Chuyen de Bat dang thuc luong giac

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Chuyên đề: BẤT ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC Phương pháp sử dụng bất đẳng thức Cô-si và tính chất của tam giác. VD:Với x, y, z là ba góc trong một tam giác nhọn. Chứng minh trong mọi tam giác nhọn, ta có :. tan x 6  tan y 6  tan z 6 9 3 tan x  tan y  tan z Giải Trong mọi tam giác, ta có: tanx + tany + tanz = tanxtanytanz Tai lại có :. tan x  tan y  tan z 3 3 tan x tan y tan z (Cô-si) . tan x tan y tan z 3 3 tan x tan y tan z.  tan x tan y tan z  . 3.  tan x tan y tan z  . 2. 27 tan x tan y tan z. 27.  tan x tan y tan z 3 3 Mặt khác :. tan x 6  tan y 6  tan z 6 3 3 tan x 6 tan y 6 tan z 6 3 tan x 2 tan y 2 tan z 2 tan x 6  tan y 6  tan z 6 3tan x 2 tan y 2 tan z 2  3 tan x tan y tan z 9 3 tan x  tan y  tan z tan x tan y tan z Nên:. Vậy trong mọi tam giác nhọn ta có :. tan x 6  tan y 6  tan z 6 tan x  tan y  tan z 9 3. Phương pháp đại số.. 2 tan x  2 tan 2 x  tan x 1 tan 2 x 3    , x   k , k   2 tan x 2 2 2  2 tan 2 x tan 2 x VD: Chứng minh: Ý tưởng: Biến đổi biểu thức. Đặt ẩn phụ đưa về bất đẳng thức đại số..

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Giải 2 tan x  2 tan 2 x  tan x tan 2 x  tan x  1 A  tan 2 x  2 2 tan x tan x 1 2  2 tan x tan 2 x Đặt :. (1). Đặt: tanx = t. Khi đó (1) trở thành:. t 2  t 1 A 2 t 1  A(t 2  1) t 2  t  1  ( A  1)t 2  t  A  1 0 2.    1  4  A  1.  2. 2.  4 A2  8 A  3 (2) có nghiệm t   0.   4 A2  8 A  3 0 1 3 A  2 2 2 1 t  t 1 3   2  2 t 1 2 2 tan x  2 tan 2 x  tan x 1 tan 2 x 3 hay   2 tan x 2 2  2 tan 2 x tan 2x . 2 tan x  2 tan 2 x  tan x 1 tan 2 x 3    , x   k , k   2 tan x 2 2 2  2 tan 2 x tan 2 x Vậy:.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Phương pháp sử dụng bất đẳng thức đạisố và tính chất của các hàm số lượng giác. 2 2 sin x  cos x  tan x  cot x 2  VD: Chứng minh:  x k  ;  k  , k  . 2. 2. Ý tưởng: Biến đổi vế trái của bất đẳng thức rồi sử dụng bất đẳng thức Cauchy và tính chất của hàm số sin, tang, cotang. Giải. sin x  cos x  tan 2 x  cot 2 x.    2 sin  x    tan 2 x  cot 2 x 4  Ta có :   sin  x    1  4 .   2 sin  x    2 (1) 4 . Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 số không âm tan2x và cot2x, ta được:. tan 2 x  cot 2 x 2 tan 2 x cot 2 x 2 (2) Từ (1) và (2) suy ra:.   2 sin  x    tan 2 x  cot 2 x 2  4  hay : sin x  cos x  tan 2 x  cot 2 x 2  Dấu “=” xảy ra.    sin  x    1 4    tan 2 x cot 2 x  3   k 2 , (k  )  x   4  tan 4 x 1  3  x   k 2 4 Vậy:. sin x  cos x  tan 2 x  cot 2 x 2 . 2. 2 2.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> VD: Bài trên báo toán học và tuổi trẻ   x   0;   2  .Chứng minh rằng : Cho n  N và. tan n x  cot n x 2  n 2 cos 2 2 x. Giải.  x : 4 Bất đẳng thức hiển nhiên đúng . n n     cot 2 x  tan 2 x : 4 Bất đẳng thức  .. 2.  x  n 2 cos 2 2 x  n k  0 2 (với )   x   0;  4 .  cot k x  tan k x 2k cos 2 x  * Xét. f ( x) cot k x  tan k x  2k cos 2 x(*). f '( x) . k k k1 .cot x  tan k  1 x  4k sin 2 x 2 2 sin x cos x.  k   tan K  1 x  cot k  1 x    tan k 1 x  cot k 1 x   4sin 2 x   0.  f.        f ( x )  f  0,  x  0;    0;    4 4    4  giảm trên .  (*) đúng      t   x   0;  x : 2  4 2 Ta có .4  tan n x  cot n x tan n t  cot n t  2  n 2 .cos 2 2t 2  n 2 .cos 2 2 x Ta luôn có :.   tan n x  cot n x 2  n 2 .cos 2 2 x, n  , x   0;   2.  x Dấu “=” xảy ra Vậy:.  4. tan n x  cot n x 2  n 2 cos 2 2 x..

<span class='text_page_counter'>(5)</span>