Tải bản đầy đủ (.pdf) (87 trang)

Tài liệu Điều khiển tối ưu P1 pptx

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (811.85 KB, 87 trang )

Chng 1 : iu khin ti u
Hc kì 1 nm hc 2005-2006


Chng 1

IU KHIN TI U


Vài nét lch s phát trin lý thuyt điu khin .
- Phng pháp bin phân c đin Euler_Lagrange 1766 .
- Tiêu chun n đnh Lyapunov 1892 .
- Trí tu nhân to 1950 .
- H thng điu khin máy bay siêu nh 1955 .
- Nguyên lý cc tiu Pontryagin 1956 .
- Phng pháp quy hoch đng Belman 1957 .
- iu khin ti u tuyn tính dng toàn
phng LQR ( LQR : Linear Quadratic
Regulator ) .
- iu khin kép Feldbaum 1960 .
- Thut toán di truyn 1960 .
- Nhn dng h thng 1965 .
- Logic m 1965 .
- Lut điu khin h thng thích nghi mô hình tham chiu MRAS và b t
chnh đnh STR 1970 ( MRAS : Model-Reference Adaptive System , STR :
Self-Tuning Regulator ) .
- H t hc Tsypkin 1971 .
- Sn phm công nghip 1982 .
- Lý thuyt bn vng 1985 .
- Công ngh tính toán mm và điu khin tích hp 1985 .




PGS.TS Nguyn Th Phng Hà 2

1.1 CHT LNG TI U
1.1.1 c đim ca bài toán ti u
1. Khái nim
Mt h điu khin đc thit k  ch đ làm vic tt nht là h luôn  trng
thái ti u theo mt tiêu chun cht lng nào đó ( đt đc giá tr cc tr ) .
Trng thái ti u có đt đc hay không tùy thuc vào yêu cu cht lng
đt ra , vào s hiu bit v đi tng và các tác đng lên đi tng , vào
điu kin làm vic ca h điu khin …
Mt s ký hiu s dng trong chng 1 .

Hình 1.1: S đ h thng điu khin .

H thng điu khin nh hình trên bao gm các phn t ch yu : đi tng
điu khin ( TK ) , c cu điu khin ( CCK ) và vòng hi tip ( K ) .
Vi các ký hiu :
x
0
: tín hiu đu vào
u : tín hiu điu khin
x : tín hiu đu ra
ε
= x
0
– x : tín hiu sai lch
f : tín hiu nhiu
Ch tiêu cht lng J ca mt h thng có th đc đánh giá theo sai lch

ca đi lng đc điu khin x so vi tr s mong mun x
0
, lng quá điu
khin ( tr s cc đi x
max
so vi tr s xác lp
( )
x ∞ tính theo phn trm ) ,
thi gian quá đ … hay theo mt ch tiêu hn hp trong điu kin làm vic
nht đnh nh hn ch v công sut , tc đ , gia tc … Do đó vic chn mt
lut điu khin và c cu điu khin đ đt đc ch đ làm vic ti u còn
tùy thuc vào lng thông tin ban đu mà ta có đc .
 đây chúng ta có th thy đc s khác bit ca cht lng ti u khi
lng thông tin ban đu thay đi ( Hình 1.2 ) .
Chng 1 : iu khin ti u
Trang 3


Hình 1.2 :
Ti u cc b và ti u toàn cc .

Khi tín hiu điu khin u gii hn trong min [u
1
,u
2
] , ta có đc giá tr ti
u cc đi
1
J


ca ch tiêu cht lng J ng vi tín hiu điu khin
1
u

.
Khi tín hiu điu khin u không b ràng buc bi điu kin
12
uuu
≤ ≤ , ta
có đc giá tr ti u
21
JJ
∗ ∗
> ng vi
2
u

. Nh vy giá tr ti u thc s
bây gi là
2
J

.
Tng quát hn , khi ta xét bài toán trong mt min
[ ]
,
mn
uu
nào đó và tìm
đc giá tr ti u

i
J

thì đó là giá tr ti u cc b . Nhng khi bài toán
không có điu kin ràng buc đi vi u thì giá tr ti u là
()
i
JextremumJ
∗∗
= vi
i
J

là các giá tr ti u cc b , giá tr J

chính là
giá tr ti u toàn cc .
iu kin tn ti cc tr :

o hàm bc mt ca J theo u phi bng 0 :
0=


u
J

• Xét giá tr đo hàm bc hai ca J theo u ti đim cc tr :
0
2
2

>


u
J
: đim cc tr là cc tiu
0
2
2
<


u
J
: đim cc tr là cc đi
PGS.TS Nguyn Th Phng Hà 4

2. iu kin thành lp bài toán ti u
 thành lp bài toán ti u thì yêu cu đu tiên là h thng phi có đc tính
phi tuyn có cc tr .
Bc quan trng trong vic thành lp mt h ti u là xác đnh ch tiêu cht
lng J . Nhim v c bn  đây là bo đm cc tr ca ch tiêu cht lng
J . Ví d nh khi xây dng h ti u tác đng nhanh thì yêu cu
đi vi h
là nhanh chóng chuyn t trng thái này sang trng thái khác vi thi gian
quá đ nh nht , ngha là cc tiu hóa thi gian quá đ . Hay khi tính toán
đng c tên la thì ch tiêu cht lng là vt đc khong cách ln nht
vi lng nhiên liu đã cho .
Ch tiêu cht lng J ph thuc vào tín hiu ra x(t) , tín hiu điu khin u(t)
và thi gian t . Bài toán

điu khin ti u là xác đnh tín hiu điu khin u(t)
làm cho ch tiêu cht lng J đt cc tr vi nhng điu kin hn ch nht
đnh ca u và x .
Ch tiêu cht lng J thng có dng sau :
0
[(),(),]
T
JLxtuttdt=


Trong đó L là mt phim hàm đi vi tín hiu x , tín hiu điu khin u và
thi gian t .
Ly ví d v bài toán điu khin đng c đin mt chiu kích t đc lp
kt
constΦ= vi tín hiu điu khin u là dòng đin phn ng i
u
và tín hiu ra
x là góc quay
ϕ
ca trc đng c .



Hình 1.3 :
ng c đin mt chiu kích t đc lp .

Ta có phng trình cân bng moment ca đng c :
Chng 1 : iu khin ti u
Trang 5


Mu c q
d
ki M M
dt
ω
−= (1)

d
dt
ϕ
ω
= (2)
trong đó
MM
k C const=Φ= ; M
q
là moment quán tính ;
ω
là tc đ góc ;
ϕ

là góc quay . Gi s b qua ph ti trên trc đng c ( 0
c
M
= ) thì :

2
2
Mu q
d

ki M
dt
ϕ
= (3)
Nu xét theo thi gian tng đi bng cách đt :

/
M q
tk M
τ
=

thì (3) có dng :

2
2
u
d
i
d
ϕ
τ
= (4)
T đó ta có :

2
2
dx
u
d

τ
= (5)
Vy phng trình trng thái ca đng c đin là mt phng trình vi phân
cp hai .
• Bài toán ti u tác đng nhanh ( thi gian ti thiu ) :
Tìm lut điu khin u(t) vi điu kin hn ch
1u ≤ đ đng c quay t v
trí ban đu có góc quay và tc đ đu bng 0 đn v trí cui cùng có góc
quay bng
0
ϕ
và tc đ bng 0 vi mt khong thi gian ngn nht .
Vì cn thi gian ngn nht nên ch tiêu cht lng J s là :

0
[(),(),]
T
JLxtuttdtT
= =


Rõ ràng t phng trình trên ta phi có [(),(),] 1Lxtutt
= .
Nh vy , đi vi bài toán ti u tác đng nhanh thì ch tiêu cht lng J có
dng :


==
T
TdtJ

0
1

PGS.TS Nguyn Th Phng Hà 6

• Bài toán nng sut ti u :
Nng sut  đây đc xác đnh bi góc quay ln nht ca đng c trong thi
gian T nht đnh . Khi đó ch tiêu cht lng J có dng :

0
00
[ (), (),] ()
TT
T
JLxtuttdt tdt
ϕϕ ϕ
==−=
∫∫


Do đó [ (), (),] () ()Lxtutt t xt
ϕ
= =


và ta s có ch tiêu cht lng J đi vi
bài toán nng sut ti u nh sau :
()
0
T

Jxtdt=



• Bài toán nng lng ti thiu :
Tn hao nng lng trong h thng :

0
T
uu
QUidt=


Da vào phng trình cân bng đin áp :

uuu e
UiRk
ω
= +
và phng trình cân bng moment :

Mu c q
d
ki M M
dt
ω
−=

Ta tính đc :


2
0
00
()
TT
ec
uu T uu
M
kM
QUidt Ridt
k
ϕϕ
== −+
∫∫

 có đc tiêu hao nng lng ti thiu , ta ch cn tìm cc tiu ca J :

2
00
[(),(),]
TT
u
JLxtuttdtidt==
∫ ∫

Mà dòng đin phn ng i
u
 đây chính là tín hiu điu khin u . Vì vy ch
tiêu cht lng J đi vi bài toán nng lng ti thiu có dng :
2

0
()
T
Jutdt=



Chng 1 : iu khin ti u
Trang 7
3. Ti u hoá tnh và đng
Chúng ta cn phân bit hai dng bài toán ti u hoá tnh và ti u hóa đng .
Ti u hóa tnh là bài toán không ph thuc vào thi gian . Còn đi vi ti
u hóa đng thì thi gian cng là mt bin mà chúng ta cn phi xem xét
đn .

1.1.2 Xây dng bài toán ti u
1. Ti u hóa không có điu kin ràng buc
Mt hàm ch tiêu cht lng vô hng
()
0=uL đc cho trc là mt hàm
ca mt vector điu khin hay mt vector quyt đnh
m
Ru ∈

. Chúng ta cn
chn giá tr ca
u sao cho L(u) đt giá tr nh nht .
 gii bài toán ti u , ta vit chui Taylor m rng cho đ bin thiên ca
L(u) nh sau :


)3(
2
1
OduLduduLdL
uu
TT
u
++= (1.1)
Vi O(3) có th coi là s hng th 3 . Grad ca L theo u là mt vector m ct :













∂∂
∂∂
∂∂
=


Δ
m

u
uL
uL
uL
u
L
L
/
/
/
2
1

(1.2)
và đo hàm cp 2 ca L theo u là mt ma trn m x m ( còn gi là ma trn
Hessian ) :









∂∂

=



Δ
ji
uu
uu
L
u
L
L
2
2
2
(1.3)
L
uu
đc gi là ma trn un .
Mt đim cc tr hoc đim dng xut hin khi s bin thiên dL vi thành
phn th nht tin v 0 vi mi bin thiên du trong quá trình điu khin . Vì
vy , đ có đim cc tr thì :
0
=
u
L (1.4)
Gi s đang  ti đim cc tr , có L
u
= 0 nh (1.4) .  đim cc tr tr
thành đim cc tiu , chúng ta cn có :
PGS.TS Nguyn Th Phng Hà 8


)3(

2
1
OduLdudL
uu
T
+= (1.5)
là xác đnh dng vi mi s bin thiên du . iu này đc đm bo nu ma
trn un L
uu
là xác đnh dng :
0>
uu
L (1.6)
Nu L
uu
là xác đnh âm thì đim cc tr chính là đim cc đi ; còn nu L
uu

là không xác đnh thì đim cc tr chính là đim yên nga . Nu L
uu
là bán
xác đnh thì chúng ta s xét đn thành phn bc cao hn trong (1.1) đ xác
đnh đc loi ca đim cc tr .
Nhc li : L
uu
là xác đnh dng ( hoc âm ) nu nh các giá tr riêng ca nó
là dng ( hoc âm ) , không xác đnh nu các giá tr riêng ca nó va có
dng va có âm nhng khác 0 , và s là bán xác đnh nu tn ti giá tr
riêng bng 0 . Vì th nu
0=

uu
L , thì thành phn th hai s không hoàn
toàn ch ra đc loi ca đim cc tr .
2. Ti u hóa vi các điu kin ràng buc
Cho hàm ch tiêu cht lng vô hng
( )
uxL , , vi vector điu khin
m
Ru ∈
và vector trng thái
n
Rx ∈
. Bài toán đa ra là chn u sao cho hàm
ch tiêu cht lng L(x,u) đt giá tr nh nht và tha mãn đng thi các
phng trình điu kin ràng buc .

( )
0, =uxf (1.7)
Vector trng thái x đc xác đnh t mt giá tr u cho trc bng mi quan
h (1.7) , vì th f là mt h gm n phng trình vô hng ,
n
Rf ∈

.
 tìm điu kin cn và đ ca giá tr cc tiu , đng thi tha mãn
()
0, =uxf , ta cn làm chính xác nh trong phn trc . u tiên ta khai
trin
dL di dng chui Taylor , sau đó xác đnh s hng th nht và th
hai .

Tha s Lagrange và hàm Hamilton .
Ti đim cc tr , dL vi giá tr th nht bng 0 vi mi s bin thiên ca
du khi df bng 0 . Nh vy chúng ta cn có:
0=+= dxLduLdL
T
x
T
u
(1.8)
và:
0
=+= dxfdufdf
xu
(1.9)
Chng 1 : iu khin ti u
Trang 9
T (1.7) ta xác đnh đc x t giá tr u đã có, đ bin thiên dx đc xác đnh
bi (1.9) t giá tr bin thiên du đã có . Nh vy , ma trn Jacobi f
x
không
k d và :
duffdx
ux
1−
−= (1.10)
Thay dx vào (1.8) ta đc :

duffLLdL
ux
T

x
T
u
)(
1−
−= (1.11)
o hàm riêng ca
L theo u cha hng s f đc cho bi phng trình :

()
x
T
x
T
uu
T
ux
T
x
T
u
df
LffLffLL
u
L
−−
=
−=−=



1
0
(1.12)
vi
()
T
x
T
x
ff
1−−
=
. Lu ý rng :

u
dx
L
u
L
=


=0
(1.13)
 thành phn th nht ca dL bng không vi giá tr du tùy ý khi 0=df ,
ta cn có :

0=−

x

T
x
T
uu
LffL
(1.14)
ây là điu kin cn đ có giá tr cc tiu . Trc khi đi tìm điu kin đ ,
chúng ta hãy xem xét thêm mt vài phng pháp đ có đc (1.14) .
Vit (1.8) và (1.9) di dng:

0=












=







du
dx
ff
LL
df
dL
ux
T
u
T
x
(1.15)
H phng trình tuyn tính này xác đnh mt đim dng , và phi có mt
kt qu
[]
T
TT
dudx . iu này ch xy ra nu ma trn h s
( )( )
mnn +×+1

có hng nh hn n+1 . Có ngha là các hàng ca ma trn tuyn tính vi nhau
đ tn ti mt vector
λ
có n s hng nh sau:

[ ]
0.1 =







ux
T
u
T
x
T
ff
LL
λ
(1.16)
Hay:
0=+
x
TT
x
fL
λ
(1.17)

0=+
u
TT
u
fL
λ
(1.18)

PGS.TS Nguyn Th Phng Hà 10

Gii (1.17) ta đc
λ
:

1−
−=
x
T
x
T
fL
λ
(1.19)
và thay vào (1.18) đ có đc (1.14) .
Vector
n
R∈
λ
đc gi là tha s Lagrange , và nó s là công c hu ích
cho chúng ta sau này .  hiu thêm ý ngha ca tha s Lagrange ta xét du
= 0 , t (1.8) và (1.9) ta kh dx đ đc :

dffLdL
x
T
x
1−
=

(1.20)
Vì vy:

()
λ
−==



=
T
x
T
x
du
fL
f
L
1
0
(1.21)
Do đó -
λ
là đo hàm riêng ca L vi bin điu khin u là hng s . iu này
nói lên tác dng ca hàm ch tiêu cht lng vi bin điu khin không đi
khi điu kin thay đi .
Nh là mt cách th ba đ tìm đc (1.14) , ta phát trin thêm đ s dng
cho các phân tích trong nhng phn sau . Kt hp điu kin và hàm ch tiêu
cht lng đ tìm ra hàm Hamilton .


( ) ( ) ( )
uxfuxLuxH
T
,,,,
λλ
+= (1.22)
Vi
n
R∈
λ
là tha s Lagrange cha xác đnh . Mun chn x , u ,
λ
đ có
đc đim dng , ta tin hành các bc sau .
 bin thiên ca H theo các đ bin thiên ca x , u ,
λ
đc vit nh sau :

λ
λ
dHduHdxHdH
TT
u
T
x
++=
(1.23)

Lu ý rng :


),( uxf
H
H =


=
λ
λ
(1.24)
Gi s chúng ta chn các giá tr ca u tha mãn :
0
=
λ
H (1.25)
Sau đó ta xác đnh x vi giá tr ca u đã có bng phng trình điu kin ràng
buc
()
0, =uxf . Trong trng hp này hàm Hamilton tng đng vi
hàm ch tiêu cht lng:
Chng 1 : iu khin ti u -
Trang 11

LH
f
=
=0
(1.26)
Nhc li : nu f = 0 , ta s tìm đc dx theo du t (1.10) . Ta không nên xét
mi quan h gia du và dx đ thun tin trong vic chn
λ

sao cho :
0
=
x
H (1.27)
Sau đó , t (1.23) , đ bin thiên dH không cha thành phn dx. iu này
mang li kt qu
λ
:

0=+=


λ
T
xx
fL
x
H
(1.28)
hay
1−
−=
x
T
x
T
fL
λ
.

Nu gi nguyên (1.25) và (1.27) thì:
duHdHdL
T
u
== (1.29)
Vì H = L, đ có đc đim dng ta phi áp đt điu kin:
0
=
u
H (1.30)
Tóm li , điu kin cn đ có đc đim cc tiu ca L(x,u) tha mãn điu
kin ràng buc f(x,u) = 0 gm có :

0==


f
H
λ
(1.31a)

0=+=


λ
T
xx
fL
x
H

(1.31b)

0=+=


λ
T
uu
fL
u
H
(1.31c)
Vi
()
λ
,,uxH xác đnh bi (1.22) . Cách thng dùng là t 3 phng trình
đã cho xác đnh x ,
λ
, và u theo th t tng ng . So sánh 2 phng trình
(1.31b) và (1.31c) ta thy chúng tng ng vi 2 phng trình (1.17) và
(1.18) .
Trong nhiu ng ng , chúng ta không quan tâm đn giá tr ca
λ
, tuy nhiên
ta vn phi đi tìm giá tr ca nó vì đó là mt bin trung gian cho phép chúng
ta xác đnh các đi lng cn tìm là u , x và giá tr nh nht ca L .
u đim ca tha s Lagrange có th tóm tt nh sau : trên thc t , hai đi
lng dx và du không phi là hai đi lng bin thiên đc lp vi nhau ,
theo (1.10) . Bng cách đa ra mt tha s bt đnh
λ

, chúng ta chn
λ
sao
cho dx và du có th đc xem là hai đi lng bin thiên đc lp vi nhau .
PGS.TS Nguyn Th Phng Hà 12

Ly đo hàm riêng ca H ln lt theo các bin nh trong (1.31) , nh th ta
s có đc đim dng .
Khi đa ra tha s Lagrange , chúng ta có th thay th bài toán tìm giá tr
nh nht ca L(x,u) vi điu kin ràng buc f(x,u) = 0 , thành bài toán tìm
giá tr nh nht ca hàm Hamilton H(x,u,
λ
) không có điu kin ràng buc .

iu kin đã (1.31) xác đnh mt đim dng . Ta s tip tc chng minh đây
là đim cc tiu nh đã thc hin trong phn trc .
Vit chui Taylor m rng cho đ bin thiên ca L và f nh sau :


[] []
)3(
2
1
O
du
dx
LL
LL
dudx
du

dx
LLdL
uuux
xuxx
TTT
u
T
x
+












+






=
(1.32)


[]
[]
)3(
2
1
O
du
dx
ff
ff
dudx
du
dx
ffdf
uuux
xuxx
TT
ux
+













+






=
(1.33)
Vi:

xu
f
f
xu
∂∂

=
Δ
2

 đa ra hàm Hamilton , ta s dng các phng trình sau :

[] [ ] []
)3(
2
1
1 O

du
dx
HH
HH
dudx
du
dx
HH
df
dL
uuux
xuxx
TTT
u
T
x
T
+













+






=






λ

(1.34)
Bây gi , đ có đc đim dng ta cn có 0
=f , và đng thi thành phn
th nht ca dL bng 0 vi mi s bin thiên ca dx và du . Vì 0=f
nên 0=df , và điu này đòi hi 0
=
x
H và 0=
u
H nh trong (1.31) .
 tìm điu kin đ cho đim cc tiu , chúng ta xét đn thành phn th hai .
u tiên , ta cn xem mi quan h gia dx và du trong (1.34) . Gi s rng
chúng ta đang  đim cc tr nên 0
=

x
H , 0=
u
H và 0=df . Sau đó, t
(1.33) ta có :
)2(
1
Oduffdx
ux
+−=

(1.35)

Chng 1 : iu khin ti u -
Trang 13
Thay vào (1.34) ta đc :

[]
)3(
2
1
1
Odu
I
ff
HH
HH
IffdudL
ux
uuux

xuxx
T
x
T
u
T
+













−=


(1.36)
 đm bo đây là đim cc tiu , dL trong (1.36) phi dng vi mi s
bin thiên ca du . iu này đc đm bo nu nh ma trn un vi f luôn
bng 0 là xác đnh dng .

[]
uxxx

T
x
T
uuxuxxu
T
x
T
uuu
ux
uuux
xuxx
T
x
T
u
f
uu
f
uu
ffHffffHHffH
I
ff
HH
HH
IffLL
11
1
−−−−



Δ
+−−=













−==
(1.37)
Lu ý rng nu điu kin ràng buc
( )
0, =uxf vi mi x và u thì (1.37)
đc rút li thành L
uu
 phng trình (1.6) .
Nu (1.37) là xác đnh âm ( hoc không xác đnh ) thì đim dng s là đim
cc đi ( hoc đim yên nga ) .

1.1.3 Ví d
Ti u hóa không có điu kin ràng buc
Ví d 1.1 : Không gian toàn phng .
Cho

2
Ru ∈ và :

[]
ussu
qq
qq
uuL
T
21
2212
1211
2
1
)( +






=
(1)

uSQuu
TT
+=
Δ
2
1

(2)
im cc tr đc xác đnh bi :
0
=+= SQuL
u
(3)
SQu
1−∗
−= (4)
vi
u* dùng đ ch bin điu khin ti u.
Loi ca đim cc tr đc xác đnh bng cách xét ma trn hessian
QL
uu
= (5)
PGS.TS Nguyn Th Phng Hà 14

im u* là cc tiu nu L
uu
> 0 ( 0
11
>q và 0
2
122211
>− qqq ) . Là đim cc
đi nu L
uu
< 0 (
0
11

<q
và 0
2
122211
>− qqq ) . Nu
0<Q
, thì u* là đim
yên nga . Nu
0=Q , thì u* là đim k d , chúng ta không th xác đnh
đc đó là cc tiu hay cc đi t L
uu
.
Bng cách thay (4) vào (2) ta s tìm đc giá tr ca hàm ch tiêu cht lng
nh sau :

SQSSQQQSuLL
TT 111**
2
1
)(
−−−
Δ
−==

SQS
T 1
2
1

−=

(6)
Gi s cho L nh sau :

[]
uuuL
T
10
21
11
2
1
+






= (7)
Khi đó giá tr u ti u s là :








=














−=
1
1
1
0
11
12
*
u (8)
là mt cc tiu , vì L
uu
> 0 . T (6) ta thy rng giá tr nh nht ca L là L* =
-1/2 .
Các đng đng mc ca L(u) trong (7) đc v trong Hình 1.4 , vi u = [u
1

u
2

]
T
. Các mi tên là gradient .







++
+
=+=
12
21
21
uu
uu
SQuL
u
(9)
Lu ý rng gradient luôn luôn vuông góc vi các đng đng mc và có
hng là hng tng L(u) .
Chúng ta dùng du “*” đ ch giá tr ti u ca u và L cn tìm . Tuy nhiên ta
thng b qua du “*” .
Chng 1 : iu khin ti u -
Trang 15

Hình 1.4 : Các đng đng mc và vector gradient .


Ví d 1.2 : Ti u hóa bng tính toán vô hng .
Phn trên chúng ta đã đ cp phng pháp gii bài toán ti u bng cách s
dng các vector và gradient . Sau đây ta s tip cn bài toán vi mt cách
nhìn khác , xem chúng nh là nhng đi lng vô hng .
 chng minh , ta xét :

2
2
221
2
121
2
1
),( uuuuuuuL +++= (1)
Vi
21
,uu là các đi lng vô hng . im cc tr xut hin khi đo hàm
riêng ca L theo tt c các đi s phi bng 0 :

0
21
1
=+=


uu
u
L
(2a)


012
21
2
=++=


uu
u
L
(2b)
PGS.TS Nguyn Th Phng Hà 16

Gii h phng trình trên ta đc :

1,1
21
−== uu (3)
Vy , đim cc tr là (1 ,-1) .
Biu thc (1) là mt dng m rng ca biu thc (7) trong ví d 1.1 , nh
vy chúng ta va tìm đc mt kt qu tng t bng mt cách khác .

Ti u hóa có điu kin ràng buc
Ví d 1.3 : Không gian toàn phng vi điu kin ràng buc tuyn tính .
Gi s hàm ch tiêu cht lng đc cho bi ví d 1.1 vi các đi lng vô
hng
21
,uu đc thay th bng u
x, :

[] []







+












=
u
x
u
x
uxuxL 10
21
11
2
1
),( (1)

Vi điu kin ràng buc :

( )
03, =−= xuxf (2)
Hàm Hamilton s là :

)3(
2
1
22
−++++=+= xuuxuxfLH
T
λλ
(3)
vi
λ
là mt đi lng vô hng . iu kin đ có đim dng theo (1.31) là :
03
=−= xH
λ
(4)
0
=++=
λ
uxH
x
(5)
012
=++= uxH
u

(6)
Gii (4) , (5) , (6) ta đc : x = 3 , u = -2 ,
λ
= -1 . im dng là :

( ) ( )
2,3, −=

ux (7)
 xác đnh (7) là đim cc tiu , tìm ma trn un theo (1.37) :
2=
f
uu
L (8)
0>=
f
uu
L , vì th
( ) ( )
2,3, −=

ux
là đim cc tiu .
Các đng đng mc ca L(x,u) và điu kin ràng buc (2) đc v trong
Hình 1.5 .
Grad ca f(x,u) trong h ta đ (x,u) đc vit nh sau:
Chng 1 : iu khin ti u -
Trang 17








=






0
1
u
x
f
f
(9)
đc v trong Hình 1.4 . Và grad ca L(x,u) :







++
+
=







12ux
ux
L
L
u
x
(10)
Ti đim cc tiu (3,-2) , grad L(x,u) s có giá tr :







=






0
1

u
x
L
L
(11)
Cn lu ý rng gradf và gradL tng đng vi nhau ti đim dng . Có
ngha là đim cc tiu xut hin khi điu kin ràng buc (2) là đng tip
tuyn ca các đng đng mc ca L. Di chuyn hng dc theo đng
thng f = 0 s làm tng giá tr ca L .
Ta tìm đc giá tr ca L t
i đim cc tiu bng cách thay x = 3, u = -2 vào
(1) , ta đc L*=0,5 .

λ
= -1 , gi nguyên giá tr u = -2 , thay đi điu kin ràng buc df ( dch
chuyn đng thng trong Hình 1.5 v phía phi ) s làm tng L(x,u) vi dL
= -
λ
df = df .
Ví d 1.4 : Hàm ch tiêu cht lng dng toàn phng vi điu kin ràng
buc tuyn tính - Trng hp vô hng .
Xét hàm ch tiêu cht lng dng toàn phng :










+=
2
2
2
2
2
1
),(
b
y
a
x
uxL
(1)
Vi điu kin ràng buc tuyn tính :

( )
cmuxuxf −+=, (2)
Các đng đng mc ca L(x,u) là nhng ellip ; nu L(x,u) = F/2 , thì bán
trc chính và bán trc ph là al và bl . iu kin ràng buc f(x,u) là mt h
các đng thng cha thông s c . Xem Hình 1.6 ( lu ý rng u là bin đc
lp , vi x đc xác đnh bi f(x,u) = 0 ) .
Hàm Hamilton là :

)(
2
1
2
2

2
2
cmux
b
u
a
x
H −++








+=
λ
(3)
PGS.TS Nguyn Th Phng Hà 18

Và điu kin đ có đim dng :
0
=−+= cmuxH
λ
(4)

0
2
=+=

λ
a
x
H
x
(5)

0
2
=+= m
b
u
H
u
λ
(6)

Hình 1.5 :
Các đng đng mc ca L(x,u) và điu kin ràng buc f(x,u) .


Hình 1.6 : Các đng đng mc ca L(x,u) và điu kin ràng buc f(x,u).

Chng 1 : iu khin ti u -
Trang 19
 gii h phng trình này , trc ht ta s dng phng trình (6) đ đa
ra bin điu khin ti u theo tha s Lagrange .

λ
mbu

2
−= (7)
Bây gi thay phng trình (7) vào (4) đ kh u , kt hp vi (5) và đc
vit li :







=















0
1
1

1
2
22
cx
a
mb
λ
(8)
Gii ra ta đc giá tr ca đim dng :

222
2
mba
ca
x
+
= (9)

222
mba
c
+
−=
λ
(10)
Thay (9) , (10) vào (7) , ta có đc giá tr u ti u :

222
2
mba

mcb
u
+
= (11)
 xác đnh đim dng là cc tiu , dùng (1.37) đ tìm ra ma trn un :

2
2
2
1
a
m
b
L
f
uu
+= (12)
0>
f
uu
L vì vy ta tìm đc mt đim cc tiu .
Thay (9) và (11) vào (1) ta đc giá tr ti u ca hàm ch tiêu cht lng :

222
2
*
2
1
mba
c

L
+
= (13)
 kim chng (1.21) , lu ý rng:

λ
−=


=


=
c
L
f
L
du
*
0
*
(14)

Gradf trong min (u,x) là :








=






1
m
f
f
x
u
(15)
PGS.TS Nguyn Th Phng Hà 20

đc biu din trong Hình 1.6 . GradL là :











=







2
2
a
x
b
u
L
L
x
u
(16)
và ti đim dng (11) , (9) s có giá tr :

222
*
1
mba
c
m
L
L
x
u
+







=






(17)
iu này tng ng vi (15) , vì vy đim dng xut hin khi f(x,u) = 0 là
đng tip tuyn vi mt đng đng mc ca L(x,u) .
Ví d 1.5 : Hàm ch tiêu cht lng dng toàn phng vi điu kin ràng
buc tuyn tính .
Bây gi ta tng quát hóa ví d 1.4 vi vector
n
Rx ∈ ,
m
Ru ∈ ,
n
Rf ∈ ,
n
R∈
λ
.
Xét hàm ch tiêu cht lng dng toàn phng:


RuuQxxL
TT
2
1
2
1
+= (1)
vi điu kin ràng buc tuyn tính :
0
=++= cBuxf (2)
vi Q , R và B là các ma trn , c là vector n hàng . Gi s Q ≥ 0 và R > 0
( vi Q , R là ma trn đi xng ) . Các đng đng mc ca L(x,u) là các
đng ellip trong không gian , và f(x,u)=0 là mt phng ct ngang qua
chúng . im dng xut hin khi gradf và gradL song song vi nhau .
Hàm Hamilton là :
)(
2
1
2
1
cBuxRuuQxxH
TTT
++++=
λ
(3)
và các điu kin đ có đim dng là :
0
=++= cBuxH
λ

(4)
0=
+=
λ
QxH
x
(5)
0=+=
λ
T
u
BRuH (6)
Chng 1 : iu khin ti u -
Trang 21
 gii các phng trình trên , đu tiên ta dùng điu kin (6) đ tìm u theo
λ
:

λ
T
BRu
1−
−= (7)
T (5) ta có :
Qx
−=
λ
(8)
Kt hp vi (4) ta đc :
QcQBu

+=
λ
(9)
dùng kt qu này thay vào (7) cho ta :
)(
1
QcQBuBRu
T
+−=

(10)
hay :
( )
QcBRuQBBRI
TT 11 −−
−=+

( )
QcBuQBBR
TT
−=+ (11)
Vì R > 0 và B
T
QB ≥ 0 , chúng ta có th tìm nghch đo ca (R + B
T
QB) và vì
th giá tr u ti u là :
QcBQBBRu
TT 1
)(


+−= (12)
So sánh kt qu này vi (11) trong ví d 1.4 .
Thay (12) vào (4) và (9) cho ta giá tr trng thái ti u và tha s Lagrange
ti u :

()
(
)
1
TT
x IBRBQB BQc

=− − + (13)

()
(
)
1
TT
QQBRBQB BQc
λ

=− + (14)
Bng b đ ca nghch đo ma trn :

( )
cBBRQ
T
1

11

−−
+=
λ
(15)
nu
0≠Q . Các kt qu trên s rút li thành kt qu ca ví d 1.4 trong
trng hp vô hng .
 xác đnh bin điu khin (12) là mt cc tiu , ta s dng (1.37) đ xác
đnh ma trn un là xác đnh dng vi giá tr ca R và Q đc gii hn .
QBBRL
Tf
uu
+= (16)
S dng (12) và (13) th vào (1) ta có đc giá tr ti u :
PGS.TS Nguyn Th Phng Hà 22


( )
[ ]
cQBQBBRQBQcL
TTT
1
2
1
*

+−= (17)


λ
T
cL
2
1
* = (18)
Vì th :

λ
=


c
L *
(19)
Ví d 1.6 : Bài toán vi nhiu điu kin ràng buc .
Tìm khong cách nh nht gia parabol :
dbxaxy ++=
2
(1)
vi đng thng :
c
xy += (2)
Xem Hình 1.7 .
Trong bài toán này s có hai điu kin ràng buc :
0),(
1
2
11111
=−−−= dbxaxyyxf (3)

Và :
0),(
22222
=−−= cxyyxf (4)
vi
()
11
, yx là 1 đim trên parabol và
( )
22
, yx là 1 đim trên đng thng .
Chúng ta chn hàm ch tiêu cht lng là mt na ca bình phng khong
cách gia 2 đim này .

2
21
2
212121
)(
2
1
)(
2
1
),,,( yyxxyyxxL −+−= (5)
 gii bài toán này , ta x lý bng cách đt :








=






=






=
ΔΔΔ
2
1
2
1
2
1
,,
y
y
u
x

x
x
f
f
f
(6)
và s dng cách tip cn vector ; tuy nhiên , s kt hp gia mt điu kin
ràng buc tuyn tính và mt điu kin phi tuyn s làm phc tp thêm bài
toán . Thay vào đó ta s s dng các đi lng vô hng .

Chng 1 : iu khin ti u -
Trang 23

Hình 1.7 :
Bài toán vi nhiu điu kin ràng buc .

a ra mt tha s Lagrange cho mi điu kin ràng buc , hàm Hamilton
là :

)()()(
2
1
)(
2
1
2221
2
111
2
21

2
21
cxydbxaxyyyxxH −−+−−−+−+−=
λλ

(7)
Khi đó , đ có đim dng ta cn có :
02
11121
1
=−−−=
λλ
bxaxxH
x
(8)

0
221
2
=−+−=
λ
xxH
x
(9)
0
121
1
=+−=
λ
yyH

y
(10)
0
221
2
=++−=
λ
yyH
y
(11)
0
1
2
11
1
=−−−= dbxaxyH
λ
(12)
0
22
2
=−−= cxyH
λ
(13)
PGS.TS Nguyn Th Phng Hà 24

Gii (12) đ có đc
1
y nh sau :
dbxaxy ++=

1
2
11
(14)
T (9) và (11) , ta có :

21122
yyxx
−=−=
λ
(15)
và s dng (14) vi
cxy
+=
22
t (13) có đc kt qu sau :
cxdbxaxxx −−++=−
21
2
112
(16)
Khi đó :

( )
cdxbaxx −+++=
1
2
12
)1(
2

1
(17)
Theo (10) và (11) ,
λ
1
= -
λ
2
, vy t (15) và (17) ta có :

211
xx
−=
λ


( )
cdxbax −+−+−=
1
2
11
)1(
2
1
λ
(18)
Cui cùng , chú ý rng (8) là :

( )( )
012

11
=−+
λ
bax (19)
hay :

( )
( )
0)1()1(2
1
2
11
=−+−+−+ cdxbaxbax (20)
Phng trình bc 3 (20) đc gii đ có giá tr ti u
*
1
x t giá tr a, b, c, d
cho trc . Nu đng thng ct ngang qua parabol thì giao đim s là kt
qu ti u ( khi đó
λ
1
=
λ
2
=0 ) ; ngc li , s có ch mt cp gn nhau nht
(x
1
,x
2
) , (y

1
,y
2
) . Mt khi tìm đc x
1
thì ta s tìm đc x
2
, y
1
và y
2
ln lt
theo các phng trình (17) , (14) và (15) . Thay các giá tr ti u này vào (5)
s cho chúng ta khong cách ngn nht là
*2L .







Chng 1 : iu khin ti u -
Trang 25
1.2 CÁC PHNG PHÁP IU KHIN TI U
1.2.1 Phng pháp bin phân c đin Euler_Lagrange
1. Gii thiu
Nhim v ca điu khin ti u là gii bài toán tìm cc tr ca phim hàm
[(),()]Lxt ut bng cách chn tín hiu điu khin u(t) vi nhng điu kin
hn ch ca đi lng điu khin và ta đ pha . Mt trong nhng công c

toán hc đ xác đnh cc tr là phng pháp bin phân c đin
Euler_Lagrange .
ng cc tr là nhng hàm trn còn phim hàm cùng các điu kin hn ch
là nh
ng hàm phi tuyn . Do đó phng pháp này không th áp dng cho
nhng trng hp mà tín hiu điu khin có th là các hàm gián đon .
Trng hp không có điu kin ràng buc
Cho u(t) là hàm thuc lp hàm có đo hàm bc nht liên tc . Trong mt
phng (u,t) cho hai đim (t
0
,u
0
) và (t
1
,u
1
) . Cn tìm qu đo ni hai đim này
sao cho tích phân theo qu đo )(tuu

= cho bi :


=
1
0
),,()(
t
t
dttuuLuJ


(1.38)
có cc tr .
L là hàm có đo hàm riêng bc mt và bc hai liên tc vi mi bin ca nó .
 thng nht ,  đây ta ly t
0
= 0 và t
1
= T .
Bin đi ca J do
δ
u to nên là :


)()()( uJuuJuuJ
−+=+Δ
δδ


∫∫
−++=
TT
dttuuLdttuuuuL
00
),,(),,(

δδ


dttuuLtuuuuL
T


−++=
0
)],,(),,([

δδ
(1.39)
Phân tích (1.39) theo chui Taylor và ch kho sát thành phn bc mt ca J
ta đc :

dtu
u
tuuL
u
u
tuuL
uuJ
T
])
),,(
()
),,(
([),(
0



δδδ



+




(1.40)

×