De dap an thi HSG Toan 12 nam 2012 Yen Bai

<span class='text_page_counter'>(1)</span>SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO YÊN BÁI. KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2012-2013. MÔN: TOÁN HỌC HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHÍNH THỨC ( Hướng dẫn chấm gồm 05 trang ) Bài. Nội dung. Điểm. 1.a. Tìm trên đường thẳng y = 9x - 7 những điểm mà qua đó kẻ được ba tiếp 3 2 tuyến đến đồ thị (C): y  x  3 x  2 .. 2,5. Gọi M = (m; 9m-7) là điểm bất kì nằm trên đường thẳng y = 9x - 7.. 0,5. Vì mọi đường thẳng có dạng x = m không là tiếp tuyến của đồ thị (C) nên ta xét d là đường thẳng đi qua M và có dạng: y = k( x - m) + 9m - 7. Đường thẳng d là tiếp tuyến của (C) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm:  x 3  3 x 2  2 k ( x  m)  9m  7  2 3 x  6 x k  x 3  3 x 2  2 (3 x 2  6 x)( x  m)  9m  7  2 3 x  6 x k Qua M kẻ được ba tiếp tuyến đến (C) khi hệ trên có ba nghiệm phân biệt hay phương trình sau có ba nghiệm phân biệt: 3. 2. 0,5. 0,5. 2. 2 x  3x  3mx  6mx  9m  5 0   x  1  2 x 2  (5  3m) x  5  9m  0 Do đó điều kiện của m là:  1 m    5  3m   8(5  9m)  0 9m  42m  15  0 3      2 m5 m 1 2.1  (5  3m).1  5  9m 0  m 1 2. 1.b. 2. 0,5. 1 m  (m 1) 3 Vậy các điểm M cần tìm có tọa độ (m; 9m-7) với m < -5 hoặc .. 0,5. Tìm các giá trị thực của tham số m để phương trình sau có nghiệm duy 3 2 3 2 nhất: x  3x 3m  m .. 2,5. f ( x )  x 3  3x 2  2; f '( x ) 3x 2  6 x .. 1. 0,5.

<span class='text_page_counter'>(2)</span>  x  2 f '( x) 0    x 0 Bảng biến thiên x. . -2 +. f'(x) f(x). 0. . 0 -. 0. 0,5. +. . 2. . -2. 3 2 PT đã cho tương đương với: f ( x ) 3m  m  2 .. (1). 3 2 Pt (1) có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi 3m  m  2  2 hoặc. 0,5. 3m3  m 2  2   2 .. 3m3  m 2  2  2  3m3  m2  4  0 0,5.   m  1  3m 2  4m  4   0  m  1 3m3  m 2  2   2  3m3  m 2  0  m 2  3m  1  0  m  . Vậy với m > 1 hoặc 2. m. 4,0. 3. Đặt. 3. 4 3 4  x  1  3  x  1  3. 4  x  1  3  y. .. 4 y t  3  3 4t  y  3 Trừ tương ứng hai vế của hai PT trên ta được: 2. (1). và x  1 t , ta được hệ phương trình. 3.  y  t  y. 0,5. 1 3 thì PT đã cho có nghiệm duy nhất.. 3 2 3 Giải phương trình: 4. 4 x  7  x  3x  3x  2 .. PT đã cho có dạng:. 1 3.. 0,5. 0,5. 0,5.  yt  t 2  4  0  y t. y 3  4 y  3 0  ( y  1)( y 2  y  3) 0. 2. 0,5.

<span class='text_page_counter'>(3)</span>   y 1   1  13  y  2   y   1  13  2. 0,5. Với y = 1 thì x = 2. Với. Với. 0,5. y.  1  13 1  13 x 2 2 thì. y.  1  13 1  13 x 2 2 thì. 0,5. 0,5. 1  13 1  13 x x 2 ; 2 . Vậy PT đã cho có nghiệm x = 2; 3. 3.a. o Cho tam giác nhọn ABC có góc C bằng 30 nội tiếp đường tròn (O;R). Kẻ các đường cao AD, BE của tam giác ABC. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA; gọi K là điểm đối xứng với D qua M; F là điểm đối xứng với E qua N; I là giao điểm của đường thẳng OC và KF.. 4,0. Chứng minh rằng: I là trung điểm của KF.. 2,0. Từ giả thiết ta được: AN = NC, EN = NF và BM = MC, DM = MK. 0,5. nên CF = AE = AB.cosA và CK = BD = AB.cosB.. 3.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> 1 1 BAC  .BOC MOC ABC  .AOC NOC 2 2 Mà: và. 0,5. CF cos A cos MOC OM     CF .ON CK .OM CK cos B cos NOC ON nên:. 0,5. suy ra: SOCF SOCK  d ( F ; OC ) d ( K ; OC ). 0,5. do đó I là trung điểm của FK. 3.b. Tính độ dài của đoạn CI ( theo R ).. 2,0.  1  CI  CF  CK 2 Vì I là trung điểm của FK nên , do đó: 2 1   1 CI 2  . CF  CK  . CF 2  CK 2  2.CF .CK .cos FCK  4 4 .. . . . 0,5. . 1 CI 2  . AB 2 .cos 2 A  AB 2 .cos 2 B  2. AB 2 .cos A.cos B.cos C  4 1  . AB 2 . cos 2 A  cos 2 B  2cos A.cos B.cosC  4 cos 2 A  cos 2 B  cos 2C 1  2.cos A.cos B.cos C. 0,5. 0,5.  cos 2 A  cos 2 B  2.cos A.cos B.cos C 1  cos 2C sin 2 C 1 1 R2 2 2 2 2 2 4 o CI  . AB .sin C  . 2 R.sin C  .sin C R .sin 30  4 4 16 Do đó: Vậy CI R / 4 . 2. 4.a. Cho dãy số. u  n. được xác định bởi: 1  u1  2013  u u  2012.u 2 , n 1, 2,3,... n n  n 1. Chứng minh rằng:. lim un . 0,5. 2,0. .. 2 Từ giả thiết suy ra: un 1  un 2012.un 0 ,  n = 1, 2, 3,.... 0,5. Do đó (un ) là dãy không giảm.. Mà. u1 . 1 0 2013 nên un  0 ,  n = 1, 2, 3, ... 4. 0,5.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> Do đó nếu tồn tại giới hạn hữu hạn của dãy (un ) , tức là lim (un ) = L thì. 0,5. L > 0. 2 Khi đó: L L  2012.L  L 0 (mẫu thuẫn với chứng minh trên). Vậy. lim un . 4.b Tính:. 0,5. . 2,0. u u u u  lim  1  2  3  ...  n  un 1   u 2 u3 u 4. un 2012.un2 u u 1 1 1    n1 n  .   un1 2012.un .un 1 2012.un .un1 2012  un un 1   , n=1,2,3,.... 0,5. u1 u2 u3 u    ...  n u2 u3 u4 un 1 . 1 1 1 1 1 1 1 1 1  1 1 1       ...         2012  u1 u2 u2 u3 u3 u4 un un1  2012  u1 un 1 . Mà lim. u1 . 0,5. 1 2013 ;. lim un1   lim. Do đó: 5. 0,5. 1 0 un 1 .. u u u u  1 2013 lim  1  2  3  ...  n   . 2013  0   un1  2012 2012  u2 u3 u4. 0,5 .. Cho n ( n  2013, n  N ) số tự nhiên đôi một khác nhau a1 , a2 , a3 ,..., an .. 3,0. Hỏi có bao nhiêu hoán vị của n số đó, mà trong mỗi hoán vị không có 2012 số nào trong 2013 số a1 , a2 , a3 ,..., a2012 , a2013 nằm ở 2012 vị trí liên tiếp? Gọi. A  a1 , a2 , a3 ,..., an . Gọi. E  a1 , a2 , a3 ,..., a2013  .. . Số các hoán vị của n phần tử trong A là: Pn n ! .. Số cách lấy 2012 phần tử thuộc E và sắp thứ tự chúng là: 2012 C2013 .2012! 2013!. Xét tập hợp B gồm các hoán vị của n phần tử trong A, mà trong mỗi hoán vị đó có 2012 phần tử của tập hợp E nằm ở 2012 vị trí liên tiếp. 5. 0,5. 0,5.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> Với mỗi cách lấy 2012 phần tử thuộc E và sắp thứ tự chúng , nếu coi bộ 2012 phần tử này chỉ chiếm một vị trí trong hoán vị của n phần tử trong A thì số hoán vị loại này là: (n - 2011)!. 0,5. Nhưng trong số đó, mỗi hoán vị của n phần tử trong A mà có 2013 phần tử của E nằm ở 2013 vị trí liên tiếp được tính hai lần. Số các hoán vị loại này bằng: (n - 2012)!. 0,5. Như vậy:. B. = 2013!.[(n - 2011)! - (n - 2012)!] = 2013!. (n - 2012)! . (n - 2012). B Do đó số hoán vị phải tìm là: Pn = n! - 2013!. (n - 2012)! . (n - 2012). Hết. 6. 0,5 0,5.

<span class='text_page_counter'>(7)</span>