ltdh

<span class='text_page_counter'>(1)</span>WWW.ToanCapBa.Net. HÌNH HỌC Chương I : VECTƠ §1: CÁC ĐỊNH NGHĨA TÓM TẮT LÝ THUYẾT Định nghĩa: Vectơ là đoạn thẳng có hướng . + Vectơ có điểm đầu  (gốc) là A, điểm cuối (ngọn) là B được kí hiệu là AB ( đọc là vectơ AB).. ⃗ ⃗ ⃗ . ⃗b + Một vectơ xác định còn được kí hiệu là a, b, x, y ,... ⃗a B A. ⃗ ⃗ (Chú ý: AB  BA ) + Vectơ – không (có gạch nối giữa 2 từ):. ⃗. 0 Vectơ có điểm ⃗ ⃗đầu và điểm cuối cuối trùng nhau gọi là vectơkhông, kí hiệu Ví dụ: MM , AA ,..... ⃗ ⃗ ⃗ + Giá của vectơ : Mỗi vectơ AB ≠ 0 , đường thẳng AB gọi là giá của vectơ AB . Còn vectơ. không AA thì mọi đường thẳng qua A đều là giá của nó. + Hướng của vectơ: là hướng từ gốc đến ngọn của vectơ. + Hai vectơ cùng phương là hai vectơ có giá song song hoặc trùng nhau. Chú ý:. ⃗ a + Độ dài⃗ của vectơ: đó là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó. Độ dài kí ⃗ hiệu là | a |, | AB | AB BA  Hai vectơ bằng nhau: nếu chúng cùng hướng và cùng độ dài. ⃗. ⃗. ⃗ ⃗. Nếu a bằng b thì ta viết a = b . A D. B. o. ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ AA BB = 0 , | 0 |= 0.. C. Ví dụ: Cho hình bình hành ABCD. Tìm. ⃗ 0 a) Tất các vectơ khác ;. b) Các vectơ cùng phương; c) Các vectơ bằng nhau. Các kí hiệu thường gặp ⃗ ⃗   CD CD AB cùng phương kí hiệu: AB // -1-. WWW.ToanCapBa.Net.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> ⃗ WWW.ToanCapBa.Net ⃗ ⃗ ⃗ CD AB cùng hướng CD AB kí hiệu:  ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ AB ngược hướng CD kí hiệu: AB  CD. -2-. WWW.ToanCapBa.Net.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> WWW.ToanCapBa.Net CÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢN Dạng 1. Xác một vectơ, sự cùng phương cùng hướng ⃗ ⃗⃗ Chú ý: với hai điểm phân biệt A, B ta có hai vectơ khác vectơ 0 là AB, BA Ví dụ 1: Cho 5 điểm A, B, C, D, E. Có bao nhiêu vectơ khác vectơ - không có điểm đầu và điểm cuối là các điểm đó. Giải Có 10 cặp điểm khác nhau {A,B}, {A,C}, {A,D}, {A,E}, {B,C}, {B,D}, {B,E}, {C,D}, {C,E}, ⃗ {D,E}. Do đó có 20 vectơ khác 0 ⃗ ⃗ a khác 0 . Tìm điểm M sao cho: Ví dụ 2: Cho điểm A và vectơ ⃗ ⃗ AM cùng phương a  Giải m ⃗ ⃗ a Gọi ⃗là giá của a ⃗ Nếu AM cùng phương a thì đường thẳng AM//  Do đó M thuộc đường thẳng m đi qua⃗ A và //  ⃗ Ngược lại, mọi điểm M thuôc m thì AM cùng phương a Dạng 2: Chứng minh hai vectơ bằng nhau Ta có thể dùng một trong các cách sau: ⃗ ⃗  ⃗ ⃗ | a ⃗|| b | ⃗   a b a, b cùng hướng  + Sử dụng định nghĩa: A. B. o D. bình hành thì . C. + Sử dụng tính chất của các hình . Nếu ABCD là hình.    AB DC , BC  AD ,…. ⃗(hoặc ⃗ ⃗viết⃗ngược ⃗ lại) ⃗ a  b , b  c  a  c + Nếu Ví dụ 1: Cho tam giác ABC  có  D, E, F lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. A Chứng minh: EF CD. Giải Cách 1: EF là đường trung bình của  ABC nên EF//CD, E F ⃗ ⃗ 1 EF  CD 2 BC=CD EF=CD EF= (1) ⃗ ⃗ CD EF cùng hướng ⃗ ⃗ (2) C B D Từ (1),(2)  EF CD Cách 2: Chứng minh EFDC là hình bình hành 1 ⃗ ⃗ EF= 2 BC=CD và EF//CD EFDC là hình bình hành EF CD Ví dụ 2: Cho hình bình hành ABCD. Hai điểm M và N lần lượt là trung điểm của BC và AD. Điểm I là giao điểm của AM và BN, K của DM và CN. ⃗ là⃗giao ⃗ điểm ⃗ M D C AM  NC , DK  NI Chứng minh: Giải I K -3-. WWW.ToanCapBa.Net A. N. B.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> WWW.ToanCapBa.Net Ta có MC//AN  và  MC=ANMACN là hình bình hành  AM  NC Tương tự MCDN ⃗là hình bình hành nên K là trung điểm  DK = KM của MD ⃗ ⃗ . ⃗Tứ giá IMKN là hình bình hành, ⃗ suy ra NI = KM  DK  NI Ví dụ 3: Chứng minh rằng hai vectơ bằng nhau có chung điểm đầu (hoặc điểm cuối) thì chúng có chung điểm cuối (hoặc điểm đầu). Giải ⃗ ⃗ Giả sử AB  AC . Khi đó AB=AC, ba điểm A, B, C thẳng hàng và B, C thuôc nửa đường thẳng góc A BC. (trường hợp điểm cuối trùng⃗nhau chứng minh tương tự) Ví dụ 4: Cho⃗điểm ⃗A và vectơ a . Dựng điểm M sao cho: a a) AM ⃗ = ; ⃗ ⃗ a a AM b) cùng phương và có độ dài bằng | |. Giải ⃗ Giả sử  là giá của a . Vẽ đường thẳng d đi qua A và d//  (nếu A thuộc  thì d trùng ⃗ ). Khi đó có hai điểm M1 và M2 thuộc d sao cho:  AM1=AM2=| a | d ⃗ Khi⃗ đó ta có: a A ⃗ AM 1 a a) ⃗ = ⃗ AM 1 AM 2 b) = cùng phương với a Ví dụ 5: Cho tam giác ABC có ⃗ H⃗là trực tâm và O là tâm đường tròn ngoại tiếp. Gọi B’ là điểm đối xứng của B qua O. Chứng minh: AH B ' C . Giải. BÀI TẬP §1 Bài 1: Cho tam giác ABC. Có thể xác định được bao nhiêu véctơ ( khác vectơ-không ) có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh tam giác? -4-. WWW.ToanCapBa.Net.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> WWW.ToanCapBa.Net . . Bài 2: Cho hai vectơ không cùng phương a và b . Có hay không một véctơ cùng phương với cả hai véctơ đó.   . Bài 3: Cho ba vectơ a , b , c cùng phương và đểu khác véctơ không. Chứng minh rằng co ít nhất là hai véctơ trong chúng có cùng hướng ⃗ ⃗ Bài 4: Cho ba điểm A,B,C phân biệt và thẳng hàng. Trong trường hợp nào thì hai véctơ AB và AC cùng hướng, trường hợp nào hai véctơ ngược hướng. Bài 5: Cho tam gác ABC. Gọi ⃗ P,⃗Q, R⃗ lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC , CA. Hãy vẽ hình và tìm trên hình vẽ các véctơ bằng PQ , QR , RP . Bài 6: Cho hình bình hành ABCD có tâm là O. Gọi ⃗ M, N lần lượt là trung điểm của AD, BC. a) Tìm các vectơ cùng phương với⃗ AB ; b)Tìm các vectơ cùng hướng với AB ⃗ ; AB ; c) Tìm các vectơ ngược hướng ⃗ với ⃗ MO OB d)Tìm các vectơ bằng với , bằng với . Bài 7: Cho lục giác đều ABCDEF có tâm O ⃗ ⃗ OA ; a) Tìm các vectơ khác 0 và cùng ⃗ phương b) Tìm các vectơ bằng vectơ AB⃗; c) Hãy vẽ các vectơ bằng vectơ AB và có: + Các điểm đầu là B, F, C + Các điểm cuối là F, D, C Bài 8: Cho hình bình hành ABCD ⃗ có tâm là O . Tìm các vectơ từ 5 điểm A, B, C , D , O. . a) bằng vectơ AB ⃗; OB b) Có độ dài bằng  OB  Bài 9: Cho tứ giác ABCD.. ⃗ ⃗ AB DC Chứng minh rằng ABCD là hình bình hành khi ⃗ ⃗và chỉ khi ⃗ ⃗ Bài 10: Cho tứ giác ABCD. Chứng minh rằng nếu AB DC thì AD BC Bài 11 : Cho tứ giác ABCD, gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm AB, BC, CD, DA.. MN QP ; NP MQ. Chứng minh : Bài 12 : Xác định vị trí tương đối của⃗ 3 điểm ⃗ phân biệt A, B và C trong các trường hợp sau:. . . AC cùng hướng, | AB |>| AC |; AB và ⃗ a) ⃗ b) ⃗AB và ⃗AC ngược hướng;. c) AB và AC cùng phương; Bài 13 :Cho hình bình hành ABCD . Dựng. . . AM BA , MN DA, NP DC , PQ BC . Chứng minh AQ 0 . HD §1 Bài 1: có các cặp điểm {A;B}, {A;C}, {B;C}. Mà mỗi cặp điểm xác định 2 véctơ. Bài 2: có, đó là vectơ-không . . . . Bài 3: nếu a ngược hướng b và a ngược hướng a thì cùng hướng A Bài 4: Cùng hướng khi A không nằm giữa B, C; ngược hướng khi A nằm giữa B, C. Bài 5: P. R. -5-. WWW.ToanCapBa.Net B. Q. C.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> WWW.ToanCapBa.Net. Bài 6: A B M. N. O C. D.          , AD, BC , CB, AO, OD, DO, FE , EF Bài 7: a) DA   b) OC , ED , FO ⃗c)+ ⃗Trên tia AB, ta lấy điểm B’ sao cho BB’=AB khi đó BB '  AB  * FO là vectơ cần tìm * Trên tia OC lấy ⃗ C’ ⃗ sao cho CC’=OC=AB Do CC’//AB  CC '  AB +⃗tương ⃗ tự ⃗ ⃗. A B. Bài 8: a) AB DC , OB DO. O. ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ | OB || BO || DO || OD | b). D. C. Bài 9: Chứng minh chiều  : * ABCD là hình bình hành  AB // CD  AB  DC  AB  CD  *.  AB // CD    AB CD. Chứng minh chiều  : * AB = DC  AB , DC cùng hướng và * AB và DC cùng hướng  AB // CD (1). AB  DC.  AB = CD (2).Từ (1) và (2) suy ra ABCD là hình bình hành ⃗ ⃗ AB  DC Bài 10:  AB=DC, AB//CDABCD là hình bình hành  AD BC *. |⃗ AB|=|⃗ CD|  . 1 Bài 11 : MP=PQ và MN//PQ vì chúng bằng 2 AC Và đều //AC. Vậy MNPQ là hình bình hành  đpcm. -6-. WWW.ToanCapBa.Net.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> WWW.ToanCapBa.Net. Bài 12 : Xác định vị trí tương đối của⃗ 3 điểm ⃗ phân biệt A, B và C trong các trường hợp sau:. . . AC cùng hướng, | AB |>| AC |; AB và ⃗ a) ⃗ b) ⃗AB và ⃗AC ngược hướng; AC cùng phương; c) AB và ⃗ ⃗. ⃗ ⃗ AC AB AB HD: cùng hướng, | |>| AC | khi C nằm giữa A và B ⃗ a) ⃗ và b) AB và AC ngược hướng, khiA nằm giữa B và C c) Cùng phương thì có thể cùng ⃗ hay ngược hướng ⃗ ⃗ ⃗ hướng + cùng hướng: nếu | AB |>| AC | thì theo a); nếu | AB |< AC | thì B nằm giữa A và C. + Ngược hướng thì theo b) Bài 13 :Cho hình bình hành ABCD . Dựng   AM BA , MN DA, NP DC , PQ BC . Chứng minh AQ 0 .. .     AM BA; NP DC  AB HD: Ta có  AM=NP và AM//NP AMNP là hình bình hành (1) Tương tự QMNP là hình bính hành (2)  cũng . Từ (1)&(2) AQ AQ 0. -7-. WWW.ToanCapBa.Net.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> WWW.ToanCapBa.Net BÀI TẬP KHÁI NIỆM VECTƠ. ⃗ 1. Cho ABC. Có thể xác định được bao nhiêu vectơ khác 0 2. Cho tứ giác ABCD ⃗ a/ Có bao nhiêu vectơ khác 0 b/ Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm AB, BC, CD, DA. . . CMR : MQ = NP 1. Cho ABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm AB, BC, CA. . a/ Xác định các vectơ cùng phương với MN . b/ Xác định các vectơ bằng NP . . . 2. Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF. Dựng các vectơ EH và FG bằng AD CMR : ADHE, CBFG, DBEG là hình bình hành. . . 3. Cho hình thang ABCD có hai đáy là AB và CD với AB=2CD. Từ C vẽ CI = DA . CMR : . . a/ I là trung điểm AB và DI = CB . . . b/ AI = IB = DC . . . . 4. Cho ABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AD. Dựng MK = CP và KL = BN . . a/ CMR : KP = PN b/ Hình tính tứ giác AKBN ⃗  AL c/ CMR : = 0. -8-. WWW.ToanCapBa.Net.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> WWW.ToanCapBa.Net §2+3. TỔNG VÀ HIỆU HAI VECTƠ Tóm tắt lý thuyết 1. Tổng các vectơ B. . a. A. . b C. . c. .  . . .  .  Định nghĩa: Cho 2 véc tơ a và b . Lấy 1 điểm A tùy ý, dựng AB. . = a , BC = b . . .  . Khi đó a + b = AC Phép lấy tổng của 2 véctơ đ gọi là phép cộng véctơ .⃗ ⃗. .  Quy tắc 3 điểm : Cho A, B ,C tùy ý, ta có : AB + BC = AC ⃗ ⃗ ⃗  Quy tắc hình bình hành . Nếu ABCD là hình bình hành thì AB + AD = AC. 2. Vectơ đối . . + Cho vectơ a . Vectơ có cùng độ dài và ngược hướng a được gọi là vectơ đối của vectơ ⃗     C B a 0 a , kí hiệu là - a a  +(- )=   AB + Mọi vectơ đều có vectơ đối là BA nghĩa là ⃗ có vectơ ⃗ đối, ví dụ. AB =A- BA ⃗ ⃗ 0 0 + vectơ đối của là . 3. Hiệu các vectơ (phép trừ) . . . D. . Định nghĩa: a - b = a +(- b ).  Quy tắc về hiệu ⃗ ⃗ ta⃗có:  vec  tơ  : Với ba điểm O, A,  B tùy ý cho trước OB  OA  AB (hoặc OA  OB BA )hay AB OB  OA ⃗⃗⃗ 4. Tính chất : với a, b⃗, c bất ⃗ kì⃗ta có: ⃗ a  b b  a + Giao hoán : = ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ a  b c a  (b + c ) + Kết ⃗ hợp ⃗ ⃗ (⃗ ⃗ ) + = + ⃗a + 0⃗= 0 +⃗a =⃗a ⃗ A + a⃗+( a )=⃗a + a = 0 ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ a b + |⃗a + b | ≤ | a |+| b |,⃗ dấu “=” ⃗ ⃗xảy ⃗ra khi ⃗ , cùng hướng. ⃗ ⃗ + a⃗  b và⃗| b | ≥ | a |  | a + b |=| b || a | ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ G + a⃗ = b  a + c⃗= b + c ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ + a⃗ + c = b ⃗a = b  c ,⃗c = b  a ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ I B + a ( b + c )= a  b  c ; a ( b  c )= a  b + c -9-. WWW.ToanCapBa.Net. D. C.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> WWW.ToanCapBa.Net Ghi chú:.    + Điểm I là trung điểm đoạn thẳng AB ⃗IA ⃗ IB⃗0⃗ + Điểm G là trọng tâm tam giác ABC  GA  GB  GC 0. CÁC BÀI TẬP CƠ BẢN Bài 1: Cho hình bình hành ABCD. Hai điểm M và N lần lượt là trung điểm của BC và AD.      . ; AM  CD; AD  NC a) Tìm tổng NC ⃗ MC ⃗ ⃗ ⃗ b) Chứng minh : AM  AN  AB  AD Giải:   a) + Vì ⃗MC⃗  AN nên ⃗ ta⃗có ⃗ ⃗ ⃗ NC  MC = NC  AN = AN  NC = AC ⃗ ⃗ +Vì ⃗CD⃗BA nên ta có ⃗ ⃗ ⃗   AM  CD = AM  BA = BA  AM = BM ⃗ ⃗ +Vì ⃗NC⃗  AM nên ⃗ ta ⃗ có ⃗ AD  NC = AD  AM = AE , E là đỉnh của hình bình hành AMED. ⃗ ⃗ ⃗. AM  AN  AC b) Vì tứ giác AMCN là hình bình hành nên ⃗ta có ⃗ ⃗ AB  AD  AC Vì tứ⃗giác ⃗ ABCD ⃗ ⃗ là hình bình hành nên Vậy AM  AN  AB  AD Bài 2: Cho lục giác đều  ABCDEF    tâm  O.  . Chứng minh: OA  OB  OC  OD  OE  OF 0 Giải Vì O là tâm của lục giác đều nên:.          OA  OD 0; OB  OE 0; OC  OF 0  đpcm Bài 3: Cho ngũ giác đều ABCDE tâm O.⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ OA  OB ; OC  OE OD a) Chứng minh rằng vectơ đều cùng phương ⃗  b) Chứng minh AB và EC cùng phương. Giải a) Gọi d là đường⃗thẳng ⃗ chứa ⃗ OD d là trục đối xứng của. ngũ giác đều. Ta có OA  OB OM , trong ⃗ đó ⃗ M⃗ là đỉnh. ON hình thoi AMBO và M thuộc⃗ d. ⃗Tương tự OC  OE  ⃗ ⃗ ⃗ , N  d. Vậy OA  OB và OC  OE cùng phương OD vì cùng giá d. b) AB và ⃗ vuông góc d  AB//EC ⃗ EC cùng.  AB // EC Bài 4: Cho tam⃗giác ⃗ ABC. ⃗ ⃗ ⃗Các⃗điểm ⃗ ⃗M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, AC, BC.  PN ; BP  CP . a) Tìm AM  AN ; MN  NC ; MN ⃗⃗  b) Phân tích AM theo hai vectơ MN ; MP . Giải ⃗ ⃗ ⃗ AM  AN a) = NM -10-. WWW.ToanCapBa.Net.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> ⃗ ⃗ ⃗ WWW.ToanCapBa.Net ⃗ ⃗  MN  NC = MN  MP = PN (Vì NC MP ) ⃗ ⃗ ⃗ ⃗  MN  PN = MN  NP = MP ⃗ ⃗ ⃗ ⃗  BP  CP = BP  PC = BC ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ b) AM  NP MP  MN .  Bài 5: Cho hình thoi ABCD có BAD =600 và cạnh là a. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo.       | AB  AD |;| BA  BC |;| OB  DC | Tính. B. Giải.  Vì ABCD là hình thoi cạnh a và BAD =600 nên AC= a 3 và BD=a. Khi đó ta có : .     A AB  AD  AC | AB  AD | AC a 3      BA  BC CA  | AB  AD |CA a 3        a 3 OB  DC DO  DC CO  | OB  DC |CO  2. C. D. Bài 6: Cho hình  vuông   ABCD   cạnh  a có O là giao điểm của hai đường chéo. Tính | OA  CB |; | AB  DC |;| CD  DA | Giải. . . . . . Ta có AC=BD= a 2 ; OA  CB CO  CB BO. ⃗ ⃗ a 2 | OA  CB |BO  2 Do đó ⃗ ⃗     | AB  DC || AB |  | DC |2a (vì AB   DC ) ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ CD  DA  CD  CB  BD CD  DA |=BD= a 2 Ta có |. * Chứng minh đẳng thức vectơ Phương pháp: có thể sử dụng các phương pháp sau 1) Biến đổi vế này thành vế kia. 2) Biến đểi đẳng thức cần chứng minh tương đương với một đẳng thức đã biết là đúng. 3) Biến đổi một đẳng thức biết trườc tới đẳng thức cần chứng minh. Bài 7: Cho bốn điểm A,B,C,D bất kì. . .  . . Chứng minh rằng: AB  CD  AD  CB (theo 3 cách) Giải Cách 1: ⃗ (sử ⃗ dụng⃗ qui⃗ tắc⃗ tổng) ⃗ ⃗biến⃗đổi⃗ vế⃗trái. ⃗ ⃗ AB  CD  AD  DB  CB  BD  AD  CB  BD  DB  AD  CB Cách 2: ⃗(sử⃗dụng ⃗ hiệu) ⃗ ⃗ ⃗ AB  AD CB  CD  DB DB. Cách 3: Biến đổi vế trái thành vế phải Bài 8: Cho sáu điểm A, B, C, ⃗ D,⃗ E,⃗F. ⃗ ⃗ ⃗ Chứng minh: AB  BE  CF  AE  BF  CD Giải ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗.  CF  AE  ED  BF  FE  CD  DF VT = ⃗AB ⃗ BE ⃗ ⃗ ⃗ ⃗  BF  CD  ED  DF  FE = AE ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗. = AE  BF  CD (vì ED  DF  FE 0 )=VP đpcm -11-. WWW.ToanCapBa.Net.

<span class='text_page_counter'>(12)</span> WWW.ToanCapBa.Net Bài 9: Cho 5 điểm A, B,  C, D,  E..    AC  DE  DC  CE  CB  AB Chứng minh rằng: Giải ⃗ ⃗ ⃗ ⃗  CD;  CE  EC nên Ta có ⃗ DC ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗  DC  CE  CB = AC  DE  CD  EC  CB VT = ⃗AC⃗ DE ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ = AC  CD  DE  EC  CB  AB =VP đpcm. Bài 10: Cho tam giác ABC. Các điểm M, N, P lần lượt là trung điểm các cạnh AB, AC, BC. Chứng minh rằng với điểm O  bất kì ta có:   . OA  OB  OC OM  ON  OP Giải ⃗ ⃗ ⃗  OB  OC VT = OA ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗  MA  ON  NB  OP  PC = OM ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗  ON  OP  MA  NB  PC = OM    Mà NB  NM   NP ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ MA  NM  NP  PC  NA  NC 0  MA ⃗NB⃗  PC ⃗ =  VT= OM  ON  OP =VP đpcm. BÀI TẬP PHÉP CỘNG, TRỪ CÁC VECTƠ . . . . 1. Cho 4 điểm A, B, C, D. CMR : AC + BD = AD + BC 5. Cho 5 điểm A, B, C, D, E. . . . . . CMR : AB + CD + EA = CB + ED 6. Cho 6 điểm ⃗ ⃗A, B, ⃗ C,⃗D,⃗E, F. ⃗. CMR : AE  BF  CD  AF  BD  CE. 7. Cho 8 điểm A, B, C, D, E, F, G, H. . . . . . . . . . . CMR : AC + BF + GD + HE = AD + BE + GC + HF 8. Gọi O là tâm của hình bình hành ABCD. CMR : . . a/ DO + AO = AB. ⃗     c/ OA + OB + OC + OD = 0 . . . . . b/ OD + OC = BC. . d/ MA + MC = MB + MD (với M là 1 điểm tùy ý) 9. Cho tứ giác ABCD. Gọi O là trung điểm AB. . . . . CMR : OD + OC = AD + BC . . . 10. Cho ABC. Từ A, B, C dựng 3 vectơ tùy ý AA' , BB' , CC' . . . . . . CMR : AA' + BB' + CC' = BA' + CB' + AC' . . . 11. Cho hình vuông ABCD cạnh a. Tính  AB  AD  theo a 12. Cho hình chữ nhật ABCD, biết AB = 3a; AD = 4a.. -12-. WWW.ToanCapBa.Net.

<span class='text_page_counter'>(13)</span> WWW.ToanCapBa.Net . .   ⃗ ⃗ AB  AC b/ Dựng u = . Tính  u  13. Cho ABC vuông tại A, biết AB = 6a, AC = 8a   ⃗ ⃗ AB  AC v a/ Dựng = . b/ Tính  v .. a/ Tính  AB  AD .    . OA, OB, OC , OD có độ dài bằng 14. Cho tứ giác ⃗ ⃗ ABCD, ⃗ ⃗ biết rằng tồn tại một điểm O sao cho các véc tơ. nhau và OA  OB  OC  OD = 0. Chứng minh ABCD là hình chữ nhật. . . . . 2. Cho 4 điểm A, B, C, D. CMR : AB  CD = AC + DB 15. Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F. CMR : ⃗       CD BC a/ + FA  BA  ED +  FE = 0 . . . . . . . . . . . . b/ AD  FC  EB = CD  EA  FB c/ AB  DC  FE = CF  DA + EB 16. Cho ABC. Hãy xác định điểm M sao cho : ⃗ ⃗       MC 0 MC BC MA MB MB a/  + = b/  + = 0 ⃗ ⃗       MC MC 0 c/ MB  + MA = d/ MA  MB  = 0 ⃗     MC BC MA MB e/ +  + = 0 17. Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 3a, AD = 4a.     ⃗ ⃗ a/ Tính  AD  AB  b/ Dựng u = CA  AB . Tính  u  18. Cho ABC đều cạnh a. Gọi I là trung điểm BC. . . a/ Tính  AB  AC . . . b/ Tính  BA  BI  . . 19. Cho ABC vuông tại A. Biết AB = 6a, AC = 8a. Tính AB  AC . BÀI TẬP THÊM. Bài 1 : Cho A,B,C,D tìm các véctơ sau:      v  AB  DC  BD  CA  AB  CD  BC  DA a) b) m ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗  CD  DE c) n  BC  CD  AB  DB . d)  p  AB⃗  BC  ⃗. AO a ; BO = b Bài 2: Cho hình bình ⃗ hành ⃗ ABCD ⃗ tâm O ⃗. Đặt ⃗ =  Tính AB ; BC ; CD ; DA theo a và ⃗b ⃗ ⃗ ⃗ Bài 3: Cho hình vuông ABCD cạnh a . Tính  BC + AB  ;  AB - AC  theo a. Bài 4: Cho ⃗hình chữ ⃗ nhật ⃗ABCD có AB = 8cm ; AD = 6cm . Tìm tập hợp điểm M , N thỏa a) ⃗AO - ⃗AD = ⃗MO  b)  AC - AD =  NB  Bài 5: Cho 7 điểm ⃗ A⃗; B ; C⃗; D ; E⃗ ; F ; G⃗ . Chứng minh rằng : CD EA CB ED a) AB ⃗ ⃗ + ⃗ + ⃗ =⃗ +⃗ CF CD AD BE AE BF b) ⃗ + ⃗ + ⃗ = ⃗ + ⃗ + ⃗ ⃗ CD GA CB GF AB EF ED c) ⃗ +⃗ + ⃗ +⃗ = ⃗ +⃗ +⃗ d) AB - AF + CD - CB + EF - ED = 0. -13-. WWW.ToanCapBa.Net.

<span class='text_page_counter'>(14)</span> WWW.ToanCapBa.Net OA  OB OM , OA  OB ON . Khi nào điểm M nằm trên đường Bài 6 : Cho tam giác OAB. Giả sử phân giác trong của góc AOB? Khi nào N nằm trên đường phân giác ngoài của góc AOB ? Bài 7 : Cho ngũ giác đều ABCDE tâm O Chứng minh :. OA  OB  OC  OD  OE O Bài 8 : Cho tam giác ABC . Gọi A’ la điểm đối xứng của B qua A, B’ là điểm đối xứng với C qua B, C’ là điểm đối xứng của A qua C. với một điểm O bất kỳ, ta có:. OA  OB  OC OA'  OB '  OC ' Bài 9: Cho lụ giác ⃗ ⃗có tâm ⃗ là O⃗ . CMR : ⃗ ⃗ ⃗  đều⃗ ABCDEF ⃗ OA OB OC OD OE OF 0 OA OC OE 0 a) +⃗ + ⃗ + ⃗ + + = +⃗ + ⃗ = ⃗ ⃗ b)⃗ ⃗  c) AB + AO + AF = AD d) MA + MC + ME = MB + MD + MF ( M tùy ý ) Bài 10: Cho tam giác ABC nội⃗tiếp trong ⃗ đường ⃗ tròn tâm O , trực tâm H , vẽ đường kính AD a) Chứng minh rằng HB + HC = HD ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ HC HA HB HH ' b) Gọi H’ là đối xứng của H qua O .Chứng = ⃗ minh⃗rằng ⃗ + ⃗ + Bài 11: Tìm tính chất tam giác ABC, biết rằng :  CA + CB  =  CA - CB . -14-. WWW.ToanCapBa.Net.

<span class='text_page_counter'>(15)</span> WWW.ToanCapBa.Net ⃗ ⃗ PHÉP NHÂN ⃗VECTƠ ⃗ VỚI MỘT SỐ 1) Định nghĩa: Cho a ≠ 0 , 0≠k   ta có c =k a (gọi là phép một số thực với 1 vectơ). Khi đó: ⃗ ⃗ c a + cùng phương ⃗ ⃗ c a + cùng hướng ⃗ khi k>0 ⃗ c + ngược⃗ hướng⃗a khi k<0 ⃗ a + | c |=| k a |=|k|.| ⃗ ⃗ |⃗ ⃗ Quy ước: 0 a ⃗ =0 ; k0 =0 ⃗ 2) Tính chất: Cho a , b bất kì và k,h   , khi đó ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ a b a + k( + )= k +k b ⃗ ⃗ ⃗ a a b + (k+h) ⃗ = k ⃗+h + k(h⃗a )=⃗ (kh) a⃗ ⃗ + 1. a = a ; (1) a = a * Tính chất trung điểm: I là trung điểm đoạn AB, vớii mọi M ta có:  Nếu  MA  MB 2MI * Tính chất trọng tâm tam giác: G là trọng tâm ABC, với mọi M ta có:     MA  MB  MC 3MG 3) Điều kiện để hai vectơ cùng phương ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ a a b b 0 a  , ; cùng phương ≠   0≠k   : =k b. ⃗ ⃗ ⃗. ⃗ ⃗. ⃗. ⃗. ( a , b ; b cùng phương a ≠ 0   0≠k   : b =k a ). 4) Điều kiện để ba điểm A, B, C thẳng hàng ⃗ ⃗   AB cùng phương AC  0≠k   : AB k AC 5) Phân tích (biểu diễn) một vectơ theo hai vectơ không cùng phương: ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ b 0 a Cho hai , khác và không cùng phương. Khi đó  x bao giờ cũng tìm được hai số m, ⃗ ⃗ ⃗ n sao cho: x = m a +n b . A. Nếu G là trọng tâm. 2 1 AG= 3 AI; GI= 3 AI AG=2GI. G. B. I. ⃗ a 1. Xác định vectơ k. C. CÁC BÀI TẬP CƠ BẢN. ⃗ PP: Dựa vào định nghĩa vectơ k a và các tính chất.   ⃗ 1) Cho a  AB và điểm hai điểm M và N sao cho :   O.  Xác định  OM 3a; ON  4a -15-. WWW.ToanCapBa.Net.

<span class='text_page_counter'>(16)</span> WWW.ToanCapBa.Net Giải. ⃗ a N. O. M. ⃗ ⃗ ⃗ a a a Vẽ d đi qua O và // với giá của ⃗(nếu O  giá⃗của thì d là giá của )  OM ⃗3a .  Trên d lấy điểm M sao cho OM=3| a |, ⃗OM và a cùng hướng khi đó ⃗ ⃗ ⃗  Trên d lấy điểm N sao cho ON= 4| a |, ON và a ngược hướng nên ON  4a 1 2) Cho đoạn thẳng AB và M là một điểm nằm trên đoạn AB sao cho AM= 5 AB. Tìm k trong các đẳng thức ⃗ sau: ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ a ) AM k AB; b) MA k MB; c ) MA k AB Giải A. M. B. ⃗ ⃗ ⃗ | AM | AM 1 1 ⃗ ⃗ AM k AB  | k | ⃗   AB 5 , vì AM   AB  k= 5 | AB | a) 1 1 b) k=  4 c) k=  5 ⃗. ⃗. 3) a) Chứng minh:vectơ đối của 5 a là (5) a⃗ ⃗ ⃗ ⃗ b) Tìm vectơ đối của các véctơ 2 a +3 b , a 2 b Giải ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ a a a a a) 5 =(1)(5 )=((1)5) ⃗= (5) ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ b b b b a a a a a b) (2 +3 )= (1)( 2 +3 )= (1) 2 +(1)3 =(2) +(3) =2 3 b c) Tương tự 2. Biểu diễn (phân tích, biểu thị) thành hai vectơ không cùng phương 1) Cho  ABC có trọng âtm G. Cho các ⃗ ⃗ D,⃗E, F lần lượt là trung điểm của các ⃗ ⃗cạnh ⃗ ⃗ BC, CA, AB và ⃗ điểm I là giao điểm của AD và EF. Đặt u  AE ; v  AF . Hãy phân tích các vectơ AI , AG , DE , DC theo ⃗⃗ u hai vectơ , v .. . 1  1   1 1 AI  AD  ( AE  AF )  u  v) 2 2 2 2 Giải Ta có  2  2 2 AG  AD  u  v 3   3  3 DE ⃗FA ⃗ ⃗0.u  ( 1)v ⃗ ⃗  ⃗ AF DC FE  AE  AF u  v. A. . 2) Cho tam Điểm M nằm trên cạnh BC sao cho MB= 2MC. Hãy phân tích vectơ AM theo hai ⃗  giác   ABC.  C vectơ u  AB, v  AC . Giải. ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ 2 AM  AB  BM  AB  BC 3 Ta có ⃗ ⃗ ⃗ mà BC  AC  AB -16-. WWW.ToanCapBa.Net.

<span class='text_page_counter'>(17)</span> WWW.ToanCapBa.Net. .   2   1 2 AM  AB  ( AC  AB)  u  v 3 3 3  3. Chứng minh 3 điểm thẳng hàng. ⃗ ⃗  AC AB  k AC AB  + A, B,⃗C thẳng cùng phương  0≠k  : ⃗ hàng  + Nếu AB kCD và hai đường thẳng AB và CD phân biệt thì AB//CD. . 1 1) Cho tam giác ABC có trung tuyến AM. Gọi I là trung điểm AM và K là trung điểm AC sao AK= 3 AC. Chứng minh ba điểm B, I, K thẳng hàng. Giải. ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ 1 2 BI BA  BM BA  BC 2 ⃗ ⃗ ⃗ Ta có 4 BI 2 BA  BC (1) Ta có. ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ 1 BK BA  AK BA  AC 3 ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ 1 2⃗ 1 BA  ( BC  BA)  BA  BC 3 3 ⃗ ⃗ ⃗3 3BK 2 BA  BC (2) ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ 4 3BK 4 BI  BK  BI 3  B, I, K thẳng hàng. Từ (1)&(2) 2) Cho tam giác ABC.  Hai điểm ⃗ bởi hệ thức: ⃗ xác ⃗ định  M, N⃗được BC  MA 0 , AB  NA  3 AC 0 . Chứng minh MN//AC Giải ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ BC  MA  AB  ⃗NA  3 AC 0 ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ hay AC  MN  3 AC 0  MN 2 AC. ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ MN / / AC . Theo giả thiết BC  AM. Mà A,B,C không thẳng hàng nên bốn điểm A,B,C,M là hình bình hành  M không thuộc AC MN//AC 4. Chứng minh đẳng thức vetơ có chứa tích của vectơ với một số 1) Gọi M, N ⃗lần ⃗lượt⃗ là trung điểm của hai đoạn thẳng AB và CD. Chứng minh: 2MN  AC  BD M Giải ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗. VP  AC  BD  AM  MN  NC  BM  MN  ND ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ 2MN  AM  BM  ND  NC ⃗ 2MN. A. C.     2) Cho hình bình hành ABCD. Chứng minh: AB  2 AC  AD 3 AC . Giải ⃗ ⃗ ⃗ AB  AD  AC Áp dụng⃗qi tắc ⃗ hình ⃗ bình ⃗ hành ta có.  VT= AC  2 AC 3 AC VP (đpcm). -17-. WWW.ToanCapBa.Net. N. B D.

<span class='text_page_counter'>(18)</span> WWW.ToanCapBa.Net 3) Chứng minh rằng ⃗ ⃗nếu⃗ G⃗ và G’ lần lượt là trọng tâm tam giác ABC và A’B’C’ thì 3GG '  AA '  BB '  CC ' . Giải ⃗ ⃗ ⃗. VP  AA '  BB '  CC ' ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗  AG  GG '  G ' A '  BG  GG '  G ' B '  CG  GG '  G ' C ' ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ 3GG '  AG  BG  CG  G ' A '  G ' B '  G ' C ' ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ 3GG '  (GA  GB  GC )  G ' A '  G ' B '  G ' C ' ⃗ 3GG ' 5. Xác định ⃗ vị⃗ trí của một điểm nhờ đẳng thức véctơ + AB 0  A B ⃗   a AM a + Cho ⃗ ⃗điểm A và .⃗Có⃗duy nhất M sao cho : + AB  AC  B C ; AD BD  A B. ⃗ ⃗ 1) Cho tam giác ABC có D là trung điểm BC. Xác định vị trí của G biết AG 2GD . Giải ⃗ ⃗ A AG 2GD  A,G,D thẳng hàng. AG=2GD gà G nằm giữa A và D. Vậy G là trọng tâm tam giác ABC.. G. ⃗ ⃗ ⃗ 2) Cho hai điểm A và B. Tìm điểm I sao cho: IA  2 IB 0 .. I. B. C. D. HD A. . B. I.       IA  2 IB 0  IA  2 IB  IA   2 IB. 1 ⃗ ⃗ 3 hay IA=2IB , IA   IB . Vậy I là điểm thuộc AB ⃗ sao ⃗ cho ⃗ IB= ⃗ ⃗AB 3) Cho tứ giác ABCD. Xác định vị trí điểm G sao cho: GA  GB  GC  GD 0 Giải.    GA  GB 2GI Ta có ⃗ ⃗ ⃗ , trong đó I là trung điểm AB GC  GD 2GK , K là trung điểm CD Tương ⃗ ⃗ tự⃗ ⃗ ⃗ ⃗ I GA  GB  GC  GD 2GI  2GK ⃗ ⃗ ⃗ hay GI  GK 0. B C K. A.  G là trung điểm IK. D. BÀI TẬP Bài 1: Cho ABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB và O là 1 điểm tùy ý. ⃗    a/ CMR : AM + BN + CP = 0 . . . . . . b/ CMR : OA + OB + OC = OM + ON + OP -18-. WWW.ToanCapBa.Net.

<span class='text_page_counter'>(19)</span> WWW.ToanCapBa.Net . . Bài 2: Cho ABC có trọng tâm G. Gọi MBC sao cho BM = 2 MC . . . a/ CMR : AB + 2 AC = 3 AM . . . . b/ CMR : MA + MB + MC = 3 MG Bài 3: Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB, CD và O là trung điểm của EF. . . . a/ CMR : AD + BC = 2 EF. ⃗     OA OB OC OD b/ CMR : + + + = 0 . . . . . c/ CMR : MA + MB + MC + MD = 4 MO (với M tùy ý) . . . . d/ Xác định vị trí của điểm M sao cho MA + MB + MC + MD  nhỏ nhất Bài 4: Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F, G, H lần lượt là trung điểm AB, BC, CD, DA và M là 1 điểm tùy ý. ⃗     BG CH a/ CMR : AF + + + DE = 0 . . . . . . . . b/ CMR : MA + MB + MC + MD = ME + MF + MG + MH . . . . c/ CMR : AB  AC + AD = 4 AG (với G là trung điểm FH) Bài 5: Cho hai ABC và DEF có trọng tâm lần lượt là G và H. . . . . CMR : AD + BE + CF = 3 GH. Bài 6: Cho hình bình hành ABCD có tâm O và E là trung điểm AD. CMR : ⃗     OA OB OC OD a/ + + + = 0 . . . . b/ EA + EB + 2 EC = 3 AB . . . . c/ EB + 2 EA + 4 ED = EC 1  Bài 7: Cho ABC có M, D lần lượt là trung điểm của AB, BC và N là điểm trên cạnh AC sao cho AN = 2 NC . Gọi K là trung điểm của MN. . 1 1   a/ CMR : AK = 4 AB + 6 AC. 1 1   b/ CMR : KD = 4 AB + 3 AC. . . . . . . Bài 8: Cho ABC. Trên hai cạnh AB, AC lấy 2 điểm D và E sao cho AD = 2 DB , CE = 3 EA . Gọi M là trung điểm DE và I là trung điểm BC. CMR : 1 1    a/ AM = 3 AB + 8 AC 1 3    b/ MI = 6 AB + 8 AC Bài 9: Cho lục giác đều ABCDEF ⃗ tâm ⃗O cạnh a. . a) Phân tích AD theo AB và AF. ⃗1 1⃗ AB  BC 2 b) Tinh 2 theo a Bài 10: Cho tam giác ABC có trung tuyến AM (M là trung điểm BC). ⃗ ⃗  AM AB Phân tích theo và AC Bài 11: Cho tam giác ABC. Gọi M là trung điểm AB, N là một điểm trên AC sao cho NA=2NC. Gọi K là trung. -19-. WWW.ToanCapBa.Net.

<span class='text_page_counter'>(20)</span> WWW.ToanCapBa.Net ⃗ ⃗ ⃗ điểm của MN. Phân tích AK theo AB và AC .. Bài 15: Cho tam giác ABC, Gọi I là điểm trên cạnh BC sao cho 2CI = 3BI, gọi J là điểm trên BC kéo dài sao cho 5JB = 2JC..     a) Tính AI , AJ theo AB, AC. . ⃗  AG b) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC . Tính theo AI và AJ . . Bài 16: Cho 4 điểm A, B, C, D thỏa 2 AB + 3 AC = 5. CMR : B, C, D thẳng hàng. ⃗ ⃗       MC NA NC 0 MB PA PB Bài 17: Cho ABC, lấy M, N, P sao cho =3 ; +3 = và + = 0 . . . . a/ Tính PM , PN theo AB và AC b/ CMR : M, N, P thẳng hàng. Bài 18: Cho tam giác ABC.Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua B, B’ là điểm đối xứng với B qua C, C’ là điểm đối xứng với C qua A.Chứng minh các tam giác ABC và A’B’C’ có cùng trọng tâm. Bài 19: Cho tam giác ABC và điểm M tuỳ ý. Gọi A’, B’, C’ lần lượt là điểm đối xứng của M qua các trung điểm K, I, J của các cạnh BC, CA, AB a/ Chứng minh ba đường thẳng AA’, BB’, CC’ đồng qui b/ Chứng minh khi M di động , MN luôn qua trọng tâm G tam giác ABC Bài 20: Cho tam giác ABC. Tìm tập hợp các điểm M thoả mãn tưng đtều kiện sau : ⃗ ⃗ ⃗ ⃗     ⃗ ⃗       C MA  MB  MC  O MA  MB a/ . b/ c/ | ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗   C       C     d/ e/ |. -20-. WWW.ToanCapBa.Net.

<span class='text_page_counter'>(21)</span> WWW.ToanCapBa.Net §4 TRỤC TỌA ĐỘ VÀ HỆ TRỤC TỌA ĐỘ 1.Trục tọa độ. ⃗  Trục tọa độ (trục, trục số) là đường thẳng trên đó xác định điểm O và một vectơ i có độ dài bằng 1. ⃗ ⃗ Ký hiệu trục (O; i ) hoặc x’Ox i x x' O I ⃗ O gọi là gốc tọa độ; i vectơ đơn vị của trục tọa độ..  Tọa độ của vectơ và của điểm trên trục. . ⃗. . + Cho điểm M nằm trên trục (O;⃗ i ). Khi đó có duy nhất một số m sao cho OM mi . Số m gọi là. . tọa độ của m đối với trục (O;⃗ i ) (nó cũng là tọa độ của OM ). ⃗ ⃗ ⃗ i ). Khi đó có duy nhất số x sao cho u  xi . Số x gọi là tọa độ của + Cho vectơ u trên trục (O; ⃗ ⃗ u vectơ đối với trục (O; i ).  Độ dài đại số của vectơ trên trục. ⃗ ⃗ i AB Cho A,B nằm trên trục (O; ). Khi đó có duy nhất số a sao cho = a i . Ta gọi số a là độ dài. đại số của AB đối với trục đã cho.. ⃗. Kí hiệu: a= AB . Như vậy AB = AB i *Nhận xét:⃗ ⃗ + Nếu ⃗AB ⃗ i thì AB = AB + Nếu AB   i thì AB = AB. ⃗ + Nếu hai điểm A và B trên trục (O; i ) có tọa độ lần lượt là a và b thì AB = ba  Tính ⃗ ⃗chất:⃗. ⃗ + AB CD  AB CD + AB  BC  AC (hệ thức Salơ) 2. Hệ trục tọa độ. y . j. . i. O. x.  Hệ trục tọa độ Hệ trục tọa độ vuông góc gồm 2 trục tọa độ Ox và Oy⃗vuông góc nhau. Vectơ đơn vị trên Ox là. ⃗ ⃗ ⃗ i , vectơ đơn vị trên Oy là j . Ký hiệu Oxy hoặc (O; i ; j ).. + Điểm O gọi là gốc tọa độ; trục Ox gọi là trục hoành, trục Oy gọi là trục tung. + Khi một mặt phẳng đã cho một hệ trục tọa độ, ta gọi mặt phẳng đó là mặt phẳng tọa độ.  Tọa độ của vectơ đối với hệ trục tọa độ. ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ j j i a i a Đối với hệ trục (O; ⃗ ; ), nếu ⃗=x +y thì cặp số (x;y) là toạ độ của . Ký hiệu a = (x ; y) hoặc a (x ; y)⃗ ⃗ a b Nhận xét: (hai vectơ bằng nhau) Cho = (x ; y), = (x’;y’) ⃗ ⃗  x x ' y y ' a =b. . -21-. WWW.ToanCapBa.Net.

<span class='text_page_counter'>(22)</span> WWW.ToanCapBa.Net ⃗ ⃗ a b  Một số tính chất: Cho = (x ; y), = (x’;y’). Khi đó: ⃗ ⃗ 1) a⃗ b = (x  x’; y  y’) 2) k a⃗=(kx⃗; ky) với  k  3) m a + n b =(mx+nx’ ; my+ny’) x y x kx ' ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗   xy ' yx ' 0 y ky ' x ' y ' 4) a // b  0  có số k thỏa a =k b  . .  Tọa độ của một điểm đối với hệ trục tọa độ y. M2 O. M(x;y) M1. x. . Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, ⃗tọa độ của vectơ OM được gọi là tọa độ. của điểm M. Như vậy, cặp số (x ; y) là tọa độ của M  OM =(x ; y) Khi đó, ta viết M(x ; y) hoặc M(x ; y) + x gọi là hoành ⃗ độ điểm ⃗ M,⃗y gọi ⃗ là tung độ điểm M + M(x ; y) OM  xi  y j  OM =(x;y) x= OM1 ; y= OM 2 + Gốc tọa độ là⃗O(0;0).  Tọa độ vectơ MN khi biết tọa độ hai điểm M, N Cho M(xM ;  yM) và N(xN ; yN) ta có :. MN = (xM – xN ; yM – yN).  Tọa độ trung điểm: Nếu P( xP ; y P ) là trung điểm của đoạn thẳng MN thì:. xM  xN yM  y N xP = 2 2 ; yP =.  Tọa độ trọng tâm tan giác ABC: Nếu A(xA;yA), B(xB;yB), C(xC;yC). Khi đó tọa độ trọng tâm G(xG;yG) được tính theo công thức:. x A  xB  xC y A  yB  yC 3 3 xG = ; yG =. -22-. WWW.ToanCapBa.Net.

<span class='text_page_counter'>(23)</span> WWW.ToanCapBa.Net →. 1) | u | =. →. với u = (x;y) BÀI TẬP CƠ BẢN ⃗ ⃗ ⃗ 2 y − y ¿ a xi  y j A dạng 1) Biểu −→ diễn vectơ aB dưới 2 ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ 2) | ABa | = x B − x A ¿ +¿ với A(xA ; yA) , B(xB ; yaB) a a a) =(1;1) ¿ c) =(0;2) d) =(0;0) ⃗ b) =(5;0) √¿ u 2) Xác định tọa độ vectơ , biết: 3) Cho hai điểm A=(xA ; yA),B=(xB ; yB) . Nếu điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k 1 thì 1⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ M(xM ; yM) có toạ độ là: j j u =2 iy+ −3 ky a) u =3xi A4 b) c) u = 3 i d) u = j − kx B A B ⃗ xM= yM = ; (nếu k= 1 thì M là trung điểm AB) 1−của k vectơ c , biết: 1− k 3) Xác định tọa độ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ 4) Ba điểm A(x A ;byA) , B(x B ; yB),bC(xC ; yC) thẳng hàng c a a c a) = +3 ; với (2;1), (3;4). Tính độ dài của ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ xC  x A yC  y A xCb  x A a yC  ybA c a  b) =2 5 ; với (1;2), (2;3)   ⃗ x  x  ⃗y  y ⃗ x  x yB  y A AC / / AB B A B A c B A Đáp án: a)  không thẳng hàng khi c =(11;11), | |=11 2  ba điểm A,b)B,cC=(8;19) → → → 4) Cho a =(2;4); b =(-3;1); c =(5;-2). Tìm vectơ: →. √ x2 +⃗y 2. →. →. →. →. →. →. a) m=2 a +3 b − 5 c b) n =24 a +14 c .  ⃗ m n Đáp án: a) = (30;21) b) =(upload.123doc.net;68) 5) Cho hai điểm A(1;1), B(1;3)   , BA . a) Xác định tọa độ các vectơ AB  b) Tìm tọa độ điểm M sao cho ⃗BM (3;0) . c) Tìm tọa độ điểm N sao cho NA (1;1) . Đáp án: a) AB (2; 2), BA ( 2;  2) b) M(4;3) ⃗ ⃗ c) N(2;0)⃗ ⃗ 6) Cho vuông ABCD có cạnh là a=5. Chọn hệ trục tọa độ (A; i, j ), trong đó i và AD cùng hướng, ⃗ hình ⃗ j và AB cùng hướng. Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông, giao điểm I của hai đường chéo, trung điển N của BC và trung điểm M của CD. Đáp án: A(0;0), B(0;5), C(5;5), D(5;0). 5 5 5 5 I ( ; ), N ( ;5), M (5; ) 2 2 2 2 . 0. BAD 60 . Chọn 7) Cho hình bình hành ABCD có AD= 4 và chiều cao ứng với cạnh AD bằng 3, góc ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗ i , j hệ trục tọa độ (A; ), trong đó i và AD cùng hướng. Tìm tọa độ các véctơ AB, BC , CD, AC . Đáp án: Kẻ BHAD, ta có 0  BH=3 AB=2 3 (vì HAB vuông và BAD 60 ). 3 3 3 ;0), D=(4;0)  ⃗ AH= . ⃗Do đó;A(0;0), ⃗ B( ;3), C(4+ ⃗. AB ( 3;3), BC (4;0), CD ( 3;  3), AC (4  3;3). 8) Cho tam giác ABC. Các điểm M(1;0), N(2;2) và P(1;3) lần lượt là trung điểm các cạnh BC, CA và AB. Tìm tọa độ các đỉnh tam giác. Đáp án: A(0;5), B(2;1), C(4;1) 9) Cho hình bình hành ABCD có A(1;3), B(2;4), C(0;1). Tìm tọa độ đỉnh D. Đáp án: D(3;0) 10) Cho hai điểm A(1;3);B(13;8) ⃗ a) Xác định tọa độ của AB .Tính AB.. -23-. WWW.ToanCapBa.Net.

<span class='text_page_counter'>(24)</span> WWW.ToanCapBa.Net b) Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn AB. c) Tìm tọa độ điểm C biết rằng A là trung điểm BC. d) A’ là điểm  đối xứng của A qua B. Tìm tọa độ A’.. Đáp án: a) AB =(12;5) b) I(7;11/2) c) 11) Cho A(-3;6); B(1;-2); C(6;3). a) Tìm tọa độ trọng tâm G. b) Tính chu vi tam giác ABC. Đáp án: a) b) 12) Cho tam giác ABC có trọng tâm G, M là trung điểm BC. Với A(1;-1); B(4;2); C(1;5). Tính tọa độ các véc tơ AG, GM , AM . Tính chu vi tam giác ABC.. . . Đáp án: AG . . , GM . , AM . 13) Cho A(1;3); B(0;2) ; C(4;5) . Xác định tọa độ ba điểm E,F biết rằng:. .    b) AF  2 BF  4CF 0 .. a) CE 3 AB  4 AC Đáp án:. −→. −− →. 14) Cho A(2;t2); B(t;-4); C(2t;4t); D(t2;-1). Xác định t để AB = CD . Đáp án: t=1 15) Cho biết các véctơ sau cùng phương hay không cùng phương . . . . . c) a = (-1;4) và b = (3;7) 16) Tìm ⃗ x để các⃗ cặp véctơ sau cùng phương ⃗ b a) a  =(2;3), ⃗=(4;x). . . d) a = (-1;-3) và b =(1;2). ⃗. b) u⃗ =(0;5), v =(x;7) ⃗ d) a =( t+1;2) b =(3;4-t).. c) m =(2;3), n =(1;x). Đáp án:. . b) a =( 2 = -1) và b = (-2; 2 ).. a) a = (1;2) và b = (3;6). a) x= 6. c) x=  3. b) x= 0. . . d) t=1; t=2. . 17) Biểu diễn véctơ c theo hai véctơ a và b . . a) c = (4;7) ; a = (2;1) . . b) c = (1;3) ; a = (1;1) . . c) c = (0;5) ; a = (4;3). . ; b = (-3;4) . ; b = (2;3) . ; b = (2;1).. c1 ma1  nb1 c ma  nb 2 2 HD: Tìm các số m, n sao cho c = m a + n b giải hệ  2 ⃗ ⃗  ⃗ 3 ⃗ 4 ⃗ ⃗  c a b c 5 a 5 b c Đáp án: a) = +2 b) =  c) = a 2 b    AD 18) Cho bốn⃗điểm A(1;1), theo AB , AC . ⃗  B(2;1), C(4;3) và D(16;3). Hãy biểu diễn Đáp án: AD =3 AB +4 AC . . . 19) Cho ⃗ba điểm ⃗ A(1;1), B(1;3), C(2;0). Chứng minh 3 điểm A, B, C thẳng hàng. HD: AB  2 AC 20) Cho A(3;4), B(2;5). Tìm x để điểm ⃗ ⃗C(7;x) thuộc đường thẳng AB.. Đáp án: A, B, C thẳng hàng AC / / AB x=14 21) Cho bốn điểm A(0;1), B(1;3), C(2;7), D(0;3). Chứng minh đường thẳng AB//CD. -24-. WWW.ToanCapBa.Net.

<span class='text_page_counter'>(25)</span> WWW.ToanCapBa.Net ⃗ ⃗ Đáp án: ta có CD  2 AB  AB và CD song song hoặc trùng nhau ⃗ ⃗ 2 6 AC (2;6), AB (1; 2)   1 2 Ta ⃗ ⃗  AC không cùng phương AB  C không thuộc AB  CD//AB 22) Cho tam giác ABC có A(1;1), B(5;3) đỉnh C trên Oy và trọng tâm G trên Ox. Tìm tọa độ đỉnh C. Đáp án: C(0;4) 23) Cho A(2;1), B(4;5). Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn AB và tọa độ diểm C sao cho tứ giác OABC là hình bình hành, O là gốc tọa độ. Đáp án: I(1;3), C(2;6) 24) Cho ba điểm A(0;4), B(5;6), C(3;2) a) Chứng minh ba điểm A, B, C không thẳng hàng. b) Tìm tọa độ trọng tâm tam giác ⃗ ⃗ ABC. HD:. a) Cần chứng minh AB không cùng phương AC b) G(1;4) ⃗⃗. ⃗ ⃗ i , j 25) ⃗Cho tam ), trong đó O là trung điểm BC, i   OC , ⃗ giác ABC đều cạnh a. Chọn hệ tọa độ (O; j   OA . a) Tính tọa độ các đỉnh tam giác ABC. b) Tìm tọa độ trung điểm E của AC. c) Tìm tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Đáp án:. a). A(0;. a 3 a a ), B ( ;0), C ( ;0) 2 2 2. a a 3 E( ; ) 4 4 b). c) Tâm đường tròn ⃗ ⃗ngoại tiếp trùng với trọng tâm G.. ⃗ ⃗ i , j 26) ⃗ Cho lục ), trong đó O là tâm của lục giác đều, i   OD , ⃗ giác đều ABCDEF. Chọn hệ tọa độ (O; j   EC . Tính tọa độ các đỉnh lục giác đều biết độ dài cạnh lục giác là 6. Đáp án: A(6;0), D(6;0) 27) Cho A(-1; 2), B (3; ⃗-4), C(5; 0). Tìm ⃗ tọa độ điểm D nếu biết:  CD 0 BD a) AD ⃗ – 2⃗ + 3⃗ = ⃗ b) AD – 2 AB = 2 BD + BC c) ABCD hình bình hành d) ABCD hình thang có hai đáy là BC, AD với BC = 2AD 28) Cho hai điểm I(1; -3), J(-2; 4) chia đọan AB thành ba đọan bằng nhau AI = IJ = JB a) Tìm tọa độ của A, B b) Tìm tọa độ của điểm I’ đối xứng với I qua B ⃗ c) Tìm tọa ⃗ độ của C, D ⃗ biết ABCD hình bình hành tâm K(5, -6) 29) Cho a =(2; 1) ; b =( 3 ; 4) và ⃗c =(7;⃗ 2) ⃗ ⃗ a) Tìm tọa độ của vectơ u = 2 a - 3 b ⃗+ c⃗ ⃗ ⃗ ⃗ x + a =b - c b) Tìm tọa độ của vectơ x⃗thỏa ⃗ ⃗ c) Tìm các số m ; n thỏa c = m a + n b 30) Cho A(1; 1); B(3; 2); C(m+4; 2m+1). Tìm m để 3 điểm A, B, C thẳng hàng. 31) Cho A(2;-3), B(5;1), C(8;5). Chứng minh A, B, C thẳng hàng.. -25-. WWW.ToanCapBa.Net.

<span class='text_page_counter'>(26)</span> WWW.ToanCapBa.Net BÀI TẬP THÊM 1/ Trên trục x'Ox cho 2 điểm A, B có tọa độ lần lượt là 2 và 5. . a/ Tìm tọa độ của AB . b/ Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB. ⃗   c/ Tìm tọa độ của điểm M sao cho 2 MA + 5 MB = 0 d/ Tìm tọa độ điểm N sao cho 2 NA + 3 NB = 1 2/ Trên trục x'Ox cho 3 điểm A, B, C có tọa độ lần lượt là a, b, c. a/ Tìm tọa độ trung điểm I của AB ⃗    b/ Tìm tọa độ điểm M sao cho MA + MB  MC = 0 . . . c/ Tìm tọa độ điểm N sao cho 2 NA  3 NB = NC 3/ Trên trục x'Ox cho 2 điểm A, B có tọa độ lần lượt là 3 và 1. a/ Tìm tọa độ điểm M sao cho 3 MA  2 MB = 1 c/ Tìm tọa độ điểm N sao cho NA + 3 NB = AB 4/ Trên trục x'Ox cho 4 điểm A(2) ; B(4) ; C(1) ; D(6) 1 1 2 a/ CMR : AC + AD = AB 2. b/ Gọi I là trung điểm AB. CMR : IC . ID IA c/ Gọi J là trung điểm CD. CMR : AC . AD AB. AJ TỌA ĐỘ TRÊN MẶT PHẲNG ⃗ ⃗ 1 ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ 5/ Viết tọa độ của các vectơ sau : a = i  3 j , b = 2 i + j ; ⃗ ⃗ 3 ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ j c = i + 2 ; d = 3 i ; e = 4 j . ⃗ ⃗ ⃗ u 6/ Viết dưới dạng = x i + y j , biết rằng : ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ u = (1; 3) ; u = (4; 1) ; u = (0; 1) ; u = (1, 0) ; u = (0, 0) ⃗ ⃗ a 7/ Trong mp Oxy cho = (1; 3) , b = (2, 0). Tìm tọa độ và độ dài của các vectơ : 1 ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ a/ u = 3 a  2 b b/ v = 2 a + b c/ w = 4 a  2 b 8/ Trong mp Oxy cho A(1; 2) , B(0; 4) , C(3; 2) . . . a/ Tìm tọa độ của các vectơ AB , AC , BC b/ Tìm tọa độ trung điểm I của AB . . . c/ Tìm tọa độ điểm M sao cho : CM = 2 AB  3 AC. ⃗    AN BN CN d/ Tìm tọa độ điểm N sao cho : +2 4 = 0 9/ Trong mp Oxy cho ABC có A(4; 3) , B(1; 2) , C(3; 2). a/ CMR : ABC cân. Tính chu vi ABC. b/ Tìm tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành. c/ Tìm tọa độ trọng tâm G của ABC. 10/ Trong mp Oxy cho ABC có A(0; 2) , B(6; 4) , C(1; 1). a/ CMR : ABC vuông. Tính diện tích ABC. b/ Gọi D(3; 1). CMR : 3 điểm B, C, D thẳng hàng. -26-. WWW.ToanCapBa.Net.

<span class='text_page_counter'>(27)</span> WWW.ToanCapBa.Net c/ Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành. 11/ Trong mp Oxy cho ABC có A(3; 6) , B(9; 10) , C(5; 4). a/ CMR : A, B, C không thẳng hàng. b/ Tìm tọa độ trọng tâm G của ABC. c/ Tìm tọa độ tâm I của đường tròn ngoại tiếp ABC và tính bán kính đường tròn đó. 12/ Trong mp Oxy cho A(3; 2) , B(4; 3). Hãy tìm trên trục hoành các điểm M sao cho ABM vuông tại M. 13/ Trong mp Oxy cho A(0; 1) , B(4; 5) a/ Hãy tìm trên trục hoành 1 điểm C sao cho ABC cân tại C. b/ Tính diện tích ABC. c/ Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành. 14/ Trong mp Oxy cho A(2; 3) , B(1; 1) , C(6; 0) a/ CMR : A, B, C không thẳng hàng. b/ Tìm tọa độ trọng tâm G của ABC. c/ CMR : ABC vuông cân. d/ Tính diện tích ABC.. BÀI TẬP ÔN TẬP CHƯƠNG I Bài 1:Bài tập SGK trang 35, 36, 37, 38 sách nâng cao Bài 2:Tam giác ABC là tam giác gì nếu nó thỏa mãn một trong các điều kiện sau ? a). AB  AC  AB  AC AB  AC. AB  CA. b) Vectơ vuông góc với vectơ Bài 2 :Tứ giác ABCD là hình gì nếu nó thỏa mãn một trong các điều kiện sau ? a). AC  BC DC. b). DB m DC  DA. Bài 3:Cho tam giác ABC , với mỗi số thực k ta xác định các điểm A’ , B’ sao cho. AA' k BC , BB' k CA . Tìm quĩ tích trọng tâm G’ của trung điểm A’B’C. Bài 4: Cho tứ giác ABCD . Các điểm M,, N, P và Q lần lượt là trung điểm AB, BC, CD và DA . Chứng minh hai tam giác ANP và CMQ có cùng trọng tâm Bài 5: :Cho tam giác ABC và một điểm M tùy ý , Chứng minh vectơ thuộc vào vị trí của điểm M. Hãy dựng điểm D sao cho. v MA  MB  2 MC không phụ. CD v. Bài 6: Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O, H là trực tâm tam giác , D là điểm đối xứng của A qua O. a) Chứng minh tứ giác HCDB là hình bình hành b) Chứng minh :. HA  HD 2 HO HA  HB  HC 2 HO OA  OB  OC OH -27-. WWW.ToanCapBa.Net.

<span class='text_page_counter'>(28)</span> WWW.ToanCapBa.Net c) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Chứng minh OH 3OG . Từ đó kết luận gì về 3 điểm G, H, O. Bài 7: Cho hai hình bình hành ABCD và AB’C’D’ có chung đỉnh A. Chứng minh : a). BB '  C ' C  DD' 0. b) Hai tam giác BC’D và B’CD’ có cùng trọng tâm. ÔN TẬP CHƯƠNG I THÊM 1/ Cho ABC với trung tuyến AM. Gọi I là trung điểm AM. ⃗    a/ CMR : 2 IA + IB + IC = 0 . . . . b/ Với 1 điểm O bất kỳ. CMR : 2 OA + OB + OC = 4 OI 2/ Cho hình bình hành ABCD tâm O. Gọi I là trung điểm BC và G là trọng tâm ABC. . . . . . a/ CMR : 2 AI = 2 AO + AB . . b/ CMR : 3 DG = DA + DB + DC . . . . . 3/ Cho ABC. Lấy trên cạnh BC điểm N sao cho BC = 3 BN . Tính AN theo AB và AC 4/ Cho hình bình hành ABCD tâm O. Gọi I và J là trung điểm của BC, CD. 1    a/ CMR : AI = 2 ( AD + 2 AB ) ⃗    b/ CMR : OA + OI + OJ = 0 ⃗    MC MA MB c/ Tìm điểm M thỏa :  + = 0 5/ Cho ABC và 1 điểm M tùy ý. . . . . . . . . . a/ Hãy xác định các điểm D, E, F sao cho MD = MC + AB , ME = MA + BC và MF = MB + CA . CMR các điểm D, E, F không phụ thuộc điểm M. . . . . . . b/ CMR : MA + MB + MC = MD + ME + MF. -28-. WWW.ToanCapBa.Net.

<span class='text_page_counter'>(29)</span> WWW.ToanCapBa.Net 7/ Cho ABC. Tìm tập hợp các điểm M thỏa điều kiện : . . a/ MA = MB. ⃗    MC MA MB b/ + + = 0 . . . . . . . . . . c/  MA + MB  =  MA  MB  . d/  MA + MB  =  MA  +  MB  . e/  MA + MB  =  MA + MC  . . 8/ Cho ABC có trọng tâm G. Gọi D và E là các điểm xác định bởi AD = 2 AB , 2   AE = 5 AC . . . . . a/ Tính AG , DE , DG theo AB và AC b/ CMR : D, E, G thẳng hàng. 2  9/ Cho ABC. Gọi D là điểm xác định bởi AD = 5 AC và M là trung điểm đoạn BD. . . . . a/ Tính AM theo AB và AC . IB AM b/ AM cắt BC tại I. Tính IC và AI 10/ Trên mp Oxy cho A(1; 3) , B(4; 2). a/ Tìm tọa độ điểm D nằm trên Ox và cách đều 2 điểm A và B b/ Tính chu vi và diện tích  OAB c/ Tìm tọa độ trong tâm  OAB. d/ Đường thẳng AB cắt Ox và Oy lần lượt tại M và N. Các điểm M và N chia đoạn thẳng AB theo các tỉ số nào ? e/ Phân giác trong của góc AOB cắt AB tại E. Tìm tọa độ điểm E. f/ Tìm tọa độ điểm C để tứ giác OABC là hình bình hành.. -29-. WWW.ToanCapBa.Net.

<span class='text_page_counter'>(30)</span> WWW.ToanCapBa.Net Chương II TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG §1: GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC BẤT KỲ. ( TỪ 00 đến 1800).  1/ Định nghĩa : Trên nửa dường tròn đơn vị lấy điểm M thỏa góc xOM =  và M(x0;y0). Khi đó ta định nghĩa: sin của góc  là y0; ký hiệu sin = y0 côsin của góc  là x0; ký hiệu cos = x0 y0 y0 tang của góc  là x0 ( x  0); ký hiệu tan  = x0 0. x0 x0 côtang của góc  là y0 ( y0  0); ký hiệu cot  = y0 * Dấu của các tỉ số lượng giác: 00≤ ≤900 900< <1800 sin + +  cos +  tan +  cot + * Chú ý: + tan chỉ xác định khi 900 + cot chỉ xác định khi 00 và  1800 2. Tính chất : Hai góc bù nhau (tổng hai góc bằng 1800) sin( 1800 ) = sin cos ( 1800) =  cos tan (1800) = tan (  900) cot ( 1800 ) =  Cot  ( 0 < < 1800) 3. Bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt Ví dụ 1: Tính giá trị lượng giác của góc a.45 0 b.1200 c. 1350. Giải: 2 2 0 a. Sin 45 = 2 , cos 45 = 2 , tan 450=1, cot 450 = 1 3 1 3 0 0 0 0 b. Sin 120 = 2 , cos 120 = - 2 , tan120 = - 3 , cot120 = - 3 c. Ví dụ 2: Tính giá trị biểu thức A = Cos 200 + cos 800+ cos 1000+ cos1600 0. Giải: A = Cos 200+ cos 800 + (-cos 800) + ( - cos 200). 4. Góc giữa hai vectơ.  . a b. A O B. -30-. WWW.ToanCapBa.Net. =0.

<span class='text_page_counter'>(31)</span> WWW.ToanCapBa.Net       ⃗  a b 0 OA a OB  Cho hai véctơ , đều . Từ điểm O tuỳ ý dựng = , = b . Góc 00≤ AOB ≤1800 được . . . . gọi là góc giữa hai véctơ a , b . . . . . Kí hiệu là: ( a , b ). . . . . Nếu ( a , b )= 900 thì ta nói a vuông góc b . Kí hiệu: a  b. -31-. WWW.ToanCapBa.Net.

<span class='text_page_counter'>(32)</span> WWW.ToanCapBa.Net * Chú ý: : . . . . . . . . + ( a , b )= ( b , a ) . . + ( a , b )= 00  a cùng hướng b . . + ( a , b )= 1800  a ngược hướng b . . . * Quy ước: Nếu ít nhất một trong hai véc tơ a và b là véctơ 0 thì ta có thể xem góc  bao nhiêu cũng được. Ví dụ (SGKTr39): Cho tam giác ABC vuông tại A và góc B= 500. 5. Sử dụng máy tính bỏ túi để tính giá trị lượng giác của một góc Xem SGK.Tr39+40. Các hệ thức cơ bản sin cos a) Nếu cos  0 thì cos cot  sin b) Nếu sin  0 thì 2 2 c) sin  + cos  = 1 d) tan  .cot  = 1 1 2 2 e) 1 + tan = cos  1 2 f) 1 + cot2  = sin  * Góc phụ nhau Sin(900-  ) = Cos  Cos(900-  ) = Sin  tan(900-  ) = Cot  cot(900-  ) = tan  . * Góc đối nhau sin(-  ) = - sin  cos(-  ) = cos  * Chú ý: sin2 = (sin)2 sin2 tan  . BÀI TẬP ÁP DỤNG 1/ Cho = 1350. Tính sin, cos, tan và cot. HD: sin1350 = sin(1800450)= sin450   2/ Cho tam giác cân ABC có B C =150. Hãy tính các giá trị lượng giác của góc A. 0    HD: vì A 180  ( B  C )  sinA= sin(1800300) 3/ Tính giá trị các biểu thức sau: A= asin0o + bcos 0o + c sin 90o ; B= acos90o + bsin 90o + c sin180o; C= a2 sin90o + b2cos 90o + c.cos18Oo; 4/Tính giá trị của biểu thức sau : A= 3  sin2 90o + 2cos2 90o  3tan245o; B= 4 a2 sin2 90o  3(a.tan245o )2+ 2a.cos45o. 5/ Tính giá trị các biểu thức sau: -32-. WWW.ToanCapBa.Net.

<span class='text_page_counter'>(33)</span> WWW.ToanCapBa.Net o. A= sinx + cosx khi x = 0 , 45o, 60o. B= 2sinx+ cos2x khi x = 60o, 45o, 30o. C= sin2 x + cos2x khi x = 30o, 45, 30o,60o,90o,145o. 1 6/ Biết cosx= 2 , tính P = 3sin 2x + 4cos2x. 1 7/ a) Cho góc nhọn  mà sin= 4 .Tính cos và tan. 1 b) Cho góc  mà cos=  3 . Tính sin, tan,và cot.. Kết quả:. c) Cho tanx= 2 2 . Tính cotx, sinx và cosx. 1  d) Cho cot = 2 . Tính tan, sin và cos. 8/ Chứng minh các hằng đẳng thức : a) ( sin + cos)2 = 1 + 2sin.cos b) ( sin  cos)2 = 1  2sin.cos c) sin4x  cos4x = 2sin2x 1 c) sin4x + cos4x = 1 - sin2x cos2x d) sinx.cosx( 1+ tanx )( 1 + cotx ) = 1+ 2sinx.cosx. 9/ Đơn giản các biểu thức: A = cosy + siny . tany; Đáp số: A=1/cosy B = 1  cos b . 1  cos b Đáp số: B= sinb (vì sinb>0) 00 a<900. sin a  tan a  | cos a |   tan a. 2 C = sina 1  tg a Đáp số: C= D= sin1000+sin800+cos160+cos1640 10/ Tính a) cos2120+cos278o+ cos210+cos278o Đáp số: a) 2; b= 2 2 o 2 o 2 o 2 o b) sin 3 +sin 15 + sin 75 + sin 87 . 11/ Đơn giản các biểu thức: A = sin( 90o  x ) cos( 180o x ) Đáp số: A=cos2x B = cos( 90o  x ) sin ( 180o x ) Đáp số: B= sin2x o Bài 7 : Biết rằng sin15 = Tính các tỉ số lượng giác của góc 15o.. 900 <a 1800. BÀI TẬP 1   Bài 1 : Tính các hàm số lượng giác (sin ,cos ,tg  ,cotg  ) của các góc sau a.  = -1500 b.  = 1350 c.  = -600 0 0 d.  = -45 e.  = -180 . Bài 2 : Tính giá trị biểu thức 1 A = 2sin6  -cos4  + 2 tg(  +450)+2cos6  , với  = 450 . Kq2 A = 0. 0. 0. 0. 7 3 Kq B = 2 1 Kq2 C = - 2. 0. 2. B = 3sin60 -2cos30 +3tg60 -4cotg90 C = 3-sin900 +2cos2600-3tg2450. ( sin 530  cos 530 ) cot g 34 0  sin 37 0 0 0 ( cot g 37  1 )tg 56 D= -33-. Kq2 D = 0. WWW.ToanCapBa.Net.

<span class='text_page_counter'>(34)</span> WWW.ToanCapBa.Net (tg126 0  cot g 36 0 ) cos 54 0 cos144 0 E=. Kq2 E = -2. 1 2 2 Bài 3 : Cho sin  = 3 với 00<  <900 .Tính cos  ,tg  ,cotg  . Kq2 cos  = 3 8 15  Bài 4 : Cho cos  = 17 với 900<  <1800 . Tính sin  ,tg  ,cotg  . Kq2 sin  = 17 1 Kq2 cos  = ( 3  1) 2 1 Bài 6 : Cho cotg  = 2 2 với 00 <  <900 . tính sin  ,cos  ,tg  . Kq2 sin  = 3 3 4  2 Bài 7 : Cho sin  = 5 . Tính cos  ,tg  ,cotg  . Kq cos  = 5 Bài 5 : cho tg  = 2  3 . Tính sin  ,cos  ,cotg  ;. 2 6 2 ( 3  1) 2 4 Bài 8 : Cho cos  = 4 . Tính sin  ,tg  ,cotg  . Kq sin  = 2 21  5 Bài 9 : Cho sin  = 5 với 900<  <1800 .Tính cos  ,tg  ,cotg  . Kq2 cos  = Bài 10 : Cho biết cot gα  tgα 2 1 a) sin  = 3 , tính A = cot gα  tgα Kq2 A = 9. cos   sin  b) tg  = -2 , tính B = cos   sin . 1 Kq2 B = 3 1 sin 2   5 cos 2  2 2 C = 2 sin   3 sin  cos  cos  Kq2 C = 7. c) tg  =3 , tính. . tg  cot g 2 d) cos  = 3 , tính D = tg  cot g. Kq2 D =. tg  2 cot g 4 2 3  cos  2 e) sin  = 2  1 và 00<  <900, tính E = Kq2 E = cos 2   sin  cos sin 2  f) cotg  = 5 , tính F = Bài 11 : Rút gọn các biểu thức sau A =(1+cos  )cotg2  (1-cos  ) B = cos2a +cos2acotg2a. Kq2 F = 20 Kq2 A = cos2  Kq2 B = cotg2a. 1  cos sin   1  cos C = sin  4. 4. 2. Kq2 C = 0 Kq D = 0. 2. 2. D = sin x + cos x + 2sin xcos x-1. tgx  tgy E = cot gx  cot gy. F = (sin  +cos  )2-1-2sin  cos  G = cos100 + cos200+ cos300+…+ cos1700 + cos1800. -34-. Kq2 E = tgxtgy Kq2 F = 0 Kq2 G = -1. WWW.ToanCapBa.Net.

<span class='text_page_counter'>(35)</span> WWW.ToanCapBa.Net. cos(900   )  cot g (  900 )  sin(1800   ) cot g (1800   ) 0 cot g (90   ). H= Kq2 H = -1 0 0 0 0 2 I = cos20 + cos40 +…+ cos160 + cos180 Kq I = -1 J = sin(900-  ) + sin(1800-  )-cos  +sin  Kq2 J = 2sin  0 0 0 K = 2sin  -3cos(90 -  )+tg90 -  )+2cotg(180 -  )+2sin  -3cotg  Kq2 K = sin  -4cotg  2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 L = sin 10 +sin 20 +sin 30 +…+sin 70 +sin 80 +sin2900 Kq2 L = 5 5 M = cos2150+cos2250 + cos2450 + cos2650+cos2750 Kq2 M = 2 Bài 12 : Chứng minh các đẳng thức lượng giác sau a) sin6  + cos6  = 1 - 3sin2  cos2 . 1  sin  cos  1  sin  b) cos. c) tg2  - sin2  = tg2  sin2 . d). tg 2  sin 2  tg 6 2 2 cot g   cos . e). 2  sin 2  cos2  1  sin 2  2 1  cos . 1 1  tg 2  cot g 2  2 sin 2  f) cos  1  cos x 1  cos x 2   1  cos x 1  cos x sin x g) (00 < x < 900). h). cos2 x  sin 2 x  sin 4 x cot g 4 x 2 2 4 sin x  cos x  cos x. l). sin x 1  cos x 2   1  cos x sin x sin x 1  sin 2 a 1  2tg 2a 1  sin 2 a cos a 1  tga  1  sin a cos a tga cot g 2a  1 . 1 2 cot ga 1  tg a. m). 1  cos  (1  cos )2  1 2 cot g 2  sin   sin  . i) j) k). 1 n). sin 2  cos2   sin  cos 1  cot g 1  tg -35-. WWW.ToanCapBa.Net.

<span class='text_page_counter'>(36)</span> WWW.ToanCapBa.Net tgx  sin x 1  cos x(1  cos x) sin 3 x o) sin x cos x 1  cot g 2 x   cos x  sin x cos x  sin x 1  cot g 2 x p) sin x  cos x 2 3 cos3 x q) 1+ tgx + tg x + tg x = 1 1  cos x cos x      r) cos x 2  1  sin x 1  sin x  s). sin 2 x(1  cot gx)  cos2 x(1  tgx)  sin x  cos x. cos 1 1  2 1  cos 1  cos = cotg  00<  <900 t) 1  cos 1  cos  2 cot g 1  cos 1  cos u) 00<  <900 1  sin  1  sin    2tg 1  sin  1  sin  v) 900<  <1800 w) sin3x(1+cotgx)+cos3x(1+tgx) = sinx+cosx. x). 1  4 sin 2 x. cos2 x 1  2 sin x.cos x (sin x  cos x)2 sin 2 x  cos2 x  cos 4 x tg 4 x cos 2 x  sin 2 x  sin 4 x. y) Bài 13 : Chứng minh rằng các biểu thức sau không phụ thuộc (độc lập với x ) A = cos6x+2sin6x+sin4xcos2x+4sin2xcos2x-sin2x. 1 2.  sin 2 (1800  x)  cos(900  x)  sin x  tg 2(900  x)  1 . B = 1  tg x C = sin(900-x)+cos(1800-x)+sin2x+sin2xtg2x-tg2(1800-x). 1 sin 2 x. sin 3x  cos 3x sin 3x  cos 3x  sin x  cos x D = sin x  cos x BÀI TẬP 2 Bài 1: Tính giá trị biểu thức: a. A=( 2sin 300 + cos 135 0 – 3 tan 1500)( cos 1800 -cot 600) b. B= sin2900 + cos 21200- cos200- tan2600+ cot21350 Bài 2: Đơn gian các biểu thức: a) A= Sin 1000 + sin 800+ cos 160 + cos 1640 b) B= 2 Sin (1800- ) cot - cos(1800- ) tan  cot(1800- ) . (Với 00< <900) Bài 3 : a) Chứng minh rằng sin2x +cos2x = 1 ( 00  x  1800) 3 b)Tính sinx khi cosx = 5 -36-. WWW.ToanCapBa.Net.

<span class='text_page_counter'>(37)</span> WWW.ToanCapBa.Net 2 c) Tính sinx.cosx nếu sinx – cosx = 3 1 2. d) Chứng minh rằng 1 + tan2 x = cos x ( Với x  900 ) 1 2. e) Chứng minh rằng 1 + cot2 x = sin x ( Với 00 < x < 18000 ) Bài 4 : Tính giá trị biểu thức: A = cos 00 + cos100 + cos200 + . . . . . . + cos 1700 B= cos21200 - sin21500 +2 tan1350 Bài 5: Cho tam giác ABC , Chứng minh rằng a) sin(A + B)sin(B + C)sin(C + A) = sinAsinBsinC b) cos(A + C) + cos B = 0 c) tan( A – C) + tan( B + 2C) = 0 Bài 6: Cho tam giác đều ABC có trọng tâm ⃗ góc giữa ⃗ ⃗ G . Tính. . . a) AB ⃗ và AC ⃗ GB GC d) và. 7/ Cho ABC. Chứng minh rằng : a/ sinA = sin(B + C) AB C c/ sin 2 = cos 2. AB và BC b) ⃗ ⃗ GA AC c) và. c) AG và BC. b/ cosA = cos(B + C) A BC d/ sin 2 = cos 2. AB C 2 e/ sin = cosC. -37-. ⃗. WWW.ToanCapBa.Net.

<span class='text_page_counter'>(38)</span> WWW.ToanCapBa.Net. §2 TÍCH VÔ HƯỚNG 2 VÉCTƠ 1/ Định nghĩa: Tích vô hướng của hai véctơ a và b là một số, kí hiệu là a . b , được xác định bởi: a.b = a b cos(a, b). ⃗. ⃗. Bình phương vô hướng a 2 =  a 2 . . . . . . . * Chú ý: + a . b = | a |.| b |  a cùng hướng b . . . . . . + a . b = - | a |.| b |  a ngược hướng b 2/ Các tính chất: Cho  a b c ;  k R + a .b = b .a ( Tính giao hoán) + a . b = 0 <=> a  b + (k a ) b = k ( a b ) + a ( b  c ) = a b  a c (Tính chất phân phối đối với phép cộng và trừ ) → → → → → → + ( a ± b )2= | a |2 ± 2 a b + | b |2 → → → → → → + ( a + b )( a - b ) = | a |2 - | b |2 3/ Công thức hình chiếu . . . . Tích vô hướng của hai véctơ a và b bằng tích vố hướng của véctơ a với hình chiếu b' của véctơ b . trên đường thẳng chứa véctơ a . . . . a . b = a . b' 4/ Biểu thức toạ độ của tích vô hướng →. →. Cho a = (x, y) , b = (x', y') ; M(xM, yM), N(xN, yN); ta có →. →. a . b = x.x' + y.y' →. x2 + y2. |a | =. xx'+ yy ' →. →. 2. x + y 2 . x '2 + y '2. Cos ( a , b ) = →. →. a  b  xx' + yy' = 0 →. ( xM _ x N ) 2 + ( y M _ y N ) 2 MN = | MN | = 5/ Phương tích của một điểm đối với một đường tròn Cho đường tròn (O,R) và một điểm M cố định, Một đường thẳng  thay đổi, luôn đi qua điểm M cắt đường tròn (O,R) tại A, B. Phương tích của điểm M, đối với đường tròn (O,R): kí hiệu: P M/(O).   P M/(O) = MO – R = MA.MB 2. 2. Nếu M ở ngoài đường tròn (O,R), MT là tiếp tuyến thì * Bất đẳng thức vectơ →. →. | a . b |. |. →. P M/(O) = MT. →. a |.| b | -38-. WWW.ToanCapBa.Net. 2.

<span class='text_page_counter'>(39)</span> WWW.ToanCapBa.Net →. →. | a + b |. |. →. →. a |+| b |. →. →. Ví dụ 1: Cho a = (1, 2), b = (-1, m) →. →. a) Tìm m để a , b vuông góc →. →. →. →. b) Tính độ dài a , b ; tìm m để | a | = | b |. Giải 1 a) a  b  -1 + 2m = 0 m = 2 →. →. →. b) | a | →. = 1+ 4 = 5. |b |. 2 = 1+ m. →. →. |a | = |b |. . 5 = 1 + m2  m = ± 2. Ví dụ2: cho  đều ABC cạnh a và trọng tâm G; tính AB . AC ; AC . CB ; AG . AB ; GB . GC ; BG . G A ; GA . BC. Giải. 1 AB . AC = a.a cos 600 = 2 a2 1 AC . CB = a.a cos 1200 = - 2 a2 a 3 1 a cos 30 0 = a 2 AG . AB = 3 2 a 3a 3 a2 cos 120 0 = GB GC = 3 3 6 a 3a 3 a2 0 cos 60 = BG G A = 3 3 6. GA BC =0 vì GA  BC Ví dụ 3: Trong Mp(Oxy) cho 2 điểm M(-2;2),N(4,1) a)Tìm trên trục ox điểm P cách đều 2 điểm M,N  b)Tính cos của góc MON. Giải a) p  ox => P( xp,0) MP = NP <=> MP2 = NP2 <=> (xp +2)2 + 22 = ( xp -2)2 + 12 3 Vậy P ( 4 ,0) b) OM = (-2,2), ON = (4,1). - 2.4 + 2.1 3 Cos MON = cos( OM , ON )= 8. 17 = 34 -39-. WWW.ToanCapBa.Net.

<span class='text_page_counter'>(40)</span> WWW.ToanCapBa.Net BÀI TẬP 1/ Cho ABC vuông tại A có AB = 3a, AC = 4a. . . . . . . . . Tính AB . AC , CA . AB , CB . CA , AB . BC 2/ Cho ABC có AB = 5, BC = 7, AC = 8 . . a/ Tính AB AC rồi suy ra góc A . . b/ Tính CA . CB . . . . c/ Gọi D là điểm trên cạnh CA sao cho CD = 3. Tính CD . CB , AD . AB 3/ Cho hình vuông ABCD cạnh a. . . . . a/ Tính AB . AC b/ Tính AB . BD . . . . c/ Tính ( AB + AD )( BD + BC ) . . . . d/ Tính ( AC  AB )(2 AD  AB ) 4/ Cho ABC đều có cạnh bằng a và I là trung điểm BC. Tính các tích : . . . . . . . . AB . AI , AC . BC , AI . BC , AI . CA 5/ Cho ABC biết AB = 2; AC = 3 và Â = 120o . . a/ Tính AB . AC b/ Tính BC c/ Tính độ dài trung tuyến AM. ⃗   d/ Gọi I, J là 2 điểm xác định bởi 2 IA  IB = 0 ; ⃗   JB  2 JC = 0 . Tính IJ 6/ Trong mp Oxy cho A(1; 5), B(1; 1), C(3; 4) a/ CMR ABC vuông tại A . . . . b/ Tính BA . BC c/ Tính cosB 7/ Trong mp Oxy cho A(3; 1), B(1; 3), C(3; 5) a/ CMR ABC vuông. b/ Tính AB . AC c/ Tính cosA ⃗ ⃗ a 8/ Cho = (4; 3) , b = (1; 7) ⃗ ⃗ a/ Tính a . b ⃗ ⃗ b/ Tính góc giữa 2 vectơ a và b 9/ Cho ABC có AB = 2 ; BC= 4 ; AC = 3  .  . a) Tính AB . AC vâ suy ra cosA ?  . . b) Gọi G là trọng tâm . Tính AG . BC ? -40-. WWW.ToanCapBa.Net.

<span class='text_page_counter'>(41)</span> WWW.ToanCapBa.Net 3 1 ĐS: a) - 2 ; - 4. 5 b) 3. 10/ Cho ABC có AB = 2 ; AC = 3 ; A = 120o  .  . a) Tính AB . AC và suy ra độ dài BC ? b) Tính độ dài trung tuyến AM ? ĐS: a) BC = 19 b) 7 /2 11/ Cho ABC có AC 2 ; BC= 4 ; AB= 3 ; có AD là phân giác trong  .  .  . a) Tính AD theo AB ; AC. b) Tính AD ?. 3 2   3 3   ĐS: a) AD = 5 AB + 5 AC ; - 2 b) 5  . 6. -41-. WWW.ToanCapBa.Net.

<span class='text_page_counter'>(42)</span> WWW.ToanCapBa.Net C. BÀI TẬP:. A. Trắc nghiệm : Câu 1: Cho tam giác ABC vuông  tại⃗ A, AB = a ; BC = 2a * Tính tích vô hướng CA . CB. 1 a) a2. 2 b) ⃗ 3a ⃗. c) a2 3. d) 2 a2. * Tính tích vô hướng BA . BC 1 b) a2 3. a) a2. d) 2 a2. c) - a2. ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ Câu 2: Cho a =(3; -1) và b =(-1; 2). Khi đó góc giữa a và b là a) 300 b) 450 c) 1350 d) 900 ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ Câu 3:Cho a =( 2 ; 5) và b = (3 ; -7). Khi đó góc giữa a và b là a) 450 b) 300 c) 1350 d) 1200. Câu 4: Cho A(m - 1; 2) , B(2;5-2m) C(m-3;4). Tìm giá trị của m để A ; B ; C thẳng hàng a) m = 2 b) m = 3 c) m = -2 d) m = 1 Câu 5: Cho tam giác ABC với A ( 3; -1) ; B(-4;2) ; C(4; 3). Tìm D để ABDC là hbh a) D( 3;6) b) D(-3;6) c) D( 3;-6) d) D(-3;-6) Câu 6: Cho tam giác ABC với A ( -2; 8) ; B(-6;1) ; C(0; 4). Tam giác ABC là tam giác gì a) Cân b)Vuông cân c) Vuông d)Đều   Câu 7: Cho AB =(2x - 5 ; 2) ; AC =(3 – x; -2). Định x để A , B , C thẳng hàng a) x = 2 b) x = -2 c) x = 1 d) x = -1 Câu 8: Cho tam giác đều ABC có trọng tâm G. Phát biểu nào đúng a) AB = AC. 2 b) AG = 3 AC. c) AG . AB = AG AC. d) GA 2 + GB 2 + GC 2 = 0 2. Câu 9:Cho (O,5), điểm I ở ngoài (O), vẽ cát tuyến IAB với IA = 9, IB = 16 a) IO= 13 b) IO= 12 c) IO= 10. d) IO= 15. C âu 10: Cho A( 1;4) ;B(3 ; -6) ; C(5;4). Tìm tọa độ tâm I đường trịn ngoại tiếp ABC: 3 a) I(2;5) b) I( 2 ; 2) c)I(9; 10) d)I(3;4) Câu 11:Đường tròn qua 3 điểm A(1;2) ; B(5;2) C(1 ; -3) có tâm I là : a) I( 2; 1) b) I( -2; 1) c) I( 3; -0.5) Câu 12: Phát biểu nào là sai a) Nếu AB = AC thì | AB | =| AC | c) AB . AC = BA . CA. d) I( 2; -0.5). b) Nếu a b = a . c thì b = c d) AB - CD = DC - BA -42-. WWW.ToanCapBa.Net.

<span class='text_page_counter'>(43)</span> WWW.ToanCapBa.Net Câu 13: Cho tam giác đều ABC cạnh a, trọng tâm là G. Phát biểu nào là đúng a) AB = AC b) | AB + AC | = 2a c) AB . AC = a2 d) AG . BC = 0 Câu 14: Cho hình vuông ABCD cạnh a .Kết quả nào đúng a) AB . AC = a2 b) AB . AD = a2 c) AC . BD = 2a2. d) AB . CD = 0. Câu 15:Cho (O,30), điểm I ở ngoài (O), vẽ cát tuyến IAB với IA = 54, IB = 96 a) IO= 69 b) IO= 78 c) IO=84 d) IO=81 Câu 16:Chỉ ra công thức đúng 2. a) a = a. 2. 2. b) a =  | a |. 2. c) a =  a. d ) a = |a |. Câu 17 : Cho tam giác đều ABC cạnh a.Tích vô hướng AB . BC nhận kết quả nào a) a2. 3 2. a. 2. b) - 2. a. 2. c) 2. d). a2. Câu 18:Cho AB . CD = AB. CD thì phát biểu nào sau đây là đúng: a) AB ngược hướng CD b) A, B, C, D thằng hàng c) AB cùng hướng CD. d) AB = CD. Câu19: Cho A(2;3) ; B(9;4) ; C(5;m) Tam giác ABC vuông tại C thì giá trị của m là : a) m = 1 hay m = 6 b) m = 0 hay m = 7 c) m = 0 hay m = -7 d) m = 1 hay m = 7 ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ Câu 20: Cho a =(m2 -2m+2 ; 3m-5), b =(2;1) . Tìm giá trị của m để a  b 1 1 a) m = 1 b)m = - 2 c)m = 1 hoặc m = - 2 d) Cả a ; b ; c đều đúng ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ a b a Câu 21: Cho =(4;3) và =(1;7). Khi đó góc giữa 2 vec tơ ( , b ) là : a) 300 b) 450 c) 600. Câu 22: Cho tam giác đều ABC cạnh a có G là trọng tâm: *. Phương tích của G với đường tròn đường kính BC. a2 a) - 6. a2 c) - 3. a2 b) 4. a2 d) - 2. *. Phương tích của A với đường tròn đường kính BC. a2 a) 2. a2 b) 4. 3a 2 d) 4. c) a2. Câu 23: Cho hình vuông ABCD tâm O cạnh a: *. Phương tích của A với đường tròn đường kính CD a) a. b)a2. c)2a2. a d) 2 -43-. WWW.ToanCapBa.Net. d) Kết quả khác.

<span class='text_page_counter'>(44)</span> WWW.ToanCapBa.Net *. Phương tích của A với đường tròn tâm C có bán kính = a. a2 a) 2 B.Tư luận. a2 b) 4. c) a2. d) 2a2. Bài 1: Cho tam giác ABC với A ( 1; 1) ; B(2;3) ; C(5; -1). a) Chứng minh rằng tam giác vuông b) Xác định tâm đương tròn ngoại tiếp c) Tính diện tích tam giác và diện tích đường tròn ngoại tiếp tam giác Bài 2: Cho A (-1 ; -1) và B (5; 6) a) Tìm M  x’Ox để tam giác ABM cân tại M b) Tìm N  y’Oy để tam giác ABN vuông tại N c) Xác định H,K để ABHK là⃗hình bình ⃗ ⃗ hành nhận J(1;4) làm tâm d) Xác định C thỏa 3 AC - 4 BC = 2 AB e) Tìm G sao cho O là trọng⃗ tâm⃗ tam⃗giác ABG f) Xác định I  x’Ox để | IA + IB + IN | đạt giá trị nhỏ nhất Bài 3: Cho A(-2;1) và B(4;5) a) Tìm M  x’Ox để tam giác ABM vuông tại M b) Tìm C để OACB là hình bình hành ⃗ 1 ⃗ a b 2 Bài 4: Cho⃗ =( ; -5) và ⃗ =( k ; -4). Tìm k để: b a) a⃗ cùng phương ⃗ b) a⃗ vuông⃗ góc b c) | a⃗| = | b | ⃗ Bài 5: Cho a =(-2; 3) ; b =( 4 ; 1) ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ j a b a a a b a b i a) Tính cosin góc hợp bởi ⃗ và⃗ ; và ; ⃗ và ⃗ ; + và b a b b) Tìm số sao cho m ⃗a +n ⃗ m và⃗n ⃗ ⃗ vuông góc + c) Tìm d biết a . d = 4 và b . d = -2 Bài 6: Cho tam giác ABC với A ( -4; 1) ; B(2;4) ; C(2; -2). a) Tam giác ABC là tam giác gì . Tính diện tích tam giác b) Gọi G , H , I là trọng tâm  , trực⃗ tâm và ⃗ tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác. Tính G, H , I và CMR GH +2 GI = 0 Bài 7: Cho tam giác ABC có A (-2 ; 2) , B(6 ; 6) , C(2 ; -2) a) Chứng minh rằng A ; B ; C không thẳng hàng b) Tìm tọa độ điểm D để ABCD là hình bình hành c) Tìm điểm M  trục x’Ox để tam giác ABM vuông tại B d) Tam giác ABC là tam giác gì ? e)Tìm tọa độ trực tâm H của tam giác ABC Bài 8: Cho  ABC có AB=7, AC=5, Â = 1200 a) Tính AB . AC , AB . BC b) Tính độ dài trung tuyến AM (M là trung điểm BC) Bài 9: Cho 4 điểm bất kỳ A,B,C.D: chứng minh rằng: DA BC + DB CA + DC AB =0 Từ đó suy ra một cách chứng minh định lý “3 đường cao của một tam giác đồng quy” Bài 10: Cho  ABC có 3 trung tuyến AD, BE,CF; CMR: -44-. WWW.ToanCapBa.Net.

<span class='text_page_counter'>(45)</span> WWW.ToanCapBa.Net BC AD + CA BE + AB CF =0 Bài 11 : Cho  ABC có AC= b, AB= c, góc BAC =  và AD là phân giác của góc BAC ( D thuộc cạnh BC) a) Hãy biểu thị AD qua AB , AC b) Tính độ dài đoạn AD 5) Cho 2 điểm M,N nằm trên đường tròn đường kính AB= 2 R, AM ∩ BN =I a) Chứng minh: AM AI = AB AI BN BI = BA BI b) Tính AM AI + BN BI theo R Bài 11: Cho đoạn AB cố định, AB= 2a, k  IR, Tìm tập hợp điểm M sao cho: a) MA MB = k b) MA2 - MB2 = k2 Bài 12: Từ điển M ở ngoài đt (0) vẽ các tuyến MAB với đt (0) (A,B  (0) ; 2 tiếp tuyến tại A,B của đường tròn (0) cắt nhau tại I, IO  AB tại D; đường thẳng qua I và vuông góc với MO tại H và lần lượt cắt AB tại C; cắt đường tròn (0) tại E, F Chứng minh : a. MA.MB = MC.MD b. OF2 = OH.OM c. IE.IF = IC.IH d. PM/(ICD) + PI/(MCH) = IM2 ( (ICD), (MCH) : đường tròn ngoại tiếp:  : ICD, MCH) Bài 13:. Cho hai đường thẳng AB và CD cắt nhau tại M chứng minh rằng 4 điểm A,B,C,D cùng thuộc một đường tròn khi và chỉ khi MA.MB = MC.MD → 1→ → → → → u = i- 5j v = k i 4 j 2 Bài 14:. Trong mặt phẳng toạ độ cho và Tìm các giá trị của k để : → →. →. u= v. →. a. u ⊥v. b.. →. →. Bài 15:. Cho a = (-2, 3), b = (4,1) a. Tim côsin của góc giữa mỗi cặp vectơ sau : →. →. →. →. →. →. →. →. * a và b , a và i , a + b và a - b →. →. →. b. Tìm các số k và l sao cho c = k a + l b. ⃗⃗ a.d 4 ⃗ ⃗ b.d  2 d c. Tìm vectơ biết . Bài 16:. Cho hai điểm A (-3,2) B(4,3) tìm toạ độ của a. Điểm M  ox sao cho  MAB vuông tại M b. Điểm N  oy sao cho NA = NB c. Điểm K  oy sao cho3 điểm A,K,B thẳng hàng d. Điểm C sao cho  ABC vuông cân tại C Bài 17:. Cho 3 điểm A (-1,1) B(3,1), C(2,4) a. Tính chu vi và diện tích  ABC -45-. →. →. Vuông góc với a + b. WWW.ToanCapBa.Net.

<span class='text_page_counter'>(46)</span> WWW.ToanCapBa.Net b. Gọi A’ là hình chiếu vuông góc của A trên BC; tìm toạ độ A’ c. Tìm toạ độ trực tâm H, trọng tâm G, và tâm I đường tròn ngoại tiếp  ABC; từ đó chứng minh 3 điểm I,H,G thẳng hàng. Bài 18:. Cho 4 điểm A (-8,0) B(0,4), C(2,0) D (-3,-5) chứng minh 4 điểm A,B,C,D cùng thuộc một đường tròn Bài 19:. Biết A(1,-1), B (3,0) là hai đỉnh của hình vuông ABCD; tìm toạ độ các đỉnh C và D. Bài 20: Cho M cố định ngoài dường tròn (O,R) ,vẽ cát tuyến MAB và 2 tiếp tuyến CT và CT’. Gọi D là giao điểm của TT’ và AB. H và I lần lượt là trung điểm của của TT’ và AB a) CMR : MA . MB = MO MH = MI MD b) Cho AB = 8 cm. Gọi (C1) là đường tròn tâm A, bán kính = 4 cm, (C2) là đường tròn tâm B, bán kính = 3cm. Tìm tập hợp N thoả P N/(C1) + P N/(C2) = 15 Bài 21: Cho (O;7), điểm I thỏa OI =11. Qua I vẽ 2 cát tuyến IAB và ICD Cho IA = 12, tính IB Cho CD = 1; tính IC ; ID Bài 22: Điểm I nằm trong (O;R), qua I vẽ 2 dây AB và CD. Tính IC ; ID a) IA = 12 ; IB = 16 ; CD = 32 IC 3  b) IA =12 ; IB = 18 ; ID 8 Bài 23: Cho (O;20) OM = 30, vẽ tiếp tuyến MT và cát tuyến MAB . Cho AB = 5 a) Tính MT ; MA ; MB b) Đường tròn ngoại tiếp AOB cắt MO tại E. Tính OE Bài 24: Cho (O;30); I ở ngoài đường tròn , vẽ 2 cát tuyến IAB và ICD ; tiếp tuyến IT. Đường thẳng IO cắt đường tròn tại E và F . Cho IA = 54 ; IB = 96; IC = 64. Tính ID ; IT ; IO ; IE ; IF Bài 25: Cho tam giác ABC có 3 đường cao AA’ ; BB’ ; CC’ đồng quy tại H CMR : HA. HA ' = HB . HB ' = HC . HC ' Bài 26:Hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. M là 1 điểm trên cạnh AB kéo dài. Qua M lần lượt vẽ 2 tiếp tuyến MT, MT’, 2 cát tuyến MCD, MC’D’ đối với (O) và (O’) CMR MT = MT’ và CDD’C’ nội tiếp Bài 27: Cho tam giác ABC vuông tại A và đường cao AH. Trên đường tròn tâm C, bán kính CA lấy điểm M ( không ở trên đường BC kéo dài). CMR đường thẳng CM tiếp xúc với (BHM) Bài 28: tam giác ABC nội tiếp trong (O), M là trung điểm BC. Đường tròn ngoại tiếp tam giác AOM cắt đường thẳng BC tại 1 điểm thứ 2 là E và cắt (O) tại D. AD cắt BC tại F.Chứng minh rằng: a) FB. FC = FE . FM b) EB. EC = EF . EM c) EA tiếp xúc với (O) và đường tròn ngoại tiếp tam giác AMF Bài 29: Cho P nằm ngoài (O), vẽ cát tuyến PAB lưu động,tiếp tuyến với (O) vẽ từ A và B cắt nhau M. Vẽ MH vuông góc với OP. a) CMR : 5 điểm O , A , B, M , H ở trên 1 đường tròn b) Tìm tập hợp M khi PAB quay quanh P c)Gọi I là trung điểm AB, N là giao điểm của PAB và MH . CMR PA. PB = PI . PN Bài 30: Cho đường tròn tâm O đường kính AB=2R. Trên đường thẳng AB lấy 1 điểm M ở ngoài (O) sao 3R cho MA = 2 . Từ M vẽ tiếp tuyến MT a) Tính MT theo R b) Gọi TH là đường cao trong TMO. Chứng minh rằng : MH .MO = MA.MB c) Tính H/(O) d)Vẽ cát tuyến MCD, CMR tứ giác CDOH nội tiếp -46-. WWW.ToanCapBa.Net.

<span class='text_page_counter'>(47)</span> WWW.ToanCapBa.Net e) AD và BC cắt nhau tại N. CMR : AN . AD + BN .BC = 4R2 Bài 31: Trên đoạn AB = 8, vẽ (A,4) và (B,3). Tìm tập hợp M thỏa M/(A) +M/(B) = 15 Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB . M, N là 2 điểm cùng phía trên tiếp tuyến kẻ từ B. AM và AN cắt (O) tại M1 và N1. a) CMR tứ giác MNN1M1 nội tiếp b) Giả sử AB = BN = 10; BM = 5. Tính AM ; AM1 ; AN1 ; sin M1AN1, M1N1 Bài 32: M là 1 diểm trên nửa đường tròn đường kính AB . H là hình chiếu của M xuống AB . Đường tròn đườg kính MH cắt MA ; MB tại P,Q và cắt nửa đường tròn tại E a) CMR tứ giác APQB nội tiếp b) CMR 3 đường AB ; PQ ; ME đồng quy Bài 33: Cho 3 điểm A ; B ; C thẳng hàng theo thứ tự. AB = 5 ; BC = 7. Đường tròn di động qua A , B có tâm là O. Vẽ 2 tiếp tuyến CT ; CT’. Gọi D là giao điểm TT’ với AB. Gọi H; I lần lượt là trung điểm của đọan TT’, AB a) Tìm tập hợp T; T’ b) CMR : CA.CB = CO.CH = CI .CD c) CMR : Điểm D cố định. Suy ra tập hợp H Bài 34 : Cho đường tròn tâm O đường kính BC = 4; A ngoài (O), AB = 6 ; AC = 5. AC , AB cắt (O) tại D và E a) Tính AO , AE , AD b) Qua A vẽ AH BC và cắt (O) tại F ; K. Lấy M  (O). Gọi BMAH = I ; CMAH = J Chứng minh rằng IF . IK = IH . IJ Bài 35: Cho 2 đường tròn (O;10) ; (O’;20) tiếp xúc ngoài tại A. Tiếp tuyến chung BB’ cắt OO’ tại I và cắt tiếp tuyến chung qua A tại M a) Tính IO ; IO’ ; IB ; IB’ b) CMR: IA2 = IB.IB’. Suy ra OO’ tiếp xúc đường tròn đường kính BB’ c) CMR : IM2 = IO.IO’. Suy ra BB’ tiếp xúc đường tròn đường kính OO’. -47-. WWW.ToanCapBa.Net.

<span class='text_page_counter'>(48)</span> WWW.ToanCapBa.Net. §3. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC. A H3. H2. b. c B. a. M 1H 1. C. 1. Các kí hiệu trong tam giác BC = a; AC = b; AB = c ha = AH1; hb = BH2; hc = CH3 ma = AM1; mb = BM2; mc= CM3 R : bán kính đường trón ngoại tiếp tam giác. r : bán kính đường tròn nội tiếp tam giác a b c 2 p= nửa chu vi. * Các góc ở đỉnh A,B,C được kí hiệu là A, B, C. * ma là đường trung tuyến nối từ đỉnh A. 2. Định lý cosin trong tam giác Với mọi tam giác ABC ta có: a2 = b2+ c2 - 2bcCosA ; b2 = a2 + c2 - 2acCosB ;. c2 = a2 + b2 - 2abCosC. 3 Ví dụ: Cho tam giác ABC có b= 2 3 , c = 5 và cosA= 5 . Tính cạnh còn lại. 3. Định lý sin trong tam giác Trong tam giác ABC ta có: a=2RsinA; b= 2RsinB;c= 2RsinC a b c   2 R hay SinA SinB SinC Ví dụ: Tìm R biết A = 600; b=8cm; c = 5 cm. 4. Định lý trung tuyến b2  c2 a2 a2  c2 b2 a2  b2 c2 ma2   mb2   mc2   2 4 2 4 2 4 5. Các công thức tính diện tích Cho tam giác ABC thì diện tích S  được tính theo một trong các công thức sau: 1 1 1 aha bhb  chc 2 . SABC = 2 =2 1 1 1 ab sin C  ac sin B bc sin A 2 . SABC = 2 = 2 abc . SABC = 4 R . SABC = pr p ( p  a )( p  b)( p  c) . SABC = VÍ DỤ : Cho  ABC có a = 7, b = 8, c = 5; tính : Â, S, ha, R, r, ma Giải :  a2 = b2 + c2 - 2bc cosA  49 = 64 + 25 - 2.8.5 cos   Cos A = ½   = 600 S 3 2S 20 3 abc 7 3 = 3 = 10 3 = = 7 ; R = 4S 3 ;r= p  S = ½ 8.5. 2 ; ha = a ; ma = -48-. WWW.ToanCapBa.Net. 129 2.

<span class='text_page_counter'>(49)</span> WWW.ToanCapBa.Net * Hệ thức lượng trong tam giác vuông Cho  ABC vuông tại A, đường cao AH Ta có các hệ thức sau: BC 2  AB 2  AC 2 ; AB 2  BH .BC ; AC 2 CH .CB AH 2  HB.HC ; AH .BC  AB. AC 1 1 1  2  2 AH AB AC 2 doi ke sin  ;cos  huyen huyen. A. B. -49-. WWW.ToanCapBa.Net. H. C.

<span class='text_page_counter'>(50)</span> WWW.ToanCapBa.Net BÀI TẬP HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC Bài 1 : Cho tam giác ABC vuông ở A, có đường cao AH. Tính AH; CH; BH; BC nếu biết AB = 3; AC = 4. Bài 2 : Cho hình thang ABCD với đường cao AB. Biết rằng AD = 3a; BC = 4a; góc BDC = 900. Tính AB; CD; AC. Bài 3 : Cho tam giác ABC vuông tại C, CD là đường cao, DA = 9; DB = 16. Tính CD ; AC ; BC. Bài 4 : Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = 3, AC = 4, AH là đường cao (H  BC). Gọi I là điểm thuộc AB sao cho AI = 2BI, CI cắt AH tại E. Tính CE .. AB 2  Bài 5 : Cho tam giác ABC vuông tại A , AC 3 . Đường cao AH = 6. Tính HB ; HC ; AB ; AC. Bài 6 : Cho tam giác ABC vuông tại A, AH là đường cao , BH = 1, AC = 2 5 . Tính AB ; BC ; AH. Bài 7 : Cho tam giác ABC. Tính ha , R , r nếu biết : a) AC = 8 ; AB = 5 ; góc A = 600. b) BC = 21 ; CA = 17 ; AB = 8 . c) BC = 2 ; AC = 3 ; AB = 4 . d) a = 6 ; b = 2 ; c = 3 + 1. e) a = 7 ; b = 5 ; c = 8 . f) a = 2 3 ; b = 2 2 ; c =. 6. 2 .. g) a = 4 17 ; b= 6 ; c = 8 . Bài 8 : Cho tam giác ABC có a = 5, b = 6, c = 3. Trên đoạn AB,BC lần lượt lấy các điểm M, K sao cho BM = 2, BK = 2. Tính MK.. 5 Bài 9 : Cho tam giác ABC có cosA = 9 ,D thuộc cạnh BC sao cho ABC = DAC, 16 DA = 6 , BD = 3 . Tính chu vi tam giác ABC. Bài 10 : Cho tam giác ABC biết a = 4, b = 3, c = 2 , M là trung điểm AB. Tính bán kính r của đường tròn ngoại tiếp tam giác BCM. Bài 11 : Tính góc A của tam giác ABC , biết rằng: b(b2-a2) = c(a2-c2). Bài 12 : Cho tam giác ABC có b = 4, c = 3 , S= 3 3 . Tính cạnh a. Bài 13 : Cho tam giác ABC có b = 6, c = 7 , C = 600. Tính cạnh a. Bài 14 : Cho tam giác ABC vuông ở B, kéo dài AC về phía C một đoạn CD=AB=1 góc CBD = 300 . Tính AC. Bài 15 : Cho tứ giác ABCD có ABC = ADC = 900, AB = a, AD = 3a, BAD = 600 Tính AC. Bài 16 : Cho tam giác ABC có A = 600, hc= 3 , R = 5. Tính a, b, c. Bài 17 : Cho tam giác ABC có B < 900, AQ và CP là hai đường cao và PQ= 2 2. dt (BPQ ) 1  dt (ABC ) 9 . Tính cosB và R của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . Bài 18 : Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = 3, AC = 4, M là trung điểm AC. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác BCM. Bài 19 : Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng 3 . Một điểm M nằm trên cạnh BC -50-. WWW.ToanCapBa.Net.

<span class='text_page_counter'>(51)</span> WWW.ToanCapBa.Net sao cho BM = 1 a) Tính độ dài đoạn thẳng AM và Cosin của góc AMB. b) Tính bk đường tròn ngoại ,nội tiếp tam giác ABM. c) Tính độ dài trung tuyến vẽ từ C của tam giác ACM. Bài 20 : Cho tam giác ABC với A=600 bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 7 / 3 và bán kính đường tròn nội tiếp bằng. 3 . Tính diện tích và chu vi tam giác.. 2 Bài 21 : Cho tam giác ABC, biết sinA = 3 ( 00 < A < 900 ), b = 3 , c = 4 5 . Tính bán kính đường tròn nội và ngoại tiếp tam giác. Bài 22 : Cho tam giác ABC cân có AB =AC =5a;BC = 5a. Gọi M là trung điểm BC, Gọi N AB và AN = a. a) Tính MN. b) Tính bán kính đường tròn nội ,ngoại tiếp tam giác AMN. Bài 23 : Cho tam giác ABC đều có cạnh 4a ,lấy D  BC ; E AC ; F AB sao cho BD = x ( 0 < x <4a ) , AE = a ; AF = 3a a) Tính EF. b) Xác định x để tam giác DEF vuông tại F. Bài 24* : Cho tam giác ABC vuông tại C, AD là đường phân giác trong, BD = 4 , CD = 3 . Tính AB ; BC ; AC. Bài 25 : Cho tam giác ABC cân đỉnh A. Vẽ đường cao AH, BK. Tính BK biết BC = 4 ; AH = 2. Bài 26 : Cho hình thang vuông ABCD ( đường cao AB ) ngoại tiếp đường tròn đường kính r , cho góc C = 600. Tính các cạnh của hình thang. Bài 27:Cho tam giác ABC vuông tại A, đường phân giác trong AD chia cạnh huyền. 15 20 thành những đoạn thẳng có độ dài bằng 7 và 7 . Tính các cạnh góc vuông và đường cao xuất phát từ đỉnh góc vuông. Bài 28 : Cho hình vuông ABCD. Đường thẳng qua A cắt BC tại M và đường thẳng cắt CD tại I. Tính AB biết AM = 3, AI = 2. Bài 29 : Cho tam giác ABC vuông cân tại A, M là một điểm trên cạnh BC. Tính MA biết MB = 1, MC = 4. Bài 30 :Cho tam giác ABC có góc A = 600,đường cao AH (H nằm khoảng giữa BC) Tính AH biết BH = 2a, CH = a.. Trắc Nghiệm Câu1 : Cho tam giác ABC có a= 6 cm ; b= 2cm ; c= ( 3 + 1) cm ; *. Khi đó số đó góc A là a) 600 b) 450 c) 1200 *. Khi đó số đó góc B là a) 600 b) 450 c) 900 *. Bán kính đường tròn ngoại tiếp R là : a) 2 cm *. Chiều cao ha là : (1  3) a). 2. b). 3 cm. c). (1  3) 2 b). 2 cm. (1  2). 2. c). 2. Câu2 : Cho tam giác ABC có b= 4 ; c = 5 ; góc A = 1200 thì diện tích là. -51-. WWW.ToanCapBa.Net. d) 300 d) 300 d) 3 cm 3 d) 2.

<span class='text_page_counter'>(52)</span> WWW.ToanCapBa.Net a) S = 10 3. b) S = 5 3. d)S = 20 3. c) S =5. Câu3 : Cho tam giác ABC có b= 2 ; c = 3 ; a = 19 thì giá trị góc A là : a) 450 b) 600 c) 900 d)1200 Câu 4: Cho tam giác ABC có a= 8 ; c= 3 ; góc B = 600. Độ dài cạnh b là bao nhiêu a) b = 49 b) b= 61 c) b = 7 d)b= 97 Câu 5: Cho tam giác ABC có a= 3 ; b= 7 ; c= 8 ; góc B bằng bao nhiêu a) 600 b) 300 c) 450 d) 720 Câu 6: Cho tam giác ABC vuông tại A có a= 10 cm ; c= 6cm ; bán kính đường tròn nội tiếp r là a) 2 cm b) 1 cm c) 2 cm d) 3 cm Câu 7: Cho tam giác ABC có a= 10 cm ; b= 6cm ; c= 8 cm ; đường trung tuyến AM có độ dài 4 cm b) 5 cm c) 6cm d) 7 cm Câu 8: Cho hình bình hành ABCD có AB = a ; BC = a 2 và góc BAC = 450 . Diện tích hình bình hành là. 2 2. a) 2a2 b) a2 c) a2 d) a2 2 Câu 9: Cho tam giác ABC có b= 8 cm ; c= 5cm và góc A = 600 . *. Cạnh BC là a) 14cm b) 7cm c) 12cm *. Diện tích tam giác : a) S = 10 2 b) S = 5 2 *. Bán kính đường tròn ngoại tiếp R là :. 7 2 a) R= 3. 7 3 b) R = 3. d) 10cm. c) S = 10 3. d) S = 10. 7 2 c)R = 2. d) R = 7 3. *. Chiều cao ha là : 20 3 a) ha=. 7. 20 3 b) ha=. 10 3. 3. c) ha =. 7. TỰ LUẬN Bài 1: Cho tam giác ABC 1) a=5 ; b = 6 ; c = 7. Tính S, ha, hb , hc . R, r 2) a= 2 3 ; b= 2 2 ; c=. 6 - 2 . Tính 3 góc. 3) b=8; c=5; góc A = 600. Tính S , R , r , ha , ma 4) a=21; b= 17;c =10.Tính S, R , r , ha , ma 5) A = 600; hc =. 3 ; R = 5 . tính a , b, c. 6) A=1200;B =450 ;R =2. tính 3 cạnh 7) a = 4 , b = 3 , c = 2. Tính SABC, suy ra SAIC ( I trung điểm AB) 8) Cho góc A nhọn, b = 2m 2 ,c = m , S = m2. Tính a . la 9) C = 3 , b = 4 ; S = 3 3 . Tính a 10) Nếu A = 900. CMR: -52-. WWW.ToanCapBa.Net. 10 3 d) ha =. 3. a).

<span class='text_page_counter'>(53)</span> WWW.ToanCapBa.Net bc sin A *. la =. (b  c )sin. 1 (b  c  *.r = 2. A 2. 2 2 b c. ). bc *. M BC; góc BAM = . CMR: AM = b.cos   c .sin  1. 1 1   11) Cho A=1200. CMR : l a b c 2 2 2 a b c R abc 12) CMR : *. cotA + cotB + cotC =. tanA a 2  c 2  b 2  2 2 2 tan B b c  a *.. 13).  b3  c3  a 3 a 2  b  c  a a 2b.cos C . 14) S = p(p – c). . Tam giác ABC là tam giác gì. . Tam giác ABC là tam giác gì. 1 15) S = 4 (a + b – c)(a + c - b). Tam giác ABC là tam giác gì 16). acosB = bcosA. Tam giác ABC là tam giác gì. 17). mb2 +mc2 = 5ma2 . Tam giác ABC là tam giác gì. sin A 2.cos C 18) sin B . Tam giác ABC là tam giác gì 5k 2 19) Cho AB = k . Tìm tập hợp M thỏa MA2 + MB2 = 2 20) Gọi G là trọng tâm tam giác . Chứng minh rằng *.GA2 + GB2 + GC2 = 1/3 (a2+ b2+ c2) 3 *. ma2 +mb2 +mc2 = 4 (a2 +b2 +c2) *. 4ma2= b2 + c2 + 2bc.cosA 21) CMR. S =2R2sinA.sinB.sinC S=Rr(sinA + sinB + sinC) a =b.cosC + c.cosB ha = 2RsinBsinC sinB.cosC +sinC.cosB = sinA -53-. WWW.ToanCapBa.Net. 1 1 1 1    r h a hb h c *..

<span class='text_page_counter'>(54)</span> WWW.ToanCapBa.Net 2. 22) Chứng minh rằng. 2. 2. a  b  c 2 p b c a . Nếu dấu “=” xảy ra thì ABC là tam giác gì ? h b  h c  h a 1 2 2 2 h a hb h c r 2. 23) Cho b + c = 2a . Chứng minh rằng h a. . 1 hb. . 1 hc. 24) Định x để x2+x+1 ; 2x+1 ;x2 -1 là 3 cạnh tam giác. Khi đó CMR tam giác có góc = 1200 2. pr 25) Đường tròn nội tiếp tiếp xúc 3 cạnh tam gíac tại A1;B1;C1. CMR : SA1B1C1 = 2 R. 26) 2 trung tuyến BM = 6, CN = 9 và hợp với nhau 1 góc 1200 tính các cạnh của  ABC Bài 2: Cho tứ giác ABCD. Gọi  là góc hợp bởi 2 đường chéo AC và BD. 1 a) CMR SABCD = 2 AC.BD.sin. b) Vẽ hình bình hành ABDC’. Chứng minh rằng : SABCD = SACC’ Bài 3: Cho tứ giác ABCD có I, J lần lượt là trung điểm của 2 đường chéo AC và BD. Chứng minh rằng : AB2 + BC2 +CD2 + DA2 = AC2 + BD2 + 4 IJ2. -54-. WWW.ToanCapBa.Net.

<span class='text_page_counter'>(55)</span> WWW.ToanCapBa.Net ......................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................... -55-. WWW.ToanCapBa.Net.

<span class='text_page_counter'>(56)</span> WWW.ToanCapBa.Net ......................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... -56-. WWW.ToanCapBa.Net.

<span class='text_page_counter'>(57)</span> WWW.ToanCapBa.Net. CHƯƠNG III PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG. I. Vectơ chỉ phương của đường thẳng-Phương trình tham số của đường thẳng 1/ Véctơ chỉ phương của đường thẳng ⃗ ⃗ ⃗ u u ĐN:⃗Vectơ được gọi là vectô chỉ phương (vtcp) của đường thẳng d nếu 0 và giá của u song song hoặc trùng với d. ⃗ u NX: + Vectơ k cũng là vtcp của đường thẳng d (k 0). Do đó d có vô số vtvp.. + Một đường thẳng được xđ nếu biết vtcp và moät điểm trên đường thẳng đó. ⃗ u. d. 2/ Phương trình tham số của đường thẳng. ⃗. Phương trình tham số của đường thẳng d qua M 0(x0;y0) và có véctơ chỉ phương u =(u1;u2) là:  x  x0  u1t   y  y0  u2 t. ( t: là tham số) Ví dụ: Lập phương trình tham số của đường thẳng d trong trường hợp sau: ⃗ d đi qua M(2;1) và có vtcp u =(3;4). 3/ Hệ số góc của đường thẳng u2 ⃗ + Đường thẳng d có véctơ chỉ phương u =(u1;u2), u10. Khi đó hệ số góc k là: k = u1. + Phương trình đường thẳng d qua M0(x0;y0) và có hệ số góc k là: yy0 = k(xx0) Ví dụ: Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua A(3;5) và B(6;2). Tìm hệ số góc của đường thẳng? Giải  Ta có vtcp là AB (3;  3) ..  x 3  3t ⃗  AB  (3;  3) Vậy phương trình tham số của d đi qua A, B có vtcp là:  y 5  3t. Hệ số góc k=3/3  k= 1. ⃗. * Chú ý: Nếu d có hệ số góc k thì d có một véctơ chỉ phương là u =(1;k) 4/ Phương trình chính tắc của đường thẳng (10NC) + Nếu u10, u20 thì phương trình chính tắc của đường thẳng d là: x - x0 y - y 0 = u1 u2. +Nếu u1=0 hoặc u2=0 thì đường thẳng không có phương trình chí tắc. x  x0 y  y0  0 u 2 , với quy ước xx =0 thì pt này gọi là pt chính tắc của d) ( Nhưng 0. II/Véctơ pháp tuyến của đường thẳng, Phương trình tổng quát của đường thẳng -57-. WWW.ToanCapBa.Net.

<span class='text_page_counter'>(58)</span> WWW.ToanCapBa.Net 1/ Véctơ pháp tuyến của đường thẳng (pháp véctơ) ⃗. ⃗. ⃗. ĐN: Vectơ n được gọi là vectô pháp tuyến (vtpt) của đường thẳng d nếu n 0 và giá của ⃗. ⃗ n nằm trên đường vuông góc với d ( n d). ⃗ NX: + Vectơ k n cũng là vtpt của đường thẳng d (k 0). Do đó d có vô số vtpt.. + Một đường thẳng được xđ nếu biết vtpt và moät điểm trên đường thẳng đó. 2/ Phương trình tổng quát của đường thẳng Phương trình tổng quát của dường thẳng d có dạng: ax+by+c=0 (a2+b20) ⃗ d có véctơ pháp tuyến là n =(a;b). ⃗ n * Phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua M0(x0,y0) có vtpt =(a;b) là:. a(xx0)+b(yy0)= 0 * Phương trình tổng quát của⃗ đường thẳng đi qua hai điểm A(xA;yA), B(xB;yB) là: ⃗ ⃗ Ta tìm VTCP AB  VT pháp tuyến n  pttq đia qua A và có vtpt n * Nhận xét: Tọa độ của hai véctơ chỉ phương và véctơ pháp tuyến của một đường thẳng là đổi chỗ cho nhau và đổi dấu ở một vị trí (hoành độ hoặc tung độ) ⃗ ⃗ ⃗ Nếu đường⃗thẳng d có ⃗vtpt là n =(a ; b)⃗ thì d có vtcp là u =(b ; a) hoặc u =(b ; a) Ví dụ: ⃗n =(5;1) thì ⃗u =(1; 5) hoặc ⃗ u =(1; 5). u =(4;6) thì n =(6;4) hoặc n =(6;4) ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ (Vì u là vtcp thì k u cũng là vtcp, n vtpt thì k n cũng là vtpt). Ví dụ: Lập phương trình tổng quát⃗ của đường thẳng d biết. a) d đi qua M(2;3) và có vtpt n =(5;1). b) d đi qua M(2;4) và có hệ số góc k=2. c) d đi qua hai điểm A(3;5), B(6;2). * Cách chuyển từ pt tổng quát sang pt tham số: Đặt x= t, từ pt tổng quát  y theo t * Cách chuyển từ pt tham số sang pt tổng quát Từ pt của x t= , thế t vào y  pt tổng quát.. Đáp số: 5x+y+7= 0 Đáp số: 2xy=0 Đáp số: x+y8=0.  x 2  3t  Ví dụ 1: Cho d có pt tham số là  y 1  4t , tìm pt tổng quát của d?. Đáp số: 4x3y5= 0 Ví dụ 2: Cho d có pt tổng quát là : x+y8=0. Tìm pt tham số của đường thẳng?  x t  Đáp số:  y 8  t. * Các dạng đặc biệt: + Đường thẳng by+c=0 song song hoặc trùng trục Ox. + Đường thẳng ax+c=0 song song hoặc trùng trục Oy. + Đường thẳng ax+by=0 di qua góc tọa độ. x y  1 + Đường thẳng đi qua A(a;0), B(0;b) có phương trình a b (a0, b0) gọi là. phương trình đường thẳng theo đoạn chắn. 3/ Vị trí tương đối của hai đường thẳng Cho hai đường thẳng 1 , 2 có pt tổng quát 1 : a1 x  b1 y  c1 0;  2 : a 2 x  b2 y  c2 0 -58-. WWW.ToanCapBa.Net.

<span class='text_page_counter'>(59)</span> WWW.ToanCapBa.Net a1 x  b1 y  c1 0  a x  b2 y  c2 0 Số điểm chung của hai đường thẳng chính là số nghiệm của hệ:  2. Nếu a20,b20, c20 thì a1 b1 a1 b1 c1    a b a b2 c2 ; 2 2 2 1 cắt 2  ; 1 // 2 . Ví dụ: Xét vị trí tương đối a) d1: 4x10y+1=0 b) d3: 12x6y+10=0 c) d5: 8x+10y12=0. a1 b1 c1   a b2 c2 2 1  2 . của các cạp đường thẳng sau: và d2: x+y+2= 0  cắt nhau và d4: 2xy+5= 0  song song và d6: 4x+5y6= 0  trùng nhau. -59-. WWW.ToanCapBa.Net.

<span class='text_page_counter'>(60)</span> WWW.ToanCapBa.Net 4/ Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng Cho đường thẳng  có pt tổng quát là ax+by+c= 0 và một điểm M0(x0;y0). Khi đó khoảng cách từ M0 đến  được xác định: d ( M 0 , ) . ax0  by0  c a 2  b2. * Nếu M0 thuộc  thì d(M0,)=0 Ví dụ: Tính khoảng các từ điểm đến các đường thẳng sau a) A(3;5), 1: 4x+3y+1= 0 Kết quả : 28/5 b) B(1;-2), 2: 3x-4y-26= 0 Kết quả :3 c) I(3;-2), 3:3x+4y-11=0 Kết quả : 2 5/ Góc giữa hai đường thẳng Cho hai đường thẳng 1 , 2 có pt tổng quát . 1 : a1 x  b1 y  c1 0  vtpt n1 (a1 ; b1 ) ⃗  2 : a 2 x  b2 y  c2 0  vtpt n2 (a 2 ; b2 ). Khi đó, góc  giữa hai đường thẳng (00 ≤  ≤ 900) được tính: ⃗⃗. a1 .a 2  b1 .b2 | n .n | cos   ⃗ 1 ⃗2  cos   | n1 | . | n2 | a12  b12 . a 22  b22 0 * Chú ý: +Khi hai đường thẳng song  song  hoặc trùng nhau ta quy ước góc giữa chúng là 0 n  n2 + 1  2k1.k2= -1 ( 1 a1.a2+b1.b2= 0). Ví dụ: Cho hai đường thẳng d1: 4x2y+6= 0; d2: x3y+1=0. Tìm số đo góc tạo bởi hai đường thẳng d1, d2. Giải | 4.1  ( 2).( 3) | 2. 2. 2. 2. . 1 2. . 2 2. cos(d1,d2)= 4  ( 2) . 1  ( 3) Vậy góc giữa hai đường thẳng là 450. 6/ Phương trình đường phân giác của góc hợp bởi hai đường thẳng Cho hai đường thẳng 1 , 2 có pt tổng ⃗ quát. 1 : a1 x  b1 y  c1 0  vtpt n1 (a1 ; b1 ) ⃗  2 : a 2 x  b2 y  c2 0  vtpt n2 (a 2 ; b2 ) Khi đó pt đường phân giác có dạng: a1 x  b1 y  c1 2 1. 2 1. a b. a x  b2 y  c2  2 a 22  b22. Phương trình đường phân giác góc nhọn, góc tù t1    n1 .n2. Đặt =a1.a2+b1.b2  +. a1 x  b1 y  c1 a12  b12. ;. t2 =. a 2 x  b2 y  c2 a 22  b22. Pt đường phân giác góc nhọn t1=t2 t1= t2. Pt đường phân giác góc tù t1= t2 t1=t ⃗ ⃗2. (phương trình đường phân giác của góc tù lấy theo dấu của n1 .n2 ) Ví dụ: Lập phương trình đường phân giác của góc nhọn tạo bởi hai đường thẳng: a) d1: 3x4y+12= 0 d2: 12x+5y7= 0 -60-. WWW.ToanCapBa.Net.

<span class='text_page_counter'>(61)</span> WWW.ToanCapBa.Net b) d1: xy+4= 0. d2: x+7y12= 0 Giải. ⃗⃗ n1 .n2 a) Ta có ⃗ ⃗ =16>0  t1= t2  99x27y+121= 0 n1 .n2. b) Ta có. = 6<0 t1=t2  x3y+8= 0. * Chú ý: + Hai đường thẳng song song thì có cùng vectơ pháp tuyến (cùng vectơ chỉ phương). + Hai đường thẳng vuông góc thì vectơ pháp tuyến của đường thẳng này là vectơ chỉ phương của đường thẳng kia và ngược lại. BÀI TẬP 1/ Lập phương trình tham số và phương trình chính tắc (nếu có) của đường thẳng d trong mỗi trường hợp sau: ⃗ u a) d đi qua M(1;4)và có vectơ chỉ ⃗ phương =(2;3);. b) d đi qua góc tọa độ và vtcp a =(1;2); c) d đi qua I(0;3) và vuông góc với đường thẳng có pt tổng quát là: 2x5y+4=0; d) d đi qua hai điểm A(1;5) và B(2;9); ⃗ e) d đi qua M(5;2) và có vectơ pháp tuyến n =(4;3); f) d đi qua M(5;1) và có hệ số góc k=3..  x 1  2t  x t x 1 y4 x y ptts :  ; ptct:  ptts :  ; ptct:  2 3 b) 1 2  y  4  3t  y  2t Đáp số: a)  x 2t  x 1  3t x y 3 x 1 y 5 ptts :  ; ptct:  ptts :  ; ptct:  2 5 3 4  y 3  5t  y 5  4t c) d)  x 5  3t  x 5  t x 5 y2 x 5 y 1 ptts :  ; ptct:  ptts :  ; ptct:  y  2  4 t y  1  3 t 3 4 1 3   e) f). 2/ Lập phương trình tổng quát của đường thẳng d trong các trường hợp sau ⃗ a) d đi qua M(3;4) và có vtpt n⃗=(2;1). b) d đi qua N(2;3) và có vtcp a =(4;6) c) d đi qua A(5;8) và có hệ số góc k= 3 d) d đi qua hai điểm A(2;1), B(4;5) ⃗ e) d đi qua M(3 ;4) và có vtpt ⃗n =(1;2). f) d đi qua B(3;2) và có vtcp a =(4;3) Đáp số: a) 2xy2= 0. b) 3x2y12= 0 c) 3x+y+23=0 d) 2x+3y7=0 e) x+2y-11=0 f) 3x-4y-17=0. 3/ Lập phương trình tham số và phương trình tổng quát của đường thẳng d trong các trường hợp sau ⃗ a) d đi qua M(2;1) và có vtcp a⃗ =(3;4);. b) d đi qua N(2;3) và có vtpt n =(5;1); c) d đi qua A(2;4) và có hệ số góc k=2; d) d đi qua hai điểm A(3;5) và B(6;2).  x 2  3t ptts :  ; pttq : 4 x  3 y  5 0  y 1  4t Đáp số: a) -61-.  x  2  t ptts :  ; pttq : 5 x  y  7 0  y 3  5t b). WWW.ToanCapBa.Net.

<span class='text_page_counter'>(62)</span> WWW.ToanCapBa.Net  x 2  t ptts :  ; pttq : 2 x  y 0 y  4  2 t  c).  x 3  3t ptts :  ; pttq : x  y  8 0 y  5  3 t  d). 4/ Cho tam giác ABC biết A(1;4), B(3;1), C(6,2) a) Lập phương trình các cạnh AB, BC, CA. b) Lập phương trình đường cao AH và phương trình đường trung tuyến AM. Đáp số: a) AB: 5x+2y13= 0 BC: xy4= 0 CA: 2x+5y22= 0 b) AH: x+y5= 0 AM: x+y-5=0 5/ Cho tam giác ABC biết các cạnh AB: 4x+y12= 0, đường cao BH: 5x4y15=0, đường cao AH: 2x+2y9= 0. Hãy viết phương trình hai cạnh và đường cao còn lại. Đáp số: Tìm A(5/2;2)  AC: 4x+5y20=0 Tìm B(3;0)  BC: xy3=0 Tìm H(11/3;5/6)  CH: 3x12y1= 0. 6/ Cho đường thẳng d: x2y+4=0 và điểm A(4;1) a) Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của A xuống d. b) Tìm tọa độ điểm A' đối xứng với A qua d Đáp số: a)  qua A và vuông góc d là, : 2x+y9=0  H(14/5;17/5) b) H là trung điểm AA'  A'(8/5;29/5). 7) Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng sau a) d1: 2x5y+6=0 và d2: x+y-3=0 b) d1: 3x+2y-7=0 và d2: 6x4y7=0 c) d1: 2 x+y3=0 và d2: 2x+ 2 y3 2 =0 d) d1: (m1)x+my+1=0 và d2: 2x+y4=0 8/ Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng sau x  1  5t x  6  5t y 2  4t y 2  4t a) d : và d’ : x 1  4t y 2  2t.  . b) d : c) d : x+y-2= 0. . và và. d’ : 2x+4y-10= 0 d’ : 2x+y-3= 0. 9/ Với giá trị nào của m thì hai đường thẳng sau vuông góc 1 : mx+y+q=0 và 2 : xy+m=0 Đáp số : m= 1 10/ Cho hai đường thẳng d1 : x2y+5=0 và d2 :3xy=0 a) Tìm giao điểm của d1 và d2 b) Tìm góc giữa d1 và d2 Đáp số: a) (1;3) b) 450 11/ Tìm góc giữa hai đường thẳng d1: x+2y+4=0 và d2: 2x-y+6=0 Đáp số: 900 12/ Lập phương trình đường phân giác của các góc giữa hai đường thẳng 1: 2x+4y+7= 0 và 2: x2y3=0  3 y  13 0  Đáp số:  4 x  1 0. 13/ Tính bán kính đường có tâm là điểm I(1;5) và tiếp xúc với đường thẳng : 4x3y+1=0. Đáp số: R=2 * Tìm điểm đối xứng của M qua đường thẳng d:ax+by+c=0 -62-. WWW.ToanCapBa.Net.

<span class='text_page_counter'>(63)</span> WWW.ToanCapBa.Net B1: Tìm hình chiếu H vuống góc của M xuống d: Viết phương trình  qua M và vuông góc d d  Giải hệ   tọa độ H. B2: H là trung của MM'  tọa độ M' * Tìm phương trình của ' đối xứng với : ac+by+c=0 qua I + Do  // '  ': ax+by+c'=0 + d(I, ) = d(I,')  tìm hệ số c'. -63-. WWW.ToanCapBa.Net.

<span class='text_page_counter'>(64)</span> WWW.ToanCapBa.Net 5*/ Cho điểm M(1;2). Lập phương trình đường thẳng đi qua M và chắn trên hai trục tọa độ hai đoạn có độ dài bằng nhau.. x y  1 Đáp số: phương trình đoạn chắn có dạng a b TH1: nếu a=b0 a=3 d1: x+y3=0 TH2: nếu a= b0 a= 1  d2: xy+1=0 TH3: nếu a=b=0  d qua O có dạng y=kx  k=2  d3: 2xy= 0 Vậy có 3 đường thẳng thỏa điền kiện bài toán. 6/ Tam giác ABC có phương trình cạnh AB: 5x3y+2=0, các đường cao qua đỉnh A và B lần lượt là: 4x3y+1= 0; 7x+2y22= 0. Lập phương trình hai cạnh và đường cao còn lại. 7/ Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC, biết B(-4 ;-5) và hai đường cao có phương trình : 5x+3y-4=0 và 3x+8y+13=0.. -64-. WWW.ToanCapBa.Net.

<span class='text_page_counter'>(65)</span> WWW.ToanCapBa.Net PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN I. Phương trình đường tròn (C) có tâm và bán kính cho trước: Đường tròn tâm I(a,b) và bán kính R có dạng: (x-a)2 + (y-b)2 = R2 Ví dụ: Đường tròn có tâm I(1;-2) bán kính R=2 có dạng : (x-1)2 + (y+2)2 = 4 Đặc biệt : Ñường tròn tâm O(0;0) , bán kính R có dạng: x2 + y2 = R2 *Nhận xét:  Phương trình đường tròn còn viết được dưới dạng: x2 +y22ax2by+c=0 với c=a2+b2-R2  Ngược lại, phương trình x2 +y22ax2by+c=0 được gọi là phương trình đtròn (C) khi và chỉ 2 2 khi a2+b2c>0. Khi đó (C) có tâm I(a;b) và bán kính R= a  b  c. Ví dụ: Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình của đường tròn, tìm tâm và bán kính của đường tròn đó. a) x2 +y2+2x4y+9=0 b) x2 +y26x+4y13=0 c) 2x2 +2y28x4y6=0 b) Tâm I(3;2), R= 26. Đáp số: a) Không phải. c) Tâm I(2;1), R=2 2. * Điều kiện để đường thẳng  : ax+by+c=0 tiến xúc với đường tròn (C) là: d(I,  )= R. 2/ Phương trình tiếp tuyến của đường tròn: a) Cho M(x0; y0) thuộc đường tròn (C) tâm I(a;b) .Pt tt của (C) tại M(x0;y0) có dạng: + Cách 1: Viết phương trình đường thẳng đi qua M và có vtpt IM ( x0  a; y0  b). . Đặt A=x0a ;B =y0b Khi đó phương trình tiếp tuyến có dạng: (x0a)(xx0)+(y0b)(yy0)= 0 hay A(xx0)+B(yy0)= 0 ⃗ ⃗ n IM ( x0  a; y0  b) B1: Xác định tâm I  vecto pháp tuyến ⃗. B2: Viết phương trình đường thẳng đi qua M và có vtpt n + Cách 2 * Nếu (C): (x-a)2 + (y-b)2 = R2 thì pttt có dạng: (x0a)(xx0) + (y0b)(yy0) = R2 * Nếu (C): x2 +y22ax2by+c=0 thì pttt có dạng: x0x+y0ya(x0+x)b(y0+y) + c= 0 Ví dụ 1 :Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C) : (x-1)2 + (y-2)2 = 4 tại M(-1;2) Giải Thế M vào (C)  M  (C).   ⃗ Tâm I(1;2) vtpt n IM =(2;0). ⃗ ⃗. Phương trình tiếp tuyến đi qua M và có vtpt n IM =(2;0) có dạng: 2(x+1) + 0(y-2) = 0  -2x – 2 = 0 hay x +1= 0 b) Tiếp tuyến xuất phát từ A(xA;yA) cho sẵn ở ngoài đường tròn B1: Xác định tâm I và bán kính R B2: Lập phương trình đường thẳng  qua A có hệ số góc k, có dạng: yyA= k(xx0)  : kxy+yAmxA=0 B3: Để  tiếp xúc d  d(I, )= R  giải tìm k  thế vào  + Nếu tìm được 2 giá trị k thì kết thúc. -65-. WWW.ToanCapBa.Net.

<span class='text_page_counter'>(66)</span> WWW.ToanCapBa.Net + Nếu tìm được 1 giá trị k thì tiếp tuyến thứ 2 là đường thẳng ' đi qua A và //Oy có dạng xxA =0.. -66-. WWW.ToanCapBa.Net.

<span class='text_page_counter'>(67)</span> WWW.ToanCapBa.Net Ví dụ 2: Cho đường tròn có phương trình x2 +y24x+8y5=0. Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn đi qua A(3;11). Giải Ta có tâm I(2;4), bán kính R=5 2. 2. Xét IA= (3  2)  ( 11  4)  50 >R  A nằm ngoài đường tròn. Viết phương trình  qua A và có hệ số góc k có dạng: y+11= k(x3) : kxy3k11= 0 | k (2)  (  4)  3k  11| k 2  12. Để  tiếp xúc d  d(I, )= R . 5. 2 2  |k7|= 5 k  1  |k+7|= 5 k  1  k2+14k+49= 25k2+25. 4   k 3   k  3 4  24k214k24= 0  12k27k12=0 . Vậy có hai tiếp tuyến là: k=4/3  1: 4x3y45= 0 k=3/4 2: 3x+4y+35= 0 Ví dụ 3: Cho đường tròn (C): (x1)2+(y1)2=1. Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn đi qua điểm M(2;3). Giải Ta có tâm I(1;1), bán kính R=1 2. 2. Xét IM= (2  1)  (3  1)  5 >R=1  M nằm ngoài đường tròn. Viết phương trình  qua M và có hệ số góc k có dạng: y3= k(x2) : kxy2k+3= 0 | k  1  2k  3 |. Để  tiếp xúc d  d(I, )= R . k 2  12. 1. 2.  |2k|= k  1  44k+k2 = k2+1 k= ¾ Vậy : phương trình tiếp tuyến thứ 1 là 1: Pt Tiếp tuyến thứ hai: 2: xxM =0  x2= 0. -67-. WWW.ToanCapBa.Net.

<span class='text_page_counter'>(68)</span> WWW.ToanCapBa.Net BÀI TẬP 1 Vấn đề 1: Nhận diện phương trình bậc hai là phương trình đường tròn Cách 1: Đưa phương trình về dạng x2+y22ax2by+c= 0 (1) + Xác định a, b, c như sau: 2a= A, 2b=B, c= C + Xét dấu m = a2+b2c + Nếu m>0 thì (1) là phương trình đường tròn tâm I(a;b) bán kính R= m Nếu m< 0 thì (C) không là đường tròn. 2 2 Cách 2: Đưa phương trình về dạng ( x  a)  ( y  b) m (2). Nếu m>0 thì (2) là phương trình đường tròn tâm I(a;b) bán kính R= m VD1: Trong các phương trình sau, phương trình nào biểu diễn đường tròn? Tìm tâm và bán kính nếu có: a) x2+y26x+8y+100= 0 b) x2+y2+6x6y12= 0 c) 2x2+2y24x+8y2= 0 Đáp số: a) Không phài. b) Tâm I(2;3), R= 5. 2 c) Tâm I(1;2), R= ( 6). VD2: Cho phương trình x2+y22mx+4my+6m1= 0 (1) a) Với giá trị nào của m thì (1) là phương trình của đường tròn? b) Nếu (1) là phương trình của đường tròn hãy tìm tọa độ tâm và tính bán kính đường tròn đó theo m. HD: a2+b2c>0  5m26m+1>0  m<1/5 hoặc m>1; tâm I(m;2m), R=. Vấn đề 2: Lập phương trình đường tròn (C) 2. 2. Cách 1: Tìm tọa độ tâm I(a;b) và bán kính R của (C)  ( x  a )  ( y  b) R Chú ý: + (C) đi qua A, B  IA2=IB2=R2 + (C) đi qua A và tiếp xúc đường thẳng  tại A  IA= d(I,) + (C) tiếp xúc với hai đường thẳng 1 và 2  d(I,1)= d(I,2)= R. Cách 2: Gọi phương trình đường tròn (C): x2+y22ax2by+c= 0 + Từ điều kiện của đề bài đưa đến hệ phương trình theo ẩn a, b, c. + Giải hệ phương trình tìm a, b, c.. 2. VD1: Lập phương trình đường tròn (C) trong các trường hợp sau: a) (C) có tâm I(1;2) và tiếp xúc với đường thẳng : x2y+7=0; b) (C) có đường kính AB với A(1;1), B(7;5); c) (C ) có tâm I(2;3) và đi qua M(2;3) Đáp số: a) (x+1)2+(y2)2=4/5. b) (x4)2+(y3)2= 13. c) tìm c= 39. VD2: Viết phương trình đường tròn đi qua ba điểm A(1;2), B(5;2), C(1;3). Đáp số: x2+y26x+y1= 0. Vấn đề 3: Lập phương trình tiếp tuyến của đường tròn + Nếu biết tiếp điểm M(x0;y0) thuộc (C), khi đó pt tiếp tuyến có dạng: (x0a)(xx0)+(y0b)(yy0)= 0 + Nếu chưa biết tiếp điểm thì dùng điều kiện tiếp xúc : d(I,) = R. VD1: Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C): (x1)2+(y+2)2=25 tại M(4;2) thuộc (C). Đáp số: 3x+4y20= 0. VD2: Lập phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C): x 2+y24x2y= 0. Biết tiếp tuyến đi qua điểm A(3;2). Đáp số: 2xy8=0 hoặc x+2y+1= 0 -68-. WWW.ToanCapBa.Net.

<span class='text_page_counter'>(69)</span> WWW.ToanCapBa.Net VD3: Viết phương trình tiếp tuyến  của đường tròn (C): x2+y24x+6y+3= 0 biết rằng  song song với d: 3xy+2006=0. Đáp số: 3xy+1= 0 hoặc 3xy19= 0.. -69-. WWW.ToanCapBa.Net.

<span class='text_page_counter'>(70)</span> WWW.ToanCapBa.Net BÀI TẬP 2.15. Trong mpOxy, lập phương trình đường tròn (C) có tâm là (2;3) và thỏa các điều kiện sau: a) (C) có bán kính là 5; b) (C) đi qua góc tọa độ; c) (C) tiếp xúc trục Ox; d) (C) tiếp xúc trục Oy; e) (C) tiếp xúc với đường thẳng : 4x+3y12=0. 2.16. Cho ba điểm A(1;4), B(7;4), C(2;5) a) Lập phương trình đường tròn (C) ngoại tiếp tam giác ABC; b) TÌm tâm và bán kính (C). 2.17. Cho đường tròn (C) đi qua hai điểm A(1;2), B(2;3) và có tâm trên đường thẳng : 3xy+10=0. a) Tìm tọa độ tâm của (C); b) Tính bán kính R của (C); c) Viết phương trình của (C). 2.18. Cho ba đường thẳng  1: 3x+4y1=0; 2: 4x+3y8=0; d: 2x+y1=0 a) Lập phương trình đường phân giác của các góc hợp bởi 1 và 2. b) Xác định tọa độ tâm I của đường tròn (C) biết rằng tâm I nằm trên d và (C) tiếp xúc với 1 và 2. c) Viết phương trình của (C). 2.19. Lập phương trình đường tròn (C) đi qua hai điểm A(1;2), B(3;4) và tiếp xúc với đường thẳng : 3x+y3=0. 2.20. Lập phương trình đường tròn đường kính AB trong các trường hợp sau: a) A(1;1), B(5;3); b) A(1;2), B(2;1). 2.21. Lập phương trình đường tròn (C) tiếp xúc với các trục tọa độ và đi qua điểm M(4;2). 2.22. Cho đường tròn (C): x2+y2x7y=0 và đường thẳng d: 3x+4y3=0. a) Tìm tọa độ giao điểm của (C) và (d). b) Lập phương trình tiếp tuyến với (C) tại các giao điểm đó. c) Tìm tọa độ giao điểm của hai tiếp tuyến. 2.23. Cho đường tròn (C): x2+y26x+2y+6=0 và điểm A(1;3). a) Chứng tỏ A nằm ngoài đường tròn (C). b) Lập phương trình tiếp tuyến với (C) xuất phát từ điểm A. 2.24. Lập phương trình tiếp tuyến  của đường tròn (C): x2+y26x+2y=0. Biết rằng  vuông góc với đường thẳng d: 3xy+4=0. 2.25. Cho đường tròn (C): (x+1)2+(y2)2=9 và điểm M(2;1). a) Chứng tỏ rằng qua M ta vẽ được hai tiếp tuyến  1 và  2. Hãy viết phương trình của  1 và  2. b) Gọi M1 và M2 lần lượt là hai tiếp điểm của  1 và  2 với (C), hãy viết phương trình đường thẳng d đi qua M1 và M2. 2.26. Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C) có phương trình x2+y28x6y=0 biết rằng tiếp tuyến đó đi qua gốc tọa độ. 2.27. Cho hai đường tròn (C1): x2+y26x+5=0 và (C2): x2+y212x6y+44=0 a) Tìm tâm và bán kính của (C1) và (C2). b) Lập phương trình tiếp tuyến chung của (C1) và (C2).. -70-. WWW.ToanCapBa.Net.

<span class='text_page_counter'>(71)</span> WWW.ToanCapBa.Net BÀI 3 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG ELIP. 1/ Định nghĩa 2/ Phương trình chính tắc của elip: Chọn hệ trục Oxy như hình vẽ.Ta có: M  (E)  MF1+MF2=2a. Phương trình chính tắc của elip: x2 y2  1 a2 b2 (1) với a2=b2 + c2  c2 = a2b2. (a>b>0) 3/ Các thành phần của elip: + Hai tiêu điểm F1(-c;0),F2(c;0) + Bốn đỉnh A1(a;0),A2(a;0), B1(0;-b),B2(0;b) + Độ dài trục lớn A1A2 = 2a + Độ dài trục nhỏ B1B2= 2b + Tiêu cự F1F2= 2c c + Tâm sai e= a. (e < 1) • Chú ý: Hai tiêu điểm của elip nằm trên trục lớn. * Nếu trục lớn nằm trên Oy thì b>a>0 4/ Hình dạng của elip: + (E) có các trục đối xứng là Ox, Oy và tâm đối xứng là gốc tọa độ. + Mọi điểm của elip (E) đều nằm trong hình chữ nhật có kích thước 2a và 2b giới hạn bởi các đường thẳng x=  a, y=  b. Hình chữ nhật đó gọi là hình chữ nhật cơ sở của elip. + nếu a=b thì elip trở thành đường tròn. x2 y2  1 Ví dụ : Cho (E): 25 9. a) b) c) d). Xác định tọa độ các đỉnh của elip. Tính độ dài trục lớn , trục nhỏ của elip. Xác định tọa độ tiêu điểm và tiêu cự. Vẽ hình elip trên. Giải a=5, b=3 A1(-5;0),A2(5;0),B1(0;-3),B2(0;3)  A1A2=2a=10  B1B2=2b = 6 -71-. WWW.ToanCapBa.Net.

<span class='text_page_counter'>(72)</span> WWW.ToanCapBa.Net 2. 2. 2. c = a -b = 25-9=16  c=4. Caùc tieâu ñieåm F1(-4;0), F2(4;0)  F1F2 = 2c = 8. -72-. WWW.ToanCapBa.Net.

<span class='text_page_counter'>(73)</span> WWW.ToanCapBa.Net BÀI TẬP ÁP DỤNG Vấn đề 1: Lập phương trình chính tắc khi biết các thành phần đủ để xác định elip đó Để lập phương trình chính tắc ta cần biết 2 trong 4 yếu tố a, b, c, e khi đó ta tính được hai yếu tố còn lại. Bài tập: Lập phương trình chính tắc của elip (E) trong mỗi trường hợp sau a) Độ dài trục lớn bằng 10 và tiêu cự bằng 6; 3 b) Một tiêu điểm ( 3;0) và điểm (1; 2 );. c) Độ dài trục lớn bằng 6, tiêu cự bằng 4; d) Một tiêu điểm F1(2;0) và độ dài trục lớn bằng 10; 3 e) Đi qua hai điểm M(1;0) và N( 2 ;1); 7 f) Độ dài trục lớn bằng 8, tâm sai 4 ; 2 g) Tiêu điểm F1(4;0), F2(4;0), tâm sai e= 3 ;. h) Một đỉnh trên trục lớn là điểm (3;0) và một tiêu điểm là điểm (2;0). 3 k) (E) đi qua hai điểm M(0;1) và N(1; 2 ) Đáp số: a) a=5; c=3;b2 = 16 b) c= 3 ; a2=4; b2 =1. d) c=2; a= 5; b2 = 21 f) a=4; c= 7 ; b2=9 h) a= 3; c=2; b2= 5 HD: b) c=. c) a= 3; c= 2; b2 = 5 e) a2=1; b2 =2 a< b nên không tồn tại pt chính tắc (E). g) c=4; a=6; b2 = 20 k) a2=4; b2 =1. M  (E)  2 2 2 3  giải hệ a =b +c. Vấn đề 2: Xác định các thành phần của elip khi biết phương trình chính tắc Ta cần xác định: a; b; c; Trục lớn, trục nhỏ; Hai tiêu điểm; Tiêu cự; Bốn đỉnh; Tâm sai; Hình chữ nhật cơ sở. Bài 1: Xác định tọa độ các trục, tọa độ các tiêu điểm, tọa độ các đỉnh, tâm sai và vẽ elip (E) có phương trình x2 y 2  1 a) 25 9. c) x2+4y2= 4. b) 4x2+9y2= 36 d) 4x2+4y2= 16. Đáp số: a) a=5; b=3; c=4. b) a=3; b=2; c= 5 c) a= 2; b= 1; c= 3. d) Là đường tòn tâm O, R=2 elip có a=b=2, F1 F2 O , e=0 x2 y 2  1 Bài 2: Cho elip (E) có phương trình 100 36 . Hãy viết phương trình đường tròn (C) có. đường kính F1F2 trong đó F1, F2 là hai tiêu điểm của (E). Đáp số: Tâm là gốc tọa độ O, bán kính R=c=8. -73-. WWW.ToanCapBa.Net.

<span class='text_page_counter'>(74)</span> WWW.ToanCapBa.Net BÀI TẬP 1 3.28. Viết phương trình chính tắc của elip (E) trong mỗi trường hợp sau: a) Độ dài trục nhỏ bằng 12 và có tiêu cự bằng 16; b) Một tiêu điểm là (12;0) và điểm (13;0) nằm trên elip. 3.29. Tìm tọa độ các tiêu điểm, các đỉnh, độ dài các trục của mỗi elip có phương trình sau: a) 4x2+9y2= 36 b) x2+4y2= 4 3.30. 3.31. 3.32. Viết phương trình chính tắc của elip trong các trường hợp sau: c 5 a) Độ dài trục lớn bằng 26 và tỉ số a bằng 13 ; c 2 b) Tiêu điểm F1(6;0) và tỉ số a bằng 3 .. 3.33. Viết phương trình chính tắc của elip(E) có hai tiêu điểm F1, F2 biết: a) (E) đi qua hai điểm M(4;9/5) và N(3;12/5);  3 4  ;   5 5  và tam giác MF1F2 vuông tại M.  b) (E) đi qua M. 3.34. Cho elip (E): 9x2+25y2= 225 a) Tìm tọa độ hai tiêu điểm F1, F2 và các đỉnh của (E); b) TÌm điểm M thuộc (E) sao cho M nhìm F1F2 dưới một góc vuông. c x 2 y2  2 1 2 b 3.35. Cho elip (E): a (0<b<a). Tính tỉ số a trong các trường hợp sau:. a) Trục lớn bằng ba lần trục nhỏ; b) Đỉnh trên trục nhỏ nhìn hai tiêu điểm dưới một góc vuông; c) Khoảng cách giữa đỉnh trên trục nhỏ và đỉnh trên trục lớn bằng tiêu cự. 3.36. Cho elip (E): 4x2+9y2= 36 và điểm M(1;1). Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và cắt (E) tại hai điểm A và B sao cho M là trung điểm AB.. -74-. WWW.ToanCapBa.Net.

<span class='text_page_counter'>(75)</span> WWW.ToanCapBa.Net BÀI TẬP ELIP DẠNG 1: BÀI 1: Trong mp với hệ tọa độ Oxy cho elip (E) : x2 + 4y2 = 4 a/ Tìm tọa độ các đỉnh , tọa độ các tiêu điểm và tính tâm sai của elip . b/ Đường thẳng đi qua tiêu điểm F2 của elip và song song với trục 0y cắt elip tại 2 điểm M,N .Tính độ dài đoạn thẳng MN . 4 x2 y2 BÀI 2: Trong mp với hệ tọa độ 0xy cho elip (E) : + =1 . 25 4 a/ Tìm tọa độ các tiêu điểm và tính tâm sai của elip . b/ Tìm các giá trị của b để đường thẳng y = x + b có điểm chung với elip trên . x2 y2 BÀI 3: Trong mp với hệ tọa độ 0xy cho elip (E) : + =1 49 24 a/ Tìm tọa độ điểm M thuộc (E) sao cho : MF1 = 12 b/ Tìm tọa độ điểm N thuộc (E) sao cho : NF2 = 2NF1 . x2 y2 BÀI 4: Trong mp với hệ tọa độ 0xy cho elip (E) : + =1 6 2 a/ Xác định độ dài các trục và tiêu cự. b/ Tìm những điểm M thuộc (E) sao cho nó nhìn hai tiêu điểm của (E) dướ một góc vuông. x2 y2 BÀI 5: Trong mp với hệ tọa độ 0xy cho elip (E) : + =1 14 9 a/ Tìm độ dài tiêu cự và tính tâm sai của (E). b/ Khi M chạy trên (E). Khoảng cách MF1 có giá trị nhỏ nhất và Gía trị lớn nhất bằng bao nhiêu ? BÀI 6: : Trong mp với hệ tọa độ 0xy cho elip (E) : 9 x 2+ 4 y 2=36 a/ Viết phương trình hai đường chuẩn của (E). b/ Tìm điểm M thuộc (E) sao cho: MF1 = 3MF2 x2 y 2 BÀI 7: Trong mp với hệ tọa độ 0xy cho elip (E) : + =1 , tiêu điểm F1,F2 25 16 a/ Cho điểm M (3; m) thuộc (E) , Hãy viết phương trình tiếp tuyến của (E) tại M khi m>0 b/ Cho A,B là hai điểm thuộc (E) sao cho AF1 + BF2 = 8. Tính AF1 + BF2 . DẠNG 2,3 BÀI 8: Trong mp với hệ tọa độ 0xy cho elip (E) có khoảng cách giữa các đường chuẩn là 36 và bán kính qua tiêu điểm của điểm M thuộc (E) là 9 và 15. a/ Viết phương trình chính tắc (E). b/ Viết phương trình tiếp tuyến của (E) tại M. 5 BÀI 9: Trong mp tọa độ 0xy cho (E) đi qua điểm M (2; ) và 1 tiêu điểm F1 ( -2; 0). 3 a/ Lập phương trình chính tắc của (E). b/ Viết phương trình tiếp tuyến của (E) đi qua M (4; 0). BÀI 10:Trong mp với hệ tọa độ 0xy cho M ( 2; - √ 2 ) và N ( - √ 6 ; 1) a/ Lập phương trình chính tắc của elip đi qua M và N. b/ Tính khoảng cách giữa hai đường chuẩn của elip trên. BÀI 11: Trong mp tọa độ 0xy . Lập phương trình chính tắc của elip có độ dài trục lớn bằng 2 √ 5 và tiêu cự bằng 2. Viết phương trình 2 đường chuẩn của elip nói trên. BÀI 12: Trong mặt phẳng 0xy cho M (- √ 5 ; 2). a/ Lập phương trình chính tắc của elip có trục lớn nằm trên 0x đi qua M và khoảng cách giữa 2 đường chuẩn là 10. b/ Viết phương trình các tiếp tuyến của elip trên biết tiếp tuyến song song đường thẳng (d): x + y + 2008 = 0. -75-. WWW.ToanCapBa.Net.

<span class='text_page_counter'>(76)</span> WWW.ToanCapBa.Net BÀI 13: Trong mp tọa độ 0xy cho (E):. x2 y2 + =1 . 9 4. a/ Viết phương trình tiếp tuyến của elip (E) tại các giao điểm của elip với đường thẳng y =. 2x . 3. b/ Viết phương trình tiếp tuyến của elip đi qua M (3; 5). BÀI 14: Trong mp với hệ tọa độ 0xy cho elip (E): 2 2 x y + =1 . 9 4 a/ Tìm tọa độ đỉnh và tiêu điểm . b/ Viết phương trình tiếp tuyến của elip biết tiếp tuyến vuông góc đường thẳng d: 3x – y + 1 = 0. BÀI 15: Trong mp tọa độ 0xy . Lập phương trình chính tắc của elip có tiêu cự 2 √ 15 và tiếp xúc với đường thẳng d : x + y – 5 = 0. BÀI 16 : Trong mp với hệ tọa độ 0xy cho họ đường thẳng (dt ) : 3xcost – 4ysint + √ 5+cos 2 t , t : tham số .Khi t thay đổi (dt) luôn tiếp xúc với 1 elip (E) cố định .Tìm pt ct của elip đó , tính tâm sai của elip . BÀI 17: Trong mp với hệ tọa độ 0xy cho elip (E) : 18x2 + 32y2 = 576. a/ Viết phương trình tiếp tuyến của elip tại điểm M(4;3) b/ Tiếp tuyến đó cắt 0x,0y lần lượt tại A,B .Tính diện tích tam giác 0AB (0là gốc tọa độ ) DẠNG 4: BÀI 18: Cho A, B,C cố định theo thứ tự này trên đường thẳng d cố định. Đường tròn (O) lưu động tiếp xúc với d tại A. Từ B và C kẻ những tiếp tuyến với (O). Hai tiếp tuyến này cắt nhau tại M. Tìm tập hợp điểm M. BÀI 19: Trong mp với hệ tọa độ 0xy cho elip (E): 4x2 + 9y2 = 36 .A1 , A2 là 2 đỉnh trên trục kớn.Điểm Mdi động trên(E) .Tìm tập hợp các trực tâm H của tam giác MA1A2 . BÀI 20: Trong mp với hệ tọa độ 0xy cho elip (E): x2 + 4y2 = 4. M(-2;m ) , N(2;n) , m khác n . a/ A1 ,A2 là các đỉnh trên trục lớn của (E) . Viết phương trình các đường thẳng A1N , A2M .Xác định tọa độ giao điểm I của chúng . b/ Đường thẳng MN thay đổi nhưng luôn luôn tiếp xúc với (E) . Tìm tập hợp các điểm I .. ĐÁP ÁN BÀI 1: x2 y2 + =1 4 1 Đỉnh A1 ( -2; 0 ) và A2 ( 2; 0) , B1(0; 1) , B2 (0; 1) Tiêu điểm F1 (- √ 3 ; 0 ) , F2 ( √ 3 ; 0) √3 Tâm sai e = 2 b/ (0,75) MN = 2MF2 M, N có hoành độ x = √ 3 √3 . √ 3 = 1 MF2 = 2 2 2 MN = 1 BÀI 2: 25 9 3 ⇒ c= a/ (1 đ) a2 = , b2 = 4 ⇒ c2 = a2 – b2 = 4 4 2 −3 3 c 3 ; 0 ) , F2 ( = F1 ( ;0), e= 2 2 a 5 b/ (1 đ ) Phương trình hoành độ giao điểm : 41x2 + 50bx + 25b2 – 100= 0 a/. -76-. WWW.ToanCapBa.Net.

<span class='text_page_counter'>(77)</span> WWW.ToanCapBa.Net Đường thẳng có điểm chung với elip khi và chỉ khi 41 − 41 41 25 b ¿2 −41(25b 2 − 100)≥ 0 ⇔b2 ≤ ⇔ √ ≤ b ≤ √ 4 2 2 Δ=¿ BÀI 3: ⇒ c=5 a/ ( 1 điểm ) : a = 7 , b = 2 √ 6 5 MF1 = 7 + xM.MF2 = 12 ⇔ xM = 7 7 2 √6 yM = √ 49− 72 = 0 và yM = - 2 √7 6 √ 49− 72 = 0 ⇒ M ( 7; 0 ) trùngA1(0;5 ) 7 5 5 x 0 ,MF 2=7 − x 0 , b/ (1 đ ) M (x0 ; y0) . MF1 = 7 + 7 7 5 5 NF2 = 2NF1 ⇔ 7+ x0 =2(7 − x 0 ) 7 7 − 49 8 66 8 √ 66 ⇒ y 0= √ giải ra : x0 = và y0 = . 15 15 15 − 49 8 √ 66 − 49 − 8 √66 ; ; vậy : M1 ( ) M2 ( ) 15 15 15 15 BÀI 4 : a/ 2a = 2 √ 6 ; 2b = 2 √ 2 ; 2c = 4 b/ M(x; y) (E) : 2x2 + 6y2 = 12 M nhìn F1F2 dưới 1 góc vuông nên M thuộc đường tròn . Tâm O bán kính R= 2. (C) : x2+ y2 = 4 ¿ ¿ 2 x + y 2=4 x=± √ 3 tọa độ điểm M thỏa mãn hệ pt : 2 x 2 +6 y 2=12 giải ra y =±1 ¿{ ¿{ ¿ ¿ kl : 4 điểm M 2 √5 BÀI 5: a/ 2c = 2 √ 5 tâm sai e = √ 14 c x , M( x;y ) thuộc elip nên : -a b/ MF1 = a + x a a suy ra : a - c MF1 a+ c vậy : √ 14 − √ 5 ≤ MF1 ≤ √ 14+ √ 5 . KL : BÀI 6: 9 9 Δ 1 : x=− , Δ 2 : x= a/ (0,5) √5 √5 √5 x , MF =3− √5 x b/ M(x;y) thuộc elip MF1 =3+ 2 3 3 9 MF1 = 3MF2 giải ra : x = 2 √5 109 √ suy ra : y = ± .KL: có 2 điểm M1, M2 3 √5 BÀI 7: a/ Tính ra m = 16/5 ( do m > 0 ) dùng công thức viết pttt tại điểm thuộc elip viết được : 3x + 5y - 25 = 0 b/ có : AF1 + AF2 = 10 Và BF1 + BF2 = 10 giải ra : AF2 + BF1 = 12 -77-. WWW.ToanCapBa.Net.

<span class='text_page_counter'>(78)</span> WWW.ToanCapBa.Net BÀI 8 : x2 y2 + =1 , a > b > 0 a/ giả sử x > 0 ptct có dạng : a2 b2 c c x x MF1 = a + và MF2 = a a a MF1 = 15 và MF2 = 9 suy ra : a = 12 khoảng cách 2 đường chuẩn bằng 36 suy ra : c = 8 b2 = 144 – 64 = 80 . KL : 8 x =9 giải tìm x sau đó tìm y , suy ra 2 điểm M1 , M2 b/ dùng 12 12 Viết pttt tại M1 ,M2 BÀI 9: ¿ 4 25 + =1 a2 b2 a/ Dạng ptct elip . theo đề : giải ra : a2 = 9 , b2 = 5 . KL : a2 − b2=4 ¿{ ¿ → 2 2 b/ gọi d qua M nhận 0 n =( A ; B) làm véc tơ pháp tuyến , A + B 2 2 2 ⇔ 9A + 5B ⇔ 7A2 d: Ax + By - 4A = 0 d tiếp xúc elip = 16A 0 Lí luận giải ra A = √ 5 suy ra : B = ± √ 7 .KL : 2 PTTT BÀI 10: a/ (1 đ) dạng ptct M,N thuộc elip nên : ¿ 4 2 + 2 =1 2 a b 6 1 giải ra : a2 = 8 và b2 = 4 .KL ptct + 2 =1 2 a b ¿{ ¿ b/ Tính c = 2 khoảng cách 2 đường chuẩn bằng : 8 BÀI 11: Tính được a = √ 5 , c = 1 suy ra : b2 = 4 ptct : pt 2 đường chuẩn : x = ±5 BÀI 12 : a/ (1 đ ) dạng ptct . Theo đề ta có : ¿ 2 a2 =10 c 5 4 (0,5) giải ra : a2 = 15 , b2 = 6 .KL ptct + 2 =1 2 a b ¿{ ¿ b/ ( 1 đ) d’ song song với d có pt : x + y + C = 0 ⇔ 15 + 6 = C2 suy ra C = ± √ 21 d’ tx với elip KL : x + y ± √21 =0 BÀI 13: -78-. WWW.ToanCapBa.Net. -5B2. =.

<span class='text_page_counter'>(79)</span> WWW.ToanCapBa.Net. 3 √2 x y 2 + √ −1=0 pttt tại M1 : 4 3 √2 x y 2 + √ +1=0 pttt tại M2 : 4 3 √2 b/ (1 đ) d : Ax + By -3A -5B = 0 ⇔ 9A2 + 4B2 = ( 3A + 5B )2 d tiếp xúc ( E) 10 ⇔ B = 0 ;B =A 7 giải ra có 2 tt : x – 3 = 0 ; 7x – 10y +15 = 0 BÀI 14: a/ đỉnh , tiêu điểm đúng b/ d’: x + 3y + C = 0 ⇔ 9 +36 = C2 d’ tiếp xúc (E) giải ra có 2 tt : x + 3y ±3 √ 5 = 0 BÀI 15: Dạng ptct c = √ 15 a2  b2 = 15 (1) d tiếp xúc (E) ⇔ a2 + b2 =25 (2) (1) và (2) suy ra : a2 = 20 b2 = 5 KL: BÀI 16: Dạng ptct : (dt) tiếp xúc (E) ⇔ 9cos2t.a2 +16sin2t.b2 = 5 + cos2t ⇔ 3cos2t(a2 – 2 ) + 4sin2t(4b2 - 1 ) = 0 với mọi t ⇔ a2 = 2 và b2 = ¼ KL: 7 ⇒ c= √ c2 = 2 - ¼ 2 kl : F1,, F2 BÀI 17: a/ Chứng tỏ M thuộc (E) PTTT tại M : 6x + 8y - 48 = 0 b/ (1 đ) tìm A(8;0) B(0;6) S = ½ 0A.0B = 24 (đvdt ) BÀI 18: Gọi T,T’ tiếp điểm của elip kẻ từ B,C ( Vẽ hình ) MB = MT + TB = MT + AB MC = CT’ - T’M = CA - MT’ suy ra : MB + MC = AB + AC ( hằng số ) KL: Tập hợp điểm M là elip có tiêu điểm B,C và đỉnh A BÀI 19: M(x;y) thuộc (E) và MP vuông góc A1A2 . PH A 1 P = Tam giác A1PH đồng dạng với tam giác MPA2: PA 2 MP PH2.PM2 = PA12.PA22 ⇔ yH2.y2 = ( 9 – x2 )2 4 mà y2 = ( 9 – x2) 9 a/ (1 đ ) Tìm x = ±. -79-. WWW.ToanCapBa.Net.

<span class='text_page_counter'>(80)</span> WWW.ToanCapBa.Net x 2H y 2H + =1 ⇔ (1) 9 81 4 Vậy tập hợp điểm H là đường elip có pt (1) BÀI 20: a/ A1N : nx -4y + 2n = 0 A2M: mx + 4y -2m = 0 2( m− n) mn ; Tìm giao điểm I( ) m+n m+n b/ (1 đ ) MN: (n- m )x – 4y + 2(m + n ) = 0 MN tiếp xúc (E) ⇔ mn = 1 ¿ 2(m− n) x= m+n Tọa độ điểm I: khử m,n giữa x,y ta có: mn y= m+n ¿{ ¿ 4 yH2. (9 – xH2 ) = (9 – xH2)2 9. -80-. 2. 2. x 4y + =1 4 1. WWW.ToanCapBa.Net.

<span class='text_page_counter'>(81)</span> WWW.ToanCapBa.Net ĐƯỜNG HYPEBOL. B2. B1. 2/ Phương trình chính tắc x 2 y2  1 a 2 b2 với c2 = a2+ b2. 3/ Các thành phần của Hyperpol (H) + Trục thực A1A2 (nằm trên Ox); Trục ảo B1B2 (nằm trên Oy); Độ dài trục thực: A1A2 = 2a Độ dài trục ảo: B1B2 = 2b + Hai tiêu điểm F1 (c;0), F2(c;0) nằm trên Ox + Tiêu cự: F1F2 = 2c c + Tâm sai: e= a. (e>1). a 2a 2  + Đường chuẩn: x= e ; Khoảng cách giữa hai đường chuẩn là: c. + Hình chữ nhật cơ sở: là hình chữ nhật giới hạn bởi 4 đường x= a, y=b b  x + Đường tiệm cận: y= a (là hai đường chéo của HCNCS). Nếu a= b thì hai đường tiệm cận vuông góc nhau + Bán kính qua các tiêu điểm:. Muốn bỏ dấu | | ta xét M thuộc nhánh phải (x>0) hoặc trái (x<0). (Không học). x 2 y2  2 1 2 a * Chú ý: Nếu tiêu điểm nằm trên Oy thì (H'): b -81-. WWW.ToanCapBa.Net.

<span class='text_page_counter'>(82)</span> WWW.ToanCapBa.Net c Khi đó trực thực là B1B2 , trục ảo A1A2 ; Tâm sai e= b với c2 = a2+ b2 b  x Đường tiệm cận: y= a. -82-. WWW.ToanCapBa.Net.

<span class='text_page_counter'>(83)</span> WWW.ToanCapBa.Net VÍ DỤ. -83-. WWW.ToanCapBa.Net.

<span class='text_page_counter'>(84)</span> WWW.ToanCapBa.Net. Ví dụ 6:. -84-. WWW.ToanCapBa.Net.

<span class='text_page_counter'>(85)</span> WWW.ToanCapBa.Net. -85-. WWW.ToanCapBa.Net.

<span class='text_page_counter'>(86)</span> WWW.ToanCapBa.Net. -86-. WWW.ToanCapBa.Net.

<span class='text_page_counter'>(87)</span> WWW.ToanCapBa.Net BÀI TẬP HYPEPOL. Bài 1/ Xác định tọa tiêu điểm, tọa độ các đỉnh; tìm tiêu cự, tâm sai, độ dài các trục, phương trình đường tiệm cận của các (H) sau: x2 y 2  1 a) 9 4. b). g). h). x2 y2 − =1 16 9 k) 4x2y2=4 i). j). 2. x − 9 x2 − 5. 2. y =1 4 y2 =1 4. Bài 2: Lập phương trình chính tắc của Hyperbol (H) (tiêu điểm trên Ox), biết: a) Nửa trục thực là 4, tiêu cự bằng 10; 2 13 b) Tiêu cự bằng 2 , một tiệm cận y= 3 x; c) Tâm sai e= 5 , (H) đi qua điểm M( 10 ;6); 5 d) Độ dài trục thực là 8, tâm sai e= 4 ; 5 e) Độ dài trục ảo là 12, tâm sai e= 4 ;. f) (H) đi qua điểm M(2;5), một đường tiệm cận có phương trình g) Độ dài trục thực và trục ảo lần lượt là 10 và 8;. 5 x+y= 0;. 5 h) Độ dài trục thực là 8, tâm sai e= 3 ;. i) Độ dài tiêu cự là 20 và một đường tiệm cận có phương trình 4y+3y= 0; Đáp số: a) a=4; c= 5; b= 3;. b) c= 13 ;a2= 9; b2= 4;. d) a= 4; c= 5; b=3; e) a=8; b= 6 g) a=5; b= 4 h) a=4; b= 3 Bài 3: Lập phương trình chính tắc của Hyperbol (H) a. có tâm sai e = √ 5 và (H) đi qua M ( √ 10 ;5) b. đi qua điểmM ( √ 15 ;-1) v à N(4;. c) a2= 1; b2= 4 f) a= 5 ; b=1 i) a= 6; b= 8. 2 ) √3. c. qua hai điểm A( 4; 6 ), B( 6;  1 ). d. có tiêu cự bằng 2 √ 6 ,và một tiệm cận có pt là: x-y √ 2 =0. e. Biết (H) đi qua điểm A( 4 2 ;3) và có các tiêu điểm trùng với các tiêu điểm của Elíp (E): x 2 y2  1 35 10 .. f. qua điểm M(24;5) và có hai đường tiệm cận là 5x + 12y = 0 và 5x –12y = 0 -87-. WWW.ToanCapBa.Net.

<span class='text_page_counter'>(88)</span> WWW.ToanCapBa.Net 4 34 9 ; g.. chứa điểm M( 5 5 ). Biết rằng M nhìn hai tiêu điểm F 1 và F2 dươi một góc bằng. một vuông .. -88-. WWW.ToanCapBa.Net.

<span class='text_page_counter'>(89)</span> WWW.ToanCapBa.Net Bài 4: Cho hypebol có phương trình : 4x29y2= 36 a) Xác định tọa độ các đỉnh, các tiêu điểm và tâm sai; 7 3 b) Viết phương trình chính tắc của elip (E) đi qua M( 2 ;3) và có chung các tiêu điểm. với (H). Đáp số: a) a= 3; b= 2; c= 13 ;. b) a= 7; b= 6. 9 Bài 5: Trong mpOxy cho (H) đi qua M(5; 4 ) và nậhn điểm F1(5;0) là tiêu điểm của nó.. a) Viết phương trình chính tắc của (H); b) Viết phương trình tiếp tuyến của (H) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng 5x+4y1= 0 Đáp số: a) c= 5; a= 4; b= 3; b) 5x+4y 16= 0 Bài 6: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho (H) :. x2 y2 − =1 4 12. a. Tìm toạ độ các tiêu điểm và các đỉnh của (H). Tìm Điểm M nằm trên (H) sao cho MF2 =2 MF1 . Bài 7: Cho (H). 2. 2. x y − =1 . Đường thẳng (d): 2x+15y -10 = 0 cắt (H) tại hai điểm phân biệt 25 4. A,B (với điểm A có hoành độ dương ).Tìm tọa độ điểm C thuộc (H) sao cho tam giác ABC cân tại A.. Bài 8: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho (H):. 2. 2. x y − =1 9 7. a. Tìm tâm sai của (H). b. Tìm toạ độ Điểm M thuộc (H) nhìn hai tiêu điểm dưới một góc vuông. -89-. WWW.ToanCapBa.Net.

<span class='text_page_counter'>(90)</span> WWW.ToanCapBa.Net ĐƯỜNG PARABOL (P). -90-. WWW.ToanCapBa.Net.

<span class='text_page_counter'>(91)</span> WWW.ToanCapBa.Net BÀI TẬP. Bài 1: Tìm tọa độ tiêu điểm, phương trình đường chuẩn của các parabol (P) sau: a) y2 = 8x b) y= x2 c) y2 + 6x = 0 d) 3x2+ 12y=0 e) y2 = 4x f) 5y2 = 12x g) 2y2 x=0 h) y2 = ax (a>0) Đáp số: a) p= 4. b) p= ½. c) p= 3. d) p= 2. Bài 2: Lập phương trình chính tắc của (P) biết: a) (P) có tiêu điểm F(3;0); b) (P) đi qua M(1;1); 1 c) (P) có tham số tiêu p= 3 . 2. 2 c) y = 3 x. 2. 2. Đáp số: a) y = 12x ; b) y = x Bài 3: Lập phương trình chính tắc của (P) biết: a) (P) có tiêu điểm F(1;0); b) (P) có tham số tiêu p=5; c) (P) nhận đường thẳng d: x= 2 làm đường chuẩn; d) Một dây cung của (P) vuông góc trục Ox có độ dài bằng 8 và khoảng cách từ đỉnh O của (P) đến dây cung này bằng 1. Đáp số: a) y2 = 4x b) y2 = 10x c) y2 = 8x d) y2 = 16x Bài 3: Lập phương trình chính tắc của (P), biết (P) có: a) Ox là trục đối xứng và tiêu điểm là F(4;0); b) Ox là trục đối xứng và tiêu điểm là F(2;0); c) Tiêu điểm F(2;0); d) Đường chuẩn có phương trình x= 3; e) Tiêu điểm là F(0;1) và đường chuẩn là y= 1; f) Trục (P) là trục OY và khoảng cách từ tiêu điểm đến đường chuẩn là 1. Đáp số: a) p=8 y2= 16x b) p= 4 y2= 8x c) p= 4 y2= 8x d) p= 6 y2= 12x e) x2= 4y f) x2= 2y. -91-. WWW.ToanCapBa.Net.

<span class='text_page_counter'>(92)</span> WWW.ToanCapBa.Net. CẤU TRÚC ĐỀ THI HK1 THAM KHẢO. (2010-2011) I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC HỌC SINH (7.0 điểm) Câu I ( 1,0 điểm) (thông hiểu) Các phép toán tập hợp Câu II (2,0 điểm) 1) Vẽ đường thẳng y= ax+b (nhận biết) 2) Tìm phương trình Parabol (2 hệ số) (thông hiểu) 3) Tìm giao điểm của hai hàm số (1 hàm bậc nhất) (nhận biết) Câu III ( 3,0 điểm) 1) Giải phương trình chứa căn, phương trình chứa giá trị tuyệt đối, phương trình trùng phương. (nhận biết) 2) Biện luận phương trình bậc nhất hoặc nghiệm của phương trình bậc hai (thông hiểu). Câu IV ( 2,0 điểm) Hệ trục tọa độ và các phép toán trên hệ trục tọa độ 1) ý 1: (nhận biết) 2) ý 2: (thông hiểu) II. PHẦN RIÊNG (3 điểm) 1. Theo chương trình chuẩn Câu Va ( 2,0 điểm) 1) Phương trình quy về bậc hai (thông hiểu) 2) Bất đẳng thức (vận dụng) Câu VIa (1,0 điểm) Tích vô hướng và ứng dụng (vận dụng) 2. Theo chương trình nâng cao Câu Vb ( điểm) 1) Hệ phương trình bậc hai (vận dụng) 2) Phương trình quy về bậc hai (thông hiểu) Câu Vb ( 1,0 điểm) Tích vô hướng hoặc hệ thức lượng trong tam giác (vận dụng). ......................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................... -92-. WWW.ToanCapBa.Net.

<span class='text_page_counter'>(93)</span> WWW.ToanCapBa.Net ......................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... -93-. WWW.ToanCapBa.Net.

<span class='text_page_counter'>(94)</span> WWW.ToanCapBa.Net TRẬN ĐỀ KIỂM TRA TOÁN 10 HỌC KÌ 2 (Dùng cho loại đề kiểm tra TL) Ma trận 1. Phần chung. Chủ đề Mạch KTKN Phương trình – Bất phương trình Thống kê. 1 1. Tổng phần chung Phần riêng. 2 1,0. 2,0 1. 1,0. 1,0 1. 1 1,0. 1. 2 1,0. 1 1,0. 2. 1,0. 2,0. 2,0 2. 3,0 1. 7 2,0. 1 1,0. HTL trong tam giác PP Toạ độ trong MP. 2,0 2. 3. PT, Bất PT. 7,0 2. 1,0. 1. 2,0 1. 1,0 2. Tổng phần riêng Tổng toàn bài. Cộng. 4. 1. Lượng giác PP Toạ độ trong MP. Mức nhận thức 2 3 1 1,0. 1,0 1. 2,0 2. 5 2,0. 3 1,0. 3 5,0. Diễn giải: 1) Chủ đề. 3,0 10. 3,0. – Hình học: 3,0 điểm – Đại số: 7,0 điểm 2) Mức nhận biết: – Chuẩn hoá: 7,0 điểm (hoặc 8,0 điểm) – Phân hoá: 3,0 điểm (hoặc 2,0 điểm) Mô tả chi tiết: I. Phần chung: Câu 1: Giải bất phương trình qui về bậc hai: dạng tích, chứa ẩn ở mẫu, chứa ẩn trong dấu GTTĐ (gồm 2 câu nhỏ) Câu 2: Tìm các số đặc trưng của bảng số liệu. Câu 3: Chứng minh hệ thức lượng giác; tính giá trị biểu thức lượng giác (gồm 2 câu nhỏ) Câu 4: Viết phương trình đường thẳng, đường tròn (gồm 2 câu nhỏ) II. Phần riêng: 1) Theo chương trình chuẩn Câu 5a: – Giải phương trình chứa căn thức – Tìm điều kiện của tham số để phương trình bậc hai có nghiệm (có nghiệm; vô nghiệm; có 2 nghiệm cùng dấu, trái dấu) Câu 6a: Giải tam giác; Đường tròn; Elip. 2) Theo chương trình nâng cao Câu 5b: – Giải PT, BPT chứa căn thức. – Tìm điều kiện của tham số để phương trình dạng bậc hai có nghiệm (có nghiệm, vô nghiệm, có 2 nghiệm cùng dấu, trái dấu) Câu 6b: Đường tròn; Elip; Hypebol; Parabol.. -94-. WWW.ToanCapBa.Net. 10,0.

<span class='text_page_counter'>(95)</span> WWW.ToanCapBa.Net TOÁN 10 HỌC KÌ 2 Ma trận 2 Phần chung. Chủ đề Mạch KTKN Phương trình – Bất phương trình Thống kê. 1 2. Mức nhận thức 2 3 1 2,0. Tổng phần chung Phần riêng. 3,0 1. 1,0. 1,0 1. 1 1,0. 1. 1 1,0. 2. 1,0. 2,0. 2,0 2. 3,0 1. 7 2,0. 1 1,0. HTL trong tam giác PP Toạ độ trong MP. 1,0 2. 3. Lượng giác. 7,0 2. 1,0. 1. 2,0 1. 1,0 2. Tổng phần riêng Tổng toàn bài. 3 1,0. 1. Bất đẳng thức PP Toạ độ trong MP. Cộng. 4. 1,0 1. 2,0 2. 5 2,0. 3 1,0. 3 5,0. 3,0 10. 3,0. 10,0. Diễn giải: 1) Chủ đề. – Hình học: 3,0 điểm – Đại số: 7,0 điểm 2) Mức nhận biết: – Chuẩn hoá: 7,0 điểm (hoặc 8,0 điểm) – Phân hoá: 3,0 điểm (hoặc 2,0 điểm) Mô tả chi tiết: I. Phần chung: Câu 1: Giải bất phương trình qui về bậc hai: dạng tích, chứa ẩn ở mẫu, chứa ẩn trong dấu GTTĐ, chứa ẩn trong dấu căn (gồm 2 câu nhỏ) Câu 2: Tìm điều kiện của tham số để phương trình bậc hai có nghiệm (có nghiệm; vô nghiệm; có 2 nghiệm cùng dấu, trái dấu) Câu 3: Tìm các số đặc trưng của bảng số liệu. Cấu 4: Chứng minh bất đẳng thức. Câu 5: Phương trình đường thẳng, đường tròn (gồm 2 câu nhỏ) II. Phần riêng: 1) Theo chương trình chuẩn Câu 6a: Chứng minh hệ thức lượng giác; tính giá trị biểu thức lượng giác (gồm 2 câu nhỏ) Câu 7a: Giải tam giác; Đường tròn; Elip. 2) Theo chương trình nâng cao Câu 6b: Chứng minh hệ thức lượng giác; tính giá trị biểu thức lượng giác (gồm 2 câu nhỏ) Câu 7b: Đường tròn; Elip; Hypebol; Parabol.. ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... -95-. WWW.ToanCapBa.Net.

<span class='text_page_counter'>(96)</span> WWW.ToanCapBa.Net ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... -96-. WWW.ToanCapBa.Net.

<span class='text_page_counter'>(97)</span> WWW.ToanCapBa.Net ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................... -97-. WWW.ToanCapBa.Net.

<span class='text_page_counter'>(98)</span>