Phương pháp giải một vài lớp bài toán cân bằng và bất đẳng thức biến phân hai cấp

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

BỘ QUỐC PHÒNG

HỌC VIỆN KỸ THUẬT QUÂN SỰ

TRẦN THỊ HOÀNG ANH

PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT VÀI LỚP BÀI
TOÁN CÂN BẰNG VÀ BẤT ĐẲNG THỨC
BIẾN PHÂN HAI CẤP
CHUYÊN NGÀNH: TOÁN ỨNG DỤNG
MÃ SỐ: 9 46 01 12

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Cán bộ hướng dẫn khoa học:
1. PGS. TS. Phạm Ngọc Anh
2. GS. TSKH. Phạm Thế Long

HÀ NỘI - 2019


i

LỜI CAM ĐOAN

Tơi xin cam đoan đây là cơng trình nghiên cứu của riêng tôi, dưới sự hướng
dẫn của các thầy trong tập thể hướng dẫn khoa học. Các kết quả, số liệu trong
luận án là trung thực và chưa từng được ai cơng bố trên bất kỳ cơng trình nào
khác. Các dữ liệu tham khảo được trích dẫn đầy đủ.

NCS. Trần Thị Hoàng Anh


ii

LỜI CẢM ƠN

Luận án này được hoàn thiện tại Học viện Kỹ thuật Quân sự dưới sự hướng
dẫn tận tình của PGS. TS. Phạm Ngọc Anh và GS. TSKH. Phạm Thế Long. Tác
giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất đến các Thầy.
Trong suốt quá trình tác giả làm nghiên cứu sinh, thơng qua các bài giảng,
hội nghị và sinh hoạt học thuật, tác giả luôn nhận được sự quan tâm giúp đỡ
cũng như những ý kiến đóng góp q báu của các thầy cơ Học viện Kỹ thuật
Quân sự và các giáo sư ở viện Toán học Việt Nam. Tác giả xin chân thành cảm
ơn!
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn đến Ban lãnh đạo, Khoa Cơng nghệ Thơng
tin, phịng Sau đại học Học viện Kỹ thuật Quân sự. Tác giả xin bày tỏ lòng biết
ơn đến Lãnh đạo trường Đại học Hải Phòng đã tạo điều kiện thuận lợi cho tác
giả trong thời gian làm nghiên cứu sinh.
Xin chân thành cảm ơn các anh, chị em trong nhóm nghiên cứu tại phịng
Lab Tốn ứng dụng và Tính tốn của Học viện Cơng nghệ Bưu chính Viễn thơng
và các bạn bè đồng nghiệp đã luôn bên cạnh động viên, giúp đỡ tác giả trong
quá trình học tập và nghiên cứu.
Luận án này là món q tinh thần, tác giả xin kính tặng đến gia đình thân
u của mình với lịng biết ơn, u thương và trân trọng.
Tác giả


iii

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT

N

tập số tự nhiên

R

tập số thực

R+

tập số thực không âm

Rn

không gian Euclide thực n-chiều

H

không gian Hilbert thực

xk → x

dãy {xk } hội tụ mạnh tới x

xk

dãy {xk } hội tụ yếu tới x

x

x

chuẩn của véc tơ x

x, y

tích vơ hướng của hai véc tơ x và y

I

ánh xạ đồng nhất

B

tích Đề-Các của hai tập hợp A và B

argmin{f (x) : x ∈ C}

nghiệm của bài toán cực tiểu của hàm f trên C

∂f (x)

dưới vi phân của f tại x

∂2 f (x, x)

-dưới vi phân chéo theo biến thứ hai của hàm f (x, ·) tại x

δC (·)

hàm chỉ trên C

P rC (x)

hình chiếu của x lên tập C

NC (x)

nón pháp tuyến ngồi của C tại x

OP(F, C )

bài tốn tối ưu

CP(F, C )

bài tốn bù

MN(F, C )

bài tốn tìm chuẩn nhỏ nhất

VI(F, C )

bài toán bất đẳng thức biến phân

MVI(T, C )

bài toán bất đẳng thức biến phân đa trị

EP(f, C )

bài toán cân bằng


iv

BVI(F, G, C )

bài toán bất đẳng thức biến phân hai cấp

BEP(g, F, C )

bài toán cân bằng hai cấp

VIEP(F, f, C )

bài toán bất đẳng thức biến phân
trên tập nghiệm bài toán cân bằng

EVIP(g, F, C )

bài toán cân bằng trên tập nghiệm
bài toán bất đẳng thức biến phân

Fix(T )

tập điểm bất động của ánh xạ T

FP(F, C )

bài toán điểm bất động của ánh xạ đơn trị

MFP(F, C )

bài toán điểm bất động của ánh xạ đa trị

VIFIX

bài toán bất đẳng thức biến phân
trên tập điểm bất động của một ánh xạ không giãn

S(F, C )

tập nghiệm của bài toán VI(F, C )

Sol(f, C )

tập nghiệm của bài toán EP(f, C )

Sol(F, f, C )

tập nghiệm của bài toán VIEP(F, f, C )

Ω

tập nghiệm của bài toán BVI(F, G, C )

CP U − times/s

thời gian thực hiện thuật tốn tính bằng giây

T estP rob.

các bài tốn chạy thực nghiệm

Iter.(k )

số bước lặp trong thuật toán


v

Mục lục

Lời cam đoan

i

Lời cảm ơn

ii

Danh mục các ký hiệu và chữ viết tắt

iii

Mở đầu

1

Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị

10

1.1

Một số khái niệm và kết quả cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.2

Bài toán cân bằng và các trường hợp riêng . . . . . . . . . . . . .

16

1.2.1

Một số trường hợp riêng của bài toán cân bằng . . . . . .

17

1.2.2

Sự tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng . . . . . . . . . .

21

1.2.3

Ánh xạ nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

Một số bài toán hai cấp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

1.3.1

Bài toán cân bằng hai cấp . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

1.3.2

Bài toán bất đẳng thức biến phân hai cấp . . . . . . . . . .

32

Một số thuật toán giải bài toán hai cấp . . . . . . . . . . . . . . .

33

1.4.1

Thuật toán đạo hàm tăng cường . . . . . . . . . . . . . . .

33

1.4.2

Thuật toán điểm gần kề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

1.4.3

Thuật toán chiếu dưới đạo hàm

36

1.3

1.4

. . . . . . . . . . . . . . .

Chương 2. Thuật toán chiếu giải bài toán bất đẳng thức biến phân
hai cấp

39

2.1

41

Thuật toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


vi
2.2

Định lý hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

42

Chương 3. Thuật toán chiếu dưới đạo hàm giải bài toán bất đẳng
thức biến phân trên tập nghiệm của bài toán cân bằng

49

3.1

Thuật toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

50

3.2

Định lý hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

53

3.3

Một số tính tốn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

60

Chương 4. Thuật toán chiếu dưới đạo hàm giải bài toán cân bằng
trên tập nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân

64

4.1

Thuật toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

65

4.2

Định lý hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

68

4.3

Một số tính tốn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

76

Chương 5. Một thuật toán kiểu chiếu giải bài toán cân bằng

81

5.1

Thuật toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

81

5.2

Định lý hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

85

5.3

Một số tính tốn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

89

Kết quả đạt được

98

Hướng nghiên cứu tiếp theo

99

Danh mục cơng trình khoa học đã cơng bố

100

Tài liệu tham khảo

101


1

MỞ ĐẦU

1. Lịch sử vấn đề và lý do chọn đề tài
Cho H là một không gian Hilbert thực với tích vơ hướng ·, · và chuẩn · .
Cho C là một tập con lồi đóng khác rỗng của H, và ánh xạ F : C → H thường
được gọi là ánh xạ giá (trong một vài trường hợp, F đi từ H tới H). Theo E.
Blum và W. Oettli [25], bài toán bất đẳng thức biến phân (đơn trị) trong H, viết
tắt VI(F, C ), được viết dưới dạng:
Tìm x∗ ∈ C sao cho F (x∗ ), x − x∗ ≥ 0 với mọi x ∈ C.
Bài toán bất đẳng thức biến phân VI(F, C ) được giới thiệu lần đầu tiên vào
năm 1966 bởi G.J. Hartman và G. Stampacchia, khi nghiên cứu việc giải bài toán
điều khiển tối ưu và các bài tốn biên cho phương trình đạo hàm riêng [42]. Bài
tốn bất đẳng thức biến phân có quan hệ mật thiết với khá nhiều các bài toán
tối ưu khác với các mơ hình thực tiễn như mơ hình cân bằng mạng giao thơng,
mơ hình định tuyến tối ưu mạng truyền thơng, mơ hình bài tốn biên tự do, mơ
hình xử lý ảnh [19, 34, 37].
Năm 1971, M. Sibony [74] đã xét bài toán bất đẳng thức biến phân trong
trường hợp ẩn khi tập ràng buộc C là tập nghiệm của phương trình tốn tử đơn
điệu. Cũng nghiên cứu về bài toán bất đẳng thức biến phân trong trường hợp
này, I. Yamada [90] đã xét bài toán với tập C là tập điểm bất động của ánh xạ
không giãn, đây là trường hợp riêng khi C là nghiệm của toán tử đơn điệu. Bài
toán bất đẳng thức biến bất phân với ràng buộc là tập điểm bất động của ánh
xạ không giãn, ký hiệu VIFIX được phát biểu như sau:

Tìm x∗ ∈ Fix(T ) thỏa mãn (I − V )(x∗ ), x − x∗ ≥ 0, ∀x ∈ Fix(T ),


2
với T, V : C → C là hai ánh xạ không giãn và I là ánh xạ đồng nhất.
Những năm gần đây, bài toán bất đẳng thức biến phân là một đề tài được
nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu bởi tính ứng dụng của bài tốn này
trong một số ngành khoa học. Bài toán bất đẳng thức biến phân được nghiên
cứu mở rộng thành các dạng tổng quát hơn như bài toán bất đẳng thức biến
phân đa trị với ánh xạ F là ánh xạ đa trị [12], bài tốn cân bằng [13], bài tốn
tìm điểm chung của bài toán bất đẳng thức biến phân và bài toán điểm bất động
[96], bài toán bất đẳng thức biến phân hai cấp [8, 86] và nhiều bài toán khác
[35, 45, 76, 81, 91].
Trong không gian Hilbert thực H với song hàm f : C × C → R ∪ {+∞},
theo L.D. Muu và W. Oettli [64], bài toán cân bằng EP(f, C ), đặt ra là tìm một
điểm x∗ ∈ C sao cho f (x∗ , x) ≥ 0 với mọi x ∈ C . Dễ thấy, trong trường hợp
f (x, y ) = F (x), y − x với mọi x, y ∈ C , bài toán VI(F, C ) được viết dưới dạng bài

toán cân bằng EP(f, C ). Hơn nữa, x∗ ∈ C là nghiệm của bài toán VI(F, C ) nếu và
chỉ nếu x∗ là điểm bất động của ánh xạ S (x) = P rC (x − λF (xk )) với P rC là phép
chiếu metric lên tập ràng buộc C và λ > 0. Từ mối liên hệ giữa hai bài tốn này
chính là cơ sở dẫn đến một số cách tiếp cận và nghiên cứu việc giải các bài toán
dạng mở rộng của bài toán bất đẳng thức biến phân như bài toán cân bằng, bài
toán bất đẳng thức biến phân hai cấp, bài toán cân bằng hai cấp, bài toán bất
đẳng thức biến phân trên tập nghiệm bài toán cân bằng và một số dạng khác.
Năm 1976, R. Kluge [47] nghiên cứu bài toán bất đẳng thức biến phân VI(F, C )
trong trường hợp miền ràng buộc C là tập nghiệm của bài toán bất đẳng thức
biến phân khác, bài toán này được gọi là bài toán bất đẳng thức biến phân hai
cấp, một dạng mở rộng của bài toán bất đẳng thức biến phân, được viết dưới
dạng:

Tìm x∗ ∈ S (F, C ) sao cho

G(x∗ ), y − x∗ ≥ 0 với mọi y ∈ S (F, C ),

ở đây S (F, C ) là tập nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân VI(F, C ). Hơn
nữa, dạng mở rộng của bài toán hai cấp này là bài toán cân bằng hai cấp khi
miền ràng buộc của bài toán cân bằng là tập nghiệm của một bài toán cân bằng


3
khác. Bài toán cân bằng hai cấp BEP(g, f, C ) được phát biểu như sau:
Tìm x∗ ∈ Sol(f, C ) sao cho g (x∗ , x) ≥ 0 với mọi x ∈ Sol(f, C ),
ở đây Sol(f, C ) là tập nghiệm của bài toán cân bằng EP(f, C ) và được xác định
bởi
Sol(f, C ) = {y ∗ ∈ C : f (y ∗ , y ) ≥ 0, ∀y ∈ C},

với hai song hàm f : C × C → R ∪ {+∞} và g : C × C → R ∪ {+∞}. Bài tốn
này có thể được xem như là bài toán cân bằng EP(g, Sol(f, C )). Vấn đề khó nhất
của bài tốn này là miền ràng buộc là tập nghiệm của một bài toán cân bằng và
không được cho dưới dạng hiển.
Trong những năm gần đây, bài toán cân bằng hai cấp là một đề tài hấp dẫn
đối với rất nhiều nhà toán học trên thế giới và trong nước. Hầu hết các thuật
toán để giải bài tốn cân bằng đều dựa trên tính chất sau: với mỗi r > 0 và x ∈ H,
tồn tại z ∈ C sao cho
f (z, y ) +

1
r

y − z, z − x ≥ 0, ∀y ∈ C,

trong đó f là song hàm thỏa mãn một số tính chất cho trước. Khi đó, tại mỗi
bước lặp thứ k , thuật toán giải thường xây dựng dãy lặp {y k } như sau:
x0 ∈ C, f (y k , y ) +

1
rk

y − y k , y k − xk ≥ 0, ∀y ∈ C,

và dãy lặp {xk+1 } được xây dựng thông qua dãy {y k } và {xk }. Như vậy, việc giải
bài toán cân bằng hai cấp được chuyển về giải một dãy các bài toán cân bằng
phụ. Thực tế cho thấy rằng, các bài tốn phụ này chỉ tính tốn được nghiệm
dạng xấp xỉ, do đó dãy lặp {xk } được cho bởi thuật toán chưa chắc đã hội tụ
về một nghiệm của bài tốn cân bằng hai cấp. Chính vì vậy, đây là vấn đề cần
được quan tâm giải quyết và nó vẫn là câu hỏi mở cho việc nghiên cứu để tìm
ra các thuật tốn hữu hiệu giải bài tốn này. Có thể thấy, vấn đề nghiên cứu về
sự tồn tại nghiệm, tính chất liên thơng và tính ổn định của tập nghiệm, tính liên
tục của ánh xạ nghiệm và các tính chất định tính khác của bài tốn bất đẳng


4
thức biến phân, bài toán hai cấp và các dạng bài tốn suy rộng của nó, đã được
nhiều tác giả nghiên cứu và đã đạt được nhiều kết quả khá sâu sắc và phong
phú như nhóm tác giả B.S. Mordukhovich [61, 62], P. Daniele [34], I.V. Konov
[48]. Một số nhà tốn học Việt Nam đã có những đóng góp đáng kể về lĩnh vực
nghiên cứu này như P.Q. Khanh [17, 18], N.D. Yen [46, 94], L.D. Muu [63, 64],
P.K. Anh [6, 7], N. Buong [27, 28], N.N. Tam [80],.... Đến nay đã có một số kết
quả đạt được cho một vài lớp bài toán cân bằng hai cấp với giả thiết lồi và đơn
điệu của các song hàm. Những đóng góp đáng kể về thuật tốn cho một lớp các

bài toán cân bằng hai cấp như thuật toán đạo hàm tăng cường giải bài toán bất
đẳng thức biến phân hai cấp đề xuất bởi P.N. Anh, J.K. Kim và L.D. Muu [16],
thuật toán hàm phạt của L.D. Muu và B.V. Dinh cho bài toán cân bằng hai cấp
đơn điệu [36] và một số thuật toán khác [35, 45, 81].
Phương pháp đạo hàm tăng cường được G.M. Kopelevich [50] đưa ra vào năm
1976 áp dụng giải bài tốn tìm điểm n ngựa sau đó được phát triển cho bài
tốn bất đẳng thức biến phân đã trở thành một công cụ hữu hiệu để phân tích
và phát triển mở rộng các thuật toán giải với khá nhiều dạng khác nhau. Phương
pháp này sử dụng hai phép chiếu trong mỗi bước lặp như sau:


x0 ∈ C, y n = P rC (xn − λn F (xn ))

(1)


xn+1 = P rC (xn − λn F (y n )).
Gần đây, một số nhà toán học đã đưa ra ứng dụng của phương pháp đạo hàm
tăng cường trong việc giải các bài toán tối ưu chẳng hạn như ứng dụng giải bài
toán cân bằng của T.D. Quoc, V.H. Nguyen và L.D. Muu [68], ứng dụng tìm
điểm chung của bài toán bất đẳng thức biến phân và bài toán điểm bất động
được giới thiệu bởi Y. Yao, Y.C. Liou và J.C. Yao [92]. Theo hiểu biết của chúng
tôi, phương pháp đạo hàm tăng cường được mở rộng lần đầu tiên bởi P.N. Anh
vào việc giải bài toán tìm điểm chung của bài tốn cân bằng và bài tốn điểm
bất động của các ánh xạ khơng giãn, ánh xạ giả co chặt [9, 10, 15] với các điều
kiện liên tục kiểu Lipschitz hoặc không Lipschitz với kỹ thuật tìm kiếm theo tia
kiểu Armijo và các giả thiết đơn điệu trên song hàm cân bằng. Hướng tiếp cận


5

này cũng được nghiên cứu mở rộng cho họ vô hạn hoặc hữu hạn bài toán cân
bằng và bài toán điểm bất động, chủ yếu giải quyết hai vấn đề chính như bỏ giả
thiết liên tục kiểu Lipschitz và giảm giả thiết đơn điệu trên song hàm cân bằng.
Một tiếp cận cơ bản khác là phương pháp hiệu chỉnh kiểu Tikhonov được đề
xuất bởi A. Moudafi trong [60]. Ý tưởng chính của phương pháp này là kết hợp
giữa phương pháp hàm phạt và phương pháp điểm gần kề để đưa việc giải bài
toán cân bằng hai cấp EP(g, Sol (f, C )) về việc giải một dãy các bài toán cân
bằng đơn điệu EP(h , C ), trong đó với mỗi > 0, song hàm cân bằng h được xác
định bởi h (x, y ) = f (x, y ) + g (x, y ) với mọi x, y ∈ C . Khi đó, thuật tốn lặp được
xây dựng khá đơn giản với dãy lặp {xk } xác định bởi:
x0 ∈ C, h k (xk+1 , y ) +

1
rk

xk+1 − xk , y − xk+1 ≥ 0, ∀y ∈ C.

Bằng cách chọn các tham số dương
lim inf k→∞ rk > 0 và

∞
k=0 rk k

k

> 0, rk > 0 (với mọi k ∈ N) thỏa mãn

< ∞, dãy lặp {xk } hội tụ yếu tới một nghiệm

của bài toán cân bằng hai cấp BEP(f, g, C ) với điều kiện các song hàm f và g

thỏa mãn tính chất đơn điệu trong không gian Hilbert thực H. Điểm hạn chế của
phương pháp này ở chỗ, mỗi bước lặp đòi hỏi phải tìm được một nghiệm chính
xác của bài tốn cân bằng đơn điệu. Điều này khó thực hiện hữu hiệu trên máy
tính, vì thực tế bài tốn cân bằng đơn điệu chỉ tính tốn được nghiệm gần đúng.
Khi đó, dãy nghiệm gần đúng có thể khơng hội tụ về nghiệm của bài toán cân
bằng hai cấp trong trường hợp các song hàm được cho dưới dạng phi tuyến đơn
điệu.
Thời gian gần đây, trong hai cuốn sách "Continuous and Distributed Systems"
[72] và "Cybernetics and System Analysis" [73], V. Semenov nghiên cứu bài toán
bất đẳng thức biến phân trong trường hợp tổng quát hơn khi C là tập nghiệm
chung của một họ hữu hạn bài toán cân bằng đơn điệu. Đây là một trường hợp
đặc biệt của bài toán cân bằng hai cấp. Vấn đề đặt ra là cần xây dựng các thuật
toán mới, mở rộng, cải tiến và thực thi hóa các phương pháp đã có để giải các
bài tốn hai cấp này, đặc biệt là các bài toán với các song hàm và ánh xạ giá có
một số tính chất như giả đơn điệu, tựa đơn điệu, para-đơn điệu. Vì vậy, trên cơ


6
sở kế thừa và phát huy các kết quả đã có trong và ngồi nước về các thuật tốn
giải một lớp các bài tốn hai cấp, chúng tơi chọn đề tài: "Phương pháp giải một
vài lớp bài toán cân bằng và bất đẳng thức biến phân hai cấp" với hai mục tiêu
chính là đề xuất thuật tốn và nghiên cứu ứng dụng tính tốn trên máy tính.

2. Mục tiêu nghiên cứu
Trong luận án này, chúng tôi tập trung nghiên cứu các nội dung sau về bài
tốn hai cấp có liên quan đến bài toán bất đẳng thức biến phân và bài toán cân
bằng:
(i) Xây dựng thuật toán giải bài toán bất đẳng thức biến phân hai cấp.
(ii) Nghiên cứu đề xuất thuật toán mới giải bài toán bất đẳng thức biến phân
trên tập nghiệm của bài toán cân bằng.

(iii) Nghiên cứu xây dựng thuật toán giải bài toán cân bằng trên tập nghiệm
của bài toán bất đẳng thức biến phân.
(iv) Xây dựng thuật toán xấp xỉ một phép chiếu giải bài toán cân bằng.

3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Với các mục tiêu đặt ra như trên, trong luận án này chúng tôi nghiên cứu
các nội dung sau về một số bài toán cân bằng hai cấp:
Nội dung 1. Xây dựng phương pháp ánh xạ nghiệm để giải bài tốn cân
bằng và chứng minh tính tựa khơng giãn và tựa co của ánh xạ nghiệm trong
không gian Euclide Rn .
Nội dung 2. Đề xuất thuật tốn tìm nghiệm của bài tốn bất đẳng thức
biến phân hai cấp trong khơng gian Hilbert thực H.


7
Nội dung 3. Nghiên cứu xây dựng thuật toán giải bài toán bất đẳng thức
biến phân trên tập nghiệm bài tốn cân bằng trong khơng gian Hilbert thực
H.

Nội dung 4. Đề xuất thuật toán giải bài toán cân bằng trên tập nghiệm
của bài toán bất đẳng thức biến phân trong không gian Hilbert thực H.
Nội dung 5. Nghiên cứu xây dựng thuật toán xấp xỉ một phép chiếu giải
bài toán cân bằng Rn .

4. Phương pháp nghiên cứu
Xuất phát từ mục tiêu của đề tài nghiên cứu, các phương pháp nghiên cứu
được sử dụng như sau:
• Để tìm nghiệm bài tốn bất đẳng thức biến phân hai cấp, chúng tơi sử dụng

các kỹ thuật chiếu và xấp xỉ gắn kết.

• Để có được thuật tốn giải bài tốn bất đẳng thức biến phân trên tập

nghiệm của bài toán cân bằng, chúng tơi dựa trên nền tảng của thuật tốn
đạo hàm tăng cường đã được đề xuất giải bài toán cân bằng.
• Xây dựng và chứng minh sự hội tụ mạnh của thuật toán dưới đạo hàm giải

bài toán cân bằng trên tập nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân,
chúng tôi dựa trên các kỹ thuật dưới đạo hàm và điểm bất động.
• Để thu được sự hội tụ của phương pháp một phép chiếu giải bài toán cân

bằng, chúng tôi mở rộng phương pháp chiếu siêu phẳng và các kỹ thuật lai
ghép.

5. Kết quả của luận án
Luận án đã đạt được những kết quả chính sau đây:


8
• Đề xuất phương pháp ánh xạ nghiệm để giải bài tốn cân bằng và chứng

minh được tính tựa khơng giãn và tựa co của ánh xạ nghiệm S (x).
• Xây dựng được thuật toán chiếu giải bài toán bất đẳng thức biến phân hai

cấp với giả thiết ánh xạ F đơn điệu mạnh, liên tục Lipschitz và G đơn điệu
mạnh ngược.
• Đề xuất và chứng minh sự hội tụ của thuật toán dưới đạo hàm giải bài toán

bất đẳng thức biến phân trên tập nghiệm của bài toán cân bằng với giả
thiết song hàm f giả đơn điệu, thỏa mãn điều kiện kiểu Lipschitz và ánh
xạ F liên tục Lipschitz, đơn điệu mạnh.

• Nghiên cứu thuật tốn chiếu dưới đạo hàm giải bài toán cân bằng trên tập

nghiệm bài toán bất đẳng thức biến phân dưới giả thiết song hàm f đơn
điệu mạnh và ánh xạ F liên tục Lipschitz, para-đơn điệu và đóng yếu.
• Xây dựng phương pháp xấp xỉ một phép chiếu giải bài toán cân bằng dưới

điều kiện của song hàm thỏa mãn điều kiện para-đơn điệu.
• Đưa ra một số ví dụ minh họa cho các thuật toán mới được đề xuất trong

các mục trên. Các tính tốn được thực hiện bởi Matlab R2013a chạy trên
Laptop Intel (R) Core

TM

i3-3110M 2.40GHz 4Gb RAM.

Các kết quả chính của luận án được cơng bố trong 05 bài báo đã xuất bản
trong các tạp chí quốc tế có uy tín và được báo cáo tại:
• Hội nghị Tốn học Miền Trung–Tây Nguyên lần thứ nhất (12-14/8/2015

tại Đại học Quy Nhơn).
• Hội nghị các nhà nghiên cứu trẻ lần thứ 11 (tháng 12/2015 tại Học viện

Kỹ thuật Quân sự).
• Hội nghị lần thứ IV về Ứng dụng Toán học (23-25/12/2015, tại Đại học

Kinh tế quốc dân - Hà Nội).


9

• Hội nghị NCKH lần thứ XVI (6/2016 tại Học viện Kỹ thuật Quân sự).
• Hội thảo Việt Nam-Hàn Quốc (20-24/2/2017, Đại học Duy Tân, Đà Nẵng).
• Hội nghị quốc tế về ứng dụng toán học tại Việt Nam lần thứ II (VIAMC

2017) (15-18/12/2017, Đại học Sài Gòn, Thành phố Hồ Chí Minh).
• Hội nghị High performance scientific computing lần thứ 7 (19-23/3/2018

tại Viện nghiên cứu cao cấp về Toán, Hà Nội).
• Đại hội Tốn học Việt Nam lần thứ IX (14-18/8/2018, Nha Trang).
• Tham gia và báo cáo seminar tại phịng Lab "Tốn Ứng dụng và Tính tốn"

của Học viện Cơng nghệ Bưu chính Viễn thơng, Bộ mơn Tốn - Khoa Công
nghệ thông tin - Học viện Kỹ thuật Qn sự, Khoa Tốn - Trường Đại học
Hải Phịng.

6. Bố cục của luận án
Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục cơng trình khoa học của tác giả liên
quan đến luận án và danh mục tài liệu tham khảo, luận án gồm 5 chương:
Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị
Chương 2. Thuật toán chiếu giải bài toán bất đẳng thức biến phân hai cấp
Chương 3. Thuật toán chiếu - dưới đạo hàm giải bài toán bất đẳng thức
biến phân trên tập nghiệm bài toán cân bằng
Chương 4. Thuật toán chiếu - dưới đạo hàm giải bài toán cân bằng trên
tập nghiệm bài toán bất đẳng thức biến phân
Chương 5. Một thuật toán kiểu chiếu giải bài toán cân bằng


10

Chương 1

Một số kiến thức chuẩn bị

Một số kiến thức cơ bản về giải tích lồi, bài tốn bất đẳng thức biến phân,
bài toán cân bằng, bài toán hai cấp và sự tồn tại nghiệm của bài toán được sử
dụng trong các chương tiếp theo sẽ được nhắc lại trong Chương 1. Các thuật tốn
thơng dụng giải bài tốn hai cấp như thuật toán đạo hàm tăng cường, thuật toán
điểm gần kề, thuật tốn chiếu dưới đạo hàm... được trình bày một cách khá chi
tiết trong phần cuối chương. Những thuật tốn này có liên quan đến các thuật
tốn mới trong các chương sau. Nội dung chương được viết dựa trên các tài liệu
tham khảo [5, 20, 29, 82].

1.1

Một số khái niệm và kết quả cơ bản

Xét trong một không gian Hilbert thực H có C là một tập con, lồi, đóng khác
rỗng. Ta ký hiệu tích vơ hướng ·, · và chuẩn tương ứng được xác định bởi
x =

x, x với mọi x ∈ H. Một dãy {xk } ⊂ H được gọi là hội tụ mạnh (hội tụ

yếu) tới x∗ ∈ H, ký hiệu xk → x∗ (tương ứng xk

x∗ ), nếu xk − x∗ → 0 (tương

ứng u, xk − x∗ → 0 với mọi u ∈ H) khi k → ∞. Ta có thể dễ dàng chỉ ra được một
dãy hội tụ mạnh thì hội tụ yếu, nhưng điều ngược lại khơng đúng. Tuy nhiên,
tính chất Kadec-Klee chỉ ra rằng
{ xk → x∗

và xk

x∗ } =⇒ xk → x∗ .

Cho C = ∅, C ⊂ H. Ánh xạ S : C → H được gọi là nửa đóng tại 0, nếu {xk } là
một dãy trong C sao cho xk

x
¯ và (I − S )(xk ) → 0, thì (I − S )(¯
x) = 0.


11
Xét S là tập con, khác rỗng trong không gian Euclide Rn . Khi đó, một dãy
{xk } ⊂ Rn được gọi là hội tụ tựa - Fejér đến S nếu và chỉ nếu với mọi x ∈ S tồn tại
k0 ≥ 0 và dãy {δk } trong R+ thỏa mãn

∞
k=0 δk

< ∞ và xk+1 −x

2

≤ xk −x

2 +δ

k

với mọi k ≥ k0 .
Theo định nghĩa của chuẩn, ta có tính chất quan trọng sau.
Bổ đề 1.1 ([5]). Với mỗi x, y ∈ H, ta có
= x

2

− y

(ii) tx + (1 − t) y

2

=t x

(i) x − y

2

2

− 2 x − y, y ,
2

+ (1 − t) y

2

− t (1 − t) x − y

2

, ∀t ∈ [0, 1] .

Hình chiếu của một điểm x ∈ H trên C , ký hiệu P rC (x), là một điểm thuộc C
và gần điểm x nhất, được xác định bởi
P rC (x) = argmin { x − y : y ∈ C}.

(1.1)

x

P rC (x)
C

Hình 1.1: Phép chiếu của điểm x trên một tập lồi C .

Ví dụ 1.1. Cho C = {(x1 , x2 ) ∈ R2 : x21 + x22 ≤ 1, x1 ≥ 0, x2 ≥ 0}. Hãy xác định
phép chiếu P rC (x) với mọi x ∈ R2 .
Giải:


12
Bằng hình vẽ, ta dễ dàng thấy rằng, với mỗi (x1 , x2 ) ∈ R2 , P rC (x) được xác định:



{x}
với x ∈ C,








{(min{1, x1 }, 0)} với x1 ≥ 0, x2 < 0,




P rC (x) = {(0, min{1, x2 })} với x1 ≤ 0, x2 > 0,






{(0, 0)}
với x1 ≤ 0, x2 ≤ 0,






 √ x1 , √ x2
với x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x = (0, 0).
2
2

2
2
x1 +x2

x1 +x2

y
x2

x

1
P rC (x)

O

1

x1

x

Hình 1.2: Hình minh hoạ Ví dụ 1.1.
Phép chiếu xác định bởi (1.1) có các tính chất sau:
Mệnh đề 1.1 ([20], Theorem 3.14, Proposition 4.8). Cho C là một tập con, lồi,
đóng, khác rỗng của khơng gian Hilbert H. Khi đó,
(a) x − P rC (x), y − P rC (x) ≤ 0, ∀y ∈ C, x ∈ H;
(b) hình chiếu P rC (x) của x trên C luôn tồn tại và duy nhất;
(c) P rC (x) − P rC (y )

2

≤ P rC (x) − P rC (y ), x − y , ∀x, y ∈ H (tính đồng bức);

(d) P rC (x) − P rC (y ) ≤ x − y , ∀x, y ∈ H (tính khơng giãn).


13
Mệnh đề 1.2 ([53], Proposition 4.1). Cho C là một tập con, lồi, đóng, khác rỗng
của khơng gian Hilbert H. Khi đó,
(a) x − P rC (x)

2

2

≤ x−y

(b) P rC (x) − P rC (y )

2

− y − P rC (x) 2 , ∀x ∈ H, y ∈ C ;

≤ x−y

2

− P rC (x) − x + y − P rC (y ) 2 , ∀x, y ∈ H;

(c) x − P rC (x − y )

2

≤ y , ∀x, y ∈ H;

(d) z − P rC (x − y )

2

≤ x−z

2

− 2 x − z, y + 5 y 2 , ∀x, z ∈ C, y ∈ H.

Sau đây, chúng ta nhắc lại một số khái niệm trong không gian Hilbert thực
H.

Giả sử C là tập con, lồi, khác rỗng trong không gian Hilbert thực H và x0 ∈ C .
Khi đó tập
NC (x0 ) = {ω ∈ H| ω, x − x0 ≤ 0, ∀x ∈ C}

được gọi là nón pháp tuyến ngồi của C tại x0 và tập −NC (x0 ) được gọi là nón
pháp tuyến trong của C tại x0 .

w
C
q
x

0

NC (x0)

Hình 1.3: Nón pháp tuyến ngồi NC (x0 ).

Ví dụ 1.2. Cho C là một tập con, lồi, đóng khác rỗng trong khơng gian Rn . Xét
hàm chỉ trên C
0

δC ( x ) =



0

khi x0 ∈ C,


+∞

khi x0 ∈
/ C.


14
Khi đó
∂δC (x0 ) = NC (x0 )

∀x0 ∈ C.

Giải
Cho x0 ∈ C . Khi đó, δC (x0 ) = 0 và
∂δC (x0 ) = {p ∈ Rn : δC (x) − δC (x0 ) ≥ p, x − x0 ∀x ∈ C}

= {p ∈ Rn : 0 ≥ p, x − x0 ∀x ∈ C}
= NC (x0 ).
Nếu f : H → R ∪ {+∞} là hàm lồi chính thường trên H, w ∈ H được gọi là
dưới đạo hàm của hàm f tại x nếu
f (y ) ≥ w, y − x + f (x), ∀y ∈ H.

Tập tất cả các dưới đạo hàm của hàm f tại x được gọi là dưới vi phân của f tại
x và ký hiệu là ∂f (x). Hàm f được gọi là khả dưới vi phân tại x nếu ∂f (x) = ∅,

và f là khả dưới vi phân trên tập lồi, đóng C ⊂ H nếu ∂f (x) = ∅, với mọi x ∈ C .
Từ khái niệm nón pháp tuyến và dưới đạo hàm của hàm f trình bày ở trên,
ta có được kết quả sau.
Định lý 1.1 ([82], Proposition 2.31). Giả sử C là tập con, lồi, đóng, khác rỗng
trong H và f : H → R ∪ {+∞} là hàm lồi, khả dưới vi phân trên C . Khi đó,
x0 ∈ argminf (x) với mọi x ∈ C khi và chỉ khi

0 ∈ ∂f (x0 ) + NC (x0 ).
Xét trong không gian Euclide Rn với C là tập con, lồi, đóng, khác rỗng và
song hàm f : C × C → R thỏa mãn điều kiện f (x, x) = 0. Khi đó, tập dưới vi phân
chéo theo biến thứ hai của hàm f (x, ·) tại x ∈ C , kí hiệu ∂2 f (x, x) được xác định
bởi
∂2 f (x, x) ={g ∈ Rn : f (x, y ) − f (x, x) ≥ g, y − x − , ∀y ∈ Rn }

={g ∈ Rn : f (x, y ) ≥ g, y − x − , ∀y ∈ Rn }.

Một ánh xạ S : C → H, được gọi là


15
(a) không giãn, nếu
S (x) − S (y ) ≤ x − y , ∀x, y ∈ C ;

(b) tựa không giãn, nếu Fix(S ) = ∅ và
S (x) − x∗ ≤ x − x∗ , ∀(x, x∗ ) ∈ C × Fix(S );

(c) tựa co, nếu Fix(S ) = ∅ và tồn tại β ∈ (0, 1) thỏa mãn
S (x) − x∗ ≤ β x − x∗ , ∀(x, x∗ ) ∈ C × Fix(S );

(d) nửa co, nếu Fix(S ) = ∅ và tồn tại β ∈ [0, 1) thỏa mãn
S (x) − x∗

2

≤ x − x∗

2

+ β x − S (x) 2 , ∀(x, x∗ ) ∈ C × Fix(S );

(e) đóng yếu trên C nếu {xk } ⊂ C, xk
(f) liên tục yếu nếu xn

x, thì S (xn )

x và S (xk )

w thì w = S (x);

S (x).

Hàm f : H → R ∪ {±∞} được gọi là
(a) nửa liên tục dưới tại x ∈ C nếu với mọi dãy {xk } ⊂ C hội tụ mạnh đến x
thì lim inf k→∞ f (xk ) ≥ f (x).
(b) nửa liên tục trên tại x ∈ C nếu với mọi dãy {xk } ⊂ C hội tụ mạnh đến x
thì lim supk→∞ f (xk ) ≤ f (x).
Hàm f là nửa liên tục dưới (nửa liên tục trên) trên C nếu f nửa liên tục
dưới (nửa liên tục trên) tại mọi x ∈ C .
Ta nhắc lại một số bổ đề cơ bản được sử dụng để chứng minh sự hội tụ của
thuật toán trong các chương sau.
Bổ đề 1.2 ([89], Lemma 3.1). Cho A : H → H là toán tử β -đơn điệu mạnh và
2β
L-liên tục Lipschitz, λ ∈ (0, 1] và µ ∈ (0, L
2 ). Khi đó, ánh xạ T (x) = x − λµA(x)

với mọi x ∈ H, thỏa mãn bất đẳng thức
T (x) − T (y ) ≤ (1 − λτ ) x − y , ∀x, y ∈ H,

với τ = 1 −

1 − µ(2β − µL2 ) ∈ (0, 1].


16
Bổ đề 1.3 ([52], Lemma 2.1). Cho {λn } và {βn } là dãy không âm thỏa mãn
λ2n

λn = ∞,
n=0

∞

∞

∞

n=0

λn βn < ∞.

< ∞, và
n=0

Khi đó,
(i) Tồn tại dãy con {βnk } ⊂ {βn } thỏa mãn limk→∞ βnk = 0.
(ii) Nếu {λn } và {βn } thỏa mãn βn+1 − βn < θλn , ∀θ > 0, thì {βn } thỏa mãn
limn→∞ βn = 0.

1.2

Bài toán cân bằng và các trường hợp riêng
Giả sử C là tập con, lồi, khác rỗng trong một không gian Hilbert thực H và

song hàm f : C × C → R thỏa mãn điều kiện cân bằng f (x, x) = 0 với mọi x ∈ C .
Bài toán cân bằng, ký hiệu là EP(f, C ), được phát biểu như sau:
Tìm x∗ ∈ C sao cho f (x∗ , y ) ≥ 0, ∀ y ∈ C.

Tập nghiệm của bài toán EP(f, C ) ký hiệu là Sol(f, C ).
Bài toán này được đặt tên là Bài toán cân bằng bởi các tác giả L.D. Muu và W.
Oettli [64] năm 1992, E. Blum và W. Oettli [25] năm 1994, nhưng công thức này
được đưa ra lần đầu tiên bởi các tác giả Nikaido và Isoda [67] năm 1955 khi tổng
quát hóa bài tốn cân bằng Nash trong trị chơi khơng hợp tác, Ky Fan đưa ra
vào năm 1972 (thường được gọi là bất đẳng thức Ky Fan). Bài tốn cân bằng
có dạng khá đơn giản nhưng nó bao hàm một lớp các bài toán quan trọng thuộc
nhiều lĩnh vực khác nhau như: bài toán bất đẳng thức biến phân, bài toán tối
ưu, bài toán bù, bài toán điểm bất động, bài toán điểm yên ngựa, bài toán bất
đẳng thức biến phân đa trị, · · · . Nhiều kết quả của các bài tốn trên có thể được
mở rộng cho bài tốn cân bằng tỏng quát với những điều chỉnh hợp lý và đã thu
được nhiều ứng dụng rộng lớn. Đến nay, bài toán cân bằng đã được nghiên cứu và
được mở rộng rất nhiều so với bài toán gốc trên các phương diện cả về lý thuyết
tồn tại nghiệm, tính chất ổn định nghiệm và thuật tốn giải. Đó cũng chính là lý


17
do vì sao bài tốn cân bằng được nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu. Sau
đây, ta xét mối quan hệ giữa bài toán cân bằng EP(f, C ) với các bài toán thường
gặp.

1.2.1

Một số trường hợp riêng của bài toán cân bằng

Bài toán bất đẳng thức biến phân
Cho C là tập con, lồi, khác rỗng trong một không gian Hilbert thực H và ánh
xạ F : C → H. Bài toán bất đẳng thức biến phân xác định bởi miền ràng buộc C
và ánh xạ giá F , ký hiệu VI(F, C ), là bài tốn
tìm x∗ ∈ C sao cho F (x∗ ), x − x∗ ≥ 0, ∀x ∈ C.

Tập nghiệm của bài toán được ký hiệu S(F, C ). Đặt f (x, y ) = F (x), y − x với mọi
x, y ∈ C , khi đó bài tốn VI(F, C ) sẽ tương đương với bài toán EP(f, C ). Trong

trường hợp đặc biệt C = H, bài toán VI(F, C ) được viết dưới dạng bài tốn giải
phương trình F (x) = 0.
Một ánh xạ F : C → H được gọi là
(a) γ -đơn điệu mạnh trên C với γ > 0, nếu
F (x) − F (y ), x − y ≥ γ x − y 2 , ∀x, y ∈ C ;

(b) đơn điệu trên C , nếu
F (x) − F (y ), x − y ≥ 0, ∀x, y ∈ C ;

(c) giả đơn điệu trên C , nếu
F (y ), x − y ≥ 0 ⇒ F (x), x − y ≥ 0, ∀x, y ∈ C ;

(d) β -đơn điệu mạnh ngược trên C với β > 0, nếu
F (x) − F (y ), x − y ≥ β F (x) − F (y ) 2 , ∀x, y ∈ C ;


18
(e) para-đơn điệu trên C , nếu F đơn điệu trên C và
F (x) − F (y ), x − y = 0 ⇒ F (x) = F (y ), ∀x, y ∈ C ;

(f) para-đơn điệu chặt trên S ⊂ C , nếu F giả đơn điệu trên C và
{x ∈ S, y ∈ C, F (y ), x − y = 0} ⇒ y ∈ S ;

(g) L-liên tục Lipschitz trên C, nếu
F (x) − F (y ) ≤ L x − y , ∀x, y ∈ C.

Theo định nghĩa trên, nếu F là β -đơn điệu mạnh ngược thì F là L-liên tục

Lipschitz với hằng số L =

1
β

và đơn điệu trên C , và ta có quan hệ (a) ⇒ (b) ⇒ (c).

Nhưng chiều ngược lại là không đúng trong trường hợp tổng quát. Chẳng hạn
như F : C → R xác định bởi F (x) = x2 là giả đơn điệu, nhưng không đơn điệu
trên C = R, là đơn điệu, nhưng không đơn điệu mạnh trên C = [0, 1].
Sự tồn tại nghiệm của bài tốn VI(F, C ) được suy ra từ tính liên tục của F
và điều kiện tập C là compact. Ta có kết quả sau:
Trong trường hợp tập C khơng compact thì định lý điểm bất động Brouwer
khơng cịn có thể áp dụng được. Khi đó sự tồn tại nghiệm của bài tốn VI(F, C )
có thể được thiết lập dựa vào tính đơn điệu mạnh và liên tục Lipschitz của F
như sau.
Mệnh đề 1.3. Nếu F : C → H là β−đơn điệu mạnh trên C và L−liên tục
Lipschitz trên C thì bài tốn bất đẳng thức biến phân VI(F, C ) có nghiệm duy
nhất.
Chứng minh. Chọn 0 < µ <

2β
L2

và xét ánh xạ T : C → C được xác định bởi

T (x) = P rC (x − µF (x)), ∀x ∈ C.

Khi đó, với mọi x, y ∈ C , ta có:
T (x) − T (y )

2

= P rC (x − µF (x)) − P rC (y − µF (y ))

2