Tải bản đầy đủ (.docx) (114 trang)

bai tap dai so 10

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (895.25 KB, 114 trang )

(1)WWW.ToanCapBa.Net §1 MỆNH ĐỀ 1.1 Xét xem các câu sau, câu nào là mệnh đề, câu nào là mệnh đề chứa biến? a) 7+x=3 b) 7+5=6 c) 4+x<3. 3 d) 2 có phải là số nguyên không?. e) 5 +4 là số vô tỉ. 1.2. Tìm giá trị của x để được một mệnh đúng, mệnh đề sai a) P(x):”3x2+2x1=0” b) Q(x):” 4x+3<2x1”. 1.3. Cho tam giác ABC. Lập mệnh đề PQ và mệnh đề đảo của nó, rồi xét tính đúng sai, với: a) P: “ Góc A bằng 900” Q: “ BC2=AB2+AC2”. . . . . b) P: “ A B ” Q: “ Tam giác ABC cân”. 1.3. a) PQ: “ Nếu góc A bằng 900 thì BC2=AB2+AC2” đúng QP: “ Nếu BC2=AB2+AC2 thì góc A bằng 900 ” đúng b) PQ: “ A B thì tam giác ABC cân” đúng. . . . . Q P:” “Nếu tam giác ABC cân thì A B ” sai (vì có thể A C 1.4. Phát biểu bằng lới các mệnh đề sau. Xét tính đúng/sai và lập mệnh đề phủ định của chúng a)  x   : x2=1 b)  x   :x2+x+2≠0 1.4. a)  x   : x2=1; “ Có một số thực mà bình phương của nó bằng 1” sai  x   : x2≠1; “ Với mọi số thực, bình phương của nó đều khác 1” b)  x   :x2+x+2≠0; “ Với mọi số thực đều có x2+x+2≠0”  đúng  x   :x2+x+2=0 1.5. Xét tính đúng sai của mỗi mệnh đề sau và phát biểu mệnh đề phủ định của nó. 1 3 2. 3 2  a).  c). 3  12. .  b). 2. 8. . 2. 8. 2. là số hữu tỉ. x2  4 0 d) x=2 là nghiệm của phương trình x  2 1 3 2  3 2 ” 1.5. a) Đúng. P : “.   c) Đúng vì b) Sai. P :. 2 3. 2.  8 2 12   =27 là số hữu tỉ. P : “ 8. 3  12. . 2. là số vô tỉ”. 2. x 4 0 d) Sai. P :” x=2 khônglà nghiệm của phương trình x  2 ” 1.6. Tìm giá trị của m để được mệnh đề đúng, mệnh đề sai.. 1 b) Q(m): “m< m ”. a) P(m): “ m< m” c) R(m): “ m=7m”. 1.7. Phát biểu mệnh đề phủ định của các mệnh đề sau và xét tính đúng sai của chúng a) P: “ 15 không chia hết cho 3” b) Q: “ 7  3 ” 1.8. Lập mệnh đề PQ và xét tính đúng sai của nó, với:. -. WWW.ToanCapBa.Net.

(2) WWW.ToanCapBa.Net a) P: “2<3” Q: “4<6” b) P: “10=1” Q: “100=0”. 1.8. Lập mệnh đề PQ và xét tính đúng sai của nó, với: a) Nếu 2<3 thì 4<6  Sai b) Nếu 10=1 thì 100=0  Đúng 1.9. Cho số thực x . Xét mệnh đề P: “ x là số hữu tỉ”, Q: “ x 2 là một số hữu tỉ” a) Phát biểu mệnh đề PQ và xét tính đúng sai b) Phát biểu mệnh đề đảo của mệnh đề trên c) Chỉ ra một giá trị x mà mệnh đề đảo sai 1.9. a) Nếu x là số hữu tỉ thì x 2 là một số hữu tỉ  Đúng b) Nếu x 2 là một số hữu tỉ thì x là số hữu tỉ c) Khi x = 2 mệnh đề đảo sai. 1.10. Cho số thực x . Xét mệnh đề P: “ x 2=1”, Q: “ x =1” a) Phát biểu mệnh đề PQ b) Phát biểu mệnh đề đảo của mệnh đề trên và xét tính đúng sai c) Chỉ ra một giá trị x mà mệnh đề PQ sai .1.10. b) mệnh đề đảo đúng c) x =1 thì PQ sai 1.11. Cho số thực x . Xét mệnh đề P: “ x là số nguyên”, Q: “ x +2 là một số nguyên” a) Phát biểu mệnh đề PQ b) Phát biểu mệnh đề QP c) Xét tính đúng sai của PQ, QP. 1.11. a) PQ đúng b) QP đúng 1.12. Cho tam giác ABC. Xét mệnh đề P: “AB=AC”, Q: “Tam giác ABC cân” a) Phát biểu PQ, cho biết tính đúng sai b) Phát biểu mệnh đề đảo QP .1.12. a) Nếu AB=AC thì tam giác ABC cân đúng b) Nếu tam giác ABC cân thì AB=AC , khi AB=BC≠AC  mđ sai 1.13. Cho tam giác ABC. Phát biểu mệnh đề đảo của các mệnh đề sau: a) Nếu AB=BC=CA thì tam giác ABC đều;.   b) Nếu AB>BC thì C  A ; . 1.13.. c) Nếu A =900 thì ABC là tam giác vuông. a) Nếu tam giác ABC đều thì AB=BC=CA cả hai đúng.   b) Nếu AB>BC thì C  A ;  đúng và mđ đảo đúng . c) Nếu A =900 thì ABC là tam giác vuông.  đúng và mđ đảo sai (vuông tại B hoặc C) 1.14. Dùng kí hiệu  hoặc  để viết các mệnh đề sau: a) Có một số nguyên không chia hết cho chính nó; b) Mọi số thức cộng với 0 đều bằng chính nó; c) Có một số hữu tỉ nhỏ hơn nghịch đảo của nó; d) Mọi số tự nhiên đều lớn hơn số đối của nó .1.14. a)  n  : n không chia hết cho n b)  x   : x +0=0. 1 c)  x   : x < x. d)  n   : n>n 1.15. Phát biểu bằng lời các mệnh đề sau và xét tính đúng sai của chúng a)  x   : x2≤ 0 b)  x   : x2≤0. x2  1 x  1 x x  1  c)   :. x2  1 x  1 x x  1  d)   : -. WWW.ToanCapBa.Net.

(3) e)  x   : x 2+ x +1>0. WWW.ToanCapBa.Net. f)  x   : x 2+ x +1>0 1.15. Phát biểu bằng lời các mệnh đề sau và xét tính đúng sai của chúng a) Bình phương mọi số thực đều nhỏ hơn hoặc bằng 1 sai b) Có một số thực mà bình phương của nó nhỏ hơn hoặc bằng 0đúng. x2  1 x  1 c) Với mọi số thực , sao cho x  1  Sai x2  1 x  1 d) Có số thực, sao cho x  1  Đúng e) Với mọi số thực x , sao cho x 2+ x +1>0 đúng f) Có một số thực x , sao cho x 2+ x +1>0 đúng 1.16.Lập mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề sau và xét tính đúng sai của nó a)  x   : x .1= x b)  x   : x . x =1 c)  n  : n<n2 1.16. a)  x   : x .1≠ x  sai b)  x   : x . x ≠1 đúng c)  n  : n≥n2  đúng 1.17. Lập mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề sau và chó biết tính đúng saicủa chúng a) Mọi hình vuông là hình thoi; b) Có một tam giác cân không phải là tam giác đều; 1.17. a) “Có ít nhất một hình vuông không phải là hình thoi” sai b) “Mọi tam giác cân là tam giác đều” sai 1.18. Xét xem các mệnh đề sau đây đúng hay sai và lập mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề: a)  x   , 4x2-1= 0. b)  x   , n2+1 chia hết cho 4. c)  x   , (x-1)2 x-1. 1.18. Xét xem các mệnh đề sau đây đúng hay sai và lập mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề: a)  x   , 4x2-1= 0 sai; mđ phủ “  x   , 4x2-1≠0” b)  n   , n2+1 chia hết cho 4 Sai vì Nếu n là số tự nhiên chẳn : n =2k (k  N)  n2+1 = 4k2+1 không chia hết cho 4 Nếu n là số tự nhiên le : n = 2k+1 (k  N)  n2+1 = 4(k2+k)+2 không chia hết cho 4 Mđ phủ định “  n   , n2+1 không chia hết cho 4” c)  x   , (x-1)2 x-1.  Sai khi x =0 mđ phủ định “ x   ,(x-1)2 =x-1” 1.19. Các mệnh đề sau đây đúng hay sai? Nếu sai, hãy sửa lại cho đúng: a)  x   , x > x2. b)  x   , |x| < 3  x< 3. c)  x  N, n2+1 không chia hết cho 3. 1.19.. d)  a   , a2=2. a) đúng, ví dụ x =1/10 b) sai, vì khi x <3  | x |<3 sai khi x =8 Sửa lại : “ x   , | x |<3 x <3” c) đúng (giải thích). d) sai. Sửa lại “a   , a2≠2” 1.20. Các mệnh đề sau đây đúng hay sai? Nếu sai, hãy sửa lại cho đúng:. -. WWW.ToanCapBa.Net.

(4) WWW.ToanCapBa.Net A: ” 15 là số nguyên tố” B: ” a  , 3a=7” C: “ a   , a2≠3” 1.20.1.21. Phát biểu các định lý sau, sử dụng khái niệm "điều kiện đủ": a) Trong mặt phẳng, nếu hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc một đường thẳng thứ ba thì hai đường thẳng ấy song song nhau. b) Nếu hai tam giác bằng nhau thì chúng có diện tích bằng nhau. c) Nếu một số tự nhiên tận cùng là chữ số 5 thì chia hết cho 5. d) Nếu a+b > 5 thì một trong hai số a và b phải dương. Tương 1.21. Phát biểu các định lý sau, sử dụng khái niệm "điều kiện đủ": a) Trong mặt phẳng, hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc một đường thẳng thứ ba là điều kiện đủ để hai đường thẳng ấy song song nhau. b) Hai tam giác bằng nhau là điều kiện đủ để chúng có diện tích bằng nhau. c) Số tự nhiên tận cùng là chữ số 5 là điều kiện đủ để số đó chia hết cho 5. d) a+b > 5 là điều kiện đủ để một trong hai số a và b dương. tự 1.22. Phát biểu các định lý sau, sử dụng khái niệm "điều kiện cần": a) Nếu hai tam giác bằng nhau thì chúngcó các góc tươmg ứmg bằng nhau. b) Nếu tứ giác T là một hình thoi thì nó có hai đường chéo vuông góc nhau. c) Nếu một số tự nhiên chia hết cho thì nó chia hết cho 3. d) Nếu a=b thì a2=b2 . 1.22. Phát biểu các định lý sau, sử dụng khái niệm "điều kiện cần": a) Điều kiện cần để hai tam giác bằng nhau là chúng có các góc tươmg ứmg bằng nhau. b) Điều kiện cần để tứ giác T là một hình thoi là nó có hai đường chéo vuông góc nhau. c) Điều kiện cần để một số tự nhiên chia hết cho là nó chia hết cho 3. d) Điều kiện cần để a=b là a2=b2 . 1.23. Phát biểu định lí sau, sử dụng “điều kiện cần và đủ” “Tam giác ABC là một tam giác đều khi và chỉ khi tam giác ABC là tam giác cân và có một góc bằng 600” 1.23. Phát biểu định lí sau, sử dụng “điều kiện cần và đủ” “Tam giác ABC là một tam giác đều là điều kiện cần và đủ để tam giác ABC là tam giác cân và có một góc bằng 600” 1.24. Hãy sửa lại (nếu cần) các mệnh đề sau đây để được mệnh đề đúng: a) Để tứ giác T là một hình vuông, điều kiện cần và đủ là nó có bốn cạnh bằng nhau. b) Để tổng hai số tự nhiên chia hết cho 7, điều kiện cần và đủ là mỗi số đó chia hết cho 7. c) Để ab>0, điều kiện cần là cả hai số a và b điều dương. d) Đề một số nguyên dương chia hết cho 3, điều kiện đủ là nó chia hết cho 9. 1.24. Hãy sửa lại (nếu cần) các mệnh đề sau đây để được mệnh đề đúng: a) Sai. “Tứ giác T là một hình vuông là điều kiện đủ để nó có bốn cạnh bằng nhau” b) Sai. “Tổng hai số tự nhiên chia hết cho 7 là điều kiện cần để mỗi số đó chia hết cho 7. c) Sai. “ ab>0 là điều kiện cần để hai số a và b dương” d) Đúng. 1.25. Các mệnh đề sau đây đúng hay sai? Giải thích. a) Hai tam giác bằng nhau khi và chỉ khi chúng có diện tích bằng nhau. b) Hai tam giác bằng nhau khi và chỉ khi chúng đồng dạng. c) Một tam giác là tam giác vuông khi và chỉ khi có một góc(trong) bằng tổng hai góc còn lại. d) Một tam giác là tam giác đều khi và chỉ khi nó có hai trung tuyến bằng nhau và có một góc bằng 60 0 1.25. Các mệnh đề sau đây đúng hay sai? Giải thích. a) Sai. Vì khi diện tích bằng nhau thì chỉ cần 1 cạnh và đường cao ứng với cạnh đó bằng nhau b) Sai..       c) Đúng. Vì Nếu ABC vuông tại A thì B  C  A . Ngược lại nếu B  C  A thì -. WWW.ToanCapBa.Net.

(5) WWW.ToanCapBa.Net A  B  C  1800  2 A 1800  A 900 d) Đúng. Vì ABC đều thì 2 trung tuyến bằng nhau. Ngược lại, nếu BM=CN. Lấy Q đối xứng của C qua N, P đối x ứng B qua M Khi đó AQBC và APCB là hai hình bình hành bằng nhau Q A Mà CQ=BP AB=AC ABC cân. N. P. M G. B. -. WWW.ToanCapBa.Net. H. C.

(6) WWW.ToanCapBa.Net . BÀI TẬP THÊM 1. Xét đúng (sai)của mệnh đề sau : a/ Hình thoi là hình bình hành b/ Số 4 không là nghiệm của phương trình : x2  5x + 4 = 0 3 )  (3 < ). c/ ( 2 >. e/ (5.12 > 4.6)  (2 < 10). 11 7 d/ ( 3 > 2 )  (42 < 0) f) (1< 2 )  7 là số nguyên tố. 2. Phủ định các mệnh đề sau : a/ 1 < x < 3. b/ x  2 hay x  4. c/ Có một ABC vuông hoặc cân d/ Mọi số tự nhiên đều không chia hết cho 2 và 3 e/ Có ít nhất một học sinh lớp 10A học yếu hay kém. f/ x< 2 hay x=3. g/ x  0 hay x>1. h/ Pt x2 + 1 = 0 vô nghiệm và pt x+3 =0 có nghiệm 3. Xét đúng (sai)mênh đề và phủ định các mệnh đề sau : a/ x  R , x2 + 1 > 0. b/ x  R , x2  3x + 2 = 0. c/ n  N , n2 + 2 chia hết cho 4. d/ n  Q, 2n + 1  0. 2. e/ a  Q , a > a. f) x  R , x2 +x chia hết cho 2.. 4.Dùng bảng đúng (sai)để chứng minh: a) A B = B  A. b) AB  A  B. c) A  B  A  B. d) A  (B  C ) ( A  B)  ( A  C ). B. SUY LUẬN TOÁN HỌC 5. Phát biểu định lý sau dưới dạng "điều kiện đủ" a/ Nếu hai tam giác bằng nhau thì chúng đồng dạng. b/ Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau. c/ Nếu a + b > 2 thì a > 1 hay b > 1 d/ Nếu một số tự nhiên có chữ số tận cùng là số 0 thì nó chia hết cho 5. e/ Nếu a + b < 0 thì ít nhất một trong hai số phải âm. 6. Phát biểu định lý sau dưới dạng "điều kiện cần" a/ Hình chữ nhật có hai đường chéo bằng nhau. b/ Nếu hai tam giác bằng nhau thì nó có các góc tương ứng bằng nhau. c/ Nếu một số tự nhiên chia hết cho 6 thì nó chia hết cho 3. d/ Nếu a = b thì a3 = b3. e/ Nếu n2 là số chẵn thì n là số chẵn. 7.Dùng phương pháp phản chứng, CMR : a/ Nếu n2 là số chẵn thì n là số chẵn. b/ Nếu n2 là số chẵn thì n là số chẵn. c/ Nếu x2 + y2 = 0 thì x = 0 và y = 0. -. WWW.ToanCapBa.Net.

(7) WWW.ToanCapBa.Net 1 d/ Nếu x = 1 hay y = 2 thì x + 2y  2xy  1 = 0 1 1 1 d/ Nếu x   2 và y   2 thì x + y + 2xy   2 e/ Nếu x.y chia hết cho 2 thì x hay y chia hết cho 2. f) Nếu d1// d2 và d1// d3 thì d2 // d3. 8. Chứng minh vơi mọi số nguyên dương n, ta có: a) 1 + 3 + 5 + 7 + . . . . . . . . . + (2n – 1) = n2 b) 2 + 4 + 6 + 8 + . . . . . . . . . . + (2n) = n(n +1) n(n  1) 2 c) 1 + 2 + 3 + 4 + . . . . . . . . . + n = n(n  1)(n  2) 3 a) 1.2 + 2.3 + 3.4 + . . . . . + n.(n + 1) = 1 1 1 1 n    .........  n.(n  1) n  1 b) 1.2 2.3 3.4 1 1 1 1 n    .........  (2n  1).(2n  1) 2n  1 c) 1.3 3.5 5.7 n(n  1)(2n  1) 6 d) 1 + 2 + 3 + . . . . . . . . . . + n = n2 (n  1)2 4 e) 13 + 23 + 33 + . . . . . . + n3 = 1 2 3 n n f) 2 + 2 + 2 + . . . . .+ 2 = 2(2 – 1) 3 g) 31 + 32 + 33 + . . . . + 3 n = 2 ( 3 n – 1 ) h) n 3 +2n chia hết cho 3 i) n3 +11n chia hết cho 6 j) n3 +5n chia hết cho 6 k) 3 2n + 63 hết 72 l) 3 2n + 1 + 2 n + 2 chia hết cho 7 m) 6 2n + 3 n + 2 + 3 n chia hết cho 11 n) 3 2n – 2 n chia hết cho 7 2. 2. 2. 2. o) 4 n + 15.n – 1 chia hết cho 9 §2 TẬP HỢP 1. Tập hợp là khái niệm cơ bản của toán học, không định nghĩa . - Tập hợp thường được kí hiệu bằng các chữ cái in hoa như: A, B, C, D, .... các phần tử của tập hợp đặt trong cặp dấu { }. - Để chỉ phần tử a thuộc tập hợp A ta viết a A, ngược lại ta viết a  A. - Tập hợp không chứa phần tử nào gọi là tập rỗng. Khí hiệu  2. Cách xác định tập hợp: có 2cách - Liệt kê các phần tử : mỗi phần tử liệt kê một lần, giữa các phần tử có dấu phẩy hoặc dấu chấm phẩy ngăn cách. Nếu số lượng phần tử nhiều có thể dùng dấu ba chấm VD : A = 1; 3; 5; 7 B =  0 ; 1; 2; . . . . ;100  C={1;3;5;...;15;17} - Chỉ rõ tính chất đặc trưng của các phần tử trong tập hợp, tính chất này được viết sau dấu gạch đứng VD : A = x N | x lẻ và x <9 ; B= {x   | 2x2-5x+3=0} 3. Tập con : Nếu tập A là con của B, kí hiệu: A  B hoặc B  A.. -. WWW.ToanCapBa.Net.

(8) WWW.ToanCapBa.Net Khi đó A B  x( xA  xB) Ví dụ: A={1;3;5;7;9}, B={1;2;3;...;10} Cho A ≠  có ít nhất 2 tập con là  và A. Tính chất: A  A ,  A với mọi A Nếu A  B và B  C thì A  C 4. Tập hợp bằng nhau: A=B  A  B và B  A hay A=B  x (x  A  x  B). 1 Ví dụ : C={x  R | 2x -5x+2=0}, D={ 2 ,2 } 2.  C=D. - Biểu đồ Ven. Ta có  *        BÀI TẬP §2 2.1. Viết các tập sau bằng cách liệt kê các phần tử A= { x   | 2x25x+2=0} B= {n   | n là bội của 12 không vượt quá 100} C = {x  R | (2x-x2)(2x2-3x-2) = 0} D = {x  Z | 2x3-3x2-5x = 0} E = {x  Z | |x| < 3 } F = {x | x=3k với k  Z và -4 < x < 12 } G= {Các số chính phương không vượt quá 100} H= {n   | n(n+1)≤ 20}. I={ x | x là ước nguyên dương của 12} J={ x | x là bội nguyên dương của 15} K= {n   | n là ước chung của 6 và 14} L= { n   | n là bội của 6 và 8} 2.2. Viết các tập sau theo cách chỉ ra tính chất đặc trưng A={2;3;5;7} B= {1;2} C={2;4;6;8;...;88;90} D={4;9;16;25} 2.3. Trong các tập sau tập nào là tập rỗng? A = {x   | x2-x+1=0 } B = {x   | x2-4x+2= 0} C = {x   | 6x2-7x+1= 0} D = {x   | | x| < 1} . 2.4. Trong các tập sau, tập nào là con của tập nào? A = {1,2,3} B = { x  N | x<4 }  C = (0;+ ) D = { x  R | 2x2-7x+3= 0} . 2.5. Tìm tất cả các tập con của các tập sau: a) A = {1;2} b) B= {1;2;3;4}. c) C=  d) D= {} 2.6. Tìm tất cả các tập X sao cho: {1,2}  X  {1,2,3,4,5} . 2.7. Tập A = {1,2,3,4,5,6} có bao nhiêu tập con gồm hai phần tử ? Để giải bài toán , hãy liệt kê tất cả các tập con của A gồm hai phần tử rồi đếm số tập con này. Hãy thử tìm một cách giải khác. 2.8. Liệt kê tất cả các phần tử của mỗi tập sau: R={3k-1| k   , -5≤ k ≤5}. 19 S={x   | 3<|x|≤ 2 }. T= { x   | 2x25x+2=0}. -. WWW.ToanCapBa.Net.

(9) WWW.ToanCapBa.Net BÀI TẬP THÊM 1. Liệt kê các phần tử của tập hợp sau : a/ A = {x  N / x < 6} b/ B = {x  N / 1 < x  5} c/ C = {x  Z , /x /  3} d/ D = {x  Z / x2  9 = 0} e/ E = {x  R / (x  1)(x2 + 6x + 5) = 0} f/ F = {x  R / x2  x + 2 = 0} g/ G = {x  N / (2x  1)(x2  5x + 6) = 0} h/ H = {x / x = 2k với k  Z và 3 < x < 13} i/ I = {x  Z / x2 > 4 và /x/ < 10} j/ J = {x / x = 3k với k  Z và 1 < k < 5} k/ K = {x  R / x2  1 = 0 và x2  4x + 3 = 0} l/ L = {x  Q / 2x  1 = 0 hay x2  4 = 0} 2. Xác định tập hợp bằng cách nêu tính chất : a/ A = {1, 3, 5, 7, 9} b/ B = {0, 2, 4} c/ C = {0, 3, 9, 27, 81} d/ D = {3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4} 1 2 3 4 e/ E ={2, 4, 9, 16, 25, 36} f/ F = { 3 , 5 , 7 , 9 } 3. Tìm tất cả các tập con của tập hợp sau : a/ A = {a, b} b/ B = {a, b, c} c/ C = {a, b, c, d} d) A = {1, 2, 3, 4} 4. Cho A = {1, 2, 3, 4} ; B = {2, 4, 3} ; C = {2, 3} ; D = {2, 3, 5} a/ Liệt kê tất cả các tập có quan hệ  b/ Tìm tất cả các tập X sao cho C  X  B c/ Tìm tất cả các tập Y sao cho C  Y  A 5. Cho A = {x / x là ước nguyên dương của 12} ; B = {x  N / x < 5} ; C = {1, 2, 3} ; D = {x  N / (x + 1)(x  2)(x  4) = 0} a/ Liệt kê tất cả các tập có quan hệ  b/ Tìm tất cả các tập X sao cho D  X  A c/ Tìm tất cả các tập Y sao cho C  Y  B §3 CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TẬP HỢP 1.Pheùp giao. AB = x|xA vaø xB x. A. ¿ x∈ A B  x ∈B ¿{ ¿. Tính chất A  A=A A= A  B=B  A. 2. Phép hợp. AB = x| xA hoặc xB. x. A. x∈ A ¿ x ∈B B ¿ ¿ ¿ ¿. 3. Hiệu của 2 tập hợp. A\ B = x| xA vaø xB x A\B  Tính chất A\  =A A\A=  A\B≠B\A. Tính chất A  A=A A  =A A  B= B  A 4. Phép lấy phần bù: Neáu A  E thì CEA = E\A = x ,xE vaø xA Ví dụ 1: Cho A= {1;2;3;4}, B= {1;3;5;7;9} , C= {4;5;6;7}. Tính A B, (A B) C, A C, (A B) C, A\ B, A\ C BÀI TẬP §3 3.1. Cho các tập A = {0 ; 1; 2; 3}, B = {0 ; 2; 4; 6}, C = {0 ; 3; 4; 5}. Tính A  B, B  C, C\A, (A  B)\ (B  C). -. WWW.ToanCapBa.Net. . x A xB.

(10) WWW.ToanCapBa.Net 3.2. Cho A = {xN | x < 7} và B = {1 ; 2 ;3 ; 6; 7; 8} a) Xác định A  B ; AB ; A\B ; B\ A b) CMR : (A  B)\ (AB) = (A\B) (B\ A). 19 3.3. Cho R={3k-1| k   , -5≤ k ≤5}, S={x   | 3<|x|≤ 2 },. T= { x   | 2x24x+2=0}. Tính R  S, S  T, R\S 3.4. Cho A={0;2;4;6;8}, B={0;1;2;3;4}, C={0;3;6;9}. Tính a) (A  B)  C và A  (B  C). Có n hận xét gì về hai kết quả? b) (A  B)  C d) (A  B)  C e) (A \ B)  C 3.5. Cho A={0;2;4;6;8;10}, B={0;1;2;3;4;5;6}, C={4;5;6;7;8;9;10}. Tính a) B  C, A  B, B  C, A\B, C\B b) A  (B  C) c) (A  B)  C d) A  (B  C) e) (A  B)  C f) (A\B)  (C\B)  3.6. Cho E = { x | 1  x < 7} A= { x  | (x2-9)(x2 – 5x – 6) = 0 } B = { x  | x là số nguyên tố  5} a) Chứng minh rằng B  E b) Tìm CEB ; CE(AB) c) Chứng minh rằng : E \ (A B)= (E \A)  ( E \B) E \ ( AB) = ( E \A)  ( E \ B). -. WWW.ToanCapBa.Net.

(11) WWW.ToanCapBa.Net §4 CÁC TẬP HỢP SỐ 1. Các tập số đã học.  ,  *, ,  ,  2. Các tập con thường dùng của  Tên gọi, ký hiệu Tập hợp Tập số thực (-;+) 0 Đoạn [a ; b] xR, a  x  b Khoảng (a ; b ) xR, a < x < b Khoảng (- ; a). xR, x < a. Khoảng(a ; + ) Nửa khoảng [a ; b). xR, a< x  xR, a  x < b. Nửa khoảng (a ; b]. xR, a < x  b. Nửa khoảng (- ; a]. xR, x  a. Hình biểu diễn. //////////// [ //////////// ( ) ///////// )///////////////////// ///////////////////( //////////// ///////////////////[ [ ) ///////// ]/////////////////////. Nửa khoảng [a ;  ) xR, a  x  [a ; b]= xR, a  x  b,.....R+=[0;+), R=(;0] ///////////////////[ Chú ý 1: Có hai cách biểu diễn các khoảng, nửa khoảng, đoạn trên trục số: Hoặc gạch bỏ phần không thuộc khoảng hay đoạn đó, hoặc tô đậm phần trục số thuộc khoảng hay đoạn đó. Ví dụ: Biểu diễn các khoảng, nửa khoảng, đoạn sau trên trục số theo hai cách (2;5), [3;1], ([1;4] Chú ý 2: -Tìm giao của các khoảng ta biểu diễn các khoảng đó trên cùng một trục số. Phần còn lại sau khi đã gạch bỏ chính là giao của hai tập hợp. -Tìm hợp của các khoảng ta viết các khoảng đó trên cùng một trục số,sau đó tiến hành tô đậm từng khoảng. Hợp của các khoảng là tất cả các tô đậm trên trục số. -Tìm hiệu của hai khoảng (a;b)\(c,d) ta tô đậm khoảng (a;b) và gạch bỏ khoảng (c;d), phần tô đậm còn lại là kết quả cần tìm. Ví dụ: Tính a) (1;2]  [1;3) = [1;2]. 1 1 b) [3; 2 )  (1;+ ) =[1; 2 ) 1 1 c) ( 2 ;2)  (1;4) =( 2 ;4) 1 1 d) ( 2 ;2]\(1;4) =( 2 ;1] BÀI TẬP §4-C1 4.1. Viết lại các tập sau về kí hiệu khoảng, đoạn, nửa khoảng. Biểu diễn chúng trên trục số. A={ x   | x ≥ 3} B={ x   | x <8} C={ x   | 1< x < 10} D={ x   | 6 < x ≤ 8}. 1 5 2 ≤x≤ 2 } x 1<0}. E={ x   | F={ x   | 4.2. Viết các khoảng, đoạn sau về dạng kí tập hợp E=(1;+) F=(;6]. 3 H=[ 2 ;1]. G=(2;3] 4.3. Xác định A  B, A  B, A\B, B\A và biểu diễn kết quả tên trục số. -. WWW.ToanCapBa.Net.

(12) WWW.ToanCapBa.Net. a) A = { x   | x 1 } B ={ x   | x 3 } b) A = { x   | x 1 } B ={ x   | x 3 }. c) A = [1;3] B = (2;+  ) d) A = (-1;5) B = [ 0;6) x x x  4.4. Cho A={  | 2≥0 }, B={   | x 5>0}. Tính A  B, A  B, A\B, B\A. 4.5. Xác định các tập sau và biểu diễn chúng trên trục số a) (5;3)  (0;7) b) (1;5)  (3;7) c)  \(0;+) d) (;;3)  (2;+) 4.6. Xác định A\B , A  B, A  B và biểu diễn chúng trên trục số a) A=(3;3) B=(0;5) b) A=(5;5) B=(3;3) c) A=  B=[0;1] d) A=(2;3) B=(3;3) 4.7. Xác định tập hợp C  D, biết a) C=[1;5] D=(3;2)  (3;7) b) C=(5;0)  (3;5) D=(1;2)  (4;6) 4.8. Xác định các tập sau a) (3;5]   b) (1;2)   c) [3;5]   4.9. Xác định các tập sau a)  \((0;1) (2;3)) b)  \((3;5) (4;6)) c) (2;7)\[1;3] d) ((1;2) (3;5))\(1;4) 4.10. Xác định các tập sau. 1 1 a) (; 3 )  ( 4 ;+) c) (0;12)\[5;+). 11 27 b) ( 2 ;7)  (2; 2 ) d)  \[1;1). BÀI TẬP THÊM 1. Cho 3 tập hợp : A = {1, 2, 3, 4} ; B = {2, 4, 6} ; C = {4, 6} a/ Tìm A  B , A  C , B  C b/ Tìm A  B , A  C , B  C c/ Tìm A \ B , A \ C , C \ B d/ Tìm A  (B  C) và (A  B)  (A  C). Có nhận xét gì về hai tập hợp này ? 2. Cho 3 tập hợp A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ; B = {2, 4, 6} ; C = {1, 3, 4, 5}. Tìm (A  B)  C và (A  C)  (B  C). Nhận xét ? 3. Cho 3 tập hợp A = {a, b, c, d} ; B = {b, c, d} ; C = {a, b} a/ CMR : A  (B \ C} = (A  B) \ (A  C) b/ CMR : A \ (B  C) = (A \ B)  (A \ C) 4. Tìm A  B ; A  B ; A \ B ; B \ A , biết rằng : a/ A = (2, + ) ; B = [1, 3] b/ A = (, 4] ; B = (1, +) c/ A = (1, 2] ; B = (2, 3] d/ A = (1, 2] ; B = [2, +) e/ A = [0, 4] ; B = (, 2] e) A = (2 , 10) ; B = ( 4, 7 ) 5. Cho A = {a, b} ; B = {a, b, c, d}. Xác định các tập X sao cho A  X = B 6. A= {x  N / 0< x < 10} ; A, B  X ; A  B = {9, 4, 6} A {3, 4, 5} = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9} ; B { 4, 8} = { 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} Xác định A, B.. -. WWW.ToanCapBa.Net.

(13) WWW.ToanCapBa.Net §5 SỐ GẦN ĐÚNG. SAI SỐ 1. Số gần đúng Trong nhiều trường hợp ta không thể biết được giá trị đúng của đại lượng mà ta chỉ biết số gần đúng của nó. Ví dụ: giá trị gần đúng của π là 3,14 hay 3,14159; còn đối với √ 2 là 1,41 hay 1,414;… Như vậy có sự sai lệch giữa giá trị chính xác của một đại lượng và giá trị gần đúng của nó. Để đánh giá mức độ sai lệch đó, người ta đưa ra khái niệm sai số tuyệt đối. 2. Sai số tuyệt đối: a) Sai số tuyệt đối của số gần đúng Nếu a là số gần đúng của a thì a=| a a| được gọi là sai số tuyệt đối của số gần đúng a. b) Độ chính xác của một số gần đúng Trong thực tế, nhiều khi ta không biết a nên ta không tính được a. Tuy nhiên ta có thể đánh giá a không vượt quá một số dương d nào đó. Nếu a ≤ d thì ad≤ a ≤ a+d, khi đó ta viết a =a ± d d gọi là độ chính xác của số gần đúng. Ví dụ: Giả sử a = √ 2 và một giá trị gần đúng của nó là a = 1,41.Ta có : (1,41)2 = 1,9881 < 2 ⇒ 1,41 < √ 2⇒ √ 2 - 1,41 > 0. (1,42)2 = 2,0164 > 2 ⇒ 1,42 > √ 2⇒ √ 2 -1,41 < |1,42-1,41|=0,01. Do đó : Δ a=|a− a|=|√ 2 −1 , 41|<0 , 01 *Sai số tương đối δ a. ¿ a∨¿ Δ , δ a= a ¿. do đó. δa. Vậy sai số tuyệt đối của 1,41 là không vượt quá 0,01.. ¿ a∨¿ . d ¿. Người ta thường viết sai số tương đối dưới dạng phần trăm (nhân với 100%). Nếu. ¿ a∨¿ càng nhỏ thì chất lượng của phép đo đạc hay tính toán càng cao. d ¿. * Sai số tuyệt đối không nói lên chất lượng của xắp xỉ mà chất lượng đó được phản ánh qua sai số tương đối. Sai số tương đối càng nhỏ thì độ chính xác càng lớn. 3. Quy tròn số gần đúng * Nguyên tắc quy tròn các số như sau: - Nếu chữ số ngay sau hàng quy tròn nhỏ hơn 5 thì ta chỉ việc thay chữ số đó và các chữ số bên phải nó bởi 0. - Nếu chữ số ngay sau hàng quy tròn lớn hơn hay bằng 5 thì ta thay chữ số đó và các chữ số bên phải nó bởi 0 và cộng thêm một đơn vị vào số hàng vi tròn. Ví dụ 1: Quy tròn số 7216,4 đến hàng chục là 7220(vì chữ số ở hàng quy tròn là 1 chữ số sau nó là 6) Ví dụ 2: Quy tròn số 2,654 đến hàng phần trăm là 2,65(vì chữ số ở hàng qui tròn là 1 chữ số sau nó là 4) Ví dụ 3: Quy tròn số 2,649 đến hàng phần chục là 2,6(vì chữ số ở hàng qui tròn là 6 chữ số sau nó là 4). Chú ý: Khi thay số đúng bởi số quy tròn thì sai số tuyệt đối nhỏ hơn nửa đơn vị hàng quy tròn Ở vd1 ta có a=|7216,4-7220|=3,6<5 (hàng quy tròn là hàng chục) Ở vd2 ta có a=|2,654-2,65|=0,004 <0,005 (hàng quy tròn là hàng phần trăm 0,01) * Các viết số quy tròn của số gần đúng căn cứ vào độ chính xác cho trước: Cho số gần đúng a với độ chính xác d. Khi được yêu cầu quy tròn a mà không nói rõ quy tròn đến hàng nào thì ta quy tròn a đến hàng cao nhất mà d nhỏ hơn một đơn vị của hàng đó. d Hàng quy tròn Hàng trăm Hàng nghìn Hàng chục Hàng trăm Hàng phần trăm Hàng phần chục ……………………. ………………………. Ví dụ 1: Cho a =1,236±0,002 số quy tròn của 1,236 là 1,24 (vì 0,002<0,01) Ví dụ 2: Cho a =37975421±150 số quy tròn của 37975421 là 37975000. -. WWW.ToanCapBa.Net.

(14) WWW.ToanCapBa.Net Ví dụ 3: Cho số gần đúng a=173,4592 có sai số tuyệt đối không vượt quá 0,01 (d=0,01). Khi đó số quy tròn của a là 173,5 * Chú ý: - Kí hiệu khi viết gần đúng là - Khi thực hiện quy tròn thì sai số tuyệt đối tăng lên. - Hàng phần chục, phần trăm,… là những số sau đấu phẩy. - Hàng hơn vị, hàng chục, hàng trăm,… là những số trước dấu phẩy. 4. Chữ số chắc chắn (đáng tin) (Ban CB chỉ đến số 3) Trong số gần đúng a, một chữ số được gọi là chữ số chắc chắn nếu d không vượt quá ( ≤ )nửa đơn vị của hàng có chữ số đó (nếu d > nửa đơn vị của hàng có chữ số đó thì chữ số đó không chắc) Tất cả những chữ số đứng bên trái chữ số chắc chắn là chắc chắn. Những chữ số đứng bên phải chữ số không chắc là không chắc. Ví dụ 1: Cho a =1379425±300, xác định các chữ số chắc chắn Ta có. 100 1000 =50< d <500= 2 2. nên chữ số hàng trăm không chắc, chữ số hàng nghìn. chắc chắn=> 1,3,7,9 lá các chữ số chắn. Ví dụ 2: Một hình chữ nhật có diện tích S = 180,57 cm2 0,06 cm2 . Tìm các chữ số chắc của S. Ta có. 0,1 1 =0 , 05<d=0 , 06< =0,5 2 2. nên chữ số hàng phần chục không chắc, chữ số hàng. đơn vị chắc chắn=> 1,8,0 là các chữ số chắc chắn. 5. Dạng chuẩn của số gần đúng - Nếu số gần đúng là số thập phân không nguyên thì dạng chuẩn là dạng mà mọi chữ số của nó đều là chữ chắc chắn. - Nếu số gần đúng là số nguyên thì dạng chuẩn của nó là A.10 k trong đó A là số nguyên , k là hàng thấp nhất có chữ số chắc (k  N). (suy ra mọi chữ số của A đều là chữ số chắc chắn) Khi đó độ chính xác d=0,5.10k Ví dụ: Giá trị gần đúng của √ 5 viết ở dạng chuẩn là 2,236. Nên độ chính xác d=0,5.10 -3=0,0005, do đó 2,236-0,0005≤ √ 5 ≤2,236+0,0005 6. Kí hiệu khoa học của một số Mọi số thập phân khác 0 đều viết được dưới dạng .10n, 1≤||<10, n  Z (ta có. −m. 10 =. 1 ) 10m. Ví dụ : Khối lượng Trái Đất là 5,98.1024kg Khối nguyên tử của Hiđrô là 1,66.10-24g BÀI TẬP §5 5.1. Cho √ 3 =1,7320508…Viết số gần đúng √ 3 theo quy tắc là tròn đến hai, ba, bốn chữ số thập phân có ước lượng sai số tuyệt đối mỗi trường hợp. HD: Ta có 1,73< √ 3 <1,74| √ 3 -1,73|<|1,73-1,74|=0,01 vậy sai số tuyệt đối trong trương hợp (làm tròn 2 chữ số thập phân) không vượt quá 0,001. 5.2. Theo thống kê dân số Việt Nam năm 2002 là 79715675 người. Giả sử sai số tuyệt đối nhỏ hơn 10000. Hãy viết quy tròn của số trên. Kq: 79720000 5.3. Đo độ cao một ngọn núi là h=1372,5m±0,1m. Hãy viết số quy tròn của số 1372,5 Kq: 1373 5.4. Đo độ cao một ngọn cây là h=347,13m±0,2m. Hãy viết số quy tròn của số 347,13 Kq: 347 5.5. Chiều dài cây cầu là d=1745,25m±0,01m. Hãy viết số quy tròn của 1745 Kq : 1745,3 5.6. Cho giá trị gần đúng của  là a=3,141592653589 với độ chính xác là 10-10. Hãy viết số quy tròn của a. Kq : 3,141592654 5.7. Một hình lập phương có thể tích V=180,57cm3±0,05 cm3. Xác định các chữ số chắc chắn của V. Kq : 0,01/2<0,05≤0,1/2 1,8,0,5 là chữ số chắc chắn.. -. WWW.ToanCapBa.Net.

(15) WWW.ToanCapBa.Net 5.8. Trong một thí nghiệm, hằng số C được xác định là 2,43265 với cận trên của sai số tuyệt đối d=0,00312. Tìm các chữ số chắc chắn của C. 5.9. Một miếng đất hình chữ nhật có chiều rộng x=43m±0,5m, chiều dài y=63m±0,5m. chứng minh rằng chu vi P của miếng đất là P=212m±2m. -. WWW.ToanCapBa.Net.

(16) WWW.ToanCapBa.Net Chương II HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI §1 HÀM SỐ I. Ôn tập về hàm số 1. Hàm số: Cho D   . Hàm số f xác định trên D là một quy tắc ứng với mỗi x D là một và chỉ một số y   , kí hiệu là y= f(x). Khi đó: + x gọi là biến số (hay đối số) của hàm số và y gọi là hàm số của x; + D gọi là tập xác định (hay miền xác định); + f( x ) là giá trị của hàm số tại x. 2. Cách cho hàm số + Hàm số cho bằng bảng. + Hàm số cho bằng biểu đồ. + Hàm số cho bằng công thức: y=f( x ) Chú ý: Khi hàm số cho bởi công thức mà không chỉ rõ tập xác định thì : “ Tập xác định của hàm số y=f( x ) là tập hợp tất cả các số thực x sao cho biểu thức f( x ) có nghĩa”. Ví dụ 1: Tìm tập xác định của hàm số a) y=f( x )=. x 3. 2 x  1 y  2  x Ví dụ 2: Cho. 3 b) y= x  2 khi x 0 khi x  0. c) y=. x 1  1  x. a) Tìm tập xác định của hàm số. b) Tính f(1), f(1), f(0). 3. Đồ thị hàm số Đồ thị của hàm số y=f( x ) xác định trên D là tập hợp các điểm M(x;f(x)) trên mặt phẳng tọa độ với mọi x D. II. Sự biến thiên của hàm số Cho f(x) xác định trên khoảng K. Khi đó: f đồng biến ( tăng) trên K x1;x2K ; x1 < x2  f(x1) < f(x2) f nghịch biến ( giảm) trên K x1;x2K ; x1 < x2  f(x1) > f(x2) Bảng biến thiên: là bảng tổng kết chiều biến thiên của hàm số (xem SGK) III. Tính chẵn lẻ của hàm số + f gọi là chẵn trên D nếu xD  x D và f(x) = f(x), đồ thị nhận Oy làm trục đối xứng. + f gọi là lẻ trên D nếu xD  x D và f(x) =  f(x), đồ thị nhận O làm tâm đối xứng. (Ban CB đến III) * Tịnh tiến đồ thị song song với trục tọa độ Oxy Cho (G) là đồ thị của y = f(x) và p;q > 0; ta có Tịnh tiến (G) lên trên q đơn vị thì được đồ thị y = f(x) + q Tịnh tiến (G) xuống dưới q đơn vị thì được đồ thị y = f(x) – q Tịnh tiến (G) sang trái p đơn vị thì được đồ thị y = f(x+ p) Tịnh tiến (G) sang phải p đơn vị thì được đồ thị y = f(x – p) Đối xứng qua trục hoành thì x không đổi y’= -y Đối xứng qua trục tung thì y không đổi x’= - x * Tịnh tiến điểm A(x;y) song song với trục tọa độ Oxy : + Lên trên q đơn vị được A1(x ; y+q) + Xuống dưới q đơn vị được A1(x ; yq) + Sang trái p đơn vị được A1(xp ; y) + Sang phải p đơn vị được A1(x+p ; y). -. WWW.ToanCapBa.Net.

(17) WWW.ToanCapBa.Net CÁC DẠNG BÀI TẬP I. Tìm tập xác định của hàm số *Phương pháp + Để tìm tập xác định D của hàm số y = f(x) ta tìm điều kiện để f(x) có nghĩa,tức là:.  | f(x) } D = {x + Cho u(x), v(x) là các đa thức theo x , khi ta xét một số trường hợp sau : a) Miền xác định của hàm số dạng đẳng thức : y=u(x) ; y = u(x)+v(x) ; y=| u(x) | ; y = ¿ u(x )∨¿ … là D =  √¿ (không chứa căn bậc chẵn, không có phân số, chỉ có căn bậc lẻ,…). u (x) là D = { x v (x) c) Miền xác định hàm số y = √ u(x) là D = { x u (x) d) Miền xác định hàm số y = là D = { x √ v ( x) e) Miền xác định hàm số y = √ u(x)+ √ v( x) là.  | v(x). b) Miền xác định hàm số y =. D= {x.  | u(x) 0 }. {x. 0}.  | u(x) 0 }  | u(x) > 0 }.  | v(x) 0 } tức là nghiệm của hệ. VÍ DỤ : Tìm tập xác định của các hàm số sau II. Xét sự biến thiên của hàm số * Phương pháp + Tìm tập xác định D của hàm số y = f(x). + Viết D về dạng hợp của nhiều khoảng xác định ( nếu có ). + Xét sự biến thiên của hàm số trên từng khoảng xác định K= (a;b) như sau: . Giả sử x1,x2 K, x1 < x2 . Tính f(x2) - f(x1) . Lập tỉ số T =. ¿ u(x )≥ 0 v (x )≥ 0 ¿{ ¿. f ( x 2) − f ( x 1) x2 − x1. Nếu T > 0 thì hàm số y = f(x) đồng biến trên (a;b) Nếu T < 0 thì hàm số y = f(x) nghịch biến trên (a;b). VÍ DỤ: III. Xét tính chẵn lẻ của hàm số * Phương pháp + Tìm tập xác định D của hàm số y =f(x) + Chứng minh D là tập đối xứng, tức là :. ∀ x. ¿. D ⇒−x ∈ D. ¿. + Tính f(-x), khi đó . Nếu f(-x) = f(x) với ∀ x D thì y =f(x) là hàm số chẵn . Nếu f(-x) = -f(x) với ∀ x D thì y = f(x) là hàm số lẻ. . Nếu có một x0 D sao f(-x0) f(x0) & f(-x0) -f(x0) thì hàm số y = f(x) không chẵn và không lẻ. VÍ DỤ: IV. Tịnh tiến đồ thị song song trục tọa độ Cho (G) là đồ thị của y = f(x) và p;q > 0; ta có Tịnh tiến (G) lên trên q đơn vị thì được đồ thị y = f(x) + q Tịnh tiến (G) xuống dưới q đơn vị thì được đồ thị y = f(x) – q Tịnh tiến (G) sang trái p đơn vị thì được đồ thị y = f(x+ p) Tịnh tiến (G) sang phải p đơn vị thì được đồ thị y = f(x – p). -. WWW.ToanCapBa.Net.

(18) WWW.ToanCapBa.Net BÀI TẬP §1-C2 1.1. Tìm tập xác định của các hàm số sau. y. a) y= 3x3 x +2. b). c) y= 3 x  2. d) y=  2 x  1 . 2x 1. x 1. 1  x 1 x f) y= 1 y 2 x  4x  5 h). 2. e) y= x  2 x  1 g) y=. 3x  1  2x  2. x2 1. 1- x neáu x 0 x neáu x > 0 . 1.2. Cho hàm số y= . Tính các giá trị của hàm số đó tại x =3; x =0; x =1.  2x  3 khi x 0   x 1  x 2  2 x khi x  0 1.3. Cho hàm số y=  Tính giá trị của hàm số đó tại x =5; x =2; x = 2 với x < 2 với x 2.   3x  8  x 7 x 1.4. Cho hàm số y=g( ) . Tính các giá trị g(3); g(0); g(1); g(2); g(9) 1.5. Xét sự biến thiên của hàm số sau trên khoảng được chỉ ra a) y=f( x )= 2x27 trên khoảng (4;0) và trên khoảng (3;10). x b) y=f( x )= x  7 trên khoảng (;7) và trên khoảng (7;+) 1.6. Xét tính chẵn lẻ của các hàm số sau a) y=f( x )= 2 x  3 c) y=f( x )=x3  1 1.7. Tìm tập xác định của các hàm số sau. x2  2 b) y=f( x )= x d) y=3. 3x  2 a) y= 4 x  3 x  7. 2x  4  3x  5 x  3 b) y= 7x. c) y=  x 5+7 x 3. d) y= x  2 x  5. 2. 2. x 9 e) y= 4 x  1 . 2.  2 x 1. f) y= x  8 x  20. 2x  1 g) y= (2 x  1)( x  3). 1 3x  h) y= x  2  4 x  2. 1.8. Tìm tập xác định của các hàm số sau a) y = c) y =. 2 x −3 2 x − x+ 1 x +3 2 x −3 x+ 2. 2. b) y = d) y =. -. x +2 x x 2 ( x+ 2) √ x+1. WWW.ToanCapBa.Net.

(19) WWW.ToanCapBa.Net 2x 1 3 e) y = x  3 x  2. 2x 1 f) y = x  x  1 2. -. WWW.ToanCapBa.Net.

(20) WWW.ToanCapBa.Net 1.9. Xét sự biến thiên của hàm số trong khoảng đã chi ra a) y= 2 x +3 trên  b) y= x2+10 x +9 trên (5;+). . 1 x  1 trên (3;2) và (2;3). c) y= 1.10. Xét sự biến thiên của hàm số trong khoảng đã chi ra a) y = x2+4x-2 ; (-  ;2) , (-2;+  ) b) y = -2x2+4x+1 ; (-  ;1) , (1;+  ). 4 c) y = x  1 ; (-1;+  ) 3 d) y = 2  x. ; (2;+  ). 1.11. Xét tính chẵn lẻ của các hàm số sau a) y= 4 c) y=  x 4+3 x 2 1.12. Xét tính chẵn lẻ của các số sau a) y = x4-x2+2 c) y = | x+2| - |x-2| e) y = (x-1)2. b) y= 3x21.  x4  x2  1 x d) y= b) y= -2x3+3x d) y = |2x+1| + |2x-1| f) y = x2+2. a 1.13. Cho hàm số y= f(x) = x  2 , với giá trị nào của a thì hàm số đồng biến (tăng), nghịch biến trên các khoảng xác định của nó.. ¿ −2( x −2)neáu -1 ≤ x <1 1.14. Cho hàm số √ x 2 − 1 neáu x ≥ 1 ¿ f (x )={ ¿ a) Tìm tập xác định của hàm số f. b) Tính f(-1), f(0,5), f(. √2 2. ), f(1), f(2).. BÀI TẬP THÊM 1 Bài tập 1: Tìm tập xác định của các hàm số sau : a). 3 x+5 y= 2 x+1. 1 D=  \{ 2 }. x−2 x −3 x +2 x2− 2 e) y= ( x +2) √ x +1 x −√− x g) y= 1− x 2 c) y=. i). y=. 2. b). D=  \{1;2}. 3 x +5 x 2 − x +1. d) y=. D= . √ x −1. D=[1;+)\{2}. x −2. 3 x+1 2 x −9 x − 3 √2 − x D=(;0]\{1} h) y= D=(2;2] √ x +2. D=(1;+). √ x −1+ √ 4 − x ( x − 2)( x −3). y=. D=[1;4]\{2;3} j) y=. f). y=. √ 2 x +1− √ 3− x. -. WWW.ToanCapBa.Net. D=  \{3;3}. 1 D=[ 2 ;3].

(21) WWW.ToanCapBa.Net. . f ( x) y  f ( x)  1 f2 ( x ). coù TXÑ: D1 coù TXÑ: D 2. Khi đó D=D1  D 2. ¿ −2( x −2)neáu -1 ≤ x <1 x 2 − 1 neáu x ≥ 1 √ Bài tập 2 : Cho hàm số ¿ f (x )={ ¿. a) Tìm tập xác định của hàm số f. b) Tính f(-1), f(0,5), f(. √2 2. D=[1;). ), f(1), f(2).. -. WWW.ToanCapBa.Net.

(22) WWW.ToanCapBa.Net Bài tập 3: Trong các điểm sau M(-1;6), N(1;1), P(0;1), điểm nào thuộc đồ thị hàm số y=3x2-2x+1. Bài tập 4: Trong các điểm A(-2;8), B(4;12), C(2;8), D(5;25+ √ x −3 .. √2. ), điểm nào thuộc đồ thị hàm số f(x)= x 2+. Bài tập 5: Khảo sát sự biến thiên của mỗi hàm số sau và lập bảng biến thiên của nó: a) y= x2+2x-2 trên mỗi khoảng (-;-1) và (-1;+) T= x2+x1+2 x  1 + + + 2 y=x +2x-2 3 b) y= -2x2+4x+1 trên mỗi khoảng (-;1) và (1;+) T=2(x1+x22) x  1 + 3 2 y=-2x +4x+1  . 2 c) y= x −3. trên mỗi khoảng (-;3) và (3;+) x. 2 y= x −3 d) y=. 1 x −2. 2 ( x  3)( x2  3) T= 1 1.  0. + + 0. . trên mỗi khoảng (-;2) và (2;+). 1 ( x  2)( x2  2) T= 1 e) y= x2-6x+5 trên mỗi khoảng (-;3) và (3;+) T= x2+x16 f) y= x2005+1 trên khoảng (-;+) 2005 2005 2005 2005 x1<x2 => x 1 < x2 => f(x1)= x 1 +1< x 2 +1=f(x2) đồng biến Bài tập 6 : Dựa vào đồ thị của hàm số, hãy lập bảng biến thiên. (A) x y=-2x2+4x+1.  +. 1 3. 2. +. 1. . (B) x. 1 y= x. 1.  0. + + 0. . (C) x. . y=f(x). . 2 1. + . Bài tập 7: Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số sau : a) y=x43x2+1 chẵn b) y= -2x3+x lẻ c) y= |x+2| - |x-2| lẻ d) y=|2x+1|+|2x-1| chẵn e) y= |x| chẵn f) y=(x+2)2 3 2 g) y=x +x lẻ h) y=x +x+1 i) y=x|x| lẻ j) y= √ 1+ x + √ 1 − x D=[1;1] chẵn. -. WWW.ToanCapBa.Net.

(23) WWW.ToanCapBa.Net k) y=. √ 1+ x − √ 1− x. D=[1;1] lẻ. Bài 8 : Cho đường thẳng y=0,5x. Hỏi ta sẽ được đồ thị của hàm số nào khi tịnh tiến (d): a) Lên trên 3 đơn vị b) Xuống dưới 1 đơn vị c) Sang phải 2 đơn vị d) Sang trái 6 đơn vị. Bài 9: Gọi (d) là đường thẳng y= 2x=f(x) và (d’) là đường thẳng y= 2x-3. Ta có thể coi (d’) có được là do tịnh tiến (d): a) Lên trên hay xuống dưới bao nhiêu đơn vị? (d’): y=2x3= f(x)3 b) Sang trái hay sang phải bao nhiêu đơn vị?. 3 (d’): y=2x3= 2(x 2 ) Bài 10: Cho đồ thị (H) của hàm số y= −. 2 x. a) Tịnh tiến (H) lên trên 1 đơn vị, ta được đồ thị của hàm số nào? b) Tịnh tiến (H) sang trái 3 đơn vị, ta được đồ thị hàm số nào? c) Tịnh tiến (H) lên trên 1 đơn vị, sau đó tịnh tiến đồ thị nhận được sang trái 3 đơn vị, ta được đồ thị hàm số nào? Bài 11: Trong mặt phẳng tọa độ, cho các điểm A(-1;3), B(2;-5), C(a;b). Hãy tính tọa độ các điểm có được khi tịnh tiến các điểm đã cho: a) Lên trên 5 đơn vị b) Xuống dưới 3 đơn vị c) Sang phải 1 đơn vị d) Sang trái 4 đơn vị. BÀI TẬP THÊM 2 1. Tìm tập xác định của hàm số a) y = |x+2| - | 3x2-4x-3| D=  2. ¿ x + x − 4∨¿ √¿ +1 c) y= ¿ 5 x+ 6∨ 5 1 d) y = 2 x +1 ¿ 2 x −3∨ 2 ¿ e) y = x + x+ 6 ¿ 1 f) y= 2 x −3 x 1 g) y = √ 1− x + x √ 1+ x x∨x − 4∨¿ √ h) 2x−1 y= ¿ 1 i) y = √ 3− x+ 2 x −1 b) y =. √. D=  D=  D=  D=  D=  \{0;3} D=(1;1]\{0} D=(0;+)\{4} D=(;3]\{1;1}. 1 j) y = k) y =. 2. 2 x2  4 x  4. D=  vì 2 x  4 x  4 ( 2 x . √ 6 − x+ 2 x √2 x +1. 1 D=[ 2 ;6] . -. WWW.ToanCapBa.Net. 2) 2  2 >0 x.

(24) WWW.ToanCapBa.Net. 2 x+1 l) y = D=  \{1;0;1} x (¿ x∨− 1) x 2 +1 m) y = D=[1;2) + x √ 1+ x √2 − x 2 1 +( x+ 2) √ x +3 n) y = D=[3;+) vì x  3 x  3 ≠0  x 2 x +3 x+ 3 1 2 +¿ x +1∨√ x − x +6 o) y = D=  2 √ x +3 x +5. 3 11 x 2  3x  5 ( x  ) 2  2 4 >0  x 1 23 x 2  x  6 ( x  ) 2  2 4 >0  x. vì. ¿ x − 2∨+¿ x 2+2 x∨¿ p) y = ¿ x∨ ¿¿ ¿. D= . vì không có giá trị nào của x để |x2|+|x2+2x|=0. Thật vậy: nếu x2=0 x=2 thì x2+2x≠ 0. q) y =. √ 3. 3 x +5 2 x −1. D=  \{1;1}. r) y =. x2  2 x  1  x  3. s) y =. x2  2 x 1  x  3 2. t). y=. D=[3;+). √ x − 4+1. D=[4;+). 2. ¿ x −3 x +2∨+¿ x − 1∨¿ 1 ¿. D=  \{1}. vì khi x=1 thì mẫu bằng 0 (tương tự câu p). ¿ x 2 −2∨x∨+1 ¿ x∨− 1 −¿ x2 − 1. x 2 −∨x∨ u) y =. D=  \{1;1}.  x 2  2 x  1 , khi x 0 x  2 | x | 1    x 2  2 x  1 , khi x  0 2. 1−∨x ∨¿ √¿ √ ¿ x 2 −1∨¿ w) y = 1 ¿ v) y =. D=[1;1] D=  \{1;1}. ¿ 1-x neáu -2≤ x ≤ 0 x) y = f(x)= x neáu 0 ≤ x ≤ 2 ¿{ ¿. D=[2;2]. 2. Xét sự biến thiên của các hàm số trên các khoảng đã chỉ ra a) y =. 2x 2 x−3. 6 (2 x2  3)(2 x1  3) T=. 3 ( ;+ ∞) 2 trên -. WWW.ToanCapBa.Net.

(25) WWW.ToanCapBa.Net 2 ; b) y = 3x2-4x+1 trên (- 3 ) c) y =. − 3 x+1 x−1. d) y =. x+ 3 x −2. trên (1;+. T=3x2 + 3x14. ∞. trên (2; +. ∞. ). 2 ( x  1)( x1  1) T= 2. ). 5 ( x  2)( x1  2) T= 2. e) y = | x+2| - | x-2 | trên (-2;2)  x  (2;2) khi đó 2< x <2 x+2>0; x2<0  y= x+2 [(x2)]=2x  T=2  hàm số đống biến 4. Với giá trị nào của a thì các hàm số sau đồng biến,nghịch biến trên các khoảng xác định của nó. a ( x  2)( x2  2) T= 1. a x −2. a) y = f(x) =. b) y = f(x) =.  (a  1) x1x2 T=. a+1 x. 5. Xét tính chẵn , lẻ của các hàm số sau a) y = b) c) d) e). ¿ x∨¿ 2 2 x −1 ¿. D=  \{0}; chẵn. y = x(|x|-2) y = x2-2|x| y = | x+3 | - | x-3 | y = 2x+ | x+3 | + | x-1 |. D=  ; lẻ D=  ; chẵn D=  ; lẻ D=  ; không chẵn, không lẻ. 5. f) y = x7g) y =. x −x √¿ x∨+ x 2. √ x2 − 4 x+ 4. D=  \{0} vì |x|+x2 ≥ 0  x, dấu “=” khi x=0 + | x+2 | D=  ; chẵn vì. ¿ x+1∨−∨x − 1∨¿ h) y = ¿ x+1∨+¿ x −1∨ ¿ ¿ ¿ i) y = √ 1+ x x∨x∨ 3 ¿ j) y = x −1 ¿. x 2  4 x  4  ( x  2)2 | x  2 |. D=  \{0}; lẻ D=[1;+)   x  D  x D D=  \{1}  x  D  x D (khi x=1). k) Định m để hàm số y = f(x) = x2 + mx +m2 ,x R ,là hàm chẵn. 2 2 f(-x) = x mx+m để f(x) chẵn khi m=m = m=0 6. Gọi (G) là đồ thị của hàm số y=2|x|, ta được đồ thị hàm số nào khi tịnh tiến (G): a) lên trên 3 đơn vị; b) sang trái 1 đơn vị; c) sang phải 2 đơn vị rồi xuống dưới 1 đơn vị. BÀI TẬP THÊM 3 1/ Tìm tập xác định của các hàm số sau :. 4x  3 a/ y = x  1. 2x  1 2 b/ y = x  3 -. WWW.ToanCapBa.Net.

(26) WWW.ToanCapBa.Net 1 2 c/ y = x  4  2 2 e/ y = x  x  6 6  2x g/ y = x  2. x 1 2 d/ y = x  2 x  5. 3 1 h/ y = x  1 + x  2 x 1. 1 x 3 +. i/ y = k/ y =. j/ y = ( x  3) 2x  1. 4 x. 2. l/ y  x  4 . ( 2x  1)( x  2). x2  4x  5  3 2. x  5x  6. m) y =. x 2. f/ y =. o) y =. x 2  3x  2 2. p)y =. (3x  4)(3  x ). q) y = ( x  2) x  1. x 1 3 r) y = | x  2|  1 - 3x  5 s) y = x + 1  x 2. Tìm m để tập xác định hàm số là (0 , +  ) a) y = x  m  2x  m  1 x m 2x  3m  4  x  m  1 ĐS: a) m > 0 b) y = 3. Định m để hàm số xác định với mọi x dương 2. y  x m 2 . a/ y  x  m  1  4 x  m b/ 4. Xét sự biến thiên của các hàm số trên khoảng đã chỉ ra : a/ y = x2  4x (-, 2) ; (2, +) 2 b/ y = 2x + 4x + 1 (-, 1) ; (1, +). 4 c/ y = x  1  2 d/ y = 3  x 3x e/ y = x  1. b) m > 4/3. x m xm. (1, +) (3, +) (, 1). f/ y = x  1 6. Xác định tính chẵn, lẻ của hàm số : a/ y = 4x3 + 3x b/ y = x4  3x2  1. 1 c/ y =  x  3 2. 2. e/ y = |1  x| + /1 + x|. d/ y = 1  3x f/ y = |x + 2|  |x  2|. g/ y = |x + 1|  |x  1|. h/ y =. i/ y = | x|5.x3. 1 x + 1 x   x    x y 2+x     x k/. -. WWW.ToanCapBa.Net.

(27) WWW.ToanCapBa.Net 2. l/ y =. x  1 ; x  1  ;  1x 1 0  2 x  1 ; x 1. m) y =. x 2 ; x  1  ;  1x 1 0  2 ; x 1 x. §2 HÀM SỐ y= ax + b 1. Hàm số bậc nhất Hàm số dạng y = ax + b , a;b và a≠ 0. Hệ số góc là a Tập xác định: D = Chiều biến thiên: a > 0 hàm số đồng biến trên a < 0 hàm số nghịch biến trên Bảng biến thiên:. Đồ thị hàm số: là một đường thẳng. Đồ thị không song song và trùng với các trục tọa độ, cắt trục tung tại điểm (0;b) và cắt trục hoành tại (-b/a;0). 2. * Cho hai đường thẳng (d):y= ax+b và (d’)= a’x+b’, ta có: (d) song song (d’) a=a’ và b≠b’ (d) trùng (d’) a=a’ và b=b’ (d) cắt (d’)  a≠a’. (d)(d’) a.a’= 1 2. Hàm số hằng y=b Đường thẳng y= b là đường thẳng song song hoặc trùng trục Ox và cắt Oy tại điểm có tọa độ (0;b). Đường thẳng x= a là đường thẳng song song hoặc trùng trục Oy và cắt Ox tại điểm có tọa độ (a;0) 3. Hàm số bậc nhất trên từng khoảng, hàm số y= |ax+b| Muốn vẽ đồ thị hàm số y=|ax+b| ta làm như sau: y + Vẽ hai đường thẳng y = ax + b, y = - ax – b + Xóa đi hai phần đường thẳng nằm phía dưới trục hoành. ¿ x +1 neáu 0 ≤ x<2 1 − x + 4 neáu 2 ≤ x ≤ 4 Ví dụ 2: Xét hàm số y=f(x)= 2 2 x −6 neáu 4 < x ≤ 5 ¿{{ ¿. D. B. Ví dụ 1: Khảo sát vè vẻ đồ thị hàm số y= | x | (Xem SGK tr.42). C y. A O. x. 4. Đồ thị (hình). Ví dụ 3 : Xét hàm số y=|2x-4| Hàm số đã cho có thể viết lại như sau :. O. ¿ 2 x − 4 neáu x ≥2 y= −2 x+ 4 neáu x<2 ¿{ ¿ Đồ thị (hình). -. WWW.ToanCapBa.Net. 2. 4. x.

(28) WWW.ToanCapBa.Net Ví dụ 4: Tìm hàm số bậc nhất y=f(x) biết đồ thị của nó đi qua 2 điểm A(0 ; 4) , B (-1;2).Vẽ đồ thị và lập bảng. y g ( x)  f ( x) .. biến thiên của hàm số. Hàm số bậc nhất có dạng. y ax  b , a 0 .. Giải. b 4 a 2   2  a  b b 4 Đồ thị hàm số qua điểm A , B g ( x)  2 x  4 , ta vẽ đồ thị hai hàm số Vẽ đồ thị hàm  2 x  4 neáu x  2 y  2 x  4 neáu x   2 trên cùng 1 hệ trục tọa độ, rồi bỏ đi phần phía trên trục Ox.. g ( x)  2 x  4. Vẽ đồ thị hàm. Bảng biến thiên.. BÀI TẬP §2-C2 2.1. Vẽ đồ thị các hàm số sau a) y= 2 x +1. b) y= 3. e) y=. f) y=. x −3 2. 2 x 7 c) y=  3. 5−x 3. 2.2. Vẽ đồ thị các hàm số sau: a) y=|x|+2x. x  2 y  1 c) e) g) y= | x |2. b) y= |3x2|. với x 1 2 x  1  y  1  2 x  1 với x<1 d). với x>2 với x 2. 2.3. Xác định a, b để đồ thị của hàm số y= ax+b, biết: a) Đi qua M(1;3) và N(1;2); b) Đi qua M(2;3) và song song y=3x2 ;. 2 c) Đi qua A( 3 ;2) và B(0;1); d) Đi qua C(1;2) và D(99;2); e) Đi qua P(4;2) và Q(1;1). 2.4. Viết phương trình đường thẳng ứng với các hình sau:. y a). y. b). 3 -. -2 0. x. WWW.ToanCapBa.Net. 1. 0. 3 5 2 2. x.

(29) WWW.ToanCapBa.Net. 2.5. Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị của mỗi hàm số sau: b) y= | −. a) y= |2x3|. 3 x+1| 4. c) y= |2x|2x. 2.6. Tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng sau:. 5 và x = 4. a) y = 3x -2 b) y =-3x+2 và y = 4(x-3). 2.7 Tìm a để ba đường thẳng sau đồng qui: y = 2x; y = -x-3 ; y = ax+5 ; 2.8 xác định a và b sao cho đồ thị hàm số y = ax +b , biết a) đi qua hai diểm (-1;-20) và (3;8).  2x b) đi qua (4;-3) và song song với đường thẳng y= 3 +1. 2.9. vẽ đồ thị các hàm số sau:. a) y = f(x) =. 2x, neáu x 0  - x , neáu x  0. b) y = f(x) =. x  1, neáu x 0  - 2x, neáu x  0. §3 HÀM SỐ BẬC HAI 1. Hàm số bậc hai là hàm số được cho bởi công thức y= ax2 + bx + c với a ; b; c R và a ≠ 0 + Tập xác định D= .  + Đỉnh I (. b 2a ;. .  4a. ) với  = b24ac. b. . 2a. + Trục đối xứng là đường x =. 2. Sự biến thiên a>0  Hàm số nghịch biến trên khoảng. . a<0  Hàm số nghịch biến trên khoảng. b. ( -; 2a ) và đồng biến trên khoảng ( +)  Bảng biến thiên x b. . y. 2a. - +. . . b. . b. . b. 2 a ; (-; 2a ) và đồng biến trên khoảng ( 2 a ; +)  Bảng biến thiên x. b. . + +. 2a. - y. .  4a. -. 3. Cách vẽ đồ thị.   b ;   2 -Xác định đỉnh : I  2a 4a  ;  b  4ac (không có  ' ) -. WWW.ToanCapBa.Net. +.  4a -.

(30) WWW.ToanCapBa.Net b  ax 2  bxI  c ( Sau khi tính xI = 2a  yI = I . Khi đó I(xI ; yI ) b x  2a -Vẽ trục đối xứng - Xác định các điểm đặc biệt (thường là giao điểm của parabol với các trục tọa độ và các điểm đối xứng với chúng qua trục đối xứng) - Căn cứ vào tính đối xứng , bề lõm và hình dáng parabol để nối các điểm đó lại (Đồ thị hàm số bậc hai y = ax2 + bx + c cũng là một parapol) y Ví dụ 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số : y = -x2+4x-3 Tập xác định : R Đỉnh :I(2;1) Trục đối xứng :x = 2 x 2 - Bảng biến thiên : Điểm đặc biệt : 1 y= -x 2+4x-3  x = 0  y = -3 y = 0  x = 1 hoặc x = 3. 1. +. A. O. y= -x 2+4x-3. -. Ví dụ 2: dựa vào ví 1 vẽ đồ thị hàm số y = |-x2+4x-3| Cách vẽ : vẽ y= -x2+4x-3 sau đó lấy đối xứng phần âm qua trục Ox. 2. 5. -2. y 2 x 2  bx  c biết đồ thị của nó. Ví dụ 3: Xác định hàm số bậc hai 1) Có trục đối xứng là x=1 và cắt trục tung tại điểm có tung độ là 4. 2) Có đỉnh là (-1;-2) 3) Có hoành độ đỉnh là 2 và đi qua điểm (1;-2). Giải. b b   b  4 2 a 4 1) Trục đối xứng  4  y (0) c Cắt trục tung tại (0;4) x 1 . 2) Đỉnh. b b  x    1  b 4  2a 4  2  y  b  4ac  16  8c  2  c 0  4a 8. b b  2  b  8 2 a 4 3) Hoành độ đỉnh   2  y (1)  6  c  c 4 . Đồ thị qua điểm (1;-2) x. Tìm tọa độ giao điểm. -. 2. WWW.ToanCapBa.Net. x.

(31) WWW.ToanCapBa.Net Cho hai đồ thị (C1) : y = f(x); (C2) y = g(x).Tọa độ giao điểm của (C1) và (C2) là ngiệm của hệ phương.  y  f ( x)   y  g ( x) trình  . Phương trình f(x) = g(x) (*) được gọi là phương trình hoành độ giao điểm của (C 1) và (C2). Ta có: + Nếu (*) vô nghiệm thì (C1) và (C2) không có giao điểm. + Nếu (*) có n nghiệm thì (C1) và (C2) có n giao điểm. + Nếu (*) có nghiệm kép thì (C1) và (C2) tiếp xúc nhau. BÀI TẬP §3-C2 3.1. Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau a) y= x2 + 2 x 2 b) y= 2x2 + 6 x +3. c) y = x22x. d) y =. 1 f) y =  2 x2+2x-2. x2+2x+3 e) y = x2+2x2 3.2. Xác định parapol y=2x2+bx+c, biết nó: a) Có trục đối xứng x=1 vá cắt trục tung tại điểm (0;4); Đáp số: b= 4, c= 4 b) Có đỉnh I(1;2); Đáp số: b= 4, c= 0 c) Đi qua hai điểm A(0;1) và B(4;0); Đáp số: b= 31/4, c=1 d) Có hoành độ đỉnh là 2 và đi qua điểm M(1;2). Đáp số: b= 8, c= 4 3.3. Xác định parapol y=ax24x+c, biết nó: a) Đi qua hai điểm A(1;2) và B(2;3); Đáp số: a= 3, c= 1 b) Có đỉnh I(2;1); Đáp số: a= 1, c= 5 c) Có hoành độ đỉnh là 3 và đi qua điểm P(2;1); Đáp số: a= 2/3, c= 13/3 d) Có trục đối xứng là đường thẳng x=2 vá cắt trục hoành tại điểm M(3;0). ĐS a=1 3.4. Tìm parapol y = ax2+bx+2 biết rằng parapol đó: a) đi qua hai điểm M(1;5) và N(-2;8) Đáp số: a=2, b=1. 3 b) đi qua điểm A(3;-4) và có trục đối xứng x= 4. 4 2 Đáp số: a= 9 , b= 3. c) có đỉnh I(2;-2). Đáp số: a=1, b=4. 1 d) đi qua điểm B(-1;6), đỉnh có tung độ  4. Đáp số: a=16, b=12 hoặc a=1, b=3. 3.5. Xác định parapol y=a x2+bx+c, biết nó: a) Đi qua ba điểm A(0;1), B(1;1), C(1;1); b) Đi qua điểm D(3;0) và có đỉnh là I(1;4). c) Đi qua A(8;0) và có đỉnh I(6;12) d) Đạt cực tiểu bằng 4 tại x=2 và đi qua A(0;6). 3.6. Viết phương trình của y=ax2+bx+c ứng với các hình sau:. Đáp số: a=1, b=1, c= 1 Đáp số: a=1, b=2, c=3 Đáp số: a=3, b=36, c=96 Đáp số: a=1/2, b=2, c=6. 2. -3. -5. O. -1 -2. -3. -5. O. -1. a). b) -2. -4. 3.7. Tìm toạ độ giao điểm của các hàm số cho sau đây. Trong mỗi trường hợp vẽ đồ thị các hàm số này trên cùng hệ trục toạ độ: a) y = x-1 và y = x2-2x-1 b) y = -x+3 và y = -x2-4x+1 c) y = 2x-5 và y = x2-4x+4 .. -. WWW.ToanCapBa.Net.

(32) WWW.ToanCapBa.Net 3.8. Tìm hàm số y = ax2+bx+c biết rằng hàm số đạt cực tiểu bằng 4 tại x=2 và đồ thị hàm số đi qua điểm A(0;6). 3.9. Tìm hàm số y = ax2+bx+c biết rằng hàm số đạt cực đại bằng 3 tại x=2 và đồ thị hàm số đi qua điểm A(0;1).. 2 2 8 x  x2 3 3 3.10. Vẽ đồ thị hàm số y= 3.11. Vẽ đồ thị hàm số y=x22|x|+1 BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG 1.Tìm tập xác định của hàm số :. 4 a/ y =. 2 x  x 4 3x 2  x. b/ y =. x 2  2x  3. 2. c/ y =. x  x  x 1 x  2  3  2x x1. e/ y = 2. Xét sự biến thiên của hàm số. a/ y = x2 + 4x  1 trên (; 2). x 1 b/ y = x  1 1. 1 x  1 x x 2 5 x 2x  1. d/ y =. xx  4. f/ y =. trên (1; +). 1. c/ y = x  1 d/ y = 3  2x e/ y = 3. Xét tính chẵn, lẻ của hàm số :. x4  x2  2 x2  1 a/ y = c/ y = 3  x  3  x x 1  x  1 e/ y =. x 2. x 2. b/ y =. d/ y = x(x2 + 2|x|) 3. x x. x 1  x  1. 2 f/ y = x  1. 1 4.Cho hàm số y = x  1 a/ Tìm tập xác định của hàm số.. b/ CMR hàm số giảm trên tập xác định.. 2. 5.Cho hàm số : y = x x a/ Khảo sát tính chẵn lẻ. b/ Khảo sát tính đơn điệu c/ Vẽ đồ thị hàm số trên 6.Cho hàm số y = 5  x  5  x a/ Tìm tập xác định của hàm số. b/ Khảo sát tính chẵn lẻ. 7.Cho Parabol (P) : y = ax2 + bx + c a/ Xác định a, b, c biết (P) qua A(0; 2) và có đỉnh S(1; 1) b/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (P) với a, b, c tìm được. c/ Gọi (d) là đường thẳng có phương trình : y = 2x + m. Định m để (d) tiếp xúc với (P). Tìm tọa độ tiếp điểm. 8.Cho y = x(|x|  1) a/ Xác định tính chẵn lẻ. b/ Vẽ đồ thị hàm số. 2. 9.Cho hàm số y = x  4 x  m Định m để hàm số xác định trên toàn trục số.. -. WWW.ToanCapBa.Net.

(33) WWW.ToanCapBa.Net 10.Cho (P) : y = x2  3x  4 và (d) : y = 2x + m. Định m để (P) và (d) : Có 2 điểm chung phân biệt, tiếp xúc và không cắt nhau.. -. WWW.ToanCapBa.Net.

(34) WWW.ToanCapBa.Net Chương III PHƯƠNG TRÌNH-HỆ PHƯƠNG TRÌNH §1 Đại cương về phương trình I. Khái niệm phương trình 1. Định nghĩa:(một ẩn) Cho hai h àm số : y = f(x) và y = g(x) lần lượt có tập xác định Df và Dg . Đặt D = Df Dg , mệnh đề chứa biến x D có dạng : f(x) = g(x) được gọi là phương trình một ẩn , x gọi là ẩn số của phương trình.  D : tập xác định của phương trình.  Nếu tồn tại x0 D sao cho f(x0) = g(x0) thì x0 được gọi là một nghiệm của phương trình .  Tập hợp các x0 như trên gọi là tập nghiệm của phương trình.  Giải phương trình là tìm tập nghiệm của nó.  Nếu tập nghiệm là tập rỗng, ta nói phương trình vô nghiệm. Ví dụ : Cho hai hàm số f(x) = √ x và g(x)= √ − x . Khi đó : D f ={ x ≥ 0∨x ∈ R }. Dg {x 0 | x  R}. và. √x. =. √− x. được gọi là phương trình theo ẩn số x.. 2. Điều kiện của một phương trình là: điều kiện xác định của phương trình Ví dụ: Tìm điều kiện của phương trình. 3  x2 . x 2 x. 1  x 3 b) x  1. a) c) x2= x 3. Phương trình nhiều ẩn Phương trình có từ hai ẩn trở lên gọi là phương trình nhiều ẩn Ví dụ: 2x+3y-z = 2; x2+3xy-2z = 0 Đối với phương nhiều ẩn các khái niệm về tập nghiệm ,phương trình tương tương đương ,phương trình hệ quả,… cũng tương đương với phương trình một ẩn. 2. 4. Phương trình chứa tham số Phương trình f(x) = g(x) có chứa những chữ cái ngoài các ẩn được gọi là phương trình chứa tham số. Ví dụ : (m+1)x + 2 = 0 chứa tham số m ax+2 = | x-1| chứa tham số a. Việc tìm tập nghiệm của phương trình chứa tham số gọi là giải và biện luận phương trình đó. II. Phương trình tương đương , phép biến đổi tương đương 1. Phương trình tương đương Hai phương trình (cùng ẩn) gọi là tương đương nếu tập nghiệm của chúng bằng nhau (có thể là rỗng). Nếu cùng tập xác định D thì gọi là tương đương trên D. Nếu hai phương trình: f1(x) = g1(x) và f2(x) = g2(x) tương đương, ta viết : f1(x) = g1(x) ⇔ f2(x) = g2(x). Ví dụ 1: phương trình 2x-5=0 và 3x. 15 5 =0 tương đương nhau vì cùng có nghiệm duy nhất x= . 2 2. Ví dụ 2: với x>0 thì hai phương trình x2=1 và x=1 tương đương nhau. 2. Phép biến đổi tương đương: phép biến đổi một phương trình xác định trên D thành một phương trình tương đương gọi là phép biến đổi tương đương trên D. (ta dùng dấu "" để chỉ sự tương đương của các phương trình) Ví dụ: 2x-5=0  3x. 15 =0 2. -. WWW.ToanCapBa.Net.

(35) WWW.ToanCapBa.Net * Các phép biến đổi tương đương của phương trình: Định lí : Cho phương trình f(x) = g(x) có tập xác định D. nếu h(x) xác định trên D thì phương trình:. f ( x)=g ( x)⇔ f ( x)+h( x)=g( x)+h(x ) f ( x)=g ( x)⇔ f ( x)h(x )=g(x )h( x) nếu h( x )≠ 0 với mọi x ∈ D Hệ quả : Nếu chuyển một biểu thức từ một vế của một phương trình sang vế kia và đổi dấu của nó thì ta được phương trình mới tương đương với phương trình đã cho. * Chú ý: Nếu 2 vế phương trình luôn cùng dấu thì khi bình phương hai vế của nó, ta được phương trình tương đương. Ví dụ 1: 3. Phương trình hệ quả a) Định nghĩa: f1(x)=g1(x) gọi là phương trình hệ quả của phương trình f(x)=g(x) nếu tập nghiệm của nó chứa tập nghiệm của phương trình f(x)=g(x). Khi đó ta viết: f(x)=g(x) f1(x)=g1(x) b) Phép biến đổi cho phương trình hệ quả : Khi bình phương hai vế của một phương trình ta đi đến phương trình hệ quả. * Chú ý: Phương trình hệ quả có thể có thêm nghiệm không phải là nghiệm của phương trình ban đầu. Ta gọi đó là nghiệm ngoại lai. Khi đó ta phải thử lại các nghiệm để loại bỏ các nghiệm ngoại lai.. x  2 x  2 3x  7   2 Ví dụ 1: Giải phương trình x  2 x  2 x  4. (1) Điều kiện pt(1) là x≠2 và x≠2 (1)  (x+2)2+(x2)2= 3x+7 Hoặc: Với điều kiện x≠2 và x≠2 thì (1)(x+2)2+(x2)2= 3x+7 (???) Ví dụ 2: a) |x2|=x+1  (x2)2=(x+1)2 b). x  1 =x  x1= x2.. Ví dụ 3: Giải phương trình x  2  x (3) Giải Điều kiện x≥ 0. Bình phương hai vế phương trình (3)  x24x+4 = x x25x+4=0 (3') Phương trình (3') có nghiệm x=1 hoặc x=4 Thử lại vào phương trình (3), ta thấy x=1 không phải là nghiệm của (3) và x=4 là nghiệm. Vậy pt(3) có ngiệm duy nhất x=4. BÀI TẬP ÁP DỤNG 1/ Tìm điều kiện của các phương trình. 2x  3 x 2 a) x  4 1 2x 1  x c) x 2  x 3 e) x  1. d). x4  1 x x  2 b) x2 3 x 2  x  1 2 2 x 1 2x  3  x 1 2 f) x  4 Đáp số c) x≥1/2 và x≠0. a) x≤ 3, x≠ ± 2 b) Không có giá trị x thỏa f) x≥1 và x≠2 2/ Chứng tỏ các phương trình sau vô nghiệm. 3x  1  x 3 a)  x  2. b). d)  x  Re) x>1. x  4  x 3  4  x. 3) Giải các phương trình sau a). x  1  x 3  x  1. b). -. x  5  x 2  x  5. WWW.ToanCapBa.Net.

(36) WWW.ToanCapBa.Net 2x2 8  x 1 d) x  1. 2 x 1 x 3  x 3 c) x  3 ĐS: a) x=3 4) Giải các phương trình sau a). b) Vô nghiệm c) Vô nghiệm. x 1  x  x 1  2 2. c) x . b) x . d) x=2. 3 x  x  3 3. 2. 2  x 3  x  4. d) x   x  1 4   x  1. 2. x 2  3x  4  x4 x4 f) 4 x2  3 2x  3   x 1 x 1 h). 3x  1 4  x 1 e) x  1 3x 2  x  2  3x  2 3 x  2 g). Đáp số: a) x=2 b) x=3 c) VNo d) x=2 e) VNo f) x=0 và x=2 g) x=4/3 h) x=2 5) Cho phương trình (x+1)2 =0 (1) và ax2(2a+1)x+a=0 (2) Tìm a để (1) tương đương (2) HD Giả sử (1)(2) thì x= 1 của (1) là nghiệm của 2. Thế x=1 và (2) ta tìm được a=1/4. Khi a=1/4 thế vào (2)  (x+1)2=0 Vậy (1)  (2) 6) Tìm m để các cặp pt sau tương đương. mx  3m  1 0 a) x+2=0 và x  3 b) x29=0 và 2x2+(m5)x3(m+1)=0 c) 3x2=0 và (m+3)xm+4 d) x+2=0 và m(x2+3x+2)+ m2x+2=0 Đáp số: a) m=1. b) m=5 c) m=18. d) m=1. BÀI TẬP (Đại cương về phương trình) 1/ Tìm điều kiện xác định của mỗi phương trình sau rồi suy ra tập nghiệm của nĩ. a) x   x c). 3 x x  x  3 x 3. b)3x . x  2  2 x 6. d )x  x  1   x. 2/ Giải các phương trình sau. a ) x  x  1 2  x  1 x 3 c)  2 x 5 x 5. b) x  x  1 0,5  x  1 x 2 d)  2 x 5 x 5. 3/ Giải các phương trình sau. a) x . 1 2x  1  x 1 x 1. c) ( x 2  3 x  2) x  3 0. b) x . 1 2x  3  x 2 x 2. d ) ( x 2  x  2) x  1 0. -. WWW.ToanCapBa.Net.

(37) WWW.ToanCapBa.Net 4/ Giải các phương trình sau bằng cch bình phương hai vế. a) x  3  9  2 x c) 2 | x  1 | x  2. b) x  1  x  3 d ) | x  2 |2 x  1. 5/ Tìm nghiệm nguyên của mỗi phương trình sau bằng cách xét điều kiện a) 4  x - 2 =. x -x. b) 3 x  2 =. 2 x + 2 2. 6/ Giải các phương trình sau : a/. x  1 = 1 x. b/ x +. x 3 =3+. c/. x 4 +1=. d/ x +. x =. x 2 e/. 4 x. 1. x 2 =. x 2. 3. x 3. x 2. x2. x1. f/. x 1 =. x 1. b/. x  1 (x2  x  6) = 0. 2. x 3 =. g/. 3 x. 7/ Giải các phương trình sau :. 1 x 1 a/ x + x  2 = x  2 x2  x  2 x 1 = 0 c/ 8/ Giải các phương trình : a/ |x  1| = x + 2 d/ |x  3| = 3x  1. x 1 g/. x. x 1 =. x. x2  9 x 3 1 7  2x d/ 1 + x  3 = x  3 e/ x  2 = x  2 b/ |x + 2| = x  3. c/ 2 |x  3| = x + 1. 1 x 1 x x x e/ = x 2 2 x h/. x 3 =. x. x f/. x 2 =. x 2. x 3. BÀI TẬP THÊM Bài 1: Giải các phương trình sau a). x =  x. b). x  3 = 3  x +1. x e). x 1 x. c) x+ x  2 = 2+ x - 2. . . 3 x 1 1. f). x 1. x 1.. d). x  1 (x2-x-2) = 0. d) x+ x  2 = 1+ x  2 Bài 2: giải các phương trình sau. a). x. 1 2x  1  x 1 x 1. x. 1 2x  3 x  x 2 x 2 b) c). e). x 2 x2  4. x  3 (x2-3x+2) = 0. f). x 1. . . 1 x 2 x 3 x 1. Bài 3: Giải các phương trình sau a). x  2 x 1. b). -. x 1 x  2. WWW.ToanCapBa.Net. . x 2.  x 1 ..

(38) WWW.ToanCapBa.Net c) d). 2 x  1 x  2. e). x  3  9  2x. x  2 2 x  1. f). x  1 x  3. Bài 4: Giải các phương trình sau. x a). x 1 x 2. b). x 1. . x. x. . x 1. . 2 x. c). x 1. x 2 x 1. . x 2. d). x 2 x 1 x x 2 .. §2 PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI I. Phương trình bậc nhất, phương trình bậc hai 1. Phương trình bậc nhất Giải và biện luận phương trình dạng ax+b = 0. b  a ≠ 0: Phương trình có nghiệm duy nhất x=  a.  a = 0 và b ≠ 0: Phương trình vô nghiệm  a = 0 và b=0: Phương trình nghiệm đúng với mọi x. (vô số nghiệm). * Chú ý: + Trước khi giải và biện luận phương trình bậc nhất ta phải đưa phương trình về dạng ax+b = 0 . + khi biện luận a=0 thì thay giá trị m vừa tìm được vào b . + Khi a 0 thì phương trình ax+b = 0 mới được gọi là phương trình bậc nhất một ẩn. Ví dụ 1. Giải và biện luận phương trình : m(x - m ) = x + m - 2 (1) Giải Phương trình (1)  (m - 1)x = m2 + m – 2 (1a) Ta xét các trường hợp sau đây : + Khi (m-1) ≠ 0  m ≠ 1 nên phương trình (1a) có nghiệm duy nhất. m2  m  2 m  1 = m – 2 ;nên pt(1) có nghiệm duy nhất x= +) Khi (m – 1) = 0  m = 1 . phương trình (1a) trở thành 0x = 0; phương trình nghiệm đúng với mọi x  R; nên pt(1) đúng với mọi x  R. Kết luận :. m ≠ 1 : nghiệm là x= m-2 (Tập nghiệm là S = {m - 2}) m = 1 : đúng  x R (Tập nghiệm là S = R). Ví dụ 2: Giải và biện luận phương trình: m(x-1) = 2x+1 (2) Giải Ta có (2)  mx-m = 2x+1  (m-2)x = m+1 (2a) (có dạng ax+b =0) Biện luận:. x. m 1 m 2. + nếu m-2 0 m 2 thì (2a) có nghiệm duy nhất + nếu m-2= 0 m = 2 thì (2a) trở thành 0x=3; pt này vô nghiệm, nên (2) vô nghiệm. Kết luận: m 2 thì (2) có nghiệm m=2 thì (2) vô nghiệm.. x. m 1 m 2 -. WWW.ToanCapBa.Net.

(39) WWW.ToanCapBa.Net m2x+2 = 2m-2 (3) Giải Ta có: (3) m2x-x = 2m-2  (m2-1)x = 2(m-1) (3a) Biện luận: + Nếu m2-1 0  m  1 thì (3a) có nghiệm duy nhất. Ví dụ 3: Giải và biện luận phương trình. 2(m  1) 2  2 m  1 m  1 ; nên (3) có nghiệm duy nhất. + Nếu m2-1=0  m= 1 x. - với m=1 :(3a) có dạng 0x= 0, (3a) đúng với mọi x  R (phương trình có vô số nghiệm), nên (3) có vô số nghiệm. - với m=-1: (3a) có dạng 0x=-4; (3a)vô nghiệm, nên (3) vô nghiệm. Kết luận:. x. 2 m 1. + m≠1 và m≠ -1 thì (3) có nghiệm duy nhất + m =1 thì (3) có vô số nghiệm + m= -1 thì (3) vô nghiệm. Ví dụ 4: Giải và biện luận phương trình sau theo tham số m :. mx  m  3 1(*) x 1 Giải Với x -1 thì (*)  mx-m-3 = x+1.  (m-1)x = m+4 (**) Biện luận (**) với x -1. x. + Nếu m 1 thì (**) có nghiệm + Nếu m=1: (**) 0x=4, vô nghiệm Kết luận :. m4 m4 3 1  1  m  m 1 m 1 2. 3 m4 m 1 và m  2 thì (*) có nghiệm x= m  1 1 m  3   2 thì (*) vô nghiệm . Ví dụ 5:giải và biện luận phương trình theo tham số m:. mx  1  3x  m  2. (1). Giải.  mx  1 3 x  m  2 (2)  mx  1 -3x - m  2 (3) Ta có (1)  + giải và biện luận (2) (2) (m-3)x= m-3 . nếu m 3 thì (2) có nghịêm x=1 . nếu m=3 thì (2)0x = 0 =>(2) có vô số nghiệm + giải và biện luận (3) (3)(m-3)x=-m+3.  m 1 . nếu m -3 thì (3) có nghiệm x= m  3 . nếu m = -3 thì (3) 0x=4, vô nghiệm Kết luận:.  m 1 - với m 3 và m -3 : (1) có hai nghiệm x1=1 và x2 = m  3 -. WWW.ToanCapBa.Net.

(40) WWW.ToanCapBa.Net - với m=3: (1) có vô số nghiệm - với m=-3:(1) có nghiệm x=1(vì thỏa phương trình (2) ) 2. Phương trình bậc hai (nhắc lại cách giải phương trình bậc hai) Giải và biện luận phương trình dạng ax2+bx+c = 0  a= 0 :Trở về giải và biện luận phương trình bx + c = 0  a ≠ 0 . Lập = b2  4ac (hoặc ’=b’2-ac) Nếu  > 0: phương trình có hai nghiệm phân biệt. b  b  2a 2a x= v x= b Nếu  = 0 : phương trình có nghiệm kép : x = 2a Nếu  < 0 : phương trình vô nghiệm Ví dụ 1: Giải và biện luận phương trình mx2-2(m+1)x+m+1 = 0 Giải Phương trình cho đã có dạng phương trình đã học. Biện luận:. 1. . Nếu m = 0 ( thay m = 0 vào phương trình ta được -2x+1= 0 => x= 2 . Nếu m 0 , tính ' = m+1, khi đó : + nếu ' < 0  m < -1  pt vô nghiệm + nếu ' = 0  m = -1  pt trình có nghiệm kép x1=x2 = 0. m 1  m 1 m + nếu ' > 0  m > -1  pt có hai nghiệm phân biệt x1,2 =. * Kết luận: Ví dụ 2: Định m để phương trình mx2-2(m-2)x+m-3 = 0 có nghiệm 3. Định lí Viét Nếu phương trình bậc hai ax2+bx+c = 0 (a 0) có hai nghiệm x1, x2 thì tổng (S) và tích (P) của hai nghiệm đó là:. . b a. c P = x1.x1 = a. S = x1+x2 = Ngược lại, nếu hai số u, v có S=u+v; P=u.v thì u, v là nghiệm của phương trình x2-Sx+P = 0. Ví dụ 1: tìm hai số biết S =19 , P = 84 Giải Hai số cần tìm là nghiệm của phương trình bậc hai x 2-19x+84 = 0 ,pt này có hai nghiệm.  x1 7  x1 7  x 12  x 12  2 hoặc  2. vậy hai số cần tìm là 7 và 12. * Chú ý: điều kiện để phương trình x -Sx+p =0 có nghiệm là S2 4P . Đây cũng là điều kiện để tồn tại hai số có tổng là S, tích P. * Ứng dụng 2. 2. 2. x 1+ x 2 ¿ − 2 x 1 x 2=S −2 P 2 2 x 1 + x 2=¿ 1 1 S + = x1 x2 P x 1+ x 2 ¿3 − 3 x1 x 2( x 1 + x 2)=S 3 − 3 PS x31 + x 32=¿ 2. 2 2 2 2 x14  x24  x1  x2   2 x1 x2 =(S22P)22P2. -. WWW.ToanCapBa.Net.

(41) WWW.ToanCapBa.Net Ví dụ 1: Cho phương trình x24x+m1= 0. Xác định m để phương trình có hai nghiệm =10. Điều kiện pt có nghiệm '≥0  5m≥0  m≤5  S22P = 10  m =4. Ví dụ 2: Xác định m để phương trình x2-4x+m-1= 0 có hai nghiệm x1, x2 thỏa xệ thức. x13  x23 40 Giải Phương trình có nghiệm   ' 0  m 5 3 3 Theo giả thiết x1  x2 40 S3-3PS=40  64-12(m-1)=40  m= 4 (nhận) * Xét dấu các nghiệm phương trình bậc hai Giả sử phương trình bậc hai có hai nghiệm x1,x2 thì: x1< 0 < x2  P < 0 (hai nghiệm trái dấu). ¿ P>0 Δ≥0 x1 x2 < 0  ( hai cùng âm) S< 0 ¿{{ ¿ ¿ P>0 Δ≥ 0 0 < x1 x2  (hai cùng dương) S> 0 ¿{{ ¿. Ví duï: cho phöông trình x2+5x+3m-1 = 0 (1) a) Định m để phương trình có hai nghiệm trái dấu. b) Định m để phương trình có hai nghiệm âm phân biệt. Giaûi a) pt(1) coù hai ngheäm traùi daáu P<0. c < 0 ⇔ 3 m− 1< 0 a. m<. 1 3. b) để phương trình có hai nghiệm âm phân biệt . ¿. 1 3 29 1 <m< 29   m< 12 3 12 ¿{ ¿. ¿ ¿ P>0 3 m−1> 0 Δ >0 25 −12 m+ 4> 0  S <0 − 5<0 ¿{{ ¿{{ ¿ ¿. m>. vaäy khi. 29 1 <m< 12 3. thì pt(1) coù hai nghieäm aâm phaân bieät.. II. Phương trình quy về phương trình bậc nhất, bậc hai 1. Phương trình trùng phương Phương trình dạng ax4 + bx2 + c =0 Cách giải: + đặt t=x2, đk: t≥ 0. + Giải phương trình: at2 + bt + c=0 + kết hợp điều kiện  x. -. WWW.ToanCapBa.Net. x12  x22.

(42) WWW.ToanCapBa.Net Ví dụ: Giải phương trình x48x29 = 0 Ñaët y = x2 , y 0. Khi đó:. y=-1 (*) y2-8y-9 = 0 . (loại) ¿ y =9 ¿ ¿ ¿ ¿. với y = 9  x2 = 9  x =. Ví dụ 2: Cho phương trình x4+(1-2m)x2+m2-1 = 0. Định m để : a) Phöông trình voâ nghieäm. b) Phương trình có đúng một nghiệm. c) Phương trình có đúng 2 nghiệm phân biệt. d) Phương trình có đúng 3 nghiệm phân biệt. e) Phương trình có đúng 4 nghiệm phân biệt.. -. WWW.ToanCapBa.Net. ±3 ..

(43) WWW.ToanCapBa.Net 2. Phương trình chứa giá trị tuyệt đối Cách giải: Sử dụng định nghĩa hoặc bình phương hai vế để khử (bỏ) dấu giá trị tuyệt đối. Các dạng cơ bản Dạng 1: |f(x)| = c (với c  R) Nếu c<0 phương trình vô nghiệm Nếu v≥0 thì Ví dụ: a). 3x  5 3.  f ( x) c  f ( x)  c |f(x)| = c   b).  x  3  5. Dạng 2: |f( x )|= |g( x )|. Sử dụng phép biến đổi tương đương.  f ( x ) g ( x )  f ( x )  g ( x) Cách 1: |f( x )|= |g( x )| . Cách 2: |f( x )|= |g( x )| [f(x)]2 = [g(x)]2 (bình phương hai vế) Ví dụ: Giải phương trình |2x+5|=|3x2| Giải. Cách 1:.  x 7  2 x  5 3x  2   2 x  5  (3x  2)   x  3 5  |2x+5|=|3x2| . Vậy pt đã cho có hai nghiệm x=7 và x= 3/5 Dạng 3: |f( x )|= g( x ) Cách 1: : dùng phép biến đổi tương đương.  g ( x ) 0   2 2  f ( x)  g ( x).  g ( x ) 0    f ( x)  g ( x)    f ( x )  g ( x). |f( x )|= g( x )  Cách 2: Dùng định nghĩa để bỏ giá trị tuyệt đối + Nếu f( x )≥0 thì phương trình trở thành f( x )=g( x ) + Nếu f( x )<0 thì phương trình trở thành f( x )=g( x ). Ví dụ 1: Giải phương trình | x 3|= 2 x +1. | x 3|=. 1   x  2   x  3 2 x  1   ( x  3) 2 (2 x  1) 2    x  3  2 x  1   2 x +1 . 2. Vậy nghiệm của phương trình là x = 3 Ví dụ 2: Giải pt x2-5 | x-1| -1 = 0 (1) Giải * Nếu x-1  0  x  1 thì :.  x 1 (nhaän)  x 4 (nhaän) (1)  x2-5x+5-1 = 0  (I). * Nếu x-1 < 0 x < 1 thì:.  x 1 (loại)  x -6 (nhaän) (1) x2+5x-6 = 0  (II) S = (I)  (II) = { -6;1;4 }.. Chú ý: Đưa phương trình về dạng cơ bản. -. WWW.ToanCapBa.Net.  x  4 (loai)  2 (nhan) x 3 .

(44) WWW.ToanCapBa.Net 3. Phương trình chứa ẩn dưới dấu căn (phương trình vô tỉ) Cách giải: - Bình phương hai vế + đặt điều kiện  để làm mất căn - Đặt ẩn phụ Các dạng cơ bản Dạng 1:. f ( x)  g ( x). , ta sử dụng phép biến đổi tương đương.  f ( x ) 0 f ( x)  g ( x)    f ( x )  g ( x). (có thể chọn điều kiện g(x)≥0). Ví dụ: Dạng 2:. f ( x) g ( x ). , ta sử dụng phép biến đổi tương đương.  g ( x ) 0 f ( x) g ( x)   2  f ( x ) g ( x) Ví dụ: Giải phương trình 2 x  7 x  4 . 2x  7 x  4.  x  4 0  x 4    2 2 x  7 ( x  4) 2   x  10 x  9 0  .  x 4   x 1 (loại)  x - 9 . vậy nghiệm của phương trình là x = 9.. Dạng 3:. f ( x) c. (c ) Nếu c<0 thì phương trình vô nghiệm Nếu c≥0 thì. f ( x ) c. Ví dụ: Giải phương trình.  f(x) = c2. 3 x  5 3. f ( x)  g ( x) 0  f ( x)  g ( x) 0. Dạng 4: * Chú ý: Biến đổi phương trình đã cho về dạng cơ bản (nếu được) BÀI TẬP ÁP DỤNG §2 C3 1/ Giải các phương trình a/ x4  4x2 + 3 = 0. b/ x4 + 10x2  9 = 0. c/ x4  3x2  4 = 0. d/ x4  x2  12 = 0. e/ x4  x2 + 3 = 0 f/ (1  x2)(1 + x2) + 3 = 0 2/ Giải và biện luận các phương trình sau a) (m+2)(x-2) + 4 = m2 b) (x+2)(m+3) + 9 = m2 c) (1-m3)x+1+ m + m2 = 0 d) (m+1)x + m2-2m + 2 = (1-m2)x -x e) x+(m-1)2 -2mx = (1-m)2 + mx f) x +m2x+2 = m + 4 3/ Cho phương trình (m2 - 3m)x + m2 - 4m +3 = 0 , định m để : a) Phương trình có nghiệm duy nhất. b) Phương có nghiệm duy nhất x = 2. c) Phương trình vô nghiệm. d) Phương trình có vô số nghiệm. 4/ Cho phương trình (-x+m)m + 2m +1 = (m+1)2 - m2x ,định m để : a) Phương trình có nghiệm duy nhất. b) Phương trình có vô số nghiệm.. -. WWW.ToanCapBa.Net.

(45) WWW.ToanCapBa.Net c) Phương trình vô nghiệm. 5/ Cho phương trình mx+m2+1 = (x+2)m ,định m để : a) Phương trình vô nghiệm. b) Phương trình có nghiệm duy nhất. c) Phương trình có vô số nghiệm. 6/ Tìm hai số có: a) Tổng là 19, tích là 84 b) Tổng là 5, tích là -24 c) Tổng là -10, tích là 16. 7/ Cho phương trình x2+(2m3)x+m22m=0 a) Xác định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt. b) Với giá trị nào của m thì phương trình có hai nghiệm và tích của chúng bằng 8? Tìm các nghiệm trong trường hợp đó.. x1,2 . 7 7 2. Đáp số: a) m<9/4; b) m=2; 8/ Cho phương trình mx2+(m23)x+m = 0 a) Xác định m để phương trình có nghiệm kép và tìm nghiệm kép đó. b) Với giá trị nào của m thì phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn. 13 x1  x2  4 Đáp số: a) m= ± 1; m= ± 3; b) m=4; m=3/4 (câu b khi tìm m xong thế vào  kiểm tra lại) 9/ Cho phương trình x2+(2m-3)x+m2-2m = 0 a) Xác định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt. b) Xác định m để phương trình vô nghiệm. c) Xác định m để phương trình kép. d) Với giá trị của m thì phương trình có hai nghiệm và tích của chúng bằng 8? Tìm các nghiệm trong trường hợp đó. Đáp số: a) m<. 9 4. 9 4. b) m>. 9 4. c) m=. d) m= -2;. x 1,2=. 7 ± √ 17 2. 10/ Cho phương trình mx2+(m2-3)x+m = 0 a) Xác định m để phương trình có nghiệm kép và tìm nghiệm kép đó. b) Với giá trị nào của m thì phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn. x 1+ x 2=. 14 . 3. Đáp số: a) m=1 hoặc m= -3 x= 1; m= -1 hoặc m=3 x= -1 11/ Cho pt: x2 – 2(m – 1)x + m2 -3m + 4 = 0 (x2 – 2(m – 1)x - 4m + 8 = 0) a. Tìm m để pt có hai nghiệm phân biệt. b. Tìm m để pt có nghiệm kép. Tính nghiệm kép đó. c. Tìm m để pt có hai nghiệm x1 và x2 sao cho: i) x1 + x2 = 4 ii) x1. x2 = 8 Tính các nghiệm trong mỗi trường hợp đó. 12/ Cho pt: x2 – (m + 1)x + m -3 = 0 a. CMR pt luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m. b. Tìm m để pt có hai nghiệm trái dấu c. Tìm m để pt có hai nghiệm dương phân biệt 13/ Cho phương trình: (m + 1)x2 – 2(m –1)x + m –2 = 0 ( m là tham số) a. Tìm m để pt có hai nghiệm phân biệt. b. Tìm m để pt có một nghiệm bằng 3. Tính nghiệm kia. c. Tìm m để pt có hai nghiệm x1 và x2 sao cho: 4(x1 + x2 ) = 7x1.x2 . (ĐS: m = 1) 14/ a. Cho phương trình: x2 + (m –1)x + m + 6 = 0 ( m là tham số).Tìm m để pt có 2. 2. hai nghiệm x1 và x2 sao cho: x1  x2 10 (ĐS: m = -3) b. Cho phương trình: x2 – 2mx + 3m-2 = 0 ( m là tham số).Tìm m để pt có hai nghiệm x1 và x2 sao cho:. x12  x22  x1 x2  4. (ĐS: m = 2 v m = ¼). -. WWW.ToanCapBa.Net.

(46) WWW.ToanCapBa.Net c. Cho phương trình: x2 - 3x + m -2 = 0 ( m là tham số).Tìm m để pt có hai. x 3  x3 9. 2 nghiệm x1 và x2 sao cho: 1 (ĐS: m = 4) 15/ Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm x1 và x2 thỏa: x1 = 3x2 : a. x2 - 2(m –2)x + 4m + 8 = 0 (ĐS: m = 10 v m = -2/3) b. mx2 - 2(m + 3)x + m - 2 = 0 (ĐS: m = -1 v m = 27) 16/ Giải các phương trình sau a) |2x3|= x5 b) |2x+5| = |3x2| c) |4x+1| = x2 + 2x4 d) |x3|=|2x1| e) |3x+2|=x+1 f) |3x5|= 2x2+x3. | 3 x  1| | x  3 | g)* x  2. | 5x  2 | | x  2 | h)* x  3 Đáp số:a) Vô nghiệm b) x=7; x=3/5 c)) x 1  6; x  3  2 3 e) x= 1/2;3/4 f) x=  1  5 g) x= 5; x=1; x= 2 2  1 17/ Giải các phương trình sau a)  3x - 4 = x + 2 c)  5x + 1 = 2x - 3 e) x2 + 2 x - 3 = 0. x2  4x  2 . g). h) x 2  6;  3  17 b) x + 3 = x2 – 4x +3 d) x2 - 4x - 5 = 2x2 – 3x -5 f) x2 -3 x - 2 + 2 = 0. 5 x  16 3. 3x x 2  x 1 x. k) m)  x + 1 + x - 2 = 3 18/ Giải các phương trình sau a) 2 x . 4 x  9 5. l). b). 3 x  4 x  3. g). 3x 2  4 x  4  2 x  5. Đáp số:a). 6 2 2. x 2  7 x  10 3 x  1. 2 e) 1  x  2 x  3 2 x. d). x. 5x 1 3 h) x 1 1 2x  1   2 x x 1 x  x x2  2x  1 . b) x=1. d) x= (9  29) / 2 g) x= 1; 3. c). 2x  3  x  3. f). 2 x 2  3 x  7 x  2. c) Vô nghiệm e) (1  7) / 2. f) Vô nghiệm. 19/ Giải các phương trình sau : a/ |3x + 4| = |x  2|. b/ |3x2  2| = |6  x2|. c/ |3x  1| = |2x + 3|. d/ |x2  2x| = |2x2  x  2|. e/ |x2  2x| = |x2  5x + 6|. f/ |x + 3| = 2x + 1. 2. g/ |x  2| = 3x  x  2. h/ |x2  5x + 4| = x + 4. i/ |2x2  3x  5| = 5x + 5. j/ |x2  4x + 5| = 4x  17. 20/ Giải các phương trình chứa căn thức : a/. 3x 2  9 x  1 = x  2. c/. 3x  2 = 2x  1. e/. x 2  3x  1 = 2x  7. 2 f/ 2 1  x = x  2. g/. 4  6x  x 2 = x + 4. h/. b/ d/. x 2  3x  2 = 2(x  1). 2x  7 = x  4. 2 x  8 = 3x + 4 -. WWW.ToanCapBa.Net. d) x=2; 4/3.

(47) WWW.ToanCapBa.Net i/ 1  4x  9 = 3x 21/ Giải các phương trình sau a). j/ x . 3 x  13  x  1. c) x . 2 x  5 4. 2x  5 = 4 b.. 5 x  10 8  x. d.. 2 x 2  4 x  5 x  2 f). 3x 2  4 x  4  2 x  5. g) x  3  x  8 5. h). 3 x  12 . 2 2 k) x  x  3  x  x  9 0 22/ Giải các phương trình :. l). 2 x 2  8 x  12  x 2  4 x  6. e). a/. 2 x 2  5 x  6 x  4. x 2  3x  2 = x2  3x  4. 2 b/ x2  6x + 9 = 4 x  6 x  6. 2 c/ 4 x  7 x  1 = x2 + 7x + 4. e/ x2 +. x2  x  9 = x + 3. 5 x  6 2. d/ x2 + x + f/.  x2  x  1 = 4. 6 x 2  12x  7 = x2  2x. 2 g/ x2 + 11 = 7 x  1. h/ x2  4x  6 =. 2 x 2  8x  12. 2 i/ (x + 1)(x + 4) = 3 x  5x  2 2. j/ x2  3x  13 = x  3x  7 23/ Giải và biện luận các phương trình sau a) |4x-3m|=2x+m c). e) |2x+m| = |x-2m+2| g). b) |3x-m| = |2x+m+1|. (m+3) x +2(3 m+1) =(2 m−1)x +2 x +1. d) |3x+2m| = x-m. f) mx2+(2m-1)x+m-2 = 0. √ 4 x − 2 =m−1 2 x −1. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 1 ẨN 1/ Giải và biện luận các phương trình sau theo tham số m : a/ 2mx + 3 = m  x b/ (m  1)(x + 2) + 1 = m2 2 3 2 c/ (m  1)x = m + 1 d/ (m + m)x = m2  1 2 2 e/ m x + 3mx + 1 = m  2x f/ m2(x + 1) = x + m g/ (2m2 + 3)x  4m = x + 1 h/ m2(1  x) = x + 3m 2 2 i/ m (x  1) + 3mx = (m + 3)x  1 j/ (m + 1)2x = (2x + 1)m +5x + 2 2/ Giải và biện luận các phương trình sau theo tham số a, b : a/ (a  2)(x  1) = a2 b/ a(x + 2) = a(a + x + 1) c/ ax + b3 = bx + a3 d/ a(ax + 2b2)  a2 = b2(x + a) 7. Giải và biện luận các phương trình sau theo tham số m :. mx  m  1 x2 a/ =3 2 c/ x  1 = m x m x 1 e/ x  1 + x  m = 2. 2( m  4) b/ (m  2)  x  1 = 0 m 1 m d/ x  1 = x  2 x m x 3 f/ x  1 + x = 2 -. WWW.ToanCapBa.Net.

(48) WWW.ToanCapBa.Net x m x2 g/ x  1 = x  1 x m x 3 i/ x  1 = x  2. mx  m  2 x m h/ =2 x m x 3 j/ x  2 + x = 2. 3/ Giải và biện luận các phương trình sau theo tham số m : a/ |x + m| = |x  m + 2| b/ |x  m| = |x + 1| c/ |mx + 1| = |x  1| d/ |1  mx| = |x + m| 4/ Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất. a/ m(2x  1) + 5 + x = 0 b/ m2x  2m2x = m5 + 3m4  1 + 8mx. x2 x 1 c/ x  m = x  1 5/ Tìm m để phương trình sau vô nghiệm. a/ m2(x  1) + 2mx = 3(m + x)  4 b/ (m2  m)x = 12(x + 2) + m2  10 c/ (m + 1)2x + 1  m = (7m  5)x. xm x 2 d/ x  1 + x = 2 6/ Tìm m để phương trình sau có tập hợp nghiệm là R a/ m2(x  1)  4mx = 5m + 4 b/ 3m2(x  1)  2mx = 5x  11m + 10 c/ m2x = 9x + m2  4m + 3 d/ m3x = mx + m2  m PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI 1. Giải và biện luận phương trình bậc 2 : a/ x2  (2m + 1)x + m = 0 b/ mx2  2(m + 3)x + m + 1 = 0 c/ (m  1)x2 + (2  m)x  1 = 0 d/ (m  2)x2  2mx + m + 1 = 0 e/ (m  3)x2  2mx + m  6 = 0 f/ (m  2)x2  2(m + 1)x + m  5 = 0 g/ (4m  1)x2  4mx + m  3 = 0 h/ (m2  1)x2  2(m  2)x + 1 = 0 2. Định m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt. a/ x2  2mx + m2  2m + 1 = 0 b/ x2  2(m  3)x + m + 3 = 0 c/ mx2  (2m + 1)x + m  5 = 0 d/ (m  3)x2 + 2(3  m)x + m + 1 = 0 e/ (m + 1)x2  2mx + m  3 = 0 f/ (m + 1)x2  2(m  1)x + m  2 = 0 g/ (m  2)x2  2mx + m + 1 = 0 h/ (3  m)x2  2mx + 2  m = 0 3. Định m để phương trình có nghiệm kép. Tính nghiệm kép đó. a/ x2  (2m + 3)x + m2 = 0 b/ (m  1)x2  2mx + m  2 = 0 c/ (2  m)x2  2(m + 1)x + 4  m = 0 d/ mx2  2(m  1)x + m + 1 = 0 e/ x2  2(m + 1)x + m + 7 = 0 f/ (m  1)x2  3(m  1)x + 2m = 0 g/ (m + 2)x2 + 2(3m  2)x + m + 2 = 0 h/ (2m  1)x2 + (3 + 2m)x + m  8 = 0 4. Tìm m để phương trình có nghiệm. a/ x2  (m + 2)x + m + 2 = 0 b/ x2 + 2(m + 1)x + m2  4m + 1 = 0. -. WWW.ToanCapBa.Net.

(49) WWW.ToanCapBa.Net c/ (2  m)x2 + (m  2)x + m + 1 = 0 d/ (m + 1)x2  2(m  3)x + m + 6 = 0 5. Định m để phương trình có 1 nghiệm. a/ x2  (m  1)x + 4 = 0 b/ x2  2(m  1)x + m2  3m + 4 = 0 c/ (3  m)x2 + 2(m + 1)x + 5  m = 0 d/ (m + 2)x2  (4 + m)x + 6m + 2 = 0 B. ĐỊNH LÝ VIÉT 1. Định m để phương trình có 1 nghiệm cho trước. Tính nghiệm còn lại. a/ 2x2  (m + 3)x + m  1 = 0 ; x1 = 3 b/ mx2  (m + 2)x + m  1 = 0 ; x1 = 2 c/ (m + 3)x2 + 2(3m + 1)x + m + 3 = 0 ; x1 = 2 2 d/ (4  m)x + mx + 1  m = 0 ; x1 = 1 e/ (2m  1)x2  4x + 4m  3 = 0 ; x1 = 1 f/ (m  4)x2 + x + m2  4m + 1 = 0 ; x1 = 1 g/ (m + 1)x2  2(m  1)x + m  2 = 0 ; x1 = 2 h/ x2  2(m  1)x + m2  3m = 0 ; x1 = 0 2. Định m để phương trình có 2 nghiệm thỏa điều kiện : a/ x2 + (m  1)x + m + 6 = 0 đk : x12 + x22 = 10 b/ (m + 1)x2  2(m  1)x + m  2 = 0 đk : x12 + x22 = 2 c/ (m + 1)x2  2(m  1)x + m  2 = 0 đk : 4(x1 + x2) = 7x1x2 d/ x2  2(m  1)x + m2  3m + 4 = 0 đk : x12 + x22 = 20 e/ x2  (m  2)x + m(m  3) = 0 đk : x1 + 2x2 = 1 f/ x2  (m + 3)x + 2(m + 2) = 0 đk : x1 = 2x2. 1 1 x x đk : 1 + 2 = 3. g/ 2x2  (m + 3)x + m  1 = 0 h/ x2  4x + m + 3 = 0 3. Tìm hệ thức độc lập đối với m : a/ mx2  (2m  1)x + m + 2 = 0 b/ (m + 2)x2  2(4m  1)x  2m + 5 = 0. đk : x1  x2 = 2. 3m c/ (m + 2)x  (2m + 1)x + 4 = 0 2. d/ 3(m  1)x2  4mx  2m + 1 = 0 e/ mx2 + (m + 4)x + m  1 = 0 f/ (m  1)x2 + 2(m + 2)x + m  4 = 0 C. DẤU CÁC NGHIỆM SỐ 1. Định m để phương trình có 2 nghiệm trái dấu a/ x2 + 5x + 3m  1 = 0 b/ mx2  2(m  2)x + m  3 = 0 c/ (m + 1)x2 + 2(m + 4)x + m + 1 = 0 d/ (m + 2)x2  2(m  1)x + m  2 = 0 e/ (m + 1)x2  2(m  1)x + m  2 = 0 2. Định m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt đều âm. a/ x2  2(m + 1)x + m + 7 = 0 b/ x2 + 5x + 3m  1 = 0 c/ mx2 + 2(m + 3)x + m = 0 d/ (m  2)x2  2(m + 1)x + m = 0 e/ x2 + 2x + m + 3 = 0 3. Định m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt dương. a/ mx2  2(m  2)x + m  3 = 0 b/ x2  6x + m  2 = 0 2 2 c/ x  2x + m  1 = 0 d/ 3x  10x  3m + 1 = 0 e/ (m + 2)x2  2(m  1)x + m  2 = 0 4. Định m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt cùng dấu. a/ (m  1)x2 + 2(m + 1)x + m = 0. -. WWW.ToanCapBa.Net.

(50) WWW.ToanCapBa.Net b/ (m  1)x2 + 2(m + 2)x + m  1 = 0 c/ mx2 + 2(m + 3)x + m = 0 d/ (m + 1)x2  2mx + m  3 = 0 e/ (m + 1)x2 + 2(m + 4)x + m + 1 = 0 Bài toán lập phương trình: 1. Tìm tuổi của một học sinh, biết rằng sau 7 năm nửa tuổi của em sẽ bằng bình phương sồ tuổi của em cách đây 5 năm . (ĐS: 9 tuổi) 2. Tuổi của anh hiện nay gấp đôi tuổi của em, biết rằng sau 48 năm nữa tuổi của anh bằng bình phương số tuổi của em hiện nay. Hỏi tuổi của em hiện nay? (ĐS: 8 tuổi) 3. Tìm độ dài ba cạnh của một tam giác vuông biết cạnh dài nhất hơn cạnh thứ hai là 2m và cạnh thứ hai hơn cạnh ngắn nhất là 23m. (ĐS: 12m ; 35m ; 37m) 4. Chu vi một hình thoi bằng 34cm , hiệu hai đường chéo bằng 7cm. Tính độ dài hai đường chéo? (ĐS: 8cm ; 15cm) 5. Một miếng đất hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng. Nếu tăng chiều rộng thêm 3m và chiều dài tăng 4m thì diện tích miếng đất tăng gấp đôi. Hỏi kích thước miếng đất lúc đầu? (ĐS: 6m ; 12m) 6. Một miếng đất hình vuông. Nếu tăng một cạnh thêm 30m thì được miếng đất mới hình chữ nhật có diện tích gấp 3 lần diện tích lúc đầu. Hỏi cạnh của miếng đất lúc đầu? (ĐS: 15m) 7. Tìm độ dài ba cạnh của một tam giác vuông có chu vi bằng 30m, biết hai cạnh góc vuông hơn kém nhau 7m? (ĐS: 5m ; 12m ; 13m) 8. Tìm độ dài ba cạnh của một tam giác vuông biết chu vi và diện tích của tam giác lần lượt bằng 120m và 480m2 . (ĐS: 20m ; 48m ; 52m). -. WWW.ToanCapBa.Net.

(51) WWW.ToanCapBa.Net PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT NHIỀU ẨN 1/ Phương trình bậc nhất hai ẩn Dạng : ax  by c + Trong đó x, y gọi là ẩn số ; a, b, c  R a và b là hệ số và a2+b2 0 ; c gọi là hằng số của phương trình + Nếu tồn tại cặp số thực x0, y0 sao cho ax0 + by0 = c thì (x0, y0) gọi là một nghiệm của phương trình *Giải và biện luận phương trình a) a 0 và b 0 : Ta có :. y. ax  by c do a,b không đồng thời bằng không nên có 3 trường hợp:. c  ax c  by x b (x  R) hoặc a (y  R).  x  R  y  c  ax  b Vậy nghiệm của phương trình là :  b) a = 0 và b 0 : phương trình có dạng 0.x  by  c  x  R y c  b Vậy nghiệm của phương trình là :  c) a 0 và b = 0 : phương trình có dạng : ax  0. y c. hoặc. c  by  x   a  y  R. c  x   a  y  R. Vậy nghiệm của phương trình là : Vậy phương trình ax+by=c có vô số nghiệm. * Chú ý: Nếu a = b = 0 thì phương trình có dạng 0x+0y = c, khi đó: + nếu c 0 phương trình vô nghiệm. + nếu c = 0 phương trình có vô số nghiệm. 2. Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn (CB không giải và biện luận) Định nghĩa: Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn số có dạng :.  ax  by c (5)  a x  b y c  (6) Trong đó : x , y gọi là ẩn số . a và b ; a/ và b/ không đồng thời bằng 0 . Nếu tồn tại cặp số thực (x 0 , y0) nghiệm đúng đồng thời cả hai phương trình trong hệ trên thì (x 0 , y0) được gọi là nghiệm của hệ phương trình. Giải phương trình là đi tìm tập nghiệm của phương trình đó. Các khái niệm hệ phương trình tương đương, hệ phương trình hệ quả cũng tương tự như ở phương trình. * Giải và biện luận hệ phương trình bậc nhất hai ẩn số :.  ax  by c  a x  b y c  với a và b ; a/ và b/ không đồng thời bằng 0 Cho hệ phương trình :  a b c b a c a  b  = ab/ - a/b c  b  = cb/ - c/b a  c  = ac/ - a/c Lập các biểu thức : D = Dx = Dy = Nếu D 0 : Hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x , y) với : Dy D x x y D và D Nếu D = 0 : + Nếu Dx 0 hoặc Dy 0 thì hệ phương trình vô nghiệm + Nếu Dx = Dy = 0 thì tập nghiệm của hệ phương trình là nghiệm của phương trình bậc nhất ax + by = c. * Chú ý 1 : Các biểu thức để tìm D ; Dx ; Dy được gọi là công thức Cramer * Chú ý 2 : Trường hợp = a/ = b = b/ = 0 .. -. WWW.ToanCapBa.Net.

(52) WWW.ToanCapBa.Net  0 x  0 y c  0 x  0 y c  Hệ phương trình có dạng :  + Nếu c = c/ = 0 thì hệ phương trình có nghiệm với mọi x , y tùy ý + Nếu c 0 hoặc c/ 0 thì hệ phương trình vô nghiệm * Chú ý 1: (5) cắt (6) D≠0 (5) //(6)  D=0 và Dx≠0 (hoặc Dy≠0) (5) trùng (6)  D=Dx =Dy=0 * Chú ý 2: Nếu a=b=0 hoặc a'=b'=0 thì ta có các hệ phương trình đặc biệt :. 0x  0y c ax  by c 0x  0y c V V  a' x  b' y c' 0x  0y c' 0 x  0 y c ' 2 x  3 y 13  7 x  4 y 2 Ví dụ 1: Giải hệ phương trình  Giải. D Ta có. 2 7. Dx . -3 8  ( 21) 29 0 4 13 2. -3 58 4. Dy . vậy hệ có nghiệm duy nhất:. 2 7. 13  87 2. Dx 58   x  D  29 2   y  Dy   87  3  D 29. mx  y m  1  x  my 2 Ví dụ 2: giải và biện luận hệ phương trình sau:  Giải. D Ta tính: D, Dx, D. m 1 m 2  1 (m  1)( m  1) 1 m. m 1 1 m 2  m  2 (m  1)(m  2) 2 m m m 1 Dy  m  1 1 2. Dx . Biện luận: + Nếu D 0  m -1 và m 1. Hệ có nghiệm duy nhất với:. ( m  1)(m  2) m  2   x  (m  1)(m  1)  m  1   m 1 1 y   (m  1)(m  1) m  1 . + Nếu D= 0  m=-1 hoặc m=1 . với m=-1 => Dx=-2 0 => hệ vô nghiệm . với m=1 => Dx=Dy = 0 => hệ có vô số nghiệm với. x   y    y 2  x hoặc  x 2  y -. WWW.ToanCapBa.Net.

(53) WWW.ToanCapBa.Net Kết luận:. m2 1   ;y  x   m 1 m  1 + Với m 1 hệ có nghiệm duy nhất  + Với m= 1 hệ vô nghiệm. x    y 2  x + Với m=1 hệ có vô số nghiệm, tính theo công thức . -. WWW.ToanCapBa.Net.

(54) WWW.ToanCapBa.Net 3. Hệ phương trình bậc nhất 3 ẩn * Phương trình bậc nhất 3 ẩn là phương trình có dạng ax+by+cz=d, trong đó x, y, z là 3 ẩn; a, b, c, d là các hệ số và a, b, c không đồng thời bằng 0. * Hệ phương trình bậc nhất 3 ẩn. a1x+b1 y+c1 =d1  a 2 x+b 2 y+c 2 =d 2 a x+b y+c =d 3 3 3  3 Mỗi bộ (x0;y0;z0) nghiệm đúng cả ba phương trình của hệ gọi là một nghiệm của hệ. Ví dụ: Giải hệ phương trình. a).  2 x  3 y  z  4  3 x  2 y  3 z 9  4 x  5 y  8 z 15 . b).  2 x  y  2 z  4   4 x  3 y  3z  4 6 x  5 y  4 z  4 . Đáp án: x=2; y=3; z=1. Đáp án: x=1; y=2; z=2 BÀI TẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH. 1/ Giải các hệ phương trình sau:.  x y  2  3 1  2x 3y    22 3 2  b. 1 2   x y  1  8 3 2   2  x y  1 d.. 5 x  2 y 19  8 x  3 y 18 a. . 5( x 2  2 x)  4( y 2  2 y ) 11  2 2( x  2 x)  7( y 2  2 y ) 13 c.   2 x  1  3 y 1  5 x  1  4 y 14.  3 x  2  2 y  1 7  2 x  2  5 y  1 11 f. . e.. 3 x  2  5 y  1  2  5 x  2  7 y  1 12 g. . h/. a.. c..  x  2 y  3 z 4   3x  y  3 z 7  x  3 y  3 z  3  ĐS: a. (1;3;2). 2. {.  1 3  ;  d.  2 4 . ĐS: a. (3;-2) b. (-6;12) e. (1; 1),(-3; 1) f. VN 2/ Giải các hệ phương trình sau:.  x  y  z 0  3 x  2 y  4 z 17  5 x  y  7 z 22 . 2. 8 x +3 y =7 2 2 2 x + y =3. c. (1; 1),(-3; 1) g. (-3; 2), (-3; 0), (-1; 2), (-1; 0). b. (-1;2;3). b..  2 x  y  z 3   x  2 y  z 6  x  y  2 z 7 . d..  x  2 y  z 2   3 x  y  z 6  x  3 y  3z 2  c. vn. -. d. (x,y,z) tùy ý. WWW.ToanCapBa.Net.

(55) WWW.ToanCapBa.Net  ax  by 6a  2  bx  2 y 4  9a có nghiệm (-3; 2) 3/ Tìm a và b để hệ phương trình . -. WWW.ToanCapBa.Net.

(56) WWW.ToanCapBa.Net 4/ Giải và biện luận các hệ phương trình sau :. x  my 3m  mx  y 2m  1 a/ . (m  2) x  my 2m  (m  1) x  my m  1 b/ . (m  1) x  my 2  2mx  y m  1 c/ . x)1m(2y  1m(x3y) d/ . mx  2 y m  1  2 x  y m e/ . mx  y m  1  mx  y m f/ . (m  1) x  8y 4m  mx  (m  3) y 3m  1 g/ . mx  y m  2  x  my  m h/ . mx  y  1  x  my  1 0 i/ . x  my 1  mx  3my 2m  3 j/ . 5/ Giải và biện luận hệ phương trình.. ax  by a  1  bx  ay b  1 a/ . c/. ax  y a 2  2 bx  y b. b/. ax  by a 2  b 2  bx  ay 2ab. d/. ax  by a 2  b  2 bx  b y 4b. 7/ Định m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất.. mx  y m  1  x  my 2 a/ . mx  (m  5) y  m  5 0  2mx  my  3m  7 b/ . (m  1) x  8y 4m  mx  (m  3) y 3m  1 c/ . 6mx  (2  m) y 3  (m  1) x  my 2 d/ . 8/ Định m để hệ phương trình vô nghiệm.. 2m 2 x  3(m  1) y 3  m ( x  y )  2 y  2 0 a/ . (m  1) x  my 2m  (3m  3) x  (m  1) y 3m  1 b/ . mx  4 y 2m  3  (m  1) x 6 y c/ . 3x  2my 1  3(m  1) x  my 1 d/ . 9/ Định m để hệ phương trình có vô số nghiệm.. mx  2 y m 2  2 x  my 4 a/ .  4x  my 1  m  ( m  6) x  2 y  m  3 b/ . 3x  my 3  mx  3y 3 c/ . 2x  my m  2  (m  1) x  2my 2m  4 d/ . 10/ Định m để hệ có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên.. -. WWW.ToanCapBa.Net.

(57) WWW.ToanCapBa.Net (m  1) x  2 y m  1  2 m x  y m 2  2m a/ . mx  y  3 0  x  my  2m  1 0 b/ . mx  2 y m  2  (m  1) 2 x  y m 2  1 c/ . x  y 2  mx  y m d/ . 11/ Định m để hệ.  x  2 y 4  m  (2 x  y 3m  3 có nghiệm (x, y) thoả x2 +y2 nhỏ nhất Bài toán lập hệ phương trình: 1. Tìm hai số biết tổng của chúng bằng 188 và nếu lấy số lớn chia cho số nhỏ ta được thương bằng 5 và số dư bằng 2. 2. Số công nhân ở hai xí nghiệp tỉ lệ với 2 và 3. Nếu số công nhân ở xí nghiệp I tăng 80 người và số công nhân ở xí nghiệp II tăng 40 người thì số công nhân mới ở hai xí nghiệp tỉ lệ với 3 và 4. Hỏi số công nhân lúc đầu ở mỗi xí nghiệp? 3. Tìm một số gồm hai chữ số biết: nếu đem số đó chia cho tổng số của hai chữ số đó ta được thương là 6; nếu đem cộng tích của hai chữ số đó với 25 ta được số đảo lại. 4. Hai công nhân phải làm một số dụng cụ bằng nhau trong cùng một thời gian. Người I mỗi giờ làm tăng 2 dụng cụ nên công việc hoàn thành trước 2 giờ. Người II mỗi giờ làm tăng 4 dụng cụ nên công việc hoàn thành trước 3 giờ và còn làm thêm 6 dụng cụ. Tính số dụng cụ mỗi công nhân phải làm và thời gian phải hoàn thành công việc? BÀI TẬP THÊM Bài 1 : Giải và biện luận các hệ phương trình sau theo tham số m . Khi hệ có nghiệm duy nhất (x;y), tìm hệ thức giữa x và y độc lập với m.. a). mx  y  1 2   x  my  2 0. b). mx  (m  2) y 2   x  my m. DD := m 2m 2 Dx :=  m 2 Dy := m 22. c). 4 x  my 4  mx  4 y 2m  2. DD := 16 m 2 Dx := 16 2 m 2 3 m Dy := 4 m  12. d). (m  1) x  2my  2  2mx  (m  1) y m  1 DD :=  3 m 22 m1 Dx := 22 m 2 Dy := m 22 m1 ; ;. DD := m 21 Dx := m2 Dy :=  2 m1 ;. ;. ;. ;. ;. ;. 2 ( m 1 ) m  1 { x , y  } 3 m 1 3 m 1. e). mx  y  3 0 6 3  { y , x } 2 4 x  my 6 DD := m 4 Dx := 3 m6 Dy := 6 m 12 m2 m2 ;. f). 4 x  my  4  m 0  (2m  6) x  y  2m  1 0 DD := 4 2 m 2 6 m Dx := 2 m 4 2 m2 ;. ;. -. WWW.ToanCapBa.Net. ;.

(58) WWW.ToanCapBa.Net Dy := 10 m  282 m. 2. ;. m 1 m 7 { x , y  } m  1 m  1. g). mx  2 y 1   x  my  2 DD := m 22 Dx := m4 Dy :=  2 m1. h). mx  2 y  1 0 1 m1  { x  , y } 2 2  x  m  my  y DD := m m 2 Dx :=  m 1 Dy := m 1 m2 m2 ; ;. i). mx  (m  2) y 2  2m 2 x  3(m  1) y 3 DD := 7 m 23 m 2 m 3 Dx := 3 m Dy := 3 m 4 m 2. j).  3 4m 3 { y , x  } 2  7 m  3 2m  7 m  3 2 m2 m( x  2 y )  2 x  3 y 4  4 x  2  5 y m(1  2 y ) DD :=  7 m2 m 222 Dx := 269 m2 m 2 Dy := m 24 m12. k). l). m). ;. ;. ;. ;. ;. ;. ;. ;. ;. 3 m4 3 ( m  1) { x  , y  } 5 m2 5 m 2. n). o). mx  2(m  1) y 2  2 x  my m DD := m 24 m4 Dx := 4 m2 m 2 Dy := m 24 ; ; m  2 2m { y , x  } m 2 m 2 mx  (m  1) y 0  (m  1) x  my 2m  3 DD :=  2 m 1 Dx := ( 2 m3 ) ( m1 ) Dy := m ( 2 m 3 ) ;. ;. 2. p). ;. 2 m  13 m 6 { x , y  } 2 m  11 2 m  11 (m  1) x  2my  2  2mx  (m  1) y m  1 DD :=  3 m 22 m 1 Dx := 22 m 2 Dy := m 22 m1 ; ; 2 ( m 1 ) m 1 { x , y  } 3 m 1 3 m1 (m  1) x  y 2  m   x  ( m  1) y 2 DD :=  m 2 Dx :=  3 m  m 2 Dy := 3 m ; ; m 3 3 { x  , y  } m m ( m  1) x  my 2  6mx  ( m  2) y 3(1  m) DD := 5 m 23 m2 Dx := m 4 3 m 2 Dy :=  6 m3 m 23. m x  (2  m) y 4  m  mx  (2m  1) y m  2 DD := 2 m 32 m Dx := 3 m 3 m 2 Dy := m 33 m 24 m ;. -. WWW.ToanCapBa.Net. ;.

(59) WWW.ToanCapBa.Net. m4 3 { y , x } 2 ( m 1 ) 2 ( m 1 ). q). 2m 2 x  3(m  1) y 3  m( x  y )  2 y 2 DD := 2 m 37 m 2 3 m Dx :=  3 m Dy := 4 m 23 m ;. ;. 4 m 3 3 { y 2 , x  } 2 2 m 7 m  3 2 m 7 m  3. r). 6mx  (m  2) y 3  ( m  1) x  my 2 DD :=  5 m 23 m 2 Dx :=  m 4 Dy := 9 m3 ; ;. m 2 x  (m  2) y 2  m( x  y )  y 1 DD := m 32 m Dx := m Dy := m 22 m Bài 2 : Cho hệ phương trình  ; ; a) Định m để hệ phương trình có ngiệm duy nhất b) Định m để hệ phương trình có vô số nghiệm c) Định m để hệ phương trình vô nghiệm HD: + Hệ có nghiệm duy nhất  D0 + Hệ vô nghiệm  D=0 và Dx0 (hoặc Dy 0) + Hệ vô số nghiệm  D=Dx=Dy =0. mx  ( m  1) y  2  m  mx  3m (  y  1)m  y Bài 3 : Cho hệ phương trình  2m DD := 0 Dx := m 23 m2 Dy :=  m 2 ; a) Định m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất. b) Định m để hệ phương trình có vô số nghiệm. c) Định m để hệ phương trình vô nghiệm.. ;. 3 x  (m  1) y 8   2 x  my  2 Bài 4 : Cho hệ phương trình  DD := m 2 Dx := 6 m2 Dy := 10 ;. ;. a) Định m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất. b) Định m để hệ phương trình có vô số nghiệm. c) Định m để hệ phương trình vô nghiệm. HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI HAI ẨN (Nâng cao). (1) : pt baäc nhaát  (2) : pt baäc hai. 1/ Dạng *Cách giải : từ phương trình bậc nhất ta rút một ẩn theo ẩn còn lại rồi thế vào phương trình bậc hai..  x 2  4 y 2 8 (1)  x  2 y 4 (2) Ví dụ: Giải hệ  Giải Từ pt(2) => x = 4-2y thế vào pt(1) ta được (4-2y) 2+4y2 = 8 16-16y+4y2+4y2= 0  8y2-16y+8 = 0 2  y -2y+1 = 0  y = 1 => x = 2 vậy nghiệm của hệ là (2;1). 2/ Hệ pt bậc hai đối xứng đối với x và y *Định nghĩa: hệ phương trình bậc hai đối xứng với x và y là hệ mà mỗi phương trình không thay đổi khi ta thay x = y và ngược lại.. -. WWW.ToanCapBa.Net.

(60) WWW.ToanCapBa.Net 2. 2.  x  xy  y 4   x  y  xy 2. Ví dụ : *Cách giải: để giải hệ phương trình dạng này ta thực hiện: - dùng phép thay ẩn S = x+y ; P = x.y - sau khi tìm được S,P thì x,y là nghiệm của phương trình x2-Sx+P = 0..  x. y 4  2 x  y 2 28 Ví dụ 1: giải hệ  (I) Giải.  x. y 4  ( x  y ) 2  2 xy 28 (I)  (II) Đặt S = x+y ; P = x.y thay vào hệ (II) ta được hệ.  P 4  2 S  2 P 28.  S 6  P 4  S -6  P 4 . + Với S = 6 ; P = 4 thì x, y là nghiệm của phương trình x2-6x+4 = 0.  x1 3  5   x 3  5  2.  (3  5 ;3  5 )  (3  5 ;3  5 )  nghiệm của hệ là . + Với S =-6 ; P = 4 thì x,y là nghiệm của phương trình x2+6x+4 = 0.  x1  3  5   x2  3  5.   hệ có hai cặp nghiệm Vậy hệ đã cho có 4 cặp nghiệm..  x  xy  y 11  2 x  y 2  xy  2( x  y )  31 Ví dụ 2: Giải hệ  HD: hệ VN Ví dụ 3:.  x 2  y 2 164  x  y 2 Giải hệ . HD: đặt t =-y ; nghiệm (10;8) , (-8;10). Ví dụ 4:.  x  y 9  x. y 90 Giải hệ . HD: đặt t =-y ; nghiệm (15;6) , (-6;-15) BÀI TẬP. Bài 1: Giải các hệ phương trình sau.  x 2  y 2 8 a)   x  2 y 4.  x 2 -xy 24 b)   2x-3y 1.  x 2  3 xy  y 2  2 x  3 y  6 0 c)  2 x  y 3. ( x  y ) 2 49 d)  3x  4 y 84. Đáp số: a) (2;1)b) (-9;-19/3); (8;5) Bài 2: Giải các hệ phương trình sau. c) (2;1); (3;3). -. d) (16;9); (8;15). WWW.ToanCapBa.Net.

(61) WWW.ToanCapBa.Net  x  xy  y 11 a)  2 2  x  y  xy  2( x  y )  31  xy 4 c)  2 2  x  y 28 Đáp số: a) VNob) (1;3); (3;1) d) (1;2); (2;1) Bài 3: Giải các hệ phương trình sau.  x  y 9 a)   xy 90  xy  x  y  3 c)  2 2  x  y  x  y  xy 6 Đáp số: a) (15;6); (-6;-15).  x  y 4 b)  2 2  x  xy  y 13  xy  x  y 5 d) 2 2  x  y  x  y 8 c) (3  5;3  5);( 3  5;  3  5)  x 2  y 2 164 b)   x-y 2.  x 2  y 2  x  y 4 d)   x( x  y  1)  y ( y  1) 2 b) (10;8); (-8;-10) c) (0;-3); (3;0) d) ( 2;  2);(1; 2);(  2;  1). Bài 4. Giải các hệ phương trình :. 2 x  3y 1  2 x  xy 24 a/ . 3x  2 y 36   ( x  2)( y  3) 18 b/ . 2 x  3 y 2   xy  x  y  6 0 c/ .  x 2  y 4 x  2 x  y 5 d/ . 2 x  y 5   2 x  xy  y 2 7 e/ . x 2  4 y 2 8  x  2 y 4 f/ . Bài 5. Giải các hệ phương trình :.  x  y 5  2 x  y 2 53 a/ . xy 5   2 x  y 2 26 b/ .  x  y 1  3 x  y3 61 c/ . x 2  xy  y 2 13  x  y  2 d/ .  x  y  xy 5  2 x  y 2  xy 7 e/ . x 2  y 2 2( xy  2)  x  y 6 f/ . Bài 6. Giải các hệ phương trình. x  y 4  xy 21 a/ . x  y 2   2 x  xy  y 2 4 b/ . 2 x  3 y 2   xy  x  y  6 0 c/ . x 2  y 2  x  y 2  xy  x  y  1 d/ . ............................................................................................................................................................................... Chương IV BẤT ĐẲNG THỨC-BẤT PHƯƠNG TRÌNH Bài 1: BẤT ĐẲNG THỨC 1. Định nghĩa 1 Số thực a gọi là lớn hơn b, kí hiệu a > b nếu ab > 0. Khi đó ta cũng kí hiệu b<a (b nhỏ hơn a). -. WWW.ToanCapBa.Net.

(62) WWW.ToanCapBa.Net a > b  a-b > 0 (ba<0)   a b  a-b 0 (ba≤0) 2. Định nghĩa 2: Các mệnh đề "a > b"; "a  b"; "a < b" ; "a  b" được gọi là các bất đẳng thức. + a gọi là vế trái, b gọi là vế phải của bất đẳng thức; + a>b và c>d (hoặc a<b và c<d) là hai bất đẳng thức cùng chiều; + a>b và c<d là hai bất đẳng thức trái chiều; + Cho hai bất đẳng thức "a>b" và "c>d". Nếu "a>b  c>d" thì "c>d" là hệ quả của "a>b" "a>b  c>d" thì "c>d" là tương đương "a>b" 3. Các tính chất. a, b, c, d  R ta có : 1) a > b  a+c > b+c a > b+ c  ac > b. (cộng 2 vế bất đẳng thức cùng 1 số) (chuyển vế).  ac  bc neáu c  0  ac  bc neáu c  0 3) a > b   a  b  ac bd  cd 4) . (nhân hai vế cùng 1 số). a  b  0  ac  bd  c  d  0  5) a > b  a2n+1 > b2n+1 a > b>0  a2n > b2n. 6) Với n nguyên dương: 7) Nếu b>0 thì a>b  a  b ; 3 3 a>b  a  b. a  b  ac  b  c  8) (bắc cầu) 1 1  a  b neáu ab  0   1  1 neáu ab  0  9) a > b   a b ( n N. 10) a > b > 0  an > bn 11) a > b > 0 . n. n. . ). a  b ( n N ) . Chú ý: Không có quy tắc chia hai vế bất đẳng thức cùng chiều. -. WWW.ToanCapBa.Net.

(63) WWW.ToanCapBa.Net PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Phương pháp chung: Một số hằng đảng thức: (ab)2= a2  2ab +b2 (a+b+c)2= a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc (ab)3= a3  3a2b+3ab2  b3 a2 b2 = (ab)(a+b) a3b3= (ab)(a2 +ab +b2) a3b3= (a+b)(a2 ab +b2) Ví dụ: Chứng minh rằng a) Nếu a,b 0 thì a+b  2 ab b) Chứng minh a2+b2-ab  0. Khi nào thì đẳng thức xảy ra. Giải a) Cách 1: ta có a+b  2 ab  a+b- 2 ab 0 ( a Cách 2: ta đã biết. b )2 0 đúng với mọi a,b 0. Dấu '=' xảy ra khi a = b. b )2 0 a, b 0  a+b- 2 ab 0  a+b  2 ab  đpcm. 1 2 3 2 b 2 3b 2 2 a  b  b  ab ) 0 a, b  R 4 4 b) Ta có: a2+b2-ab = = (a- 2 + 4 ( a. b  a  0   2   2  3b 0  dấu '=' xảy ra   4.  a 0  b 0.  đpcm. 4. Bất đẳng thức Côsi. a b  ab a/ Định lý: Nếu a 0, b 0 thì 2 hay a+b  2 ab Dấu '=' xảy ra  a=b b/ Các hệ quả: b.1. Nế a 0,b 0 có a+b=const (hằng số) thì a.b max  a = b b.2. Nếu a 0,b 0 có a.b = const thì a + b là min  a = b. a1  a 2  ...  a n n  a1 .a 2. a3 ...a n n b.3. Nếu a1, a2, a3,…..,an 0 thì: 1 a  2 a b.4. ,a>0 * Ý nghĩa hình học: + Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng chu vi, hình vuông có diện tích lớn nhất. + Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng diện tích, hình vuông có chu vi nhỏ nhất. c. Ví dụ:. a b  2 Ví dụ 1: cho hai số a, b> 0. Chứng minh rằng b a Giải. a b , 0 Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương b a ,ta có:. -. WWW.ToanCapBa.Net.

(64) WWW.ToanCapBa.Net a b a b a b  2 . 2   2 b a b a b a => đpcm. Ví dụ 2: Chứng minh rằng với a,b>0 thì (a+b)(ab+1) 4ab Giải Ap dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương a,b>0 ta có: a+b 2 ab (1) Ap dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương ab,1>0 ta có: ab + 1 2 ab (2) Nhân (1) với (2) ta được: (a+b)(ab+1) 4ab => đpcm 5. Bất đẳng thức chứa giá trị tuyệt đối. Định nghĩa: |x| =.  x neáu x 0  - x neáu x  0. a, b  R ta có a b a  b a  b a  b a b a  b a  b a  b. ;. , dấu '=' xảy ra  a.b  0 , dấu '=' xảy ra khi a.b 0  a.b 0.  a.b 0 Ví dụ: chứng minh rằng | x-y | + | y-z |  | x- z| Giải Ta có |x-y|+|y-z| |x-y+y-z|=|x-z| => đpcm 6. Bất đẳng thức Bunhiacopxki Cho 4 số thực a, b, c, d bất kỳ thì: (ab+cd)2  (a2+c2)(b2+d2) . ab  cd  (a 2  c 2 )(b 2  d 2 ). Chứng minh: Ta có (ab+cd)2  (a2+c2)(b2+d2)  a2b2+c2d2+2abcd  a2b2+a2d2+b2c2+c2d2  a2d2+b2c2-2abcd 0.  (ad-bc)2 0 đúng a, b, c, d  R => đpcm Ví dụ 1: cho x2+y2=1,chứng minh rằng. . 2 x  y  2. Giải Ap dụng bất đẳng Bunhiacopxki cho bốn số a = 1, b = x, c = 1, d = y ta có: (1.x+1.y)2 (12+12)(x2+y2)  (x+y)2 2   => đpcm.. 2 x  y  2. 4 Ví dụ 2: Cho x+2y = 2 , chứng minh rằng x2+y2  5 Giải Ap dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho bốn số a = 1, b = x, c = 2, d = y BÀI TẬP ÁP DỤNG. -. WWW.ToanCapBa.Net.

(65) WWW.ToanCapBa.Net 2 2 2 1/ Với mọi số thực x, y, z . Chứng minh rằng: 2 xyz  x  y z HD: Đưa về hằng đẳng thức. 2/ Chứng minh rằng:. 1  a 1  a. a 1. , a 1 Giải. 1 a . 2.  1  a 1     a.  a 1 . . a 1 . a 1. . 2. 1 1 1  (a  1)  (a  1)  2 a 2  1  2 a 2  1  2a  . Vì 2a   0 nên a a a 2. 1 1   4(a 2  1)   2a    2  0 đúng a a  1  a  1  a  1 , a 1 Vậy a  đpcm 1 1  3/ Tìm Giá trị nhỏ nhất của hàm số y= x 1  x với 0<x<1 1 1 Vì x >0, 1  x >0 nên Áp dụng bđt Cô-si cho hai số dương ta được: 1 1 1 1 1 2 . 2 x 1 x x (1  x ) y= x + 1  x x  (1  x ) 1 1  x (1  x )   2 x  (1  x ) x (1  x ) 2 mà 1 1 1 1 2 . 2 2 4 x 1 x x  (1  x ) 1 1 x (1  x ) 2 vậy y= x + 1  x 1 1 1   x 1 x  x  1 1 2 x  (0;1)  x 1  x  y= +  4. Dấu "=" xảy ra  1 1 1 Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số y= x + 1  x bằng 4 khi x = 2 BÀI TẬP 1/ Cho a, b, c, d là những số dương; x, y, z là những số thực tùy ý. Chứng minh rằng: 4 4 3 3 a) x  y  x y  xy. Giải 4. 3. 4. 3. (a)  x  x y  y  y x 0  x 3 ( x  y )  y3 ( y  x) 0  x 3 ( x  y )  y 3 ( x  y ) 0  ( x  y)( x 3  y 3 ) 0 2  y 3y2   ( x  y ) ( x  xy  y ) 0  ( x  y)   x     0 ñúng 2 4    4 4 3 3 Vậy x  y  x y  xy  đpcm 2. 2. 2. 2. -. WWW.ToanCapBa.Net.

(66) WWW.ToanCapBa.Net 2. 2. 2. b) x  4y  3z  14  2 x  12 y  6 z Giải 2. 2. (b)  x  2 x  1  4y  2.2 y.3  9  3 z 2  2. 3.z. 3  3  1  0  ( x  1) 2  (2 y  3) 2  ( 3.z . 3) 2  1  0 đúng. 2 2 2 Vậy x  4y  3 z  14  2 x  12 y  6 z  đpcm. a b   a b a c)* b Giải 3. (c ) . a a b b b a.  a.  a  b b. 3. b a.  ( a  b )(a . a b  b)  b a ( a  b ).  ( a  b )(a . a b  b) .  ( a  b )(a . a b b .  a b. b a ( a  b ) 0 b a ) 0.  ( a  b )(a  2 a b  b) 0  ( a  b )( a   đpcm. b ) 2 0. 1 1 4   d) a b a  b Giải Áp dụng bđt Cô-si cho hai số dương a, b:. a  b 2 ab. (1). 1 1 1 1 1 , :  2 a b ab (2) Áp dụng bđt Cô-si cho hai số dương a b 1 1 1 1 4 (a  b)(  ) 4    a b a b a  b . đpcm Lấy (1) nhân (2) ta được: a b c d 4  abcd 4 e)* (bđt Cô-si cho 4 số) Giải. a  b 2 ab    a  b  c  d 2( ab  cd ) 2.2 c  d 2 cd  a b c d 4   abcd 4 1 1 1 1 16     f) a b c d a  b  c  d. ab cd 4 4 abcd. Giải Áp dụng bđt Cô-si cho 4 số dương a, b, c, d ta được:. a  b  c  d 4 4 abcd (1) 1 1 1 1 , , , Áp dụng bđt Cô-si cho 4 số dương a b c d ta được; 1 1 1 1 1    4 4 a b c d abcd (2) 1 1 1 1 (a  b  c  d )(    ) 16 a b c d Nhân (1) với (2) ta được: -. WWW.ToanCapBa.Net.

(67) WWW.ToanCapBa.Net 1 1 1 1 16     Vậy a b c d a  b  c  d 1 a 2b  2 a b g) Áp dụng bđt Cô-si cho 2 số dương a2b, 1/b h) ( a  b)(b  c)(c  a) 8abc Áp dụng bđt Cô-si cho a, b và b, c và c, a..  i). a b. . 2. 2 2(a  b ) ab. Khai triển hằng đẳng thức rồi áp dụng bđt Cô-si cho (a  b) và 2 ab. 1 1 1 9    j) a b c a  b  c Giải Áp dụng bđt Cô-si cho 3 số dương a, b, c ta được:. a  b  c 3 3 abcd (1) 1 1 1 , , Áp dụng bđt Cô-si cho 3 số dương a b c ta được; 1 1 1 1   3 3 a b c abc (2) 1 1 1 (a  b  c)(   ) 9 a b c Nhân (1) với (2) ta được: 1 1 1 9    Vậy a b c a  b  c 2/ Chứng minh các bất đẳng thức sau. x4 a) Với x>3. Chứng minh. x 3. 2. HD: x  4 2 x  3 Áp dụng bđt Cô-si cho 1 và x+3. x2 y2  1 9 b) Với 4 . Chứng minh |x.y|≤3 x 2 y2 HD: Áp dụng bđt Cô-si cho 4 , 9 c)* Với a, b, c0 và a+b+c=1. Chứng minh: b+c  16abc HD:. b+c  2 bc.  (b+c)2  4bc. (1). 2 a (b  c). a+(b+c)   1 4a(b+c) (2) lấy (1)x(2) ta được đpcm d) Cho a, b, c, d  0. Chứng minh: (abc+2)(bc+2)(a+d)(d+1)  32abcd HD: Áp dụng bđt Cô-si cho: abc và 2; bc và 2; a và d; d và 1. a b c (1  )(1  )(1  ) 8 b c a e) Cho a,b,c >0. CMR : a b c 1, ; 1, ; 1, c a HD: Áp dụng bđt Cô-si cho b f) Với a,b,c,d không âm. CMR : (a+b)(b+c)(c+d)(d+a) 16abcd. HD:. -. WWW.ToanCapBa.Net.

(68) WWW.ToanCapBa.Net b ca  2 ab c g) Cho a,b,c > 0. CMR : HD:. 1 1 1   h) Cho a,b,c > 0. CMR : (a+b+c)( a b c )  9 HD:. 1 1  k) Cho a,b > 0. CMR : (a+b)( a b )  4 HD:. a  bc 4  ab 2 l) Cho a,b,c > 0. CMR : 2c a  bc 4 a 2 ab  2  bc 2 2 ab 2 c c HD: 1 1 1 (1  )(1  )(1  ) 64 a b c m) Cho a,b,c > 0 và a+b+c =1. CMR : HD:. a 1. n) Cho a > 1 . CMR : HD: bình phươn 2 vế. a 2. 1 1 1 1 1 1      ab bc ac o) Cho a,b,c >0 . CMR : a b c 3/ Chứng minh bất đẳng thức. 1 1  a) Chứng minh rằng nếu a > b > 0 thì b a 2 2 2 b) a  b  c ab  bc  ca, a,b,c   . Khi nào dấu "=" (đẳng thức) xảy ra? 2. 2. c) a  b  ab 0, a, b   . Khi nào dấu "=" (đẳng thức) xảy ra.? d) (a+b+c)2 3(a2+b2+c2) với mọi a,b,c   . e) a2b+ab2 a3+b3 , với a, b dương. Đẳng thức xảy xảy ra khi nào ? 4/ Cho hàm số f(x) = (x+3)(5-x) với  3  x 5 . Xác định x sao cho f(x) đạt giá trị lớn nhất? 5/ Tìm già trị nhỏ nhất của các hàm số sau a) f(x)=. x. 3 với x  0 x. b) f(x)=. x. 1 x  1 với x > 1. 4 9  2*/ Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y= x 1  x với 0<x<1 Giải. 4 9 4( x  1  x) 9( x  1  x) y    x 1 x x 1 x 4(1  x) 9 x 4(1  x) 9 x 4  9   13  2 . 25 x 1 x x 1 x  y 25 ,x  (0;1). -. WWW.ToanCapBa.Net.

(69) WWW.ToanCapBa.Net 9x  4(1  x)  6 5   x 1 x  x 2  x  (0;1) Đẳng thức xảy ra  3*/ Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y= 4x3  x4 với 0≤ x ≤ 4 Giải.  x x  x 12  3 x  y 27    x 3 2 x  12  2 x  0  x 4. -. WWW.ToanCapBa.Net.

(70) WWW.ToanCapBa.Net BÀI TẬP BẤT ĐẲNG THỨC I. CMR 1. a2 – 3a + 3 > 0 , aR 2. a2 + b2  2ab , a, bR a2 +3a +3 > 0 aR 3. a2 + b2 + 4  ab + 2(a +b) , a, bR 4. a2+ b2 + c2 + d2 + e2  a(b +c + d + e) , a, b, c, d, eR. a2 1 a2 b2  , a  R  4 1 4 4 5. a  1 2 . Suy ra a  1 b  1 , a, bR 2 2 2 2 a b c  a b c     3 3  6.  , a, b, cR 7. a3 + b3  ab(a+b) , a, b  0 8. a3b + ab3  a4 + b4 , a, bR 9. a4 + 16  2a3 + 8a , aR 10. 11. 12. 13.. (a  b)(c  d )  ac  bd. , a, b, c, d > 0. a b   a b b a , a, b > 0 3 a 2  ab  b 2  a b 2 , a, bR 1  a  1  a 1 a , a  1. a 2 b2 c 2   a  b  c c a 14. b , a, b, c > 0 15. a4 + 2a3 +3a2 -12a +19 > 0 , aR.  x5 ( x3  1)  x( x  1) 1  0 neáu x 1  8 2 3 8 5 2  x  x (1  x )  (1  x) neáu x < 1 16. x – x + x – x + 1 > 0 , xR. Hd: BĐT II.CMR 1. a/ Cho a > 0, b > 0, c > 0 . CMR:. a a a c  1 thì  b b c ii. Nếu b a b c 1   2 a b b c c a b/ Cho a > 0, b > 0, c > 0 . CMR: a  1 thì i. Nếu b. a a c  b bc. 2. Cho a , b , c là độ dài ba cạnh của một tam giác. CMR: a. a2+ b2 + c2 < 2(ab +bc +ca) b. abc  (a + b – c).(b + c – a).(c + a – b) > 0 2. 3. Cho a + b = 1. CMR: a + b 4. Cho x + y + z = 1. CMR: 5. CMR: a. b.. 2. . 1 2. x2  y 2  z 2 . x  2  x  5 7. 1 3. , xR. x  1  y  2  x  y  3 6. , x, yR. III.CMR 1.. a b c d 4  abcd 4 . (a, b , c, d  0). -. WWW.ToanCapBa.Net.

(71) WWW.ToanCapBa.Net 2. 3. 4. 5.. a b c 3  abc 3 . (a, b , c  0) 1 1 1 9    a b c a  b  c (a, b , c > 0) a b c 1 1 1      bc ca ab a b c (a, b , c > 0) ab bc ca   a  b  c c a b (a, b , c > 0) 1 1 x 2  y 2   2( x  y ) x y (x , y > 0). 6. 7. (a + b)(b+c)(c+a)  8abc (a, b , c  0). c  a  b   1    1    1   8 b  c  a  8. . (a, b , c > 0) 9. (a + 2)(b + 8) (a + b)  32ab (a, b  0) 10. (1 –a)(1 – b)(1 – c)  8abc với a + b + c = 1 và a, b, c  0.  1  1   1    1   9 x  y 11.  với x+y =1 và x , y > 0. 12. (a + 2) (b + 8)  36 với ab = 4 và a, b > 0 13. a b  1  b a  1 ab a, b  1. 1 4a  1  4b  1  4c  1  5 với a + b + c = 1 và a, b, c  - 4. 14. IV.CMR: 1. (ab +by)2  (a2 + b2)(x2 +y2) ,a, b, x, yR. Dấu bằng xảy ra khi nào? 2. 3. 4.. 2 x  3 y  13. với x2 + y2 = 1. 3x  2 y . 2 với 9x2 + 4y2 = 1. 2 x  3 y  35. với 2x2 + 3y2 = 7. 1 8 biết 4x + 6y = 1. Dấu bằng xảy ra khi nào? 5. 9 4x2  3 y 2  7 biết 4x - 3y = 3. Dấu bằng xảy ra khi nào? 6. 4x2  9 y2 . V.Tìm GTLN của hàm số sau: 1. y = (x + 5)(7 – x) với -5  x  7. (maxy = 36 khi x = 1). 3 10 x  3 2. y = (2x - 3)(10 – 3x) với 2 x 4 3. y = 2 x với x  4 2. 4. y = x + 8  x VI.Tìm GTNN của hàm số sau:. x 5 8  x  5 với x > -5 1. y = 2 9 x x  2 với x > 2 2. y =. 1 (maxy = 8 khi x = 8) (maxy = 4 khi x =  2). (miny = 4 khi x = -1) (miny = 8 khi x = 5). -. WWW.ToanCapBa.Net.

(72) WWW.ToanCapBa.Net 9 x2  2 x với x  0 3. y = 4 x 1 2 4. y = x với x  0 (4  x )(1  x) x 5. y = với x > 0 x 2  x 4. (miny = 6 khi x =  3 ) (miny = 2 khi x = 1) (miny = 9 khi x = 2). 6. y = (miny = 2 khi 2 < x < 4) VII. Tìm GTLN và GTNN của biểu thức S = xy + yz + zx biết x 2 + y2 + z2 = 1. -. WWW.ToanCapBa.Net.

(73) WWW.ToanCapBa.Net BÀI TẬP BẤT ĐẲNG THỨC Dùng định nghĩa:Chứng minh các bất đẳng thức sau 1/ Cho a,b,c,d > 0 a) nếu a < b thì < b) nếu a > b thì > c) 1 < < 2 d) 2 < < 3 2/ Cho < và b,d > 0, Chứng minh rằng < < 3/ Chứng minh rằng  a , b ,c a) a2 – ab + b2 ≥ ab b) a2 + 9 ≥ 6a c) a2 + 1 > a d) (a3 – 1)(a – 1) ≥ 0 2 2 2 e) 2abc  a + b c f) (a + b)2 ≥ 4ab 2 2 4 g) a + ab + b ≥ 0 h) a + b4 ≥ a3b + ab3 2 2 2 2 i) 4ab(a – b)  (a – b ) j) a2 + 2b2 + 2ab + b + 1 > 0 2 2 k) ≥ l) 2 + a (1 + b ) ≥ 2a(1 + b) m)  n) ( )2  o) ≥ ( )2 p) + b2 + c2 ≥ ab – ac + 2bc 4 4 2 q) a + b + c + 1 ≥ 2a(ab2 – a + c + 1) r) a4 + b4 + c2 + 1 ≥ 2a(ab2 – a + c + 1) s) 2a2 + 4b2 + c2 ≥ 4ab + 2ac t) a2 + ab + b2 ≥ (a + b)2 u) a + b + 2a2 + 2b2 ≥ 2ab + 2b + 2a v) (a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2) 4/ Cho a ,b  [– 1;1] . Chứng minh rằng : |a + b|  |1 + ab| a)Chứng minh rằng: nếu x ≥ y ≥ 0 thì ≥ b)Chứng minh rằng: với hai số a và b tùy ý ta có ≤ + 5/ Cho a ≥ 2 , b ≥ 2. Chứng minh rằng : ab ≥ a + b 6/ Cho x ≥ 0,chứng minh rằng: x4 – + x – + 1 > 0 7/ Cho ba số a ,b ,c  [0;1],chứng minh rằng : a + b + c – ab – bc – ca  1 8/ Cho 0 < a  b  c . Chứng minh rằng : b() + (a + c)  ()(a + c) 9/ Cho a > b > 0 và c ≥ . Chứng minh rằng ≥ 10/ Cho a + b + c  0. Chứng minh rằng : ≥ 0 11/ Cho ba số dương a ,b ,c ,chứng minh rằng : + +  12/ Cho các số a,b,c,d thoả a ≥ b ≥ c ≥ d ≥ 0. Chứng minh rằng : a) a2 – b2 + c2 ≥ (a – b + c)2 b) a2 – b2 + c2 – d2 ≥ (a – b + c – d)2 13/ a) Cho a.b ≥ 1,Chứng minh rằng : ≥ b) Cho a ≥ 1, b ≥ 1 .Chứng minh rằng : ≥ c) Cho hai số x ,y thoả x + y ≥ 0.Chứng minh rằng : ≥ 14/  a,b,c,d chứng minh rằng a) ≥ b) 1 < < 2 15/ Cho a ,b ,c là độ dài các cạnh của một tam giác ,chứng minh rằng : a) <1 b) abc < a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca) c) a(b – c)2 + b(c – a)2 + c(a – b)2 > a3 + b3 + c3 *d) a3(b2 – c2) + b3(c2 – a2) + c3(a2 – b2) < 0 *e) (a + b + c)2  9bc với a  b  c *f) (a + b – c)(b + c – a)(c + a – b)  abc 16/ Cho hai số a ,b thoả a + b ≥ 2 ,chứng minh rằng : a4 + b4 ≥ a3 + b3 17/ Cho a ,b ,c ≥ 0 , chứng minh rằng : a) a3 + b3 + c3 ≥ 3abc b) a3b + b3c + c3a ≥ a2bc + b2ca + c2ab c) a3(b2 – c2) + b3(c2 – a2) + c3(a2 – b2) < 0 18*/ Cho a ,b ,c là độ dài 3 cạnh một tam giác,với a  b  c Chứng minh rằng : (a + b + c)2  9bc. -. WWW.ToanCapBa.Net.

(74) WWW.ToanCapBa.Net 19*/ Cho tam giác ABC,chứng minh rằng : ≥ 20*/ Cho a ,b ,c  [0;2] . Chứng minh rằng : 2(a + b + c) – (ab + bc + ca)  4 21/ Chứng minh rằng : + + + …+ < 1  n  N 22/ Chứng minh rằng : + + + …+ < 1  n  N n ≥ 2 23/ Cho ba số dương a ,b ,c thoả mãn: ab + bc + ca = 1 . Chứng minh rằng :  a+b+c  24/ Cho 3 số a, b, c thoả mãn a + b + c = 3. Chứng minh rằng : a) a2 + b2 + c2 ≥ 3 b) a4 + b4 + c4 ≥ a3 + b3 + c3 Bất đẳng thức Cauchy (Cô-si) 1/ Cho hai số a ≥ 0 , b ≥ 0 Chứng minh rằng : a) ≥ 2 a , b > 0 b) a2b + ≥ 2a b > 0 3 c) ≥ 1 d) a + b3 ≥ ab(a + b) e) a4 + a3b + ab + b2 ≥ 4a2b f) (a + b)(1 + ab) ≥ 4ab g) (1 + a)(1 + b) ≥ (1 + )2 h)  i) ≥ j) + ≥ + + j) (1 + a)(1 + b) ≥ (1 + )2 h) ≥ 2 k) ≥ 3a2b3 – 16 l) ≥ 4 m) ≥ 2/ Cho a > 0 , chứng minh rằng : (1 + a)2≥ 16 3/ Cho 3 số a ,b ,c > 0 tùy ý . Chứng minh rằng: a) a2b + ≥ 2a b) a + b + c ≤ ( a2b + b2c + c2a + + + ) 4/ Cho 0 < a < b , chứng minh rằng: a < < < 5/ Cho hai số a ≥ 1, b ≥ 1 , chứng minh rằng : a + b  ab 6/ Cho các số a,b,c ≥ 0 Chứng minh rằng : a) ab + ≥ 2 (b  0) b) a + b + c ≥ c) (a + 1)(b + 1)(a + c)(b + c) ≥ 16abc d) ( + )2 ≥ 2 e) a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ac f) a2 + b2 + c2 ≥ (a + b + c)2 g) ab(a + b) + bc(b + c) + ca(a + c) ≥ 6abc h) a2 + b2 + 1 ≥ ab + a + b i) a2 + b2 + c2 ≥ 2(a + b + c) – 3 3 i) (1 + a)(1 + b)(1 + c) ≥ (1 + √ abc )3 7/ Chứng minh rằng x (0; /2) ta có: cosx + sinx + tgx + cotgx + + > 6 8/ Cho 3 số a ,b ,c thoả a + b + c = 1. Chứng minh rằng : a4 + b4 + c4 ≥ abc 9/ Cho 3 số a,b,c không âm,Chứng minh rằng : a)(a + b)(b + c)(c + a) ≥ 8abc b) ≥ a + b + c c)()( )() ≥ 8 d) ()()( ) ≥ 8 e) (a + b + c)() ≥ 9 f) (a + b + c)() ≥ g) ≥ 6 h) ≥ i) 3a3 + 7b3 ≥ 9ab2 j) 3a + 2b + 4c ≥ + 3 + 5 k) ≥ + + 10/ Cho 4 số dương a ,b ,c ,d ,chứng minh rằng : a) (ab + cd)( + ) ≥ 4 b) a2 + b2 + c2 + d2 ≥ (a + b)(c + d) c) + ≥ d) (a2 + 1)(b2 + 2)(c2 + 4)(d2 + 8) ≥ (ac + 2)2(bd + 4)2. -. WWW.ToanCapBa.Net.

(75) WWW.ToanCapBa.Net 4 e) ≥ 6 √ abcd f) + + ≥ g) + + + ≥ h) ≥ 3a2b3 – 16 i) (abc + 1)( + + )( + + ) ≥ a + b + c + 6 11/ Cho hai số dương a và b. Chứng minh rằng: (1 + )n + (1 + )n ≥ 2n+1 n  N 12/ Cho a + b = 1,Chứng minh rằng : a) ab  b)a2 + b2 ≥ 4 4 b) c)a + b ≥ d)a3 + b3 ≥ 13/*.Cho a > b và ab = 1 ,chứng minh rằng : ≥ 2 14/*. Chứng minh rằng –   15/ a) Chứng minh rằng nếu b > 0 , c > 0 thì : ≥ b)Sử dụng kết quả trên chứng minh rằng nếu a ,b ,c là ba số không âm có tổng a + b + c = 1 thì b + c ≥ 16abc 16/ Cho a + b = 1,Chứng minh rằng: ()() ≥ 9 17/ Cho a,b,c > 0 và a + b + c = 1 . Chứng minh rằng : a) ()()( ) ≥ 64 b) (a + b)(b + c)(c + a)abc  18*.Cho 4 số a ,b ,c ,d > 0 thoả mãn + + + ≥ 3 Chứng minh rằng abcd  19/ Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác ,chứng minh rằng : a) ab + bc + ca < a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca) b) abc ≥ (a + b – c)(b + c – a)(c + a – b) c) (p – a)(p – b)(p – c)  d) ≥ 2( ) e) < + + < 20/.Cho 3 số a ,b ,c ≥ 0 ,thoả mãn a.b.c = 1. Chứng minh rằng : (1 + a)(1 + b)(1 + c) ≥ 8 21/. Cho 3 số x, y, z thoả mãn: x2 + y2 + z2 = 1. Chứng minh rằng – 1 ≤ x + y + z + xy + yz + zx ≤ 1 + 23/ .Cho n số dương a1 ,a2 ,….,an. Chứng minh rằng a) ≥ n b) (a1 + a2 + … + an)() ≥ n2 c) (1 + a1)(1 + a2)…(1 + an) ≥ 2n với a1.a2….an = 1 24/ Cho n số a1 ,a2 ,….,an  [0;1] ,chứng minh rằng : (1 + a1 + a2 + …+ an)2 ≥ 4(a12 + a22 + …+ an2) 25/ Cho a > b > 0 , chứng minh rằng : a + ≥ 3 .Khi nào xảy ra dấu = 26/ Cho hai số a ≥ 0 ; b ≥ 0 . Chứng minh rằng : 5 a) 2 + 3≥ 5 b) 5 √ a+12 12√ b ≥17 17√ ab c) ≥ 3a2b3 – 16 27/ Chứng minh rằng 1.3.5….(2n – 1) < nn 28*.Cho ba số không âm a ,b ,c chứng minh rằng : a + b + c ≥ m+ n+k√ am bn c k + m +n+k√ an b k c m + m +n+k√ a k b m cn 29*.Cho 2n số dương a1 ,a2 ,….,an và b1 ,b2 ,….,bn. Chứng minh rằng :  30/ Chứng minh rằng : ≤  a ≥ – 1 , b ≥ – 4 , c ≥ 2 ,d > 3 31/*.  n  N chứng minh rằng :. a) 1. . <. 2 n+1. ( ). n (n +1) 2. b) 1.22.33.44…nn < m. (. 2n+ 1 3. ). n(n+1 ) 2. n. 32/*.Cho m,n  N ;m > n . Chứng minh rằng : ( 1 + ) > ( 1 + ) 33/*.Cho x1,x2,…xn > 0 và x1 + x2 + ….+ xn = 1 Chứng minh rằng ()()…( ) ≥ (n + 1)n 34/*.Cho các số x1, x2 ,y1, y2, z1, z2 thoả mãn x1.x2 > 0 ; x1.z1 ≥ y12 ; x2.z2 ≥ y22 Chứng minh rằng : (x1 + x2)(z1 + z2) ≥ (y1 + y2)2 35/*.Cho 3 số a ,b ,c  (0;1). Chứng minh rằng trong 3 bất đẳng thức sau phải có một bất đẳng thức sai:. -. WWW.ToanCapBa.Net.

(76) WWW.ToanCapBa.Net a(1 – b) > 1/4 (1) ; b(1 – c) > 1/4 (2) ; c(1 – a) > 1/4 (3) 36/*.Cho 3 số a,b,c > 0. Chứng minh rằng : + +  37/** Cho x ,y ,z  [0;1] ,chứng minh rằng : (2x + 2y + 2z)(2– x + 2– y + 2– z)  (ĐHBK 78 trang 181,BĐT Trần Đức Huyên) 38/*.Cho a , b , c > 1. Chứng minh rằng : a)  2 b) 2 ≥ 39/ Cho a ,b ,c > 0,chứng minh rằng : a) ≥ b) ≥ c) ≥ 6 d) ≥ ab + bc + ca e) (a + b + c)(a2 + b2 + c2) ≥ 9abc f) ≥ a + b + c g) ≥ ≥ 40/ Cho ba số a ,b ,c tuỳ ý . Chứng minh rằng : a2(1 + b2) + b2(1 + c2) + c2(1 +ab2) ≥ 6abc 41/ Cho a ,b ,c > 0 thoả : . Chứng minh rằng : ≥ 4 42/ Cho 3 số a, b, c thoả a + b + c ≤ 1. Chứng minh rằng : a) + + ≥ 9 b) + + ≥ 9 43/ Cho a ,b ,c > 0 thoả a + b + c  k. Chứng minh rằng : )≥3 44/ Cho ba số a ,b ,c  0. Chứng minh rằng : ≥ 45/ Cho tam giác ABC,Chứng minh rằng : a) ha + hb + hc ≥ 9r b) < Dùng tam thức bậc hai 1/  x , y  R Chứng minh rằng : a) x2 + 5y2 – 4xy + 2x – 6y + 3 > 0 a) x2 + 4y2 + 3z2 + 14 > 2x + 12y + 6z b) 5x2 + 3y2 + 4xy – 2x + 8y + 9 ≥ 0 c) 3y2 + x2 + 2xy + 2x + 6y + 3 ≥ 0 d) x2y4 + 2(x2 + 2)y2 + 4xy + x2 ≥ 4xy3 e) (x + y)2 – xy + 1 ≥ (x + y) f) 3 + 10 ≥ 0 g) (xy + yz + zx)2 ≥ 3xyz(x + y + z) 2/ Cho 4 số a ,b ,c ,d thoả b< c < d chứng minh rằng : (a + b + c + d)2 > 8(ac + bd) 3/ Chứng minh rằng : (1 + 2x + 3x)2 < 3 + 3.4x + 32x+1 4/ Cho ax + by ≥ , x,y > 0. Chứng minh rằng : ab ≥ 1/4 5*/ Cho – 1  x  và – < y < ,chứng minh rằng : x2 + 3xy + 1 > 0 6**/ Cho a3 > 36 và abc = 1.Xét tam thức f(x) = x2 – ax – 3bc + a) Chứng minh rằng : f(x) > 0 x b) Chứng minh rằng: + b2 + c2 > ab + bc + ca 7/ Cho hai số x , y thoả mãn: x  y . Chứng minh rằng x3 – 3x  y3 – 3y + 4 .Tìm Giá trị nhỏ nhất của các hàm số : a) y = x2 + b) y = x + 2 + với x > – 2 c) y = x + với x > 1 d) y = với x > – 2 e) y = với x > 0 f) y = + với x  (0;1) 8/ Tìm giá trị lớn nhất của các hàm số sau: y = x(2 – x) 0 x  2 y = (2x – 3)(5 – 2x)  x  y = (3x – 2)(1 – x)  x  1 y = (2x – 1)(4 – 3x)  x . -. WWW.ToanCapBa.Net.

(77) WWW.ToanCapBa.Net y = 4x3 – x4 với x  [0;4] 11/ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy,trên các tia Ox và Oy lần lượt lấy các điểm A và B thay đổi sao cho đường thẳng AB luôn luôn tiếp xúc với đường tròn tâm O bán kính R = 1. Xác định tọa độ của A và B để đoạn AB có độ dài nhỏ nhất 12/*.Cho a ≥ 3 ; b ≥ 4 ; c ≥ 2 .Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A= 13/* Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = +. -. WWW.ToanCapBa.Net.

(78) WWW.ToanCapBa.Net §2 Bất phương trình bậc nhất I. Khái niệm bất phương trình một ẩn 1. Định nghĩa Cho hai hàm số f(x),g(x) cócác tập xác định D f,Dg. Đặt Df  Dg=D, mệnh đề chứa biến x D dạng f(x)>g(x) gọi là bất phương trình một ẩn. Ví dụ: 2x+3>3x+6; 2x2+3x < 2x+5; 3x3+6x 5x+3 2. Tập hợp nghiệm Tập hợp nghiệm của bất phương trình f(x) > g(x) là tập hợp tất cả các giá trị 3. Điều kiện của bất phương trình Là điều kiện của ẩn x sao cho f(x) và g(x) có nghĩa. x0.  D : f ( x 0 )  g ( x0 ). 2. Ví dụ: Điều kiện của bất phương trình 3  x  x  1  x là 3x0 và x+10 4. Bất phương trình chứa tham số Là bất phương trình chứa các chữ cái khác ngoài ẩn. Ví dụ: mx+2>5 (tham số m) 5. Hệ bất phương trình một ẩn Là hệ gồm từ hai bất phương trình bậc nhất một ẩn. Để giải một hệ bất phương trình ta giải từng bất phương trình rồi lấy giao các tập nghiệm đó.. 3  x 0  x  1 0 Ví dụ: Giải hệ  III. Bất phương trình tương đương 1. Định nghĩa: hai bất phương trình được gọi là tương đương nhau nếu chúng có cùng tập nghiệm. 2. Định lý 2.1 Định lý 1 (phép cộng, trừ): Cho f(x) > g(x) xácđịnh trên D. Nếu h(x) xác định trên D thì: f(x) > g(x)  f(x) + h(x) > g(x) + h(x) * Hệ quả: Nếu chuyển một biểu thức từ vế này sang vế kia của phương trình và đổi dấu thì ta được một bất phương trình mới tương đương với phương trình đã cho. 2.2 Định lý 2 (phép nhân, chia): Cho f(x) > g(x) xác định trên D + Nếu h(x) xác định trên D và h(x)>0 với mọi x  D thì bất phương trình: f(x) > g(x) f(x).h(x) > g(x).h(x) + Nếu h(x) xác định trên D và h(x)<0 với mọi x  D thì bất phương trình: f(x) > g(x)f(x).h(x) < g(x).h(x) 2.3. Định lí 3 (bình phương): Nếu f(x)  0, g(x) 0 thì f(x) > g(x)  f2(x) > g2(x) * Chú ý: Khi giải bất phương trình cần lưu ý các vấn đề sau + Đặt điều kiện (nếu có) trước khi biến đổi bất phương trình. + Khi nhân (chia) hai vế bất phương trình với một biểu thức thì chú ý xem biểu thức đó âm hay dương, hoặc biểu thức đó mang cả hai giá trị âm và dương. + Khi qui đồng mẫu số của bất phương trình: nếu biết chắc chắn mẫu dương thì không đổi dấu. + Nếu f(x)<0, g(x)<0 thì f(x) <g(x)  f(x) > g(x). Khi đó ta có thể bình phương 2 vế. * Ví dụ 1: Giải các bất phương trình sau a) 2x+3 > x+7  x > 4 => tập nghiệm là T=(4;  ) b) 2x-10  3x-2  -x 8  x  8 => T=(  ; 8] * Ví dụ 2: Giải các bất phương trình sau 2 a) ( x  2)(2 x  1)  2  x  ( x  1)( x  3) 2. Đáp án: x≤1. 2. x  x 1 x  x  2 2 x 1 b) x  2. Đáp án: x<1. -. WWW.ToanCapBa.Net.

(79) WWW.ToanCapBa.Net 2. 2. c) x  2 x  2  x  2 x  3 * Ví dụ 2: Giải các bất phương trình sau. Đáp án: x> ¼. 5x  2 3  x x 4 3 3 x  1  4 4 6 a) 1 1 b) x  1 x2 . Đáp án: 1/3<x≤3 Đáp án: 1<x≤2. 17 1 x 4 2. c) Chú ý: Các dạng cơ bản của bất phương trình căn thức:. √ A <√ B ⇔. A≥0 A< B ¿{ √ A <B ⇔ A≥0 B>0 A<B2 ¿{{ √ A >B ⇔ ¿ A≥0 B<0 ¿ ¿ ¿ B≥0 ¿ ¿ A>B2 ¿ ¿ ¿ √3 A < √3 B ⇔ A <B. Đáp án: x<4. √ A ≤ √B ⇔ A≥0 A≤B ¿{ √A≤ B⇔ A≥0 B≥0 A ≤ B2 ¿{ { √A≥ B⇔ ¿ A≥0 B≤0 ¿ ¿ ¿ B≥0 ¿ ¿ A ≥ B2 ¿ ¿ ¿. ;. ;. ;. IV. Bất phương trình ax+b > 0 Từ bất phương trình ax+b > 0  ax > -b (1) Biện luận: + Nếu a = 0 => (1)  0x > -b . nếu b > 0 => bpt VSN . nếu b < 0 => bpt VN . nếu b = 0 => bpt VN. b + Nếu a > 0 => bpt có nghiệm x > a b  + Nếu a < 0 => bpt có nghiệm x < a . Ví dụ : giải và biện luận bất phương trình (m-1)x -2+3m > 0 (1) Giải (1) (m-1)x > 2-3m (2) . Nếu m-1= 0  m=1 (2) 0x > -1 => bpt VSN. 2  3m x> m 1. . Nếu m-1> 0  m > 1 => bpt có nghiệm. -. WWW.ToanCapBa.Net.

(80) WWW.ToanCapBa.Net 2  3m x< m 1. . Nếu m-1 < 0  m < 1 => bpt có nghiệm Kết luận: . m =1 bpt VN. 2  3m . m > 1 bpt có nghiệm x > m  1 2  3m . m < 1 bpt có nghiệm x < m  1. -. WWW.ToanCapBa.Net.

(81) WWW.ToanCapBa.Net BÀI TẬP 1/ Giải các bất phương trình sau a) x  x  (2 x  3)( x  1) c). ( x  4)2 ( x  1)  0. 2 f) ( x  2) ( x . 2) 2  2. x2 x 2 x 1 x   3  3 4 2 h) 2 l) ( x  2) x  3 x  4  0. g) x(7x)+6(x1)<x(2x) k) ( x  2) x  3 x  4 0. ( x  1) 2 ( x  2) 0. ( x  2)2 ( x  3)  0. d). x 3 3 e) 2(x1)+x > 3. m) Đáp số: a) S= [0;3). b) ( 1  x  3)(2 1  x  5)  1  x  3. n) 2 x  8  4 x  21  0 b) S= (;5) c) S=(1;4)  (4;+) d) S= (3;+). e) S=(9/4;+); f) S=(; 2 / 4 ); g) (;6/11); h) S=[5;+); k) S=[3;2] l) S=(;4) (3;2) m) S={1}[2;;+) n) S=[21/4;13/2) 2/ Giải các hệ bất phương trình sau:. 3x  5  2 x  1  4 x  1  3x  2 a)  2 x  1  3x  4  5 x  3 8 x  9 d)   6x  5  2x  4   6x  2 4x  3  3  2 g).  4 x  7 8  x  2 x  3 12  x b)   x  8  3x  15  8 x  5 6 x  7 2 x  4  5 x  3 . 5 x  2  4 x  5  5x  4  x  2 c) . e). f). 3 3(2 x  7)   2 x  5  3   x  1  5(3 x  1) 2 2  h) . x  x 1 x  2   2  3 6  2  4 x  3  2 x  5.  3x  1 3  x x  1 2 x  1  2  3  4  3  3  2 x  1  x  4 5 3  i) . Đáp số: h) S=(4/13;19/10); i) S=(;13/27] 3/ Tìm điều kiện của các bất phương trình sau:. x 1 2 x 1  x 4 ( x  1) 2 a.. 3. 2. b.. x 2 5 x  3 x  3x  4 2. 4/ CMR các bất phương trình sau vô nghiệm: 2. a/ x  x  1  1 b/ 2  x  x  7  2 c/ 5/Giải các bất phương trình sau:. 4 x x 2  x  8 ( x  1)( x  3). ( x  3) x  1 5 x 1 a.. 4. 2. 1 1 d. x. x 1  d/. b. x2 > x c. x  x 6/ Giải và biện luận bất phương trình sau: a. mx + 4 > 2x – m b. m(x-1) ≤ x + 3m 7/ Tìm k để hai bất phương trình sau tương đương: a/ 3x + 2 > x – 5 và 4x + k > 2x – 5 b/ 2x +3 ≤ x + 6 và 5x – 1 ≤ 3x + 2.  x  2 4  x  (1  m) x 4m 8/ Tìm m để hệ bpt sau có nghiệm: . (ĐS: m<1). -. WWW.ToanCapBa.Net. 1 2 x 1.

(82) WWW.ToanCapBa.Net 9/ Tìm m để hệ bpt sau vô nghiệm:.  x 4m  3x  1  5 x  2 a. . 2 x  5  x  2  mx  2  3m b.   5 x  m 3 x  1  3  2 x 3x  m 10/ Tìm m để hệ bpt sau có nghiệm duy nhất : . -. 1 (ĐS: m= 7 ). WWW.ToanCapBa.Net.

(83) WWW.ToanCapBa.Net §3 Dấu của nhị thức bậc nhất 1. Định nghĩa: Nhị thức bậc nhất là biểu thức được biến đổi về dạng f(x) = ax+b (a 0) 2. Định lý : Bên trái nghiệm số trái dấu với a, bên phải nghiệm số cùng dấu với a.. x. . f(x ). tra ùid a áua. b a.  . 3 2.  . 0c u øn g d a áua. * Ví dụ : xét dấu f(x) = 2x+3 Giải Đặt f(x)=0  2x+3= 0  x =. x. . 3 2. . f(x ). 0. +. 3/ Xét dấu biểu thức được quy về tích hoặc thương các nhị thức bậc nhất Phương pháp: ta xét dấu từng nhị thức bậc nhất trên cùng một bảng xét dấu,sau đó tổng hợp dấu lại ta được dấu của biểu thức. * Ví dụ 1: Xét dấu biểu thức A=(x-2)(5-3x) Giải Đặt x-2=0 x= 2 5-3x= 0. x. 5 3. lập bảng xét dấu:. x  x-2 5-3x + A -. 53. 2 0. 0 0 + 0.  + -. 5 5 x  ( ; )  (2;) x  ( ;2) 3 3 Vậy A<0 ; A >0 ; A= 0  x=2; 5/3 (2 x  1)(3  x) 4 x  17 * Ví dụ 2: xét dấu biểu thức B = 4/ Giải bất phương trình (có ẩn ở mẫu số) quy về tích, thương các nhị thứ bậc nhất Để giải phương trình dạng này ta xét dấu biểu thức dạng tích hoặc thương các nhị thức bậc nhất đó. Sau đó kết hợp với chiều củ bất phương trình ta sẽ tìm được tập nghiệm củ bất phương trình đó. ( phần nào không lấy thì gạch bỏ) Ví dụ : Giải cácbất phương trình sau. 3x  4 1 a) x  2.  4 3  b) 3 x  1 2  x. Giải a) Ta biến đổi tương đương bất phương trình đã cho. 3x  4 3x  4 2x  2 1  10  0 x 2 x 2  x 2. đặt 2x-2 = 0  x=1 x 1  2x-2 0 + x-2 f(x) + 0 -. 2 0 //. + + +. . x-2 = 0  x = 2. -. WWW.ToanCapBa.Net.

(84) WWW.ToanCapBa.Net 2x  2 xét dấu biểu thức f(x)= x  2 vậy S= (  ;1)  (2;) b) Ta biến đổi tương đương bất phương trình đã cho.  5 x  11 0 ( 3 x  1 )( 2  x ) .  4 3  4 3   0 3 x  1 2  x  3x  1 2  x 11 1 x 2      5 3 -5x-11 + 0 3x+1 0 + + 2-x + + + 0 f(x) 0 + // - // +  11 Đặt -5x-11 = 0  x = 5 3 x  1 0  x  .  5 x  11 Xét dấu biểu thức f(x)= (3 x  1)(2  x ). 1 3. 2  x 0  x  2 ( ;. 11 1 )  ( ;2) 15 3. Vậy S = 5/ Phương trình, bất phương trình chứa trị tuyệt đối 1. Định nghĩa: là phương trình chứa biểu thức trị tuyệt đối của biến x trong phương trình 2. Phương pháp: ta sử dụng định nghĩa để giải phương trình. Nếu có từ hai biểu thức trị tuyệt đối trở lên ta phải lập bảng xét từng biểu thức trên cùng một bảng, sau đó căn cứ vào bảng xét dấu để giải. * Chú ý 1: Các dạng cơ bản của bpt chứa trị tuyệt đối. | f ( x ) |  | g ( x) | ( f (x)  g(x) )( f(x)  g(x) )  0  f ( x)  g ( x) |f(x)|  g(x)    f ( x)   g ( x)  f(x)> g(x) |f(x) |  g(x)    f(x)   g(x) 3. Ví dụ 3.1 Ví dụ 1: giải phương trình | x-1| + | 2x-4 | = 3 (1) Giải Ta xét dấu các biểu thức x-1;2x-4 x  x-1 2x-4 -. 1 0. + -. 2 0. + +. nhìn vào bảng xét dấu ta có: * nếu x  ( ;1) thì (1) -(x-1)-(2x-4)=3. 2 -3x = -2  x = 3 (nhận) -. WWW.ToanCapBa.Net. .

(85) WWW.ToanCapBa.Net * nếu x  [1;2) thì (1) x-1-(2x-4) = 3  x = 0  [1;2) (loại) * nếu x  [2;) thì (1) x-1+2x-4 = 3. 8  3x=8 x = 3 (nhận) 2 8  ;  Vậy S =  3 3  3.2 Ví dụ 2: giải các bất phương trình sau: a) | x-2 | > x+1 b) | 2x+1 | < x Tóm tắt lý thuyết 1. Giải và biện luận phương trình bậc nhất dạng ax + b >0ax > -b (1) Biện luận: + Nếu a = 0 thì (1) 0.x > -b - nếu b > 0 thì bất phương trình có vô số nghiệm. - nếu b  0 thì bất phương trình vô nghiệm.. b + Nếu a > 0 thì bpt có nghiệm x > a . b  a . + Nếu a < 0 thì bpt có nghiệm x . Kết luận 2. Xét dấu nhị thức bậc nhất f(x) = ax+b (a 0) x - -b/a + f(x) Trái dấu a 0 Cùng dấu a * Chú ý : Xét biểu thức dạng tích hoặc thương các nhị thức bậc nhất. (ax  b)(cx  d )...(ex  f ) ( gx  h)(kx  m) ( ví dụ : (ax+b)(cx+d)…(fx+k); …) ta xét dấu tất cả các nhị thứ bậc nhất trên cùng một bảng xét dấu. * Các bước xét dấu biểu thức : B1 : Đưa biểu thức đã cho về dạng ax+b hoặc dạng tích hoặc thương các nhị thức bậc nhất. B2 : Tìm nghiệm các nhị thức bậc nhất. B3 : Xét dấu tất cả các nhị thức trên cùng một bảng xét dấu. B4 : Tổng hợp => kết luận. 3. Giải bất phương trình bậc nhất B1 : Đưa bất phương trình về dạng f(x)>0 hoặc f(x)<0 hoặc f(x) 0 hoặc f(x)  0. B2 : Xét dấu biểu thức f(x). B3 : Kết hợp với chiều của bất phương trình => tập nghiệm. 4. Giải hệ gồm 2 bất phương trình bậc nhất dạng. Baát pt (1)  Baát pt (2) (I). B1 : Giải bất phương trình (1) => Tập nghiệm S1. B2 : Giải bất phương trình (2) => Tập nghiệm S2 . B3 : Tập nghiệm S của hệ (I) là S = S1  S2. BÀI TẬP 1 1/ Xét dấu các biểu thức sau: a) f(x)= (2x1)(x+3). b) f(x)= (3x3)(x+2)(x+3). -. WWW.ToanCapBa.Net.

(86) WWW.ToanCapBa.Net 4 3  c) f(x)= 3x  1 2  x. d) f(x)= 4x21. 2/ Giải các bất phương trình sau. 2 5  x  1 2x  1. b). 1 2 3 c)   x x 4 x 3. d). a). Đáp số:. 1 1  x  1 ( x  1) 2 x 2  3x  1 1 x2  1. a) S=(1/2;1) [3;+) c) S= (12;4)  (3;0). b) S= (;1)  (0;1)  (1;3) d) S= (;5)  (1;1)  (1;+). 3/ Giải bất phương trình. 5 10  x 1 b) x  2. a) |5x4| 6 c) |2x1|≤ x+2 c) |x1|≤ 2+x4|+x2 Đáp số: a) S= (;2/5)  [2;+) b) S= (;5)  (1;1)  (1;+) c) S= [1/3;3] d) S= [5/4; +) 4/ Xét dấu các biểu thức sau a) f(x)= (2x+3)(x2)(x+4). 2x  1 b) f(x)= ( x  1)( x  2). 3 1  c) f(x)= 2 x  1 x  2. d) f(x)= (4x1)(x+2)(3x5)(2x+7). 5/ Giải các bất phương trình sau. x2  x  3 1 2 b) x  4. 3 1 a) 2  x 1 1 1   c) x  1 x  2 x  2. d) |x3| > 1 e) |58x|≤ 11 f) |x+2|+|2x+1| ≤ x+1 Đáp số: a) S= (;1)  (2;+) b) S= (2;1]  (2;+) c) S= (2;0)  (1;2)  (4;+) d) S= R e) S= [3/4;2] f) Vô nghiệm 6*/ Lập bảng xét dấu các biểu thức sau. 4  3x 2x 1 x( x  3) 2 D= ( x  5)(1  x) A. B=1 . 2 x 3x  2. E  x 2  x  6. 2  3x G=(3x1)(x+2) H= 5 x  1 2x 2 3x  2 L= M= 9x2 1. F= 2x 2  (2  3) x  3. K= (x+1)(x+2)(3x+1) N= x3+7x6. 1 1  Q= 3  x 3  x. O= x3+x25x+3 P=x2x 2 2. x2  6x  8 2 R= x  8 x  9. C  x( x  2) 2 (3  x). x2  4 x  4 4 2 S= x  2 x. | x 1 |  1 2 T= x  x  1. 7/ Giải các bất phương trình sau. -. WWW.ToanCapBa.Net.

(87) WWW.ToanCapBa.Net (3  x)( x  2) a) 0 x 1 c) | 2 x  2 |  | 2  x | 3 x  2 e) (  2 x+2)(x+1)(2x3)>0 Đáp số: a) S=(1;2]  [3;+). 3 5  1  x 2x 1 d) | ( 2  3) x  1 | 2  3  4x 1  3 f) 3x  1 b). b) S=(;1/2)  [2/11;1) d) [52 6  3  2; 5+2 6  3  2 ]. c) S= (;1) e) S=(;1) ( 2 ;3/2) 8/ Giải và biện luận bất phương trình a) mx+4>2x+m2 d) x(m21) < m41 9/ Giải các bất phương trình sau. f) S=[4/5;1/3) b) 2mx+1 x+4m2 e) 2(m+1)x ≤ (m+1)2(x1). 3  2x 0 (3 x  1)( x  4) x2 x 2 d)  3x  1 2 x  1. a ) ( 3 x  2)( x  1)(4 x  5)  0 c). b).  3x  1  2 2x 1. Đáp số: a) S=(;1)  ( 2 3 /3;5/4) c) S= [3;1/2) 10/ Giải hệ bất phương trình. b) S=(1/3;3/2) hop (4;+) d) S=(;1/3)[0;1/2)[8;+). ( x  3)( 2  x )  0  a)  4 x  3  x 3   2 Đáp số: a) S= ( 2 ;3). 1  2   b)  2 x  1 3  x | x | 1. 5  6 x  7  4 x  7 a)   8 x  3  2 x  25  2. 1  15 x  2  2 x  3 b)  2( x  4)  3x  14  2. b) S=(1;1/2) 11/ Tìm nghiệm nguyên của hệ bất phương trình. Đáp số: a) S={4;5;6;7;8;9;10;11} 12/ Giải các phương trình và bất phương trình sau a) |x+1|+|x1|=4 d) |x25x+6|=x25x+6. b) S={1}. | 2x  1 | 1  b) ( x  1)( x  2) 2. c) |5+x|+|x3|=8 f) |x+2|+|x1|=5. e) |2x1|= x+2. 2 x 2 x  1 h). g) |3x5|<2 k) |x2|>2x3 l) |x+1|≤ |x|x+2 Đáp số: a) S={2;2} b) S= (4;1)(2;5) c) S=[5;3] d) S= x≤2 hoặc x>3 e) S={1/3;3} f) S={3;2} g) S=(1;7/3) h) S=(4;1)(1;0] k) S=(;5/3) l)S=(;1] 13. Giải bất phương trình (chứa giá trị tuyệt đối) :. a / |x 2 − 1|− 2 x <0 ; b / |2 x +5|≥|7− 4 x|; c / |5 −4 x|> 2 x −1 ; 2 x −4x d / 4 − x+|3 x 2 −6 x|<2 x −6 ; e/ 2 ≥1 x +3 x+ 2. |. |. 14. Giải bất phương trình (chứa căn thức) :. -. WWW.ToanCapBa.Net.

(88) WWW.ToanCapBa.Net a / √ x+18< 2− x ; b / x ≥ √ 24 −5 x ; c / 1 − √ 13− 3 x2 >2 x ; d / √ 5− x 2> x −2 ; e / √ x 2 −3 x +2 ≥ √ 2 x − 4 f / √ −2 −3 x − x 2< √ x +1 15/* Giải và biện luận phương trình. 3 x 0 b) x  2m  1. a) (2x 2 )(xm)>0 16/* Giải và biện luận hệ phương trình. 5  2    x  1 2x  1  x  m 0 b) . ( x  5)( 7  2 x)  0   x  m 0 a) . -. WWW.ToanCapBa.Net.

(89) WWW.ToanCapBa.Net BÀI TẬP 2 Bài 1: Giải và biện luận các bất phương trình sau theo tham số m a) m(x-m)  x-1 b) mx+6 > 2x+3m c) (m+1)x + m < 3x+4 Bài 2: Giải các bất phương trình sau:. 3x  4 1 a) x  2 2 5  c) x  1 2 x  1. 2x  5  1 b) 2  x  4 3  d) 3 x  1 2  x. Đáp số:. a) S=(;1)  (2;+) b) S=(2;3] c) S=(1/2;1) [3;+) d) S=(;11/5)(1/3;2) Bài 3: Giải các bất phương trình sau: a) | 2x-5 |  x+1 b) | 2x+1 | < x c) | x-2 | > x+1 d) | x+2 |  x+1 Đáp số:a) S=[4/3;6] b) Vô nghiệm c) S=(;1/2) d) S=R Bài 4: Giải và biện luận các phương trình sau theo tham số m: a) | 2x-1 | = x+m b) | x-1 | =x+m Bài 5: Tìm m để các bất phương trình sau vô nghiệm: a) m2x+4m-3 < x+m2 b) m2x+1  m+(3m-2)x Bài 6: Giải các hệ bất phương trình sau. 15  8  8 x  5   2  2(2 x  3)  5 x  3  4 a)  Đáp số: a) Vô nghiệm.  4x  5  x 3  7   3x  8  x  5  b)  4 b) S=(26/3;28/5). Bài 7: Tìm các nghiệm nguyên của hệ các bất phương trình sau:. 5  6 x  7  4 x  7   8 x  3  2 x  25  a)  2. 1  15 x  2  2 x  3  2( x  4)  3 x  14  2 b) . Đáp số: a) S={4;5;…;11}. b) S= {1}. Bài 8: Tìm số nguyên lớn nhất thoả mãn hệ bất phương trình:. 5  3x  3x  1 3( x  2)  1  4  8 2  3  4 x  1  x  1  4  5 x  18 12 9 Đáp số: S= {4}. -. WWW.ToanCapBa.Net.

(90) WWW.ToanCapBa.Net BÀI TẬP 3 1/ Giải và biện luận các bất phương trình sau a) (m +1)2x > 2mx + m b) (m2+m)x - m2 - 2m 0 2 c) (m+1)x  2m(x+1)+2+x. d) m x-1 > x+m. mx  1 mx  1  m  1 m  1 e) m - 1 2/ Giải bất phương trình a) 2x2 - 5x + 2 > 0. x-1 x 1   (m  2)x m 1 m 1 m -1. c) -4 + x2  0. b) (x-2)2(x-4) < 0. 10 0 e) 16x2 + 40x + 25 < 0 f) x( x  1)  25 x 1  2x 1 0  1 9 h) 18 k) ( x  2)( 3 x  2) 2 1  0 x 1 3  x 3 1 1 x 2 2 2 m) n) x  3 x  2. d) 25(x+10)(-x+1)  0. 2 4 5x  1   2 g) x  3 x  3 x  9 1 2  l) x  1 2 x  1 x 1 1  x2  x  2 x 1. f). x. o) 3/ Giải các hệ bất phương trình sau.  2x  3  x  1 1    ( x  2)(2 x  4) 0  x 1 b) . 3 x  1 2 x  7  4 x  3  2 x  19 a)   x 1  2 x  1 0   1  2  x  2 x  x  4 c)  x 1 x  3 x  2  x  4    2 x  5 3x  2  3 x  2  2 x  5 e)  (4 x 2  x)(1  3 x)  0 2x  1    (4  x )(3  2 x ) 0  2 9  x  g). d). 1  1 x  2  x  2   2 2 (5 x  19)  ( x  23). f). ( x  2 )( x  3 )( x  5 )  0   ( x  1)(3  2 x)( x  2) 0  2  2 x 2 1  2x  1   x 1  2 x  x  1 x3  1    3x (1  x 2 ) 0  h)  2 x  1. (5 x  1)(9  25 x 2 )  0   2  x  3 x  2  2( x  1)  x 1 i)  Đáp số: a) S = [6 ; 8). b) S =(-  ; -4]  (1;2]. c). -. 1 S = (-  ;-1]  (- 2 ;+  ). WWW.ToanCapBa.Net.

(91) WWW.ToanCapBa.Net 5. 3 d) S = (-1;2) e) S = (- 4; - 2 ) f) S = (-2;- 3 )  [-1; 2 )  [ 2 ;+  ) 3 1 1 1  g) S = (-  ; -3)  ( 2 ;- 4 )  (0; 3 )  ( 2 ;3)  [4;+  ) 1 3 h) S = (-1 ; - 2 )  (0;1) i) S = (-  ; -3 ]  [0 ; 5 ) 4/ Giải các hệ bất phương trình sau. a). ( x  2) 2 ( x  3)  0  2 x 2  3 x  1  0. b).  x 2  3x  1  x  2  x   ( x  1) 3 ( x  2) 2 ( x  6) 0   ( x  7) 3 ( x  2) 2 e).  x2  2x  5  x  3  x 1   x2 x 2   d)  3 x  1 2 x  1  x 2  2x  4  x  4  x 1   x2 x4   g)  2 x  3 2 x  1 Đáp số:. x  4 x  2  3   9   x  x  2 4 f).  2x  3  x  1 1  2  x  5x  4  ( x  2)(2 x  4) 1 0 2  x  4 x 1 h) i)  1 5 b) Vô nghiệm c) S = (-2;- 2 )  (1; 2 ). a) Vô nghiệm. 1 1 d) S = (- 3 ;0)  ( 2 ;8) g) Vô nghiệm. ( x  1) 2 0  ( x  1)( x  2)  0. x 1  2x   2x 1 x  2   x 3  x 2  2 x  1  2 x  5 c). e) S = [1;2). f) S = (-2;-1). 8 5 h) S = [0; 5 ]  [ 2 ;+  ). -. i) S = (-  ;-4]  (1;2]. WWW.ToanCapBa.Net.

(92) WWW.ToanCapBa.Net §4 Bất phương trình bậc nhất hai ẩn I/ Bất phương trình bậc nhất hai ẩn 1. Định nghĩa: là những bất phương trình có dạng ax+by+c > 0 ; ax+by+c < 0 ,trong đó a,b,c  R , a2+b2 0 . 2. Cách giải : để giải bpt ax+by+c > 0 ta vẽ đồ thị của đường thẳng ax+by+c = 0. Khi đó: + Nếu đường thẳng không đi qua gốc toạ độ thì ta thay góc toạ độ (0;0) vào vế trái bất phương trình để xác định miền nghiệm. + Nếu đường thẳng đi qua góc toạ độ thì ta lấy một điểm bất kì trong mặt phẳng thay vào vế trái bất phương trình để xác định miền nghiệm. * Ví dụ: Giải các bất phưng trình sau: a) x-3y < -3  x-3y+3 < 0 (1) Vẽ đường thẳng x-3y+3= 0 y. x-3y+3=0. 1 -3 0. x. Thay O(0;0) vào (1) 3<0  O(0;0) không thỏa (1)  ta gạch bỏ phần chứa gốc toạ độ. Miền không gạch là miền nghiệm . b) x-2y > 0 vẽ đồ thị đường thẳ x-2y = 0 , thay (0;1) vào vế trái ta được VT= -2 > 0 (!) => miền chứa (0;1) không phải là miền nghiệm. y 1/2. x 0. 1. II. Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn 1. Định nghĩa: là hệ có từ hai bất phương trình bậc nhất hai ẩn trở lên. 2. Cách giải: để giải hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn ta giải từng bất phương trình trong hệ rồi biểu diễn chúng lên cùng một hệ trục toạ độ, miền còn trống là miền nghiệm của hệ bất phương trình.. Ví dụ 1:. giải hệ. (1) x  y  0   x  3 y   3 (2) x  y  5 (3)  Giải. Ta vẽ các đường thẳng (d1): x-y= 0 (d2): x-3y+3= 0. (d3): x+y-5= 0. -. WWW.ToanCapBa.Net.

(93) WWW.ToanCapBa.Net (d3). 5. (d1). 1 -3. (d2). 0. I. x 5. 1. Miền I là miền nghiệm.. Ví dụ 2:.  x  0 y  0 x  y  0 Giải hệ . Giải Vẽ các đường thẳng : (d1): x= 0 (d2): y= 0. (d3): x+y= 0 y. S 1 -1. -. WWW.ToanCapBa.Net. x.

(94) WWW.ToanCapBa.Net BÀI TẬP Bài 1: Giải các bất phương trình bậc nhất hai ẩn a) x+3 +2(2y+5) < 2(1-x) c) 2x-y≤ 3 e) 2x-1<0 g) 2x+y> 1 k) 2x-3y+5 ≥ 0 Bài 2: Giải các hệ bất phương trình hai ẩn. a). x y  2  3  1 0  3y  4 2( x  1)  2   x 0  b) . x  y  0  x  3 y   3 x  y  5 . 3 x  y 9 x  y  3   2 y 8  x  y 6 d) . b) 4(x-1) + 5(y-3) > 2x-9 d) 3+2y >0 f) x-5y < 2 h) -3x+y+2 ≤ 0. . 3 y  0 2x  3y  1  0. e) Bài 3: Gọi S là tập hợp các điểm trong mặt phẳng toạ độ Oxy có toạ độ thoả mãn hệ bất phương trình:.  2 x  y   2  x  2 y 2    x  y 5  x 0 .Tìm các điểm của S làm cho biểu thức. F = y-x đạt giá trị nhỏ nhất. Bài 4: Gọi S là tập hợp các điểm trong mặt phẳng toạ độ Oxy có toạ độ thoả mãn hệ bất phương trình:.  x  y  2 0   x  y  1 0 2 x  y  1 0 .Tìm các điểm của S làm cho biểu thức F =2x+3y đạt giá trị max, min.. -. WWW.ToanCapBa.Net.

(95) WWW.ToanCapBa.Net §5 DẤU TAM THỨC BẬC HAI I/ Tam thức bậc hai 1. Định nghĩa: Tam thức bậc hai là biểu thức có dạng f(x) = ax 2+bx+c (a 0). 2. Định lý (về dấu tam thức bậc hai) Cho tam thức bậc hai f(x)= ax2+bx+c (a 0) và  = b2-4ac + Nếu  < 0 thì f(x) cùng dấu với hệ số a với mọi x..  . b 2a .. + Nếu  = 0 thì f(x) cùng dấu với hệ số a với + Nếu  > 0 thì f(x) có hai nghiệm phân biệt x1,x2 ( giả sử x1< x2) :  x 1 x 2 +  x. D a áu c u ûa C u øn g d a áu T r a ùid a áu C u øn g d a áu f ( x ) h e äs o áa h e äs o áa h e äs o áa 0 0 * Chú ý : ta có thể thay  bởi ' Ví dụ 1: xét dấu các tam thức sau a) f(x) = 3x2-2x+1 b) f(x) = -4x2+12x-9 Giải 2  ' a) cho f(x) = 0  3x -2x+1 = 0. tính = -2 < 0  vậy f(x) > 0 x. b) cho f(x) = 0  -4x2+12x-9 = 0. tính ' = 0. x . c) f(x) = x2-4x-5. 3 2.. vậy f(x) < 0 c) cho f(x)= 0 x2-4x-5 = 0. tính ' = 9 => x1=-1 ;x2 = 5  1 x. f ( x ). +. 5 _. 0. + 0. f(x) > 0 x  ( ; 1)  (5;). vậy. f(x) < 0 x  ( 1;5) f(x) = 0 khi x= -1 , x = 5 Ví dụ 2: Xét dấu các biểu thức sau a) A = (2x2+9x+7)(x2+x-6).  2 x2  5x  7 2. b) B =  x  3 x  10 Giải.  x1  1   x 2  7 2 a) Đặt 2x2+9x+7 = 0    x1 2  x  3 x2+x-6 = 0   2. -. + . WWW.ToanCapBa.Net.

(96) WWW.ToanCapBa.Net x. 7 2. - -. 2 x + 9 x + 7 + 2 x+ x -6 + + A. -3. -1. 2 +. 0 - 0+ + +0 -0+ 0 - 0 + 0 - 0+. II/ Bất phương trình bậc hai 1. Định nghĩa: Bất phương trình bậc hai là bất phương trình có một trong các dạng sau: ax2+bx+c > 0 ; ax2+bx+c < 0 ; ax2+bx+c  0 ax2+bx+c  0 ( a 0). 2 .Cách giải: Để giải bất phương trình bậc hai ta xét dấu tam thức bậc hai đó , kết hợp với chiều của bất phương trình ta sẽ tìm được nghiệm của bất phương trình. Ví dụ 1: Giải các bất phương trình sau a) 3x2+2x+5 > 0 S=R b) -2x2+3x+5> 0 S=(-1;5/2) c) -3x2+7x-4 < 0 S=(-;1) (4/3;+) 2 d) 4x -3x+1<0 Vô nghiệm e) 9x2-24x+16 < 0 S=R\{4/3} Ví dụ 2 . Giải các bất phương trình sau.  2 x2  5x  7 2. a) A = (2x2+9x+7)(x2+x-6) > 0 b) B =  x  3 x  10 < 0 2 Ví dụ 3. Xác định m để phương trình x +2(m+2)x-2m-1=0 có nghiệm HD:  ' =m2+6m+5 0  m≤5 hoặc m1 * Chú ý: Bài toán tìm m để f(x)= ax2+bx+c không đổi dấu (>0, <0, 0, ≤0) trên R + Xét trường hợp a=0 (nếu a chứa tham số). a  0 f ( x) 0, x  R     0 + Nếu a0 thì:. ;. a  0 f ( x) 0, x  R     0. III/ Hệ bất phương trình bậc hai (10NC) 1. Định nghĩa : Là hệ gồm từ hai bất phương trình bậc hai trở lên. 2. Cách giải: - Giải bất phương trình (1) tìm được S1 - Giải bất phương trình (2) tìm được S2 ---------------------------------------------- Giải bất phương trình (n) tìm được Sn Khi đó tập nghiệm của hệ là: S = S1  S2  …  Sn Ví dụ 1. Giải các hệ bất phương trình sau. 2 x 2  9 x  7  0  2 x  x  6  0 a)  Giải. 7 (  ; )  ( 1;) 2 Giải bpt(1) được S1 = ; Giải bpt(2) dược S2 = (-3;2) 1989 Vậy nghiệm của hệ là S = S1  S2= (-1;2) 2 x 2  5 x  4  0  2  x  11x  18  0 b)  Ví dụ 2. Tìm m thì bpt phương trình sau (2m+1)x2+3(m+1)x+m+1 < 0 (*) vô nghiệm. Giải + với a = 0 m=. . 1 3 1 1 1 x 0 x  2  (*)  2 2 3 . vậy m = 2 không thoả -. WWW.ToanCapBa.Net.

(97) WWW.ToanCapBa.Net 1  + với a 0  m  2 khi đó phương trình đã cho vô nghiệm Mức thu nhập (triệu đồng) Tần số 1  4,0 2m  1  0 1 m   a  0  S  2  1 4,5  2  5  m   1  0 5,09(m  1)  4(2m  1)(m 31) 0     vậy không có giá trị 5,5 nào của m để phương trình vô 5nghiệm. 6,0 8 6.5 5 7,0 7 13,0 2 Cộng 31. -. WWW.ToanCapBa.Net.

(98) WWW.ToanCapBa.Net * Chú ý: Bài toán tìm m để f(x)= ax2+bx+c không đổi dấu (>0, <0, 0, ≤0) trên R + Xét trường hợp a=0 (nếu a chứa tham số) + Nếu a0 thì:. a  0 f ( x)  0, x  R    0 a  0 f ( x ) 0, x  R     0 * Xét dấu các nghiệm phương trình bậc hai Giả sử phương trình bậc hai có hai nghiệm x1,x2 thì: x1< 0 < x2  P < 0 (hai nghiệm trái dấu). ¿ P>0 Δ≥0 x1 x2 < 0  ( hai cùng âm) S< 0 ¿{{ ¿ ¿ P>0 Δ≥ 0 0 < x1 x2  (hai cùng dương) S> 0 ¿{{ ¿ BÀI TẬP 1. 1/ Xét dấu các tam thức bậc hai sau a) 2x2 +5x+2 b) 4x2 3x1 2/ Giải các bất phương trình sau a) x2 2x+3>0. b) x2 +9>6x. x 2  9 x  14 0 2 e) x  9 x  14 x 1 x 1 2  x h) x  1. c) 3x2 +5x+1. d) 3x2 +x+5. 1 c) 6x2 x20 d) 3 x2 +3x+6<0 10  x 1 x2  1 0  2 2 2 f) x  3 x  10 g) 5  x 1 2 3   i) x  1 x  3 x  2. Đáp số: a) e) S=(;7)(2;2][7;+) 3/ Cho phương trình mx22(m1)x+4m1=0. Tìm m để phương trình có: a) Hai nghiệm phân biệt. b) Hai nghiệm trái dấu. c) Hai nghiệm dương. d) Hai nghiệm âm. 2 4 ' =  12 m 4 m. m.  1  13 3. HD: =0  4/ Tìm m để các phương trình sau nghiệm đúng với mọi x a) mx24(m1)x+m5≤ 0 b) 5x2x+m> 0 c) mx210x5<0. x 2  mx  2 1 2 d) x  3 x  4. 2 16 = 12 m 12 m  = 20m+1 = 5m+25 2 Vì x  3x  4 >0 với mọi x nên qui dồng bỏ mẫu. -. WWW.ToanCapBa.Net.

(99) WWW.ToanCapBa.Net 2. 6 m7 = m  2 2 = 4m 16m e) m(m+2)x +2mx+2>0 Đáp số: a) không có m b) m> 1/20 c) m< 5 d) 7<m<1 5/ Tìm m để các phương trình sau vô nghiệm a) 5x2x+m ≤0 mx210x50 6/ Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm dương phân biệt a) (m2+m+1)x2+(2m3)x+m5=0 b) x26mx+22m+9m2=0 Đáp số: a) không có m b) 0<m<1. e) m<4 hoặc m0. BÀI TẬP 2 Bài 1: Xét dấu các tam thức bậc hai a) 3x2-2x+1 b) -x2+4x+5 c) -4x2+12x-9 d) 3x2-2x-8. Bài 2: Giải các bất phương trình sau a) 2x2-5x+2 < 0 b) -5x2+4x+12 < 0 2 2 c) 16x +40x+25 > 0 d) -2x +3x-7 > 0 2  e) 3x -4x+4 0 f) x2-x-6  0. Bài 3: Tìm các giá trị của m để các phương trình sau có nghiệm a) (m-5)x2-4mx+m-2 = 0 b) (m-2)x2+2(2m-3)x+5m-6 = 0 c) (3-m)x2-2(m+3)x+m+2 = 0. Bài 4: Xác định m để các tam thức sau dương với mọi x a) 3x2+2(m-1)x+m+4 b) x2+(m+1)x+2m+7 c) 2x2+(m-2)x-m+4.. 2. = 4 m 20 m44 =0 m=. 2 = m 6 m27 =0 m=9;3. 2 4 m28  24 2 ,  24 2 = m  =0m=. Bài 5: Giải các bất phương trình sau. 1 5  1 a) 2  x 2  x 3 1 2 b) x  x  1. ; Kq2: 2<x<2 ; Kq2: 1≤x≤2. Bài 6: Tìm m để a) (m+2)x22(m1)x+m2<0,  x  R = 8m+20 b) (m2m6)x2+2(m+2)x+1>0,  x  R = 20m+40 BÀI TẬP THÊM Bài 1 : Giải các phương trình sau : a) b) c) d) e) f) g) h). 5 69 5 69  ,  2 2 2 2. x  1  1 0. x2 ; x = 1 ; -2. 2 2 | -3x + 4x + 4 | = | 4 -x | ; x = -1; 0 ; 2. | -2x + 3| - |-4x + 3 | = 3 - | 2x + 3 | ; x = 0 hoặc x  3/2. | x-1 | + | x - 2 | = 3 ; x = 0 ; 3. | 3|x-2| - 3 | = 3 ; x = 0 ; 2 ; 4. | 3x - 2 | + x = 11 ; x = 13/4 ; -9/2. |x|-|x-2|=2 ; x 2. | x - 3 | + 2| x - 1 | = 4 ; x = 3 ; 1/3.. 17  409 6 i) 3 | x2 - 4x + 2 | = 5x +16 ; x = 2 x  3  6 3x j) ; x = 3. -. WWW.ToanCapBa.Net.

(100) WWW.ToanCapBa.Net k). x2  2x  4  2  x. ; x = -1 ; -2.. l). 4  2x  x 2 x  2. ; x = 3.. m). 15  x  3  x 6. ; x = -1.. n). 3 x  12 . ; x = -1.. o) p). x  4  4  x  2 x  16 ; x = -4 ; 0. 2 x  6  x  4  x  4 ; x = 5.. q). 3x  1 . 5 x  6 2. x  4 1. ; x = 5.. 11  x  x  1 2 r) ; x = 2. Bài 2 : Giải các bất phương trình sau : a) | 1 - x2 |  (1+x)2 ; x = -1 hoặc x 0 . 2 2 b) | x - x +1 |  | 3x - 4 - x | ; x  3/2. c) | x2-3x+2 | > | x2 + 3x + 2 | ; x < 0.  7  53  5  77 ; 2 2 ;S=( ).. d) | x2 + 6x -7 | < x + 6 e) 2 | x+1 | > x + 4. ; x < -2 hoặc x > 2..  1. f). 21  1  21 ; 2 2 ; S =( ). 5  57 5  57 ( ; )( ;) 2 2 ; S= .. | x2 + x | - 5 < 0. g) x2 - | 5x + 8 | > 0 h) x2 + 4  | 3x + 2 | - 7x ; S = i) j). | x  3 | x 1 x2 | x +1 | + | x - 4 | > 7. x2  6x  2  x 1. l). x 2  x  12  x  1. m). x 2  x  12  7  x. n). x 2  3 x  10  x  2. 2 o) 2 1  x  x  2 1  4x  2x 1. q). x2  2x  2x  3. 19 ]  [  2  2 ;) .. ; S = (-5 ; -2 ) ; x < -2 hoặc x > 5.. k). p). ( ; 5 . r). x 1  x  1  x  2. s). 7 x .  (-1 ; +  ) .. ; x < 1/8. ; S = (-169/25 ; -1]  [0;+  ). ; x  -3 hoặc 4 < x < 61/13. ; S = R. ;  1  x   4 / 5 hoặc 0 < x  1. ; 0 < x < 1/4 . ;x>3.. 22 7 ; 3 ;S=( )..  3  2 x  2  x ; x < -2. 14  7  x 9 9  x 1 2 ; .. x 5 t) Bài 3 : Giải các phương trình,bất phương trình sau. ( Đặt ẩn số phụ ). -. WWW.ToanCapBa.Net.

(101) WWW.ToanCapBa.Net 2 a) x2 - 4x = 2 x  8 x  12  6 b) c). ;x=2.. 3 x 2  2 x  15  3 x 2  2 x  8 7. ; x = 1 ; -1/3.. x 2  x  7  x 2  x  2  3x 2  3x  19 ; x = -2;1. x 2  5x  2. d) (x + 1)(x + 4) - 3. =6. ; x = -7 ; 2.. 2 e) x2 + 2 x  3x  11 3 x  4 f) (x + 5)(x - 2) + 3 g). 3x 2  5x  7 . x( x  3). ; x  [1;2].. >0. ; x < -4 hoặc x >1.. 3 x 2  5 x  2 1. ; x  [-2;-1]  [-2/3;1/3].. -. WWW.ToanCapBa.Net.

(102) WWW.ToanCapBa.Net Chương V: THỐNG KÊ § 1 BẢNG PHÂN BỐ TẦN SUẤT VÀ TẦN SỐ 1/ Số liệu thống kê Khi thực hiện điều tra thông kê (theo mục đích định trước), cần xác định tập hợp các đơn vị điều tra, dấu hiệu điều tra và thu thập các số liệu. Ví dụ: Số liệu thông kê điểm kiểm tra 15' của lớp 10CB như sau 5 5 6 6 7 6 4 4 3 2 3 2 3 4 4 6 4 5 4 6 7 5 4 5 6 6 3 4 6 8 3 4 5 6 7 7 6 5 4 3 2/ Tần số-Tần suất Giả sử dãy n số liệu thống kê đã cho có k giá trị khác nhau ( k≤ n). Gọi xi là một giá trị bất kì trong k giá trị đó, ta có: * Tần số: số lần xuất hiện giá trị xi trong dãy số liệu đã cho gọi là tần số của giá trị đó, kí hiệu là ni. Ví dụ: Trong bảng số liệu trên ta thấy có 7 giá trị khác nhau là x1= 2, x2= 3, x3= 4, x4= 5, x5= 6, x6= 7, x7= 8 x1=2 xuất hiện 2 lần  n1= 2 (tần số của x1 là 2) * Tần suất:. n fi  i n được gọi là tần suất của giá tri xi. (tỉ lệ của ni, tỉ lệ phần trăm) Số. Ví dụ: x1 có tần số là 2, do đó:. f1 . 2 40 hay f1 = 5%. * Bảng phân bố tần suất và tần số Tên dữ liệu. Tần số. Tần suất (%). x1 x2 . . xk. n1 n2 . . nk. f1 f2 . . fk. Cộng n1+…+nk 100 % Ví dụ: Bảng phân bố tần số và tần suất điểm kiểm tra 15’ môn toán 10CB Điểm15’ toán. Tần số. 2 3 4 5 6 7 8. 2 6 10 7 10 4 1. Tần suất ( %) 5 15 25 17,5 25 10 2,5. Cộng 40 100% * Chú ý: Nếu bỏ cột tầng số thì ta được bảng phân bố tần suất; bỏ cột tần suất thì ta được bảng phân bố tần số. 3/ Bảng phân bố tần số và tần suất ghép lớp Giả sử n dãy số liệu thông kê đã cho được phân vào k lớp (k < n). Xét lớp thứ i trong k lớp đó, ta có: + Số ni các số liệu thông kê thuộc lớp thứ i được tần số của lớp đó.. n fi  i n được gọi là tần số của lớp thứ i + Số Ví dụ: Theo bảng thông kê trên ta có thể phân thành 3 lớp [2;5), [5;7), [7;8]. -. WWW.ToanCapBa.Net.

(103) WWW.ToanCapBa.Net Lớp điểm 15’ toán [2;5) [5;7) [7;8]. Tần số. Tần suất ( %). 18 17 5. 45,0 42,5 12,5. Cộng 40 100% * Bảng này gọi là bảng phân bố tần số và tần suất ghép lớp. Nếu bỏ cột tần số thì ta được bảng phân bố tần suất ghép lớp; Nếu bỏ cột tần suất thì ta được bảng phân bố tần số ghép lớp. Ví dụ: Cho các số liệu thống kê ghi theo bảng sau ( thành tích chạy 50m của học sinh lớp 10A, đơn vị tính bằng: giây) 6,3 6,2 6,5 6,8 6,9 8,2 8,6 6,6 6,7 7,0 7,1 7,2 8,3 8,5 7,4 7,3 7,2 7,1 7,0 8,4 8,1 7,1 7,3 7,5 7,5 7,6 8,7 7,6 7,7 7,8 7,5 7,7 7,8 a) Lập bảng phân bố tần số, tần suất lớp ghép với các lớp: [6,0;6,5); [6,5;7,0);[7,0;7,5);[7,5;8,0);[8,0;8,5);[8,5;9,0] b) Trong lớp 10A số học sinh chạy 50m hết từ 7 giây đến dưới 8,5 giây chiếm bao nhiêu phần trăm?. -. WWW.ToanCapBa.Net.

(104) WWW.ToanCapBa.Net §2 BIỂU ĐỒ I/ Biểu đồ tần suất hình cột và đường gấp khúc tần suất 1. Cách vẽ biểu đồ tần suất, tần số hình cột Để mô tả bảng phấn bố tần suất ghép lớp và trình bày các số liệu thống kê, có thể vẽ biễu đồ tần suất hình cột như sau: + Chọn hệ trục Oxf với đơn vị trên trục hoành Ox là đơn vị của dấu hiệu X được nghiên cứu; đơn vị trục tung Of là 1%. + Để đồ thị được cân đối, đôi khi phải cất bỏ một đoạn náo đó trên trục hoành (hoặc trục tung), dùng dấu "…" để biểu diễn phần bị cắt bỏ. + Trên trục hành, đặt các khoảng có các mút biểu diễn cho các mút của các lớp ở bảng phân bố tần suất ( độ dái các khoảng bằng bề rộng của các lớp) Ta gọi các khoảng và các lớp này tương ứng nhau. Lấy các khoảng đó làm cạnh đáy, vẽ các hình chữ nhật có độ dài của các đường cao bằng tần suất của các lớp tương ứng và nằm về phía chiều dương của trục tung. Ví dụ: xem SGK * Cách vẽ biểu đồ tần số hình cột: tương tự, nhưng thay trục tần suất bởi cột tần số. 2. Cách vẽ đường gấp khúc tần suất, tần số + Trong bảng phân bố ghép lớp ta lấy giá trị trung bình cộng của hai mút lớp thứ i làm giá trị đại diện của lớp đó, kí hiệu là ci. + Trên mặt phẳng tọa độ Oxf, xác định điểm (ci;fi), i=1;2;3;..;k. + Vẽ đoạn thẳng nối điểm (ci;fi) với điểm (ci+1;fi+1). Ví dụ: xem SGK II. Biểu đồ hình quạt + Toàn bộ hình tròn biểu diễn cho 100%. + Mỗi hình quạt biểu diễn số phần trăm trong bảng cơ cấu. + Số đo độ (và độ dài ) của các cung tròn tương ứng với các hình quạt tỉ lệ với số phần trăm của các nhóm trong bảng cơ cấu.. -. WWW.ToanCapBa.Net.

(105) WWW.ToanCapBa.Net §3 SỐ TRUNG BÌNH CỘNG, SỐ TRUNG VỊ, MỐT Để thu được thông tin quan trọng từ các số liệu thống kê, người ta sử dụng những số đặc trưng như: số trung bình cộng, số trung vị, mốt, phương sai, dộ lệch chuẩn. Các số đạc trưng này phản ánh những khía cạnh khác nhau của dấu hiệu điều tra. 1/ Số trung bình cộng ( x ). * Bảng phân bố tần suất và tần số Tên dữ liệu. Tần số. x1 x2 . xk. n1 n2 . nk. x a) Tính số trung Tần suất (%)bình cộng b) Tìm phương sai và độ lệch chuẩn f1 f2 . fk. Cộng n=n1+…+nk 100 % Trung bình cộng của các số liệu thống kê được tính theo công thức;. 1 x  (n x  n x  ...  n x )  f x  f x  ...  f x 11 2 2 k k k k n 11 2 2. * Trường hợp Bảng phân bố tần suất và tần số ghép lớp. 1 x  (n c  n c  ...  n c )  f c  f c  ...  f c 11 2 2 k k k k n 11 2 2. ci , fi , ni là giá trị đại diện của lớp thứ i. Ý nghĩa của so trung bình: Số trung bình của mẫu số liệu được dùng làm đại diện cho các số liệu của mẫu. Nó là một số đặc trưng quan trọng của mẫu số liệu. Ví dụ 1: Một nhà thực vật học đo chiều dài của 74 chiếc lá cây và thu được số liệu sau ( đơn vị mm) Lớp [5,45 ; 5,85) [5,85 ; 6,25) [6,25 ; 6,65) [6,65 ; 7,05) [7,05 ; 7,45) [7,45 ; 7,85) [7,85 ; 8,25). Giá trị đại diện 5,65 6,05 6,45 6,85 7,25 7,65 8,05. Tần số 5 9 15 19 16 8 2 N = 74. Khi đó chiều dài trung bình của 74 chiếc lá này là :. x. . 5.5,65  9.6,05  ...  8.7,65  2.8,05 74 6,80 (mm).. Ví dụ 2 : Một nhóm 11 học sinh tham gia một kì thi. Số điểm thi của 11 học sinh đó được sắp xếp từ thấp đến cao như sau: (thang điểm 100): 0 ; 0 ; 63 ; 65 ; 69 ; 70 ; 72 ; 78 ; 81 ; 85 ; 89. Điểm trung bình là:. 0  0  63  ...  85  89  x= 11 61,09. Quan sát dãy điểm trên, ta thấy hầu hết (9 em) trong nhóm có số điểm vượt điểm trung bình. Như vậy, điểm trung bình này không phản ứng đúng trình độ trung bình của nhóm.. -. WWW.ToanCapBa.Net.

(106) WWW.ToanCapBa.Net 2/ Số trung vị (Me) Khi các số liệu trong mẫu có sự chênh lệnh rất lớn đối với nhau thì số trung bình khó có thể đại diện cho các số liệu trong mẫu. Có một chỉ số khác thích hợp hơn trong trường hợp này. Đó là số trung vị. Định nghĩa: Giả sử ta có dãy n số liệu được sắp xếp thành dãy không giảm (hoặc không tăng). Khi đó, số trung vị (của các số liệu thống kê đã cho) kí hiệu là Me là : + số đứng giữa dãy nếu số phần tử n lẻ ; (=. n+1 ) 2. + trung bình cộng của hai số đứng giữa dãy nếu số phần tử n chẵn.. n n 1 (=trung bình cộng của số hạng thứ 2 và 2 ) Ví dụ 1: Điểm thi toán của 9 học sinh như sau: 1; 1; 3; 6; 7; 8; 8; 9; 10 Ta có Me= 7 Ví dụ 2: Số điểm thi toán của 4 học sinh như sau: 1; 2,5; 8; 9,5. 2,5  8 5, 25 Ta có Me= 2 3/ Mốt (MO) Mốt của bảng phân bố tần số là giá trị (xi) có tần số (ni ) lớn nhất và được kí hiệu là MO. Chú ý: Có hai giá trị tần số bằng nhau và lớn hơn tần số các giá trị khác thì ta nói trường hợp này có hai M (1) , M (2) O . Mốt, kí hiệu O Ví dụ : Một cửa hàng bán 6 loại quạt với giá tiền là 100, 150, 300, 350, 400, 500 (nghìn đồng). Số quạt cửa hàng bán ra trong mùa hè vừa qua được thống kê trong bảng tần số sau: Giá tiền. 100. 150. 300. 350. 400. 500. Số quạt bán được. 256. 353. 534. 300. 534. 175. Nhận xét và tìm mốt ? 4/ Chọn đại diện cho các số liệu thống kê: a) Trường hợp các số liệu thông kê cùng loại và số lượng thống kê đủ lớn (n  30) thì ta ưu tiên chọn số trung bình làm đại diện cho các số liệu thống kê ( về quy mô và độ lớn). b) Trường hợp không tính được giá trị trung bình thì ta chọn số trung vị hoặc mốt làm đại diện cho các số liệu thống kê ( về quy mô và độ lớn). c) Không nên dùng số trung bình để đại diện cho các số liệu thống kê trong các trường hợp sau (có thể dùng số trung vị hoặc mốt): + Số các số liệu thống kê quá ít (n ≤ 10). + Giữa các số liệu thống kê có sự chênh lệc quá lớn. + Đường gấp khúc tần suất không đối xứng, (và nhiều trường hợp khác). -. WWW.ToanCapBa.Net.

(107) WWW.ToanCapBa.Net §4 PHƯƠNG SAI VÀ ĐỘ LỆCH CHUẨN I. PHƯƠNG SAI:. s2. Phương sai, kí hiệu là x . + Trường hợp bảng phân bố tần số, tần suất. 1 sx2   n1 ( x1  x) 2  n2 ( x2  x) 2  ...  nk ( xk  x) 2  n  f1 ( x1  x )2  f 2 ( x2  x ) 2  ...  f k ( xk  x ) 2 . + Trường hợp bảng phân bố tần số, tần suất ghép lớp. 1 sx2   n1 (c1  x)2  n2 (c2  x ) 2  ...  nk (ck  x) 2  n  f1 (c1  x) 2  f 2 (c2  x) 2  ...  f k (ck  x) 2 . + Có thể tính theo công thức sau:.  . sx2  x 2  x. 2. 1  n1 x12  n2 x22  ...  nk xk2   f1 x12  f 2 x22  ...  f k xk2 x n Trong đó = 2. (đối với bảng phân bố tần số, tần suất). 1  n1c12  n2 c22  ...  nk ck2   f1c12  f 2 c22  ...  f k ck2 hoặc x = n 2. (đối với bảng phân bố tần số, tần suất ghép lớp) *Ý nghĩa phương sai + Phương sai được sử dụng để đánh giá mức độ phân tán của các số liệu thống kê (so với số trung bình). + Khi hai dãy số liệu thống kê có cùng đơn vị đo và có số trung bình bằng nhau hoặc xấp xỉ nhau, dãy có phương sai càng nhỏ thì mức độ phân tán (so với số trung bình) của các số liệu thống kê càng bé. II. ĐỘ LỆCH CHUẨN: Khi chú ý đơn vị đo ta thấy phương sai. sx2 có đơn vị đo là bình phương của đơn vị đo được nghiên cứu. s2. ( đơn vị đo nghiên cứu là cm thì x là cm2), để tránh tình trạng này ta dùng căn bậc hai của phương sai gọi là độ lệch chuẩn. Độ lệch chuẩn, kí hiệu là sx. sx  sx2 * Ý nghĩa độ lệch chuẩn: Độ lệch chuẩn cũng dùng đánh giá mức độ phân tán của các số liệu thống kê (so với số trung bình). Khi cần chú ý đến đơn vị đo ta dùng độ lệch chuẩn để đánh giá vì độ lệch chuẩn có cùng đơn vị đó với dấu hiệu X được nghiên cứu. Ví dụ 1 :Sản lượng lúa (đơn vị là tạ) của 40 thửa ruộng thí nghiệm có cùng diện tích được trình bày trong bảng tần số sau đây: Sản lượng 20 21 22 23 24 (x) N= Tần số (n) 5 8 11 10 6 40 a) Tìm sản lượng trung bình của 40 thửa ruộng b) Tính phương sai và độ lệnh chuẩn Giải: a) Sản lượng trung bình của 40 thửa ruộng là. x. 884 40 = 22,1 (tạ). 2. 19598  884     40  = 1,54 ; Độ lệch chuẩn là s = 1,54 1,24 (tạ) b) s2 = 40. -. WWW.ToanCapBa.Net.

(108) WWW.ToanCapBa.Net Ví dụ 2: Điểm trung bình môn học của hai học sinh An và Bình trong năm học vừa qua như sau: Môn. Điểm TBcủa An. Điểm TB của Bình. Toán 8 Vật lí 7,5 Hóa học 7,8 Sinh học 8,3 Văn học 7 Lịch sử 8 Địa lí 8,2 Anh văn 9 Thể dục 8 Công nghệ 8,3 GDCD 9 a) Tính phương sai, độ lệch chuẩn của An , Bình b) Nêu nhận xét. a) Từ số liệu ở cột điểm của An ta có. 725,91  89,1    2 S A = 11 -  11 . 8,5 9,5 9,5 8,5 5 5,5 6 9 9 8,5 10. 2.  0,3091. ;SA  0,556. Từ số liệu ở cột điểm của Bình ta có. 705,5  89    2 S B = 11 -  11 . 2.  2,764; SB  1,663. b) Phương sai điểm các môn học của Bình gấp gần 9 lần phương sai điểm các môn học của An. Điều đó chứng tỏ Bình học lệch hơn An.. -. WWW.ToanCapBa.Net.

(109) WWW.ToanCapBa.Net THỰC HÀNH GIẢI TOÁN THỐNG KÊ LỚP 10 BẰNG MÁY TÍNH CẦM TAY CASIO ----------------1. Sử dụng máy Casio fx - 570 ES (Stat MODE 3 ) 2. Sử dụng máy Casio fx - 500 ES (Stat: MODE 2 ). B(0; 1). + O A(1; 0). A'(-1 ; 0). B'(0; -1). -. WWW.ToanCapBa.Net.

(110) WWW.ToanCapBa.Net 3. Sử dụng máy Casio fx - 570 ES.lus. 4. Sử dụng máy Casio fx - 570 MS MODE MODE 1 (SD) 5. Sử dụng máy Casio fx - 500 MS. -. WWW.ToanCapBa.Net.

(111) WWW.ToanCapBa.Net BÀI TẬP Bài 1/ Cho các số liệu thống kê ghi theo bảng sau (thời gian hoàn thành một giản phẩm của một nhóm công nhân, đơn vị tính: bằng phút) 42 42 42 42 44 44 44 44 44 45 45 45 45 45 45 45 45 45 45 45 45 45 45 45 45 45 45 45 45 54 54 54 50 50 50 50 48 48 48 48 48 48 48 48 48 48 50 50 50 50 a) Hãy lập bảng phân bố tần số, tần suất. b) Trong 50 công nhân được khảo sát, những công nhân có thời gian hoàn thành một sản phẩm từ 45 phút đến 50 phút chiếm bao nhiêu phần trăm. Bài 2/ Cho số liệu thống kê về chiều cao của 120 học sinh lớp 11, đơn vị tính : cm. Như sau Nam Nữ 175 163 146 150 172 141 155 150 176 162 147 151 172 142 156 154 176 161 149 152 172 142 157 152 177 165 148 153 175 150 158 152 176 169 152 155 175 154 159 153 170 144 168 160 170 150 144 160 170 143 167 160 170 152 144 165 170 142 166 160 170 152 143 159 165 141 174 161 170 160 143 165 166 144 173 162 170 160 140 159 175 156 161 172 175 160 145 168 175 157 162 171 176 161 146 159 B 176 160 158 170 176 162 147 168 M2 176 164 159 170 175 164 148 159M 175 163 160 170 176 165 149 168 a) Lập bảng phân bố tần số, tần suất ghép lớp cho cả nam và nữ với các lớp: A' O A [135;145); [145;155); [155;165); [165;175); [175;185] y b) Trong số các học sinh chiều cao chưa đến 155cm (của 120 hs khảo sát), học sinh nam đông hơn hay M3 M1 B học sinh nữ đông hơn? B' Bài 3/ Cho số liệu thống kê thời gian từ nhà đến trường của bạn A trong 35 ngày (thời gian tính: phút) như sau: 21 22 24 19 23 26 25 M 22 19 23 20 23 27 26 22 20 24 21 24 28 25 A' O A x 21 20 23 22 23 29 26 23 21 26 21 24 28 25 a) Lập bảng phân bố tần số, tần suất ghép lớp: [19;21),[21;23),[23;25),[25;27),[27;29]. B' b) Thời gian đến trường từ 21 phút đến dưới 25 phút chiếm bao nhiêu phần trăm? Bài 4/ Cho bảng phân bố ghép lớp ( kết quả đo của 55 hs, khi đo tổng các góc trong của một tứ giác lồi) Lớp số đo (độ) Tần số [535;537) 6 [537;539) 10 [539;541) 25 [541;543) 9 [543;545] 5 Cộng 55 a) Bổ sung thêm cột tần suất. b) Nêu nhận xét về kết quả đo của 55 học sinh trên. Bài 5/ Cho các số liệu thông kê về nhiệt độ trung bình (0C) của tháng 5 ở địa phươ A thừ 1961 đến 1990 như sau: 27,1 26,9 28,5 27,4 29,1 27,0 27,1 27,4 28,0 28,6 28,1 27,4 27,4 26,5 27,8 28,2 27,6 28,7 27,3 26,8 26,8 26,7 29,0 28,4 28,3 27,4 27,0 27,0 28,3 25,9. -. WWW.ToanCapBa.Net.

(112) WWW.ToanCapBa.Net a) Lập bảng phân bố tần số, tần suất ghép lớp [25;26), [26;27), [27;28); [28;29), [29;30] b) Trong 30 năm khảo sát, những năm có nhiệt độ trung bình của tháng 5 (ở địa phương A) từ 28 0C đến 300C chiếm bao nhiêu phần trăm? Bài 6/ a) Mô tả bảng phân bố tần số ghép lớp đã lập được ở bài tập số 3 bằng cách vẽ biểu đồ tần số hình cột, vẽ đường gấp khúc tần số. b) Mô tả bảng phân bố tần suất ghép lớp đã lập được ở bài tập số 3 bằng cách vẽ biểu đồ tần suất hình cột, vẽ đường gấp khúc tần suất. c) Dựa vào biểu đồ tần suất hình cột đã vẽ ở câu b) nêu nhận xét về thời gian bạn A đi từ nhà tới trường trong 35 ngày khảo sát. Bài 7/ a) Trong cùng một hệ trục tọa độ hãy vẽ: Đường gấp khúc tần suất mô tả bảng phân bố tần suất ghép lớp lập được ở bài tập số 2 theo chiều cao của học sinh nam; Đường gấp khúc tần suất mô tả bảng phân bố tần suất ghép lớp lập được ở bài tập số 2 theo chiều cao của học sinh nữ; b) Dựa vào các đường gấp khúc tần suất đã vẽ ở câu a) hãy so sánh các phân bố theo chiều cao của học sinh nam và nữ. Bài 8/ Cho bảng phân bố tần số ghép lớp: Tình hình tham gia hoạt động ngoài giờ lên lớp của 73 học sinh lớp 10 trương THPT B ( trong thời gian một tháng).. Bài 9/ Cho các biểu đồ hình quạt Cơ cầu chi tiêu của người dân Việt Nam, phân theo các khoản chi (%). Dựa vào các biểu đồ hình quạt đã cho, lập bảng trình bày cơ cấu chi tiêu của nhân dân Việt Nam trong năm 1975 và 1989.. 1989 Bài 10/ a) Bằng hai cách khác nhau, tính số trung bình của dãy số liệu về chiều cao của học sinh nam và nữ cho trong bảng bài tập 1. b) So sánh chiều cao của học sinh nam và nữ trong nhóm học sinh được khảo sát. c) Tính chiều cao trung bình của tất cả các học sinh được khảo sát. Bài 11/ a) Tính số trung bình của các số liệu thống kê cho trong các bài tập 3,4,5. b) Nêu ý nghĩa của các số trung bình tính được. Bài 12/ Cho bảng phân bố tần số. -. WWW.ToanCapBa.Net.

(113) WWW.ToanCapBa.Net Mức thu nhập trong năm 2000 của 31 gia đình trong một bản ở vùng núi cao.. Mức thu nhập (triệu đồng) Tần số 4,0 1 4,5 1 5,0 3 5,5 5 6,0 8 6.5 5 7,0 7 13,0 2 31liệu thống kê đã cho. a) Tính số trungCộng bình, số trung vị, mốt của các số b) Chọn giá trị đại diện cho các số liệu thống kê đã cho. Bài 13/ Cho bảng xếp loại lao động của học sinh lớp 10A năm học 2000-2001. Loại lao động A B C D. Tần số 10 16 16 7. Cộng 49 a) Tính số trung bình, số trung vị, mốt của bảng nếu tính được. b) Chọn giá trị đại diện cho các giá trị thống kê đã cho về quy mô và độ lớn. Bài 14/Tính a) Tính phương sai và độ lệch chuẩn của dãy số liệu về chiều cao của các học sinh nam và học sinh nữ cho ở bài tập 2. b) Giả sử trường THPT M còn có một nhóm học sinh nam lớp 10 chuyên Toán (kí hiệu là nhóm T) có chiều cao trung bình là 163cm, có độ lệch chuẩn là sx=13. So sánh chiều cao của ba nhóm học sinh đã cho (nhóm nam, nữ và nhóm T).. -. WWW.ToanCapBa.Net.

(114) WWW.ToanCapBa.Net Bài 15/ Hai xạ thủ cùng tập bắn, mỗi người đã bắn 30 viên đạn vào bia. Kết quả được ghi lại ở bảng sau: Điểm số của A: 8 10 10 10 10 9 Điểm số của B:. 9 8 7 8 9 6. 10 7 10 9 7 8. 9 6 9 8 9 6. 9 8 8 6 9 8. 9 9 10 6 9 10 8 8 5 9 9 10 6 10 7 y 8 10 9 10 9 B 9 10 7 7S 9 9 8 7 8M 8 K a) Tính số trung bình, phương sai và độ lệch chuẩn của các số liệu thống kê cho ở 2 bảng trên. b) Xét xem trong lần tập bắn này, xạ thủ nào bắm chụm hơn. O H A x Bài 16/ Người ta điều tra sản phẩm của hai tổ đóng gói các túi đường (có khối lượng quy định là 2kg). Kết quả điều tra cho các số liệu thống kê ghi trong 2 bảng sau: Khối lượng của 40 túi đường được đóng gói bởi tổ A (đơn vị làB'kg). 1.95 1.94 2.02 1.94. 2.09 2.05 1.94 2.01. 1.91 2.02 1.92 1.99. 1.99 1.97 1.97 1.95. 1.93 1.91 2.00 2.03. 2.07 1.95 2.02 2.06. 5.15 2.05 2.04 1.91. 1.96 2.04 2.05 2.14. 1.93 2.03 2.02 1.90. 1.94 2.00 2.02 2.25. Khối lượng của 40 túi đường được đóng gói bởi tổ B (đơn vị là kg). 1.77 1.79 1.80 1.69 1.76 1.69 1.69 1.93 1.94 1.98 2.07 1.98 1.96 1.97 2.06 1.96 1.96 1.91 1.93 2.06 1.97 2.07 2.06 2.08 1.91 1.95 2.05 1.93 1.94 2.02 2.22 2.31 1.80 2.30 2.30 2.23 2.31 2.25 2.24 2.23 a) Lập bảng phân bố tần số và tần suất ghép lớp theo sản phẩm của tổ A với các lớp: [1.90;1.98); [1.98;2.06);[2.06;2.14);[2.14;2.22);[2.22;2.30). b) Lập bảng phân bố tần số và tần suất ghép lớp theo sản phẩm của tổ B với các lớp: [1.5;1.7);[1.7;1.9); [1.9;2.1);[2.1;2.3);[2.3;2.5). c) Tính số trung bình, phương sai và độ lệch chuẩn của các số liệu thống kê cho ở bảng 2 bảng trên. Từ đó xét xem trong lần điều tra này, sản phẩm của tổ nào có khối lượng đồng đều hơn. Bài 17: Số liệu sau đây cho ta lãi (quy tròn) hàng tháng của một cửa hàng trong năm 2005. Đơn vị là triệu đồng. T 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 L 12 15 18 a) Tìm số trung bình, số trung vị. b) Tìm phương sai và độ lệch chuẩn. Đáp số: a) x 15.67 triệu đồng;. 13. 13. 16. 18. 14. 15. 17. 20. 17. M e 15.5 triệu đồng. 2. b) s 5.39; s 2.32 triệu đồng Bài 18. Một cửa hàng vật liệu xây dựng thống kê số bao xi măng bán ra trong 23 ngày cuối năm 2005. Kết quả như sau: 47 ; 54 ; 43 ; 50 ; 61 ; 36 ; 65 ; 54 ; 50 ; 43 ; 62 ; 59 ; 36 ; 45 ; 45 ; 33 ; 53 ; 67 ; 21 ; 45 ; 50 ; 36 ; 58. a) Tìm số trung bình, số trung vị. b) Tìm phương sai và độ lệch chuẩn.. -. WWW.ToanCapBa.Net.

(115)

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay
×