Giai pt dong du bang may tinh Casio

<span class='text_page_counter'>(1)</span>DÙNG MÁY TÍNH CASIO FX570MS ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỒNG DƯ Ở cấp II học sinh đã làm quen “Đồng Dư”, khi lên đại học sinh viên ngành Toán gặp lại “Đồng Dư” ở môn “Số Học”. Nhưng việc tìm nghiệm của phương trình hoặc hệ phương trình “Đồng Dư” đôi lúc gặp khó khăn. Ở đây tôi giới thiệu phương pháp dùng máy tính để giải phương trình và hệ phương trình đồng dư nhờ máy tính bỏ túi Casio 570MS. 1. Phương trình đồng dư bậc nhất: Dạng: ax ≡ b(mod m) Ví dụ: Giải phương trình đồng dư: 9x ≡ 6(mod 15) Giải: Ta biến đổi 9x ≡ 6(mod 15) ⇔ 3x ≡ 2(mod 5) , tìm x nhờ máy tính bỏ túi như sau Cách 1: Dùng phím CALC Ta dùng ô nhớ A để giải Ta nhập vào máy biểu thức: (A→ →0) A = A + 1 : (3 A − 2 ) ÷ 5 Nhấp phím Calc màn hình hiện A? ta nhập A ban đầu là 1 rồi nhấn dấu = liên tiếp đến khi A+1 có giá trị bằng 4 thì (3A-2) ÷5 có giá trị 2 là số nguyên. Do đó ta được x ≡ 4(mod 5)  x ≡ 4(mod 15) Nên phương trình có nghiệm:  x ≡ 9(mod 15) là xong  x ≡ 14(mod 15) Cách 2: Dùng lập trình nhập từ bàn phím máy tính Ta nhập vào máy biểu thức: (A→0) A = A + 1 : (3 A − 2) ÷ 5 rồi nhấn dấu = liên tục khi nào (3A-2) ÷5 có giá trị là số nguyên thì ta chọn giá trị A+1 khi đó Do đó ta được x ≡ 4(mod 5)  x ≡ 4(mod 15) Nên phương trình có nghiệm:  x ≡ 9(mod 15)  x ≡ 14(mod 15)
. Chú ý: Thông qua việc giải phương trình đồng dư thì ta có thể áp dụng giải bài toán như sau “Tìm số nguyên dương nhỏ nhất x để nx chia cho m thì được dư là r, trong đó n, m, r đề bài đã cho) 2. Hệ phương trình đồng dư bậc nhất một ẩn  x ≡ a 1 (mod m 1 )   x ≡ a 2 (mod m 2 ) Dạng:  (m1, m2, . . . ,mn) nguyên tố sánh đôi ..........................  x ≡ a n (mod m n ) Ví dụ 1: Bài toán điểm binh của “Hàn Tín”:  x ≡ 2(mod 3)   x ≡ 3(mod 5)  x ≡ 4(mod 7)  Giải: Cách 1: Dùng phím CALC.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Cho ô nhớ A chứa số 0 Ta nhập biểu thức như sau: A = A + 1 : ( A − 2 ) ÷ 3 : ( A − 3) ÷ 5 : ( A − 4) ÷ 7 Nhấn CALC thì màn hình hiện A? ta nhập 1 rồi nhấn các lần bằng thì ta 2 có kết quả (A – 2)÷3 là 0; (A – 3)÷5 là − 0,2 ; (A – 4)÷7 là − 0.285714285... ( − ) 7 Nhấn = liên tiếp cho đến khi các giá trị của (A – 2)÷3, (A – 3)÷5 và (A – 4)÷7 là những số nguyên thì ta chọn A+1 khi đó. Ta có: A+1=53 thì các giá trị của (A – 2)÷3, (A – 3)÷5 và (A – 4)÷7 là những số nguyên Do đó x ≡ 53(mod 105) trong đó 105 = 3x 5x7 Cách 2: Dùng lập trình nhập từ bàn phím máy tính Cho ô nhớ A chứa số 0 Ta nhập biểu thức như sau: A = A + 1 : ( A − 2) ÷ 3 : (A − 3) ÷ 5 : (A − 4) ÷ 7 nhấn dấu bằng liên tục đến khi các giá trị của (A – 2)÷3, (A – 3)÷5 và (A – 4)÷7 là những số nguyên thì ta chọn A+1 khi đó Do đó x ≡ 53(mod 105) trong đó 105 = 3x 5x7 Ví dụ 2: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất x thoả đồng thời các điều kiện  x ≡ 1(mod 2 )  x 2(mod 3)  ≡  x ≡ 3(mod 4)   x ≡ 4(mod 5)  x ≡ 5(mod 6 )   x ≡ 6(mod 7)   x ≡ 7(mod 8 ) Giải: Ta cũng có hai cách giải giống như trên nhưng tôi chỉ nêu một cách giải như sau: Ta cho ô nhớ A ban đầu là 15 (có thể lớn hơn miễn sao đừng sai số tự nhiên nhỏ nhất thoả điều kiện) Nhập biểu thức: A = A + 1 : ( A − 1) ÷ 2 : ( A − 2 ) ÷ 3 : ( A − 3) ÷ 4 : ( A − 4) ÷ 5 : ( A − 5 ) ÷ 6 : ( A − 6 ) ÷ 7 : ( A − 7) ÷ 8 Rồi nhấn dấu bằng liên tục đến khi (A – 1)÷2; (A – 2)÷3; (A – 3)÷4; (A – 4)÷5; (A – 5)÷6; (A – 6)÷7; (A – 7)÷8 có giá trị nguyên thì ta nhận A+1 khi đó. Ta có số nguyên cần tìm là 839. Máy tính bỏ túi không dừng ở hai loại phương trình trên, nó còn có thể giải phương trình đồng dư bậc cao rất gọn và nhanh. 3. Phương trình đồng dư bậc cao Dạng: f (x) = a 0 x n + a 1 x n − 1 + ... + a n ≡ 0(mod m) trong đó a0 ≡0(modm) , n>1, m>1 Ví dụ: Giải phương trình f (x) = x 4 + 2 x 3 − 9x + 1 ≡ 0(mod 5 3 ) Giải: Cánh 1: Dùng phím CALC Ta cũng cho ô nhớ A chứa số 0.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Nhập vào máy biểu thức: A = A + 1 : ( A 4 + 2 A 3 − 9 A + 1) ÷ 5 3 Nhấn phím CALC trên màn hình xuất hiện A? nhập 1 ta có A = A + 1 = 2 : ( A 4 + 2 A 3 − 9 A + 1) ÷ 5 3 = 0.12 rồi nhấn dấu bằng cho đến khi giá trị của ( A 4 + 2 A 3 − 9 A + 1) ÷ 5 3 là số nguyên thì ta chọn A+1 khi đó Ta có x ≡ 57(mod 5 3 ) Cách 2: Dùng lập trình nhập từ bàn phím Ta cũng cho ô nhớ A chứa số 0 Nhập vào máy biểu thức: A = A + 1 : ( A 4 + 2 A 3 − 9 A + 1) ÷ 5 3 Rồi ta dùng liên tiếp dấu bằng cho đến khi giá trị của ( A 4 + 2 A 3 − 9 A + 1) ÷ 5 3 là số nguyên thì ta chọn A+1 khi đó Ta cũng có x ≡ 57(mod 5 3 ). Tóm lại: Dù dùng phím CALC hay lập trình từ bàn phím đưa vào thì kết quả như nhau. Nhưng đôi khi phím CALC có lợi hơn bởi vì ở bước n thì ta có thể thay đổi giá trị của A nhập từ bàn phím, còn cách dùng lập trình nhập từ bàn phím thì không thay đổi giá trị của A được mà nó tuân thủ theo lập trình đã lập. Bài tập áp dụng: Bài 1: Giải các phương trình đồng dư sau a. 6 x ≡ 27(mod 33) b. 9x ≡ 42(mod 52) c. 91x ≡ 84(mod 143) Bài 2: Giải các hệ phương trình sau  3 x ≡ 5(mod 7)  x ≡ 1(mod 3) x ≡ 5(mod 6 )    a.  2 x ≡ 3(mod 5) b.  x ≡ 4(mod 6) c. 7 x ≡ 5(mod 12 )  5 x ≡ 1(mod 9)  x ≡ −5(mod 15) 17 x ≡ 19(mod 30)    Bài 3: Giải các phương trình sau: a. 2 x 2 + 3x + 1 ≡ 0(mod 27) b. x 3 + 2 x 2 + 2 x − 2 ≡ 0(mod 27) c. 3x 3 + 2 x 2 + x − 1 ≡ 0(mod 125) d. x 3 + 2 x 2 + 3x + 9 ≡ 0(mod 27).

<span class='text_page_counter'>(4)</span>