(Luận văn thạc sĩ) về toán tử chiếu metric lên tập lồi đóng và ứng dụng vào bài toán bất đẳng thức biến phân

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
-------------------------------

VÀNG VĂN HÀ

VỀ TỐN TỬ CHIẾU METRIC
LÊN TẬP LỒI ĐĨNG VÀ ỨNG DỤNG VÀO BÀI TOÁN
BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2020


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
-------------------------------

VÀNG VĂN HÀ

VỀ TỐN TỬ CHIẾU METRIC
LÊN TẬP LỒI ĐĨNG VÀ ỨNG DỤNG VÀO BÀI TỐN
BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN
Chun ngành: Tốn ứng dụng
Mã số
: 8 46 01 12

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

GS.TSKH. Lê Dũng Mưu

THÁI NGUYÊN - 2020


ử ử

ỵ
ớ ỡ
ớ õ
ữỡ ởt số tự








ỗ ỗ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✸

✶✳✷

❚♦→♥ tû ❝❤✐➳✉ ❦❤♦↔♥❣ ❝→❝❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✺

❈❤÷ì♥❣ ✷✳ Ù♥❣ ❞ư♥❣ ✈➔♦ ❜➔✐ t♦→♥ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❜✐➳♥ ♣❤➙♥ ✷✷

✷✳✶

❇➔✐ t♦→♥ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❜✐➳♥ ♣❤➙♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷✳✷

▼ët t❤✉➟t t♦→♥ ❝❤✐➳✉ ❣✐↔✐ ❜➔✐ t♦→♥ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❜✐➳♥
♣❤➙♥ ♣❛r❛✲✤ì♥ ✤✐➺✉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

❚➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦

✷✷

✷✺

✸✼




ỵ
R

t số tỹ

Rn

ổ

t rộ

x

ợ ồ

x

tỗ t

n

x
x

x

ừ tỡ

x

x, y

t ổ ữợ ừ tỡ

x

ừ tỡ

x



y

x

V IP (F ; C)

❜➔✐ t♦→♥ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❜✐➳♥ ♣❤➙♥

S(F ; C)

t➟♣ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥

V IP (F ; C)


✐✐

▲í✐ ❝↔♠ ì♥
▲✉➟♥ ✈➠♥ ✤÷đ❝ ❤♦➔♥ t❤➔♥❤ t↕✐ ❚r÷í♥❣ ✣↕✐ ồ ồ ồ
ữợ sỹ ữợ ❞➝♥ ❝õ❛ ●❙✳❚❙❑❍✳ ▲➯ ❉ơ♥❣ ▼÷✉✳ ❚→❝ ❣✐↔
①✐♥ ❜➔② tä ỏ t ỡ s s tợ ữớ tớ
t t ữợ ú ù t ❣✐↔ tr♦♥❣ s✉èt q✉→ tr➻♥❤ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉
✈➔ ❤♦➔♥ t❤✐➺♥ ❧✉➟♥ ✈➠♥✳ ❚→❝ ❣✐↔ ❝ơ♥❣ ①✐♥ ❜➔② tä ❧á♥❣ ❜✐➳t ì♥ t
tợ ổ tr trữớ ❤å❝ ❑❤♦❛ ❤å❝✱ ✣↕✐ ❤å❝
❚❤→✐ ◆❣✉②➯♥ ✤➣ ❣✐↔♥❣ ❞↕② ✈➔ ❣✐ó♣ ✤ï ❝❤♦ t→❝ ❣✐↔ tr♦♥❣ s✉èt t❤í✐ ❣✐❛♥
❤å❝ t➟♣ t rữớ

ỗ tớ tổ ụ ỷ ớ ỡ tợ ỗ
t ❦✐➺♥ t❤✉➟♥ ❧đ✐ ♥❤➜t ❝❤♦ tỉ✐ tr♦♥❣ t❤í✐ ❣✐❛♥ ❤å❝ t➟♣
✈➔ tr♦♥❣ q✉→ tr➻♥❤ ❤♦➔♥ t❤➔♥❤ ❧✉➟♥ ✈➠♥✳
❳✐♥ ❝❤➙♥ t❤➔♥❤ ❝↔♠ ì♥✦

❚❤→✐ ◆❣✉②➯♥✱ t❤→♥❣ ✵✺ ♥➠♠ ✷✵✷✵✳

❚→❝ ❣✐↔

❱➔♥❣ ❱➠♥ ❍➔


✶

▲í✐ ♥â✐ ✤➛✉
❚r♦♥❣ ❝❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t♦→♥ ♣❤ê t❤ỉ♥❣✱ ❝❤ó♥❣ t❛ ✤➣ ❧➔♠ q✉❡♥ ✈ỵ✐ ♣❤➨♣
❝❤✐➳✉ ✈✉ỉ♥❣ ❣â❝ ①✉è♥❣ ♠ët ♠➦t ♣❤➥♥❣ tr♦♥❣ ❦❤✐ ❣✐↔✐ ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ ❤➻♥❤
❤å❝ ✈➔ ❧÷đ♥❣ ❣✐→❝✳ ❑❤→✐ ♥✐➺♠ ♥➔② ✤➣ ✤÷đ❝ ♠ð rë♥❣ ❧➯♥ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ♥❤✐➲✉
❝❤✐➲✉✱ t❤➟♠ ❝❤➼ ✈ỉ ❤↕♥ ❝❤✐➲✉ ❝ị♥❣ ✈ỵ✐ ✈✐➺❝ t t ởt t
ỗ õ ợ ởt ❦❤♦↔♥❣ ❝→❝❤ ✭♠❡tr✐❝✮ ❦❤ỉ♥❣ ♥❤➜t t❤✐➳t ❧➔ ❦❤♦↔♥❣ ❝→❝❤
❒✲❝ì✲❧✐t✳ ⑩♥❤ ởt t ý trữợ tr ổ
ởt tr ởt t trữợ ợ ❝→❝❤ ♥❤ä ♥❤➜t ✤÷đ❝
❣å✐ ❧➔ t♦→♥ tû ❝❤✐➳✉ ❧➯♥ t➟♣ ✤â✳ ◆❣÷í✐ t❛ ✤➣ ❝❤➾ r❛ r➡♥❣✱ tr♦♥❣ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥
❍✐❧❜❡rt tỹ t tỷ ởt t ỗ õ ữủ t
tỷ t ỗ ✤â♥❣ ❝â ♥❤✐➲✉ ✤➦❝ tr÷♥❣ t❤ó ✈à✱ ❞♦ ✤â
♥â ❝â ✈❛✐ trá q✉❛♥ trå♥❣ tr♦♥❣ ♥❤✐➲✉ ✈➜♥ ✤➲ ❝õ❛ t♦→♥ ồ tỹ t ữ
tr ỵ tt tố ÷✉ ❤â❛✱ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❜✐➳♥ ♣❤➙♥✱ ❝➙♥ ❜➡♥❣
✈➔ ♥❤✐➲✉ ỹ
ở ừ ỗ tự ỡ t
t ỗ tr ổ ❣✐❛♥ ❒✲❝ì✲❧✐t

Rn ✱

❝→❝ ❦➳t q✉↔ ✈➲ t♦→♥ tû ❝❤✐➳✉ ❧➯♥

t➟♣ ỗ õ ở t t q ✈✐➺❝ →♣ ❞ö♥❣ t♦→♥
tû ❝❤✐➳✉ ✈➔♦ ✈✐➺❝ ❣✐↔✐ ❜➔✐ t♦→♥ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❜✐➳♥ ♣❤➙♥ ♣❛r❛✲✤ì♥ ✤✐➺✉
tr♦♥❣ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥

Rn ✳

◆❣♦➔✐ ♣❤➛♥ ♠ð ✤➛✉✱ ❦➳t ❧✉➟♥ ✈➔ t➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦✱ ❝→❝ ❦➳t q✉↔ ♥❣❤✐➯♥


✷
❝ù✉ tr♦♥❣ ❜↔♥ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ✤÷đ❝ tr➻♥❤ ❜➔② t❤➔♥❤ ❤❛✐ ữỡ ợ t
ữỡ ởt số tự ❜à✳
❈❤÷ì♥❣ ✷✿ Ù♥❣ ❞ư♥❣ ✈➔♦ ❜➔✐ t♦→♥ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❜✐➳♥ ♣❤➙♥✳
◆ë✐ ❞✉♥❣ ❝❤➼♥❤ ❝õ❛ ❝→❝ ❝❤÷ì♥❣ ♥❤÷ s❛✉✿
❚r♦♥❣ ❝❤÷ì♥❣ tổ tr t ỗ ởt số t t ỡ
ừ t ỗ ỗ t tr ỵ t t ỗ
ởt ❝õ❛ ❝❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❜➔② ✈➲ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ t♦→♥ tû ❝❤✐➳✉✱ ♠ët sè t➼♥❤
❝❤➜t ❝ì ❜↔♥ ❝õ❛ t♦→♥ tû ❝❤✐➳✉✳
❈❤÷ì♥❣ ✷ ❝õ❛ ❧✉➟♥ ✈➠♥ tr➻♥❤ ❜➔② ù♥❣ ❞ö♥❣ ❝õ❛ t♦→♥ tû tr
ởt t ỗ õ t♦→♥ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❜✐➳♥ ♣❤➙♥✳
❇➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❜✐➳♥ ♣❤➙♥ ❧➔ ♠ët ❧ỵ♣ ❜➔✐ t♦→♥ q✉❛♥ trå♥❣ ❝õ❛ ●✐↔✐ t➼❝❤
ù♥❣ ❞ư♥❣✳ ❇➔✐ t♦→♥ ♥➔② ❧➔ ♠ët ❧ỵ♣ ❜➔✐ t♦→♥ tê♥❣ qt ừ t q
ỗ ỡ ỳ t♦→♥ tr♦♥❣ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✈✐ ♣❤➙♥✱ ✤↕♦ ❤➔♠
r✐➯♥❣ ✤➲✉ ❝â t ổ t ữợ t t tự ♣❤➙♥✳

✸

❈❤÷ì♥❣ ✶✳ ▼ët sè ❦✐➳♥ t❤ù❝ ❝❤✉➞♥
❜à
◆ë✐ ❞✉♥❣ ❝❤➼♥❤ ❝õ❛ ❝❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❜➔② ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛✱ ♠ët sè t➼♥❤ ❝❤➜t ❝ì
❜↔♥✱ ỵ ờ q t ỗ ỗ ởt ừ
ữỡ tr ự sỹ tỗ t t
t ừ ởt t ỗ õ s→t ♠ët sè t➼♥❤ ❝❤➜t
❝ì ❜↔♥ ❝õ❛ t♦→♥ tû ❝❤✐➳✉✳ ◆ë✐ ❞✉♥❣ ❝❤➼♥❤ ❝õ❛ ❝❤÷ì♥❣ ♥➔② ✤÷đ❝ t❤❛♠
❦❤↔♦ ❝❤õ ②➳✉ tứ t

ỗ ỗ
rữợ t ú tổ ợ t t ỗ ởt số t
t tt
r ởt

Rn

ữớ t❤➥♥❣

❧➔ t➟♣ ❤đ♣ t➜t ❝↔ ❝→❝ ✈➨❝✲tì

♥è✐ ❤❛✐ ✤✐➸♠ ✭❤❛✐ ✈➨❝✲tì✮

x ∈ Rn

a, b

tr♦♥❣

❝â ❞↕♥❣

{x ∈ Rn |x = αa + βb, α, β ∈ Rn , α + β = 1}.

✣♦↕♥ t❤➥♥❣ ♥è✐ ❤❛✐ ✤✐➸♠ a ✈➔ b tr♦♥❣ Rn ❧➔ t➟♣ ❤đ♣ ❝→❝ ✈➨❝✲tì x ❝â ❞↕♥❣
{x ∈ Rn |x = αa + βb, α ≥ 0, β ≥ 0, α + β = 1}.

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳

▼ët t➟♣

C ⊆ Rn

✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ♠ët

♠å✐ ✤♦↕♥ t❤➥♥❣ ✤✐ q✉❛ ❤❛✐ t ý ừ õ ự

t ỗ C ự
C

ỗ


✹

∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ [0, 1] ⇒ λx + (1 − λ)y ∈ C.

❱➼ ❞ö ✶✳✶✳
❛✮ ❚➟♣

∅

✈➔

✣♦↕♥ t❤➥♥❣

Rn

❧➔ t ỗ ừ

AB

Rn

ởt t ỗ

trỏ ỗ ởt t ỗ ✈➻ ✤♦↕♥ t❤➥♥❣ ♥è✐
❤❛✐ ✤✐➸♠

X, Y

tr♦♥❣ ❤➻♥❤ trá♥ ♥➡♠ trå♥ tr trỏ

ỗ
ữợ t ổ ỗ ữớ t ựt ❝❤ù❛ ♥❤✐➲✉
✤✐➸♠ ❦❤æ♥❣ ♥➡♠ tr♦♥❣ ❝→❝ t➟♣ ✤â✳

❍➻♥❤ ✶✳✷✿ ❚➟♣ ổ ỗ

õ

x



tờ ủ ỗ ừ x1, . . . , xk ♥➳✉

k

k
j

λj x , λj > 0 ∀j = 1, . . . , k,

x=
j=1

λj = 1.
j=1




ủ C ỗ õ ự ồ tờ ủ ỗ
ừ ừ õ ự C ỗ
k

k
1

k ∈ N, ∀λ1 , . . . , λk > 0 :

k

λj = 1, ∀x , . . . , x ∈ C ⇒
j=1

λj xj ∈ C.
j=1

❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ✣✐➲✉ ❦✐➺♥ ✤õ ❧➔ ❤✐➸♥ ♥❤✐➯♥ tø ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛✳ ❚❛ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤
✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝➛♥ ❜➡♥❣ q✉② ♥↕♣ t❤❡♦ sè ✤✐➸♠✳ ❱ỵ✐

k = 2✱

✤✐➲✉ ❝➛♥ ❝❤ù♥❣

♠✐♥❤ s✉② r❛ ♥❣❛② tø ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ❝õ❛ t ỗ tờ ủ ỗ sỷ
ú ợ
sỷ

x

k1

ự ợ

tờ ủ ỗ ❝õ❛

k

✤✐➸♠

k

✤✐➸♠✳

x1 , . . . , x k ∈ C ✳

k

k
j

λj x , λj > 0 ∀j = 1, . . . , k,

x=

❚ù❝ ❧➔

j=1

λj = 1.
j=1

✣➦t

k−1

λj .

ξ=
j=1
❑❤✐ ✤â

0<ξ<1

✈➔

k−1

λj xj + λk xk

x=
j=1

k−1

=ξ
j=1

λj j
x + λk xk .
ξ

✭✶✳✶✮

❉♦

k−1

j=1
✈➔

λj
ξ

>0

✈ỵ✐ ♠å✐

λj
=1
ξ

j = 1, . . . , k − 1✱
k−1

y :=
j=1

♥➯♥ t❤❡♦ ❣✐↔ t❤✐➳t q✉② ♥↕♣✱ ✤✐➸♠

λj j
x ∈ C.
ξ

✻
❚❛ ❝â

x = ξy + λxk .
❉♦

ξ > 0, λk > 0

✈➔

k

ξ + λk =

λj = 1,
j=1

♥➯♥

x ❧➔ ♠ët tê ủ ỗ ừ y xk

tở

C x C

ợ t ỗ õ ✈ỵ✐ ❝→❝ ♣❤➨♣ ❣✐❛♦✱ ♣❤➨♣ ❝ë♥❣ ✤↕✐ sè ✈➔ ♣❤➨♣
♥❤➙♥ t➼❝❤ ❉❡s❝❛rt❡s✳ ❈ö t❤➸✱ t❛ ❝â ♠➺♥❤ ✤➲ s❛✉✿

▼➺♥❤ ✤➲ A, B t ỗ tr R C ỗ tr R t

n

m

t s ỗ





A B := {x|x A, x B},
λA + βB := {x|x = αa + βb, a ∈ A, b ∈ B, α, β ∈ R},
A × C := {x ∈ Rn+m |x = (a, c) : a ∈ A, c ∈ C}.

❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ❉➵ ❞➔♥❣ ✤÷đ❝ s✉② r❛ trü❝ t✐➳♣ tø ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛✳

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✸✳
x1 , . . . , xk

❚❛ ♥â✐

x

❧➔

tê ❤ñ♣ ❛✲♣❤✐♥

❝õ❛ ❝→❝ ✤✐➸♠ ✭✈➨❝✲tì✮

♥➳✉

k

k
j

x=

λj x ,
j=1

❚➟♣ ❤đ♣ ❝õ❛ ❝→❝ tê ❤đ♣ ❛✲♣❤✐♥ ❝õ❛

λj = 1.
j=1

x1 , . . . , xk

t❤÷í♥❣ ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ❜❛♦

❛✲♣❤✐♥ ❝õ❛ ❝→❝ ✤✐➸♠ ♥➔②✳

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✹✳

▼ët t➟♣

C

✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔

t➟♣ ❛✲♣❤✐♥ ♥➳✉ ♥â ❝❤ù❛ ✤÷í♥❣

t❤➥♥❣ ✤✐ q✉❛ ❤❛✐ ✤✐➸♠ ❜➜t ❦ý ❝õ❛ ♥â✱ tù❝ ❧➔

∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ R ⇒ λx + (1 − λ)y ∈ C.


✼
❱➟② t➟♣ ❛✲♣❤✐♥ ❧➔ ♠ët tr÷í♥❣ ❤đ♣ r✐➯♥❣ ❝õ❛ t➟♣ ỗ

ử
M = t ❛✲♣❤✐♥ ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ ♥â ❝â ❞↕♥❣ M = L+a
▼ët ✈➼ ❞ö ✤✐➸♥ ❤➻♥❤ ❝õ❛ t➟♣ ❛✲♣❤✐♥ ❧➔ ❝→❝ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ❝♦♥✳

✈ỵ✐ L ❧➔ ♠ët ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ❝♦♥ ✈➔ a ∈ M ✱ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ❝♦♥ L ♥➔② ✤÷đ❝ ①→❝
✤à♥❤ ❞✉② ♥❤➜t✳
❑❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥
s♦♥❣ ✈ỵ✐

L

M ✱ ❤♦➦❝ ♥â✐ ♥❣➢♥ ❣å♥ ❤ì♥ ❧➔ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ❝♦♥ ❝õ❛ M ✳ ❈❤✐➲✉ ❝õ❛

♠ët t
ợ

M

tr tr ữủ ồ ổ ❝♦♥ s♦♥❣

M

✤÷đ❝ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ❜ð✐ ❝❤✐➲✉ ❝õ❛ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ s♦♥❣ s

ữủ ỵ M

t ❦ý ♠ët t➟♣ ❛✲♣❤✐♥ M ⊂ R

n

❝â sè ❝❤✐➲✉ r ✤➲✉ ❝â ❞↕♥❣

M = {x ∈ Rn : Ax = b},

✭✶✳✷✮

tr♦♥❣ ✤â A ❧➔ ♠❛ tr➟♥ ❝➜♣ (m × n), b ∈ Rm ✈➔ r❛♥❦A = n − r✳ ◆❣÷đ❝
❧↕✐✱ ♠å✐ t➟♣ ❤đ♣ ❝â ❞↕♥❣ ✭✶✳✷✮ ✈ỵ✐ r❛♥❦A = n − r ✤➲✉ ❧➔ t➟♣ ❛✲♣❤✐♥ ❝â sè
❝❤✐➲✉ ❧➔ r✳

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✺✳

▼ët t➟♣

C

✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔

♥â♥ ♥➳✉

∀λ > 0, ∀x ∈ C ⇒ λx ∈ C.
▼ët ♥â♥ ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔

❱➼ ❞ư

õ ỗ õ ỗ tớ ởt t ỗ

❚➟♣

Rn+ = {x ∈ Rn : x ≥ 0}

❜✮ ❈❤♦

bα Rn ( I)

ợ

I

ởt õ ỗ

t sè ♥➔♦ ✤â✳ ❑❤✐ ✤â t➟♣

K = {x ∈ Rn : x, bα ≤ 0, ∀α ∈ I}



ởt õ ỗ

K ợ K = {x Rn : x, b 0} õ ỗ

K=

ởt t C õ ỗ ❝❤➾ ❦❤✐ ♥â ❝â ❝→❝ t➼♥❤ ❝❤➜t s❛✉✿
α∈I

✭✐✮
✭✐✐✮

λC ⊆ C ✱ ∀λ > 0❀
C + C ⊆ C.

❚✐➳♣ t❤❡♦✱ ❝❤ó♥❣ tổ ợ t ỗ t
t ỗ



ữủ ồ

f :C R

tr ởt t ỗ

C Rn

õ

f

ỗ ợ ồ x, y C ồ λ ∈ (0, 1) t❛ ❝â

f [λx + (1 − )y] f (x) + (1 )f (y).

ữợ ởt ỗ

ỗ


f

ữủ ồ

ồ số tỹ

ỗ t tr C ợ ♠å✐ x, y ∈ C ✱ x = y

λ ∈ (0, 1)

t❛ ❝â

f [λx + (1 − λ)y] < λf (x) + (1 )f (y).


f

ữủ ồ

ỗ ♠↕♥❤

tr➯♥

C

✈ỵ✐ ❤➺ sè

η >0

♥➳✉ ✈ỵ✐


✾
♠å✐

x, y ∈ C ✱ x = y

✈➔ ♠å✐ sè t❤ü❝

λ ∈ (0, 1)

t❛ ❝â

1
f [λx + (1 − λ)y] < λf (x) + (1 − λ)f (y) − ηλ(1 − λ) x − y 2 .
2

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✼✳

❤➔♠ ❧ã♠ tr C f ỗ tr C
❍➔♠ f ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ❤➔♠ t✉②➳♥ t➼♥❤ ❛✲♣❤✐♥ ✭❤❛② ❤➔♠ ❛✲♣❤✐♥ ✮ tr➯♥ C
✭✐✮ ❍➔♠

♥➳✉

f

f

✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔

❤ú✉ ❤↕♥ ✈➔ ứ ỗ ứ ó tr

ử

ồ ỗ tr

p

|xi |p

=

Rn

1/p

n

x

C

ợ

p1

x





= max |xi |.

i=1
❍➔♠ ❦❤♦↔♥❣ ❝→❝❤ tø ✤✐➸♠

inf y∈C x − y

x ∈ Rn

tợ

C

1in

ữủ

dC (x) =

ỗ

f : Rn → R ∪ {+∞}✳

❚❛ ♥â✐

x∗ ∈ Rn

❤➔♠ ❝õ❛ f t x



ữợ

x , z x + f (x) ≤ f (z), ∀z ∈ Rn .
❚➟♣ ❤ñ♣ tt ữợ ừ
ừ

f

t

x

ữủ

f

t

x

ữủ ồ

ữợ

f (x).

ờ C ởt t ỗ ừ R ởt f : C R
n

ỗ ❝❤➾ ❦❤✐

f (x) − f (y) ≥

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✾✳ ❙✐➯✉ ♣❤➥♥❣

f (y), x − y , ∀x, y ∈ C.
tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥

✤✐➸♠ ❝â ❞↕♥❣

{x ∈ Rn : aT x = α},

Rn

❧➔ ♠ët t➟♣ ❤ñ♣ ❝→❝

✶✵
tr♦♥❣ ✤â
❱➨❝✲tì

a ∈ Rn
a

❧➔ ♠ët ✈➨❝✲tì ❦❤→❝

t❤÷í♥❣ ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔

0

✈➔

α ∈ R✳

✈➨❝✲tì ♣❤→♣ t✉②➳♥

❝õ❛ s✐➯✉ ♣❤➥♥❣✳ ▼ët

s✐➯✉ ♣❤➥♥❣ s➩ ❝❤✐❛ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ r❛ ❤❛✐ ♥û❛ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥✳ ◆û❛ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥
✤÷đ❝ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ♥❤÷ s❛✉✿

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✵✳ ◆û❛ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥

❧➔ ♠ët t➟♣ ❤ñ♣ ❝â ❞↕♥❣

{x ∈ Rn : aT x ≥ α},
tr♦♥❣ ✤â

a=0

✈➔

α ∈ R✳

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✶✳
aT x = α

❈❤♦ ❤❛✐ t➟♣

C

✈➔

D

❦❤→❝ ré♥❣✱ t❛ ♥â✐

t→❝❤ C ✈➔ D ♥➳✉
aT x ≤ α ≤ aT y,

❚❛ ♥â✐ s✐➯✉ ♣❤➥♥❣

aT x = α

✭✶✳✸✮

t→❝❤ ❝❤➦t C ✈➔ D ♥➳✉

aT x < α < aT y,

ỵ

x C, y D.

s

x C, y D.

ỵ t

C D t ỗ rộ tr Rn s C ∩ D = ∅✳ ❑❤✐
✤â ❝â ♠ët s✐➯✉ ♣❤➥♥❣ t C D
ỵ t ứ õ t s r tứ ờ ữợ
ỵ t ởt t ỗ ởt tỷ ❦❤æ♥❣ t❤✉ë❝ ♥â✳

❇ê ✤➲ ✶✳✷✳

❈❤♦ C

✭❇ê ✤➲ ❧✐➯♥ t❤✉ë❝✮

❧➔ ♠ët t ỗ rộ sỷ x0 C õ tỗ t
t Rn , t = 0 t❤♦↔ ♠➣♥
⊂ Rn

t, x ≥ t, x0 ∀x ∈ C.

✭✶✳✹✮




ự ỵ C D ỗ C D ụ ỗ ỡ ỳ
0
/ (C − D)✱
✈➨❝✲tì
✈ỵ✐

✈➻

C ∩ D = ∅✳

t ∈ Rn , t = 0

x ∈ C, y ∈ D✱

❚❤❡♦ ❜ê ✤➲ tr➯♥ →♣ ❞ư♥❣ ✈ỵ✐

t, z ≥ 0

s❛♦ ❝❤♦

✈ỵ✐ ♠å✐

x0 = 0✱

z C D



tỗ t

z =xy

t õ

t, x t, y ∀x ∈ C, y ∈ D.
▲➜②

α := sup t, y ,
yD
õ s

ỵ

t, x

t

C



D

ỵ t

C D t ỗ õ ❦❤→❝ ré♥❣ s❛♦ ❝❤♦ C ∩ D = ∅✳ ●✐↔ sû
❝â ➼t ♥❤➜t ♠ët t➟♣ ❧➔ ❝♦♠♣❛❝t✳ ❑❤✐ ✤â ❤❛✐ t➟♣ ♥➔② ❝â t❤➸ t→❝❤ ♠↕♥❤ ✤÷đ❝
❜ð✐ ♠ët s✐➯✉ ♣❤➥♥❣✳
❈ơ♥❣ ữ tr ỵ t ữủ s r❛ tø ❜ê ✤➲ s❛✉ ♥â✐
✈➲ sü t→❝❤ ♠↕♥❤ ❣✐ú❛ ởt t ỗ õ ởt t

ờ C R

ởt t ỗ ✤â♥❣✱ ❦❤→❝ ré♥❣ s❛♦ ❝❤♦ 0 ∈/ C ✳
❑❤✐ ✤â tỗ t ởt tỡ t Rn, t = 0 ✈➔ α > 0 s❛♦ ❝❤♦
n

t, x ≥ α > 0, ∀x ∈ C.
❚❤❡♦ ❜ê ✤➲ ♥➔②✱ t❤➻
s✐➯✉ ♣❤➥♥❣

t, x =

C

✈➔ ✤✐➸♠ ❣è❝ t♦↕ ✤ë ❝â t❤➸ t→❝❤ ♠↕♥❤✱ ✈➼ ❞ö ❜ð✐

α
✳
2

❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❜ê ✤➲✳ ❉♦ C ✤â♥❣ ✈➔ 0 C tỗ t q B t ð
❣è❝✱ ❜→♥ ❦➼♥❤

r>0

s❛♦ ❝❤♦

C ∩ B = ∅✳

⑩♣ ❞ö♥❣ ✤à♥❤ ỵ t


✶✷
t➟♣

C

✈➔

B✱

t❛ ❝â

t ∈ Rn \ {0}

✈➔

α ∈ R✱

s❛♦ ❝❤♦

t, x ≥ α ≥ t, y ∀x ∈ C, ∀y ∈ B.

❇➡♥❣ ❝→❝❤ ❝❤✉➞♥ ❤â❛ t❛ ❝â t❤➸ ①❡♠
❣è❝ ✤➳♥ s✐➯✉ ♣❤➥♥❣ ➼t ♥❤➜t ❧➔ ❜➡♥❣

t =1

α ≥ r✳

✈➔ ❞♦ ✤â ❦❤♦↔♥❣ ❝→❝❤ tø

❱➟② t❤➻

t, x ≥ α ≥ r > 0.

ự ỵ sỷ C t ❝♦♠♣❛❝t✳ ❚❛ ❝❤➾ r❛ t➟♣ C − D
✤â♥❣✳ ❚❤➟t ✈➟②✱ ❣✐↔ sû
✈ỵ✐

xk ∈ C, y k ∈ D✳

C

❱➟②

❈❤ù♥❣ tä

C −D

t = 0

s

t õ

ú ỵ



D

0
/ C D✱

t, x − y ≥ α > 0
x∈C

C

zk → z✳

❚❛ ❝â

z k = xk − y k

❝♦♠♣❛❝t✱ ♥➯♥ ❝â ♠ët ❞➣② ❝♦♥

inf t, x −

❈❤ù♥❣ tä

✈➔

y kj = z kj − xkj → z − x ∈ D✳

j → +∞✳

t↕✐

❱➻

zk ∈ C − D

✈ỵ✐ ♠å✐

❱➟②

xkj → x

❦❤✐

z = x − y C D

t ờ tr tỗ

x ∈ C, y ∈ D✳

❱➟②

α
α
≥ sup t, y + .

2
2
y∈D

❝â t❤➸ t→❝❤ ♠↕♥❤✳

✣✐➲✉ ❦✐➺♥ ♠ët tr♦♥❣ ❤❛✐ t➟♣ ❧➔ ❝♦♠♣❛❝t tr ỵ

ổ t ọ ữủ t ❞ö tr♦♥❣ ✤â

C := {(x, t) ∈ R2 : x ≥ 0, t = 0}, D := {(x, t) ∈ R2 : t ≥

1
, t > 0, x > 0}.
x

❘ã r t ỗ õ ổ õ ♥❤÷♥❣ ❝❤ó♥❣ ❦❤ỉ♥❣
t❤➸ t→❝❤ ♠↕♥❤ ✤÷đ❝✳ ✭❳❡♠ ❤➻♥❤ ✶✳✹✮✳
❚ø ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ t❛ t❤➜② r➡♥❣✱ ♥➳✉ ❤❛✐ t➟♣ ♥➡♠ tr♦♥❣ ❝ò♥❣ ♠ët s✐➯✉
♣❤➥♥❣✱ t❤➻ ❝❤ó♥❣ ✈➝♥ t→❝❤ ✤÷đ❝✱ ✈➼ ❞ư ❝❤➼♥❤ ❜➡♥❣ s✐➯✉ ♣❤➥♥❣ ✤â✳
✣➸ ❧♦↕✐ ❜ä tr÷í♥❣ ❤đ♣ ❝ü❝ ✤♦❛♥ ♥➔②✱ ♥❣÷í✐ t❛ ✤÷❛ r❛ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ t→❝❤
✤ó♥❣ s❛✉✿


✶✸

✭❛✮ ❚→❝❤ ♥❤÷♥❣ ❦❤ỉ♥❣ t→❝❤ ♠↕♥❤

✭❜✮ ❚→❝❤ ♠↕♥❤

❍➻♥❤ ✶✳✹✿ ❚→❝❤ ✈➔ t→❝❤ ♠↕♥❤
❚❛ ♥â✐ ❤❛✐ t➟♣

C

✈➔

D

✤÷đ❝

t→❝❤ ✤ó♥❣

❜ð✐ s✐➯✉ ♣❤➥♥❣

aT x = α

♥➳✉

✭✶✳✶✷✮ t❤ä❛ ♠➣♥ ✈➔ ❝↔ ❤❛✐ t➟♣ ♥➔② ❦❤æ♥❣ ũ trồ tr s
t
ú ỵ r

A B

t ỗ

õ t t ữủ ❞ư

A

✈➔

B

riA∩riB = ∅✱ t❤➻ ❤❛✐ t➟♣ ♥➔②

❧➔ ❤❛✐ ✤÷í♥❣ ❝❤➨♦ ❝õ❛ ♠ët ❤➻♥❤ ❝❤ú

♥❤➟t tr♦♥❣ ♠➦t ♣❤➥♥❣ ✷ ❝❤✐➲✉✳ ❚✉② ♥❤✐➯♥ ❝❤ó♥❣ ❦❤ỉ♥❣ t❤➸ t→❝❤ ✤ó♥❣✳
▼ët ❤➺ q✉↔ r➜t q✉❛♥ trồ ừ ỵ t ờ ồ t➯♥
♥❤➔ t♦→♥ ❤å❝ ❋❛r❦❛s ♥❣÷í✐ ❍✉♥❣❛r②✱ ✤÷đ❝ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ tø ữợ
ởt ỵ ồ ờ ♥➔② r➜t trü❝ q✉❛♥✱ ❞➵ →♣ ❞ö♥❣ tr♦♥❣
♥❤✐➲✉ ❧➽♥❤ ✈ü❝ ữ tố ữ ỵ tt t tỷ

q✉↔ ✶✳✶✳ ❈❤♦ A ❧➔ ♠ët ♠❛ tr➟♥ t❤ü❝ ❝➜♣ m × n ✈➔ a ∈ R ✳ ❑❤✐ ✤â
n

tr♦♥❣ ữợ õ ởt ♥❤➜t ♠ët ❤➺ ❝â ♥❣❤✐➺♠✿
Ax ≥ 0, aT x < 0
AT y = a, y ≥ 0

✈ỵ✐ ♠ët x ∈ Rn,

ợ ởt y Rm.

ởt t tữỡ ữỡ ữợ ổ ỳ ồ ừ ờ
rs


✶✹
◆û❛ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥
✈➨❝✲tì

a

{x|aT x ≥ 0}

{x|Ax ≥ 0}

❝❤ù❛ ♥â♥

♥➡♠ tr♦♥❣ ♥â♥ s✐♥❤ ❜ð✐ ❝→❝ ❤➔♥❣ ❝õ❛ ♠❛ tr➟♥

A T x ≥ 0 ⇒ aT x ≥ 0

❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐

❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐

A✳

❚ù❝ ❧➔

AT y = a, y ≥ 0.

❚➼♥❤ ❝❤➜t ❤➻♥❤ ❤å❝ ❝õ❛ ❜ê ✤➲ ♥➔② r➜t rã✳ ◆â õ r õ ỗ õ

{x|Ax 0}

tr ỷ ổ ❣✐❛♥

✈➨❝✲tì ♣❤→♣ t✉②➳♥

a

{x|aT x ≥ 0}

❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐

ð tr♦♥❣ ♥â♥ s✐♥❤ ❜ð✐ ❝→❝ ❤➔♥❣ ❝õ❛ ♠❛ tr➟♥

A✳

❍➻♥❤ ✶✳✺✿ ❇ê ✤➲ ❋❛r❦❛s

❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❜ê ✤➲ ❋❛r❦❛s✳ ●✐↔ sû ✭✶✳✻✮ ❝â ♠ët ♥❣❤✐➺♠ y
♥❤÷

Ax ≥ 0✱

0, y ≥ 0✱

t❛ ❝â

t❤➻ tø

AT y = a

t ổ ữợ ợ

aT x = y T Ax 0



C

t ỗ õ

❦❤æ♥❣ ❝â ♥❣❤✐➺♠✱ ♥➯♥

✈➔ ❞♦

Ax ≥

❱➟② ✭✶✳✺✮ ❦❤æ♥❣ t❤➸ ❝â ♥❣❤✐➺♠✳

❇➙② ❣✐í t❛ ❣✐↔ sû ❤➺ ✭✶✳✻✮ ❦❤ỉ♥❣ ❝â ♥❣❤✐➺♠✳ ▲➜② t➟♣

AT y = x}✳

x✱

♥➔♦ ✤â✳ ◆➳✉

C = {x|∃y ≥ 0 :

0 C

a
/ C ỵ t tỗ t

p = 0 ởt số R s❛♦ ❝❤♦ pT a < α < pT x ✈ỵ✐ ♠å✐ x ∈ C ✳ ❉♦ 0 ∈ C ✱
♥➯♥

α < 0✳

❚❤❛②

x = AT y ✱

✈ỵ✐

y ≥ 0✱

t❛ ✈✐➳t ✤÷đ❝

α ≤ pT AT y = y T Ap✳



ú ỵ r

x = AT y

x C

p

x ∈ C

❱➟② ❝→❝ t♦↕ ✤ë ❝õ❛

α ≤ pT AT y = y T Ap✱
✈➨❝✲tì

t❤➻

s❛♦ ❝❤♦

s✉② r❛

Ap ≥ 0

✈➔

y

✈ỵ✐ ♠å✐

ξ ≥ 0

tứ

x = AT y

õ

õ t ợ tý ỵ ♥➯♥ tø ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝

Ap ≥ 0✳

❱➟② t❛ ✤➣ ❝❤➾ r sỹ tỗ t ừ ởt

aT p < 0

ự tä ❤➺ ✭✶✳✺✮ ❝â ♥❣❤✐➺♠✳

✶✳✷ ❚♦→♥ tû ❝❤✐➳✉ ❦❤♦↔♥❣ ❝→❝❤
❇➔✐ t t ởt t ỗ õ trá q✉❛♥ trå♥❣ ✈➔ ❝â r➜t
♥❤✐➲✉ ù♥❣ ❞ö♥❣ tr♦♥❣ tè✐ ÷✉✱ ❝➙♥ ❜➡♥❣ ✈➔ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❜✐➳♥ ♣❤➙♥✱✳✳✳
❈ö t❤➸✱ t s ự sỹ tỗ t t t ừ
ởt t ỗ õ s→t ♠ët sè t➼♥❤ ❝❤➜t ❝ì ❜↔♥ ❝õ❛ t♦→♥ tû





C=

ổ t tt ỗ

y

ởt tỡ

t ý ✤➦t

dC (y) := inf x − y .
x∈C

❚❛ ♥â✐

dC (y)

❧➔

❦❤♦↔♥❣ tứ y C tỗ t ∈ C s❛♦ ❝❤♦
dC (y) = π − y ,

t❤➻ t õ



ú ỵ

C



ừ y tr C ✭❳❡♠ ❤➻♥❤ ✶✳✻✮✳

❚❤❡♦ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✷✱ t❛ t❤➜② ❤➻♥❤ ❝❤✐➳✉

pC (y)

❝õ❛

y

tr➯♥

s➩ ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ tè✐ ÷✉

min{
x

1
x−y
2

❉♦ ✤â✱ ✈✐➺❝ t ừ
ừ t ữỡ
ỵ

xy

2

y

2

tr

tr

: x ∈ C}.

C

❝â t❤➸ ✤÷❛ ✈➲ ✈✐➺❝ t➻♠ ❝ü❝ t✐➸✉

C✳

π = PC (y)✱ ❤♦➦❝ ✤ì♥ ❣✐↔♥ ❤ì♥ ❧➔ P (y) ♥➳✉ ❦❤æ♥❣ ❝➛♥ ♥❤➜♥

♠↕♥❤ ✤➳♥ t➟♣ ❝❤✐➳✉

C✳






C ỗ



C ổ ỗ

ổ ❣â❝

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✸✳
Rn ✱

→♥❤ ①↕

❈❤♦

PC : R n → C

C

❧➔ t ỗ õ rộ tr ổ

♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥✿

x − PC (x) = min x − y
y∈C

✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔

t♦→♥ tû ❝❤✐➳✉ tr➯♥ C ✳

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✹✳
t➟♣

C

t↕✐

x0

❈❤♦

C ⊆ Rn , x0 ∈ C ✳

◆â♥ ♣❤→♣ t✉②➳♥

✭♥❣♦➔✐✮ ❝õ❛

❧➔ t➟♣ ❤ñ♣

NC (x0 ) := {w : wT (x − x0 ) ≤ 0 ∀x ∈ C}.

▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✻✳ C ởt t ỗ õ rộ ✤â✿

❱ỵ✐ ♠å✐ y ∈ Rn✱ π ∈ C ❤❛✐ t➼♥❤ ❝❤➜t s❛✉ ❧➔ t÷ì♥❣ ✤÷ì♥❣✿
❛✮ π = pC (y)✱
❜✮ y − π ∈ NC (π)✳
n
✭✐✐✮ ❱ỵ✐ ♠å✐ y ∈ R ✱ ❤➻♥❤ ❝❤✐➳✉ pC (y) ❝õ❛ y tr➯♥ C ❧✉æ♥ tỗ t
t
y
/ C t pC (y) − y, x − pC (y) = 0 ❧➔ s✐➯✉ ♣❤➥♥❣ tü❛ ❝õ❛ C
✭✐✮


✶✼

t↕✐ pC (y) ✈➔ t→❝❤ ❤➥♥ y ❦❤ä✐ C ✭❤➻♥❤ ✶✳✼✮✱ tù❝ ❧➔
pC (y) − y, x − pC (y) ≥ 0, ∀x ∈ C,

✈➔

pC (y) − y, y − pC (y) < 0.

❍➻♥❤ ✶✳✼✿
✭✐✈✮

⑩♥❤ ①↕ y → pC (y) ❝â ❝→❝ t➼♥❤ ❝❤➜t s❛✉✿
❛✮ ❚➼♥❤ ❦❤æ♥❣ ❣✐➣♥✿ pC (x) − pC (y) ≤ x − y ∀x, ∀y.
❜✮ ❚➼♥❤ ỗ ự pC (x) pC (y), x y ≥ pC (x) − pC (y)

2

.

❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ✭✐✮ ●✐↔ sû ❝â π = pC (y)✳ ▲➜② x ∈ C ✈➔ λ ∈ (0, 1)✳ ✣➦t
xλ := λx + (1 − ).


x, C





C

ỗ

y y xλ

xλ ∈ C ✳

▼➦t ❦❤→❝ ✈➻

2

≤ λ(x − π) + (π − y)

⇔ π−y

2

≤ λ2 x − π
2

❧➔ ❤➻♥❤ ❝❤✐➳✉ ❝õ❛

✳ ❑❤✐ ✤â

π−y

⇔λ x − π

π

2

2

+ 2λ x − π, π − y + π − y

+ 2 x − π, π − y ≥ 0.

2

y✱


✶✽

x∈C

✣✐➲✉ ♥➔② ✤ó♥❣ ✈ỵ✐ ♠å✐

✈➔

λ ∈ (0, 1)✳

❉♦ ✤â ❦❤✐ ❝❤♦

λ

t✐➳♥ ✤➳♥

0✱

t❛ ✤÷đ❝

π − y, x − π ≥ 0 ∀x ∈ C.
❱➟②

y − π ∈ NC (π)✳

◆❣÷đ❝ ❧↕✐✱ ❣✐↔ sû ❝â

y − π ∈ NC (π)✳

❱ỵ✐ ♠å✐

x ∈ C✱

t❛ ❝â

0 ≥ (y − π)T (x − π) = (y − π)T (x − y + y − π)
= y−π

2

+ (y − π)T (x − y).

❑❤✐ ✤â✱ t❤❡♦ ❣✐↔ sû ✈➔ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❈❛✉❝❤②✲❙❝❤✇❛r③ t❛ ❝â

y−π

2

≤ (y − π)T (y − x) ≤ y − π

y − π ≤ y − x , ∀x ∈ C

❙✉② r❛

✭✐✐✮ ❱➻

dC (y) = inf xc x y

tỗ t ởt

{xk } ∈ C

✈➔ ❞♦ ✤â

y−x .

π = p(y)✳

✱ ♥➯♥ t❤❡♦ ✤à♥❤ ừ ữợ ú

s

lim xk y = dC (y) < +∞.
k

❱➟② ❞➣②

π

xk

❜à ❝❤➦♥✱ ❞♦ ✤â ♥â ❝â ♠ët ❞➣② ❝♦♥

♥➔♦ ✤â✳ ❱➻

C

✤â♥❣✱ ♥➯♥

π ∈ C✳

{xkj } ❤ë✐ tö ✤➳♥ ♠ët ✤✐➸♠

❱➟②

π − y = lim xkj − y = lim xk − y = dC (y).
j

❱➟②

π

❧➔ ❤➻♥❤ ❝❤✐➳✉ ❝õ❛

k

y

tr➯♥

C✳

❚❛ ✤✐ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ t➼♥❤ ❞✉② ♥❤➜t ❝õ❛ ❤➻♥❤ t tỗ t

1

❝õ❛

y

tr➯♥

C✱

t❤➻

y − π ∈ NC (π), y − π 1 ∈ NC (π).
❚ù❝ ❧➔

π − y, π 1 − π ≥ 0

✭✶✳✼✮


✶✾
✈➔

π 1 − y, π − π 1 ≥ 0.

❈ë♥❣ ✭✶✳✼✮ ✈➔ ✭✶✳✽✮✱ t❛ s✉② r❛
✭✐✐✐✮ ❱➻

π − y, π
C

✈➻

π − π 1 ≤ 0✱

✈➔ ❞♦ ✤â

π = π1✳

y − π ∈ NC (π) ♥➯♥ π − y, x − π ≥ 0 ∀x ∈ C ✳ ❱➟② π − y, x =
❧➔ ♠ët s✐➯✉ ♣❤➥♥❣ tü❛ ❝õ❛

y=π

C

t↕✐

π ✳ ❙✐➯✉ ♣❤➥♥❣ ♥➔② t→❝❤ y

❦❤ä✐

♥➯♥

π − y, y − π = − π − y

✭✐✈✮ ❚❤❡♦ ✭✐✐✮ →♥❤ ①↕

NC (p(z))

✭✶✳✽✮

✈ỵ✐ ♠å✐

z

x → p(x)

♥➯♥ →♣ ❞ư♥❣ ✈ỵ✐

2

< 0.

①→❝ ✤à♥❤ ❦❤➢♣ ♥ì✐✳ ❱➻

z=x

✈➔

z = y✱

z − p(z) ∈

t❛ ❝â

x − p(x), p(y) − p(x) ≤ 0

✭✶✳✾✮

y − p(y), p(x) − p(y) ≤ 0.

✭✶✳✶✵✮

✈➔

❈ë♥❣ ✭✶✳✾✮ ✈➔ ✭✶✳✶✵✮ t❛ ✤÷đ❝

p(y) − p(x), p(y) − p(x) + x − y ≤ 0.
❉♦ ✤â✱ t❤❡♦ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❈❛✉❝❤②✲❙❝❤✇❛r③✱ s✉② r❛

p(x) − p(y) ≤ x − y .
ự t ỗ ự ử t t ừ ữủt ợ

p(x)



p(y)

t õ

p(x) x, p(x) − p(y) ≤ 0.

✭✶✳✶✶✮

y − p(y), p(x) − p(y) ≤ 0.

✭✶✳✶✷✮


✷✵
❈ë♥❣ ✭✶✳✶✶✮ ✈➔ ✭✶✳✶✷✮✱ t❛ ✤÷đ❝

p(x) − p(y) + y − x, p(x) − p(y)
= p(x) − p(y), y − x + p(x) − p(y)

2

≤0

⇔ p(x) − p(y), y − x ≥ p(x) − p(y) 2 .
❚❛ ❝â ✤✐➲✉ ♣❤↔✐ ự

ú ỵ

tỷ tr ỏ õ ởt t➼♥❤ ❝❤➜t ♠↕♥❤ ❤ì♥ t➼♥❤

❦❤ỉ♥❣ ❣✐➣♥ ♥➯✉ ð tr➯♥✳ ❈ư t❤➸✱ t❛ ❝â

p(x) − p(y)

2

≤ x−y

2

− p(x) − p(y) − x + y

2

∀x, y.

❚r♦♥❣ ♥❤✐➲✉ ù♥❣ ❞ư♥❣ t❤÷í♥❣ ❣➦♣✱ t➟♣ ❝❤✐➳✉ ❝â ♥❤ú♥❣ t➼♥❤ ❝❤➜t ✤➦❝
❜✐➺t✿ ✈➼ ❞ö ♥â ❧➔ ♥û❛ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥✱ ❤➻♥❤ ❝➛✉ ✤â♥❣ ❤❛② s✐➯✉ ❤ë♣ t❤➻ ✤✐➸♠
❝❤✐➳✉ ❝â t❤➸ t➼♥❤ ✤÷đ❝ ♠ët ❝→❝❤ t÷í♥❣ ♠✐♥❤✳ ❚❛ ❝â ❝→❝ tr÷í♥❣ ❤đ♣ s❛✉✿

❱➼ ❞ư ✶✳✺✳
❈❤♦

C

✭❈❤✐➳✉ ❧➯♥ ♥û❛ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥✮

❧➔ ♠ët ♥û❛ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ✤÷đ❝ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ❜ð✐

C = {x ∈ R : aT x ≤ α}
tr♦♥❣ ✤â

a=0

❧➔ ♠ët ✈➨❝✲tì ♥➡♠ tr♦♥❣

❑❤✐ ✤â✱ ❤➻♥❤ ❝❤✐➳✉ ❝õ❛

a

✈➨❝✲tì

u ∈ Rn

PC (u) := u − max{0;

❱➼ ❞ư ✶✳✻✳
❈❤♦

C

Rn

✈➔

❧➯♥

α

C

❧➔ ♠ët sè t❤ü❝✳

✤÷đ❝ ①→❝ ✤à♥❤ ♥❤÷ s❛✉✿

a, u − α
}a.
a 2

✭❈❤✐➳✉ ❧➯♥ ❤➻♥❤ ❝➛✉ ✤â♥❣✮

❧➔ ❤➻♥❤ ❝➛✉ t➙♠

a

❜→♥ ❦➼♥❤

r

✤÷đ❝ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ❜ð✐

C := {x : x − a ≤ r}.
❑❤✐ ✤â✱ ❤➻♥❤ ❝❤✐➳✉ ❝õ❛

u

❧➯♥

C

✤÷đ❝ ①→❝ ✤à♥❤ ♥❤÷ s❛✉✿