de thi chon hsg lop 12 nam 2012

<span class='text_page_counter'>(1)</span>SỞ GD-ĐT ĐỒNG THÁP. KỲ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH Năm học 2007-2008 Môn thi: Toán 12 Thời gian làm bài:180 phút. Bài 1 (5 điểm) a) Tìm tất cả các số nguyên m sao cho phương trình x2+(m2-m)x-m3+1=0 có một nghiệm nguyên. log 2 ( 2  1) x  3  1  log 2 ( 2  1) x  3 2. b) Giải bất phương trình: Bài 2 (5 điểm) a) Giải phương trình: 4sin25x-4sin2x+2(sin6x+sin4x)+1=0 b) Cho các số thực x1, x2,…,xn thỏa mãn: sin2x1+2sin2x2+…+nsin2xn=a, với n là số 0 a . n(n 1) 2 . Xác định các giá trị của x1,. nguyên dương, a là số thực cho trước, x2,…,xn sao cho tổng sin2x1+2sin2x2+…+nsin2xn đạt giá trị lớn nhất và tìm giá trị lớn nhất này theo a và n. Bài 3 ( 4điểm) a) Cho 3 số thực a,b,c thỏa mãn: abc=1. Chứng minh: 1 1 1 3  6 2  6 2  2 2 2 a (b  c ) b (c  a ) c (a  b ) 2 6. 2. cot A(cot A  2 cot B) A B 2 cot  cot B A B 2 2 cot  cot B 2 b) Cho tam giác ABC thỏa mãn điều kiện. Chứng minh tam giác ABC là tam giác cân. Bài 4 ( 2điểm) Cho tam giác ABC trên các cạnh BC, CA, AB lần lượt lấy các điểm A’,B’,C’ sao cho AA’, BB’, CC” đồng qui tại điểm M. Gọi S1,S2,S3 lần lượt là các MA ' MB ' MC '  x,  y, z MB MC diện tích của các tam giác MBC, MCA, MAB và đặt MA. Chứng minh (y+z-1)S1+(x+z-1)S2+(x+y-1)S3=0 Bài 5 u1 1  1  un2  1  un 1  un  un  0 Cho dãy {un}, n là số nguyên dương xác định như sau:  n 1    1  1   1     4   2   Tính u và chứng minh rằng: u +u +…+u n. 1. 2. n. Bài 6 (2 điểm) Cho đa thức f(x)=x3+ax2+bx+b có 3 nghiệm x1,x2, x3 và đa thức g(x)=x3+bx2+bx+a Tính tổng S=g(x1)+g(x2)+g(x3) theo a, b..

<span class='text_page_counter'>(2)</span> SỞ GD-ĐT THỪA THIÊN HUẾ. KỲ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH Năm học 2009-2000 Môn thi: Toán 12 Thời gian làm bài:180 phút. Bài 1 (2,5 điểm) 5 2 4 Cho phương trình: x  34 x  a  ( x  1)( x  33) 1. a) Giải phương trình khi a=64 b) Tìm a để phương trình có nghiệm. Bài 2 (2,5 điểm) Cho 2 số a1, b1 với o<b1= a1 <1. Lập 2 dãy số (an), (bn) với n=1,2,… theo 1 an 1  (an  bn ), bn 1  an 1bn 2 quy tắc sau:. Tính liman và limbn Bài 3 (2,5 điểm) Trong khôn gian cho 3 tia Ox, Oy, Oz không đồng phẳng và 3 điểm A, B, C (khác điểm O) lần lượt trên Ox, Oy, Oz. Dãy số (an) là 1 cấp số cộng có a1>0 và công sai d>0. Với mỗi số n nguyên dương trên các tia Ox, Oy, Oz theo thứ tự lấy các điểm An, Bn, Cn sao cho OA=anOAn,OB=an+1OBn, OC=an+2OCn. Chứng minh mặt phẳng (AnBnCn) luôn luôn đi qua một đường thẳng cố định Bài 4 (2,5 điểm) Tập hợp M gồm hữu hạn điểm trên mặt phẳng sao cho với mọi điểm X thuộc M tồn tại đúng 4 điểm thuộc M có khoảng cách đến X bằng 1. Hỏi tập hợp M có thể chứa ít nhất bao nhiêu phần tử..

<span class='text_page_counter'>(3)</span> SỞ GD-ĐT THỪA THIÊN HUẾ. KỲ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH Năm học 2009-2000 Môn thi: Toán 12 Thời gian làm bài:180 phút. Bài 1 (5 điểm) Cho phương trình: cos3x+asinx.cosx+sin3x=0 a) Giải phương trình khi a= 2 b) Với giá trị nào của a thì phương trình có nghiệm Bài 2 (5 điểm) Giả sử phương trình x3 + x2 +ax+b=0 có 3 nghiệm phân biệt. Hãy xét dấu của biểu thức a2 – 3b. Bài 3 (5 điểm) 1. Tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số. y  1  a x  x. với a>0.. Bài 4 (5 điểm) Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình chữ nhật có AB=a, BC=b, SA=SB=SC=SD=c. K là hình chiếu vuông góc của P xuống AC. a) Tính độ dài đoạn vuông góc chung của SA và BK. b) Gọi M,N lần lượt là trung điểm của đoạn thẳng AK và CD. Chứng minh các đường thẳng BM, MN vuông góc với nhau..

<span class='text_page_counter'>(4)</span> SỞ GD-ĐT THỪA THIÊN HUẾ. KỲ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH Năm học 2009-2010 Môn thi: Toán 12 Thời gian làm bài:180 phút. Câu 1 (2,5 điểm) Cho hàm số f: . 0;1   0;1. 0;1 liên tục trên đoạn   , có đạo hàm trong khoảng. (0;1) và f(0)=0, f(1)=1. a) Chứng minh tồn tại số c thuộc (0;1) sao cho f(c)=1-c. b) Chứng minh rằng tồn tại hai số a, b phân biệt thuộc (0;1) sao cho f’(a).f’(b)=1 Câu 2 (2,5 điểm) Cho 2 cặp số thực (x;y) thỏa mãn điều kiện x-2y+4=0 2 2 2 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  x  y  6 x  12 y  45  x  y  10 x  16 y  89. Bài 3 (3 điểm) Cho tam giác ABC. Tìm tập hợp các điểm M trong mặt phẳng sao cho: a).     3  MA MB  MC  MB  MC 2. b). 2 MA MB  4 MB  MC. . . . . Bài 4 (2 điểm) a) Chứng minh rằng. tan.   21 8. u1  2   un  2  1 un 1  1  (1  2)un b) Cho dãy số (un) xác định bởi  . Tính u2006.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> SỞ GD-ĐT THỪA THIÊN HUẾ. KỲ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH Năm học 2008-2009 Môn thi: Toán 12 Thời gian làm bài:180 phút. Bài 1 (8 điểm) a) Giải phương trình x  4. x  4  x  x  4 6 b) Tìm các giá trị của a để hệ phương trình sau có đúng 2 nghiệm: 2 2  x  y 2(1  a)  2 ( x  y ) 4. Bài 2 ( 6 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho A(1;2), B(0;1); C(-2;1). a. Viết phương trình đường tròn (T) ngoại tiếp tam giác ABC. b. Giả sử M là điểm chuyển động trên (T). Chứng minh rằng trọng tâm G của tam giác ABC luôn thuộc một đường tròn cố định. Viết phương trình đường tròn đó. Bài 3 (2 điểm) Cho tam giác ABC, gọi ma, mb, mc lần lượt là độ dài các đường trung tuyến. thuộc các cạnh BC=a, CA=b,AB=c có ma  mb  mc . mc . 3 c 2 . Chứng minh rằng. 3 ( a  b  c) 2. Bài 4 (4 điểm) Cho hai số thực x,y dương thỏa mãn điều kiện x  y 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất. của biểu thức:. P. 1 1   4 xy 2 x y xy 2.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> SỞ GD-ĐT SÓC TRĂNG. KỲ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH Năm học 2008-2009 Môn thi: Toán 12 Thời gian làm bài:180 phút. Bài 1 (2 điểm) Cho a và b là hai số thực thỏa mãn điều kiện a, b  1 và a+b=1. Chứng minh rằng: a  1  b  1  6 Bài 2 (4 điểm)  x 3  y 3 65  2 2 Giải hệ phương trình  x y  y x 20. Bài 3 (2 điểm) Tìm tất cả các hàm số f thỏa mãn: f(2-x)+x.f(x)=x. (. x  R \  1. ). Bài 4 (4 điểm) Giải phương trình tanx+tan2x+tan3x+cotx+cot2x+cot3x=6. Bài 5 (4 điểm) Cho tam giác ABC có số đo các góc A,B,C theo thứ tự đó lập thành 1 cấp số nhân 1 1 1   với công bội q=2. Chứng minh rằng: sin A sin B sin C. Bài 6 (4 điểm) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, chân đường cao trùng với tâm O của đáy. Từ trung điểm I của đường cao SO hạ đoạn vuông góc với cạnh bên SC và đoạn vuông góc với mặt bên (SBC), hai đoạn vuông góc này có độ dài lần lượt là a và b. Tính thể tích của khối chóp S.ABCD theo a và b..

<span class='text_page_counter'>(7)</span> SỞ GD-ĐT NAM ĐỊNH. KỲ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH Năm học 2008-2009 Môn thi: Toán 12 Thời gian làm bài:180 phút. Câu 1 1  1  x2  . Giải phương trình.  1  x    1  x   2  3. 3. 1  x2. Câu 2. Giải hệ phương trình. 6 8 10  x  y  z 1  2003 2005 2007 1  x  y  z. Câu 3 3 4 a) Chứng minh rằng: x4 +px+q 0 x  256q 27 p. (*). b) Chứng minh rằng nếu p, q là nghiệm đúng (*) thì qx4+px3+1 0 x Câu 4 Cho hàm số. f ( x)  2 x 2  x  m. . Tìm m để hàm số đạt giá trị lớn nhất và nhỏ.  1;1 nhất trên đoạn . Câu 5 Hai cạnh đối của một tứ diện có độ dài bằng x, các cạnh khác đều có độ dài bằng 1. Với giá trị nào của x để thể tích của tứ diện đạt giá trị lớn nhất..

<span class='text_page_counter'>(8)</span> SỞ GD-ĐT NAM ĐỊNH. KỲ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH Năm học 2008-2009 Môn thi: Toán 12 Thời gian làm bài:180 phút. Bài 1 1. Chứng minh rằng x  0 và n là số nguyên dương ta có: 2. Chứng minh rằng với 0,x<1 và n nguyên dương. ex  1  x . xn . 1  x . x2 xn  ...  2! n!. 1 2ne. Bài 2 Tìm các giá trị của tham số a sao cho phương trình sau có 3 nghiệm: 4 x  a .log 3 ( x 2  2 x  3)  2  x. 2. 2 x. .log 1 (2 x  a  2) 0 3. Bài 3 Đường chéo của hình hộp chữ nhật, tạo với 3 kích thước a,b,c các góc α,β,γ. Gọi V a6 b6 c6   2178V 2 12 12 12 là thể tích của hình hộp. Chứng minh rằng cos  cos  cos . Bài 4 Người ta sơn bề ngoài của một khối lập phương thành màu trắng và cưa thành 64 khối lập phương nhỏ. Sau đó từ các khối lập phương nhỏ, người ta lại xếp để tạo lại khối lập phương cũ, nhưng lúc ấy các khối lập phương nhỏ có thể thay đổi vị trí và quay đi. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp các khối lập phương nhỏ để khối lập phương lớn có bề ngoài được sơn màu trắng..

<span class='text_page_counter'>(9)</span> SỞ GD-ĐT THỪA THIÊN HUẾ. KỲ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH Năm học 2008-2009 Môn thi: Toán 12 Thời gian làm bài:180 phút. Bài 1 Cho phương trình cos3x+asinxcosx+sin3x=0 a. Giải phương trình khi a= 2 b. Với giá trị nào của a thì phương trình có nghiệm Bài 2 Giả sử phương trình x3+x2+ax+b=0 có 3 nghiệm phân biệt. Hãy xét dấu của biểu thức a2 – 3b. Bài 3. Cho hàm số. 1  2  x (1  cos ) f ( x )  x 0. khi x 0 khi x=0. a. Tìm đạo hàm cảu hàm số và chứng minh hàm số đạt cự tiểu tại x=0 1 x 2 (1  cos )  a x b. Tìm số a nhỏ nhất để:. x 0. Bài 4 Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình chữ nhật có AB=a, BC=b, SA=SB=SC=SD=c, K là hình chiếu vuông góc của B xuống AC a) Tính độ dài đoạn vuông góc chung của SA và BK b) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AK và CD. Chứng minh các đường thẳng BM và MN vuông góc với nhau..

<span class='text_page_counter'>(10)</span> SỞ GD-ĐT THỪA THIÊN HUẾ. KỲ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH. TRƯỜNG THPT HÓA CHÂU. Năm học 2008-2009 Môn thi: Toán 12 Thời gian làm bài:180 phút. Câu 1 (1,5 điểm) 1  2 x 2 1 lim Tính x 0 1  cos x. Câu 2 (1,5 điểm) Cho phương trình: (cosx+1)(cos2x-mcosx)=msin2x (1).  2   0;  Tìm m để phương trình (1) có đúng 1 nghiệm thuộc đoạn  3 . Câu 3 (1,5 điểm) 2. 2. Cho bất phương trình: 1  log5 ( x  1) log 5 (mx  4 x  m) (1) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình (1) nghiệm đúng với mọi giá trị của x. Câu 4 (2 điểm) Từ tấm tôn hình chữ nhật có kích thước là a, b. Người ta cắt bỏ 4 hình vuông bằng nhau ở 4 góc rồi gò thành 1 hình chữ nhật không có nắp. Cạnh của hình vuông căt đi phải bằng bao nhiêu để hình hộp có thể tích lớn nhất. Câu 5 (1,5 điểm) Trong một dạ hội cuối năm ở một cơ quan, ban tổ chức phát ra 100 vé xổ số được đánh số từ 1 đến 100 cho 100 người. Xổ số có 4 giải: 1 giải nhất, 1 giải nhì, 1 giải ba, 1 giải tư. Kết quả là việc công bố ai trúng giải nhất, giải nhì, giải ba, giải tư? a) Có bao nhiêu kết quả có thể, nếu biết rằng người giữ vé số 47 được giải nhất? b) Có bao nhiêu kết quả có thể nếu biết rằng người giữ vé số 47 trúng 1 trong 4 giải? Câu 6 (2 điểm) Tìm các đính B, C của tam giác ABC biết rằng tam giác ABC có A(-3;1), trực tâm 3 ;1 H( 2 ) và trọng tâm G(1;1)..

<span class='text_page_counter'>(11)</span> SỞ GD-ĐT THỪA THIÊN HUẾ. KỲ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH. TRƯỜNG THPT TAM GIANG. Năm học 2008-2009 Môn thi: Toán 12 Thời gian làm bài:180 phút. Bài 1 (3,5 điểm) 2. 3. 2. a) Giải phương trình: 3( x  2 x  2) 10 x  2 x  2 x  1 b) Chứng minh log8 9  log8 10  log8 11  2 log 2 3 Bài 2 (3,5 điểm) a) Với A, B, C là ba góc của một tam giác chứng minh rằng phương trình sau có 4 nghiệm phân biệt: A B C  sin  sin 2 2 2 x2  1 2 x 2 b) Giải phương trình: x.3  ( x  1).3  1  x  x 0 3. x2  2 x. sin. Bài 3 (3 điểm) y. 2x  1 2 x  2 với x>1. Trong mặt phẳng Oxy cho đường cong (H): a) M là điểm tùy ý trên (H), tiếp tuyến của (H) tại M cắt 2 đường tiệm cận của (H) tại 2 điểm A và B. Xác định vị trí của M để diện tích tam giác OAB nhỏ nhất. b) Với I(1;1) và K là hình chiếu vuông góc của M xuống đường thẳng y=x. Tìm điểm cố định C sao cho: 2IK  CM luôn là số dương không đổi khi M thay đổi trên (H)..

<span class='text_page_counter'>(12)</span> SỞ GD-ĐT THỪA THIÊN HUẾ. KỲ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH. TRƯỜNG THPT NGUYỄN HUỆ. Năm học 2008-2009 Môn thi: Toán 12 Thời gian làm bài:180 phút. Bài 1 x. 3  2 2  ( 2  1)  3 Giả sử x là nghiệm của phương trình (  . Chứng minh   2 1 2 cos 9 rằng khi đó x cũng là nghiệm của phương trình x. 0. x. 0. Bài 2 2. sin x 6sin x Giải phương trình: 4.16 2 , 0 x 2 Bài 3 3. 3. 3 3 3 Cho a,b,c>0 chứng minh: 8(a  b  c )  a  b    b  c    c  a . 3. Bài 4 Trong mặt phẳng cho 2 tia Ox và Oy và 1 điểm M nằm giữa 2 tia đó. Hãy xác định điểm A trên Ox sao cho MA kéo dài cắt Oy tại B thì tích MA.MB đạt giá trị nhỏ nhất. Bài 5 Cho hàm số y=f(x) liên tục và thỏa mãn điều kiện: f(2x2-1)=2x.f(x), x  R Chứng minh rằng f(x)=0. x    1;1.

<span class='text_page_counter'>(13)</span> SỞ GD-ĐT THỪA THIÊN HUẾ. KỲ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH Năm học 2008-2009 Môn thi: Toán 12 Thời gian làm bài:180 phút. Câu 1 (3 điểm) 1. Cho ABC là tam giác có 3 góc nhọn. Chứng minh rằng: t anA t anB t anC   1 tan 3 B tan 3 C tan 3 A. 2. Tìm nghiệm của phương trình: cos x  s inx  cos2 x. 1  sin 2 x 0 thỏa mãn điều kiện 2007<x<2008 Câu 2 (2 điểm) Giải phương trình nghiệm nguyên: x2y2-x2-8y2=2xy (1) Câu 3 ( 3 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A, gọi H là trung điểm của BC, D là hình chiếu của H trên cạnh AC, M là trung điểm của HD. Chứng minh AM vuông góc với BD. Câu 4 (3 điểm) Cho dãy số {un}; n=1,2,3,.. được xác định như sau: u1 1  un 1  un (un  1)(un  2)(un  3)  1 n 1 S n  i 1 ui  2 Đặt . Tính lim S n. Câu 5 (3 điểm) 1. Chứng minh bốn đường tròn có đường kính là bốn cạnh của một tứ giác lồi thì phủ kín tứ giác đã cho. 2 0 2 n 1. 2 1 2 n 1. 2 2 2 n 1. C    C  C  2. Chứng minh: .  ..  ( 1) 2 n 1 C22nn11. . . 2. 0. Câu 6 (3 điểm) 1. Cho P(x) là đa thức với hệ số nguyên không âm và không lớn hơn 8. Giả sử P(9)=32078. Hãy xác định đa thức P(x) 2. Cho a,b,c>0 thỏa mãn điều kiện abc=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của T. bc ca bc  2  2 2 2 a b  a c b c  b a c a  c 2b 2. Câu 7 (3 điểm) 3 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC có diện tích bwangf 2 .. Biết A(2;3), B(3;-2) và trọng tâm G thuộc đường thẳng d:3x-y-8=0. Tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC..

<span class='text_page_counter'>(14)</span> SỞ GD-ĐT THỪA THIÊN HUẾ. KỲ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH. TRƯỜNG THPT VINH LỘC. Năm học 2008-2009 Môn thi: Toán 12 Thời gian làm bài:180 phút. Câu 1 (3 điểm) Giải phương trình: cos13x+sin14x=1 Câu 2 (3 điểm) sin 2 x. cos 2 x. 10  cos 2 y Tìm các cặp số (x;y) thỏa mãn: 8  8 Câu 3 (3 điểm) Trong tất cả các tam giác ABC cho trước, tìm tam giác có f=cos2A+cos2B-cos2C lớn nhất Câu 4 (4 điểm). (1  42 x  y ).51 2 x  y 1  22 x  y 1  3 2 Giải hệ phương trình:  y  4 x  1  ln( y  2 x) 0. Câu 5 (3 điểm) Cn1  2Cn2  3Cn3  ...  nCnn  n! n Chứng minh. n 3,n  N. Câu 6 (4 điểm) Trong mặt phẳng (P) cho tam giác ABC có A=900, C=600. Dựng các đường thẳng Bx, Cy vuông góc với (P) a) Xác định điểm M trên Bx sao cho mặt cầu đường kính BM tiếp xúc với Cy biết BC=2a b) L là điểm di động trên Bx, L phải ở vị trí nào để trên Cy có thể tìm được N sao cho tam giác BLN vuông tại N? c) Trong các vị trí của L ở câu b, hãy xác định vị trí sao cho hình chóp ABLNC có thể tích nhỏ nhất..

<span class='text_page_counter'>(15)</span>