Chuyen de Hang dang thuc hay hay

<span class='text_page_counter'>(1)</span>a- phÇn më ®Çu I - Lí do chọn đề tài. Nh chúng ta đã biết, việc học tập môn Toán giúp cho ngời học hình thành và phát triển năng lực trí tuệ; giáo dục các phẩm chất đạo đức: t cách, ý chí, tình cảm; có điều kiện để hình thành thế giới quan khoa học. Việc học toán là một hoạt động mang đầy tÝnh s¸ng t¹o, t¹o ®iÒu kiÖn vµ hoµn thiÖn dÇn nh÷ng nÐt nh©n c¸ch. ChÝnh ë n¬i ®©y học sinh thấy và sửa chữa đợc những sai lầm, thiếu sót dù nhỏ về suy luận, về tính toán do thiếu cẩn thận từ đó có điều kiện để so sánh và tìm đợc con đờng tối u để đi đến chân lí. Cũng chính ở nơi đây đã hình thành cho học sinh tính cách cần cù, nhẫn nại, ý chí vợt khó để khắc phục khó khăn. Học sinh biết rung động trớc cái đẹp của Toán học: cái đẹp của những kết quả, những ứng dụng của Toán học, cái đẹp của lời giải ngắn gọn của một bài toán, đó là sự cảm xúc trớc một vấn đề lí thú đợc đặt ra, sự hng phấn khi giải quyết đợc một vấn đề đã từng làm ta trăn trở. Từ đó tạo hứng thú cho học sinh có sự say mê và hoài bão trong học tập, mong muốn đợc góp phần mình cho sự nghiệp chung của đất nớc, phát triển năng lực t duy lôgíc, khả năng diễn đạt chính xác ý tởng của mình và hình thành cảm xúc thẩm mĩ để đạt tới một nhân cách hoµn thiÖn h¬n. Trong nhµ trêng phæ th«ng, c¸c tri thøc vµ ph¬ng ph¸p to¸n häc gióp häc sinh häc tèt c¸c m«n häc kh¸c vµ cµng lªn c¸c líp trªn, tÝnh c«ng cô cña m«n To¸n trong viÖc häc c¸c m«n häc kh¸c cµng trë nªn râ rµng h¬n. Trong cuéc sèng hµng ngµy c¸c kĩ năng tính toán, vẽ hình, đọc và vẽ biểu đồ, đo đạc, ớc lợng, kĩ năng sử dụng các dụng cụ Toán học, máy tính điện tử là điều kiện cần có để tiến hành hoạt động của ngời lao động trong thời kì công nghiệp hoá, hiện đại hoá đất nớc. Tuy nhiªn To¸n häc lµ khoa häc vÒ cÊu tróc tæng qu¸t, c¸c quan hÖ tæng qu¸t vµ kết quả của sự trừu tợng hoá các đối tợng, qua hệ của thế giới hiện thực. Do đó trong quá trình học toán, học sinh thờng gặp nhiều vớng mắc để tìm đợc lời giải và lời giải tèi u, sù suy luËn l«gÝc vµ lËp luËn chÆt chÏ khi gi¶i to¸n. Mét sè häc sinh thêng cã tâm lí sợ sệt khi phải đối mặt với việc giải các bài toán. Vì vậy tôi chọn nghiên cứu chuyên đề này để từng bớc hình thành cho học sinh tâm lí tự tin, say mê và có hứng thó häc tËp bé m«n To¸n; Tõng bíc h×nh thµnh kÜ n¨ng, kÜ x¶o ph¸t triÓn n¨ng lùc t duy trí tuệ, phẩm chất đạo đức, khả năng ứng dụng Toán học vào học các môn học kh¸c vµ cuéc sèng hµng ngµy. II - Mục đích nghiên cứu. Nghiªn cøu mét sè biÖn ph¸p nh»m g©y høng thó cho häc sinh khi gi¶i c¸c bµi toán liên quan đến kiến thức “Phân tích đa thức thành nhân tử” trong chơng trình đại sè líp 8. Th«ng qua d¹y häc mét sè bµi to¸n cô thÓ mµ h×nh thµnh cho häc sinh c¸ch thøc, kinh nghiÖm trong viÖc suy nghÜ t×m lêi gi¶i c¸c bµi to¸n theo c¸c bíc: T×m hiÓu néi dung bµi to¸n, x©y dùng ch¬ng tr×nh gi¶i, thùc hiÖn ch¬ng tr×nh gi¶i, kiÓm tra vµ nghiên cứu lời giải. Từ đó trang bị cho học sinh một số tri thức, phơng pháp toán từng bíc ph¸t triÓn n¨ng lùc trÝ tuÖ vµ t duy khoa häc. III - §èi tîng vµ ph¹m vi nghiªn cøu. Do thời gian hạn hẹp, trình độ năng lực chuyên môn, nghiệp vụ còn hạn chế nên tôi chỉ nghiên cứu và thực hiện chuyên đề này trong phạm vi: nghiên cứu một số ph¬ng ph¸p gi¶i c¸c bµi to¸n vÒ “ Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö” trong ch¬ng trình đại số lớp 8 và đối tợng là học sinh khối 8, trờng Phổ thông cơ sở Cao Chơng.. IV - NhiÖm vô nghiªn cøu. T×m ra mét sè ph¬ng ph¸p ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö b»ng ph¬ng ph¸p th«ng thờng và bằng một số phơng pháp khác. Từ đó phân loại từng dạng toán khi giải bài toán phân tích đa thức thành nhân tử để. Học sinh tìm hiểu nội dung bài toán, xây dựng và thực hiện chơng trình giải, kiểm tra và nghiên cứu lời giải để tìm đợc lời giải tèi u. V - Ph¬ng ph¸p nghiªn cøu. Trong quá trình thực hiện chuyên đề, tôi đã sử dụng những phơng pháp sau: - §iÒu tra gi¸o dôc..

<span class='text_page_counter'>(2)</span> - Ph©n tÝch s¶n phÈm. - Th¶o luËn nhãm. - Tæng kÕt kinh nghiÖm. b- néi dung Ch¬ng I - C¬ së lÝ luËn Môn Toán là môn học công cụ đợc áp dụng nhiều trong việc học tập các môn học khác và đợc ứng dụng rộng rãi trong cuộc sống hàng ngày. Khi giải đợc tốt các bài toán phân tích đa thức thành nhân tử là cơ sở để học sinh học tốt các kiến thức về sau nh gi¶i c¸c bµi to¸n: chøng minh tÝnh chia hÕt trong ®a thøc, rót gän vµ thùc hiÖn c¸c phép toán trên trờng các phân thức đại số, giải các phơng trình, rút gọn các bài toán chứa căn thức bậc hai, tính nhanh giá trị của các biểu thức đại số tại các giá trị của biến, ... . Song trong môn Toán ở trờng trung học cơ sở, bên cạnh những bài toán đã có phơng pháp, thuật toán để giải còn rất nhiều bài toán cha có hoặc không có thuật toán để giải. Điều đó đã làm cho học sinh gặp không ít những khó khăn, rắc rối khi phải giải những bài toán đó để rồi những lỗ hổng trong kiến thức dần xuất hiện ở một số học sinh, đó là nguyên nhân học sinh khó tiếp thu và thậm chí không thể tiếp thu đợc các kiến thức tiếp theo. Chính vì vậy tôi chọn chuyên đề này với mục đích trang bị dÇn dÇn cho häc sinh mét sè tri thøc ph¬ng ph¸p: ph¬ng ph¸p to¸n hoc, ph¬ng ph¸p To¸n häc ho¸, nh»m rÌn luyÖn vµ ph¸t triÓn ë hä n¨ng lùc t duy khoa häc, lµm n¶y sinh nhu cầu học Toán của học sinh: Học toán để năm vững các tri thức Toán học, nhằm đáp ứng các hoạt động của ngời lao động trong nền sản xuất công nghiệp hoá, hiện đại hoá đất nớc. Ch¬ng II - KÕt qu¶ ®iÒu tra vµ kh¶o s¸t thùc tiÔn Lµ häc sinh sèng ë vïng nói, vïng s©u, vïng xa nªn viÖc tiÕp cËn víi c¸c ph¬ng tiện thông tin đại chúng của các em còn nhiều hạn chế. Đa số học sinh là con em nông dân, trình độ dân trí cha cao nên học gặp khó khăn trong việc tự học. Môi trờng học tập của các em cha đợc sôi nổi, cha thật sự đầu t và dành thời gian cho việc tự häc. Bªn c¹nh nh÷ng häc sinh cã ý thøc häc tËp cßn mét bé phËn häc sinh cha cã ý thøc tù gi¸c. §a sè häc sinh giao tiÕp b»ng tiÕn d©n téc cña m×nh nªn khi tr×nh bµy một vấn đề nào đó khả năng diễn đạt ngôn ngữ cha đợc chính xác và chặt chẽ. Khi giải toán, học sinh thờng giải máy móc và tơng tự hoá. Cha biết đào sâu kiến thức để t×m tßi ph©n tÝch lêi gi¶i, x©y dùng vµ thùc hiÖn ch¬ng tr×nh gi¶i mét bµi to¸n. Ch¬ng III - Gi¶i ph¸p Khi phân tích đa thức thành nhân tử, cần phân tích tìm lời giải bài toán đó phải áp dụng phơng pháp nào, sử dụng phơng pháp nào để phân tích. Từ đó trình bày lời giải, kiÓm tra vµ nghiªn cøu lêi gi¶i. I-. Ph¬ng ph¸p chung. 1. Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö b»ng ph¬ng ph¸p th«ng thêng: - §Æt nh©n tö chung. - Dùng hằng đẳng thức. - Nhãm nhiÒu h¹ng tö - Phèi hîp c¶ ba ph¬ng ph¸p trªn. 2. Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö b»ng mét sè ph¬ng ph¸p kh¸c: - Ph¬ng ph¸p t¸ch mét h¹ng tö thµnh nhiÒu h¹ng tö. - Ph¬ng ph¸p thªm bít cïng mét h¹ng tö. - Phơng pháp đổi biến. II - C¸c d¹ng to¸n cña bµi to¸n ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö.. 1. Phơng pháp đặt nhân tử chung VÝ dô: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö 5x( x- 2y) +2(2y- x) ❑2.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> a) T×m hiÓu néi dung lêi gi¶i vµ x©y dùng ch¬ng tr×nh gi¶i: Ta thÊy ®a thøc trªn cha cã nh©n tö chung v× x-2y≠ 2y-x, ®a thøc còng kh«ng có dạng khai triển của hằnh đẳng thức nào. V× (2y-x) ❑2 =(x-2y) ❑2 nªn ®a thøc trªn cã nh©n tö chung lµ x-2y. b) Thùc hiÖn ch¬ng tr×nh gi¶i: 5x( x-2y) + 2( 2y-x) ❑2 = 5x(x-2y) + 2( x-2y) ❑2 = (x-2y)[ 5x+ (x-2y)] = (x-2y)(6x-2y) =2(x-2y)(3x-y) c) KiÓm tra vµ nghiªn cøu lêi gi¶i: Khi phân tích đa thức trên học sinh cần nhứ đợc hằng đẳng thức: (A –B) ❑2 = (B- A) ❑2 để tránh nhầm lẫn khi phân tích: 5x(x- 2y) + 2(2y – x) ❑2 = 5x(x -2y) – 2(x-2y) ❑2 , lúc đó cũng xuất hiện nhân tử chung là x-2y nhng việc phân tích tiếp lại đợc kết quả sai. 2. Phơng pháp dùng hằng đẳng thức VÝ dô: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö x ❑2 +4y ❑2 +4xy a)T×m hiÓu néi dung lêi gi¶i vµ x©y dùng ch¬ng tr×nh gi¶i: Ta nhận thấy x ❑2 và 4xy; hay 4y ❑2 và 4xy đều có nhân tử chung xuất hiện nhng c¶ ba h¹ng tö trªn l¹i kh«ng cã nh©n tö chung. Ta thấy 4y ❑2=¿ (2y) ❑2 , 4xy= 2.x.2y do đó ta có thể áp dụng hằng đẳng thức (A +B) ❑2 = A ❑2 + 2AB + B ❑2 để phân tích. b)Thùc hiÖn ch¬ng tr×nh gi¶i: x ❑2 + 4y ❑2 + 4xy= x ❑2 + 2.x.2y + (2y) ❑2 = (x + 2y) ❑2 d) KiÓm tra vµ nghiªn cøu lêi gi¶i: Ta thấy đa thức có ba hạng tử mà không có nhân tử chung, ta cần xét đó là dạng khai triển của hằng đẳng thức nào. Từ đó áp dụng hằng đẳng thức để phân tích tiÕp. 3. Ph¬ng ph¸p nhãm c¸c h¹ng tö VÝ dô: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö x ❑2 - zx – 9y ❑2 +3yz a) T×m hiÓu néi dung lêi gi¶i vµ x©y dùng ch¬ng tr×nh gi¶i: Ta thÊy 4 h¹ng tö kh«ng cã nh©n tö chung vµ còng kh«ng ph¶i lµ d¹ng khai triển của hằng đẳng thức nào nên không áp dụng đợc phơng pháp đặt nhân tử chung và dùng hằng đẳng thức để phân tích. NÕu ta nhãm x ❑2 - xz – 9y ❑2 + 3yz = (x ❑2 - 9y ❑2 ) – (xz – 3yz) ta thấy ở mỗi nhóm có thể áp dụng hằng đẳng thức và đặt nhân tử chung để phân tích tiếp, sau đó lại xuất hiện nhân tử chung x- 3y. b) Thùc hiÖn ch¬ng tr×nh gi¶i: x ❑2 - xz – 9y ❑2 + 3yz = (x ❑2 - 9y ❑2 ) – (xz – 3yz) = (x – 3y)(x + 3y) – z(x – 3y) = (x – 3y) (x + 3y – z) c) KiÓm tra vµ nghiªn cøu lêi gi¶i: NÕu ta nhãm x ❑2 - xz – 9y ❑2 + 3yz = (x ❑2 - xz) - (9y ❑2 -3yz) th× ë mỗi nhóm lần lợt xuất hiên nhân tử chung nhng khi đặt thừa số chung ở mỗi nhóm ta đợc x(x – z) – 3y(3y-z) lại không có nhân tử chung để phân tích tiếp đợc đến kết quả cuối cùng. Do đó khi áp dụng phơng pháp nhóm hạng tử ta cần linh hoạt nhóm giữa các hạng tử để phân tích đợc đến kết quả cuối cùng. 4. Phèi hîp c¶ ba ph¬ng ph¸p trªn VÝ dô: Chøng minh r»ng 999 ❑4 + 999 chia hÕt cho 1000 a) T×m hiÓu néi dung lêi gi¶i vµ x©y dùng ch¬ng tr×nh gi¶i:.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> Ta phải phân tích đợc 999 ❑4 + 999 thành tích các thừa số trong đó có một thõa sè lµ béi cña 1000. Ta nhận nhận thấy biểu thức trên có nhân tử chung là 999 và phân tích đợc 999( 999 ❑3 +1) sử dụng hằng đẳng thức A ❑3 + B ❑3 =(A +B )(A ❑2 - AB + B ❑2 ) để phân tích tiếp ta đợc một thừa số là bội của 1000. b) Thùc hiÖn ch¬ng tr×nh gi¶i: 999 ❑4 + 999 = 999(999 ❑3 + 1) =999( 999 + 1)(999 ❑2 +999.1 + 1) =999. 1000. (999 ❑2 +1000) ⋮ 1000 4 VËy 999 ❑ + 999 chia hÕt cho 1000 c) KiÓm tra vµ nghiªn cøu lêi gi¶i: Để chứng minh đợc tính chia hết trong đa thức ta cần phân tích đa thức bị chia thµnh nh©n tö vµ cã mét nh©n tö lµ béi cña ®a thøc chia. 5. Ph¬ng ph¸p t¸ch mét h¹ng tö thµnh nhiÒu h¹ng tö VÝ dô: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö A= 4x ❑2 -8x + 3 a) T×m hiÓu néi dung lêi gi¶i vµ x©y dùng ch¬ng tr×nh gi¶i: Ta thÊy c¸c ph¬ng ph¸p th«ng thêng th× kh«ng thÓ ph©n tÝch A thµnh nh©n tö v× A không có nhân tử chung, không có dạng một hằng đẳng thức nào. Đa thức A chỉ có ba hạng tử nên cũng không thể dùng phơng pháp nhóm hạng tử đợc. Vậy ta cần tách một trong ba hạng tử đó thành hai hạng tử để xuất hiện những nhóm hạng tử sao cho áp dụng đợc các phơng pháp thông thờng để phân tích. T¸ch h¹ng tö -8x = -2x -6x Khi đó 4x ❑2 - 8x + 3 = 4x ❑2 - 2x – 6x + 3 = (4x ❑2 - 2x) – (6x – 3), ở mỗi nhóm lần lợt có nhân tử chung là 2x và 3. Ta phân tích đợc 2x(2x – 1) – 3(2x-1) vµ cã nh©n tö chung 2x-1. b) Thùc hiÖn ch¬ng tr×nh gi¶i: A= 4x ❑2 - 8x + 3 = 4x ❑2 - 2x – 6x + 3 = ( 4x ❑2 - 2x) – (6x – 3) = 2x( 2x – 1) – 3( 2x – 1) = ( 2x – 1)(2x – 3) c)KiÓm tra vµ nghiªn cøu lêi gi¶i: Ta có thể nhóm 4x ❑2 với -6x; -2x với 3 để phân tích tiếp. Ta cũng có thể tách hạng tử 3 = 4-1. khi đó 4x ❑2 - 8x +4 – 1 xuất hiện dạng của các hằng đẳng thức để phân tích 4x ❑2 - 8x + 4 – 1 = (4x ❑2 -8x +4) – 1 = 4(x-1) ❑2 - 1 =[ 2(x-1) +1)][2(x-1) -1]= (2x-1)(2x-3). 6. Ph¬ng ph¸p thªm bít cïng mét h¹ng tö. VÝ dô: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö M = 4x ❑4 + y ❑4 a) T×m hiÓu néi dung lêi gi¶i vµ x©y dùng ch¬ng tr×nh gi¶i: Nếu sử dụng các phơng pháp thông thờng ta không phân tích đợc. Ta tăng thêm c¸c h¹ng tö cña M b»ng c¸ch thªm bít cïng mét h¹ng tö 4x ❑2 y ❑2 cã thÓ phân tích đợc đa thức trên. Khi đó M = 4x ❑4 + y ❑4 + 4x ❑2 y ❑2 - 4x ❑2 y ❑2 dùng phơng pháp nhóm hạng tử để phân tích tiếp M= (4x ❑4 +4x ❑2 y ❑2 + y ❑4 ) - 4x ❑2 y ❑2 sau đó áp dụng phơng pháp dùng hằng đẳng thức để phân tích. b) Thùc hiÖn ch¬ng tr×nh gi¶i: M = 4x ❑4 + y ❑4 + 4x ❑2 y ❑2 - 4x ❑2 y ❑2 =(4x ❑4 +4x 2 2 4 2 2 ❑ y ❑ + y ❑ ) - 4x ❑ y ❑ =[(2x) ❑2 + y ❑2 ] ❑2 - (2xy) ❑2.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> ❑ +2xy] 2. = [(2x) ❑2 +y ❑2 - 2xy][(2x) ❑2 +y = (4x ❑2 +y ❑2 - 2xy)(4x ❑2 +y ❑2. +2xy) c)KiÓm tra vµ nghiªn cøu lêi gi¶i: Nh vậy để phân tích đa thức thành nhân tử bằng phơng pháp thêm bớt cùng một hạng tử nhằm để xuất hiện những nhóm hạng tử sao cho có thể dùng hằng đẳng thức hoặc đặt nhân tử chung để phân tích. 7. Phơng pháp đổi biến VÝ dô: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö B = x ❑2 - 2xy + y ❑2 + 3x – 3y – 4 a) T×m hiÓu néi dung lêi gi¶i vµ x©y dùng ch¬ng tr×nh gi¶i: Ta nhận thấy nếu nhóm các hạng tử của B và phân tích B ta đợc B = (x ❑2 - 2xy + y ❑2 ) + (3x – 3y) – 4 = (x-y) ❑2 + 3(x-y) – 4 l¹i khôngthấy có nhân tử chung, cũng không là dạng của hằng đẳng thức nào để có thÓ ph©n tÝch tiÕp. Nếu đặt z= x-y thì B = z ❑2 - 3z – 4, sau đó áp dụng phơng pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử để phân tích tiếp, B = z ❑2 + z – 4z – 4 áp dụng ph¬ng ph¸p nhãm h¹ng tö råi tr¶ cho biÕn x, y. b) Thùc hiÖn ch¬ng tr×nh gi¶i: B = (x ❑2 - 2xy + y ❑2 ) + (3x – 3y) – 4 = (x-y) ❑2 + 3(x-y) – 4 §Æt z = x-y B = z ❑2 - 3z – 4 = z ❑2 + z – 4z – 4 = (z ❑2 + z) - ( 4z + 4 ) =z(z + 1) – 4( z + 1) = (z + 1)(z - 4) VËy B = ( x – y + 1) (x – y – 4) d) KiÓm tra vµ nghiªn cøu lêi gi¶i: Nhờ phơng pháp đổi biến x –y = z mà phân tích đa thức trên thành nhân tử đợc đễ dàng và thuận tiện hơn . C - kÕt luËn Trên đây chỉ là một chuyên đề nhỏ trong kho tàng kiến thức phong phú của To¸n häc nghiªn cøu mét sè ph¬ng ph¸p gi¶i c¸c bµi to¸n “ Ph©n tÝch ®a thøc thành nhân tử” trong chơng trình đại số lớp 8. Toán học là môn học đòi hỏi phải cã sù linh ho¹t, t duy khoa häc khi t×m hiÓu néi dung, x©y dùng lêi gi¶i vµ thùc hiÖn ch¬ng tr×nh gi¶i mét bµi to¸n th× viÖc lêi gi¶i mét bµi to¸n míi chÝnh x¸c, khoa học. Chuyên đề “ Phân tích đa thức thành nhân tử” có rất nhiều dạng toán và nhiều phơng pháp giải khác nhau. Mặc dù đã có nhiều cố gắng trong quá trình nghiên cứu, song kết quả thu đợc cha cao, bản thân tôi cha thể đa thêm đợc nhiều dạng toán minh hoạ khác cho từng phơng pháp và cha đa hết đợc một số phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử khác nữa do đó chuyên đề này không thể tránh khỏi những thiếu sót. Tôi rất mong các đồng chí đồng nghiệp đóng góp ý kiến để bản thân đợc rút kinh nghiệm và cho chuyên đề đợc hoàn chỉnh có thể áp dụng đợc trong những năm học tới nhằm nâng cao chất lợng häc tËp m«n To¸n cña häc sinh. tµi liÖu tham kh¶o - S¸ch gi¸o khoa To¸n 8. - S¸ch gi¸o viªn To¸n 8. - Ph¬ng ph¸p d¹y häc m«n To¸n ( tËp 1)..

<span class='text_page_counter'>(6)</span> Cao Ch¬ng ngµy 08 th¸ng 02 n¨m 2012 Ngêi viÕt. TriÖu ThÞ Nga.

<span class='text_page_counter'>(7)</span>