DE CUONG ON TAP TOAN 7VIP

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (185.99 KB, 39 trang )

(1)Bài 1: Cho tam giác ABC và hai điểm N, M lần lượt là trung điểm của cạnh AC, AB. Trên tia BN lấy điểm B/ sao cho N là trung điểm của BB/. Trên tia CM lấy điểm C/ sao cho M là trung điểm của CC/. Chứng minh: a. B/C/ // BC b. A là trung điểm của B/C/ C/ Giải: a. Xét hai tam giác AB/N và CBN M N ta có: AN = NC; NB = NB/ (gt); ANB/ = BNC (đối đỉnh) Vậy Δ AB❑ N =Δ CBN suy ra AB/ = BC B C và B = B/ (so le trong) nên AB/ // BC Chứng minh tương tự ta có: AC/ = BC và AC/ // BC Từ nmột điểm A chỉ kẻ được một đường thẳng duy nhất song song với BC. Vậy AB / và AC/ trùng nhau nên B/C/ // BC. b. Theo chứng minh trên AB/ = BC, AC/ = BC Suy ra AB/ = AC/ Hai điểm C/ và B/ nằm trên hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ là đường thẳng AC Vậy A nằm giữa B/ và C/ nên A là trung điểm của B/C/ Bài 2: Cho tam giác ADE có D = E. Tia phân giác của góc D cắt AE ở điểm M, tia phân giác của góc E cắt AD ở điểm M. So sánh các độ dài DN và EM Hướng dẫn: Chứng minh: Δ DEN=Δ EDM (g.c.g) Suy ra: DN = EM (cặp cạnh tương ứng) Bài 3: Cho hình vẽ bên A B trong đó AB // HK; AH // BK Chứng minh: AB = HK; AH = BK. Giải: Kẻ đoạn thẳng AK, AB // HK H K ⇒ A1 = K1 (so le trong) AH // BK ⇒ A2 = K2 (so le trong) Do đó: Δ ABK= Δ KHA (g.c.g) Suy ra: AB = HK; BK = HK Bài 12: Cho tam giác ABC, D là trung điểm của AB, đường thẳng qua D và song song với BC cắt AC tại E, đường thẳng qua E song song với BC cắt BC ở F, Chứng minh rằng a. AD = EF.

(2) b. Δ ADE=Δ EFC c. AE = EC Giải: a.Nối D với F do DE // BF A EF // BD nên Δ DEF= Δ FBD (g.c.g) Suy ra EF = DB Ta lại có: AD = DB suy ra AD = EF D E b.Ta có: AB // EF ⇒ A = E (đồng vị) AD // EF; DE = FC nên D1 = F1 (cùng bằng B) Suy ra Δ ADE=Δ EFC (g.c.g) B F C c. Δ ADE=Δ EFC (theo câu b) suy ra AE = EC (cặp cạnh tương ứng) Bài 4: Cho tam giác ABC D là trung điểm của AB, E là trung điểm của AC vẽ F sao cho E là trung điểm của DF. Chứng minh: A a. DB = CF b. ΔBDC=Δ FCD D F E 1. c. DE // BC và DE = 2 BC Giải: a. Δ AED=Δ CEF ⇒ AD = CF. B. C. Do đó: DB = CF (= AD) b. Δ AED=Δ CEF (câu a) suy ra ADE = F ⇒ AD // CF (hai góc bằng nhau ở vị trí so le) AB // CF ⇒ BDC = FCD (so le trong) Do đó: Δ BDC=ΔECD (c.g.c) c. Δ BDC=ΔECD (câu b) Suy ra C1 = D1 ⇒ DE // BC (so le trong) ΔBDC=ΔFCD ⇒ BC = DF 1. 1. Do đó: DE = 2 DF nên DE = 2 BC Bài 5: Cho góc tù xOy kẻ Oz vuông góc với Ox (Oz nằn giữa õ và Oy. Kẻ Ot nằm giữa Ox và Oy). Trên các tia Ox, Oy, Oz, Ot theo thứ tự lấy các điểm A, B, C, D sao cho OA = OC và OB = OD. Chứng minh hai đường thẳng AD và BC vuông góc với nhau. Giải: Xét tam giác OAD và OCB có OA = OC, O1 = O3 (cùng phụ với O2) OD = OB (gt) Vậy Δ OAD= ΔOCB (c.g.c).

(3) t ⇒. z. A = C mà E1 = E2 (đối đỉnh). Vậy CFE = AOE = 900 ⇒ AD. C Bc. x A. D. O B Bài 6: Cho tam giác ABC trung điểm của BC là M, kẻ AD // BM và AD = BM (M và D khác phía đối với AB) Trung điểm của AB là I. a. Chứng minh ba điểm M, I, D thẳng hàng b. Chứng minh: AM // DB c. Trên tia đối của tia AD lấy điểm AE = AD Chứng minh EC // DB Giải: D A E a. AD // Bm (gt) ⇒ DAB = ABM Δ IAD= ΔIBM có (AD = BM; DAM = ABM. F y. (IA = IB) Suy ra DIA = BIM mà DIA + DIB = 1800 nên BIM + DIB = 1800 B M C 0 Suy ra DIM = 180 Vậy ba điểm D, I, M thẳng hàng b. Δ AIM= ΔBID (IA = IB, DIB = MIB) ID = IM ⇒ BDM = DMA ⇒ AM // BD. c. AE // MC ⇒ EAC = ACM; AE = MC (AC chung) Vậy Δ AEC=Δ CMA (c.g.c) Suy ra MAC = ACE ⇒ AM // CE mà AM // BD Vậy CE // BD Bài 7: Ở hình bên có A1 = C1; A2 = C2. So sánh B và D chỉ ra những cặp đoạn thẳng bằng nhau. Giải: B C Xét tam giác ABC và tam giác CDA chúng có: A2 = C2; C1 = A1 cạnh Ac chung Vậy Δ ABC=ΔCDA (g.c.g) A D Suy ra B = D; AB = CD Và BC = DA Bài 8: Cho tam giác ABC các tia phân giác của các góc B và C cắt nhau tại I. Qua I kẻ đường thẳng song song với BC. Gọi giao điểm của đường thẳng này với AB, AC theo thức tự là D và E. Chứng minh rằng DE = BD..

(4) Giải: A DI // DC ⇒ I1 = B1 (so le) BI là đường phân giác của góc B ⇒ B1 = B2 Suy ra I1 = B2 Tam giác DBI có: I1 = B2 ⇒ Tam giác DBI cân BD = BI (1) Chứng minh tương tự CE = EI (2) Từ (1) và (2): BD + CE = DI + EI = DE. D. I. E. B. C. Bài 9: Cho tam giác đều ABC lấy điểm D, E, F theo thứ tự thuộc cạnh AB, BC, CA sao cho AD = BE = CF. Chứng minh rằng tam giác DEF là tam giác đều. Giải: A Ta có AB = BC = CA, AD = BE = CF Nên AB - AD = BC - BE = CA - CF D F Hay BD = CE = AF Tam giác ABC đều A = B = C = 600 B E C Δ ADF= Δ BED (c.g.c) thì DF = DE (cặp cạnh tương ứng) ΔEBD=Δ FCE (c.g.c) thì DE = EF (cặp cạnh tương ứng). Do đó: DF = DE = EF Vậy tam giác DEF là tam giác đều. Bài 10: Trên hình vẽ bên cho biết AD DC; DC BC; AB = 13cm AC = 15cm; DC = 12cm. A. 13. B. 15. Tính độ dài đoạn thẳng BC. Giải: Vì AH BC (H BC) B H AH BC; DC BC (gt) ⇒ AH // DC mà HAC và DCA so le trong. Do đó: HAC = DCA Chứng minh tương tự cũng có: ACH = DAC Xét tam giác AHC và tam giác CDA có HAC = DCA; AC cạnh chung; ACH = DAC Do đó: Δ AHC=ΔCDA (g.c.g) ⇒ AH = DC Mà DC = 12cm (gt) Do đó: AH = 12cm (1) Tam giác vuông HAB vuông ở H theo định lý Pitago ta có: AH2 +BH2 = AB2 ⇒ BH2 = AB2 - AH2 = 132 - 122 = 55 = 25. 12. C.

(5) ⇒. BH = 5 (cm) (2). Tam giác vuông HAC vuông ở H theo định lý Pitago ta có: AH2 + HC2 = AC2 ⇒ HC2 = AC2 - AH2 = 152 - 122 = 91 = 92 ⇒ HC = 9 (cm) Do đó: BC = BH + HC = 5 + 9 = 14 (cm) Bài 11: Cho tam giác vuông cân tại đỉnh A. MA = 2 cm; MB = 3 cm; góc AMC = 135 0. Tính độ dài đoạn thẳng MC. A Giải: Trên nửa mặt phẳng bời Am không chứa điểm D. Dựng tam giác ADM vuông cân taih đỉnh A. M Ta có: AD = MA = 2 cm AMD = 450; DMC = AMC - AMD = 900 B C Xét tam giác ADC và AMB có: AD = AM D DAC = MAB (hai góc cùng phụ nhau với A góc CAM); AC = AB (gt) Do đó: Δ ADC=Δ AMB (c.g.c) ⇒ DC = MB Tam giác vuông AMD vuông ở A D nên MD2 = MA2 + MC2 (pitago) Do đó: MD2 = 22 + 22 = 8 B C Tam giác MDC vuông ở M nên DC2 = MD2 + MC2 (Pitago) Do đó: 32 = 8 + MC2 ⇒ MC2 = 9 - 8 = 1 ⇒ MC = 1 Bài 12: Tam giác ABC có phải là tam giác vuông hay không nếu các cạnh AB; AC; BC tỉ lệ với a. 9; 12 và 15 b. 3; 2,4 và 1,8 c. 4; 6 và 7 d. 4 ; 4 √ 2 và 4 Giải:. a.. AB AC BC = = =k ⇒ 9 12 15 2 2 AB=9 k ⇒ AB =81k 2 2 AC=12 k ⇒ AC =144 k 2 2 BC=15 k ⇒ BC =225 k ¿{{. AB2 + AC2 = 81k2 + 144k2 = 225k2 = BC2 Vậy tam giác ABC vuông ở A.. b.. AB AC BC = = =k ⇒ 4 6 7 AB=4 k ⇒ AB2=16 k 2 AC=6 k ⇒ AC2=36 k 2 BC=7 k ⇒ BC 2=49 k 2 ¿{{.

(6) ⇒. AB2 + AC2 = 16k2 + 36k2 = 52k2. 49k2 = BC2. Vậy tam giác ABC không là tam giác vuông. c. Tương tự tam giác ABC vuông ở C (C = 900) d. Làm tương tự tam giác ABC vuông cân (B = 900) Bài 13: Cho tam giác vuông ABC (A = 900), kẻ AH Chứng minh: AB2 + CH2 = AC2 + BH2 Giải: Áp dụng định lý Pitago vào các tam giác vuông Tam giác ABH có H = 900 ⇒ AB2 = AH2 + HB2 ⇒ AB2 - HB2 = AH2 Δ AHC có H = 900. ⇒ ⇒. ⇔. BC A. ⇒ AC2 = AH2 + HC2. AC2 - HC2 = AH2 AB2 - HB2 = AC2 - HC2. B. H. C. AB2 + CH2 = AC2 + BH2. Bài 14: Cho tam giác ABC có A là góc tù. Trong các cạnh của tam giác ABC thì cạnh nào là cạnh lớn nhất? A Giải: * Kẻ AD AB tia AD nằm giữa 2 tia AB và AC ⇒ BD < BC (1) Xét tam giác ABD vuông ở A BD2 = AB2 + AD2 ⇒ AB2 < BD2 ⇒ AB < BD (2). B. E. D. C. Từ (1) và (2) suy ra: AB < BC * Kẻ AE AC tia AE nằm giữa hai tia AB và AC ⇒ EC < BC (3) Xét tam giác AEC vuông ở A EC2 = AE2 + AC2 ⇒ AC2 < EC2 hay AC < EC (4) Từ (3) và (4) suy ra: AC < BC Vậy cạnh lớn nhất là BC. Bài15: Cho tam giác ABC, cạnh đáy BC. Từ B kẻ đường vuông góc với AB và từ C kẻ đường vuông góc với AC. Hai đường này cắt nhau tại M. Chứng minh rằng a. Δ AMB=Δ AMC b. AM là đường trung trực của đoạn thẳng BC. Giải: A a. Hai tam giác vuông ABM và ACM bằng nhau vì cạnh huyền AM chung AB = AC (gt).

(7) b. Do Δ AMB=Δ AMC ⇒ A1 = A2 Gọi I là giao điểm của AM và BC Xét hai tam giác AIB và AIC A1 = A2 (c/m trên); AB = AC. B. C M. (Vì tam giác ABc cân ở A); AI chung nên Δ AIB=Δ AIC (c.c.c) Suy ra IB - IC; AIB = AIC mà AIB + AIC = 1800 (2 góc kề bù nhau) Suy ra AIB = AIC = 900 Vậy AM BC tại trung điểm I của đoạn thẳng BC nên AM là đường trung trực của đoạn thẳng BC. Bài 16: a. Cho tam giác ABC cân tại A, kẻ AD vuông góc với BC. Chứng minh rằng AD là tia phân giác của góc A. b. Cho tam giác ABC cân tại A, kẻ BD vuông góc với AC, kẻ CE vuông góc với AB. Gọi K là giao điểm của BD và CE. Chứng minh rằng AK là tia phân giác của góc A. Giải: A a. Xét hai tam giác vuông CDB và ADC có canh AD là cạnh chung; AB = AC ⇒ Δ ADB=Δ ADC (cạnh huyền - cạnh góc vuông) ⇒. BAD = CAD (cặp góc tương ứng). Do đó: AD là tia phân giác của góc A B b. Hướng dẫn Chứng minh Δ ADB=Δ AEC (cạnh huyền - góc nhọn) ⇒ AD = AE (cặp cạnh tương ứng) Δ ADK= ΔAEK. (cạnh huyền - cạnh góc vuông). D A. E. C. D. ⇒ A1 = A2. Do đó Ak là tia phan giác của góc K.. B. C. Bài 17: Cho tam giác ABC có AB < AC. Tia phân giác của góc A cắt đường trung trực của BC tại I. Kẻ IH vuông góc với đường thẳng AB, kẻ IK vuông góc với đường thẳng AC. Chứng minh rằng BH = CK A Giải: Gọi M là trung điểm của BC ta có: K.

(8) (c.g.c) Vì BM = CM; IM chung; M1 = M2 ⇒ IB = IC (cặp góc tương ứng) Δ AHI=Δ AKI (cạnh huyền - góc nhọn). B. Δ AMI= ΔCMI. M. H C. I. ⇒ IH - IK. (cạnh huyền - cạnh góc vuông) ⇒ BH = CK.. ΔIHB= ΔIKC. AB. 3. Bài 18: Cho tam giác vuông ABC vuông tại A có AC = 4 AC B Giải: Theo đề ra ta có: 2. và BC = 15cm. Tìm các độ dài AB;. 2. AB AC AB AC = ⇒ = 3 4 9 16. Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau và định lý Pitago ta có:. A. C AB 2 AC2 AB2 + AC2 BC 2 152 = = = = =9 9 16 9+16 25 25. Suy ra: AB2 = 9.9 = 92 ⇒ AB = 9 cm AC2 = 16.9 = (4.3)2 = 122 ⇒ AC = 12 cm Vậy hai cạnh cần tìm AB = 9cm; AC = 12cm Bài 19: Chứng minh rằng tam giác ABC vẽ trên giấy ô vuông ở hình bên là tam giác vuông cân. Giải: B Gọi độ dài cạnh của mỗi ô vuông là 1 Theo định lý Pitago ta có: AB2 = 12 + 22 = 1 + 4 = 5 C BC2 = 12 + 22 = 1 + 4 = 5 A AC2 = 12 + 32 = 1 + 9 = 10 Do AB2 = BC2 nên AC = AB Do AB2 + BC2 = AC2 nên ABC = 900 Vậy tam giác ABC vuông cân tại B.. Bài 20: Cho tam giác vuông ABC (A = 900). Chứng minh rằng 1. a. Nếu AB = 2 BC thì C = 300 1. b. Nếu C = 300 thì AB = 2 BC Giải: Trên tia đối của tia AB đặt AD = AB. C.

(9) Nối CD thì ta có: Δ BAC=Δ DAC (c.g.c) ⇒ CB = CD (1) 1. B. A. D. 1. a. Nếu AB = 2 BC và AB = AD = 2 BD Thì BC = BD (2) Từ (1) và (2) suy ra CB = BD 1. 1. 0 0 Vậy tam giác BCD đều ⇒ BCA = ACD = 2 BCD = 2 .60 =30 b. CB = CD ⇒ Tam giác CBD cân Nếu BCA = 300; BCD = 60=0 suy ra tam giác BCD đều ⇒ BD = BC. ⇒ 2AB = BC. ⇒ AB =. 1 BC 2. Bài 21: Cho tam giác ABC, kẻ BE AC và CF AB. Biết BE = CF = 8cm. độ dài các đoạn thẳng BF và BC tỉ lệ với 3 và 5. a. Chứng minh tam giác ABC là tam giác cân b. Tính độ dài cạnh đáy BC c. BE và CF cắt nhao tại O. Nối OA và EF. Chứng minh đường thẳng AO là trung trực của đoạn thẳng EF. A Giải: a. Δ BFC=ΔCEB vì E = F = 900 BE = CF, Bc cạnh chung E F ⇒ FBC = ECB ⇒ tam giác ABC cân O b. Theo đề bài các đoạn thẳng BF và BC B C tỉ lệ với 3 và 5 Ta có:. BF BC BF 2 BC2 BC2 −BF 2 FC2 82 = ⇒ = = = = =4 3 5 9 25 25− 9 16 16 ⇒. 2. BC =4 ⇔ BC2 =25 . 4=100⇒ BC=10 25. cm. c. Tam giác ABC cân ⇒ AB = AC mà BF = EC ( ΔBFC=ΔCEB ) ⇒ AF = AE Δ AFO= ΔAEO (cạnh huyền - cạnh góc vuông) ⇒ FAO = EAO ⇒ Δ FAI=Δ EAI (Vì AF = AE ; FAI = EAI) ⇒. IF = IE (1). và FIA = EIA mà FIA + EIA = 1800 nên FIA = EIA = 900 ⇒ AI EF (2) Từ (1) và (2) suy ra AO là trung trực của đoạn thẳng EF. Bài 22: a. So sánh các góc của tam giác PQR biết rằng PQ = 7cm; QR = 7cm; PR = 5cm b. So sánh các cạnh của tam giác HIK biết rằng H = 750; K = 350.

(10) Giải: a. Từ hình vẽ bên ta có: PQ = RP P ⇒ Δ PQR cân tại Q ⇒ R = P QR > PR ⇒ P > Q 7 5 (quan hệ giữa cạnh và góc đối diện) vậy R = P > Q Q R b. I = 1800 - (750 + 350) = 1800 - 1100 = 700 H > I > K ⇒ IK > HK > HI (quan hệ giữa cạnh và góc đối diện) Bài 23: Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng AB + AC > BC Giải: Trên tia đới của tia AB lấy điểm D D sao cho AD = AC Ta có: AD = AC ⇒ Δ ADC cân đỉnh D ⇒ ADC = ACD (1) A Tia CA nằm giữa hai tia CB và CD Do đó: BCD > ACD (2) Từ (1) và (2) ta có: BCD > ADC B C Xét tam giác DBC có BCD > BDC suy ra DB > BC (quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong tam giác) (3) mà DB = AB + AD = AB + AC (4) Từ (3) và (4) ta có: AB + AC > BC Bài 24: Cho tam giác ABC, A = 900. Trên tia đối của tia AC lấy D sao cho AD < AC. Nối B với D. Chứng minh rằng: BC > BD B Giải: Trên tia AC lấy điểm E sao cho AE = AD Ta có: AE < AC (Vì AD < AC) Nên E nằm giữa A và C Mà BA DE và DA = AE D A E C ⇒ ΔBDE cân đỉnh B ⇒. BDE = BEA. Ta có: BEA > BCE (BEA là góc ngoài của tam giác BEC) Do đó: BDC > BCD Xét tam giác BDC có: BDC > BCD Suy ra: BC > BD (quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác) Bài 25: Cho tam giác ABC có AB < AC, M là trung điểm của cạnh BC. So sánh BAM và MAC A Giải:.

(11) Vẽ tia đối của tia MA và trên đó lấy điểm D sao cho MD = MA Xét tam giác MAB và tam giác MDC có: B M C MA = MD; AMB = DMC (đối đỉnh) MB = MC (M là TĐ của cạnh BC) Do đó: Δ MAB= ΔMDC (c.g.c) D Suy ra: AB = CD; BAM = MDC Ta có: AB = CD; AB < AC ⇒ CD < CA Xét tam giác ADC có: CD < AC ⇒ MAC < MDC (quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong tam giác) Mà MAC < MDC và BAM = MDC Suy ra: MAC < BAM Bài 26: Cho tam giác ABC vuông ở A, tia phân giác của góc B cắt AC ở D. So sánh các độ dài AD, DC. B Giải: Kẻ DH. BC. Δ ABD=Δ HBD. ⇒. H (cạnh huyền - góc nhọn). A. D. C. AD = DH ΔDHC vuông tại H. ⇒. DH < DC. ΔDHC (cạnh góc vuông nhỏ hơn cạnh huyền). suy ra: AD < DC Bài 27: Chứng minh rằng nếu một tam giác vuông có một góc nhọn bằng 30 0 thì cạnh góc vuông đối diện với nó bằng nửa cạnh huyền. Giải: Xét tam giác ABC có A = 900; B = 300 1. Cần chứng minh: AC = 2 BC Trên BC lấy điểm D sao cho CD = CA Tam giác ACD còn có: C = 600, AD = AC = CD Tam giác ABD có B = 300; A2 = 300 nên là tam giác đều 1. B. suy ra AD = BE. Do đó: AC = 2 BC Bài 28: Cho tam giác ABC có A = 850, B = 400 a. So sánh các cạnh của tam giác ABC A. AB < BC < AC C. AB < AC < BC B. BC < AC < AB D. AC < AB < BC. D. A. C.

(12) b. Trên tia đối của yia AB lấy điểm D sao cho AD = AC. Trên tia đối của tia BA lấy điểm E sao cho BE = BC. So sánh độ dài các đoạn CD; CB; CE A. CE < CB < CD C. CD < CE < CB B. CB < CE < CD D. CD < CB < CE Giải: a. Chọn D Vì C = 1800 - (A + B) = 1800 - (85 + 40) = 55 Khi đó nhận thấy rằng B < C < A ⇔ Ac < AB < BC b. Chọn D Bài 29: Cho tam giác ABC tia phân giác của góc D cắt AC tại D. So sánh độ dài của AB và BC, biết BDC tù. Giải: Để so sánh độ dài của AB và BC ta cần đi so sánh hai góc C và A. Theo giả thiết ta có: BDC tù D1 > 900 ⇔ 2D1 > 1800 Trong tam giác ABD ta có: D1 = A + B2 (1) B Trong tam giác BCD ta có: D1 + B1 + C1 = 1800 (2) Công theo vế (1) và (2) ta được: 2D1 + B1 + C = A + B2 + 1800 ⇔ A - C = 2D1 - 1800 > 0 ⇒. A > C ⇔ BC > AB. A. D. C. Bài 30: Cho góc xOy = 600, điểm A nằm trong góc xOy. Vẽ điểm D sao cho Ox là đường trung trực của AB. Vẽ điểm C sao cho Oy là đường trùng trực của AC. a. Khẳng định OB = OC là đúng hay sai? A. Đúng B. Sai b. Tính số đo góc BOC A. 600; B. 900; C. 1200; D. 1500 Giải: a. Chọn A Vì OA = OB (vì Ox là đường trung trực của AB) OA = OC (vì Oy là đường trung trực của AC) Do đó: OB = OC b. Chọn C vì tam giác OAB cân ở O nên O1 = O2 Tam giác OAC cân ở O nên O3 = O4 Khi đó: BOC = O1 + O2 + O3 + O4 = 2O2 + 2O3 = 2(O2 + O3) = 2(xOy) = 2. 600 = 1200 Vậy ta có: BOC = 1200 Bài 31: a. Cho tam giác ABC và tam giác A1B1C1 có AB = A1B1. AC = A1C1 và.

(13) BC > B1C1. So sánh số đo của hai góc A và A1 Giải: Theo giả thiết ta có: AB = A1B1; AC = A1C1 và BC > B1C1 Thì A > A1 (quan hệ giữa các cạnh đối diện trong tam giác) b. Cho hai tam giác ABC và A1B1C1 có AB = A1B1. AC = A1C1 và A > A1. Chứng minh rằng BC > B1C1 Giải: Xét tam giác ABC và tam giác A1B1C1 Có AB = A1B1; AC = A1C1 và A > A1 (gt) Suy ra: BC > B1C1 (quan hệ giữa cạnh và góc đối diện trong 1 tam giác) Bài 32: Cho tam giác ABC trung tuyến AM. Lấy điểm M bất kì trên tia đối của tia MA. So sánh độ dài CD và BD. A Giải: Ta lần lượt nhận thấy Với hai tam giác ABM và ACM có: MB = MC (vì M là trung điểm BC) M AM chung; AB < AC B C Do đó: M1 < M2 ⇔ M3 < M4 Với hai tam giác BDM và CDM có MB = MC (M là trung điểm của BC) D DM chung; M3 < M4 Do đó: CD < BD Bài 33: Cho tam giác ABC với BC > AB. Tia phân giác của góc ABC cắt cạnh AC tại D. Chứng minh CD > DA Giải: Lấy K trên cạnh BC sao cho BK = BA. Có ΔDKB và ΔDAB B Cạnh DB chung; B1 = B2 (Vì BD là tia phân giác ABC) BK = BA (theo cách lấy điểm K) K Vậy Δ DKB = Δ DAB (c.g.c) Suy ra: D1 = D2; DK = DA Mặt khác: CKD là góc ngoài tam A D C giác KDB nên CKD > D1 (1) D2 là góc ngoài tam giác DBC nên D2 > BCD (2) Vì D1 = D2 ; từ (1) và (2) suy ra CKD > BCD Trong tam giác KCD vì K > C nên CD > DK hay CD > DA Bài 34: Cho tam giác ABC (AC > AB) A tù, đường cao AH (đường AH BC) và trung tuyến AM (đường AM đi qua trung điểm M của cạnh BC). Chứng minh:.

(14) a. BAM > MAC b. H nằm giữa B và M Giải: A a. Trên tia AM lấy điểm D sao cho M là trung điểm của AD, dễ dàng chứng minh được Δ AMB=Δ DMC (c.g.c) Suy ra BAM = D (1) AB = DC Trong Δ ACD có : AC > DC do AC > AB (gt) B H M C Và AB = DC (c/m trên) Nên D > MAC (2) Từ (1) và (2) suy ra BAM > MAC D b. AC > AB ⇒ HC > HB (H thuộc đoạn thẳng BC do A là góc tù và MB = MC) suy ra: BM > BH. Vậy H nằm giữa hai điểm B và M.. Bài 35: Cho tam giác MNP biết MP > MN, MD là đường trung tuyến thuộc cạnh NP. Trên tia MD lấy điểm E sao cho D là trung điểm của ME. Chứng minh MEP > EMP Giải: ΔMDN =ΔEDP (c.g.c) DN = DP Dm = DE MDN = EDP (đối đỉnh) Suy ra: MN = EP Mà MP > MN ⇒ MP > EP Trong tam giác MEP, MP đối diện với MEP EP đối diện với EMP Do đó: MEP > EMP. M. N. D. P E. Bài 36: Tính chu vi của tam giác cân ABC biết a. AB = 5cm; AC = 12cm b. AB = 7cm; AC = 13cm Giải: Tam giác ABC cân có AB = 5cm; AC = 12cm thì cạnh đáy là Ab..

(15) Thật vậy nếu cạnh bên AB = 5cm thì cạnh bên BC = 5cm Như vậy ta có: AB + BC = 10cm < CA = 12cm đó là điều vô lí (trong một tam giác tổng độ dài hai cạnh bao giờ cũng lớn hơn độ dài cạnh thứ ba) Vậy chu vi tam giác ABC là: AB + AC + BC = 5 + 2.12 = 29 cm b. Có thể xảy ra hai trường hợp - Nếu AB = 7cm là cạnh đáy thì AB = BC = 13cm là cạnh bên - Nếu chu vi tam giác ABC bằng: 7 + 2.13 = 33 cm - Nếu AB = BC = 7cm là các cạnh bên thì AC = 13cm là cạnh đáy. Chu vi của tam giác ABC là: 13 + 2.7 = 27 cm. Bài 37: Cho tam giác ABC biết C =. B A = 2 3. a. Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác vuông tại A và tính số đo góc B, góc C. b. Kẻ đường cao AH. Chứng minh B = HAC; C = BAH Giải: a.. 0. C B C A+ B+C 180 = = = = =300 (áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau) 1 2 3 1+2+3 6 A 0 0 Vậy 3 =30 ⇒ A=90 nên tam giác ABC là tam giác vuông tại A.. b. Vì AH BC nên H = 1v suy ra B + BAH = 1v Vì BAH + HAC = 1v suy ra B = HAC (2 góc phụ nhau) Tương tự ta cũng chứng minh được C = BAH. Bài 38: Cho tam giác ABC có A = 90 0. Trên hai cạnh AB, AC lần lượt lấy hai điểm D và E. Chứng minh rằng DE < BC. Giải: B Nối D và C ta có: AE, AC lần lượt là hình chiếu của các hình xiên DE, DC trên D đường thẳng AC mà AE < AE (Vì E thuộc cạnh AC) Suy ra: DE < DC (quan hệ giữa đường xiên A E C và hình chiếu của nó) Mặt khác: AD; AB lần lượt là hình chiếu của các đường xiên DC, BC trên đường thẳng AB mà AD < AB (D thuộc cạnh AB) Suy ra: DC < BC (quan hệ giữa đường xiên và hình chiếu của nó) Ta có: DE < DC; DC < BC ⇒ DE < BC.

(16) Bài 39: Cho tam giác ABC (A = 900) vẽ AH vuông góc với BC (H thuộc BC). Chứng minh rằng AH + BC > AB + AC. B Giải: Trên tia BC lấy điểm D sao cho BD = AB Trên tia AC lấy điểm E sao cho AE = AH (Vì AB < BC nên D nằm giữa B và C, AH < AC nên E nằm giữa A và C) Tam giác ABD cân đỉnh B (Vì BD = AB) ⇒ BAD = BDA ⇒. H D A. E. C. Ta có: BAD + DAE = BAD + HAD = 900. Do đó: DAE = HAD Xét tam giác HAD và tam giác EAD có: AH = AE; HAD = DAE; Ad cạnh chung Do đó: Δ HAD =ΔEAD (c.g.c) ⇒ AHD = AED mà AHD = 900 nên AED = 900 Ta có: DE AC ⇒ DC > EC (quan hệ giữa đường xiên và đường vuông góc) Do đó: AH + BD + DC > AE + AB + EC = AB + AC Vậy AH + BC > AB + AC. Bài 40: Cho tam giác ABC, AB > AC vẽ BD AC; CE AB (D AC; E minh rằng AB - AC > BD - CE Giải: A Trên cạnh BC lấy điểm F sao cho AF = AC, E Vì AB > AC nên E nằm giữa A và B. G Vẽ FG AC, FH BD (G Ac; H BD) F Ta có: FG AC; BD AC (gt) ⇒ FG // BD B Xét Δ GFD (FGD = 900); Δ HDF (DHF = 900) Có DF chung GFD = HDF (vì FG // BD) Do đó: Δ GFD=Δ HDF (cạnh huyền - góc nhọn) Suy ra: FG = HD; GD = FH Xét Δ GAF (AGF = 900); Δ EAC (AEC = 900) Có:AF = AC; GAF (cóc chung) Do đó: Δ GAF=Δ EAC (cạnh huyền - góc nhọn). AB). Chứng. C.

(17) Suy ra: FG = CE Do vậy: FG = CE = HD Ta có: FH BD nên FB > BH (quan hệ giữa đường xiên và đường vuông góc) Suy ra: AB - AC > BD - HD Hay AB - AC > BD - CE Bài 41: Cho tam giác cân ABC tại đỉnh A. Từ điểm D trên cạnh AB vẽ đường thẳng song song 1. với BC cắt cạnh AC tại E. Chứng minh rằng BE > 2 (DE + BC) Giải: Vẽ BH DE (H DE), EN BC (N BC) Xét Δ HBE (BHE = 900) và Δ NEB (ENB = 900) BE cạnh chung, HBE = NEB (vì DE // BC) A Do đó: Δ HBE=ΔNEB (cạnh huyền - góc nhọn) Suy ra: BH = EN H D E Mặt khác HBD + DBC = HBC = 900 NEC + ECN = 900 ( Δ NEC có N = 900) mà DBC = ECN ( Δ ABC cân đỉnh A) suy ra: HBD = NEC B N C Xét Δ HBD và Δ NEC có: DHB = CNE ( = 900); BH = EN (theo c/m trên) NBD = NEC (c/m trên) Do đó: Δ HBD=Δ NEC (g.c.g) ⇒ HD = NC Mà BH DE suy ra BE > HE (quan hệ giữa đường xiên và đường vuông góc) Do đó: BE + BÊ > HE + MB Mà HE + BN = DE + HD + BN = DE + NC + BN = DE + BC 1. Nên BE + BE > DE + BC ⇒ 2BE > BC + DE ⇒ BE > 2 (DE + BC) Bài 42: Cho tam giác ABC cân tại A, điểm D nằm giữa B và C. Chứng minh rằng độ dài AD nhỏ hơn cạnh bêb của tam giác ABC. A Giải: Kẻ AH BC - Nếu D trùng H thì AD < AC vì AH < AC (đường vuông góc nhỏ hơn đường xiên) - Nếu D không trùng H B H D C Giả sử D nằn giữa H và C, ta có HD < HC Suy ra: AD < AC (hình chiếu nhỏ hơn thì đường xiên nhỏ hơn) Vậy AD nhỏ hơn cạnh bên của tam giác ABC A Bài 43: a.Cho hình vẽ bên trong đó AB > AC. E (H1).

(18) Chứng minh rằng EB > EC b. Cho hình vé bên. Chứng minh rằng: BD + CE < AB + AC Giải: a. AB > AC ⇒ HB > HC(đường xiên lớn hơn thì đường chếu lớn hơn) HB > HC ⇒ EB > EC ⇒ BD < AB b. (H2) Tam giác ABD vuông tại D Tam giác ADE vuông tại E suy ra: CE < AC Suy ra: BD + CE < AB + AC. B. H. C. A E. D. (H2). B. C. Bài 44: Cho tam giác ABC, điểm D nằm giữa A và C (BD không vuông góc với AC), gọi E và F là chân các đường vuông góc kẻ tùe A và C đến đường thẳng BD. So sánh AC với AE + CF Giải: Hướng dẫn: Xét tam giác ADE vuông tại E AE < AD (1) Xét tam giác CDF vuông tại F CF < CD (2) Từ (1) và (2) AE + CF < AD + CD = AC. A D. F. B. Bài 45: Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng: AB + AC > 2AM Giải: Trên tia đối của MA lấy điểm D sao cho MD = MA Xét Δ MAB và Δ MDC có: MA = MD; AMB = DMC (đối đỉnh) MB = MC (gt) Do đó: Δ MAB= ΔMDC (c.g.c) ⇒ AB = DC. C. A. Xét tam giác ADC có: B M C CD + AC > AD (bất đẳnh thức tam giác) Do đó: AB + AC > AD mà AD = 2AM Suy ra: AB + AC > 2AM D Bài 46: Cho tam giác ABC, M là điểm nằm trong tam giác. Chứng minh rằng: MB + MC < AB + AC A Giải: D.

(19) Vẽ đường thẳng BM cắt AC tại D Vì M ở trong tam giác ABC nên D nằm giữa A và C Suy ra: AC = AD + DC Xét tam giác ABD có: DB < AB + AD (bất đẳng thức tam giác) ⇒ MB + MD < AB + AD (1). B. C. Xét tam giác MDC có: MC < DC + MD (2) (bất đẳng thức tam giác) Công (1) với (2) vế với vế ta có: MB + MC + MD < AB + AD + DC + MD ⇒ MB + MC < AB + (AD + DC) ⇒ MB + MC < AB + AC Bài 47: Cho tam giác ABC có AB > AC; AD là tia phân giác của góc BAC (D BC). M là điểm nằm trên đoạn thẳng AD. Chứng minh rằng MB - MC < AB - AC. Giải: Trên cạnh AB lấy điểm E sao cho AE = AC A vì AB > AC, nên E nằm giữa A và B Suy ra: AE + EB = AB E M ⇒ EB = AB - AE = AB - AC Xét Δ AEM và Δ ACM có: AE = AC B EAM = CAM (AD là tia phân giác BAC) AM cạnh chung Do đó: Δ AEM=Δ ACM (c.g.c) Suy ra: ME = MC Xét tam giác MEB có MB - ME < EB (bất đẳng thức tam giác) Do đó: MB - MC < AB - AC. D. C. Bài 48: Cho tam giác ABC, M là trung điểm cạnh BC. Chứng minh rằng: 1. a. Nếu A = 900 thì AM = 2 BC 1. b. Nếu A > 900 thì AM < 2 BC 1. c. Nếu A < 900 thì AM > 2 BC Tính chất: thừa nhận Nếu hai tam giác có hai cạnh tương ứng bằng nhau từnmg đôi một nhưng các góc xen giữa chúng không bằng nhau và cạnh nào đối diện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn, góc nào đối diện với cạnh lớn hơn là góc lớn hơn. Giải: Vẽ tia đối của tia MA trên tia đó lấy điểm D sao cho MD = MA Suy ra AD = 2AM.

(20) A Xét Δ MAB và Δ MDC có: MA = MD; AMB = DMC (đối đỉnh) MB = MC (gt) Do đó: Δ MAB = Δ MDC (c.g.c) B Suy ra: AB = DC; BAM = CDM Ta có: BAM = CDM mà BAM và CDM (so le trong) nên AB // CD ⇒ BAc + ACD = 1800 Vận dụng vào tính chất trên xét Δ ABC và Δ CDA có: AB = CD; AC cạnh chung Do đó: a. BAC = ACD (BAC = 900; BAC + ACD = 1800 )nên. M. C. 1. ACD = 900 ⇒ BAC = ACD ⇒ BC = AD ⇒ AM = 2 BC b. BAC > ACD (BAC > 900; BAC + ACD = 1800) nên 1. ACD < 900 ⇒ BAC > ACD ⇒ BC > AD ⇒ AM < 2 BC c. BAC < ACD (BAC < 900; BAC + ACD = 1800) nên ACD > 900 ⇒ BAC < ACD Tom lại:. ⇒. 1. BC < AD ⇒ AM > 2 BC. 1. Nếu A = 900 thì AM = 2 BC 1. Nêu A > 900 thì AM < 2 BC 1. Nếu A < 900 thì AM > 2 BC Bài 49: Trong các trường hợp sau trường hợp nào là ba cạnh của một tam giác. a. 5cm; 10cm; 12cm. b. 1m; 2m; 3,3m c. 1,2m; 1m; 2,2m. Giải: a. Đúng vì: 5 + 10 > 12 b. Sai vì: 1 + 2 < 3,3 c. Sai vì: 2,2 = 1,2 + 1 Bài 50: Cho tam giác ABC có AB = 4cm; AC = 1cm. Hãy tìm độ dài cạnh BC biết rằng độ dài này là một số nguyên (cm) A Giải: Theo bất đẳng thức tam giác C B AB - AC < BC < AB + AC ⇒ 4 - 1 < BC < 4 + 1.

(21) ⇒. 3 < BC < 5. Do đó độ dài cạnh BC bằng 1 số nguyên (cm) nên BC = 4cm Bài 51: a. Tính chu vi của một tam giác cân có hai cạnh bằng 4m và 9m. b. Cho tam giác ABC điểm D nằn giữa B và C. Chứng minh rằng AD nhỏ hơn nửa chu vi tam giác ABC. Giải: a.Cạnh 4m không thể là cạnh bên vì nếu cạnh 4m là cạnh bên thì cạnh đáy lớn hơn tổng hai cạnh kia. (9 > 4 + 4) trái với bất đẳng thức tam giác. Vậy cạnh 4m là cạnh đáy thoả mãn 9 < 9 + 4 A Chu vi của tam giác là: 4 + 9 + 9 = 22m b. Xét tam giác ABD có: AD < AB + BD (1) Xét tam giác ACD có AD < AC + DC (2) B D C Cộng từng vế của (1) và (2) 2AD < AB + AC + (BD + DC) Suy ra AD <. AB+AC+ BC 2. Bài 52: Độ dài hai cạnh của một tam giác là 7cm, 2cm. Tính độ dài cạnh còn lại biết rằng số đo của nó theo xentimét là một số tự nhiên lẻ. Giải: Gọi độ dài cạnh còn lại là x (cm) Theo bất đẳng thức tam giác ta có: 7 - 2 < x < 7 + 2 tức là 5 < x < 9 Do đó x là một số tự nhiên lẻ nên x = 7 Cạnh còn lại bằng 7cm Bài 53: Cho tam giác ABC trung tuyến Am và góc B > C. Hãy so sánh hai góc AMB và AMC A Giải: Trong tam giác ABc vì B > C nên AC > AB Hai tam giác AMB và AMC có AM cạnh chung MB = MC nhưng AC > AB B M C Nên AMC > AMB. Bài 54: Viết biểu thức đại số biểu diễn a. Một số tự nhiên chẵn b. Một số tự nhiên lẻ c. Hai số lẻ liên tiếp d. Hai số chẵn kiên tiếp. Giải:.

(22) a. 2k;. b. 2x + 1;. c. 2y + 1; 2y + 3;. d. 2z; 2z + 2 (z. N) 1. Bài 55: Cho biểu thức 3x2 + 2x - 1. Tính giá trị của biểu thức tại x = 0; x = - 1; x = 3 Giải: Tại x = 0 ta có 3.0 + 2.0 - 1 = - 1 Tại x = - 1 ta có 3 - 2 - 1 = 0 1. 1. 2. 1 2. Tại x = 3 ta có 3. 9 + 3 - 1 = 3 + 3 − 1=0 Bài 56: Tính giá trị của các biểu thức 2 a+5. 5 1 b. 2 y+ 2 y − 1 với y = 4. a. 3 a− 6 với a = - 1; c.. ( a −b )2 −1 a2 −1. 1 1 với a = 1 4 ; b = 4 ;. d.. ( y +2 )2 y + 2y y+ 2. Giải: a. Ta có:. (− 2 ) +5 3 1 = =− ; −3 −6 −9 3. b. = - 9,5. Tương tự. c. 0. d.. 379 84. Bài 57: a. Với giá trị nào của biến thì giá trị của biểu thức. 2 x +1 5. bằng 2; - 2; 0; 4. b. Với giá trị nào của biến thì giá trị của biểu thức sau bằng 0; x +1 3 x+3 2 x (x+ 1) 3 x (x −5) ; ; ; 7 5 3x+4 x −7. Giải: a.. b.. 2 x +1 5. = 2 ⇔ 2x + 1 = 10 ⇔ x = 4,5. 2 x +1 5. = - 2 ⇔ x = - 5,5. 2 x +1 5. =0 ⇔ x= -. 2 x +1 5. = 4 ⇔ x = 9,5. 1 2. x +1 =0 ⇔ x +1=0 ⇔ x=−1 ; 7. 3 x +3 =0 ⇔ x =−1 5. 2 x ( x+ 1) =0 ⇔ x =0 ; x=−1 ; 3 x+4. 3 x (5 − x ) =0 ⇔ x=0 x−5. Bài 58: Những biến thức sau, biến thức vào là đơn thức a. 2,5xy3; x + x3 - 2y; x4; a + b 3. b. - 0,7x3y2; x3. x2; - 4 x2yx3; 3,6 Giải: Những biến thức là đơn thức 2,5xy3; x4;. - 0,7x3y2;. 3. x3. x2; - 4 x2yx3; 3,6. 3. với y = 2.

(23) Bài 59: Thu gọn các đơn thức. a. 5x3yy2. c. 5xy2(-3)y. 3. b. 4 a2b3 . 2,5a3. d. 1,5p.q.4p3.q2. Giải: a. 5x3yy2 = 5(y3.y.y2) = 5y6 3. b. 4 a2b3 . 2,5a3 =. ( 34 .2,5). a2.a3.b2 =. 15 .a5.b6 8. c. 5xy2(-3)y = - 15xy3 d. 1,5p.q.4p3.q2 = 1,5 .4 (P.P3.q.q2) = 6p4.q3 Bài 60: Thực hiện các phép nhân phân thức 1. a. 5xy2 . 0,7y4z . 40x2z3. b. - 0,5ab(-1 5 a2bc). 5c2b3. c. - 1,2ab.(- 10a2.b.c2). (- 1,5a2c);. d. - 0,32a7b4.(-3 8 a3b6). 1. Giải: a. 5xy2 . 0,7y4z . 40x2z3= 5 . 0,7 . 40.x.x2.y2.y4.z.z3 = 196x3y6z4 Tương tự ta có: b. 3a3c3b5; c. - 1,8a3b2c3; d. 0,04a10b10 Bài 61: Phân tích các biểu thức sau thành tích của hai đơn thức trong đó có một đơn thức là 20x5y2. a. - 120x5y4 b. 60x6y2 c. -5x15y3 d. 2x12y10 Giải: a. - 120x5y4 = - 6y2. 20x5y2 b. 60x6y2 = 3x. 20x5y2 1. c. - 5x6y2 = - 4 x. 20x2y2 1. d. 2x12y10 = 10 x7y8 . 20x5y2 Bài 62: Tính giá trị của các đơn thức sau: a. 15x3y3z3 tại x = 2; y = - 2; z = 3 1. 1. b. - 3 x2y3z3 tại x = 1; y = - 2 ; z = - 2 2. c. 5 ax3y6z tại x = - 3; y = - 1; z = 2 Giải: a. 15.23. (- 2)2. 32 = 15 . 8 . (- 8). 9 = - 8640 b. -. 1 . 12. 3. 1 2. 3. ( ) −. 1. . (- 2)3 = - 3.

(24) 2. 108. c. 5 a (- 3)3 .(- 1)6 . 2 = - 5 a Bài 63: Điền các đơn thức thích hợp vào dấu .......... a. 3x2y3 + ..... = 5x2y3; b.. ..... - 2x4 = - 7x4 c. ..... + ..... + ..... = x5y3 Giải: a. 3x2y3 + 2x2y3 = 5x2y3 b. - 5x4 - 2x4 = - 7x4 1. 1. 1. c. 3 x5y3 + 3 x2y3 + 3 x5y3 = x5y3 Bài 64: Hãy sắp xếp các đơn thức sau thành nhóm các đơn thức đồng dạng. 1. 3a2b; 2ab3; 4a2b2; 5ab3; 11a2b2; - 6a2b; - 5 ab3 Giải: Ta có: 3a2b; - 6a2b 1. 2ab3; 5ab3; - 5 ab3 4a2b2; 11a2b2 Bài 65: Tính tổng a. 8a - 6a - 7a; b. 6b2 - 4b2 + 3b2; c. 6ab - 3ab - 2ab Giải: a. 8a - 6a - 7a = - 5a; b. 6b2 - 4b2 + 3b2 = 5b2; c. 6ab - 3ab - 2ab = ab Bài 66: Thu gọn các đa thức a. 2a2x3 - ax3 - a4 - a2x3 + ax3 + 2a4 b. 3xx4 + 4xx3 - 5x2x3 - 5x2x2 c. 3a.4b2 - 0,8b. 4b2 - 2ab. 3b + b. 3b2 - 1 d. 5x2y2 - 5x.3xy - x2y + 6xy2 Giải: a. 2a2x3 - ax3 - a4 - a2x3 + ax3 + 2a4 = 2a2x3 - a2x3 - ax3 + ax3 - a4 + 2a4 = a2x3 + a4 b. 3x5 - 5x5 + 4x4 - 5x4 = - 2x5 - x4 c. 12ab2 - 6ab2 - 3,2b2 + 3b3 - 1 = 6ab2 - 0,2b3 - 1 d. 10xy2 + 6xy - 15x2y - x2y = 16xy2 - 16x2y Bài 67: Tìm giá trị của biểu thức. a. 6a3 - a10 + 4a3 + a10 - 8a3 + a với a = - 2 b. 4x6y3 - 3x6y3 + 2x2y2 - x6y3 - x2y2 + y với x = 1; y = - 1 Giải: Ta có: 6a3 - 8a3 + 4a3 - a10 + a10 + a = 2a3 + a a. Với a = - 2 giá trị của biểu thức là: 2(- 2)3 + (- 2) = - 16 - 2 = - 18 b. 4x6y3 - 3x6y3 + 2x2y2 - x6y3 - x2y2 + y = 3x6y3 + x2y2 + y Với x = 1; y = - 1 ta có:.

(25) - 3.(1)6 . (- 1)3 + 12 . (- 1)2 - 1 = 3 + 1 - 1 =- 3 Bài 68: a. Tại x = 5; y = - 3 giá trị của đa thức x3 - y3 là: A. - 2 B. 16; C. 34; D . 52 b. Giá trị của đa thức 3ab2 - 3a2b tại a = - 2; b = 3 là: A. 306; b. 54; C. - 54; D. 52 Giải: a. Ta có tại x = 5; y = - 3 thì giá trị của đa thức là 52 - (- 3)2 = 25 + 27 = 52 Vậy chọn D b. Tương tự câu a. Chọn D Bài 69: a. Bậc của đa thức 1. 3x3y + 4xy5 - 3x6y7 + 2 x3y - 3xy5 + 3x6y7 là A. 4; b. 6; C. 13; D. 5 b. Đa thức 5,7x2y - 3,1xy + 8y5 - 6,9xy + 2,3x2y - 8y5 có bậc là: A. 3; B. 2; C. 5; D. 4 Giải: a. Chọn B; B.Chọn A Bài 70: Tính hiệu a. (3x + y - z) - (4x - 2y + 6z) b. (x3 + 6x2 + 5y3) - (2x3 - 5x + 7y3) c. (5,7x2y - 3,1xy + 8y3) - (6,9xy - 2,3x2y - 8y3) Giải: a. (3x + y - z) - (4x - 2y + 6z) = 3x + y - z - 4x + 2y - 6z = - z + 3y - 7z b. Làm giống câu a. c. 5,7x2y - 3,1xy + 8y3 + 2,3x2y - 6,9xy - 8y3 = 8x2y - 10xy Bài 71: Cho đa thức A = x2 - 3xy - y2 + 2x - 3y + 1 B = - 2x2 + xy + 2y3 - 3 - 5x + y C = 7y2 + 3x2 - 4xy - 6x + 4y + 5 Tính A + B + C; A - B + C; A - B - C rồi xác định bậc của đa thức đó. Giải: A + B + C = x2 - 3xy - y2 + 2x - 3y + 1- 2x2 + xy + 2y3 - 3 - 5x + y = 2x2 - 6xy + 8y2 - 9x + 3y + 3: có bậc hai A - B + C = x2 - 3xy - y2 + 2x - 3y + 1 + 2x2 - xy - 2y2 + 5x - 2y + 3 + 3x2 - 4xy + 7y2 - 6x + 4y + 5 = 6x2 - 8xy + 4y2 + x - y + 9: có bậc hai A - B - C = - 10y2 + 13x - 9y - 1: có bậc hai Bài 72: Cho các đa thức. A = 4x2 - 5xy + 3y2; B = 3x + 2xy + y2 C = - x2 + 3xy + 2y2.

(26) Tính A + B + C; B - C - A; C - A - B Giải: A + B + C = (4x2 - 5xy + 3y2) + (3x + 2xy + y2 ) + (- x2 + 3xy + 2y2) = 4x2 - 5xy + 3y2 + 3x2 + 2xy + y2 - x2 + 3xy + 2y2 = 6x2 + 6y2 B - C - A = (3x + 2xy + y2) - (- x2 + 3xy + 2y2) - (4x2 - 5xy + 3y2) = 3x2 + 2xy + y2 + x2 - 3xy - 2y2 - 4x2 + 5xy - 3y2 = 4xy - 4y2 C - A - B = (- x2 + 3xy + 2y2) - (4x2 - 5xy + 3y2) - (3x + 2xy + y2) = - x2 + 3xy + 2y2 - 4x2 + 5xy - 3y2 - 3x2 - 2xy - y2 = - 8x2 + 6xy - 2y2 Bài 73: Gọi AM là trung tuyến của tam giác ABC, A /M/ là đường trung tuyến của tam giác A/B/C/. biết AM = A/M/; AB = A/B/; BC = B/C/. Chứng minh rằng hai tam giác ABC và A/B/C/ bằng nhau. A Giải: Xét Δ ABC và Δ A/B/C/ có: AB = A/B/ (gt); BM = B/M/ (Có AM là trung tuyến của BC và A/M/ là trung tuyến của B/C/) AM = A/M/ (gt) Δ ABM=Δ A/B/M/ (c.c.c). B. M. C. A/. Suy ra B = B/ B/ M/ C/ Vì có AB = A/B/; BC = B/C/ (gt) B = B/ (c/m trên) Suy ra: Δ ABC=Δ A/B/C/ Bài 74: Cho tam giác ABC (A = 90 0) trung tuyến AM, tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho MD = MA. a. Tính số đo ABM b. Chứng minh Δ ABC=Δ BAD c. So sánh: AM và BC Giải: a. Xét hai tam giác AMC và DMB có: B D MA = MD; MC = MB (gt) M1 = M2 (đối đỉnh) M Suy ra Δ AMC= Δ DMB (c.g.c) ⇒ MCA = MBD (so le trong) Suy ra: BD // AC mà BA AC (A = 900) ⇒ BA BD ⇒ ABD = 900 b. Hai tam giác vuông ABC và BAD có: AB = BD (do Δ AMC= Δ DMB c/m trên). A. C.

(27) AB chung nên Δ ABC=Δ BAD (hai tam giác vuông có hai cạnh góc vuông bằng nhau) c. Δ ABC=Δ BAD ⇒ BC = AD mà AM =. 1 AD (gt) Suy ra AM = 2. 1 BC 2. Bài 75: Cho tam giác ABC có AB < AC; BM và CN là hai đường trung tuyến của tam giác ABC. Chứng minh rằng CN > BM. Giải: Gọi G là giao điểm của BM và CN A Xét Δ ABC có BM và CN là hai đường trung tuyến cắt nhau tại G N M Do đó: G là trong tâm của tam giác ABC G 2. 2. Suy ra Gb = 3 BM; GC = 3 CN B C Vẽ đường trung tuyến AI của Δ ABC Ta có: A; G; I thẳng hàng Xét Δ AIB và Δ AIC có: AI cạnh chung, BI = IC. I. AB < AC (gt) ⇒ AIB < AIC. Xét Δ GIB và Δ GIC có: GI cạnh chung; BI = IC AIC > AIB ⇒ GC > GB ⇒ CN > BM Bài 76: Cho tam giác ABC có BM và CN là hai đường trung tuyến và CN > BM. Chứng minh rằng AB < AC Giải: A Gọi G là giao điểm của BM và CN Δ ABC có: BM và CN là hai đường trung tuyến N M Do đó: G là trong tâm của tam giác ABC 2. G. 2. Suy ra GB = 3 BM; GC = 3 CN Vẽ đường trung tuyến AI của tam giác ABC thì I đi qua G (Tính chất ba đường trung tuyến) Ta có: CN > BM mà GB =. 2 BM; GC = 3. B. I. 2 CN nên GB < GC 3. Xét Δ GIB= ΔGIC có: GI cạnh chung; BI = IC; GB < GC Suy ra: GIB < GIC Xét Δ AIB và Δ AIC có: AI cạnh chung; BI = IC; AIB < AIC Suy ra: AB < AC Bài 77: Trên hình bên có AC là tia phân giác góc BAD và CB = CD Chứng minh: ABC = ADC B Giải: H. C.

(28) Vẽ CH AB (H AD) A CK AD (K AD) C thuộc tia phân giác BAD Do đó: CH = CK Xét Δ CHB (CHB = 900 ) Và tam giác CKD (CKD = 900) Có CB = CD (gt); CH = CK (c/m trên) Do đó: Δ CHB= ΔCKD (cạnh huyền - góc vuông) ⇒ HBC = KDC ⇒ ABC = ADC. C K. D. Bài 78: Cho tam giác ABC kẻ Ax phân giác BAC tại C kẻ đường thẳng song song với tia Ax, nó cắt tiâ đối của tia AB tại D. Chứng minh: xAB = ACD = ADC Giải: D Vì Ax là tia phân giác của góc BAC Nên xAB = xAC (1) Ax // CD bị cắt bởi đường thẳng AC A hai góc xAC và ACD là 2 góc so le trong nên xAC = ACD (2) x hai góc xAB và ADC là 2 góc đồng vị nên B C xAB = ADC (3) So sánh (1); (2); (3) ta có: xAB = ACD = ADC Bài 79: Cho tam giác ABC, kẻ tia phân giác Bx của góc B, Bx cắt tia AC tại M. Từ M kẻ đường thẳng song song với AB, nó cắt BC tại N. Từ N kẻ tia NY // Bx. Chứng minh: a. xAB = BMN b. Tia Ny là tia phân giác của góc MNC Giải: A a.Trong tam giác ABC tại đỉnh B có: ABx = xBC (vì Bx là tia phân giác của góc B) N BMN = ABx (2 góc so le trong vì MN // BA) Vậy xBC = BMN A M C x y b. BMN = MNy (2 góc so le trong vì Ny // Bx) xBC = yNC (2 góc đồng vị vì Ny // Bx) Vậy MNy = yNC mà tia Ny là tia nằm giữa hai tia NM và NC Do đó: Ny là tia phân giác của MNC Bài 80: Cho tam giác ABC. Gọi I là giao điểm của hai tia phân giác hai góc A và B. Qua I vẽ đường thẳng song song với BC cắt AB tại M, cắt AC tại N. Chứng minh rằng: MN = BM + CN Giải:.

(29) Ba phân giác củam một tam giác cùng đi qua một điểm nên CI là tia phân giác của góc C. Vì MN // BC nên C1 = I1 (2 góc so le trong) A C1 = C2 nên C2 = I2 Do đó: Δ NIC cân và NC = NI (1) M N Chứng minh tương tự ta có: MB = MI (2) Từ (1) và (2) ta có: B C MI + IM = BM + CN hay MN = BM + CN Bài 81: Cho tam giác ABC (A = 90 0) các đường trung trực của các cạnh AB, AC cắt nhau tại D. Chứng minh rằng D là trung điểm của cạnh BC Giải: Vì D là giao điểm của đường trung trực của các cạnh AB và AC nên 2 tam giác A DAB và DAC là cân và các góc ở đáy của mỗi tam giác đó bằng nhau. DBA = DAB và DAC = DCA Theo tính chất góc ngoài của tam giác ta có: B D C ADB = DAC + DCA ADC = DAB + DBA Do đó: ADB + ADC = DAC + DCA + DAB + DBA = 1800 Từ đó suy ra ba điểm B, D, C thẳng hàng Hơn nữa vì DB = DC nên D là trung điểm của BC Bài 82: Cho hai điểm A và D nằm trên đường trung trực AI của đoạn thẳng BC. D nằm giữa hai điểm A và I, I là điểm nằm trên BC. Chứng minh: a. AD là tia phân giác của góc BAC b. ABD = ACD A Giải: a. Xét hai tam giác ABI và ACI chúng có: AI cạnh chung AIC = AIB = 1v IB = IC (gt cho AI là đường trung trực của đoạn thẳng BC) B I C Vậy Δ ABI=Δ ACI (c.g.c) ⇒ BAI = CAI Mặt khác I là trung điểm của cạnh BC nên tia AI nằm giữa hai tia AB và AC Suy ra: AD là tia phân giác của góc BAC b. Xét hai tam giác ABD và ACD chúng có: AD cạnh chung Cạnh AB = AC (vì AI là đường trung trực của đoạn thẳng BC) BAI = CAI (c/m trên).

(30) Vậy Δ ABD=Δ ACD (c.g.c) ⇒ ABD = ACD (cặp góc tương ứng) Bài 83: Hai điểm M và N nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB, N là trung điểm của đoạn thẳng AB. Trên tia đối của tia NM cxác định M/ sao cho MN/ = NM a. Chứng minh: AB là ssường trung trực của đoạn thẳng MM/ b. M/A = MB = M/B = MA Giải: a. Ta có: AB MM/ (vì MN là đường trung trực của đoạn M thẳng AB nên MN AB ) Mặt khác N là trung điểm của MM/ (vì M/ nằm trên tia đối của tia NM và NM = NM/) A N B / Vậy AB là đường trung trực của đoạn MM . b. Theo gả thiết ta có: MM/ là đường trung trực của đoạn thẳng AB nên MA = MB; M/B = M/A M/ Ta lại có: AB là đường trung trực của đoạn thẳng MM/ nên MA = M/B Từ đó suy ra: M/A = MB = M/B = MV Bài 84: Cho tam giác ABC có AB < AC. Xác định điểm D trên cạnh AC sao cho : DA + DB = AC Giải: Vẽ đường trung trực của đoạn thẳng BC cắt cạnh AC tại D D là điểm cần xác định A Thật vậy Ta có: DB = DC (vì D thuộc đường trung D trực của đoạn thẳng BC) Do đó: DA + DB = DA + DC Mà AC = DA + DC (vì D nằm giữa A và C) B C Suy ra: DA + DB = AC Bài 85: a. Gọi AH và BK là các đường cao của tam giác ABc. Chứng minh rằng CKB = CAH b. Cho tam giác cân ABC (AB = AC), AH và BK là các đường cao Chứng minh rằng CBK = BAH Giải: a. Trong tam giác AHC và BKC có: K CBK và CAH đều là góc nhọn Và có các cạnh tương ứng vuông góc với nhau A CB AH và BK CA Vậy CBK = CAH B H C.

(31) b. Trong tam giác cân đã cho thì đường cao AH cũng là đường phân giác của góc A Do đó: BAH = CAH Mặt khác: CAH và CBK là hai góc nhọn và có các cạnh tương ứng vuông góc nên CAH = CBK. Như vậy BAH = CBK. A K. B H C Bài 86: Hai đường cao AH và BK của tam giác nhọn ABC cắt nhau tại D. a. Tính HDK khi C = 500 b. Chứng minh rằng nếu DA = DB thì tam giác ABC là tam giác cân. Giải: A Vì hai góc C và ADK đều là nhọn và có các K cạnh tương ứng vuông góc nên C = ADK Nhưng HDK kề bù với ADK nênhai góc C và HDK là bù nhau. Như vậy HDK = 1800 - C = 1300 b. Nếu DA = DB thì DAB = DBA B H C Do đó hai tam giác vuông HAB và KBA bằng nhau Vì có cạnh huyền bằng nhau và có một góc nhọn bằng nhau Từ đó suy ra KAB = HBA hai góc này cùng kề với đáy AB của tam giác ABC Suy ra tam giác ABC cân với CA = CB Bài 87: Cho tam giác ABC cân tại A phân giác AM. Kẻ đường cao BN cắt AM tại H. a. Khẳng định CN AB là đúng hay sai? A. Đúng B. Sai b. Tính số đo các góc: BHM và MHN biết C = 390 A. BHM = 1310; MHN = 490 C. BHM = 1410; MHN = 390 B. BHM = 490; MHN = 1310 D. BHM = 390; MHN = 1410 Giải: A a. Chọn A vì AM BC tam giác ABC câb tại A N Suy ra H là trực tâm của tam giác ABC H Do đó CH AB b. Chọn D B M C Ta có: BHM = C = 390 (hai góc nhọn có cạnh tương ứng vuông góc).

(32) MHN = 1800 - C = 1410 (hai góc có cạnh tương ứng vuông góc và một góc nhọn, một góc tù) Vậy ta tìm được BHM = 390; MHN = 1410 Bài 88: Cho góc xOy = 600 điểm A nằm trong góc xOy vẽ điểm B sao cho Ox là đường trung trực của AC, vẽ điểm C sao cho Oy là đường trung trực của AC a. Khẳng định OB = OC là đúng hay sai? b. Tính số đo góc BOC A. 600; B. 900; C. 1200; D. 1500 Giải: a. Chọn A B Nhận xét là: x OA = OB vì Ox là đường trung trực của AB OA = OC vì Oy là đường trung trực của AC Do đó: OB = OC b. Chọn C. O A Nhận xét là: Tam giác OAB cân tại O nên O1 = O2 Tam giác OAC cân tại O nên O3 = O4 y Khi đó: BOC = O1 + O2 + O3 + O4 = 2O2 + 2O3 = 2(O2 +O3) = 2xOy = 1200 C 0 Vậy ta có: BOC = 120 Bài 89: Chứng minh rằng trong một tam giác trung tuyến ứng với cạnh lớn hơn thì nhỏ hơn trung tuyến ứng với cạnh nhỏ. Giải: Xét tam giác ABC các đường trung tuyến A AM, BN, CP trọng tâm G Giả sử AB < AC P N Ta cần đi chứng minh CP > BN G Thật vậy Với hai tam giác ABM và ACM B M C Ta có: MB = MC (vì M là trung điểm của BC) AM chung: AB < AC do đó: M1 < M2. Với hai tam giác GBM và GCM ta có: MB = MC (M là TĐ của BC); GM chung Do đó: GB < GC ⇔. 2 GB < 3. Bài 90: Tìm bậc của đa thức sau: a. 5x6 - 2x5 + x4 - 3x3 - 5x6 + x2 + 5 b. 15 - 2x2 + x3 + 2x2 - x3 + x. 2 GC 3. ⇔ BN < CP.

(33) c. 3x7 + x4 - 3x7 + x5 + x + 4 d. - 2004 Giải: a. - 2x5 + x4 - 3x3 + x2 + 5 có bậc là 5 b. 15 + x có bậc là 1 c. x5 + x4 + x + 4 có bậc là 5 d. - 2004 có bậc là 0 Bài 91: a. Viết các đa thức sau theo luỹ thừa tăng của biến và tìm bậc của chúng. f(x) = 5 - 6x4 + 2x3 + x + 5x4 + x2 + 3x3 g(x) = x5 + x4 - 3x + 7 - 2x4 - x5 b. Viết các đa thức sau theo luỹ thừa giảm dần của biến và tìm hệ số bậc cao nhất, hệ số tự do của chúng. h(x) = 5x2 + 9x5 - 7x4 - x2 - 6x5 + x3 + 75 - x g(x) = 2x3 + 5 - 7x4 - 6x3 + 3x2 - x5 Giải: a. Ta có: f(x) = 5 + x + x2 + 5x3 - x4 có bậc là 4 g(x) = 7 - 3x - x4 có bậc là 4 b. Ta có: h(x) = 3x5 - 7x4 + x3 + 4x2 - x + 75 Hệ số bậc cao nhất của h(x) là 3, hệ số tự do là 75. g(x) = - x5 - 7x4 - 4x3 + 3x2 + 5 Hệ số bậc cao nhất của g(x) là - 1, hệ số tự do là 5. Bài 92: Đơn giản biểu thức sau: a. (a2 - 0,45a + 1,2) + (0,8a2 - 1,2a) - (1,6a2 - 2a) b. (y2 - 1,75y - 3,2) - (0,3y2 + 4) - (2y - 7,2) c. 6x2 - 2x2 - (7x2 + 4x + 1) - (x - 2x2 - 1) d. -(2a3 - a2 + a) + 3a3 - 4a - (5a2 - a3) Giải: a. a2 + 0,8a2 - 1,6a2 - 0,45a - 1,2a + 2a + 1,2 = 0,2a2 + 0,35a + 1,2 b. y2 - 0,3y2 - 1,75y - 2y - 3,2 + 7,2 = 0,7y2 - 3,75y + 4 c. 4x2 - 7x2 + 2x2 - 4x - x - 1 + 1 = - x2 - 5x d. - 2a3 + 3a3 + a3 + a2 - 5a2 - a - 4a = 2a3 - 4a2 - 5a Bài 93: a. Chứng minh rằng hiệu hai đa thức 1. 0,7x4 + 0,2x2 - 5 và - 0,3x4 + 5 x2 - 8 luôn luôn dương với mọi giá trị thực của x. b. Tính giá trị của biểu thức (7a3 - 6a3 + 5a2 + 1) + (5a3 + 7a2 + 3a) - (10a3 + a2 + 8a) với a = - 0,25.

(34) Giải: a. Ta có: 1. (0,7x4 + 0,2x2 - 5 ) - (0,3x4 + 5 x2 - 8) 1. = 0,7x4 + 0,2x2 - 5 + 0,3x4 - 5 x2 + 8 = x4 + 3 3 ∀ x ∈ R b. 7a3 - 6a3 + 5a2 + 1 + 5a3 + 7a2 + 3a - 10a3 - a2 - 8a = - 4a3 + 11a2 - 5a + 1 Với a = - 0,25 thì giá trị của biểu thức là: 4(- 0,25)3 + 11. (- 0,25)2 - 5.(- 0,25) + 1 = 4(- 0,015625) + 11 (- 0,0625) - 1,25 + 1 = 0,0625 - 0,6875 - 0,25 = - 0,875 Bài 94: Chứng minh rằng giá trị của các biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến. a.. ( 35 x − 0,4 x − 0,5) − (1 − 25 x +0,6 x ) 2. 2. b. 1,7 - 12a2 - (2 - 5a2 + 7a) + (2,3 + 7a2 + 7a) c. 1 - b2 - (5b - 3b2) + (1 + 5b - 2b2) Giải: Ta có: a.. 3 2 x - 0,4x - 0,5 - 1 + 5. 2 x - 0,6x2 = - 1,5 5. b. 1,7 - 12a2 - 2 + 5a2 - 7a + 2,3 + 7a2 + 7a = (- 12a2 + 5a2 + 7a2) - 7a + 7a + 1,7 - 2 + 2,3 = 2 c. 1 - b2 - 5b + 3b2 + 1 + 5b - 2b2 = - b2 + 3b2 - 2b2 - 5b + 5b + 1 + 1 = 2 Bài 95: Cho các đa thức f(x) = 3 + 3x - 1 + 3x4; g(x) = - x3 + x2 - x + 2 - x4 Tính f(x) + g(x); f(x) - g(x) Giải: f(x) + g(x) = 3 + 3x - 1 + 3x4 + (- x3 + x2 - x + 2 - x4) = 2x4 + x2 + 2x - 1 Tương tự: f(x) - g(x) = 4x4 + 2x3 - x2 + 4x - 3 Bài 96: tính tổng f(x) + g(x) và hiệu f(x) - g(x) với a. f(x) = 10x5 - 8x4 + 6x3 - 4x2 + 2x + 1 + 3x6 g(x) = - 5x5 + 2x4 - 4x3 + 6x2 - 8x + 10 + 2x6 1. b. f(x) = 15x3 + 7x2 + 3x - 2 + 3x4 1. g(x) = - 15x3 - 7x2 - 3x + 2 + 2x4 Giải: a. Ta có f(x) + g(x) = 6x6 + 5x5 - 6x4 + 2x3 + 2x2 - 6x + 11.

(35) f(x) - g(x) = x6 + 15x5 - 10x4 + 10x3 - 10x2 + 10x - 9 b. f(x) + g(x) = 5x4 f(x) - g(x) = x4 + 30x3 + 14x2 + 6x - 1 Bài 97: Cho các đa thức f(x) = 2x4 - x3 + x - 3 + 5x5 g(x) = - x3 + 5x2 + 4x + 2 + 3x5 h(x) = x2 + x + 1 + x3 + 3x4 Hãy tính: f(x) + g(x) + h(x); f(x) - g(x) - h(x) Giải: f(x) + g(x) + h(x) = 8x5 + 5x4 + 6x2 + 6x f(x) - g(x) - h(x) = 2x5 - x4 - 2x3 - 6x2 - 4x - 6 Bài 98: Đơn giản biểu thức: a. (0,5a - 0,6b + 5,5) - (- 0,5a + 0,4b) + (1,3b - 4,5) b. (1 - x + 4x2 - 8x3) + (2x3 + x2 - 6x - 3) - (5x3 + 8x2) Giải: a. 0,5a - 0,6b + 5,5 + 0,5a - 0,4b + 1,3b - 4,5 = a + 0,3b + 1 b. 1 - x + 4x2 - 8x3 + 2x3 + x2 - 6x - 3 - 5x3 - 8x2 = - 11x3 - 3x2 - x - 2 Bài 99: Chứng minh rằng: A + B - C = C - B - A Nếu A = 2x - 1; B = 3x + 1 và C = 5x Giải: A + B - C = 2x - 1 + 3x + 1 - 5x = 5x - 5 - 1 + 1 = 0 C - B - A = 5x - 3x + 1 - 2x - 1 = 5x - 3x - 2x + 1 - 1 = 0 Vậy A + B - C = C - B - A Bài 100: Chứng minh rằng hiệu hai đa thức 1. 3 4 1 3 1 2 4 x − x −1 x 2 + x + 4 8 4 5 7. và 0,75x4 - 0,125x3 - 2,25x2 + 0,4x -. 3 7. luôn nhận giá trị. dương. Giải: 3 4 1 3 1 2 2 4 3 Ta có: ( 1 4 x − 8 x −1 4 x + 5 x + 7 ) - (0,75x4 - 0,125x3 - 2,25x2 + 0,4x - 7 )= = x4 + x2 + 1 1 ∀ x Bài 101: Cho các đa thức P(x) = x2 + 5x4 - 3x3 + x2 + 4x4 + 3x3 - x + 5 Q(x) = x - 5x3 - x2 - x4 + 4x3 - x2 + 3x - 1 a. Thu gọn và sắp xếp các đa thức trên theo luỹ thừa giảm của biến. b. Tính P(x) + Q(x); P(x) - Q(x) Giải: a. P(x) = 5 - x + 2x2 + 9x4 Q(x) = - 1 + 4x - 2x2 - x3 - x4.

(36) b. P(x) + Q(x) = (9x4 + 2x2 - x + 5) + (x4 - x3 - 2x2 + 4x - 1) = 10x4 - x3 + 3x + 4 P(x) - Q(x) = (9x4 + 2x2 - x + 5) - (x4 - x3 - 2x2 + 4x - 1) = = 9x4 + 2x2 - x + 5 - x4 + x3 + 2x2 - 4x + 1 = 8x4 + x3 + 4x2 - 5x + 6 Bài 102: Cho hai đa thức; chọn kết quả đúng. P = 3x3 - 3x2 + 8x - 5 và Q = 5x2 - 3x + 2 a. Tính P + Q A. 3x3 - 2x2 + 5x - 3; C. 3x3 - 2x2 - 5x - 3 B. 3x3 + 2x2 + 5x - 3; D. 3x2 + 2x2 - 5x - 3 b. Tính P - Q A. 3x3 - 8x2 - 11x - 7; C. 3x3 - 8x2 + 11x - 7 B. 3x3 - 8x2 + 11x + 7; D. 3x2 + 8x2 + 11x - 7 Giải: a. Chọn C; B.Chọn B Bài 103: Tìm đa thức A. chọn kết quả đúng. a. 2A + (2x2 + y2) = 6x2 - 5y2 - 2x2y2 A. A = 2x2 - 3y2 + x2y2; C. A = 2x2 - 3y2 - x2y2 B. A = 2x2 - 3y2 + 5x2y2; D. 2x2 - 3y2 - 5 x2y2 b. 2A - (xy + 3x2 - 2y2) = x2 - 8y2 + xy A. A = x2 - 5y2 + 2xy; C. A = 2x2 - 5y2 + 2xy B. A = x2 - 5y2 + xy; D. A = 2x2 - 5y2 + xy Giải: a. Chọn C Ta có: 2A + (2x2 + y2) = 6x2 - 5y2 - 2x2y2 ⇔ 2A = (6x2 - 5y2 - 2x2y2) - (2x2 + y2) = 4x2 - 6y2 - 2x2y2 ⇔. A = 2x2 - 3y2 - x2y2. Vậy đa thức cần tìm là: A = 2x2 - 3y2 - x2y2 b. Chọn D Ta có 2A - (xy + 3x2 - 2y2) = x2 - 8y2 + xy ⇔ 2A = (x2 - 8y2 + xy) + (xy + 3x2 - 2y2) = 4x2 - 10y2 + 2xy ⇔. A = 2x2 - 5y2 + xy. Vậy đa thức cần tìm là A = 2x2 - 5y2 + xy Bài 104: Cho hai đa thức sau: f(x) = a0xn + a1xn-1 + a2xn-2 + ..... + an-1x + an g(x) = b0 xn + b1 xn-1 +b2xn-2 +,,,, + bn-1x + bn a. Tính f(x) + g(x) A. f(x) + g(x) = (a0 + b0)xn + (a1 + b1)xn-1 + ... + (an-1+ bn-1)x + an + bn B. f(x) + g(x) = (a0 + b0)xn + (a1 + b1)xn-1 + ... + (an-1+ bn-1)x + an - bn C. f(x) + g(x) = (a0 - b0)xn + (a1 - b1)xn-1 + ... + (an-1- bn-1)x + an + bn D. f(x) + g(x) = (a0 - b0)xn + (a1 - b1)xn-1 + ... + (an-1- bn-1)x - an + bn b. Tính f(x) - g(x).

(37) A. f(x) - g(x) = (a0 - b0)xn + (a1 + b1)xn-1 + ... + (an-1+ bn-1)x + an + bn B. f(x) - g(x) = (a0 - b0)xn + (a1 - b1)xn-1 + ... + (an-1- bn-1)+ an - bn C. f(x) - g(x) = (a0 - b0)xn + (a1 - b1)xn-1 + ... + (an-1- bn-1)x + an + bn D. f(x) - g(x) = (a0 + b0)xn + (a1 + b1)xn-1 + ... + (an-1+ bn-1)x + an - bn Giải: a. Chọn A Ta có: f(x) = a0xn + a1xn-1 + a2xn-2 + ..... + an-1x + an g(x) = b0 xn + b1 xn-1 +b2xn-2 +,,,, + bn-1x + bn f(x) + g(x) = (a0 + b0)xn + (a1 + b1)xn-1 + ... + (an-1+ bn-1)x + an + bn b.Chọn B Ta có: f(x) = a0xn + a1xn-1 + a2xn-2 + ..... + an-1x + an g(x) = b0 xn + b1 xn-1 +b2xn-2 +,,,, + bn-1x + bn f(x) - g(x) = (a0 - b0)xn + (a1 - b1)xn-1 + ... + (an-1- bn-1)+ an - bn. Bài 105: Tìm nghiệm của đa thức: (x2 + 2) (x2 - 3) A. x = ± 1; ± √3 ; D. x = ± 2 Giải: Chọn C Nghiệm của đa thức: (x2 + 2) (x2 - 3) thoả mãn. (x2 + 2) (x2 - 3) = 0 ⇔. B, x = ± √ 2 ;. C. x =. B. x = 1; D. vô nghiệm. C. x =. B. x = 0; D. vô nghiệm. C. x =. B. x = - 1; D. vô nghiệm. C. x =. x 2 +2=0 ¿ 2 2 x −2=0 ⇔ x =3 ⇔ x=± √ 3 ¿ ¿ ¿ ¿. Bài 106: Tìm nghiệm của đa thức x2 - 4x + 5 A. x = 0; 2; b. Tìm nghiệm của đa thức x2 + 1 A. x = - 1; 1; c. Tìm nghiệm của đa thức x2 + x + 1 A. x = - 3; 1; Giải: a. Chọn D Vì x2 - 4x + 5 = (x - 2)2 + 1 0 +1>1 Do đó đa thức x2 - 4x + 4 không có nghiệm b. Chọn D vì x2 + 1 0+1>1 Do đó đa thức x2 + 1 không có nghiệm.

(38) c. Chọn D vì x2 + x + 1 =. 1 2 3 3 3 + ≥ 0+ > 2 4 4 4. ( ) x+. Do đó đ thức x2 + x + 1 không có nghiệm Bài 107: a. Trong một hợp số { 1; − 1; 5 ; −5 } số nào là nghiệm của đa thức, số nào không là nghiệm của đa thức P(x) = x4 + 2x3 - 2x2 - 6x + 5 b. Trong tập hợp số. {1 ; −1 ; 3 ; −3 ; 7 ; −7 ; 12 ; − 12 }. số nào là nghiệm của đa thức, số nào không là. nghiệm của đa thức. Giải: a. Ta có: P(1) = 1 + 2 - 2 - 6 + 5 = 0 P(-1) = 1 - 2 - 2 + 6 + 5 = 8 0 P(5) = 625 + 250 - 50 - 30 + 5 = 800 0 P(- 5) = 625 - 250 - 50 + 30 + 5 = 360 0 Vậy x = 1 là nghiệm của đa thức P(x), còn các số 5; - 5; - 1 không là nghiệm của đa thức. b. Làm tương tự câu a 1. Ta có: - 3; 2 là nghiệm của đa thức Q(x) Bài 108: Tìm nghiệm của đa thức sau: f(x) = x3 - 1; g(x) = 1 + x3 f(x) = x3 + 3x2 + 3x + 1 Giải: Ta có: f(1) = 13 - 1 = 1 - 1 = 0, vậy x = 1 là nghiệm của đa thức f(x) g(- 1) = 1 + (- 1)3 = 1 - 1, vậy x = - 1 là nghiệm của đa thức g(x) g(- 1) = (- 1)3 + 3.(- 1)2 + 3. (- 1) + 1 = - 1 + 3 - 3 + 1 = 0 Vậy x = 1 là nghiệm của đa thức f(x) Bài 109: 1. a. Chứng tỏ rằng đa thức f(x) = 3 x4 + 3x2 + 1 không có nghiệm b. Chứng minh rằng đa thức P(x) = - x8 + x5 - x2 + x + 1 không có nghiệm Giải: 1. a. Đa thức f(x) không có nghiệm vì tại x = a bất kì f(a) = 4 a4 + 3a2 + 1 luôn dương b. Ta có: P(x) = x5(1 - x3) + x(1 - x) Nếu x 1 thì 1 - x3 0; 1 - x 0 nên P(x) < 0 8 2 Nếu 0 x 1 thì P(x) = - x + x (x3 - 1) + (x - 1) < 0 Nếu x < 0 thì P(x) < 0 Vậy P(x) không có nghiệm..

(39)

(40)

DE CUONG ON TAP TOAN 7VIP

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về