(Luận văn thạc sĩ) sử dụng các tính chất hình học để chứng minh bất đẳng thức

� 3 − 2i| = 5
√
⇔
(x − 1)2 + (y − 1)2 + (x − 3)2 + (y − 2)2 = 5
√
(x − 1)2 + [(y + 2) − 3]2 + (x − 3)2 + [(y + 2) − 4]2 = 5.
⇔
(2.36)


63

Hình 2.26

Số phức z + 2i = x + (y + 2)i có điểm M ′ (x; y + 2) biểu diễn z + 2i trên
mặt phẳng tọa độ. Đặt A(1; 3), B(3; 4) thì từ (2.36) ta có:
√
′
′
AM + BM = 5.
(2.37)
Mặt khác

√
−→
AB = (2; 1) ⇒ AB = 5.

(2.38)

nên từ (2.37) và (2.38) suy ra M ′ thuộc đoạn thẳng AB . Nhận xét rằng
OAB là góc tù (hoặc quan sát hình vẽ) ta có

√
′
M = |z|max = OB = 5 và m = |z|min = OA = 10.
√
Vậy 10 ≤ |z + 2i| ≤ 5.
√
Bài toán 2.2.40. Cho số phức z1 thỏa mãn |(1 + i)z + 1 − 5i| = 2 2 và
số phức z2 thỏa mãn |z + 1 + 2i| = |z + i|. Chứng minh rằng:
√
√
7 2−4
7 2+4
≤ |z1 − z2 | ≤
.
2
2
Chứng minh. Gọi M, N lần lượt là điểm biểu diễn số phức z1 , z2 trên mặt
phẳng. Ta có
√
|(1 + i)z + 1 − 5i| = 2 2
√
1 − 5i
⇔ |(1 + i)|. z +
=2 2
1+i
⇔ |z − 2 − 3i| = 2.


64

Hình 2.27

Suy ra M ∈ (C) có tâm I(2; 3), bán kính R = 2. Gọi z2 = x + yi, (x, y ∈
R), từ

|z + 1 + 2i| = |z + i|

⇔ x + y + 2 = 0.
Suy ra N ∈ ∆ : x + y + 2 = 0.
Ta có:

|z1 − z2 | = M N ⇒ |z1 − z2 |max ⇔ M Nmax .
Ta có:

√
√
√
7 2
7 2
7 2+4
d(I; ∆) =
⇒ M Nmax = d(I; ∆) + R =
+2=
.
2
2
2

′
Ta có |z1 − z2 | = M N ′ ⇒ |z1 − z2 |min ⇔ M Nmin

. Ta có
√
√
√
7
7
7 2
2
2−4
′
d(I; ∆) =
⇒ M Nmin
= d(I; ∆) − R =
−2=
.
2
2
2
√
√
7 2−4
7 2+4
Vậy
≤ |z1 − z2 | ≤
.
2
2
√
Bài toán 2.2.41. Cho số phức z1 thỏa mãn |(1 + i)z + 1 − 5i| = 2 2 và
số phức z2 thỏa mãn |z + 1 + 2i| = |z + i|. Chứng minh rằng:

√
5 2+4
.
|z1 − z2 − 3 + i| ≤
2


65

Chứng minh. Ta có |z1 −z2 −3+i| = |(z1 −3+i)−z2 | = M N ⇒ |z3 −z2 |max
⇔ M Nmax . Gọi M, N lần lượt là điểm biểu diễn số phức z3 , z2 trên mặt
phẳng.

Hình 2.28

Ta có:

√
|(1 + i)z + 1 − 5i| = 2 2
√
1 − 5i
=2 2
⇔ |(1 + i)|. z +
1+i
⇔ |z − 2 − 3i| = 2
⇔

z − 3 + i +1 − 4i = 2.
z3

Suy ra M ∈ (C) có tâm I(−1; 4), bán kính R = 2. Gọi z2 = x + yi,
(x, y ∈ R), từ

|z + 1 + 2i| = |z + i|

⇔ x+y+2=0

⇒ N ∈ ∆ : x + y + 2 = 0.
Ta có

√
√
√
5 2
5 2
5 2+4
d(I; ∆) =
⇒ M Nmax = d(I; ∆) + R =
+2=
.
2
2
2


66

√
5 2+4
.

Vậy |z1 − z2 − 3 + i| ≤
2
Bài toán 2.2.42. Cho số phức z thỏa mãn |z| = 1. Chứng minh rằng:
√
|z + 1| + 2|z − 1| ≤ 2 5.
Chứng minh. Gọi z = x + yi, (x, y ∈ R) được biểu diễn bởi điểm M (x; y).
Khi đó |z| = 1 ⇒ x2 + y 2 = 1 (C) ⇒ M ∈ (C). Ta có

T = |z +1|+2|z −1| =

(x + 1)2 + y 2 +2 (x − 1)2 + y 2 = M A+2M B.

Hình 2.29

Với A(−1; 0), B(1; 0) ⇒ A, B ∈ (C) và AB = 2 là đường kính của (C).
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta có:
√
√
√
2
2
2
2
T = M A+2M B ≤ (1 + 2 )(M A + M B ) = 5.AB 2 = 5.4 = 2 5,

√
√
suy ra max = 2 5. Vậy |z + 1| + 2|z − 1| ≤ 2 5.

67

Kết luận của luận văn
Đề tài luận văn đã đề cập đến việc sử dụng tính chất hình học để chứng
minh Bất đẳng thức.
Luận văn đã hoàn thành các nhiệm vụ sau:
1. Trình bày một cách sơ lược các tính chất của tam giác, tứ giác, đường
trịn cũng như tính chất của tích vơ hướng, phương pháp toạ độ ...
Đây sẽ là các tính chất hình học được vận dụng trong việc chứng
minh bất đẳng thức được trình bày trong luận văn.
2. Chọn lọc một cách có hệ thống một số bài tập khó về bất đẳng thức
(dành cho học sinh khá, giỏi) được trình bày thành từng nhóm, từng
dạng và trình bày, đưa ra lời chứng minh các bất đẳng thức này dựa
trên các tính chất hình học (một số bài đã đưa ra lời giải khác với tài
liệu gốc).
3. Với mỗi bất đẳng thức, trong lời chứng minh, luận văn đã cố gắng
làm rõ một số bước biến đổi trung gian để “xuất hiện sự kiện hình
học” và sau đó sử dụng các tính chất hình học để đưa ra lời giải hoàn
chỉnh.
Đề tài luận văn đã cố gắng minh họa thêm một hướng chứng minh bất
đẳng thức bằng cách khai thác các tính chất hình học, góp phần khơi dậy
được hứng thú, niềm yêu thích, và cảm thụ được vẻ đẹp của Bất đẳng
thức, góp phần rèn luyện tư duy cho học sinh, giúp học sinh phát triển tư
duy sáng tạo.


68

Tài liệu tham khảo
Tiếng Việt

[1] Vũ Đình Hịa, (2005), Bất đẳng thức hình học, NXB Giáo dục Hà Nội,
Hà Nội.
[2] Trần Quang Hùng, (2011), Một số dạng Bất đẳng thức hình học, Luận
văn Thạc sĩ, Trường Đại học Quốc Gia Hà Nội.
[3] Phan Huy Khải, (2001), 10.000 bài toán sơ cấp (bất đẳng thức hình
học), NXB Hà Nội, Hà Nội.
[4] Phan Huy Khải, (2001), Các phương pháp tìm giá trị lớn nhất giá trị
nhỏ nhất, NXB Hà Nội, Hà Nội.
[5] Nguyễn Vũ Lương, (2004), Bất đẳng thức trong tam giác, NXB Đại
học Quốc Gia Hà Nội, Hà Nội.
[6] Hoàng Minh Qn, Hồng Thị Bích Ngọc, (2020), “Các chun đề
chọn lọc sáng tạo và chứng minh bất đẳng thức hình học”, NXB Đại
học Quốc gia Hà Nội, Hà Nội.
[7] Phan Đức Chính, Phạm Văn Điều, Đỗ Văn Hà và cộng sự, (2001),
“Một số phương pháp chọn lọc giải các bài toán sơ cấp”, NXB Đại
học Quốc gia Hà Nội, Hà Nội.
[8] Tuyển chọn theo chuyên đề Toán học và Tuổi trẻ (2010), NXB Giáo
Dục, Hà Nội.
Tiếng Anh
[9] Hayk Sedrakyan, Nairi Sedrakyan, (2017), Geometric Inequalities
Methods of Proving, Springer.


69

[10] Sedrakyan, N., Sedrakyan, H. (2015), Inequalities. Methods of proving
1, Kyowoo Publishing, South Korea.
[11] Sedrakyan, N., Sedrakyan, H. (2015), Inequalities. Methods of proving
2, Kyowoo Publishing, South Korea.