớp năng lượng
, chúng tơi chọn
“Tốn tử Monge-Ampere phức và bài tốn Dirichlet trong lớp
nghiên cứu của mình.
” làm đề tài
2
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
2.1. Mục đích nghiên cứu
Mở rộng định nghĩa toán tử Monge-Ampème phức tới lớp
các hàm đa
điều hòa dưới gồm tất cả các hàm có giá trị bằng giới hạn giảm của các hàm
test. Đây là định nghĩa tổng quát nhất nếu đòi hỏi toán tử liên tục theo các giới
hạn giảm dần. Nghiên cứu về toán tử Monge-Ampère sử dụng định nghĩa tổng
quát nêu trên và áp dụng trong việc giải bài toán Dirichlet trong lớp
.
2.2. Nhiệm vụ nghiên cứu
Luận văn tập trung vào các nhiệm vụ chính sau đây:
- Trình bày tổng quan và hệ thống các kết quả về các tính chất của hàm
đa điều hoà dưới, hàm đa điều hoà dưới cực đại, hàm cực trị tương đối, toán tử
Monge-Ampère, nguyên lý so sánh và các hệ quả của nó.
- Trình bày việc xấp xỉ hàm đa điều hịa dưới âm bởi các hàm đa điều
hòa dưới, liên tục.
- Mở rộng định nghĩa toán tử Monge-Ampème phức tới lớp
các hàm
đa điều hịa dưới gồm tất cả các hàm có giá trị bằng giới hạn giảm của các hàm
test. Đó là định nghĩa tổng qt nhất nếu địi hỏi tốn tử liên tục theo các giới
hạn giảm dần.
- Trình bày một vài kết quả nghiên cứu về toán tử Monge-Ampère sử
dụng định nghĩa tổng quát nêu trên và áp dụng trong việc giải bài toán Dirichlet
trong lớp
.
3. Phƣơng pháp nghiên cứu
Sử dụng các phương pháp của giải tích phức kết hợp với các phương
pháp của giải tích hàm hiện đại, các phương pháp của lý thuyết đa thế vị phức.
3
4. Bố cục của luận văn
Nội dung luận văn gồm 42 trang, trong đó có phần mở đầu, hai chương
nội dung, phần kết luận và danh mục tài liệu tham khảo.
Chương 1: Trình bày tổng quan và hệ thống các kết quả về các tính chất
của hàm đa điều hồ dưới, hàm đa điều hoà dưới cực đại, hàm cực trị tương
đối, toán tử Monge-Ampère, nguyên lý so sánh và các hệ quả của nó.
Chương 2: Là nội dung chính của luận văn. Phần đầu của chương trình
bày việc xấp xỉ các hàm đa điều hòa dưới âm bởi các hàm đa điều hòa dưới,
liên tục được sử dụng trong suốt chương này. Kế đến là việc mở rộng định
nghĩa tốn tử Monge-Ampère phức tới lớp
các hàm đa điều hịa dưới và một
vài kết quả về toán tử Monge-Ampère sử dụng định nghĩa tổng quát nêu trên và
áp dụng trong việc giải bài toán Dirichlet trong lớp
.
Cuối cùng là phần kết luận trình bày tóm tắt kết quả đạt được.
4
Chƣơng 1
CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1. Hàm đa điều hoà dƣới
1.1.1. Định nghĩa. Cho
là một tập con mở của
n
là một hàm nửa liên tục trên và không trùng với
liên thông nào của
a
n
và b
trên bất kỳ thành phần
b) là điều hoà dưới hoặc trùng
u(a
trên mỗi thành phần của tập hợp
dưới trong
,
. Hàm u được gọi là đa điều hoà dưới nếu với mỗi
, hàm
này, ta viết u
và u :
:a
. Trong trường hợp
b
( ) . ( ở đây kí hiệu
( ) là lớp hàm đa điều hồ
).
Sau đây là một vài tính chất của hàm đa điều hoà dưới:
1.1.2. Mệnh đề. Nếu u, v
u
( ) và u
v hầu khắp nơi trong
, thì
v.
1.1.3. Mệnh đề. Hàm đa điều hoà dưới thoả mãn nguyên lý cực trị trong miền
bị chặn, tức là nếu
u
là một tập con mở liên thông bị chặn của
PSH ( ), thì hoặc u là hằng hoặc với mỗi z
u(z )
1.1.4. Định lý. Cho
(i) Họ
u, v
(ii) Nếu
u
lim u j
j
,
y
y
( ) là nón lồi, tức là nếu
v
là liên thơng và
( ) hoặc u
và
sup lim sup u(y ) .
là một tập con mở trong
( ) , thì u
n
n
,
. Khi đó
là các số khơng âm và
( ).
uj
j
.
( ) là dãy giảm, thì
5
(iii) Nếu u :
, và nếu u j
tập con compact của
(iv) Giả sử u
( ) hội tụ đều tới u trên các
j
( ).
, thì u
( ) sao cho bao trên của nó u
A
sup u là bị
A
chặn trên địa phương. Khi đó hàm chính qui nửa liên tục trên u * là đa điều
hoà dưới trong
.
1.1.5. Hệ quả. Cho
là một tập mở trong
khác rỗng của
. Nếu u
mỗi y
, thì cơng thức
x
trong
trong
n
(i) Cho u, v là các hàm đa điều hoà trong
lồi, thì v (u / v) là đa điều hồ dưới trong
\
.
và v
0 . Nếu
0 trong
( ), và v
: 0,
( ), u
0 trong
là lồi và (0)
0,
1.1.7. Định lý. Cho
F
z
: v(z )
, và v
0 , thì v (u / v)
là một tập con mở của
:
là
.
là lồi và tăng dần, thì v (u / v) là đa điều hoà dưới trong
(iii) Cho u, v
y
.
là một tập con mở của
( ), v
u(y ) với
( ), và lim v(x )
xác định một hàm đa điều hoà dưới trong
(ii) Cho u
là một tập con mở thực sự
và
( ), v
max u, v
u
1.1.6. Định lý. Cho
n
n
và
. Nếu
:
.
0 trong
( ).
. Nếu
6
là một tập con đóng của
ở đây v
( ). Nếu u
( \ F ) là bị
chặn trên, thì hàm u xác định bởi
u(z )
(z
lim sup u(y )
(z
u (z )
\ F)
F)
y z
y F
là đa điều hoà dưới trong
.
1.1.8. Định nghĩa. Một miền bị chặn
tại hàm đa điều hòa dưới liên tục
z
c
: (z )
n
:
được gọi là miền siêu lồi nếu tồn
(
, 0) sao cho
với mọi c
c
0.
1.2. Hàm đa điều hoà dƣới cực đại
1.2.1. Định nghĩa. Cho
là một tập con mở của
n
và u :
là hàm
đa điều hồ dưới. Ta nói rằng u là cực đại nếu với mỗi tập con mở compact
, và với mỗi hàm nửa liên tục trên v trên G sao cho
tương đối G của
u trên G , đều có v
(G) và v
v
u trong G.
Một số tính chất tương đương của tính cực đại.
1.2.2. Mệnh đề. Cho
n
là mở và u :
là hàm đa điều hồ dưới.
Khi đó các điều kiện sau là tương đương:
(i) Với mỗi tập con mở compact tương đối G của
( ), nếu lim inf(u(z )
v
z
v(z ))
0, với mọi
và với mỗi hàm
G , thì u
v
trong G;
(ii) Nếu v
cho u
v
( ) và với mỗi
trong
\ K , thì u
0 tồn tại một tập compact K
v trong
.
sao
7
(iii) Nếu v
u
( ), G là một tập con mở compact tương đối của
v trên G thì u
(iv) Nếu v
, và
v trong G;
( ), G là một tập con mở compact tương đối của
lim inf(u(z )
v(z ))
z
0, với mỗi
G , thì u
, và
v trong G;
(v ) u là hàm cực đại.
1.3. Hàm cực trị tƣơng đối
1.3.1. Định nghĩa. Giả sử
là một tập con mở của
. Hàm cực trị tương đối đối với E trong
uE , (z )
Hàm uE ,
*
sup v(z ) : v
và E là tập con của
được định nghĩa là:
( ), v
là đa điều hoà dưới trong
n
1, v
E
0 (z
).
.
Sau đây là một vài tính chất cơ bản của các hàm cực trị tương đối.
1.3.2. Mệnh đề. Nếu E1
1.3.3. Mệnh đề. Nếu
E2
1
thì uE ,
1
1
uE ,
2
1
uE , .
2
2
là siêu lồi và E là một tập con compact tương đối của
, thì tại điểm
bất kỳ ta có
lim uE , (z )
z
Chứng minh. Nếu
đó, M
2
0.
< 0 là một hàm vét cạn đối với
1 trên E . Như vậy M
uE , trong
, thì với số M
0 nào
. Rõ ràng, lim (z )
z
0
và như vậy chúng ta thu được kết quả cần tìm.
1.3.4. Mệnh đề. Nếu
cho uK* ,
K
n
là siêu lồi và K
1 thì uK , là hàm liên tục.
là một tập compact sao
8
Chứng minh. Lấy u
uE , và ký hiệu F
là hàm xác định của
1 trên K. Khi đó
sao cho
cần chứng minh rằng với mỗi
u
v
u
u trong
\
trong
( ) là họ các hàm u . Giả sử
(0,1) tồn tại v
. Thật vậy, lấy
(0,1)
u trong
. Chỉ
C( )
F. Sao cho
tồn tại
0 sao cho
, trong đó
và K
: dist (z ,
z
)
.
Theo định lý xấp xỉ chính đối với các hàm đa điều hoà dưới và định lý Dini có
thể tìm được
0 sao cho u
và u
trên
1
trên K . Đặt
v
\
trong
max u
,
trong
.
Khi đó v C( ) ∩ F và như vậy
max u
u
tại mỗi điểm trong
,
v
u
.
1.3.5. Mệnh đề. Cho
n
là tập mở liên thơng, và E
. Khi đó các điều
kiện sau tương đương:
(i) uE* ,
0;
(ii) Tồn tại hàm v
Chứng minh. (ii)
v
uE , với mọi
( ) âm sao cho E
z
: v(z )
(i) là hiển nhiên. Thật vậy, nếu v như ở trên (ii) , thì
0 , từ đó uE ,
0 hầu khắp nơi trong
. Như vậy
9
0 . Bây giờ giả sử uE* ,
uE* ,
Bởi vậy, với mỗi j
0 . Khi đó tồn tại a
, có thể chọn một v j
0, v j
vj
sao cho uE , (a )
0.
( ) sao cho
2 j.
1 và v j (a )
E
Đặt
v(z )
v j (z ),
.
z
j 1
Chú ý rằng v(a)
1 , v âm trong
, và v
.
E
Đồng thời v là giới hạn của dãy giảm của các tổng riêng của các hàm đa điều
hồ dưới. Vì v
nên ta kết luận v
1.3.6. Mệnh đề. Cho
( ).
là tập con mở liên thông của
n
. Giả sử E
Ej ,
j
trong đó E j
với j
1, 2,... . Nếu uE* ,
j
Chứng minh. Chọn v j
điểm a
( ) sao cho v j
0 và v j
Ej
0.
. Lấy
) . Bằng cách mở rộng mỗi hàm v j bởi một hằng
v j 1(
\
0 với mỗi j , thì uE* ,
j
số dương thích hợp, ta có thể giả thiết
v
( ), v
vj
0 và v
j
1.3.7. Mệnh đề. Cho
compact của
j
j 1
và K
. Suy ra uE* ,
là tập con siêu lồi của
. Giả thiết rằng
sao cho
E
j
1
v j (a )
n
2 j . Khi đó
0.
và K là một tập con
là một dãy tăng những tập con mở của
. Khi đó
10
lim uK , (z )
j
z0
1
. Giả sử
1 trên K. Lấy
(
j0
0 là một hàm vét cạn đối với
1
((
)) là tập compact tương đối trong
,
) sao cho u
0 trên
j0
xác định một hàm đa điều hoà dưới; hơn nữa v
v(z 0 )
z
z
uK , (z 0 )
j
0 . Như vậy
1 và v
K
, nên ta có
j0
uK , (z 0 )
j0
Do đó ta có uK , (z 0 )
. Lấy
\
uK , (z 0 ) . Vì u là một phần tử tuỳ ý của họ uK ,
uK , (z 0 )
j0
1 trên K . Khi đó
và u
max u(z ) , (z ) ,
(z ),
v(z )
sao cho
. Khi đó tồn tại j 0
(0,1) sao cho (z 0 )
sao cho tập mở
u
z
. Khơng mất tính tổng qt, ta có thể giả sử
Chứng minh. Lấy điểm z 0
rằng K
uK , (z ),
j
uK , (z 0 ) với mọi j
j
j0 và
nhỏ
tuỳ ý, suy ra điều phải chứng minh.
1.4. Toán tử Monge-Ampère phức
Cho u là đa điều hoà dưới trên miền
c
dd u
n
n
. Nếu u
C2
thì tốn tử:
2
:
c
dd u
...
c
dd u
n
với dV là yếu tố thể tích trong
có thể xem như độ đo Radon trên
n
n
4 n ! det
u
z j zk
dV ,
1 j ,k n
gọi là toán tử Monge-Ampe. Toán tử này
, tức là phiếm hàm tuyến tính liên tục trên
khơng gian các hàm liên tục với giá compact C 0 ( ) trên
11
n
c
C0
dd u .
Bedford và Taylor đã chứng minh rằng nếu u là đa điều hoà dưới bị chặn
địa phương trên
un
u và
thì tồn tại dãy
dd cun
n
C
n 1
hội tụ yếu tới độ đo Radon
dd cun
lim
n
Hơn nữa
un
n
tức là:
trên
d ,
C0
không phụ thuộc vào việc chọn dãy un
sao cho
.
như trên, ta ký hiệu:
(dd cu)n
và gọi là toán tử Monge-Ampe của u .
Sau đây là một vài tính chất cơ bản của tốn tử tốn tử Monge-Ampe.
1.4.1. Mệnh đề. Nếu
C p,p là p, p -dạng lớp C
và T là q, q -dòng với p
dd cT
n
1.4.2. Mệnh đề. Giả sử
tụ yếu tới độ đo Radon
q
dd c
j
n
T
trên tập mở
1 thì
d cT
d
dc
T .
là dãy các độ đo Radon trên tập mở
. Khi đó
a) Nếu G
là tập mở thì
b) Nếu K
là tập compact thì
G
n
lim inf
G .
j
j
K
lim sup
j
j
K .
n
hội
12
c) Nếu E compact tương đối trong
lim
E
Chứng minh. a) Ta có
compact. Lấy
sup
G
Từ đó
b) Ta có
lim inf
K
j
j
j
j
G .
V :V
inf
cận mở của K và
c) Viết E
j
K
j
lim sup
j
j
G .
1 trên K . Khi đó
1 và
lim
j
,V=V0 . Giả sử V là một lân
K ,V
V
Từ đó
lim inf
C0 V , 0
lim sup
j
j
j
K .
K .
E . Khi đó
IntE
E
int E
E
lim sup
j
E
lim sup
lim inf
int E
j
j
j
E
lim sup
j
E
lim inf
j
Mặt khác
Từ đó
G là tập
1 trên K . Khi đó
1 và
lim
G
G . Giả sử K
K :K
C0 G , 0
K
E .
j
j
0 thì
E
sao cho
j
j
E
E .
j
lim
j
j
E .
j
E .
13
1.4.3. Mệnh đề. Giả sử
sao cho u, v
n
0 trên
dương, đóng trên
là miền bị chặn và u, v
0 . Giả sử T là n
và lim u z
z
( )
Lloc
1, n
1 -dòng
. Khi đó
vdd cu T
Đặc biệt, nếu lim v z
0 thì
z
udd cv T .
vdd cu T
udd cv T .
1.5. Nguyên lý so sánh
1.5.1. Định lý. (Nguyên lý so sánh) Giả sử
n
( ) L ( ) sao cho lim inf(u(z )
u, v
1.5.2. Hệ quả. Giả sử
sao cho u
u v
là miền bị chặn và u, v
n
v và lim u(z )
z
lim v(z )
z
(dd cv )n
( )
Vậy u
(dd cu )n .
( )
. Từ đó
(dd cv )n
( )
Cho
0 trên
0 và kết luận là hiển nhiên). Khi đó nếu
v trên
(dd c u )n
( )
( ) L ( )
0 . Khi đó
Chứng minh. Từ ngun lí cực đại suy ra u
v
0 . Khi đó
(dd cu )n .
u v
u
v(z ))
z
(dd cv )n
là miền bị chặn và
n
(dd cu )n .
( )
1 ta được điều cần chứng minh.
(nếu ngược lại thì
1 thì u
u trên
.
14
1.5.3. Hệ quả. (Nguyên lý so sánh). Giả sử
u, v
lim inf(u(z )
( ) L ( ) sao cho
(dd cu)n
Chứng minh. Đặt
(z )
. Giả sử u
trên
z
. Khi đó u
(dd cv)n trên
z
2
n
v trên
là miền bị chặn và
v(z ))
0 . Giả sử
.
M , với M được chọn đủ lớn sao cho
v khác rỗng. Khi đó có
0 sao cho u
0
v
khác rỗng và do đó nó có độ đo Lebesgue dương. Do Định lí 1.5.1 ta có
(dd cu)n
u v
(dd c (v
))n
u v
(dd cv)n
n
u v
(dd c )n
u v
(dd cv)n
n
4n n !
n
u
v
u v
(dd cv)n
u v
(dd cu )n
u v
và ta gặp phải mâu thuẫn. Vậy u
1.5.4. Hệ quả. Giả sử
sao cho lim inf(u(z )
z
n
sao cho lim inf(u(z )
z
n
v(z ))
.
là miền bị chặn và u, v
0 và (dd cu)n
v(z ))
1.5.5. Hệ quả. Giả sử
v trên
(dd cv)n . Khi đó u
là miền bị chặn và u, v
(dd cu)n
0 và
u v
( ) L ( )
v.
( ) L ( )
0 . Khi đó u
v trên
.
15
Chứng minh. Tương tự như trong Hệ quả 1.5.3. Giả sử u
0 sao cho u
có
Chú ý rằng do
v
u
v . Khi đó như chứng minh
của Hệ quả 1.5.3 ta có
(dd cu)n
0
u v
(dd cu)n
u v
(dd cv)n
u v
và ta gặp mâu thuẫn.
n
4n n !
. Khi đó
và do đó có độ đo Lebesgue dương.
v
0 nên u
v
n
u
v
0
16
Chƣơng 2
TOÁN TỬ MONGE-AMPÈME PHỨC VÀ
BÀI TOÁN DIRICHLET TRONG LỚP
2.1. Mở đầu
Trong chương này, ta luôn giả thiết
là miền siêu lồi. Phần đầu của
chương này, chúng ta sẽ xét việc xấp xỉ tồn cục của các hàm đa điều hịa dưới
âm bởi dãy giảm các hàm đa điều hòa dưới âm liên tục trên
trên
, bằng không
và với khối lượng Monge-Ampère bị chặn. Các phần tử của lớp hàm
này sử dụng như “các hàm test”. Định lý 2.2.1 nêu dưới đây cho thấy việc
( ) . Chúng ta sẽ sử dụng
xấp xỉ tồn cục có thể thực hiện được trong
Định lý 2.2.1 để chỉ ra rằng tích phân từng phần hầu như luôn thực hiện
được (Hệ quả 2.3.4). Tiếp theo, chúng ta xem xét định nghĩa tổng quát của
toán tử Monge-Ampème phức, được mở rộng tới lớp
và đó là định nghĩa
tổng qt nhất nếu địi hỏi tốn tử liên tục theo các giới hạn giảm dần (Định
lý 2.4.5). Phần cuối cùng của chương này, trình bày việc giải bài tốn
Dirichle trong lớp
nhờ các kết quả liên quan đến định nghĩa tổng quát về
toán tử Monge-Ampème.
2.2. Xấp xỉ bởi các hàm đa điều hòa dƣới liên tục
Trong phần này, chúng ta chứng minh định lý xấp xỉ đối với các hàm đa điều
hòa dưới âm, được sử dụng xuyên xuốt chương này.
2.2.1. Định lý. Giả sử u
uj
z
( ) . Khi đó có một dãy giảm dần các hàm
( ) C ( ) với u j
và
(dd cu j )n
.
0,
j
,
lim j
u j (z )
u(z ),
17
Chứng minh. Ký hiệu hE là hàm cực trị tương đối đối với E
supp dd chE
n
supp dd cv
rj
j 1
B là hình cầu, thì theo định lý Walsh suy ra
, và nếu E
hB liên tục trên
. Vì vậy, tồn tại một hàm vét cạn liên tục v đối với
n
(dd cv)n
, nói riêng
. Với mỗi j
với
N , ta chọn
là dãy giảm sao cho
0
rj
dist
1
,C
2j 2
; v(z )
z
Ký hiệu ur là chính quy hóa của u , xác định trên
j
m
Đặt ur
. Khi đó
sup j
m
ur
m
Chú ý: nếu d z 0 ,C
z
rj
; dist z,C
1
, mv trên
m
m
, khi đó
m
và bằng mv trên
rj thì d z 0 ,C
.
\
m
.
1 / 2 j 2 ,C
dist v
.
Do đó
1
và jv z 0
2j 2
v z0
Vì vậy, max ur
j
1
2j
1
j
ur z 0
j
1
, jv là một hàm đa điều hịa dưới trên
j
và bằng khơng trên
1
.
j
, liên tục trên
. Vì u j là bao trên của các hàm liên tục, nên u j là
nửa liên tục dưới. Ta sẽ chứng minh u j là nửa liên tục trên. Thật vậy, ta có
18
ur
1
, mv
m
sup ur
m
j m
m
j m
1
m
max max max ur , mv
j m k
1
m
sup max ur , mv
m
1
m
1
, max ur , kv
k
m
1
,
k
1
giảm theo k . Cuối cùng, bởi vì
k
vì max ur , kv
k
1
m
max max max ur , mv
j m k
m
1
, max ur , kv
k
m
1
k
uj
, nên suy ra rằng mỗi u j nửa liên tục trên. Điều đó là hệ quả của
khi k
Định lý Stokes:
(dd cu j )n
jn
(dd cv )n
.
2.3. Tích phân từng phần
Trong phần này chúng ta sẽ nghiên cứu “tích phân từng phần” là cơng cụ
chủ yếu trong tồn bộ chương này. Trước tiên ta định nghĩa:
0
0
( )
( ) L ( ) : lim
z
2.3.1. Bổ đề. C 0 ( )
0
Chứng minh. Chọn 0
mz
Lấy a
inf
2
C( )
0
0
và giả sử
mz
2
0,
(dd c )n
.
C( ).
C 0 ( ) . Chọn m đủ lớn sao cho
( ).
sup
(z )
b và đặt
19
max
1
2
mz
b, M
trong đó M đủ lớn sao cho M
do đó lấy
2
2
max m z
1
2
0
a
b, M
C( )
2.3.2. Bổ đề. Nếu u
,
b trên giá của hàm
, thì dd cu
gdd c
C 0 ( ),
T, g
và u 1j
u 2j gần
nữa, nếu 0
T là độ đo
C0
L
dd c
T là số dương
là một miền giả
với mỗi
lồi chặt chứa K. Nói riêng, kết luận của Bổ đề 2.3.2 là đúng nếu K
C
1)
C 0 ( ) thì
là độ đo Radon với khối lượng bằng khơng. Vì vậy,
u 1j , u j2
1, n
.
Chứng minh. Trước tiên chú ý rằng nếu
khi 0
0
C ( ).
0
( ) , T là dịng dương đóng song bậc (n
dương được xác định tốt trên
1
, suy ra
L ( \ K ) , ở đó K là tập con compact của
và nếu u
. Khi đó
trong lân cận của
u 1j
u,
u j2
max u, inf
. Khi đó
C 0 ( ),
. Chọn
:
j
\K
dd c (u 1j
u
,j
u j2 ) T
1 gần supp u 1j
0 vì T là đóng. Hơn
u j2 thì
20
(dd cu 1j
Từ đó vì lim
Vì vậy, dd cu
dd cu 2j ) T
dd cu 1j
dd cu 1j
u 2j dd c
T
dd cu 1j
T tồn tại, nên lim
T là một độ đo dương xác định tốt trên
2.3.3. Định lý. Giả sử u, v
( ), u
T là dịng dương đóng song bậc (n
dương được xác định tốt trên
1, n
z
vdd cu T
thì
và
udd cv T .
0 trên
v
vdd cu T
u
Vì vậy nếu ký hiệu
u
và
dd cv T .
u
là hàm đặc trưng của u
, thì ta có u
giảm tới khơng. Từ đó
udd cv T
Và bằng cách tương tự, sử dụng
vdd cu T
và
1) . Khi đó dd cu T là độ đo
( ) C( ) , u
vdd cu T
vdd cu T
0,
. Khi đó, theo Định lý 3.3 trong [7] ta có
vdd cu T
giảm tới u khi
.
ddcv T cũng là độ đo dương được xác định tốt trên
Chứng minh. Giả sử u, v
T cũng tồn tại.
0, lim u(z )
. Hơn nữa, nếu
vdd cu T
T.
vdd cu T
udd cv T .
ta được
