Tài liệu Điều khiển tối ưu P3 ppt

Chng 3 : iu khin bn vng
Hc kì 1 nm hc 2005-2006


Chng 3

IU KHIN BN VNG



3.1 Gii thiu
3.1.1 Khái nim điu khin bn vng
H thng điu khin bn vng làm cho cht lng ca sn phm n đnh,
không ph thuc vào s thay đi ca đi tng cng nh ca nhiu tác đng
lên h thng.Mc đích ca điu khin bn vng là cht lng vòng kín đc
duy trì mc dù có nhng s thay đi trong đi tng.


P
0
:Mô hình chun (mô hình danh
đnh)
Δ
P :Mô hình thc t vi sai lch
Δ so vi mô hình chun


Hình 3.1 : Mô hình điu khin bn vng

Cho tp mô hình có sai s
Δ

P
và mt tp các ch tiêu cht lng, gi s
P
0

∈
Δ
P là mô hình danh đnh dùng đ thit k b điu khin K.H thng
hi tip vòng kín đc gi là có tính :
- n đnh danh đnh: nu K n đnh ni vi mô hình danh đnh P
0

- n đnh bn vng: nu K n đnh ni vi mi mô hình thuc
Δ
P

- Cht lng danh đnh: nu các mc tiêu cht lng đc tha đi vi mô
hình danh đnh P
0

PGS.TS Nguyn Th Phng Hà Trang 2

- Cht lng bn vng: nu các mc tiêu cht lng đc tha đi vi mi
mô hình thuc
Δ
P
Mc tiêu bài toán n đnh bn vng là tìm b điu khin không ch n đnh
mô hình danh đnh P
0
mà còn n đnh mt tp các mô hình có sai s

Δ
P
3.1.2 Chun ca tín hiu
3.1.2.1 Khái nim chun
Trong điu khin nói riêng cng nh trong các công vic có liên quan đn
tín hiu nói chung,thông thng ta không làm vic ch riêng vi mt tín hiu
hoc mt vài tín hiu đin hình mà ngc li phi làm vic vi mt tp gm
rt nhiu các tín hiu khác nhau. Khi phi làm vic vi nhiu tín hiu khác
nhau nh vy chc chn ta s gp bài toán so sánh các tín hiu đ chn lc
ra đc nhng tín hiu phù hp cho công vic.
Các khái nim nh tín hiu x
1
(t) tt hn tín hiu x
2
(t) ch thc s có ngha
nu nh chúng cùng đc chiu theo mt tiêu chun so sánh nào đó. Cng
nh vy nu ta khng đnh rng x
1
(t) ln hn x
2
(t) thì phi ch rõ phép so
sánh ln hn đó đc hiu theo ngha nào, x
1
(t) có giá tr cc đi ln hn ,
có nng lng ln hn hay x
1
(t) cha nhiu thông tin hn x
2
(t)…..Nói mt
cách khác ,trc khi so sánh x

1
(t) vi x
2
(t) chúng ta phi gn cho mi mt
tín hiu mt giá tr đánh giá tín hiu theo tiêu chun so sánh đc la chn .
nh ngha: Cho mt tín hiu x(t) và mt ánh x x(t) ||x(t)||
∈
R
+
chuyn
x(t) thành mt s thc dng ||x(t)||.S thc dng này s đc gi là chun
ca x(t) nu nó tha mãn:
a. ||x(t)|| ≥ 0 và ||x(t)|| = 0 khi và ch khi x(t) =0 (3.1)
b. ||x(t)+y(t)|| ≤ ||x(t)|| + ||y(t)||
∀ x(t), y(t) (3.2)
c. ||ax(t)|| = |a|.||x(t)||
∀ x(t) và Ra ∈∀ . (3.3)
3.1.2.2 Mt s chun thng dùng trong điu khin cho mt tín hiu x(t):
- Chun bc 1: dttxtx
∫
∞
∞−
= |)(|||)(||
1
(3.4)
- Chun bc 2:
∫
∞
∞−
= dttxtx

2
2
|)(|||)(|| . (3.5)
Chng 3 : iu khin bn vng
Trang 3
Bình phng chun bc hai chính là giá tr đo nng lng ca tín hiu x(t).
-Chun bc p:
p
p
p
dttxtx
∫
∞
∞−
= |)(|||)(|| vi p
∈ N (3.6)
- Chun vô cùng: |)(|sup||)(|| txtx
t
=
∞
(3.7)
đây là biên đ hay đnh ca tín hiu
Khái nim chun trong đnh ngha trên không b gii hn là ch cho mt tín
hiu x(t) mà còn đc áp dng đc cho c vector tín hiu gm nhiu phn
t và mi phn t li là mt tín hiu.
Xét mt vector tín hiu:
x(t) =
⎟
⎟
⎟

⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
)(
)(
1
tx
tx
n
B

- Chun 1 ca vector x:

∑
=
=
n
i
i
xx
1
1
(3.8)
- Chun 2 ca vector x:

∑

=
=
n
i
i
xx
1
2
2
(3.9)

- Chun vô cùng ca vector x:

ni
i
xx
,...,2,1
max
=
∞
= (3.10)
3.1.2.3 Quan h ca chun vi nh Fourier và nh Laplace:
 phc v mc đích s dng khái nim chun vào điu khin ,ta cn quan
tâm ti mi liên quan gia chun tín hiu x(t) là ||x(t)|| vi nh Fourier
X(j
ω
) cng nh nh Laplace X(s) ca nó.


PGS.TS Nguyn Th Phng Hà Trang 4

nh lí 3.1: (Parseval) Chun bc hai ca mt tín hiu x(t) và nh Fourier
X(j
ω
) ca nó có quan h :

ωω
π
djXdttxtx
222
|)(|
2
1
|)(|||)(||
2
∫∫
∞
∞−
∞
∞−
== (3.11)
Cho tín hiu nhân qu causal x(t). Gi X(s) là nh Laplace ca nó .Gi s
rng X(s) có dng thc -hu t vi bc ca đa thc t s không ln hn bc
đa thc mu s ,tc là:

n
n
m
m
sasaa

sbsbb
sA
sB
sX
+++
+++
==
.....
.....
)(
)(
)(
10
10
vi m < n (3.12)
nh lí 3.2: Xét tín hiu nhân qu causal x(t) có X(s) dng (3.12) . chun
bc 1 ca x(t) là mt s hu hn ||x(t)||
1
= K <
∞ thì điu kin cn và đ là tt
c các đim cc ca X(s) phi nm bên trái trc o (có phn thc âm) .
3.1.3 i s ma trn
3.1.3.1 Mt s ma trn thng gp:
- Mt ma trn A=(a
ij
) có s hàng bng s ct đc gi là ma trn vuông.
ng chéo ni các phn t a
ii
trong ma trn vuông đc gi là đng chéo
chính .ng chéo còn li đc gi là đng chéo ph.

A =
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
A
BBBB
A
A
21
22221
11211
(3.13)
- Mt ma trn vuông A=(a
ij
) có a

ij
= 0 khi i ≠ j ,tc là các phn t không
nm trên đng chéo chính đu bng 0, đc gi là ma trn đng chéo. Ma
trn đng chéo đc ký hiu bi:
A =
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
nn
a
a
a
A
BBBB
A
A
00
00
00
22
11

= diag(a
ij
) (3.14)
Chng 3 : iu khin bn vng
Trang 5
- Ma trn đng chéo I = diag(1) =
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
100
010
001
A
BBBB
A
A
gi là ma trn đn v.
- Ma trn vuông A=(a
ij
) có a
ij

= 0 khi i > j (hoc i < j) đc gi là ma trn
tam giác
+ Ma trn tam giác di
A=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
nnnn
aaa
aa
a
A
BBBB
A
A
21
2221
11
0
00
(3.15)

+ Ma trn tam giác trên
A=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
nn
n
n
a
aa
aaa
A
BBBB
A
A
00
0
222
11211
(3.16)
3.1.3.2 Các phép tính v ma trn:

- Phép cng / tr: Cho hai ma trn A=(a
ij
) và B=(b
ij
) cùng có m hàng và n
ct .Tng hay hiu A ± B = C =(c
ij
) ca chúng đc đnh ngha là mt ma
trn cng có m hàng và n ct vi các phn t
c
ij
= a
ij
+ b
ij
i=1,2,…..,m và j=1,2,…..,n.
- Phép nhân vi s thc: Cho ma trn A=(a
ij
) có m hàng và n ct và mt s
vô hng thc(phc) x tùy ý .Tích B = xA = Ax = (b
ij
) đc hiu là ma trn
cng có m hàng và n ct vi các phn t

B
ij
= x.a
ij
i=1,2,….m và j=1,2,…..,n
- Phép chuyn v: Ma trn chuyn v ca ma trn A=(a

ij
) vi m hàng và n ct
là ma trn A
T
= (a
ji
) có n hàng và m ct đc to t ma trn A qua vic hoán
chuyn hàng thành ct và ngc li ct thành hàng.
- Phép nhân ma trn: Cho ma trn A=(a
ik
) có m hàng và p ct và ma trn
B=(b
kj
) có p hàng và n ct ,tc là :
PGS.TS Nguyn Th Phng Hà Trang 6

+ A=(a
ik
) i=1,2,....,m và k=1,2,….,p
+ B=(b
kj
) k=1,2,….,p và j=1,2,…..,n
Tích AB = C =(c
ij
) ca chúng là mt ma trn có m hàng và n ct vi các
phn t
C
ij
=
∑

=
p
k
kjik
ba
1

Mt ma trn vuông A
nn
R
×
∈ đc gi là ma trn trc giao nu A
T
A=AA
T
=I
3.1.3.3 Hng ca ma trn:
Cho n vector v
i
i=1,2,…,n Chúng s đc gi là đc lp tuyn tính nu đng
thc a
1
v
1
+a
2
v
2
+…….+a
n

v
n
=0 trong đó a
i
là nhng s thc (hoc phc) s
đúng khi và ch khi a
1
= a
2
= …..=a
n
= 0
Xét mt ma trn A=(a
ij
) bt kì có m hàng và n ct .Nu trong s m vector
hàng có nhiu nht p ≤ m vector đc lp tuyn tính và trong s n vector ct
có nhiu nht q ≤ n vector đc lp tuyn tính thì hng ma trn đc hiu là:
Rank(A) = min{p,q}
Mt ma trn vuông A kiu (n
×n) s đc gi là không suy bin nu
Rank(A)=n .Ngc li nu Rank(A) <n thì A đc nói là ma trn suy bin
Hng ma trn có các tính cht sau:
- Rank(A) = min{p,q} (3.17)
- Rank(AB) ≤ rank(A) và rank(AB) ≤ rank(B) (3.18)
- Rank(A + B) ≤ rank(A) + rank(B) (3.19)
- Nu B không suy bin thì rank(AB) = rank(B) (3.20)
3.1.3.4 Ma trn nghch đo:
Cho ma trn A=(a
ij
),i=1,2,…,m ; j=1,2,…,n,trong đó a

ij
là nhng s thc
(hoc phc),nói cách khác A ∈ R
m
×
n
(hoc A ∈ C
m
×
n
).Nu tn ti mt ma
trn B tha mãn :
AB = BA = I (ma trn đn v) (3.21)
Thì ma trn B đc gi là ma trn nghch đo ca A và ký hiu là B = A
-1
.
Chng 3 : iu khin bn vng
Trang 7
Do phi tn ti c hai phép nhân AA
-1
và A
-1
A cho ra kt qu có cùng kiu
nên ma trn A phi là mt ma trn vuông,tc là phi có m = n.Hn na do
det(I) = 1 ≠ 0 nên:
det(A)det(A
-1
) ≠ 0 => det(A) ≠ 0 và det(A
-1
) ≠ 0. (3.22)

Vy A phi là ma trn không suy bin.
Ma trn nghch đo A
-1
ca A có tính cht sau:
- Ma trn nghch đo A
-1
ca A là duy nht (3.23)
- Tp hp tt c các ma trn vuông cùng kiu và không suy bin cùng vi
phép nhân ma trn to thành mt nhóm (không giao hoán). (3.24)
- Nghch đo ma trn kiu (2
×2):
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
−
ac
bd

A
dc
ba
A
)det(
1
1
(3.25)
- (AB)
-1
= B
-1
A
-1

(3.26)
- (A
-1
)
T
= (A
T
)
-1
(3.27)
- Nu A = diag(a
i
) và không suy bin thì A
-1
= diag

⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
i
a
1
(3.28)
- A
-1
=
)det(A
A
adj
(3.29)
trong đó A
adj
là ma trn có các phn t a 
ij
= (-1)
i+j
det(A
ij
) vi A
ij
là ma trn
thu đc t A bng cách b đi hàng th j và nh ct th i.
- Cho ma trn A ∈ R

n
×
n
không suy bin . Nu U ∈ R
n
×
m
và V ∈ R
n
×
m
là
hai ma trn làm cho (I+V
T
A
-1
U) cng không suy bin thì
(A+UV
T
)
-1
= A
-1
– A
-1
U(I+V
T
A
-1
U)

-1
V
T
A
-1
(3.30)
- Cho ma trn vuông A =
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
43
21
AA
AA
không suy bin,trong đó A
1
,A
2
,A
3
,A
4

cng là các ma trn.
Nu A
1
không suy bin và B = A

4
– A
3
A
1
-1
A
2
cng không suy bin thì

⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−+
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
−
−
−
−

−−
−−
−
−
−
1
1
13
1
1
2
1
1
1
13
1
2
1
1
1
1
1
43
21
1
BAAB
BAAAABAAA
AA
AA
A

(3.31)
PGS.TS Nguyn Th Phng Hà Trang 8

Nu A
4
không suy bin và C = A
1
– A
2
A
4
-1
A
3
cng không suy bin thì
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+−
−
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡

=
−
−
−−
−
−
−
−−
−
−
1
32
1
3
1
4
1
4
1
3
1
4
1
42
11
1
43
21
1
AACAAAACAA

AACC
AA
AA
A
(3.32)
3.1.3.5 Vt ca ma trn:
Cho ma trn vuông A=(a
ij
) ,i,j=1,2,……,n kiu (nxn).Vt ca A đc hiu
là tng giá tr các phn t trên đng chéo chính ca A và đc ký hiu
bng trace(A):
trace=
∑
=
m
i
ii
a
1
(3.33)
Vt ca ma trn có các tính cht:
a. trace(AB) = trace(BA) (3.34)
b. trace(S
-1
AS) = trace(A) vi S là ma trn không suy bin bt kì (3.35)
3.1.3.6 Giá tr riêng và vector riêng:
S thc
λ
đc gi là giá tr riêng và vector x đc gi là vector riêng bên
phi ng vi giá tr riêng

λ
ca A tha mãn:
Ax =
λ
x ∀ x (3.36)
⇔ (A -
λ
I)x = 0
∀
x (3.37)
Giá tr riêng và vector riêng ca ma trn A có nhng tính cht sau:
a. Hai ma trn tng đng A và S
-1
AS luôn cùng giá tr riêng, nói cách
khác giá tr riêng ca ma trn bt bin vi phép bin đi tng đng:
det(A-
λ
I)=det(S
-1
AS-
λ
I) (3.38)
b. Các giá tr riêng ca ma trn bt bin vi phép chuyn v, tc là:
det(A-
λ
I)=det(A
T
-
λ
I) (3.39)

c. Nu A không suy bin thì AB và BA có cùng các giá tr riêng ,tc là:
det(AB-
λ
I)=det(BA-
λ
I) (3.40)
d. Nu A là ma trn đi xng (A
T
=A) thì các vector riêng ng vi nhng giá
tr riêng khác nhau s trc giao vi nhau
Trong Matlab ,s dng hàm eig(A) đ tìm ma trn riêng và vector riêng.
Chng 3 : iu khin bn vng
Trang 9
3.1.3.7 Tính toán ma trn:
Cho ma trn X = (x
ij
) ∈ C
m
×
n
là mt ma trn thc (hoc phc) và F(X) ∈ C
là mt vô hng thc hoc phc ca X .o hàm ca F(X) đi vi X đc
đnh ngha

⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢

⎣
⎡
∂
∂
=
∂
∂
)()(
XF
x
XF
X
ij
(3.41)
Cho A và B là nhng ma trn phc vi không gian tng thích .Mt s công
thc đo hàm :

()
()
()
1
(3.42)
() (3.43)
2 ( ) (3.44)
() (3.45)
( ) (3.46)
TT
kkT
TT
TT

T
Trace AXB A B
X
Trace X k X
X
Trace XBX XB B B
X
XAX AX AX
X
Trace AX B BA
X
−
∂
=
∂
∂
=
∂
∂
==
∂
∂
=+
∂
∂
=
∂

3.1.3.8 Chun ca ma trn:
Ngi ta cn đn chun ca ma trn là nhm phc v vic kho sát tính gii

tích ca nó.Có nhiu chun khác nhau cho mt ma trn A=(a
ij
)
,i=1,2,…,m;j=1,2,…,n.
Nhng chun thông thng đc s dng:
- Chun 1 ca ma trn A

∑
=
≤≤
=
m
i
ij
nj
aA
1
1
1
max (3.47)
- Chun 2 ca ma trn A

)(max
*
1
2
AAA
i
ni
λ

≤≤
= (3.48)
- Chun vô cùng ca ma trn A
PGS.TS Nguyn Th Phng Hà Trang 10


∑
=
≤≤
∞
=
n
j
ij
mi
aA
1
1
max
(3.49)
- Chun Euclide ca ma trn A (chun Frobenius)

)(
2
AAtraceaA
T
ij
ij
F
==

∑∑
(3.50)
vi
*
A là ma trn chuyn v và ly liên hip. )(
*
AA
i
λ
là tr riêng ca ma
trn AA
*
là mt s thc không âm.
3.1.4 Tr suy bin ca ma trn – đ li chính(Principal gain)
Tr suy bin ca ma trn A(m x l) đc ký hiu là )(A
i
σ
đc đnh ngha
nh sau:

kiAAA
ii
,...2,1)()(
*
==
λσ
(3.51)
vi },min{ lmk = .
Nu chúng ta biu din ma trn A di dng A(s) và đt
ω

js =
)0( ∞<≤
ω
, thì tr suy bin ca )(
ω
jA là mt hàm ca
ω
và đc gi là
đ li chính ca A(s).  đây chúng ta gi s rng
i
σ
đc sp xp theo th
t sao cho
1+
≥
ii
σσ
. Nh vy,
1
σ
là tr suy bin ln nht và
k
σ
là tr suy
bin nh nht. Ký hiu
σ
là tr suy bin ln nht và
σ
là tr suy bin nh
nht.

Ta có:

)(max)(max)(
*
AAAA
ii
λσσ
==

2
A= (3.52)
vi
2
2
2
sup
x
Ax
A = .
 li ca h đa bin nm gia đ li chính ln nht và nh nht.
Trong Matlab tìm tr suy bin ca ma trn A dùng lnh
svd(A)
Ví d: Cho ma trn A:
Chng 3 : iu khin bn vng
Trang 11
>> A =
⎥
⎥
⎥
⎦

⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
7
8
4
2
6
9
;
>> S =svd(A)
S =
[14.9359
5.1883]
S: vector ca các giá tr suy bin ca ma trn A
)(A
σ
=14.9359
σ
(A)=5.1883
3.1.5 n đnh ni
n đnh ni là yêu cu c bn đi vi mt h thng hi tip thc. Ý ngha
ca n đnh ni là khi đu vào h thng bng không thì tt c các trng thái
h thng đu phi v không t mi giá tr ban đu. Mi h thng t đng
đu phi bo đm n đnh ni mi hot đ
ng đc.

Hình 3.2 : S đ h thng dùng đ phân tích n đnh ni

nh ngha :
H hi tip hình 3.2 đc gi là n đnh ni nu tt c các hàm truyn đt t
w
1
, w
2
đn e
1
, e
2
đu n đnh.
G
K
w
1

e
1
e
2

w
2

+
+
+
+

PGS.TS Nguyn Th Phng Hà Trang 12

iu kin n đnh ni cht hn điu kin n đnh da trên hàm truyn vào-
ra thông thng, vì nó tránh vic kh các cc và zero không n đnh gia
các khâu liên tip nhau. Khi thành lp hàm truyn vào-ra, có th xy ra hin
tng kh cc và zero không n đnh ca các khâu liên tip nhau. Nh vy,
điu kin n đnh ni bo đm các tín hiu bên trong h thng đu h
u hn
khi tín hiu vào là hu hn.
Ví d, ta kho sát điu kin n đnh ni ca h thng hình 3.2:
2
1
1
1
2
212122
2
1
1
1
1
121211
)()(
)()(
wGKIGwGKIe
GKeGwwGewe
KwKGIwKGIe
KGeKwwKewe
−−
−−

−+−=⇒
++=+=
−+−=⇒
++=+=

Suy ra:
11
11
11
22
()()
()()
ew
ew
−−
−−
⎡⎤
−−
⎡⎤ ⎡ ⎤
=
⎢⎥
⎢⎥ ⎢ ⎥
−−
⎣⎦ ⎣ ⎦
⎣⎦
IKG IKGK
IGK G IGK

iu kin n đnh ni ca h là các hàm truyn
1

()
−
−I KG ,
1
()
−
−I KG K ,
1
()
−
−
I GK G ,
1
()
−
−I GK đu n đnh.
3.1.6 nh lý đ li nh (Small Gain Theorem)
Cho h thng đc biu din nh hình 3.3: Gi λ
i
là tr riêng ca G

Hình 3.3 : H thng hi tip vòng kín
nh lý đ li nh đc phát biu nh sau:
Gi thit rng G(s) n đnh, ρ(G(jω)) là bán kính ph ca G(jω). H thng
vòng kín n đnh nu
( )
1max))(( <=
i
jG
λωρ

, hoc
ωω
∀< ,1)( jG
G
r y
-
u
Chng 3 : iu khin bn vng
Trang 13
i vi h SISO thì

1)())(( <=
ωωρ
jGjG (3.53)
nh lý đ li nh ch là điu kin đ đ xét n đnh ca h thng. im
mnh ca đnh lí này là nó không yêu cu nhng thông tin chi tit v h
thng.Vì vy nó không ch ng dng đc cho h thng tuyn tính bt bin
theo thi gian mà còn ng dng đc cho h thng phi tuyn, thay đi theo
thi gian.
3.1.7 n đnh bn vng
3.1.7.1 nh lý n đnh bn vng
ây là mô hình c bn dùng đ phân tích tính n đnh bn vng ca mt h
thng. Nu h danh đnh n đnh thì M n đnh và Δ là sai s có th làm
cho h thng mt n đnh. nh lý sau thit lp điu kin ca M đ cho h
thng vn n đnh di nh hng ca Δ

Hình 3.4 : S đ cu trúc phân tích n đnh bn vng
nh lý n đnh bn vng:
Gi s M và Δ n đnh, h thng vòng kín hình 3.4 s n đnh khi và ch khi
biu đ cc ca đng cong Nyquist det(I-MΔ) không bao đim gc. Khi đó

h thng vòng kín s n đnh bn vng vi mi Δ
)1)(( ≤Δ
σ
nu và ch nu
khi mt trong các điu kin sau tha mãn:
a. )1(,0))(( ≤Δ∀∀≠Δ−
σωω
jMIDet (3.54)
b.
)1(,1))(( ≤Δ∀∀<Δ
σωωρ
jM (3.55)
c.
ωωσ
∀<=
∞
1))(( jMM (3.56)

v
M
Δ
w
PGS.TS Nguyn Th Phng Hà Trang 14


3.1.7.2 iu kin n đnh bn vng đi vi sai s cng:
Vi
ωωσδ
∀≤ΔΔ=Δ 1))((),()()( jsss
AA

, (3.57)

Hình 3.5 : Sai s cng

Ta có:
() ()[ () () ()()]
A
vs Ks sws Gsvs
δ
=− + (3.58)
hay

1
() [ () ()] () () ()
A
vs I KsGs Ks sws
δ
−
=− + (3.59)
vy

)]()([
)()(
)(
sGsKI
ssK
sM
A
+
−=

δ
(3.60)

Kt lun: H thng vòng kín hình 3.5 n đnh bn vng khi và ch khi:

)(
ωσ
j =||M(s)||
∞
=

1
)]()([
)()(
<
+
∞
sGsKI
ssK
A
δ
(3.61)


K
v
-
G
+
Δ

A
δ
w
M
Chng 3 : iu khin bn vng
Trang 15

3.1.7.3 iu kin n đnh bn vng đi vi sai s nhân  đu ra

Hình 3.6 : Sai s nhân  đu ra

Vi
ωωσδ
∀≤ΔΔ=Δ 1))((),()()( jsss
OO
, (3.62)
Ta có:
() () ()[ () () ()]
O
vs GsKs sws vs
δ
=− + (3.63)
hay

1
() [ () ()] () () () ()
O
vs I GsKs GsKs sws
δ
−

=− + (3.64)
vy

)()(
)()()(
sKsGI
ssKsG
M
O
+
−=
δ
(3.65)
Kt lun: H thng vòng kín hình 3.6 n đnh bn vng khi và ch khi:

1
)()(
)()()(
<
+
∞
sKsGI
ssKsG
O
δ
(3.66)



K

v
-
G
+
Δ
0
δ

w
M
PGS.TS Nguyn Th Phng Hà Trang 16

3.2 Phng pháp LQG (Linear Quadratic Gaussian)
3.2.1 t vn đ
Cho h thng

Rt
tDxtz
tvtCxty
twtButAxtx
∈
=
+=
++=
)()(
)()()(
)()()()(
γ
$
(3.67)

Ngõ ra y là ngõ ra hi tip và đo đc. Ngõ ra z là điu khin đc. Tín hiu
nhiu w là nhiu h thng và v là nhiu đo .
Tín hiu v và w là nhng quá trình nhiu trng .Trng thái ban đu ca x(0)
đc gi s là mt vector ngu nhiên .
Nhiu s gi s khác nhau đnh ngha trng thái x(t) t
∈R và ngõ ra điu
khin đc z(t),t
∈
R là nhng quá trình ngu nhiên .Biu thc sai s toàn
phng :
0)()()()( ≥+ ttRututQztz
TT
(3.68)
là mt quá trình ngu nhiên.
Vn đ ca điu khin h thng là giá tr mong đi ca tích phân :

dttRututQztzE
T
TT
])()()()([
0
∫
+
(3.69)
là nh. ây là vn đ điu khin tuyn tính nhiu lon. Khong thi gian [0
T] là xác đnh nhng tht s chúng ta xem xét trng hp T
∞→ . Ti bt
k thi gian t toàn b tín hiu đo đc  quá kh y(s) s t
≤ đc gi s có
giá tr cho hi tip. Hình (3.7) làm rõ trng hp này :

Chng 3 : iu khin bn vng
Trang 17

Hình 3.7 : Hi tip LQG
3.2.2 B quan sát
Xem xét h thng quan sát :

Rt
tCxty
tButAxtx
∈
=
+=
)()(
)()()(
$
(3.70)
ây là h thng (3.67) nhng không có nhiu h thng w và nhiu đo v.
Trng thái x ca h thng (3.70) không th s dng đc trc tip bi vì ch
ngõ ra y là đo đc. Xây dng li trng thái vi s chính xác tùy ý bi vic
kt ni mt b quan sát :

RttxCtyLtButxAtx ∈−++= )](
ˆ
)([)()(
ˆ
)(
ˆ
$
(3.71)

Tín hiu )(
ˆ
tx là mt c lng ca trng thái x(t).Nó tha mãn phng trình
vi phân trng thái ca h thng (3.70) vi thành phn thêm vào
L)](
ˆ
)([ txCty − .L là ma trn đ li quan sát cn đc la chn phù hp. Sai
s quan sát y(t)
)(
ˆ
txC−
là s khác nhau gia ngõ ra đo đc thc t y(t) và
ngõ ra )(
ˆ
)(
ˆ
txCty = .Thành phn thêm vào L )](
ˆ
)([ txCty
− cung cp mt s
điu chnh ch đng ngay khi sai s ca s quan sát là khác 0.


SYSTEM
CONTROLLER
w
v
u
+
+

y
z
PGS.TS Nguyn Th Phng Hà Trang 18


Hình 3.8 : Cu trúc ca mt b quan sát
Hình (3.8) cho thy cu trúc ca b quan sát .nh ngha :

)(
ˆ
)()(
~
txtxtx −=
(3.72)
là sai s c lng trng thái. Phng trình vi phân ca x
~
nhn đc sau
khi tr (3.70) cho (3.71) :

RttxLCAtx ∈−= )(
~
)()(
~
$
(3.73)
Nu h thng (3.70) đc tìm thy thì tn ti ma trn đ li L mà sai s h
thng (3.73) là n đnh. Nu sai s h thng là n đnh thì
∞→→ tkhitx 0)(
~
cho bt k sai s x

~
(0). Vì vy
)()(
ˆ
txtx
t
⎯⎯→⎯
∞→
(3.74)
Trng thái c lng hi t v trng thái thc.
Trong Matlab dùng hai lnh acker và place đ tính ma trn L ca khâu
quan sát trng thái :
L= acker(A’,C’,p)
L= place(A’,C’,p)
A’ : Chuyn v ca ma trn A
C’ : Chuyn v ca ma trn C
p : Khai báo các đim cc mong mun

SYSTEM
SYSTEM
MODEL
L
y
ˆ

y
z
x
ˆ

u
+
-
Chng 3 : iu khin bn vng
Trang 19
3.2.3 B lc Kalman
3.2.3.1 t vn đ:
B lc Kalman là mt b quan sát đc s dng cho các ng dng yêu cu
xây dng li h phng trình trng thái khi tính đn nh hng ca nhiu đo
đc.
Phng trình trng thái ca đi tng :

x
$
=Ax+Bu+
γ
w (3.75)
y=Cx+v (3.76)
vi trng thái x(t)
∈R
n
,ngõ vào điu khin u(t)∈R
m
, và ngõ ra đo lng
y(t)∈R
p
.Tín hiu w(t) là nhiu quá trình cha bit trc tác đng làm nhiu
h thng.Tín hiu v(t) là mt nhiu đo không xác đnh đc , làm suy gim
vic đo lng chng hn nh nhiu cm bin.Giá tr ban đu x(0), nhiu
w(t) hoc v(t) không bit đc chính xác.Gi s x(0), w(t) và v(t) đu trc

giao qua li vi nhau.















Hình 3.9 : B quan sát trng thái ca Kalman
y
ˆ

B
∫

L
γ
C
C
A
B
A

∫

y
y
~

x
ˆ

-
x
x
$
x
$
ˆ

w(t)
v(t)
u
H thng
B lc Kalman
PGS.TS Nguyn Th Phng Hà Trang 20

Gi )(
ˆ
tx là c lng ca x .
Phng trình trng thái ca khâu lc Kalman :

ˆˆ ˆ

()
ˆˆ
x Ax Bu L y y
yCx
=++ −
=
$
(3.77)
Mc tiêu ca thit k b lc Kalman : Tìm đ li c lng L đ có s c
lng ti u trong s hin din ca nhiu w(t) và v(t)
Sai s c lng: )(
ˆ
)()(
~
txtxtx −= (3.78)
 li L s đc chn sao cho giá tr trung bình ca sai s c lng toàn
phng là bé nht .
3.2.3.2 C s toán hc:
Lý thuyt xác sut:
T phng trình (3.75) đc thêm vào bi nhiu quá trình, trng thái x(t)
bây gi cng là mt quá trình ngu nhiên nh là y(t).  kho sát nhng
đc tính thông thng ca quá trình ngu nhiên cn nhc li mt s khái
nim lý thuyt xác sut (Papoulis 1984). Mc dù w(t) và v(t) là nhng đi
lng ngu nhiên không bit đc, nhng cn bit mt vài đc đim đ h
tr vic thit k các b đi
u khin. Chng hn nh có th bit đc giá tr
trung bình hoc tng nng lng ca chúng.
Cho vector ngu nhiên z
∈R
n

,f
z
(
ξ
) là hàm mt đ xác sut (PDF) ca z.
i lng PDF đc trng cho xác sut mà z ly giá tr bên trong vùng vi
phân d
ξ
đt gia
ξ
.
Giá tr mong mun ca hàm g(z) ca vector ngu nhiên đc xác đnh nh
sau :
E
{}
)(zg =
∫
∞
∞−
)(
ξ
g ƒ(
ξ
)d
ξ
(3.79)
Giá tr trung bình hay mong mun ca z đc xác đnh nh sau:
E{z}=
∫
∞

∞−
ξ
ƒ
z
(
ξ
)d
ξ
(3.80)
đc ký hiu bng
z . Chú ý rng z
∈
R
n
.
Chng 3 : iu khin bn vng
Trang 21
Hip phng sai ca z đc cho bi
P
z
=E
{ }
T
zzzz ))(( −− (3.81)
Chú ý rng P
z
là ma trn hng n×n
Phn quan trng ca vector ngu nhiên đc đc trng bi Gaussian hoc
nomal PDF
ƒ

z
(
ξ
)=
||)2(
1
z
n
P∏
e
2/)(2/)(
1
−
−
−
−−− zPz
T
ξξ
(3.82)
Trong trng hp vô hng 1n
= , (3.82) tr thành:
z
Pz
z
z
e
P
f
2/)(
2

2
1
)(
−−
Π
=
ξ
ξ
(3.83)
đc minh ha  hình 3.10 .Vì vy nhng vector ngu nhiên ly giá tr gn
vi
z có xác sut ln nht và xác sut s gim khi ly giá tr xa z .Nhiu
bin ngu nhiên là Gaussian.
Nu vector ngu nhiên là mt hàm ca thi gian đc gi là mt quá trình
ngu nhiên đc tng trng là z(t). Khi đó PDF có th thay đi theo thi
gian và chúng ta vit là ƒ
z
(
ξ
,t). iu đó có th tng tng rng PDF 
hình 3.10 thay đi theo thi gian. Trong tình hung này, giá tr mong đi và
ma trn hip phng sai là nhng hàm thi gian vì th chúng có th biu
hin
z (t) và P
z
(t).

Hình 3.10 : Gaussian PDF
PGS.TS Nguyn Th Phng Hà Trang 22

Nhiu quá trình ngu nhiên z(t) quan trng là có PDF bt bin theo thi gian
ó là nhng quá trình tnh, thm chí chúng là hàm thi gian ngu nhiên
chúng vn có tr trung bình và hip phng sai là hng s.
c trng cho liên h gia hai quá trình ngu nhiên z(t) và x(t), có th s
dng PDF kt hp ƒ
zx
( )
21
,,, tt
ξς
, tng trng cho xác xut mà (z(t
1
),
x(t
2
))  trong vùng vi phân d
ς
× d
ξ
 gia (
ξς
,). Gi s rng các quá trình
z(t) và x(t) là liên kt tnh , PDF kt hp không là hàm ca c hai thi gian
t
1
và t
2
nhng nó ch da vào sai bit (t
1
-

2
t ).
Trong nhiu trng hp tnh, giá tr mong mun ca hàm hai bin g(z,x)
đc xác đnh bi:
E
{
))(),((
21
txtzg
}
=
∫
+∞
∞−
g(
ξς
,)ƒ
zx
(
ξς
,,t
1
- t
2
)d
ς
d
ξ
(3.84)
Ma trn tng quan chéo đc xác đnh bi

R
zx
(
τ
)=E
{ }
)()( txtz
T
τ
+ (3.85)
Do đó, ma trn tng quan chéo ca hai quá trình không tnh mà đc xác
đnh bi
R
zx
(t,
τ
)=E
{ }
)()(
τ
T
xtz (3.86)
Xem nh z(t
1
) và z(t
2
) nh là hai quá trình ngu nhiên ca quá trình tnh,
hàm t tng quan z(t) đc xác đnh nh sau:
R
z

(
τ
)=E
{ }
)()( tztz
T
τ
+ (3.87)
Hàm t tng quan đem đn cho ta vài thông tin quan trng v quá trình
ngu nhiên z(t). Thí d nh :
trace
[]
)0(
z
R =trace
{ }
[ ]
)()( tztzE
T
=E
{ }
)(tz (3.88)
tng đng vi tng nng lng ca quá trình z(t).
Nu
0)(
=
τ
zx
R (3.89)
Chng 3 : iu khin bn vng

Trang 23
z(t) và x(t) dc gi là trc giao vi nhau.
Nu
R
z
(
τ
)=P )(
τδ
(3.90)
trong đó P là ma trn hng và
δ
(t) là xung Dirac. z(t) là trc giao vi
z(t +
τ
) vi các giá tr
τ
≠ 0. iu này có ngha là giá tr ca quá trình z(t)
ti thi đim t không có s liên h vi giá tr ti các thi đim
≠
τ
t.Vì vy
z(t) là mt nhiu trng .Ví d nh nhiu nhit  mch đin nguyên nhân vì
s chuyn đng nhit  các electron  đin tr .
Chú ý rng P(0) là hip phng sai ca z(t). P đc gi là ma trn mt đ
ph.Thnh thong nó cng đc xem nh là ma trn hip phng sai
3.2.2.3 Thit k b lc Kalman:
Gi s x(0) có th đc thay th bng các đi lng bit trc
x (giá tr
trung bình ca x(0)) và hip phng sai P

0
) , có th biu din nó nh sau :

x (0)
≈
(x
0
,P
0
) (3.91)
gi s w(t) và v(t) có tr trung bình bng 0 và gi s rng nhiu quá trình và
nhiu đo là nhiu trng quá trình đ:
R
w
(
τ
)=E
{ }
)()()(
τδτ
Wtwtw
T
=+ (3.92)
R
v
(
τ
)=E
{ }
)()()(

τδτ
Vtvtv
T
=+ (3.93)
Ma trân mt đ ph W và V s gi s đã bit trc.Theo tính cht ca hàm
t tng quan, W và V là bán xác đnh dng. Gi s thêm rng V là không
suy bin.Tóm li, có th gi s rng :
w(t) ≈ (0,W), W≥ 0 (3.94)
v(t)
≈ (0,V), V>0 (3.95)
Vic gi s w(t) và v(t) là nhiu trng có th là xu trong mt vài ng
dng.Thí d nh nhiu  tn s thp. Tuy nhiên, gi s rng w(t) không là
nhiu trng, có th xác đnh đc mt h thng:

PGS.TS Nguyn Th Phng Hà Trang 24

.
0
x
$
=A
w
x
w
+B
w
n (3.96)
w=C
ww
x +D n

w
(3.97)
có nhiu trng ngõ vào là n(t) và ngõ ra là w(t). Chúng đc gi là các b
lc nn nhiu . Nhng đc tính đng này có th kt hp vi phng trình
ca đi tng (3.75), (3.76) đ có đc đc tính đng đc hiu chnh nh
sau.
n
B
D
u
B
x
x
A
CA
x
x
w
w
w
w
w
w
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+

⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
γγ
00
$
$

(3.98)
y=
[]
v
x
x
C
w
+
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
0
(3.99)
c tính đng có nhiu trng quá trình n(t). Mt th tc tng t có th làm
theo các bc nh th nu v(t) không phi là nhiu trng. Do đó, có th mô
t mt h thng không có nhiu trng di dng mt h thng điu chnh
vi nhiu trng và nhiu đo lng .
Xác đnh h thng (3.96), (3.97) miêu t nhiu không phi là nhiu trng
w(t) (ho
c v(t)) da trên phân tích mt đ ph ca nhiu w(t). Chi tit xem
Lewis (1986 )
Bây gi thit k b c lng cho h thng (3.75), (3.76) di nhng gi s
đã đc lit kê. Cho b quan sát có dng nh sau:
)
ˆ
(

ˆˆ
yyLBuxAx −++=
$
(3.100)
hoc LyBuxLCAx ++−=
ˆ
)(
ˆ
$
(3.101)
Hàm thi gian x
ˆ
(t) là c lng trng thái và
y
ˆ
= E
{}
=+ vCx C
x
ˆ
(3.102)
là c lng ca ngõ ra y(t).
 li ca b c lng L phi đc chn đ cung cp c lng ti u
trong s hin din ca nhiu w(t) và v(t).  chn L, chúng ta s phi xác
đnh sai s c lng:

x
~
(t)=x(t)-
x

ˆ
(t) (3.103)
Chng 3 : iu khin bn vng
Trang 25
S dng( 3.75) và (3.100) sai s h thng là :
x
$
~
=(A-LC) x
~
+
γ
w-Lv
≡A
0
x
~
+
γ
w-Lv (3.104)
chú ý rng sai s h thng xy ra khi có s tham gia ca nhiu quá trình và
nhiu đo lng . Ngõ ra ca sai s h thng có th đc cho bi =y- y
ˆ
đ:
=C x
~
(3.105)
Hip phng sai ca sai s đc cho bi:
P(t)=E
{ }

T
xx
~~
(3.106)
thay đi theo thi gian. Do đó,
x
~
(t) là quá trình ngu nhiên không tnh.
Hip phng sai ca sai s là thc đo s không chc chn trong c lng.
Nhng giá tr càng nh cho P(t) đng ngha vi vic c lung càng tt hn
vì nhng sai s đc phân b càng gn vi tr trung bình bng 0 nu P(t) là
nh hn.
Nu b quan sát là n đnh tim cn và w(t) và v(t) là quá trình tnh khi đó
sai s x
~
(t) s thc s tin đn trng thái n đnh vi tr trung bình và hip
phng sai là hng s.  li L s đc chn la đ làm ti thiu hip
phng sai ca sai s P. Vì vy, đ li ti u L s là ma trn hng ca đ li
b quan sát
Trc khi xác đnh đ li ti u L, chúng ta s tính toán giá tr trung bình và
hip phng sai ca sai s c lng ca x
~
(t). S dng (3.104) và s tuyn
tính ca phép toán mong mun:
E
{ }
{ } { } { }
vLEwExEAx −+=
γ
~~

0
$
(3.107)
Vì th
dt
d
E
{}
x
~
=A
{ }
xE
~
0
(3.108)
Do đó, E
{}
x
~
là lng bin đi theo thi gian tuân theo phng trình vi phân
vi ma trn h thng A
0
.Nu A
0
=A-LC là n đnh thì E
{ }
x
~
luôn bn vng

ti giá tri tnh zero. Khi đó

{} { } { } { }
xxExExExE
ˆˆ
~
−=−=
(3.109)
Theo trng hp này c lng x
ˆ
(t) tin ti E{x(t)} .Nh vy c lng
này đc cho là không lch. Cng nh theo (3.109), giá tr trung bình ca