Bài tập khái niệm số phức ôn thi THPT môn Toán

<span class='text_page_counter'>(1)</span>12. KHÁI NIỆM SỐ PHỨC. DẠNG 1. PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN 1. 12.. KHÁI NIỆM SỐ PHỨC. KIẾN THỨC CẦN NHỚ. Tính chất của số phức (phần này là kiến thức của cả BÀI TẬP MẪU và BÀI TẬP PHÁT TRIỂN). 1. Các kiến thức cơ bản về số phức • Tập hợp số phức: C.. • z là số thực ⇒ phần ảo của z bằng 0 (b = 0). • z là thuần ảo ⇒ phần thực của z bằng 0 (a = 0). • Số 0 vừa là số thực vừa là số ảo. • Hai số phức bằng nhau: Cho số phức z1 = a + b · i và z2 = c +®d · i. a=c Khi đó z1 = z2 ⇔ a + b · i = c + d · i ⇔ (phần thực bằng nhau, phần ảo bằng nhau). b=d. 2. Các phép toán về số phức: Cho số phức z1 = a + b · i và z2 = c + d · i. Khi đó  Phép cộng hai số phức z1 + z2 = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d) · i.  Phép trừ hai số phức z1 − z2 = (a + bi) − (c + di) = (a − c) + (b − d) · i.  Phép nhân hai số phức z1 · z2 = (a + bi) · (c + di) = (ac − bd) + (ad + bc) · i k.z = k · (a + bi) = ka + kbi.  Phép chia hai số phức. z1 z1 · z 2 z1 · z 2 (a + bi) · (c − di) (ac + bd) + (bc − ad)i ac + bd bc − ad = = = = = 2 + 2 i 2 2 2 2 2 z2 z2 · z 2 |z2 | c +d c +d c + d2 c + d2 h Geogebra Pro. Trang 124. 50 DẠNG TOÁN PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN 1. • Số phức (dạng đại số ): z = a + bi (a, b ∈ R), a là phần thực, b là phần ảo, i là đơn vị ảo, i2 = −1)..

<span class='text_page_counter'>(2)</span> 12. KHÁI NIỆM SỐ PHỨC. PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN 1.  Mô-đun của số phức z là |z| =. p. a2 + b 2. • |z · z 0 | = |z||z 0 |. z0 |z| • | |= 0 z |z |. • ||z| − |z 0 || ≤ |z + z 0 | ≤ |z| + |z 0 |. • ||z| − |z 0 || ≤ |z − z 0 | ≤ |z| + |z 0 |.  Số phức liên hợp: Số phức liên hợp của z = a + bi là z̄ = a − bi. • z̄¯ = z. Nhóm: PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA. • z + z 0 = z̄ + z 0. • z − z 0 = z̄ − z 0 • z̄ · z 0 = z · z 0. •.  z 0. =. z. z0 • z · z̄ = a2 + b2 z. 3. Tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân: Cho cấp số nhân có công bội q , số hạng đầu u1 . Đặt Sn = u1 + u2 + · · · + un , khi đó Sn =. 2. u1 (1 − q n ) (q 6= 1) 1−q. BÀI TẬP MẪU. Ví dụ 1. (ĐỀ MINH HỌA BDG 2019-2020) Mô-đun của số phức 1 + 2i bằng √ √ A 5. B 3. C 5. D 3. Lời giải. Sử dụng công thức tính mô đun của số phức để làm. √ √ Ta có |1 + 2i| = 12 + 22 = 5. Chọn phương án C. 3. BÀI TẬP TƯƠNG TỰ VÀ PHÁT TRIỂN. √ 1 3 Câu 1. Cho số phức z = − i. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng? 2 2 √ √ −1 3 2 A z · z̄ = −|z|. B z̄ = + i. C |z| = i. D |z| = 1. 2 2 2 Lời giải. √ √ 1 3 −1 3 Ta có z̄ = + i suy ra “ z̄ = + i” sai. 2 2 2 2 z z̄ = 1…suy ra “ z · z̄ = −|z|” sai. √ 1 3 2 |z| = + = 1; suy ra “ |z| = i” sai, “ |z| = 1” đúng. 4 4 2. Chọn phương án D h Geogebra Pro. Trang 125.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> 12. KHÁI NIỆM SỐ PHỨC. PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN 1. Câu 2. Cho số phức z thỏa mãn (1 − i)z + 4z̄ = 7 − 7i. Khi đó, mô-đun của z bằng bao nhiêu? √ √ A |z| = 3. B |z| = 5. C |z| = 3. D |z| = 5. Lời giải. Giả sử z = a + bi(a, b ∈ R). (1 − i)z + 4z̄ = 7 − 7i ⇔ (1 − i)(a + bi) + 4(a − bi) = 7 − 7i ⇔ a + bi − ai + b + 4a − 4bi = 7 − 7i ⇔ (5a + b) − (a + 3b)i = 7 − 7i. ® ⇔ √. √. − a − 3b = −7. ⇔. a=1. ⇒ z = 1 + 2i. b=2. 5 50 DẠNG TOÁN PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN 1. Vậy |z| = 12 + 22 = Chọn phương án B .. ®. 5a + b = 7. Câu 3. Cho hai số phức z và z 0 . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? A z̄ + z 0 = z + z 0 . B |z · z 0 | = |z| · |z 0 |. C z · z0 = z · z0. D |z + z 0 | = |z| + |z 0 |. Lời giải. • Với hai số phức z và z 0 , ta có: |z + z 0 | ≤ |z| + |z 0 | nên phương án D sai.. Chọn phương án D Câu 4. Cho hai số phức z1 = 1 + i và z2 = −5 + 2i. Tính mô-đun của số phức z1 + z2 . √ √ A 5. B −5. C 7. D − 7. Lời giải. Ta có p z1 + z2 = (1 + i) + (−5 + 2i) = −4 + 3i ⇔ |z1 + z2 | =. (−4)2 + 32 = 5. Chọn phương án A . Câu 5. √ Cho số phức z thỏa mãn (2z − 1)(1 + i) + (z̄ + 1)(1 √ − i) = 2 − 2i. Giá trị√của |z| là A. 2 . 2. B. √. 2.. C. 3 . 2. D. 2 . 3. Lời giải. Gọi z = a + bi(a, b ∈ R) ta có: (2z − 1)(1 + i) + (z̄ + 1)(1 − i) = 2 − 2i ⇔ [(2a − 1) + 2bi](1 + i) + [(a + 1) − bi](1 − i) = 2 − 2i ⇔ (2a − 2b − 1) + (2a + 2b − 1)i = (a − b + 1) − (a + b + 1)i = 2 − 2i. ® ⇔ (3a − 3b) + (a + b − 2) = 2 − 2i ⇔. 3a − 3b = 2 a+b=0. ⇔.  1  a =. 3.  b = − 1 . 3. √. Vậy |z| =. 2 3. h Geogebra Pro. Trang 126.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> 12. KHÁI NIỆM SỐ PHỨC. PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN 1. Chọn phương án D . Câu 6. Cho số phức z = (3 − 2i)(1 + i)2 . Môđun của w = iz + z̄ là √ A 2. B 2 2. C 1. Lời giải. Ta có ® z = (3 − 2i)(1 + i)2 = (3 − 2i)2i = 4 + 6i ⇔. Mà w = iz + z̄ = −6 + 4i + 4 − 6i = −2 − 2i ⇒ |w| = Chọn phương án B. D. 2.. iz = i(4 + 6i) = −6 + 4i. z = 4 − 6i.. p. (−2)2 + (−2)2 =. √ √ 8 = 2 2.. √ ( 3 + i)3 Câu 7. Cho số phức z thỏa z̄ = . Môđun của số phức z̄ + iz là i − 1 √ √ A 2 2. B 4 2. C 0.. Nhóm: PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA. √. D 16.. Lời giải. √ ( 3 + i)3 Ta có z̄ = = 4 − 4i ⇒ z = 4 + 4i. i−1 Suy ra z̄ + iz = 4 − 4i + i(4 + 4i) = 0 ⇒ |z̄ + iz| = 0. Chọn phương án C Câu 8. Cho z = 1 − 2i và w = 2 + i. Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai? w A = 1. B |z · w| = |z| · |w| = 5. z z |z| C = 1. = w |w|. D z · w = z · w = 4 + 3i.. Lời giải. •. w 2+i = = i. z 1 − 2i. (. |z · w| = |4 − 3i| =. •. •. |z| · |w| =. 12. 42 + (−3)2 = 5. + (−2)2. ·. p. 22 + 12 = 5.  z p  = | − i| = 02 + (−1)2 = 1  w √ |z| 5   = √ =1 |w| 5. ® •. p. p. z · w = 4 − 3i = 4 + 3i z̄ · w̄ = (1 + 2i)(2 − i) = 4 + 3i. ⇒. ⇒ |z · w| = |z| · |w| = 5.. z |z| = = 1. w |w|. ⇒ z · w = z · w = 4 + 3i.. Chọn phương án A Câu 9. Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn |z| = A 2. B 3. Lời giải. h Geogebra Pro. √. 2 và z 2 là số thuần ảo? C 4.. D 1.. Trang 127.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> 12. KHÁI NIỆM SỐ PHỨC. PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN 1 √. Gọi z = a + bi (a, b ∈ R). Ta có |z| = a2 + b2 và z 2 = a2 − b2 + 2abi. Yêu cầu của bài toán thỏa mãn khi và chỉ khi ® 2 ® 2 ® 2 a +b =2. a2 − b 2 = 0. a =1. ⇔. b2 = 1. a = ±1. ⇔. b = ±1.. Vậy có 4 số phức thỏa mãn điều kiện bài toán. Chọn phương án C √. Câu 10. Tìm số phức z thỏa mãn hệ thức |z − (2 + i)| = 10 và z · z̄ = 25. A z = 3 + 4i; z = 5. B z = 3 + 4i; z = −5. C z = −3 + 4i; z = 5. D z = 3 − 4i; z = −5. Lời giải. Gọi z = a + bi với a, b ∈ R ⇒ z̄ = a − bi. √. 10 ⇔ |a − 2 + (b − 1)i| = ⇔. √. 10 √ (a − 2)2 + (b − 1)2 = 10. p. ⇔ (a − 2)2 + (b − 1)2 = 10(∗). Ta có z · z̄ = 25 ⇔®(a + bi)(a − bi) = 25 ⇔ a2 +® b2 = 25(∗∗) ® Từ (∗) và (∗∗) ⇒. (a − 2)2 + (b − 1)2 = 10. a2 + b2 = 25 Vậy z = 3 + 4i; z = 5.. ⇔. a=3. ∨. b=4. a=5 b=0. .. Chọn phương án A Câu 11. Cho√số phức z = a+bi(a, b ∈ R) thỏa mãn 7a+4+2bi = −10+(6−5a)i. Tính P = √ (a+b)|z| √ √ −4 29 72 2 AP= . B P = 24 17. C P = 12 17. DP= . 7. 49. Lời giải. Ta có ® (7a + 4) + 2bi = −10 + (6 − 5a)i ⇔ √. Suy ra P = (a + b)|z| = (a + b) a2 + b2 = (−2 + 8) Chọn phương án C. 7a + 4 = −10 2b = 6 − 5a. ® ⇔. a = −2 b = 8.. √ (−2)2 + 82 = 12 17.. p. Câu 12. Cho số phức z1 = 1 − 2i, z2 = 2 + i. Mô-đun của số phức w = z1 − 2z2 + 3 là √ √ A |w| = 5. B |w| = 5. C |w| = 4. D |w| = 13. Lời giải. Ta có: w = z1 − 2z2 + 3 ⇔ w = 1 − 2i − 2(2 + i) + 3 = −4i ⇔ |w| =. p. (−4)2 = 4. Chọn phương án C. h Geogebra Pro. Trang 128. 50 DẠNG TOÁN PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN 1. |z − (2 + i)| =.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> 12. KHÁI NIỆM SỐ PHỨC. PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN 1. Câu 13. Cho số phức z thỏa mãn điều kiện (2+i)z+ có giá trị là A 10. Lời giải. Ta có. B −10.. (2 + i)z +. 1−i = 5−i. Mô-đun của số phức w = 1+2z+z 2 1+i. D −100.. C 100.. 1−i (1 − i)2 = 5 − i ⇔ (2 + i)z + =5−i 1+i (1 + i)(1 − i) −2i ⇔ (2 + i)z + =5−i 2 ⇔ (2 + i)z = 5 5 =2−i ⇔z= 2+i. Nhóm: PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA. Suy ra ⇒ w = 1 + 2z + z 2 = (1 + z)2 = (3 − i)2 = 8 − 6i ⇔ |w| = Chọn phương án A. p. 82 + (−6)2 = 10.. Câu 14. Cho số phức z thỏa z = 2i − 2. Mô-đun của số phức z 2020 là A 24040 . B 22020 . C 26060 . Lời giải. Ta có:. D 23030 .. z 2020 = 22020 (i − 1)2020 = 22020 (−2i)1010 = 23030 i ⇒ z 2020 = 23030. Chọn phương án D . Câu 15. Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn: |z|2 + |z|2 = 50 và z + z = 8 A 3. B 2. C 4. Lời giải. Đặt z = x + yi(x, y ∈ R), ta có z̄ = x − yi, |z|2 = |z̄|2 = x2 + y 2 . Ta có: ®. |z|2 + |z̄|2 = 50 z + z̄ = 8. ® ⇔. x2 + y 2 = 25 x=4. ® ⇔. D 1.. x=4 y = ±3. . Vậy có 2 số phức thỏa yêu cầu đề bài. Chọn phương án B Câu 16. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào là khẳng định sai? A (1 + i)2020 = 21010 .. B. √ (1 + i)2020 − i = 5. 1009 2. C (1 + i)2020 − 21010 i = 21010 . D (1 + i)2020 = (1 − i)2020 . Lời giải. (1 + i)2020 = (2i)1010 = 21010 . Suy ra A đúng. √ Do đó (1 + i)2020 − 21010 i = 21010 − 21010 i = 21010 2. Suy ra C sai. Chọn phương án C h Geogebra Pro. Trang 129.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> 12. KHÁI NIỆM SỐ PHỨC. PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN 1. Câu 17. Có bao nhiêu số phức z thỏa. z−i z+1 = 1 và =1 i−z 2+z. A 1. B 2. C 3. D 4. Lời giải.   z+1  3 ® ®   = 1 x = −  i−z |z + 1| = |i − z| x = −y 2 ⇒ z = − 3 + 3 i. ⇔ ⇔ ⇔ Ta có: 3 2 2   z−i |z − i| = |2 + z| 4x + 2y = −3 y =   =1 2 2+z. Chọn phương án A Câu 18. Cho số phức z = A. 1 . 2. −m + i , m ∈ R. Tìm |z|max 1 − m(m − 2i). B 0.. C 1.. D 2.. −m + i m i Ta có: z = = 2 + 2 ⇒ |z| = 1 − m(m − 2i) m +1 m +1. … m2. 1 ≤ 1 ⇒ |z|max = 1 ⇔ m = 0. +1. Chọn phương án C Câu 19. Cho số phức z = 1 + i2 + i4 + · · · + i2n + · · · + i2020 , n ∈ N. Mô-đun của z bằng A 2. B 2020. C 1010. D 1. Lời giải. Ta có i2 + i4 + · · · + i2n + · · · + i2020 là tổng của cấp số nhân có công sai q = i2 , gồm 1010 số hạng. z = 1 + i2. 1 − (i2 )1010 = 1 ⇒ |z| = 1. 1 − i2. Chọn phương án D Câu 20. Cho số phức z có phần thực và phần ảo là các số dương thỏa mãn. z +(1−i)5 · z̄ −. 3 + 20i. Khi đó mô-đun của số phức w = 1 + z + z 2 + z 3 có giá trị bằng bao nhiêu? √ A 25. B 5. C 5. D 1.. 2−i i6.
3 =. Lời giải. Ta có
3. • 2−i. = (2 + i)3 = 8 + 12i + 6i2 + i3 = 2 + 11i. • (1 − i)5 = (1 − i) · (1 − i)2. . 2. = (1 − i) · (−2i)2 = −4 + 4i. Gọi z = x + yi. Khi đó 2−i z + (1 − i)5 · z̄ − i6.
3 = 3 + 20i ⇔ x + yi + (−4 + 4i) · (x − yi) = 1 + 9i ⇔ (x − 4x + 4y) + (4x + 5y)i = 1 + 9i. ® ⇔. x − 4x + 4y = 1 4x + 5y = 9. h Geogebra Pro. ® ⇔. x=1. ⇒z =1+i. y=1. Trang 130. 50 DẠNG TOÁN PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN 1. Lời giải..

<span class='text_page_counter'>(8)</span> 12. KHÁI NIỆM SỐ PHỨC. PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN 1. Nhóm: PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA. Suy ra w = 1 + (1 + i) + (1 + i)2 + (1 + i)3 = 5i ⇒ |w| = 5. Chọn phương án B. h Geogebra Pro. Trang 131.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> 12. KHÁI NIỆM SỐ PHỨC. PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN 1.  BẢNG ĐÁP ÁN  1. D 11. C. 2. B 12. C. 3. D 13. A. 4. A 14. D. 5. D 15. B. 6. B 16. C. 7. C 17. A. 8. A 18. C. 9. C 19. D. 10. A 20. B. 50 DẠNG TOÁN PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN 1. h Geogebra Pro. Trang 132.

<span class='text_page_counter'>(10)</span>