thi thu dh thpt Cau Xe

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Trường thpt cầu xe đề chính thức. đề thi thử đại học lần 1 M«n thi: to¸n N¨m häc 2011 2012. ( Thời gian làm bài: 180 phút không kể thời gian giao đề ) PhÇn chung cho tÊt c¶ c¸c thÝ sinh (7 ®iÓm) C©u I (2®iÓm). Cho hµm sè y = x3 - 2mx 2 + 2mx - 1 (1) 1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (1) với m =2 2. Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt A(1; 0), B và C sao cho K1 + K 2 =BC. 5 Trong đó K1, K2 lần lượt là hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm B và C của đồ thị hàm số (1). C©u II (2®iÓm). 1. Giải bất phương trình sau: 3x - 2 - 2 1 - x ³ 7 x - 6 với x ẻ Ă sin x + tan x 1 = sin 2 x sin x 1 + tan 2 x 2 e ( x 2 - 1) ln x + x 2 C©u III (1®iÓm). TÝnh tÝch ph©n sau: I = ò dx x + x ln x 1. 2. Giải phương trình sau:. Câu IV (1điểm). Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, điểm M nằm trªn c¹nh SC sao cho MC = 2MS, AB =a, BC = 2AD = 2a 3 . TÝnh thÓ tÝch cña khèi chãp MABCD theo a. Biết rằng SA = SB = SD và góc tạo bởi cạnh bên SC và mặt đáy là 600. Câu V (1điểm). Cho x, y, z là các số thực dương thoả mãn điều kiện:. 1 1 1 + + £9 x y x. Chøng minh r»ng: x 2 + xy + y 2 + y 2 + yz + z2 + z2 + zx + x 2 ³ 3 PhÇn tù chän (3®iÓm) ThÝ sinh chØ ®­îc lµm mét trong hai phÇn ( phÇn A hoÆc B) A. Theo chương trình Chuẩn C©u VIa (2®iÓm) 1. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho đường tròn (C) có phương trình: x 2 + y 2 - 2 x - 2 y + 1 = 0 và điểm M( m; -1 ) nằm ngoài đường tròn (C). Gọi A, B là các tiếp điểm của các tiếp tuyến kẻ từ điểm M đến đường tròn (C). Hãy tìm m để khoảng cách từ tâm đường tròn (C) đến đường thẳng AB bằng 2. Giải phương trình sau: 8 log 22. (. ). 2 x - 1 + 3log 2. 1 -2=0 2x -1. 1 2. víi x Î ¡. Câu VIIa ( 1điểm) Cho hàm số y = x 3 - 3 x 2 + 2 có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết rằng tiếp tuyến cắt trục Ox tại điểm A có hoành độ dương và OA =1. B. Theo chương trình Nâng cao C©u VIb (2®iÓm) 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có A(4; ­ 2), phương trình đường cao kẻ từ C và đường trung trực của ®o¹n th¼ng BC lần lượt là x – y + 2 = 0; 3x + 4y – 2 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh B và C cña tam gi¸c. x. -x. 2. Giải phương trình sau: ( 3 - 2 2 ) - 3 ( 2 - 1) + 2 = 0 với x ẻ Ă C©u VIIb (1®iÓm) Cho hµm sè y =. x +1 có đồ thị (C).Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) x -1. biết rằng tiếp tuyến cắt tiệm cận đứng tại điểm A, cắt tiệm cận ngang tại điểm B sao cho IA =2IB (víi I lµ giao ®iÓm cña hai ®­êng tiÖm cËn) ..................................HÕt................................. ThÝ sinh kh«ng ®­îc sö dông tµi liÖu. C¸n bé coi thi kh«ng gi¶i thÝch g× thªm.. Cảm ơn gửi tới www.laisac.page.tl.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Trường thpt cầu xe C©u. đáp án và biểu điểm. ý. §¸p ¸n. BiÓu ®iÓm 1 1 ®iÓm ............................................................................................................... ........... Víi m= 2 hµm sè (1) trë thµnh: y = x 3 - 4 x 2 + 4 x - 1 éx = 2 Ta cã: y’ = 3x - 8x + 4; y’ = 0 Û 3x - 8x + 4 = 0 Û ê 2 êx = 3 ë 2. I. 0,25. 2. ............................................................................................................... DÊu cña y’: x -¥ 2/3 2 +¥ y’ + 0 0 + *Từ đó ta có hàm số đồng biến trên khoảng (- Ơ ;2/3) và (2; + Ơ ); hµm sè nghÞch biÕn trªn kho¶ng ( 2/3; 2). 0,25 2 5 æ2ö * Hàm số đạt cực đại tại x = và ta có yCĐ =y ỗ ữ = è3ø. 3. 27. Hàm số đạt cực tiểu tại x =2 và ta có yCT =y(2)= -1 ............................................................................................................... 4. 4. 1. *Ta cã: lim ( x 3 - 4 x 2 + 4 x - 1) = lim x 3 æç 1 - + 2 - 3 ö÷ = +¥ x®+¥ x®+¥ x ø è x x æ 4 4 1 ö lim ( x 3 - 4 x 2 + 4 x - 1) = lim x 3 ç 1 - + 2 - 3 ÷ = -¥ x®-¥ x®-¥ x ø è x x. *B¶ng biÕn thiªn: x y’. -¥ +. 2/3 0. 2 0. -. +¥ 0,25. +. 5 27. +¥. y -¥. -1. ............................................................................................................... * §å thÞ: C¾t trôc Oy t¹i ®iÓm ( 0; -1 ) C¾t trôc Ox t¹i ®iÓm ( 1; 0). 4.5. æ3± 5 ö ;0 ÷÷ è 2 ø. y. 4 3.5. vµ çç. 3 2.5 2 1.5 1 0.5 ­4.5. ­4. ­3.5. ­3. ­2.5. ­2. ­1.5. ­1. ­0.5 ­0.5 ­1 ­1.5 ­2 ­2.5 ­3 ­3.5 ­4 ­4.5. x 0.5. 1. 1.5. 2. 2.5. 3. 3.5. 4. 4.5. 5. 5.5. 0,25.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> 2 T×m m ? Ta có phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số với trục Ox lµ: x 3 - 2mx 2 + 2mx - 1 = 0 Û ( x - 1) éë x 2 + (1 - 2m) x + 1ùû = 0 éx = 1 Ûê 2 ë x + (1 - 2m ) x + 1 = 0(*). 1 ®iÓm 0,25. ............................................................................................................... Để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt thì pt(*) phải có 2 nghiÖm phËn biÖt kh¸c 1. Tøc lµ pt: x 2 + (1 - 2m) x + 1 = 0 ph¶i cã 2 nghiÖm phËn biÖt kh¸c 1 ìé 1 ïêm < - 2 1 é ïê m<2 ê ìD = 4 m 4 m 3 > 0 ï ï 3 2 Û íêm > Ûê Û í2 ê 2 ïî1 + (1 - 2m).1 + 1 ¹ 0 êm > 3 ïë êë ï 3 2 m ¹ ï î 2. 0,25. ............................................................................................................... Gi¶ sö: B(xB ; 0); C(xC ; 0) . vì xB, xC là 2 nghiệm phân biệt của pt(*) nên theo định lí viet ta có: xB + xC = 2m-1 vµ xBxC =1 2. 2. Ta cã: BC = ( xC - xB ) = ( xC + xB ) - 4 xB xC = 4m 2 - 4m - 3 0,25 2 2 MÆt kh¸c: K1 + K2 = 3 xB - 4mxB + 2m + 3 xC - 4mxC + 2m = 3( xB + xC )2 - 6 xB xC - 4m( xB + xC ) + 4m = 4m 2 - 4m - 3 ............................................................................................................... Theo gi¶i thiÕt ta cã: K1 + K2 = BC 5 . Û 4 m 2 - 4 m - 3 = 5(4 m 2 - 4 m - 3) Þ 4 m 2 - 4 m - 3 = 5 v× 4 m 2 - 4 m - 3 > 0 é m = -1 (tho¶ m·n) Û m -m-2= 0 Û ê ë m = 2 (tho¶ m·n) é m = -1 VËy víi ê tho¶ m·n yªu cÇu bµi to¸n. ëm = 2 Giải bất phương trình sau: 3x - 2 - 2 1 - x ³ 7 x - 6 với x ẻ Ă 1 2 §K: £ x £ 1 3. 0,25. 2. II. 1 ®iÓm. Ta cã bpt Û ( 7 x - 6 ) ³ ( 7 x - 6 ) ( 3 x - 2 + 2 1 - x ) (*) 2. v× 3 x - 2 + 2 1 - x > 0 víi mäi xÎ éê ;1ùú ë3 û TH1. NÕu 7x – 6 = 0 Û x =. 6 6 thì bpt (*) luôn đúng do đó x = 7 7. lµ mét nghiÖm cña bpt. ................................................................................................................ 0,25.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> 2 6 £ x < th× bpt(*) trë thµnh: 3 7. TH2. NÕu. 3x - 2 + 2 1 - x ³ 1. giải bpt trong trường hợp này và kết hợp với điều kiện ta ®­îc nghiÖm lµ:. 0,25. 2 6 £x< 3 7. 2 6 £x< 3 7. ............................................................................................................... 6 < x £ 1 th× bpt(*) trë thµnh: 7. TH3. NÕu. 3x - 2 + 2 1 - x £ 1 ta ®­îc. 0,25. nghiệm trong trường hợp này là: x = 1. ............................................................................................................... é2 6ù. KL: Vậy tập nghiệm của bpt đã cho là: S = ờ ; ỳ ẩ {1} ë3 7û Có 3 cách khác để giải bài này 2. Giải phương trình sau:. sin x + tan x 1 = sin 2 x sin x 1 + tan 2 x 2. 1 ®iÓm. p. + kp ( k Î ¢) 2 Khi đó pt trở thành: cos2 x(sin x + tan x) = sin 2 x cos x. §K: cosx ¹ 0 Û x ¹. 0,25. 0,25. ............................................................................................................... Û cos x (sin x + tan x ) = sin 2 x Þ cos x sin x + sin x = sin 2 x ésin x = 0 Û sin x (cos x - sin x + 1) = 0 Û ê ëcos x - sin x + 1 = 0. 0,25. ............................................................................................................... é x = lp é x = lp ê ésin x = 0 p ê Ûê Ûê æ pö 2 Û ê x = + 2mp 2 cos x + ÷ = ê ë cos x - sin x + 1 = 0 êë çè 4ø 2 ê x = -p + 2np ë trong đó k, m, n ẻ Â .. III. 0,25. ............................................................................................................... Kết hợp nghiệm và so sánh với điều kiện ta được nghiệm của pt đã 0,25 cho lµ: x = lp (l Î ¢) e 1 ®iÓm ( x 2 - 1) ln x + x 2 TÝnh tÝch ph©n sau: I = ò dx x + x ln x. 1. e. Ta cã: I = ò 1. e. ( x 2 - 1) ln x + x 2 x 2 (1 + ln x) - ln x dx = ò dx x + x ln x x(1 + ln x) 1. e. e. I = ò xdx - ò 1. 1. ln x dx x (1 + ln x ). 0,25. ............................................................................................................... e. e. x2 e2 - 1 TÝnh ®­îc I1 = ò xdx = = 2 1 2 1. 0,25. ............................................................................................................... e. TÝnh ®­îc I2 = I = ò 1. ln x dx = 1 - ln 2 x (1 + ln x ). 0,25.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> ............................................................................................................... VËy: I = I1 – I2 = IV. e2 - 1 e2 3 - (1 - ln2)= + ln2 2 2 2. 0,25 1 ®iÓm. TÝnh thÓ tÝch cña khèi chãp SABCD a 3. A. D. a H. B. a 3. I. C. a 3. S. M a 3. A. a. D. H O. B. 0,25 C. I. *Ta cã: diÖn tÝch cña tø gi¸c ABCD lµ: SY ABCD =. 3a 3 3a 2 3 a= 2 2. ............................................................................................................... *V× SA = SB = SD vµ tam gi¸c ABD vu«ng t¹i A nªn h×nh chiÕu cña đỉnh S trùng với trung điểm H của đoạn thẳng BD dođó SH ^ (ABCD). Gäi O lµ giao ®iÓm cña CH vµ DI ( I lµ trung ®iÓm cña BC), suy ra O 0,25 lµ träng t©m cña tam gi¸c BCD. V× MC = 2.MS (gt) nªn MO song song với SH do đó MO ^ (ABCD). VËy MO lµ chiÒu cao cña khèi chãp MABCD. ............................................................................................................... *TÝnh MO. CH2=. BC 2 + CD 2 BD 2 2a 7 = a 7 Þ OC = 2 4 3. Trong tam gi¸c MOC vu«ng t¹i O ta cã: tan600 =. MO OC. 0,25.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> suy ra: MO =. 2a 7 2a 21 . 3= 3 3. ............................................................................................................... *VËy thÓ tÝch cña khèi chãp MABCD lµ: 1 3a 2 3 2a 21 a3 63 . = (®vtt) 3 2 3 3. 1 3. VMABCD= SY ABCD .MO = .. Có 1 cách khác để giải bài này. V. Chøng minh Ta cã:. x 2 + xy + y 2 + y 2 + yz + z 2 + z 2 + zx + x 2 ³ 3. x 2 + xy + y 2 =. 1 1 4 x 2 + 4 xy + 4 y 2 = 3 x 2 + 3 y 2 + 6 xy - 2 xy + x 2 + y 2 4 4. [. (. ) (. 0,25 1 ®iÓm. ). 0,25. ]. 1 3 3( x + y )2 + ( x - y )2 ³ ( x + y ) 2 Þ x 2 + xy + y 2 ³ 3 ( x + y ) (1) 4 4 2 ............................................................................................................... Chứng minh tương tự ta được: =. 3 ( y + z ) (2) 2 3 z 2 + zx + x 2 ³ ( z + x ) (3) 2. y 2 + yz + z 2 ³. 0,25 Cộng vế với vế của các bất đẳng thức (1), (2) và (3) ta được: 3 x 2 + xy + y 2 + y 2 + yz + z 2 + z 2 + zx + x 2 ³ (2 x + 2 y + 2 z ) 2 Û x 2 + xy + y 2 + y 2 + yz + z 2 + z 2 + zx + x 2 ³ 3( x + y + z ) ............................................................................................................... MÆt kh¸c l¹i cã: ( x + y + z ) æç 1 + 1 + 1 ö÷ ³ 9 Þ x + y + z ³ 1 v× èx. y. xø. 1 1 1 + + £ 9 (gt) x y x. 0,25. ............................................................................................................... Do đó: x 2 + xy + y 2 + y 2 + yz + z2 + z2 + zx + x 2 ³ 3 (đpcm) DÊu "=" x¶y ra Û x = y = z =. 1 3. Có 1 cách khác để giải bài này 1 Tìm m để đường thẳng AB đi qua điểm I( -2; 5 ).. 0,25 1 ®iÓm. Ta cã ®­êng trßn (C) cã t©m I( 1 ; 1) vµ ®iÓm M n»m ngoµi ®­êng trßn (C).. VIa. Giả sử T(x0 ; y0) là tiếp điểm của các tiếp tuyến kẻ từ điểm M đến đường tròn (C). Khi đó ta có: 2 2 ìï x 02 + y02 - 2 x 0 - 2 y0 + 1 = 0 ïì T Î (C ) ïì x 0 + y 0 - 2 x 0 - 2 y0 + 1 = 0 Ûí 2 í uur uuur Û í 2 ïî IT ^ MT ïî( x 0 - 1)( x 0 - m ) + ( y0 - 1)( y0 + 1) = 0 îï x 0 + y0 - ( m + 1) x 0 + m - 1 = 0. .............................................................................................................. Þ (m - 1) x 0 - 2 y0 - m + 2 = 0 (*) Như vậy toạ độ các tiếp điểm A và B thoả mãn (*). .............................................................................................................. Vậy phương trình đường thẳng AB là: (m - 1) x - 2 y - m + 2 = 0 (AB) ............................................................................................................... 0,25. 0,25 0,25.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> 1 2. Theo bµi ra ta cã: d ( O; AB ) = Û. 1 (m - 1)2 + 4. =. 1 Û (m - 1)2 + 4 = 4 2. 0,25. Û m =1. Có 1 cách khác để giải bài này 2. Giải phương trình sau: 8 log 22 ( 2 x - 1 ) + 3log 2. 1 - 2 = 0 (x Î ¡ ) 2x -1. 1 Víi ®iÒu kiÖn trªn pt trë thµnh: 2 2 log 22 (2 x - 1) - 3log 2 (2 x - 1) - 2 = 0. 1 ®iÓm. §K: x >. 0,25. ............................................................................................................... é log 2 (2 x - 1) = 2 Ûê ê log 2 (2 x - 1) = - 1 ë 2. 0,25. ............................................................................................................... é é2x -1 = 4 êx = ê Û Ûê ê2x -1 = 1 êx = êë 2 êë. 5 2. 0,25. 1. 1 + 2 2 2. ............................................................................................................... é êx = KL: Vậy pt đã cho có nghiệm là: Û ờ êx = êë. C©u VIIa.. 5 2 1 2 2. +. 1 2. Viết PTTT của đồ thị (C) Vì A có hoành độ dương và OA = 1 nên A(1; 0) .............................................................................................................. Do đó tiếp tuyến cần tìm đi qua điểm A(1; 0) . Giả sử ( x0 ; y0 ) là toạ độ tiếp điểm của tiếp tiếp cần tìm khi đó PTTT có dạng: y - y0 = y '( x0 )( x - x0 ) hay y - ( x03 - 3x02 + 2 ) = ( 3x02 - 6 x0 ) ( x - x0 ) ......................................................... .................................................. mµ tiÕp tuyÕn cÇn t×m ®i qua ®iÓm A(1; 0) nªn ta cã: x03 - 3 x02 + 3 x0 - 1 = 0 Û x0 = 1. ............................................................................................................... VËy PTTT cÇn t×m lµ: y = - 3x +3 CâuVIb 1 Tìm toạ độ đỉnh B và C của tam giác. §­êng th¼ng AB qua A vuông góc với đường cao kẻ từ C có phương trình: x + y – 2 = 0. ............................................................................................................... Gọi B(b; 2 – b) thuộc AB, C(c; c + 2) thuộc đường cao kẻ từ C. b+ c 4-b + c. 0,25 1 ®iÓm 0,25 .......... 0,25 0,25 ........... 0,25 1 ®iÓm 0,25. ö Tọa độ trung điểm của BC là M æç ; ÷ . Vì M thuộc trung 0,25 2 è 2 ø trực BC nên 3 ( b + c ) + 4 ( 4 - b + c ) - 4 = 0 Û -b + 7c + 12 = 0 (1) ............................................................................................................... uuur BC = ( c - b; c + b ) là 1 VTPT của ®­êng trung trực ®o¹n th¼ng BC nên 4(c – b) = 3(c +b) hay c = 7b (2). 0,25.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> ............................................................................................................... 1 9 7 1 7 1 ; b = - . Vậy B æç - ; ö÷ ; C æç - ; ö÷ 4 4 è 4 4ø è 4 4ø. Từ (1) và (2) suy ra c = ­ 2. x. -x. Giải phương trình sau: ( 3 - 2 2 ) - 3 ( 2 - 1) + 2 = 0 với x ẻ Ă. §Æt t = ( 2 - 1). é 3 - 2 2 x = t2 ê ( t > 0) khi đó ờ -x 1 ê 2 -1 = ë t. ( (. x. 0,25 1 ®iÓm. ). 0,25. ). ............................................................................................................... Suy ra pt trë thµnh: 0,25. 3 t 2 - + 2 = 0 Û t 3 + 2t - 3 = 0 (do t > 0) t. ............................................................................................................... 0,25. Û t =1. ............................................................................................................... Từ đó ta có pt: C©u VIIb. (. ). 0,25. x. 2 -1 = 1 Û x = 0. Viết PTTT của đồ thị (C). 1 ®iÓm Gäi a lµ gãc t¹o bëi tiÕp tuyÕn vµ trôc hoµnh suy ra a lµ gãc t¹o bëi tiÕp tuyÕn vµ tiÖm cËn ngang ( v× TCN song song víi trôc hoµnh ). IA 0,25 Do tam gi¸c IAB vu«ng t¹i I nªn ta cã: tan a = = 2 ( gt ) IB. nh­ vËy ta cã hÖ sè gãc cña tiÕp tuyÕn cÇn t×m lµ: k = ± tan a = ±2 . ............................................................................................................... Ta cã: y ' =. -2. ( x - 1). 2. < 0 "x ạ 1 . Giả sử ( x0 ; y0 ) , x0 ạ 1 là toạ độ tiếp điểm. của tiếp tiếp cần tìm khi đó ta có: k =. 0,25. -2. ( x0 - 1). 2. <0. TH1: k = 2 (lo¹i) ............................................................................................................... TH2: k = -2 ta cã:. -2. ( x0 - 1). 2. é x0 = 0(tm) 2 = -2 Þ ( x0 - 1) = 1 Û ê ë x0 = 2(tm). 0,25. ............................................................................................................... Víi x0 = 0 ta cã y0 = -1 suy ra PTTT lµ: y = - 2x - 1 0,25 Víi x0 = 2 ta cã y0 = 3 suy ra PTTT lµ: y = - 2x + 7 y A. α I O. B. α x. Mỗi ý đều có ít nhất hai cách làm. Tuỳ theo cách làm của học sinh nếu đúng vÉn cho ®iÓm tèi ®a cña mçi ý..

<span class='text_page_counter'>(9)</span>