Giai tich hoa hinh hoc khong gian

<span class='text_page_counter'>(1)</span>CHUYÊN ĐỀ: HÌNH HỌC KHÔNG GIAN (Ôn thi đại học) A. MỘT SỐ DẠNG TOÁN 01. Tìm giao tuyeán cuûa hai maët phaúng: (α) vaø (β). Caùch 1: Tìm hai ñieåm chung Caùch 2: * Tìm moät ñieåm chung * Chứng minh hai mặt phẳng ( ) và (  ) chứa hai đường thẳng song song hay mặt này chứa một đường thẳng song song với mặt kia 02. Tìm giao điểm của đường thẳng d với mặt phaúng (α) Cách 1: Mở rộng mp ( ) để tìm giao điểm của đường thẳng d với mp ( ) Caùch 2: * Chọn mp phụ (  ) chứa d * Tìm giao tuyeán a cuûa hai mp ( ) vaø (  ) Gọi O=d  a. Khi đó O là giao điểm cần tìm 03. Chứng minh các điểm A, B, C thẳng hàng Cách 1: Ta chứng minh các điểm A, B, C cùng thuoäc hai mp ( ) vaø (  ) Caùch 2(GT): →. Ta coù: →. AC. AB=( a1 ; a2 ) →. AC=( b1 ; b2). ⇒. a1 a2 = b1 b2. ⇒. →. AB ,. cuøng phöông ⇒ caùc ñieåm A, B, C thaúng. haøng. 05. Tìm thieát dieän cuûa maêt phaúng (α) hình. Lưu ý: Nếu bài toán có giả thiết hai mp song song thì ta có thể chuyển về giả thiết đường thẳng song song với mp để tìm giao tuyến theo cách hai. Ví dụ: mp ( ) song song với mp(SAB)  mp ( ) song song với SA, SB, AB. Cách 3(GT): Lập PTTS của đường thẳng d; PTTQ cuûa maët phaúng ( ) vaø giaûi heä 04. Chứng minh ba đường thẳng a, b, c đồng qui Cách 1: Gọi I = a  b. Ta chứng minh c qua I bằng cách chứng minh c là giao tuyến và I là ñieåm chung cuûa hai mp ( ) vaø (  ) Cách 2: Sử dụng định lí: Nếu ba mp cắt nhau theo ba giao tuyến thì ba giao tuyến đó song song hay đồng qui Caùch 3(GT): Lập phương trình đường thẳng a, b, c Tìm giao ñieåm I cuûa a vaø b Chứng minh điểm I thuộc đường thẳng c. Caùch 2(GT):.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> choùp Ta mở rộng mp ( ) để tìm các đoạn giao tuyến của mp ( ) với các mặt của hình chóp. Thiết diện cần tìm là đa giác nối các đoạn giao tuyến 06. Chứng minh song song a) Cách chứng minh hai đường thẳng a, b song song: Cách 1: Sử dụng tính chất bắc cầu, tính chất đường trung bình, tính chất hình thang, tính chất hình bình haønh, keát quaû cuûa ñònh lí b) Cách chứng minh đường thẳng a song song với mặt phẳng (α) : Cách 1: Ta chứng minh đường thẳng a song song với một đường thẳng trong mp ( ) Caùch 2(GT): * Ta thaáy: a mp ( ) → * Tìm VTCP a của đường thẳng a và tìm → VTPT cuûa mp ( ). * Ta thaáy: a b → * Tìm VTCP a của đường thẳng a, tìm VTCP →. b. của đường thẳng b →. →. * Chứng minh a và b cùng phương. Caùch 2(GT): * Ta thaáy: mp ( ). mp (  ) → → * Tìm VTPT n1 cuûa mp ( ) , tìm VTPT n2 cuûa mp (  ) →. →. * Chứng minh n1 và n2 cùng phương. n. →. →. * Chứng minh: a  n ⇒ đường thẳng a song song với mp ( ) c) Cách chứng minh hai mp (α) , (β) song song: Cách 1: Ta chứng minh mp ( ) chứa hai đường thẳng a, b cắt nhau và song song với mp (  ) 07. Chứng minh vuông góc a) Chứng minh hai đường thẳng a và b vuông goùc: Cách1: Sử dụng kiến thức hình học phẳng, kiến thức về góc, kết quả một số định lí trong hình hoïc khoâng gian Caùch 2(GT): → * Tìm VTCP a của đường thẳng a, tìm VTCP →. b của đường thẳng b → → * Chứng minh a và b vuông góc. Caùch 2(GT): → * Tìm VTCP a của đường thẳng  , tìm VTPT → cuûa mp ( ) n. →. →. * Chứng minh: a và n cùng phương. c) Chứng minh hai mp (α) và (β) vuông góc: Cách1: Ta chứng minh mặt phẳng này chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia Caùch 2(GT): → → * Tìm VTPT n cuûa mp ( ) , tìm VTPT n 1. b) Chứng minh đường thẳng Δ và mp (α) vuoâng goùc: Cách1: Ta chứng minh đường thẳng  vuông góc với hai đường thẳng a, b cắt nhau trong mp ( ). 2.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> cuûa mp (  ) →. →. * Chứng minh n1 và n2 vuông góc. 08. Khoảng cách a) Khoảng cách từ điểm Mo đến đt Δ : * Trong maët phaúng: Tìm ñieåm Mo(xo; yo) vaø laäp phöông trình ñt  : Ax+By+C = 0 Ta coù: d(Mo;  )=. 09. Goùc a) Góc giữa hai đường thẳng a, b chéo nhau: Cách 1: Ta chuyển về tính góc giữa hai đường thẳng cắt nhau bằng cách thay đường thẳng đó bởi đường thẳng khác song song với nó. |Axo +By o +C|. chuyeån veà. √ A 2 + B2. * Trong khoâng gian: → Đường thẳng  qua M1 và có VTCP a →. [. →. →. ⇒ M 0 M 1 ⇒ a, M 0 M 1. ] →. →. |[ a, M M ]| ⇒ d ( M , Δ)= 0. o. 1. cheùo nhau caét nhau Caùch 2(GT): → * Tìm VTCP a của đường thẳng a, tìm → VTCP b của đường thẳng b * Gọi ϕ là góc giữa hai đường thẳng Tacoù: cos ϕ =. ❑ →. |a|. →→. |a . b| |a||b| → →. b) Khoảng cách từ điểm M đến mp (α) : Caùch 1: Kẻ MH mp ( ) . Khi đó:. b) Góc (a; (α) ) với a cắt mp (α) tại A: Caùch 1: Kẻ MH  mp ( ) . Khi đó:. (a; ( )d(M; ) = (a; MAH (AH) ))== MH. Caùch 2(GT): →. * Tìm VTCP a của đường thẳng a, tìm Löu yù: d(a; ( ) ) với a// ( ) và d( ( ) ; (  ) ) với ( ) // (  ). →. VTPT n cuûa mp ( ) * Gọi ϕ là góc giữa đường thẳng a và mp ( ).

<span class='text_page_counter'>(4)</span> được chuyển về khoảng cách từ điểm đến mp Caùch 2(GT): Tìm ñieåm Mo(xo; yo; zo) vaø laäp phöông trình mp ( ) : Ax +By + Cz +D = 0 Ta coù: d(Mo; ( ) )=. |Axo +By o +Czo + D|. √ A 2+ B2 +C 2. c) Khoảng cách giữa hai đường thẳng a và b ( ( ) ; (  ) ) = (a;b) cheùo nhau: Caùch 1: Ta thường tính dựa vào các tính chất sau: * d(a;b) = d(a; ( ) ) với mp ( ) chứa a và song song với b * d(a;b) = d( ( ) ; (  ) ) với mp ( ) , mp (  ) chứa a, b và mp ( ) song song với mp (  ) Caùch 2(GT): → Đường thẳng a qua M1 và có VTCP a , →. đường thẳng b qua M2 và có VTCP b →. →→. [ ]. ⇒ M 1 M 2 vaø a, b. →→. →. |[ a, b ] . M M | ( ( ) ; (  ) ) = (a;b) ⇒ d (a,b)= |[ a, b ]| 1. Tacoù: sin ϕ = →→. |a . n|. |a||n| → →. c) Góc ( (α) ; (β) ) với mp (α) và (β) cắt nhau theo giao tuyeán Δ : Caùch 1: * Laáy O treân  , trong mp ( ) keû a qua O vaø vuoâng goùc  , trong mp (  ) keû b qua O vaø vuông góc với  * Khi đó:. Lưu ýù: Trong trường hợp tổng quát góc giữa ( ) và (  ) được xác định như sau: * Keû mp(R)   , tìm giao tuyeán a và b của mp(R) với hai mp ( ) và (  ) * Khi đó:. 2. ❑ →→. Caùch 2(GT): →. →. * Tìm VTPT n1 cuûa mp ( ) , tìm VTPT n2 cuûa mp (  ) * Gọi ϕ là góc giữa hai mp ( ) và (  ). Tacoù: cos ϕ = →→. |n . n | |n |.|n | 1. →. 1. d) Chứng minh các điểm M, N, P, Q cùng nằm. Caùch 2(GT):. 2. →. 2.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> treân moät maët caàu: Cách 1: Ta chứng minh các điểm M, N, P, Q cách đều một điểm O cố định cho trước Cách 2: Ta chứng minh các điểm M, N, P, Q cùng nhìn đoạn AB cố định dưới một góc vuông e) Xaùc ñònh taâm vaø tính baùn kính cuûa maët caàu ngoại tiếp hình chóp: Caùch 1: * Xác định trục của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy * Xác định tâm của mặt cầu: là giao điểm giữa trục với mp trung trực của một cạnh bên Lưu ý: Một số bài toán có giả thiết mặt bên vuông góc với mặt đáy thì ta nên tìm tâm mặt cầu là giao điểm giữa trục với trục của đường tròn ngoại tiếp một mặt bên đó 10. Các công thức tính diện tích và thể tích i) VKhối hộp chữ nhật = abc Với a, b, c là ba kích thước của hình hộp chữ nhaät. VKhoái laäp phöông = a. ⇒. 3. * Lập phương trình trục Δ của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy và lập phương trình mặt phẳng trung trực ( ) của một cạnh bên * Tìm taâm I cuûa maët caàu laø giao ñieåm cuûa Δ vaø ( ). ii). VKhoái choùp. 1. = 3 Bh. Với B là diện tích đáy và h là độ dài đường cao ⇒. VKhoái noùn =. 1 π R2)h 3 (. Với R là bán kính đáy và h là độ dài đường cao. Với a là cạnh của hình lâïp phương iii) Vkhoái laêng truï = Bh Với B là diện tích đáy và h là độ dài đường cao. VKhoái. ⇒. 2 = ( π R )h. Với R là bán kính đáy và h là độ dài đường cao v). VKhoái caàu =. 4 3. iv). V Khoái Choùp cuït =. 1 3 h(B1+B2+. √ B1 B 2 ). với B1, B2 là diện tích hai đáy và h là độ dài đường cao ⇒. V Khoái noùn cuït =. 1 3. π h( R12+R22 +. R1R2). π R3. Với R làbán kính hình cầu. Với R1, R2 là hai bán kính của hai đáy và h là độ dài đường cao. vi) S xq(hình truïï) = (2 π R)L Với R là bán kính đáy, L là đường sinh. vii) S xq(hình noùn) = ( π R)L Với R là bán kính đáy, L là đường sinh. viii). S xq(noùn cuït) =. π ( R1+R2)L. Với R1, R2 là hai bán kính của hai đáy, L là đường sinh Trong hình hoïc giaûi tích, ta coù: a) Dieän tích tam giaùc ABC: S=. → → 1 AB ; AC 2. |[. ]|. 2 ix) S mặt cầu = 4. π .R với R là bán kính cuûa maët caàu.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> → 1 → → AB, AC . AD 6. ] | c) Theå tích hình hoäp ABCD.A’B’C’D’: V= |[ AB, AD ] . AA'| b) Thể tích tứ diện ABCD: V=. |[. →. →. →. BAØI TAÄP Bài 01: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a sao cho SA = a và tam giác SAB vuông tại A. Trên cạnh AD lấy điểm M với DM = x(0 < x < a). Qua M dựng mp ( ) song song với CD vaø SA caét BC, SC, SD taïi N, P, Q a) Thieát dieän MNPQ laø hình gì? b) Tính diện tích của thiết diện theo a và x. Tìm x theo a để diện tích thiết diện là lớn nhất? c) Gọi I là giao điểm của MQ và NP. CMR: khi M di động trên đoạn AD, điểm I luôn nằm trên một đường thẳng cố định Baøi 02: Cho hình laäp phöông ABCD. A’B’C’D’ caïnh baèng a a) Chứng minh rằng D’B vuông góc với mp(A’C’D) b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng B’D’ và A’B Bài 03: Cho hình chóp OABC có các cạnh OA, OB, OC vuông góc với nhau từng đôi một tại O và OA=a, OB=b, OC=c a) Tính chiều cao của hình chóp kẻ từ O b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng OA và BC Bài 04: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh B, cạnh AB = a, đường cao SA = a 3 a) CMR: tam giaùc SBC vuoâng b) Lấy điểm M thuộc cạnh AB với AM = x(0 < x < a), gọi ( ) là mp qua M và vuông góc với AB. Tìm thiết diện của mp ( ) với hình chóp c) Tính diện tích thiết diện theo a và x. Tìm x theo a để diện tích thiết diện đó lớn nhất Bài 05: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại C với AB=a √ 2 . Trọng tâm G của tam giác ABC là hình chiếu của đỉnh S; SG=h. Tính h theo a để mp(SAC) và mp(SBC) tạo với nhau một góc 60o Bài 06: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, đường cao SA =2a a) Keû BK  AC(K thuoäc AC). CMR: BK  SC b) Gọi ( ) là mp qua B và vuông góc với SC. Tìm thiết diện của mp ( ) với hình choùp vaø tính dieän tích thieát dieän theo a Bài 07: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, đường cao SA = a 3 . Gọi ( ) là mp chứa AB và vuông góc với mp(SCD) a) Tìm thiết diện của mp ( ) với hình chóp b) Tính dieän tích thieát dieän theo a.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> Bài 08: Cho hình lăng trụ đứng ABC. A’B’C’ có đáy là tam giác đều; cạnh bên bằng a và hai đường thẳng AB’, BC’ vuông góc với nhau. Tính thể tích khối lăng trụ đó Bài 09: Cho hình chóp đều S.ABCD. Xác định tâm và tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp trong các trường hợp sau: a) Cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng b b) Góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 300, cạnh đáy bằng a c) Góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng 600, cạnh đáy bằng a d) Góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 300, cạnh bên bằng b e) Góc giữa măït bên và mặt đáy bằng 300, cạnh bên bằng b Tính thêm thể tích khối chóp, khối cầu và giải bài toán trên trong trường hợp cho hình chóp đều S. ABC Bài 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, đường cao SA = b. Keû: AB’ SB(B’ thuoäc SB), AD’ SD(D’ thuoäc SD) a) CMR: mp(AB’D’)  SC b) Tính b theo a để B’AD’ = 450 c) Tính khoảng cách từ điểm B đến mp(B’A D’) Bài 11: Cho tam giác OAB vuông cân tại O với OA=OA=a(a>0). M là trung điểm AB. Từ O và M kẻ các tia Oz và Mm về cùng một phía của mp(OAB) và vuông góc với mp(OAB). Trên tia Oz lấy ñieåm N, treân tia Mm laáy ñieåm I sao cho 2MI=ON=a. Goïi H laø hình chieáu vuoâng goùc cuûa O treân AN. Chứng minh rằng OH vuông góc với NI Bài 12: (ĐH. KB.2003) Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng ϕ (0o < ϕ <90o). Tính tang góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD) theo ϕ và tính theå tích cuûa khoái choùp S.ABCD theo a vaø ϕ Bài 13: Cho tam giác ABC vuông tại A. Tìm điểm M trong không gian thỏa mãn bất đẳng thức: MB2 + MC2 MA2 Baøi 14: (ÑH. KA.2003) Cho hình laäp phöông ABCD. A’B’C’D’. Tính soá ño goùc phaúng nhò dieän [B, A’C, D] Bài 15: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều cạnh a và nằm trong mp vuông góc với đáy. Xác định tâm và tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình choùp Bài 16: Cho hình chóp đều S.ABC có cạnh đáy bằng 2, cạnh bên bằng 3 . Gọi M, N là trung điểm cuûa caïnh AB, AC a) Tính khoảng cách từ điểm A đến mp(SBC) b) Dựng thiết diện của hình chóp với mp ( ) qua MN và vuông góc với mp(SBC) c) Tính dieän tích thieát dieän Bài 17: (ĐH. KA. 2002) Cho hình chóp tam giác đều S.ABC đỉnh S có độ dài cạnh đáy bằng a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh SB và SC. Tính theo a diện tích tam giác AMN, biết rằng mặt phẳng (AMN) vuông góc với mặt phẳng (ABC) Bài 18: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A. Cạnh SB vuông góc với đáy ABC. Qua B kẻ BH vuông góc với SA, BK vuông góc với SC. Chứng minh rằng SC vuông góc với mn(BHK) vaø dieän tích tam giaùc BKH bieát AC=a, BC=a √ 3 , SB=a √ 2 (a>0).

<span class='text_page_counter'>(8)</span> BAØI 19: Cho hình chóp S.ABCD với S(0;0;4), A(0;0;0), B(2;0;0), C(2;2;0), D(0;0;2) a) Xác định toạ độ tâm O và tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp b) Tính: cos((ABCD);(OBC)) Baøi 20: (ÑH. KB. 2002) Cho hình laäp phöông ABCD. A’B’C’D’ coù caïnh a a) Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng A’B và B’D b) Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh A’B, CD, A’D’. Tính góc giữa hai đường thaúng MP vaø C’N Bài 21: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA là đường cao và SA=a √ 3 . Gọi O là tâm của hình vuông ABCD. Tính khoảng cách từ trọng tâm G của tam giác SAB đến mặt phẳng (SAC) Bài 22: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a và SA=SB=SC=. a √3 . Goïi 2. là mặt phẳng qua A, song song với BC và vuông góc với mặt phẳng (SBC). Gọi I là trung ñieåm cuûa BC a) Maët phaúng ( α ) caét hình choùp theo thieát dieän laø hình gì? b) Tính góc giữa AB và mặt phẳng ( α ) BAØI 23: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều cạnh a và nằm trong mp vuông góc với đáy. Xác định tâm và tính bán kính của mặt cầu ngoại tieáp hình choùp (α ). BAØI 24: Cho hình chóp đều S.ABC có cạnh đáy bằng 2, cạnh bên bằng 3 . Gọi M, N là trung ñieåm cuûa caïnh AB, AC a) Tính khoảng cách từ điểm A đến mp(SBC) b) Dựng thiết diện của hình chóp với mp ( ) qua MN và vuông góc với mp(SBC) c) Tính dieän tích thieát dieän Baøi 25: (ÑH. KA. 2006) Trong không gian Oxyz, cho hình hộp ABCD. A’B’C’D’ với A(0; 0; 0), B(1; 0; 0), D(0; 1; 0), A’(0; 0; 1). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD a) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng A’C và MN b) Viết phương trình mặt phẳng chứa A’C và tạo với mp(0xy) một góc  biết. cos  . 1 6.

<span class='text_page_counter'>(9)</span>