SKKN mot so dang toan ve duong tron

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Một số bài toán về đơng tròn. A. Đặt vấn đề. I- Đặt vấn đề. Trong qu¸ tr×nh häc m«n To¸n ë trêng THCS häc sinh cÇn biÕt c¸c tæ chøc c«ng viÖc cña m×nh mét c¸c s¸ng t¹o. Ngêi thÇy cÇn rÌn luyÖn cho häc sinh kĩ năng, thói quen độc lập suy nghĩ, suy nghĩ khoa học sâu sắc, suy nghĩ có quy luật , có phơng pháp. Vì vậy đòi hỏi ngời thầy một sự lao động sáng tạo, biết tìm tòi những phơng pháp để dạy cho học sinh trau dồi t duy lôgic giải các bài toán đặc biệt các tài toán hình học. Là một giáo viên dạy toán ở trờng THCS, trực tiếp bồi bỡng, phụ đạo vµ «n luyÖn vµo THPT, t«i nhËn thÊy viÖc gi¶i c¸c bµi tËp h×nh häc ë ch¬ng trình THCS không chỉ là nêu và trình bày lời giải, đó mới là điều kiện cần nhng cha đủ. Muốn giỏi hơn thế học sinh phải biết định dạng các bài tập và từ đó tìm ra phơng pháp giẩi một cách hợp lí nhất, điều này đối với học sinh THCS cßn rÊt m¬ hå nhÊt lµ phÇn h×nh häc. Trong ch¬ng tr×nh THCS h×nh häc lµ mét néi dung cÇn thiÕt ph¶i rÌn luyện và trong các đề thi chuyển cấp, thi học sinh giỏi luôn có một tỉ lệ nhất định dành cho hình học, đặc biệt phần đờng tròn là một trong những nội dung cơ bản không thể thiế trong các đề thi đó. Hình học là công cụ để rèn luyÖn trÝ th«ng minh, t duy s¸ng t¹o, t duy l«gic vµ ph¸t triÓn trÝ tëng tîng. Vì vậy nó là nền móng vững chắc để hộc nhứng môn khoa học khác. Các dạng toán về hình học nói chung và về phần đờng tròn nó riêng rất ®a d¹ng vµ phong phó. Song khi gi¶i c¸c bµi to¸n nµy häc sinh thêng gÆp kh«ng Ýt khã kh¨n, phøc t¹p. Tõ thùc tÕ gi¶ng d¹y t«i thÊy häc sinh rÊt bÕ t¾c trong việc đình dang, kĩ năng vẽ hình, trình bày còn yếu nhất là phần đờng trßn. Nªn trong khu«n khæ s¸ng kiÕn kinh nghiÖm nµy t«i xin nªu ra mét sè dạng toán về đờng tròn. Từ những thuận lợi, khó khăn và yêu cầu thực tiễn giảng dạy. Tôi đã m¹nh d¹n lùan chon vµ viÕt s¸ng kiÕn kinh nghiÖm “ Mét sè d¹ng to¸n c¬ bản về đờng tròn”. Với hi vọng thông qua chuyên đề này có thể giúp học sinh có kĩ năng định dạng, kĩ năng giải và hứng thú hơn trong học môn Toán. Trong qu¸ tr×nh viÕt s¸ng kiÕn kinh nghiÖm, do ®iÒu kiÖn vµ kinh nghiệm còn hạn chế nên không tránh khỏi khiếm khuyết. Rất mong đợc sự đóng góp, bổ sung ý kiến của các bạn bè đồng nghiệp để sáng kiến kinh nghiệm đợc áp dung một cách hiệu quả. II- Mục đích. - Củng cố cho học sinh các kiến thức cơ bản về đờng tròn, nắm đợc một số dạng toán cơ bản về đờng tròn. - Có kĩ năng định hớn dạng toán và vận dụng kiến thức đã học vào giải bµi tËp mét c¸c thµn th¹o - KÜ n¨ng tr×nh bµy khoa häc logic. - Phát huy trí lực của học sinh để tìm ra nhiều hớng giải hay. - Gióp häc sinh cã kiÕn thøc vµ tù tin khi gi¶i to¸n hoÆc thi cö. III- NhiÖm vô. - Nhắc lại các kiến thức cơ bản về đờng tròn. - Phân dạng toán, nêu ra phơng pháp giải và hớng dẫn học sinh định d¹ng mét bµi to¸n - áp dụng đề tài vào tiết luyện tập, ôn tập, phụ đạo và bồi dỡng. violet.vn/hieuthao560. 1.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Một số bài toán về đơng tròn. IV- Néi dung. - Ch¬ng I: C¸c kiÕn thøc c¬ b¶n. - Ch¬ng II: Mét sè d¹ng to¸n c¬ b¶n. - Ch¬ng III: Bµi tËp rÌn kÜ n¨ng. B. Giải quyết vấn đề. Nội dung cơ bản của hình học phẳng lớp 9 có thể nói là hình họcvề đờng tròn. Có rất nhiều bài toán hay và khó về chủ đề này. Sự phong phú, đa dạng về thể loại cũng nh sự linh hoạt trong suy luận của bài toán về đờng trßn lu«n cuèn hót m«n häc nµy. Ch¬ng I: C¸c kiÕn thøc c¬ b¶n: I- Sự xác định và tính chất cơ bản của đờng tròng: I.1- §Þnh nghÜa: TËp hîp ( hay cßn gäi lµ quü tÝch) các điểm O cho trớc một khoảng không đổi R>0 đợc gọi là đờng tròn tâm O bán kính R. Ta kí hiệu (O;R). R. O. I.2- Hình tròn là tập hợp các điểm ở bên trong một đờng tròn và các điểm của chính đờng tròn đó. I-3- Một đờng tròn hoàn toàn đợc xác định bởi một đờng kính của nó. Nừu AB là một đoạn thẳng cho trớc thì đờng tròn đờng kính AB là tập hợp các điểm M sao cho  AMB = 900. Khi đó tâm O sẽ là trung điểm AB 2 . cña AB, cßn b¸n kÝnh I.4- Qua ba điểm A, B, C không thẳng hàng chỉ vẽ đợc một đờng tròn mà chỉ một mà thôi. Đờng tròn đó gọi là đờng tròn ngọai tiếp tam giác ABC. R. I.5- §êng kÝnh v¬ng gãc víi mét d©y cung th× chia d©y cung Êy ra lµm hai phÇn b»ng nhau.’ Ngîc l¹i, đờng kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua t©m th× vu«ng gãc víi d©y Êy. D. A. B. O. AB  CD M  MC MD AB CD M vµ MC MD  AB  CD ( CD kh«ng lµ ®-. C. êng kÝnh) I.6- Trong một đờng tròn, hai dây cung bằng nhau khi và chỉ khi chúng cách đều tâm. Ngợc lại, trong hai d©y cung kh«ng b»ng nhau, d©y cung lín h¬n khivµ chØ khi nã gÇn t©m h¬n.. D. N. AB CD  OM ON AB  CD  OM  ON. C. B A. M. Ví dụ 1: Cho tam giác ABC, các đờng cao BD và CE. Chứng minh rằng: a) Bốn điểm B, E, D, C cùng thuộc một đờng tròn. b) DE<BC. Gi¶i:. violet.vn/hieuthao560. 2.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Một số bài toán về đơng tròn. a) Gäi F lµ trung ®iÓm cña BC. áp dụng tính chất đờng trung tuyến ứng với cạnh huyền đối với tam giác vuông BEC, BDC ta cã:. A D. 1 1 EF  BC, DF  BC  BF EF DF CF 2 2. VËy bèn ®iÓm B, E, D, F cïng n»m trªn mét đờng tròn tâm F bán kính BC.. E B. C. F. b) Trong đờng tròn tâm F nói trên, có BC là đờng kính, DE là dây cung kh«ng ®i qua t©m nªn DE<BC.  90 VÝ dô 2: Cho tø gi¸c ABCD cã B D . a) Chứng minh rằng bốn đỉnh của tứ giác cùng thuộcmột đờng tròn. b) Chứng minh rằng BD AC. Tứ giác ABCD có thêm điều kiệngì để BD=AC. 0. Gi¶i:. a) Gäi K lµ trung ®iÓm cña AC. áp dụng tính chất đờng trung tuyến ứng với cạnh huyền đối với tam giác vuông ADC, ABC ta có: 1 1 DK  AC, BK  AC  AK DK CK BK 2 2 .. D. C A. K. Vậy bốn điểm A, D, C, B cùng nầm trên đờng tròn tâm K đờng kính AC. B. b) Trong đờng tròn (K) nói trên, có AC là đờng kính, BD là dây cung kh«ng ®i qua t©m nªn BD < AC.  C  90 0 Để BD=AC  BD phải là đờng kính của đờng tròn (K)  A  ABCD lµ h×nh ch÷ nhËt. Ví dụ 3: Cho tứ giác ABCD có hai đờng chéo AC và BD vuông góc với nhau. Gäi M, N, P, Q lÇn lît lµ trung ®iÓm cña AB, BC, CD, DA. Chøng minh rằng bốn điểm M, N, P, Q cùng nằm trên một đờng tròn. Gi¶i:. XÐt tam gi¸c ADC cã: AQ=QD (gt)  QP là đờng trung bình của tam giác ADC CP=PQ (gt). D Q A. P F. M. C. N B. 1  QP//AC vµ QP= 2 AC (1). Tơng tự: MN là đờng trung bình của tam giác ABC 1  MN//AC vµ MN= 2 AC (2). Tõ (1), (2) suy ra QP//MN vµ QP=MN  MNPQ lµ h×nh b×nh hµnh (*) T¬ng tù: ta cã MQ//BD violet.vn/hieuthao560. 3.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> Một số bài toán về đơng tròn . 0. Mµ QP//AC (cmt)  MQ  QP hay MQP 90 (**) L¹i cã AC  BD Tõ (*) vµ (**) suy ra MNPQ lµ h×nh ch÷ nhËt Do đó bốn điểm M, N, P, Q cùng nằm trênmột đờng tròn. Ví dụ 4: Cho đờng tròn (O) đờng kính AB. C là một điểm di động trên đờng tròn, H là hình chiếu của C trên AB. Trên OC lấy OM=OH. a) Điểm M chạy trên đờng nào? b) Kðo dài BC một doạn CD=CB. Điểm D chạy trên đờng nào? Gi¶i: a) XÐt  OMB vµ  OHC cã: OM=OH (gt)  MOB   OMB =  OHC (c.g.c) chung OB=OC (cùng là bk của đờng tròn (O)) D. C. M. A. O. H. B.   OHC 90 0  OMB. Vậy điểm M chạy trên đờng tròn đờng kính OB. b) Do C nằm trên đờng tròn đờng kính AB nên AC  CB. Mµ CD=CB nªn ta cã:  ADC=  ABC  AD=AB=2R Do điểm A cố định nên điểm D chạy trên đờng tròn tâm A, bán kính AB=2R. Ví dụ 5: Cho hình vẽ bên, trong đó hai đờng tròn cùng có tâm là O. Cho biÕt AB>CD Hãy so sánh độ dài: a) OH vµ OK. b) ME vµ MF. c) MH vµ MK. E. A. H. B. O. D. K. C. M. F. Gi¶i: a) Vì AB>CD  OH<OK (Hai dây trong một một đờng tròn dây nào nới h¬n th× gÇn t©m h¬n) b) V× OH<OK  ME>MF 1 c) OH  ME  MH= 2 ME 1 OK  MF  MK= 2 MF. Mµ ME>MF.  MH>MK.. Ví dụ 6: Từ mộtđiểm S nằm ngòa đờng tròn (O) kẻ hai cát tuyến SAB, SCD đến đờng tròn. Chứng minh rằng nếu AB=CD thì SA=SC Gi¶i:. violet.vn/hieuthao560. 4.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> Một số bài toán về đơng tròn. Gọi I, J lần lợtlà trung điểm của AB , CD khiđó ta có. D. : OI  AB, OJ  CD Mµ AB=CD nªn OI=OJ Ta cã  SOI=  SOJ  SI=SJ Do AI=CJ nên từ đó suy ra SA=SC. J. O. C. B I. A S. II- Tiếp tuyến của đờng tròn: II.1- Một đờng thẳng đợc gọi là tiếp tuyến của đờng trònnếu nố chỉ có một điểm chung duy nhất với đờng tròn đó. Điểm chung duy nhất ấy đợc gäi lµ tiÕp ®iÓm. Ax lµ tiÕp tuyÕn A lµ tiÕp ®iÓm II.2- Tiếp tuyến của đờng tròn vuông góc với bán kính tại tiếp điểm. Ngợc lại, đờng thẳng vuông góc với bái kính tại giao điểm của bán kinh với đờng tròn là tiếp tuyến của đờng tròn đó. Ax lµ tiÕp tuyÕn cña  OA  Ax. A. O. x. O B. x. M. A. II.3- Hai tiếp tuyến của đờng tròn cắt nhau tại một điểm thì khoảng c¸ch tõ giao ®iÓm tíi hai tiÕp ®iÓm b»ng nhau vµ ®o¹n th¼ng nèi giao điểm đến tâm là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến, góc tạo bở hai b¸n kÝnh ®i qua tiÕp ®iÓm. AM, BM là tiếp tuyến của đờng tròn (O)  MA MB 1 1 AMO BMO  AMB AOM BOM  AOB 2 2 , vµ. II.4- Đờng tròng tiếp xúc với ba cạnh của một tam giác gọi là đờng tròn nội tiếp tam giác đó. Tâm của đờng tròn nội tiếp tam giác là giao điểm của ba đờng phân giác trong của tam giác. Ví dụ 1: Cho đờng tròn (O), điểm A nằm bên ngoài đờng tròn. Kẻ các riếp tuyến AM, An với đờng tròn ( M, N là các tiếp điểm ). a) Chøng minh OA  MN. b) Vẽ đờng kính NOC. Chứng minh MC//AO. c) Tính độ dài các cạnh của tam giác AMN biết OM=3cm, OA=5cm. Gi¶i. a) AM, AN là tiếp tuyến của đờng tròn (O) nên ta cã:  AM=AN vµ AO lµ ph©n gi¸c cña MAN Suy ra AO  MN (1)(Đờng phân giác hạ từ đỉnh của tam gi¸c c©n). N A D O. M. C. 1 b) Ta thÊy MO=CO=ON  OM= 2 CN  CMN lµ tam gi¸c vu«ng t¹i M  NM  MC (2) violet.vn/hieuthao560. 5.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> Một số bài toán về đơng tròn. Tõ (1), (2) suy ra MC//AO. c)áp dụng định lí Pytago vào tam giác AMO vuông tại M, ta có: AO2=AM2+MO2  AM2=AO2-MO2  AM2=25-9=16  AM=4(cm)  AN=4(cm). xét tam giác AMO vuông tại M có MD là đờng cao, ta có: 4.3 2, 4  5 AO.MD=AM.MO MD= (cm)  MN=2.MD=4,8(cm).. Ví dụ 2 :Cho đờng tròn (O) đờng kính AB. Gọi Ax, By là các tia vuông góc víi AB (Ax, By cïng thuéc mét nöa mÆt ph¼ng bê AB). Gäi M lµ mét ®iÓm thuộc tia Ax. Qua M kẻ tiếp tuyến với đờng tròn và cắt By ở N. a) TÝnh sè ®o gãc MON. b) Chøng minh r»ng MN=AM+BN. c) Chứng minh AM.BN=R2 (R là bán kính của đờng tròn). Gi¶i: x a)Vì Ax  AB  Ax là tiếp tuyến của đờng y trßn (O) Tơng tự: By là tiếp tuyến của đờng tròn (O). Gäi E lµ tiÕp ®iÓm cña tiÕp tuyÕn MN cña (O) N Theo tÝnh chÊt cña hai tiÕp tuyÕn c¾t nhau cã: E OM lµ ph©n gi¸c cña gãc AOE ON lµ tia ph©n gi¸c cña gãc EOB M 0 AOE  EOB  180 Mµ B A O  OM  ON  90 0 Hay MON. b) Theo tÝnh chÊt cña hai tiÕp tuyÕn c¾t nhau cã: MA=ME  MN=MA+MB NB=NE Mµ ME+EN=MN c)Ta thÊy tam gi¸c MON vu«ng t¹i O (theo cmt) nªn ta cã: OE2=ME.NE  AM.NB=OE2=R2 mµ ME=MA NE=NB Ta có thể dựa vào tam giác đồng dạng ( hai tam giác AOM và BON đồng d¹ng víi nhau). VÝ dô 3: Cho ®o¹nth¼ng AB. Trªn nöa mÆt ph¼ng bê AB kÎ c¸c tia Ax vµ BY sao cho Ax//By. a) Nêu cách dựng đờng tròn tâm i tiếp xúc với AB, Ax và By. b) Gọi D, E là các tiếp điểm của đờng tròn (i) với Ax, By. Chứng minh tæng AD+BE kh«ng phô thuéc vµo vÞ trÝ Ax, By. c) Tìm quỹ tích các tâm i khi Ax, By thay đổi. Gi¶i;. violet.vn/hieuthao560. 6.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> Một số bài toán về đơng tròn. a) Giả sử (i) tiếp xúc với cả ba đờng Ax, Byvà AB đã dựng đợc. Các tiếp điểm là D, E, H. Do DI=HI nªn i n»m trªn tia ph©ngi¸c gãc xAB. T¬ng tù i n»m trªn tia ph©n gi¸c gãc yBA. Vëy i lµ giao ®iÓm cña hai tia ph©n gi¸c nµy. b) Theo tÝnh chÊt cña hai tiÕp tuyÕn c¾t nhau ta cã: AD=AH, BE=BH. Bëi vËy AD+BE=AH+HB=AB §¼ng thøc nµy chøng tá tæng kh«ng phô thuéc vµo vÞ trÝ cña Ax vµ By.. D. A. I. 1. E. 1 H. B. c) Ta cã: 1 1   B  1 xAB   ) 90 0 A  yBA  ( xAB  yBA 1 1 2 2 2  90 0 . VậY ĐIúm i nằm trên nửa đờng tròn đờng kính AB Do đó AIB. (kh«ng kÓ hai ®iÓm A, B). III- Vị trí tơng đối của hai đờng tròn: III.1-Giả sử hai đờng tròng (O,R) và (O’,r) có R.r, và d=OO’ là khoảng cách giữa hai tâm. Khi đó mỗi vị trí tơng đối giữa hai đờng tròn ứng với mét hÖ thøc gi÷a R, r vµ d theo b¶ng sau: Sè chung. Vị trí tơng đối Hình vẽ. ®iÓm HÖ thøc R, r vµ d. D. 1) Hai đờng trßn c¾t nhau. O'. 2. d. r. R-r < d < R+r. O. R E. 2) Hai đờng trßn tiÕp xóc. -TiÕp trong .. xóc. A. O. O'. d = R-r 1. - TiÕp ngoµi. xóc. 3)Hai đờng trßn kh«ng giao nhau.. O. O'. d = R+r. A. 0 d > R+r violet.vn/hieuthao560. 7.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> Một số bài toán về đơng tròn. - ë nhau.. ngoµi O. O'. A. - ë nhau.. trong. d< R+r. B O O'. III.2- Hai đờng tròn tiếp xúc nhau khi và chỉ khi tiếp điểm nằm trên đờng nối tâm. Ví dụ 1:Chứng minh định lí: “Nừu hai đờng tròn cắt nhau thì đờng nối tâm là đờng trung trực của dây chung. Gi¶i: XÐt OAA ' vµ OBO ' cã :. OA=OB (cùng là bán kính của đờng tròn (O)) OO’ chung O’A=O’B (cùng là bán kính của đờng tròn (O’)  OAA ' = OBO ' (c.c.c)   ' OB ' O  AOO (hai gãc t¬ng øng) Nên OO’ là đờng phân giác của góc AOB Mµ  AOB c©n t¹i O Suy ra OO’ là đờng trung trực của AB. A O. H. O'. B. Ví dụ 2: Hai đờng tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Từ A vẽ đ ờng kính AOC vµ AO’D. Chøng minh r»ng: a) Ba ®iÓm B, C, D th¼ng hµng b) AB vu«ng gãc víi CD. Gi¶i:. a) Gäi Ilµ giao ®iÓm cña AB vµ OO’, suy ra i lµ trung ®iÓm cña AB. Trong  ABC có OI là đờng trung bình, nên OI//BC Trong  ABD có O’i là đờng trung bình, nên O’I//BD Suy ra OO’//BC//BD nªn ba ®iÓm B, C, D th¼ng hµng. b) Vì AB  OO’ (hai đờngảtòn cắt nhauthì đờng nối tâm là đờng trung trực của dây chung)  AB  CD.. A O. I. O'. C B. D. Ví dụ 3: Cho hai đờng tròn (O;R) và (O’;r) tiếp xúc ngoài với nhau tại A. Vẽ tiếp tuyến chung ngoài BC (B thuộc đờng tròn (O), C thuộc đờng tròn (O’)). a) Chøng minh r»ng  ABC lµ tam gi¸c vu«ng. b) TÝnh sè ®o gãc OMO’ c) TÝnh diÖn tÝch tø gi¸c BCO’O theo R vµ r. violet.vn/hieuthao560. 8.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> Một số bài toán về đơng tròn. d) Gäi i lµ trung ®iÓm OO’. Chøng minh r»ng BC lµ tiÕp tuyÕn cña (I,IM). Gi¶i:. a)Qua A kÎ tiÕp tuyÕn chung trong, c¾t BC t¹i M, ta cã: MA=MB (tÝnh chÊt haitiÕp tuyÕn c¾t nhau) MA=MC (tÝnh chÊt haitiÕp tuyÕn c¾t nhau). B M C H. 1 Suy ra MA=MB=MC= 2 BC.. I. O. A. O'. Tøc lµ, tam gi¸c ABC cã trung tuyÕn AM øng víi cạnh BC bằng nửa cạnh đó nên là tam giác vu«ng. b)Theo tÝnh chÊt haitiÕp tuyÕn c¾t nhau, ta cã: MO lµ tia ph©n gi¸c cña gãc AMB.  ' 900 MO’ lµ tia phan gi¸c cña gãc AMC.  OMO    AMC 180 0 Mµ AMB c) Tø gi¸c BCO’O lµ h×nh thang v× OB//O’C. 1 SBCO’O= 2 (OB+O’C)BC H¹ O’D  OB  tø gi¸c BCO’H lµ h×nh ch÷ nhËt  BC=O’H Trong  OO’H cã:. O’H2=OO’2-OH2=(R-r)2-(R-r)2=4Rr  O’H=2 Rr VËy SBCO’O= Rr ( R  r ). d) Ta thấy IM là đờng trung bình của hình thang BCO’O, do đó IM//OB  IM  BC Vậy BC là tiếp tuyến của đờng tròn (I;IM). Ví dụ 4: Cho hai đờng tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài. Chứng minh rằng tiếp tuyến chung ngoài của hai đờng tròn đó cũng là tiếp tuyến của đờng tròn đờng kính OO’. Gi¶i: Gi¶ sö AA’ lµ tiÕp tuyÕn chung ngoµi cña B E hai đờng tròn (O) và (O’). Gọi i là trung A ®iÓm cña OO’. KÎ IE vu«ng gãc víi AA’ thÕ th× EI//OA 1 1 1 Vµ EI= 2 (OA+O’A’)= 2 (r+r’)= 2 OO’ ( r. O. I. O'. và r’ lần lợt là bán kính của đờng tròn (O) vµ (O’)) điều này chứng tỏ IE là bán kính của đờng tròn đờng kính OO’. Khi đó do AA’  EI nên AA’ là tiếp tuyến với đờng tròn đờng kính OO’ với tiếp điểm E. IV- Góc với đờng tròn: violet.vn/hieuthao560. 9.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> Một số bài toán về đơng tròn IV.1- Gãc néi tiÕp:. a) Góc nội tiếp là góc có đỉnh nằm trên đờng tròn và hai cạnh của góc cắt đờng tròn. BAC lµ gãc néi tiÕp ch¾n cung BmC b) Trong một đờng tròn số đo của góc nội tiếp bằng nửa sè ®o cña cung bÞ ch¾n.. C A. O. m. B. BAC  12.  s® BmC - C¸c gãc néi tiÕp cïng ch¾n mét cung hoÆc ch¾n c¸c cung bằng nhau của một đờng tròn thì bằng nhau. - Góc nội tiếp chắn nửa đờng tròn là góc vuông. - Trong một đờng tròn, một góc nội tiếp không quá 900 có số đo b»ng nöa sè ®o gãc ë t©m cïng ch¾n mét cung.. IV.2- Gãc t¹o bëi tia tiÕp tuyÕn vµ d©y:. a) Tia tiếp tuyến Ax và dây AB của đờng tròn (O) t¹o nªn mét gãc gäi lµ gãc t¹o bëi tia tiÕp tuyÕn Ax vµ d©yAB.  xAB lµ gãc t¹o bëi tia tiÕp tuyÕn vµ d©y ch¾n cung AmB b) Gãc t¹o bëi tia tiÕp tuyÕn vµ mét d©y cung ®i qua tiÕp ®iÓm cã sè ®o b»ng nöa sè ®o cña cung bÞ ch¾n.. B O m A. x. 1  xAB   2 s® AmB IV.3- Góc có đỉnh ở bên trong hay bên ngoài đờng tròn:. a) Góc có đỉnh ở bên trong đờng tròn có số đo b»ng nöa tæng sè ®o cña hai cung bÞ ch¾n gi÷a hai cạnh của góc và các tia đối của hai cạnh ấy. 1  AKB  (   2 s® AnB  s® CmD). m C D. O K A. b) Góc có đỉnh ở bên ngoài đờng tròn có số đo b»ng nöa hiÖu cña sè ®o h¹i cung bÞ ch¾n gi÷a hai c¹nh cña gãc Êy. 1  DAE  (   2 s® DnE  s® BmC). n. B. D. C. A. m O. B. n E. Ví dụ 1: Trong một đờng tròn hai dây không cắt nhau AB và CD là song song khi vµ chØ khi hai cung AC vµ BD b»ng nhau. Gi¶i:. violet.vn/hieuthao560. 1.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> Một số bài toán về đơng tròn. Nèi B víi C  BD  *NÕu AB//CD th× AC  V× AB//CD  B C (So le trong) Mµ gãc B lµ gãc néi tiÕp ch¾n cung AC, gãc C lµ gãc néi tiÕp ch¾n cung BD  BD  Suy ra AC  BD  *NÕu AC th× AB//CD. B. D. O A C.  BD   C   B V× AC (hai gãc néi tiÕp ch¾n hai cung b»ng nhau) Suy ra AB//CD. Ví dụ 2: Cho A là một điểm cố định trên đờng tròn (O) và M là một điểm di động trên đờng tròn đó. N là giao điểm của AM với đờng kính cố định BC. Chứng minh giao điểm của đờng tròn ngoại tiếp tam giác OMN là cố định. Gi¶i: Gọi giao của đờng tròn (O) với đờng tròn ngoại tiếp tam D A giác OMN là P. Tia PO cắt đờng tròn (O) tại D. Khi đó ta có B C O N   ONM OPM (cïng ch¾n cung OM) P   DAM DPM (cïng ch¾n cung DM) M    DAM OMN. Hai góc này là hai góc đồng vị nên DA//BC. Điều này chứng tỏ D cố định và do đó P cố định. Ví dụ 3: Trên đờng tròn (O) lấy ba điểm A, B, C. Gọi M, N, P theo thứ tự lµ ®iÓm chÝnh giòa cña c¸c cung AB (kh«ng chøa C), BC (kh«ng chøa A) vµ AC (kh«ng chøa B). Gäi i lµ giao ®iÓm cña BP vµ AN, F lµ giao®iÓm cña AB víi MN. Chøng minh r»ng: a) BNI lµ tam gi¸c c©n. b) AE.BN=EB.AN. c) EI//BC AN AB  d) BN BD. Gi¶i: 1  1  PBN  PCN  (   2 s® 2 s® PC  s® CN ) a) ta cã: 1  BIN    BN 2 (s® AP s®  ). Mµ. A P O M. I. E.   AP  , CN  BN  PC    BPN BIN. B. D N. C. Tøc lµ tam gi¸c BIN c©n t¹i N violet.vn/hieuthao560. 1.

<span class='text_page_counter'>(12)</span> Một số bài toán về đơng tròn. b)Vì M là điểm chính giữa của cung AB nen NE là đờng phân giác của góc ANB. Do đó: AE AN   AE.BN EB .AN EB BN. c) Theo c©u a) ta cã BN=NI  NBE NIE (c.g.c) Do đó EI=EB và vì vậy tam giác EIB cân tạiE   EIB Suy ra EBI  PC      IBC IBC MÆt kh¸c, do AP nªn EBI . Bëi vËy EIB Mµ hai gãc nµy ë vÞ trÝ so le trong nªn EI//BC. d) Hai tam gi¸c BND vµ ANB cã chung gãc ANB. MÆt kh¸c,  CN   BAN   BN CBN. do đó hai tam giác này đồng dạng. AN AB  Suy ra BN BD. Ví dụ 4: Cho đờng tròn (O) và đờng thẳng d ở ngoài đờng tròn. A là hình chiÕu cña O trªn d. kÎ c¸t tuyÕn ABC vµ hai tiÕp tuyÕn Bx vµ Cy c¾t d lÇn lît t¹i D, E. chøng minh r»ng AE=AD. Gi¶i: Ta thấy A, D cùng thuộc đờng tròn đờng kính OD ( vì goc OAD vu«ng) nªn:   BDO CAO (cïng ch¾n cung OB). Bốn điểmO, A, E, C cùng thuộcđờng tròn đờng kính OE nªn:   CEO CAO (cïng ch¾n cung OC). D. O. A. B.  OBD OCEO OD. Tam Giác OED cân nênđờng cao OA chia đôi cạnh đáy ED. Bëi vËy ta cã AE=AD. d C E. Ví dụ 5: Từ một điểm M ở ngoài đờng tròn (O) kẻ cát tuyến MBA và hai tiÕp tuyÕn MC, MD. Ph©n gi¸c cña gãc ACB c¾t AB t¹i E. Chøng minh: a) MC=ME. b)DE lµ ph©n gi¸c cña gãc ADB. Gi¶i: a)Gọi F là giaođiểm của CE với đờng tròn (O) khi đó :  AF  BF . Ta cã: C. 1  CEB  (   2 s® BC  s® AF )= 1  ) 1 (  BF   MCE  2 s® BC  s® 2 s® FC. A. E M. B D. F. VËy tam gi¸c MEC c©n nªn MC=ME. b)Ta thÊy MD=MC nªn MD=ME suy ra tam gi¸c MED can t¹i M nªn: violet.vn/hieuthao560. 1.

<span class='text_page_counter'>(13)</span> Một số bài toán về đơng tròn   MED MDE   EAF BDM. (1) MÆt kh¸c: (cïng ch¾n cung BD) (2)        EAF MDE  BDM EDB Tõ (1), (2)ta cã MED HAY EDA Suy ra DE lµ ph©n gi¸c cña gãc ADB. V- Quü tÝch cung chøa gãc: a) Qũy tích những điểm M nhìn đoạn thẳng AB cố định dới một góc.  không đổi là hai cung đối xứng nhau qua AB, gọi là cung chứa góc . dùng trªn ®o¹n th¼ng AB. b) Dùng t©m O cña cung chøa gãc  dùng trªn đợn thẳng AB. - Dựng đờng trung trực d của đoạn thẳng AB. - Dựng tia Ax tạo với AB một góc  , sau đó dùng Ay  Ax. O lµ giao ®iÓm cña Ay víi d.. d y. O B. A. x. Ví dụ :Cho cung Ab cố định tạo bởi bán kính OA và OB vuông góc với nhau, Điểm I chuyển động trên cung AB. Trên tia OI lấy điểm M sao cho OM bằng tổng các khoảng cách từ i đến OA và OB. Tìm quỹ tích các điểm M. Gi¶i: PhÇn thuËn: M A IH  OA , IK  OB I kÎ . ®iÓm M thuéc OI cã tÝnh chÊt: H OM=IH+IK (1) m E BE  OI  OBE  OIK KÎ . Ta cã Nªn: OE=OK=IH, BE=IK (2) O B K Tg (1), (2) suy ra OM=OE+BE, do đó EM=EB.  450 Tam gi¸c EMB vu«ng nªn EMB Điểm M nhìn OB cố định dới góc 450 nên M di động trªn cung chøa gãc 450 dùng trªn OB. Giíi h¹n: V× M chØ n»m trong gãc vu«ng AOB nªn M chØ di chuyÓn trªn cung AmB. mét phÇn cung chøa gãc 450 dùng trªn OB (phÇn n»m trong gãc AOB) Phần đảo: LÊy ®iÓm M bÊt k× trªn cung AmB nãi trªn. kÎ BE  OM, IH  OA, IK  OB . Ta sÏ chøng minh OM=IH+IK.  450 nen tam gi¸c EMB vu«ng c©n, suy ra EM=EB. ThËt vËy, do EMB OBE OIK nên: OE=OK=IH, BE=IK . do đó EM=IK VËy OM=OE+EM=IH+IK KÕt luËn: Quü tÝch c¸c ®iÓm M lµ cung AmB, mét phÇn cung chøa gãc 45 0 dùng trªn OB (phÇn n»m trong gãc AOB) VI- Tø gi¸c néi tiÕp:. violet.vn/hieuthao560. 1.

<span class='text_page_counter'>(14)</span> Một số bài toán về đơng tròn. a) Tứ giác có bốn đỉnh nằm trên đờng tròn đợc gọi là tứ giác nội tiếp đờng tròn, còn đờng tròn đợc gäi lµ ngo¹i tiÕp tø gi¸c. b) Trong mét tø gi¸c néi tiÕp, tæng sè ®o hai gãc đối diện bằng 1800. Ngợc lại, một tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện bằng 180 0 thì tứ giác đó nội tiếp đờng tròn.   BAD  BCD 180 0  Tø gi¸c ABCD néi tiÕp c) nÕu hai ®iÓm A,B cïng nh×n ®o¹n th¼ng MN díi cïng mét gãc th× tø gi¸c ABNM néi tiÕp.. C. B. O D. A. Ví dụ 1: Cho tam giác ABC, các đờng phân giác trong bóc B, C cắt nhau tại S. các đờng phân giác ngoài góc B, C cắt nhau tại P. a) Chøng minh tø gi¸c BSCP néi tiÕp. b) Xác định tâm của đờng tròn ngoại tiếp tứ giác BSCP. c) Gäi N lµ giao ®iÓm cña BG vµ SP. Chøng minh SN.PN=BN.NC Gi¶i: a)V× BS lµ tia ph©n gi¸c cña gãc ABC A BP lµ tia ph©n gi¸c cña gãc CBx   S  CBx 180 0 Mµ ABC   BS  BP  SBP 900  90 0 t¬ng tù SCP   SBP  SCP 180 0. B. x. N. C. O. y suy ra tø gi¸c BSCP néi tiÕp. P b)Do tø gi¸c BSCP néi tiÕp  90 0 mµ SCP suy ra góc SCP là góc nội tiếp chắn nửa đờng trßn Nên đờng tròn ngoại tiếp tứ giác BSCP nhận SP làm đờng kính. Suy ra tâm của đờng tròn này là trung điểm của SP. c)XÐt  BNS vµ  PNC cã   BNS PNC (đối đỉnh)   SBC SPC (Hai gãc néi tiÕp cïng ch¾n cung SC) suy ra hai tam giác BNS, PNC đồng dạng:. SN BN   SN .PN BN .CN  CN PN. Ví dụ 2: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn (O). S là một điểm chính gi÷a cung SB; SC vµ SD c¾t AB t¹i E vµ F. a) Chøng minh tø gi¸c CDFE néi tiÕp. b) Chøng minh SO lµ ph©n gi¸c gãc ASB. c) DE vµ CF kÐo dµi c¾t (O) lÇn lît t¹i M, N. chøng minh SO vu«ng gãc víi MN. Gi¶i:. violet.vn/hieuthao560. 1.

<span class='text_page_counter'>(15)</span> Một số bài toán về đơng tròn. a) ta cã : 1  DFB  (   2 s® DCB  s® AS ) 1  ) 1  (  SB  2 s® DCB  s® 2 s® DCS 1  DCS   2 s® DAS    DFB  DSC 180 0. Suy ra tø gi¸c DFEC néi tiÕp  SB   SA SB b)Do SA hay tam gi¸c SAB c©n t¹i S. MÆt kh¸c SO  AB Nên SO là đờng phân giác của góc ASB ( đờng cao hạ từ đỉnh của tam giác cân đồng thời là đờng phân giác). c)V× tø gi¸c DCEF néi tiÕp nªn :   FDE FCE (hai gãc néi tiÕp cïng ch¾n cung FE)  SN   SM do đó SO  MN VÝ dô 3: Cho hai ®o¹n th¼ng AC vµ BD c¸t nhau t¹i E. BiÕt AE.EC=BE.ED. chøng ninh r»ng bèn ®iÓm A, B, C, D cïng n»m trªn mét đờng tròn. Gi¶i:. Theo đề bài ta có AE.EC=BE.ED AE BE  ED EC   AEB DEC. đồng dạng. B A E. suy ra hai tam gi¸c AEB va DEC C.  D   A. D. D vµ A cïng nh×n BC díi gãc b»ng nhau Mà A và D cùng thuộc một nửa mặt phẳng bở là đờng th¼ng BC Suy ra bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc một đờng tròn. Ví dụ4: Cho ba đờng tròn cùng đi qua điểm P. Gopị các giao điểm khác P của hai trong ba đờng tròn đó là A, B, C. Từ một điểm D (khác điểm P) trên đờng tròn (PBC) kẻ tia DB, DC cắt đờng tròn (PAB), (PAC) lần lợt tại M, N. Chøng minh ba ®iÓm M, A, N th¼ng hµng. Gi¶i:. V× tø gi¸c APBM néi tiÕp    MAP  MDP 180 0   PBD  PBM 180 0. L¹i cã. A. M. N. (KÒ bï).   MAN PBD (1). P. D. C. Tø gi¸c ANCP néi tiÕp    PAN  NCP 180 0   DCP  NCP 180 0 (KÒ bï). violet.vn/hieuthao560. D. 1.

<span class='text_page_counter'>(16)</span> Một số bài toán về đơng tròn    PAN PCD (2)   PBD  PCD 180 0. Mµ (3)    PAN 180 0 Tõ (1), (2), (3)  MAP Suy ra ba ®iÓm M, A, N th¼ng hµng. Ví dụ 5: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn (O). Gọi điểm chính giữa cña cung AB, BC, CD, DA lÇn lît lµ M, N, P, Q. a) Chøng minh r»ng MP vu«ng gãc víi NQ. b) Gäi giao ®iÓm cña DC víi PA, PB theo thø tù lµ E, F. Chøng minh tø gi¸c ABFE néi tiÕp. Gi¶i: a) Gäi i lµ giao ®iÓm cña PM vµ QN ta cã: C P. 1  MIN     s® PQ 2 (s® MN ) 1  (  0  2 s® ABC  s® ADC) 90  MP  NQ  PC  DC. b) V×. F. N. E. D. I. O B. Q A. nªn ta cã:. M. 1  1  FBA  AP  (    2 s® 2 s® AD  s® PC) PEC      FEA 180  FBA  FEA 180 Từ đó PEC Do đó tứ giác ABFE nội tiếp. 0. 0. Ch¬ng II: Mét sè d¹ng to¸n c¬ b¶n: IChøng minh tø gi¸c néi tiÕp: Phơng pháp: Thông thờng để chứng minh một tứ giác nội tiếp thờng có hai c¸ch: - Chứng minh tổng hai góc đối diện có tổng bằng 1800. để làm đợc điều này ta đi tính hai góc đối diện hoặc chứng minh góc nµy b»ng gãc kÒ bï víi gãc kia. - Chøng minh cã hai ®iÓm nh×n hai ®iÓm cß l¹i díi cïng mét gãc và và ở về cùng một phía đối với đờng nối hai điểm này.  20 Bài tập I.1: Cho tam giác cân ABC với đáy BC có A . Trªn nöa mÆt  40 0 . Gäi ph¼ng bê AB kh«ng chøa ®iÓm C lÊy D sao cho DA=DB vµ DAB E lµ giao ®iÓm cña AB va DC. a) Chøng minh tø gi¸c ADBC néi tiÕp.  b) TÝnh AED . Gi¶i: 0. violet.vn/hieuthao560. 1.

<span class='text_page_counter'>(17)</span> Một số bài toán về đơng tròn  20 a) V× tam gi¸c ABC c©n t¹i A vµ A   ACB 80 0 (1) XÐt tam gi¸c ADB cã DA=DB suy ra tam gi¸c ADB c©n t¹i D.   DAB 40 0 Nªn ta cã DBA   ADB 100 0 (2)    ADB 180 0 Tõ (1), (2)  ACB Do đó tắ giác ADBC nội tiếp. 0. A. D E. 1  BAC   2 s® BC b) (gãc néi tiÕp ch¾n cung BC)   s® BC =400 1  ADB   2 s® AD T¬ng tù: (gãc néi tiÕp ch¾n cung DA)  0  DA. s®. C. B. =80. 1  AED  (   2 sđ BC  sđ DA) =600 (góc có đỉnh ở bên trong đờng tròn chắn Mµ. cung BC vµ cung AD). Bài tập I.2: Cho đờng tròn (O) đờng kính AB. C là một điểm nằm giữa hai điểm O và A. Đờng thẳng kẻ qua C vuông góc với AB cắt đờng tròn (O) ở P và Q. Tiếp tuyến của đờng tròn(O) tại điểm D trên cung nhỏ BP cắt đờng thẳng PQ ở F. Chứng minh: a) Tø gi¸c BCFD néi tiÕp. b) ED=EF. c) Tam giác EDP và tam giác EQD đồng dạng. Suy ra ED2=EP.EQ. Gi¶i:  900 a) V× AB  PD  BCF D B BDA 90 0 Mµ (góc nội tiếp chắn nửa đờng trßn) O.   BCF  BDF 180 0. Q. Do vËy tø gi¸c BDFC néi tiÕp 1 ABD ADE   b) ta thÊy: (= 2 s® ADP )   ADB DFE. F. C. P A E. L¹i cã (Cïng bï víi gãc CFD)   DFE  FED c©n Suy ra EDF Nªn ED=EF. 1 PQD PDE   b) Ta cã (= 2 s® PD )  E chung. Suy ra hai tam giác EDP và EQD đồng dạng violet.vn/hieuthao560. 1.

<span class='text_page_counter'>(18)</span> Một số bài toán về đơng tròn . ED EP   ED2 EP.QE EQ ED. Bài tập I.3: Hai đờng tròn (O) và (O’) cắt nhau tậihi điểm A và B. Gọi è là mét tiÕp tuyÕn chung cña chóng vµ AB c¾t EF t¹i I. a) Chứng minh hai tam giác IEA và IBE đồng dạng. b) Chøng minh I lµ trung ®iÓm cña EF. c) Gọi C là điểm đối xứng của B qua I. Chứng minh tứ giác AECF nội tiÕp. Gi¶i: a) XÐt IEA vµ IBE cã: A IEA chung 1    EAB BEI (= 2 s® EB ). O'. O B. Suy hai tam giác IEA và IBE đồng dạng. b) Theo a) ta cã:. E. I. F. C. IE IB   IE 2 IA.IB IA IE. (1) tơng tự hai tam giác IFA và IBF đồng dạng suy ra IF2=IA.IB (2) Tõ (1), (2) suy ra IE=IF hay i lµ trung ®iÓm cña EF. c) V× IE=IF vµ IB=IC nªn tø gi¸c EBFC lµ h×nh b×nh hµnh   FEB Suy ra CFE (so le trong)   BEI Mµ EAB   CAE Suy ra CFE Dò, A cùng nhìn EC dới một góc nên bốn điểm A, E, C, F cùng thuộc một đờng tròn. Bài tập I.4: Cho đờng tròn (O) và một điểm C ở ngoài đờng tròn. Từ C kẻ hai tiếp tuyến CE, CF và cát tuyến CMN tới đờng tròn. đờng thẳng nối C với O cắt đờng tròn tại hai điểm A và B. Gọi i là giao điểm của AB với EF. Chøng minh r»ng: a) Bốn điểm O, I, M, N cùng thuộc một đờng tròn.   BIN b) AIM Gi¶i: 1   CEM CNE (  2 s® EM ) a)Ta thÊy:  L¹i cã: ECN chung. Nên hai tam giác CEM và CNE đồng dạng . CE CN   CM.CN CE 2 CM CE (1). Vì CE, CF là tiếp tuyến của đờng tròn (O) nªn AB  EF Trong tam giác vuông CEO có EI là đờng cao: CE2=CI.CO (2) violet.vn/hieuthao560. N. E M. C. I. A. O. B. M' F. 1.

<span class='text_page_counter'>(19)</span> Một số bài toán về đơng tròn  CM.CN CI .CO . Tõ (1), (2)  Mµ MCI chung. CM CO  CI CN. Suy ra hai tam giác CMI và CON đồng dạng    CIM CNO    MNO 180 0 V× vËy MIO. Vậy bốn điểm O, I, M, N cùng nằm trên một đờng tròn. b)Kéo dài NI cắt đờng tròn (O) tại M’. Do tứ giác IONM nội tiếp nên: 1    1 IOM INM  AM  '   ' 2 s® MM 2 s® MM s®  AM  '  AM    AIM AIM ' BIN. VËy. Bài toán I.5: Cho đờng tròn (O) và hai tiếp tuyến SA, SB. Kẻ dây cung BC. §êng kÝnh vu«ng gãc víi d©y AC c¾t BC t¹i I. Chøng minh: a) Bốn điểm S, A, i, B cùng thuộc một đờng tròn. b) Tø gi¸c SAOI néi tiÕp. c) SI//AC. Gi¶i:. a) *Trêng hîp I n»m trong ®o¹n BC (h a)   ACB Ta cã SAB (cïng ch¾n cung AB) B V× SA=SB (theo tÝnh chÊt hai tiÕp tuyÕn c¾t I nhau) O Nªn tam gi¸c SAB c©n t¹i S Tam giác AIC có IO vừa là đờng cao vừa là đờng trung tuyến nên tam giác AIC cân tại i S   A AIC Suy ra ASB      AIB AIC  AIB 180 0 Do đó ASB VËy bèn ®iÓm S, A, I, B cïng n»m trªn mét ®I B êng trßn. *Trêng hîp I n»m ngoµi ®o¹n BC (h b). O T¬ng tùnh trªn ta cã:     BSA AIC AIB hay BSA Suy ra S vµ I cïng thuéc cung chøa gãc dùng A trªn ®o¹n AB, nghÜa lµ bèn ®iÓm S, A, I, B cïng S thuộc một đờng tròn. b)*Trêng hîp I n»m trong ®o¹n BC:  SIA   Do tø gi¸c SAIB néi tiÕp nªn SIB SI lµ ph©n gi¸c gãc BIA. MÆt kh¸c, OI lµ ph©n gi¸c gãc AIC  OI  SA hay A và I cùng thuộc đờng tròn đờng kính SO. *Trêng hîp I n»m ngoµi ®o¹n BC  ABS  Do tø gi¸c SAIB néi tiÕp  AIS (cïng ch¾n cung SA) Trong đờng tròn (O) ta có: violet.vn/hieuthao560. C. C. 1.

<span class='text_page_counter'>(20)</span> Một số bài toán về đơng tròn   ABS ACB (cïng ch¾n cung AB)   IAC V× tam gi¸c AIC c©n nªn ta cã: ACB   OIA   OIA  AIS  IAC 90 0. Do đó Nh vậy A và I thuộc đờng tròn đờng kính SO. c)Theo c©u b) ta cã SI  OI theo gi¶ thiÕt ta cã AC  OI suy ra AC//SI. Bài toán I.6: Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn (O). Tia phân giác của góc BAC cắt BC tại I, cắt đờng tròn (O) tại P. Kẻ đờng kính PQ. Các tia ph©n gi¸c cña c¸c gãc ABC vµ ACB c¾t AQ theo thø tù t¹i E, F. Chøng minh: a) PC2=PI.PA. b) Bốn điểm B, C, E, F cùng thuộc một đờng tròn. Gi¶i: a)XÐt  PCI vµ  PAC  APC. chung (1)  PC  AP lµ ph©ngi¸c cña gãc BAC  BP    PAC ICP (hai gãc néi tiÕp ch¾n hai cung b»ng nhau) (2) Tõ (1), (2) suy ra hai tam gi¸c PIC vµ PAC đồng dạng . PC PA   PC2 PA .PI PI PC. E. Q. A F K B. C. I. P. c)Do PQ là đờng kính nên góc PAQ vuông. Gọi K là giao điểm của ba đờng ph©n gi¸c ta cã:    FEB AEK 900  AKE. Xðt tam gi¸c ABK ta cã:  B  A AKE ABK    BAK   2 2. Do đó:.    FEB 900   A  B   C FCB   2 2 2  . Bởi vậy E và C cùng nhing FB đới một góc, nên bốn điểm B, C, E, F cùng thuộc một đờng tròn. Bài tập I.7: Qua điểm A ở bên ngoài đờng tròn, kẻ cát tuyến ABC với đờng tròn. Các tiếp tuyến của đờng tròn tạiB và C cắt nhau ở K. Qua K kẻ đờng thẳn vuông góc với OA, cắt OA ở H và cắt đờng tròn tâm O tại E và F (E n»m gi· K vµ F). GäiM lµ giao ®iÓm cña OK vµ BC. Chøng minh r»ng: a) EMOF néi tiÕp. b) AE, AF là tiếp tuyến của đờng tròn (O). Gi¶i:. violet.vn/hieuthao560. 2.

<span class='text_page_counter'>(21)</span> Một số bài toán về đơng tròn. a) v× OM  OK nªn tam gi¸c OCK vu«ng, nªn: KC2=KM.KO KC lµ tiÕp tuyÕn, KÌ lµ c¸t tuyÕn nªn: KC2=KE.KF Suy ra KM.KO=KE.KF nªn KM KF  KE KO  Mµ EKM chung. F. H A. O. B. M E. C. K. Suy ra hai tam giác KEM và Kò đồng dạng    EMK KFO do đó tứ giác EMOF nội tiếp. (1) . . .   KFO  . Ta cã AOE FOA 90  , AME 90   b) đặt EMK Do đó tứ giác AOME nội tiếp (2) Từ (1), (2) suy ra năm điểm A, E, M, O, F cùng thuộcmột đờng tròn, đờng kính của đờng tròn là OA.    AFO AEO 90 0 tức là AF và AE là tiếp tuyến của đờng tròn (O). II- Chứng minh đờng thẳng là tiếp tuyến của đờng tròn: Phơng pháp: Có hai phơng pháp thờng dùng để chứng minh mộtđờng thẳng là tiếp tuyến của đờng tròn. - Chứng minh đờng thẳng đã cho vuông góc với bán kính của đờng tròn tại đầu mút của nó. - Để chứng minh đờng thẳng d tiếp xúc với đờng tròn (O) tại điểm A ta chứng minh góc tạo bởi đờng thẳng d với dây AB nào đó bằng góc nội tiếp chắn cung AB. 0. 0. Bài tập II.1: Chotam giác ABC cântịA, các đờng cao AD, BE cắt nhau tạiH. Vẽ đờng tròn (O) có đờng kính AH. Chứng minh rằng: a)Điểm E nằm trên đờng tròn (O). b)DE là tiếp tuyến của đờng tròn (O). Gi¶i:. a)vì góc AEH vuông, nên E nằm trên đờng tròn (O). (*) b) Tam gi¸c BEC vu«ng t¹i E cã ED lµ trung tuyÕn. Suy ra ED=DB do đó tam giác BDE cân tại D    DBH HED (1) MÆt kh¸c tam gi¸c EOH c©n t¹iO,.   HEO nªn OHE (2)   OHE L¹i cã BHD (đối đỉnh) (3)   BHD tõ (2), (3)  OHE (4). A. O H B. D. E C.    BHD 90 (5) Mµ HBD    HED 90 hay 0E  DE (**) Tõ (1), (4), (5)  OHE Từ (*), (**) suy ra DE là tiếp tuyến của đờng tròn (O). 0. violet.vn/hieuthao560. 2.

<span class='text_page_counter'>(22)</span> Một số bài toán về đơng tròn. Bài toán II.2: Cho đờng tròn (O) đờng kính AB và hai tiếp tuyến Ax và By. Một đờng thẳng d tiếp xúc với đờng tròn tại C (C khác A, B) cắt Ax, By lÇn lît t¹i E, F. Chøng minh r»ng: a) OE vu«ng gãc víi OF. b) Tam giác EOF đồng dạng với tam giác ACB. c) §êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c EOF tiÕp xóc víi AB. Gi¶i: a)AE, BF là haitiếp tuyến của đờng tròn (O) y x nªn: OE lµ ph©n gi¸c cña gãc AOC F I C T¬ng tù OF lµ phan gi¸c cña BOC E    BOC 180 0 Mµ AOC d  EO  FO  90 0 (góc nội tiếp chắn nửa đờng b)Ta cã ACB. A. B. O. trßn) Suy ra tam gi¸c ACB vu«ng t¹i C.   OBF 90 0 ) Ta thÊy tø gi¸c FCOB néi tiÕp ( FOC    CFO CBO ( hai gãc néi tiÕp cïng ch¾n mét cung) Do đó hai tam giác vuông EOF và ACB đồng dạng. c) Ta thÊy AE  AB, BF  BA  AE  BF (1) Gäi I lµ trung ®iÓm cña EF mµ O lµ trung®iÓm cña AB (2) Tõ (1), (2) ta cã IO//EA//FB Suy ra OI  AB điều này chứng tỏ AB tiếp xúc với đờng tròn ngoại tiếp tam giác FEO. Bài toán II.3: Từ mộtđiểm A ở ben ngoài đờng tròn (O, R), vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đờng tròn. Đờng thẳng vuông góc với OC tại O cắt tia AB t¹i M. a) Chøng minh tø gi¸c AMON lµ h×nh thoi. b) Điểm A phải cách O một khoảng bao nhiêu để cho MN là tiếp tuyÕn cña (O). Gi¶i:. a)XÐt tø gi¸c AMON, ta cã: AM//ON (cïng vu«ng gãc víi OB) AN//OM (cïng vu«ng gãc víi OC) Do đó tứ giác AMON là hình bình hành. (1) MÆt kh¸c, xÐt h©itm gi¸c vu«ng OBM vµ OCN, ta cã: OB=OC=R   BOM CON (cïng phô víi gãc MON). B. M A. I. 0. N C.  OBM OCN  OM=ON (hai c¹nh t¬ng øng) (2).. Tõ (1), (2) suy ra tø gi¸c AMON lµ h×nh thoi. b)§Ó MN tiÕp xóc víi (O, R) cÇn ®iÒu kiÖn lµ: d(O,MN)=R  OI=R  AO=2.R vËy víi AO=2.R th× MN lµ tiÕp tuyÕn cña (O, R) violet.vn/hieuthao560. 2.

<span class='text_page_counter'>(23)</span> Một số bài toán về đơng tròn. Bài tập II.4: Cho đờng tròn đờng kính AB. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB lấy hai điểm C, D thuộc đờng tròn. AC và AD cắt tiếp tuyến Bx của đờng tròn lần lợttại E, F. . . . . a) Chøng minh ABD BFA, ACB AEB . b) Chøng minhtws gi¸c CDFE néi tiÕp. c) Gọi I là trung điểm của FB, chứng minh DI là tiếp tuyến của đờng tròn. d) gi¶ sö CD c¾t Bx t¹i G, ph©n gi¸c cña gãc CGE c¾t AE, AF lÇn lît t¹i M, N. Chøng minh tam gi¸c AMN c©n. Gi¶i: . . a) V× BA  FB, BD  FA  ADB BFA   AEB T¬ng tù ta cã ABC b) Ta thÊy tø gi¸c CDBA néi tiÕp nªn   ECD ABD (cïng bï ví gãc ACD)   DFB Theo c©u a) taosuy ra ECD      DFE DFB  DFE 180 0 Do vËy ECD §iÒu nµy chøng tá tø gi¸c CDFE néi tiÕp. c)Xét tam giác ABF có OI là đờng trung bình, do đó OI//AF. x E. N C. D. M. F G I. A. O. B. Mµ AD  DB Suy ra OI  DB Bởi vậy D và B đối xứng nhau qua OI    OIB ODI  ODI OBI 90 0. điều này chứng tỏ DI là tiếp tuyến của của đờng tròn. d) XÐt  NEG cã:    CNG NEG  EGN (tÝnh chÊt gãc ngoµi tam gi¸c) XÐt  DMG cã:    DMG MDG  MGD   EGN MÆtkh¸c: MGD ( NG lµ ph©n gi¸c cña gãc CGE)     MDG CDA CBA  AEB. (theo c©u a)).   DMN Do đó CNG VËy tam gi¸c AMN c©n t¹i A.. Bài tập II.5: Tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn (O) và E là điểm chính gi÷a cung AB. Haid©y CE, ED c¾t AB theíth tù t¹i P, Q. C¸c d©y AD vµ EC kÐo dµi c¾t nhau t¹i I. C¸c d©y BC vµ ED kÐo dµi c¾t nhau t¹i K. Chøng minh r»ng: a) Tø gi¸c CDIK néi tiÕp. b) Tø gi¸c CDQP néi tiÕp. c) IK//AB. d) §êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c AQD tiÕp xóc víi EA t¹i A. Gi¶i: violet.vn/hieuthao560. 2.

<span class='text_page_counter'>(24)</span> Một số bài toán về đơng tròn. a) Ta cã:. I. 1  CKD  (   2 s® DC  s® EB ). K. (góc có đỉnh ở bên ngoài đờng trßn ch¾n cung DC vµ cung EB). E. 1  CID  (   2 s® DC  s® AE ). A. (góc có đỉnh ở bên ngoài đờng trßn ch¾n cung DC vµ cung EA)  EB  Mµ AE    CKD CID. Do đó tứ giác CDQP nội tiếp. b) ta cã:. Q. P. O D. C. 1   ) 1 (  ) 1 EQB  (  BE AE   DCE  2 s® AD  s® 2 s® AD  s® 2 s® DE   EQB  DQP 180 0. Mµ.    DQP  DCE 180 0. VËy tø gi¸c CDQP néi tiÕp. c) Theo c©u a) ta cã:   IKD ICD (Cïng ch¾n cung ID) Theo c©u b) ta cã:   ICD KQB (cïng bï víi gãc DQB)   IKD KQB. Do vËy Suy ra IK//AB.   EAB d)Ta cã IDK (hai gãc néi tiÕp ch¾n haicung b»ng nhau) Kẻ tiếp tuyến Ay của đờng tròn (AQD), ta có   BAy IDK   BAy EAB. Từ đó Bởi vậy Ay trùng với AE, hay AE là tiếp tuyến của đờng tròn ngoại tiếp tam gi¸c AQD. III- Chứng minh tiếp tuyến chung của hai đờng tròn: Bài tập III.1: Cho ba điểm thẳng hàng theo thứ tự A, B, C. Vẽ hai đờng tròn đờng kính AB và BC. Trên nửa mặt phẳng bờ AC kẻ BD vuông góc  90 0 . Giao của DA, DC với hai đờng víi AC t¹i B lÊy ®iÓ D sao cho ADC trßn lµ E, F. Chøng mØnh»ng: a) EF là tiếp tuyến chung của hai đờng tròn. b) Tø gi¸c AFEC néi tiÕp. Gi¶i:. violet.vn/hieuthao560. B. 2.

<span class='text_page_counter'>(25)</span> Một số bài toán về đơng tròn. a)Ta cã:. D. AD  DC BF  DC  AD//BF. E F. T¬ng tù BE//DC Do đó tứ giác BEDF là hình bình hành A O  90 0 L¹i cã ADC Nªn tø gi¸c BEDF lµ h×nh ch÷ nhËt.    FEB DBE (1) Gäi O lµ trung ®iÓm cña AB.    EBO 90 0 Mµ BD  BO  DBE   OBE  EOB c©n t¹i O nªn OEB    DBE 90 0 (2) Suy ra OEB    FEB 90O hay OE  FE Tõ (1), (2)  OEB Do đó EF là tiếp tuyến của đờng tròn đờng kính AB (*) Chøng minh t¬ng tù ta cã O ' F  FE Nên EF là tiếp tuyến của đờng tròn đờng kính BC (**) Từ (*), (**) ta có EF là tiếp tuyến chung của hai đơng tròn. b) Ta cã:   FEB BAE (cïng ch¾n cung BE). B. C. O'.       FEA  ACF 90 0  FEB  BCF 90 0  BAE  BCF 180 0. Bëi vËy tø gi¸c AFEC néi tiÕp.. Bài tập III.2: Hai đờng tròn (O, R) và (O’, R’) cắt nhâutị A và B. Đ ờng thẳng AO cắt (O), (O’) lần lợt tại C,E; đờng thẳng AO’ cắt (O), (O’) lần lợt tại D, E. Chứng minh rằng: a) Tø gi¸c CDEF néi tiÕp. b) Tø gi¸c ODEO’ néi tiÕp. c) A là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác BDE. d) Nếu DE là tiếp tuyến chung của hai đờng tròn thì AB=R=R’ Gi¶i: a)Ta cã:   CDF CDA 90 0 (góc nội tiếp chắn nửa đờng trßn)  90 0 T¬ng tù FEC D, E cïng nh×n CF díi mét gãc 900 nªn tø gi¸c CDEF néi tiÕp. b) Ta cã: Tam giác Cà nhận OO’ làm đờng trung bình   ' OE O  OO’//CF  FCE (đồng vị) FCE EDO  ' (haigãc néi tiÕp cïng ch¾n mét cung). L¹i cã Suy ra vËy hai ®iÓm D, O cïng nh×n EO’ díi gãc b»ng nhau nªn tø gi¸c DOO’E néi tiÕp.   FBA 90 0 nªn ba ®iÓm C, B, F th¼ng hµng c)V× ABC D. E. A. O. C. violet.vn/hieuthao560. I. B. O'. F. 2.

<span class='text_page_counter'>(26)</span> Một số bài toán về đơng tròn. Trong đờng tròn (O’) ta có:   AEB BFA (cïng ch¾n cung AB) Mµ tø gi¸c CDEF néi tiÕp nªn    DEC DFC BFA (cïng ch¾n cung CD) DEC AEB  Do đó nghÜa lµ AE lµ ph©n gi¸c cña gãc DEB. T¬ng tù, AD lµ ph©n gi¸c cña gãc BDE Vậy A là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác DBE. d) Giả sử DE là tiếp tuyến chung của hai đờng tròn (O), (O’). Khi đó OD//O’E (cïng vu«ng gãc víi DE)  ' OE DEO  O (so le trong)  ' O AED  MÆt kh¸c AO (theo c©u b))  ' OE AO  ' O  OA O ' A Từ đó O (R=R’) Bëi vËy gi¸c ODEO’ lµ h×nh ch÷ nhËt. Khi đó OD  O ' O  OD  AI và OD 2.AI AB VËy AB=R=R’ Bài tập III.3: Cho đờng tròn (O, R) tiếp xúc với đờng tròn (O’, R’) (R’>R) tại điểm A. Đờng thẳng nối tâm OO’ cắt hai đờng tròn ấy lần lợt tại điểm thø hai B, B’. Chøng minh r»ng tiÕp tuyÕn chung ngoµi cña c¸c ® êng trßn đờng kính OO’ và BB’ đi qua A. Gi¶i:. Gäi I vµ K theo thø tù lµ trung ®iÓm cña OO’ vµ BB’. Ta cã: OO’=AO’-AO=R’-R BB’=AB”-AB=2R’-2R=2(R’-R)=2.OO’. Do đó: BB ' BK  O ' O 2.IO 2. M N A. O. I. O' B. K. B'. Ta l¹i cã: AB=2.AO. Nªn AK=AB+BK=2.AO+2.IO=2(AO+IO)=2.IA kẻ AN tiếp xúc với đờng tròn (I) tại N (1), từ K hạ KM vuông góc với tia AN t¹i M. ta cã KM//IN ( cïng vu«ng gãc íi AN ). áp dụng định lí Talet cào tam giác AMK, ta có: KM AK 2. AI   2 IN AI AI. VËy KM=2.IN==2.IO=BK, hay KM lµ b¸n kÝnh. Suy ra AM tiếp xúc với đờng tròn (K) (2) Từ (1), (2) suy ra tiếp tuyến chung của đờng tròn (I) và đờng tròn (K) đi qua A. IV-Chứng minh hai đờng thẳng song song hoặc vuông gãc:. violet.vn/hieuthao560. 2.

<span class='text_page_counter'>(27)</span> Một số bài toán về đơng tròn. Bài tập IV.1: Tam giác ABC nội tiếp đờng tròn (O). Các đờng phân giác trong của góc B và C lần lợt cắt đờng tròn tại E và F. Dây cung EF lần lợt cắt AC, AB ở H, I. a) Chøng minh tam gi¸c FKB vµ EAK c©n. b) Chứng minh tứ giác FIKB nội tiếp. Từ đó suy ra IK//AC. c) Cã nhËn xÐt g× vÒ tø gi¸c AIKH. Gi¶i: a) XÐt tam gi¸c FKB, cã: C. 1  FKB  (   2 s® FB  s® EC) 1  (   2 s® FA  s® AE ) 1   FBK  2 s® FE. E K H O A. B. I. F. Do đó tam giác FKB cân tại F. * Chøng minh t¬ng tù ta cã tam gi¸c EKC c©n t¹i E  EC=EK Mµ AE=EC Nªn AE=EK suy ra tam gi¸c AEK c©n t¹i E.    EC  EBC  AE b) *V× BE lµ ph©n gi¸c cña gãc ABC  ABE   CFE ABE ( hai gãc néi tiÕp ch¾n hai cung b»ng nhau) KFI IBK  hay VËy hai ®iÓm F vµ B cïng nh×n IK díi hai gãc b»ng nhau vµ hai ®iÓm F vµ B cùng nằm trên một nửa mặt phẳng bờ là đờng thẳng chứa đoạn IK, do vậy tứ gi¸c BKIF néi tiÕp. * V× tø gi¸c BKIF néi tiÕp, nªn:   FKI FBI (hai gãc néi tiÕp cïng ch¾n mét cung)   FCA L¹i cã: IBE ( hai gãc néi tiÕp cïng ch¾n mét cung)   ACF  IK//AC Do đó IKF c) Theo c©u b) IK//AC hay IK//AH (1) T¬ng tù tø gi¸c EHKC néi tiÕp, nªn:   EKH ECH (hai gãc néi tiÕp cïng ch¾n mét cung).   ECA MÆt kh¸c: EBA (hai gãc néi tiÕp cïng ch¾n mét cung cña (O)   EKH KBA  HK//AB hay HK//AI (2) Tõ (1), (2) ta cã tø gi¸c AIKH kµ h×nh b×nh hµnh. Bài tập IV.2: Trong đờng tròn (O) cho hai dây AC và BD vuông góc với nhau t¹i I. Chøng minh r»ng: a) Kho¶ng c¸ch tõ O tíi AB b»ng nöa CD. b) §êng th¼ng ®i qua I vµ trung ®iÓm cña BC vu«ng gãc víi AD. Gi¶i:. violet.vn/hieuthao560. 2.

<span class='text_page_counter'>(28)</span> Một số bài toán về đơng tròn. a)C¸ch 1: Kẻ đờng kính AE. Khi đó ta có:   AEB ACB ( cïng ch¾n cung AB)    BEA 90 0 ( tam gi¸c ABE vu«ng) Do BAE   ICB  IBC 90 0 ( tam gi¸c BIC cu«ng). A.    CD   BE CD  BAE IBC  BE. N D O. K. H. Xét tam giác ABE có HO là đờng trung bình nªn: 1 1 HO  BE  CD 2 2. E. I. B. M. C. C¸ch 2: Gọi H, K lần lợtlà chân đờng vuông góc hạ từ O xuống AB, CD. Khi đó: 1  1    AOH  DOK  ( AOB  DOC ) (  0   2 2 s® AB  s® CD) AIB 90   AOH ODK. Do đó L¹i cã OH=OD Suy ra hai tam gi¸c vu«ng OAH vµ DOK b»ng nhau 1  OH DK  CD 2. b) Gọi M là trung điểm của BC và IM cắt AD tại N, khi đó ta có.   IM MC  ICM CIM     ADB  ACB ICB MÆt kh¸c: NDI (cïng ch¾n cung AB)   NID BIM. (đối đỉnh) Từ đó ta có:.       NID  NDI BIM  ICB BIM  MIC 90 0   IND 90 0  MI  AD. Bài tập IV.3: Tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn (O) có hai đờng chéo AC, BD vu«ng gãc víi nhau t¹i I. Gäi E, F, G, H lÇn lît lµ trung ®iÓm cña AB, BC, CD, DA. Chøng minh r»ng: a) EFGH lµ h×nh ch÷ nhËt. b) GIEO lµ h×nh b×nh ha×nh. c) H×nh chiÕu cña I trªn c¸c c¹nh vµ trung ®iÓm cña c¸c c¹nh cña tø giác ABCD cùng nằm trên một đờng tròn. Gi¶i:. violet.vn/hieuthao560. 2.

<span class='text_page_counter'>(29)</span> Một số bài toán về đơng tròn. a) Tam giác BCD nhận GF làm đờng trung b×nh, nªn:. C. 1 GF//= 2 DB (1). F. G. Lại có HE là đờng trung bình của tam giác ADB, nªn:. O. I. B. D. 1 HE//= 2 DB (2). H. E. Tõ (1), (2) suy ra EFGH lµ h×nh b×nh hµnh (*). K A. T¬ng tù ta cã HG//AC (3) Mµ AC  DB (4)  Tõ (1), (3), (4) ta cã HGF =900 (**) Tõ (*), (**) suy ra EFGH lµ h×nh ch÷ nhËt. b)Gäi K lµ giao ®iÓm cña GI vµ AB, ta ph¶i chøng minh GK  AB Trong tam gi¸c vu«ng DIC cã:   GIC GCI (v× GI=GC) MÆt kh¸c   GIC AIK (đối đỉnh)   GCI DAB ( cïng ch¾n cung AD)     AIK DBA  AKI 90 0. Suy ra GI//OE (cïng vu«ng gãc víi AB) T¬ng tù ta còng cã;GO//EI (cungf vu«ng gãc víi DC) Do đó tứ giác GIEO là hình bình hành. c)Ta thÊy c¸c ®iÓm H, F, K cïng nh×n GE díi gãc 900 nªn chóng cïng n»m trên đờng tròn đờng kím GE. Tơng tự nh vậy hình chiếu của I trên các cạnh còn lại cũng nằm trên đờng trßn nµy.   90 Bµi tËp IV.4: Cho tam gi¸c ABC ( A ), nội tiếp đờng tròn (O, R). Hai đờng cao BI và CT lần lợt cắt đờng tròn tại I’, T’. a) Chøng minh IT//I’T’. b) Chøng minh OA  IT. c) Cho B, C cố định, A di chuyển trên cung lớn BC của đờng tròn (O). Chứng minh bán kính đờng tròn ngoại tiếp ta giác AIT khôngđổi. Gi¶i: 0. violet.vn/hieuthao560. 2.

<span class='text_page_counter'>(30)</span> Một số bài toán về đơng tròn. a) Ta thÊy:. A.   IAB  ABI 90 0 (tæng hai gãc nhæntng méttam. gi¸c vu«ng)   TCA BCI (tæng hai gãc nhæntng méttam gi¸c vu«ng)  TCI  Suy ra TBI Do đó tứ giác BCIT nội tiếp.  BCT   BIT (cïng ch¾n cung BT) Trong đờng tròn(O).. I'. I T' T. B. K. O. C.  ' T ' BCT  BI ' (cïng ch¾n cung BT’)  BI  'T' BIT. VËy Mà haigóc này ở vị trí đồng vị nên IT//I’T’  ' ACT  ' (cïng phô víi gãc BAC) b) ABI  '  AT  '  OA  I ' T '  AO  IT  AI. c) Gọi K là giao điểm của BI và CT. Tứ giác AIKT nội tiếp đờng tròn đờng kính AK. Dodos bán kính đờng tròn ngoại tiếp tam giác AIT có độ dài bằng AK:2. DÔ thÊy ABK ABT '  AK AT ' 1  BAC   2 s® BC Do không đổi nên số đo góc T’CA không đổi.. Bởi vậy cung T’A có số đo không đổi và do đó dây T’Acó độ dài không đổi, nghĩa là AK có độ dài không đổi. V- Chứng minh ba đờng thẳng đồng quy: Phơng pháp: Để chứng minh ba đờng thẳng đồng quy ta thờng sử dụng các ph¬ng ph¸p sau: - Dựa vào tính chất các đờng đồng quy trong tam giác: ba đờng cao, ba đờng trung tuyến, ba đờng phân giác, … - Chứng minh giao điểm của hai đờng thẳng nằm trên đơng thẳng thø ba. - Chứng minh các đờng cùng đi qua một điểm cố định. (các phơng pháp trên có thể đợc vận dụng bở những kĩ năng khác. Bài tập V.1: Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên AC lấy điểm M, dựng đờng tròn (O) có đờng kính MC. Đờng thẳng BM cắt (O) tại D. Đờng thẳng AD cắt đờng tròn (O) tại S. a) Chøng minh tø gi¸c ABCD néi tiÕp vµ CA lµ ph©n gi¸c cña gãc SCB. b) Gọi E là giao điểm của đờng tròn tâm O với BC. Chứng minh rằng ba đờng thẳng BA, EM, CD đồng quy. Gi¶i:. violet.vn/hieuthao560. 3.

<span class='text_page_counter'>(31)</span> Một số bài toán về đơng tròn  B 90 0 (gi¶ thiÕt) a)* BAC E  BDC 90 0 (góc nội tiếp chắn nửa đờng tròn) VËy hai ®iÓm A, D cïng nh×n BC díi mét gãc M A 900 nªn tø gi¸c ABCD néi tiÕp.   SCM * Ta cã SDM (cïng ch¾n cung SM) S   SDM D L¹i cã BCA (cïng ch¾n cung AB)   MCB Do đó SCM nªn CA lµ ph©n gi¸c cña gãc SCB. K b) KÐo dµi AB cµ DC chóng c¾t nhau t¹i K . Trong tam giác BKC có BD và AC là các đờng cao ( theo câu a)). Mµ BD vµ CA cÊt nhau á M nªn M lµ trùct©m cña tam gi¸c BKC  90 0 (góc nộitiếp chắn nửa đờng tròn) MÆt kh¸c MEC  ME  BC do vậy ME là đờng cao thứ ba của tam giác BKC Vậy ba đờng thẳng AB, DC, ME đồng quy.. O. C. Bài tập V.1: Hai đờng tròn (O), (O’) cắt nhau tại A, B. Đ ờng thẳng vuông góc với AB cắt đờng tròn (O) và (O’) lần l ợt tại C, D. các đờng thẳng CA, DA cắt đờng tròn (O), (O’) theo thứ tựtại E, F. Chứng minh rằng: a) Tø gi¸c CEFD néi tiÕp. b) AB lµ ph©n gi¸c cña gãc FBE. c) Các đờng thẳng CF, DE, AB đồng quy. Gi¶i:  K 90 0 (gãc néi tiÕp ch¾n nöa a) V× CFA F đờng tròn) E  A AED 900 (góc nội tiếp chắn nửa đờng tròn) Suy ra tø gi¸c CFED néi tiÕp. O b) Trong đờng tròn (O) ta có O'   FBA FCA (cïng ch¾n cung AF) C B D Trong đờng tròn (O’) ta có   EDA ABE (cïng ch¾n cung AE) MÆt kh¸c tø gi¸c CFED néi tiÕp, nªn   FCA ADE (cïng ch¾n cung EF)    ABE Suy ra FBA c)Gi¶ sö CF, DE c¾t nhau t¹i K. Xét tam giác CDK có CE, DF là hai đờng cao nên A là trực tâm khi đó AB là đờng cao nên AB cũng phải đi qua K. Bài tập V.2: Từ một điểm C nằm ngoài đờng tròn (O) kẻ cát tuyến CBA. Gọi TJ là đờng kính vuông góc với AB. Các đờng thẳng CT, CJ theo thứ tự cắt đờng tròn (O) tạiM, N. a) Chứng minh TN, JM và AB đồng quy. b) Chứng minh rằng các tiếp tuyến của đờng tròn (O) tại M, N đi qua trung ®iÓm E cña CD. Gi¶i: violet.vn/hieuthao560. 3.

<span class='text_page_counter'>(32)</span> Một số bài toán về đơng tròn. a) Do TJ là đờng kính nên   TMJ TNJ 900 (góc nội tiếp chắn nửa đờng trßn) Trong tam giác TJC, đờng thẳng TN, JM và CA là đờng cao nên chúng đồng quy Vậy ba đờng thẳng TN, JM, AB đồng quy. b) V× tam gi¸c DMC vu«ng nªn   EM ED  JME MDE. T. M. C. MÆtkh¸c ta l¹i cã. O. E. D. B. A. N. J.   JMO TJM (tam gi¸c OJM c©n t¹i O)   TJM DCM. (gãc cã c¹nh t¬ng øng vu«ng gãc).      JMO MDE  DCM 90 Do vËy JME Suy ra ME là tiếp tuyến của đờng tròn (O) 0. Bµi tËp V.4: Trªn c¸c c¹nh cña mét tam gi¸c nhän ABC, Dùng vÒ phÝa ngoài các tam giác đều ABC’, ACB’, CBA’. chứng minh rằng. a) AA’=BB’=CC’. b) Các đờng thẳng AA’, BB’, CC’ đồng quy. c) OB’=OA+OC. Gi¶i: a)Ta cã hai tam gi¸c ABA’ vµ C’BC b»ng nhau. A' C Suy ra AA’=CC’. B' T¬ng tù AA’=BB’ O' O Do đó AA’=BB’=CC’ b) Gi¶ sö BB’ vµ CC’ c¾t nhau t¹i O. Trªn OB’ lÊy A O’ sao cho CO’=CO (1) B Theo cau a) ta cã  ' O ACC  AB '. Ta thÊy hai ®iÓm B vµ C cïng nh×n AO díi gãc b»ng nhau nªn tø gi¸c AB’CO néi tiÕp.. C'.  ' OC B  ' AC 60 0  B (2). Từ (1), (2) suy ra tam giác COO’ đều. Từ tứ giác OAB’C nội tiếp và tam giác OO’C đều ta có:  ' OA CO  ' O 60 0 O. Do đó O’C//OA Tơng tự từ tứ giác OCA’B nội tiếp và tam giác OO’C đều ta có   ' CO 60 0 COA ' O. Do đó O’C//OA’ V× O’C//OA vµ O’C//OA’ nªn ba ®iÓm A, O, A’ th¼ng hµng, nghÜa lµ AA’ ®i qua O Vậy ba đờng thẳng AA’, BB’, CC’ đồng quy. c) Ta cã B ' O ' C AOC (c.g.c)  BO’=AO Từ đó ta có: OB’=B’O’+O’O=AO+OC violet.vn/hieuthao560. 3.

<span class='text_page_counter'>(33)</span> Một số bài toán về đơng tròn. VI- Chøng minh ba ®iÓm th¼ng hµng: Ph¬ng ph¸p : §Ó chøng minh ba ®iÓm th¼ng hµng ta thêng dïng c¸c ph¬ng ph¸p sau: - Chứng minh hai đoạn thẳng tạo thành từ hai trong ba điềm đã cho vuông góc hoặc cùng sông với một đờng thẳng nào đó: - Lîi dông hai gãc kÒ bï: - Chứng minh đờng thẳng vẽ qua hai điểm đi qua điểm còn lại. Bµi to¸n VI.1: Cho h×nh vu«ng ABCD, trªn c¹nh BC lÊy ®iÓm M. §êng tròn đờng kính AM cắt đờng tròn đờng kính BC tại N và cắt cạnh AD tại E. a) Chøng minh ba ®iÓm E, N, C th¼ng hµng. b) Gäi F lµ giao ®iÓm cña BN vµ DC. Chøng minh BCF CDE c) Chøng minh MF  AC Gi¶i: a) Ta cã :  ENB 90 0 (góc nội tiếp chắn nửa đờng tròn đ- A B êng kÝnh AM)  90 0 (góc nội tiếp chắn nửa đờng L¹i cã BNC tròn đờng kính BC)    M  BNC 180 hay ENC 180 0 E Do đó BNE N VËy ba ®iÓm E, N, C th¼ng hµng. C D F b) XÐt BCF CDE cã : BC=CD ( đều là cạnh của hình vuông ABCD) (1) MÆt kh¸c:   NCF  NFC 90 0      FBC  NFC 90 0  FBC NCF ECD (2). Tõ (1), (2) suy ra hai tam gi¸c vu«ng BCF vµ CDE b»ng nhau. c)V× BCF CDE nªn CM=CF Do đó MF//BD Mµ AC  BD Suy ra MF  AC Bài tập VI.2: Cho hình thang ABCD (AD là đáy lớn, BC là đáy nhỏ) nội tiếp đờng tròn (O).Các cạnh bên AB và CD cắt nhau tại E. Các tiếp tuyến tại B và D của đờng tròn (O) cắt nhau tại F. a) Chøng minh tø gi¸c BEFD néi tiÕp. b) Chøng minh EF//BC. c) Khi nào thì tứ giác AEFD là hình bình hành. Khi đó hãy chứng minh EC.EK=ED.CK (K lµ giao ®iÓm cñaBF vµ DE) d) Vẽ hình bình hành BDFP. Đờng tròn ngoại tiếp tam giác BFP cắt đờng tròn (O) tại điểm thứ hai Q. Chứng minh D, P, Q thẳng hàng. Gi¶i:. violet.vn/hieuthao560. 3.

<span class='text_page_counter'>(34)</span> Một số bài toán về đơng tròn. a) Hình tang ABCD nội tiếp đờng tròn nên nó là h×nh thang c©n.. P. 1  CD   BFD  AB  (   2 s® BAD  s® BCD) ta cã 1  (    2 s® AD  s® BC) AED. VËy tø gi¸c BEFD néi tiÕp b) Do tø gi¸c BEFD néi tiÕp, nªn:   BDE BFE (cïng ch¾n cung BE) (1) Mặt khác BF là tiếp tuyến của đờng tròn (O) nên. E. F K. B. A. C. Q. O. D. 1  CBF   BDC   BDE 2 s® BC (2)   Tõ (1), (2)  CBF BFE  EF // BC .. c) V× EF//BC L¹i cã BC//AD Nªn EF//AD Do vậy để tứ giác AEFD là hình bình hành nếu FD//AE. Nếu tứ giác AEFD là hình bình hành thì OD là đờng trung trực của AB V× vËy AD=BD Trong tam gi¸c AED cã: EC EB  ED EA (3) KC KB  KE KF (4) MÆt kh¸c BC//EF nªn: KB EB EB   KF FD EA (5) L¹i cã BE//FD nªn: EC KC    EC.EK KC.ED ED KE Tõ (3), (4), (5)   FPQ PDB. d) Ta cã. (so le trong).   FBQ PDB (cïng ch¾n cung BCQ)   FPQ FBQ. Do đó . VËy hai ®iÓm P, B cïng nh×n FQ díi hai gãc b»ng nhau nªn tø gi¸c BPFQ néi tiÕp.    BQP BFP   FBD Do FP//BD nªn BFP Mµ FB lµ tiÕp tuyÕn cña (O) nªn:. 1   FBD BAD   2 s® BD     BQP  BQD BAD  BQD 180 0. Từ đó ta có: VËy ba ®iÓm P, Q, D th¼ng hµng.. violet.vn/hieuthao560. 3.

<span class='text_page_counter'>(35)</span> Một số bài toán về đơng tròn. Bài tập VI.3: Cho đờng tròn (O, R) đờng kính AB. kẻ tiếp tuyến Ax và trên đó lấy một điểm P sao cho AP>R. Từ điểm P kẻ tiếp tuyến với đờng tròn (O) t¹i M. a) Chøng minh BM//OP. b) §êng vu«ng gãc víi AB ë O c¾t tia BM t¹i N. Chøng minh tø gi¸c OBNP lµ h×nh b×nh hµnh. c) Gäi K lµ giao cña AN vµ OP; T lµ giao cña PM vµ ON; J lµ giao cña PN vµ OM. Chøng minh ba ®iÓm T, J, K th¼ng hµng. Gi¶i: x A P a) V× PA, PM lµ tiÕp tuyÕn cña (O) nªn: PA=PM vµ PO lµ ph©n gi¸c cña gãc APM K VËy tam gi¸c MPA c©n vµ nhËn PO lµ ph©n gi¸c N  PO  AM  90 0  BM  AM L¹i cã BMA. Do đó PO//MB b) Do PO//MB hay PO//NB (1) MÆt kh¸c ta thÊy hai tam gi¸c vu«ng PAO vµ. O. T. M B J. NOB b»ng nhau, nªn: AP=ON Mµ AP//ON (cïng vu«ng gãc víi AB) Do đó AB//PN hay OB//PN (2) Tõ (1), (2) ta cã OBNP lµ h×nh b×nh hµnh. c) Ta thÊy tø gi¸c APNO lµ h×nh b×nh hµnh  90 0 mµ OAP nªn tø gi¸c OAPN lµ h×nh ch÷ nhËt, nªn: ON  NP (3) L¹i cã PM  OJ (4) Mµ ON c¾t PM t¹i T. (5) Tõ (3), (4), (5) suy ra T lµ lµ trùc t©m cña tam gi¸c PJO. (*) Ta thÊy tø gi¸c PNMO néi tiÕp. Mµ MN//OP Do đó tứ giác PNMO là hình thang cân.    OPN POM   PJO c©n. MÆt kh¸c KO=KP (tø gi¸c APNO lµ h×nh ch÷ nhËt. Do vậy JK là đờng trung tuyến hạ từ đỉnh của tam giác cân PJO nên JK là đờng cao của tam giác PJO (**) Tõ (*), (**) ta cã ba ®iÓm K, T, J th¼ng hµng. Bài tập VI.4: Cho hai điểm A, B cố định trên đờng tròn (O). Các điểm C, D di động trên đờng tròn sao cho AD//BC và C, D ở về cùng một phía với dây AB; M là giao điểm của AC và BD. Các tiếp tuyến với đờng tròn tại A vµ D c¾t nhau t¹i E. Chøng minh: a) Ba ®iÓm E, O, M th¼ng hµng. b) Bán kính đờng tròn ngoại tiếp tam giác MDC là hàng số. Gi¶i:. violet.vn/hieuthao560. 3.

<span class='text_page_counter'>(36)</span> Một số bài toán về đơng tròn. a)V× ED, EA lµ tiÕp tuyÕn cña (O) nªn ED=EA. Do đó E nằm trên đờng trung trực của dây AD (1)  DC  MÆt kh¸c do AD//BC  AB    BDA CAD  MAD c©n Nªn MD=MA. C D M O. E. B. A. Suy ra M cũng nằm trên đờng trung trực của AD (2) Tõ (1), (2) suy ra ba ®iÓm E, O, M th¼ng hµng. b) Do AD//BC  DC     DAB CDA h¬n n÷a AB ( ch¾n hai cung b»ng nhau) nªn tø gi¸c ABCD lµ h×nh thang c©n  MDC MAB 1 1  AMB  (    AOB  2 s® AB  s® DC)  2 s® AB MÆt kh¸c l¹i cã. Do đó tứ giác OABM nội tiếp. Vậy đờng tròn (MDC) bằng đờng tròn (OAB) cho nên bán kính không đổi. VII- Dạng toán cho trớc hai đờng tròn tiếp xúc: Lu ý: Với những bài toán trong đó cho trớc hai đờng tròn tiếp xúc nhau thì ta nªn lu ý tíi tiÕp tuyÕn chung cña chóng. Hçu nh bao giê tiÕp tuyÕn chung cũng đóng một vai trò quan trọng trong lời giải. Bài tập VII.1: Cho hai đờng tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A. Gọi CD là tiếp tuyến chung ngoài của hai đờng tròn ( C thuộc đờng tròn (O), D thuộc đờng tròn (O’)). a) TÝnh sè ®o gãc CAD. b) Tính độ dài CD biết OA=4,5cm, O’A=2cm. Gi¶i: a)KÎ tiÕp tuyÕn chung t¹i A, c¾t CD t¹i M. C M Theo tÝnh chÊt hai tiÕp tuyÕn c¾t nhau ta cã D MA=MC=MD Tam giác CAD có đờng trung tuyến AM bằng mét nöa c¹nh t¬ng øng, nªn tam gi¸c CAD O' A O vu«ng t¹i A.  90 0 VËy CAD b) Theo tÝnh chÊt hai tiÕp tuyÕn c¾t nhau ta cã MO, MO’ lÇn lît lµ tia ph©n  ' 900 gi¸c cña hai gãc kÒ bï AMC, AMD nªn OMO Xét tam giác OMO’ vuông tại M, MA là đờng cao nên : MA2=OA.O’A=4,5.2=9 Do đó MA=3cm Mµ CD=2.MA nªn CD=6cm. Bài tập VII.2: Hai đờng tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A. Một đ ờng th¼ng d tiÕp xóc víi (O), (O’) lÇn l ît t¹i B, C. TiÕp tuyÕn chung t¹i A c¾t d t¹i E. a) Chøng minh tam gi¸c ABC vu«ng. violet.vn/hieuthao560. 3.

<span class='text_page_counter'>(37)</span> Một số bài toán về đơng tròn  ' 90 . b) Chøng minh OEO c) C¸c tia BA vµ CA c¾t (O’) vµ (O) lÇn l ît t¹i D vµ H. Chøng minh diÖn tÝch hai tam gi¸c ADH vµ ACB b»ng nhau. Gi¶i: a) Theo tÝnh chÊt hai tiÕp tuyÕn c¾t nhau ta H cã EA=EC=EB D Tam giác CAB có đờng trung tuyến AE bằng mét nöa c¹nh t¬ng øng, nªn tam gi¸c CAB O' O A vu«ng t¹i A. b) Theo tÝnh chÊt hai tiÕp tuyÕn c¾t nhau ta C cã EO, EO’ lÇn lît lµ tia ph©n gi¸c cña hai E B  ' 90 0 gãc kÒ bï AEC, AEB nªn OEO 0. c) Ta cã SABC=SADH  AB.AC=AD.AH AB AE   BE // CD  AD AC. Ta ph¶i ®i chøng minh BE//CD.  90 0 nên BH là đờng kính. Do BAH Tơng tự DC là đờng kính. Ta có   2.ABC  BOA s® AB  ' C  AC  AO s®  2. ACB   ' C 2( ABC    BOA  AO  ACB ) 180 0. Vậy HB//CD. Từ đó suy ra điều phải chứng minh. Bài tập VII.3: Hai đờng tròn (O, R) và (O’, R’), (R>R’) tiếp xúc trong tại A. CD là một day cung của đờng tròn lớn tiếp xúc với đờng tròn nhỏ tại P. Chøng minh AP lµ ph©n gi¸c cña gãc CAD. Gi¶i: Kẻ tiếp tuyến chung của hai đờng tròn tại A. Tiếp C tuyÕn nµy c¾t CD kÐo dµi t¹i B. Do BA, BP là hai tiếp tuyến của đờng tròn nhỏ nên O' O A BA=BP   P BAP Do đó BPA đối với tam giác CPA ta có    BPA PCA  PAC       PAC BPA  PCA BAP  PCA. ®iÒu nµy chøng tá PA lµ ph©n gi¸c gãc CAD. D. B. VIII- Dạng toán chứng minh điểm cố định. Bài tập VIII.1: Cho đờng tròn (O), mộy dây AB cố định, C là một điểm chuyển động trên cung nhỏ AB. Gọi M là trung điểm của dây BC, từ M vẽ MN vuông góc với tia AC (N nằm trên AC). Chứng minh rằng đờng thẳng MN luôn đi qua điểm cố định. Gi¶i: violet.vn/hieuthao560. 3.

<span class='text_page_counter'>(38)</span> Một số bài toán về đơng tròn. Vẽ đờng kính AD, ta có  DCA 90 0 (góc nội tiếp chắn nửa đờng tròn). A.  DC  AN MÆt kh¸c MN  AN. Do đó MN//DC (1) L¹icã MB=MC (2) Tõ (1), (2) suy ra MN ®i qua trung ®iÓm G cña BD Mà B, D cố định nên G cố định. Vậy khi C thay đổi thì MN luông đi qua một điểm cố định.. O. C D. G. B. M. N. Bài tập VIII.2: Cho đờng tròn (O) có hai đờng kính AB và CD vuông góc víi nhau. LÊy ®iÓm T b¸t k× trªn ®o¹n CD. a) T×m ®iÓm M trªn AD, ®iÓm N trªn AC sa«ch i lµ trung ®iÓm cña NM. b) Chøng minh MA+NC=AC. c) Chứng minh đờng tròn ngọai tiếp tam giác AMN đi qua hai điểm cố định. Gi¶i: a)Giả sử đã dựng đợc haiđiểm M, N thỏa mãn điều N kiện đề bài. xÐt tam gi¸c vu«ng AMN ta cã C AT=TM=TN Do đó M, N nằm trên (T, TA). T b) KÎ MK //AC . XÐt  MKT vµ  NCT cã B A O MTK CTN  K (đối đỉnh) TM=TN (theo c©u a)) M TMK TNC  (so le trong) D  MKT NCT. (g.c.g).  CN=MK.. Từ đó ta có. MA+NC=MA+MK=MA+MD=AD=AC. c) Ta cã OT  AB  TA=TB l¹i cã TA=TM=TN (chøng minh trªn) do đó TA=TB=TM suy ra T là tâm đờng tròn đi qua các điểm A, N, B, M. Mà A, B cố định. Cho nên đờng tròn ngoại tiếp tam giác AMN đi qua hai điểm A và B cố định IX- D¹ng to¸n cùc trÞ: Ph¬ng ph¸p: §Ó chøng minh mét®o¹n th¼ng lµ lín nhÊt haynhá nhÊt ta thêng dùa vµo c¸c ®iÒu kiÖn sau: - Đoạn nối liền hai điểm nhỏ hơn bất kì đờng gấp khúcnà nối hai điểm đó. - Nếu cho trớc một điểm ở ngoài một đờng thẳng thì đờng vuông góc gắn hơn mọi đờng xiên.(cùng kẻ từ điểm đó tới đờng thẳng) - Trong đờng tròn, đờng kính lớn hơn mọi dây cung khác. Bài tập IX.1: Cho đờng tròn đờng kính PQ. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ là đờng thẳng chứa đờng kính PQ kẻ hai tiếp tuyến Px, Qy và violet.vn/hieuthao560. 3.

<span class='text_page_counter'>(39)</span> Một số bài toán về đơng tròn. điểm M thuộc đờng tròn kẻ tiếp tuyến thứ ba với đờng tròn, tiếp tuyến này c¾t Px, Qy lÇn lît t¹i E, F. a) chøng minh EF=PE+QF.  900 . b) FOE c) Xác định vị trí của M để tổng PE+QF đạt giá trị nhỏ nhất. Gi¶i: a) Theo tÝnh chÊt hai tiÕp tuyÕn c¾t nhau ta P E x cã. EP=EM FQ=FM M Mµ EF=ME+MF O Do đó EF=PE+QF b) Theo tÝnh chÊt hai tiÕp tuyÕn c¾t nhau ta cã. Q. y. F. OE vµ OF lÇn lît lµ tia ph©n gi¸c cña hai gãc kÒ bï POM vµ QOM  90 0 Suy ra EO  FO hay FOE c) Theo c©u a) ta cã EF=PE+QF Do đó để (PE+QF)min khi EFmin Mà EF PQ và PQ không đổi Nªn EFmin  EF=PQ  EF//PQ  MO  PQ Vậy M là giao điểm của đờng trung trực của PQ với đờng tròn Bµi tËp IX.2: Cho cung chøa gãc AB. T×m ®iÓm M trªn cung chøa gãc saôch MA+MB đạt giá trị nhỏ nhất. Gi¶i: LÊy M’ chÝnh gi÷a cung chw¸ gãc. Ta cã. K M’A=M’B. Trên tia đối của tia M’A lấy điểm K sao cho M’K=M’B suy ra tam gi¸c KBA vu«ng t¹i B. M' Trên ta đối tia MA lấy điểm H sao cho HM=HB. Tam gi¸c M’KB c©n nªn ta cã. 1  AKB  AM 'B 2. M. H. T¬ng tù tam gi¸cMBH c©n ta cã 1  AHB  AMB 2. A. B.    AHB Bëi vËy AKB Do đó tứ giác ABHK nội tiếp. Khiđó.   ABK AHK 90 0 Do đó AH HK. Ta có.. MA+MB=MA+MH=AH HK. VËy (MA+MB)max=HK khi M M’ Bài tập IX.3: Cho đờng tròn(O), đờng kính AB=2R và M là một điểm thuộc đờng tròn (M khác A và B). Tiếp tuyến của (O) tại M cắt các tiếp tuyÕn t¹i A vµ B lÇn lît ë C vµ D. Tim gi¸ trÞ nhá nhÊt cña tæng diÖn tÝch hai tam gi¸c ACM vµ BDM. violet.vn/hieuthao560. 3.

<span class='text_page_counter'>(40)</span> Một số bài toán về đơng tròn. Gi¶i: Ta cã tø gi¸c ABDC lµ h×nh thang vu«ng.. C. 2. ( AC  BD).AB CD.AB AB   2.R 2 2 2 2 SABDC= (1). (v× CD=MC+MD=AC+BD) KÎ MH  AB th×. M D. B. H. O. A. 1 1 MH.AB  MO.AB R 2 2 SAMB= 2. (2) Tõ (1), (2) suy ra SAMC+SBDA=SABDC-SAMB 2R2-R2=R Từ đó giá trin nhỏ nhất của tổng diện tích hai tam giác ACM và BDM là R 2 khi M lµ ®iÓm chÝnh gi÷a cung AB Bµi tËp IX.4: Bªn trong mét tam gi¸c cã ba gãc nhän h·y t×m mét®iÕmao chotongr khoảng cách từ điểm đó tới các đỉnh của tứ giác là nhỏ nhất. Gi¶i: Gi¶ sö O lµ mét ®iÓm bÊt k× n»m trong tam gi¸c B' C' ABC. Ta dựng tam gác đều AOO’ Dùng ®iÓm C’ sao cho: O' C AO ' C ' AOC , khi đó OA+OB+OC=BO+OO’+O’C’ Mặt khác hai điểm B và C’ cố định, do đó đờng O gấp khúc BOO’C’ là ngắn nhất khi nó là đờng B A th¼ng, nghÜa lµ khi   ' C ' 120 0  ' OA AO  ' O 60 0 AOB AO (do O ). Khi đó.   ' C ' 120 0 AOC AO. VËy O lµ giao®iÓm cña ba cung chøa gãc 1200 ch¾n trªn c¹nh AB, BC, CA. X- D¹ng to¸n quü tÝch: Ph¬ng ph¸p: Lêi gi¶i bµi to¸n quü tÝch gåm hai phÇn.  PhÇn thuËn: Chøng minh r»ng nh÷ng ®iÓm M cã tÝnh chÊt T thuéc h×nh H.  Phần đảo: Chứng minh mỗi điểm thuộc hình H đều có tÝnh chÊt T. ( Đôi khi trong phần thuận ta tìm đợchình H’ chứa hình H. Khi đó ta cần dựa vào giả thiết để giớ hạn hình H’ thành hình H rồi mới tiến hành phần đảo ) Lu ý: Phần đảo của bài toán quỹ tích thực chất là một bài toán dựng hình. Để chứng minh quỹ tích những điểm M là đờng tròn ta thờng dung hai cách: + Chứng minh điểm M cách một diểm cố định mộtkhoảng không đổi. + Chứng minh M nhìn một đợn cố định dới một góc vuông. Bài tập X.1: Cho hai điểm A, B cố định. Từ A vẽ các tiếp tuyến với đờng trßn (B) cã b¸n kÝnh kh«ng lín h¬n AB. T×m quü tÝch c¸c tiÕp ®iÓm M. Gi¶i:. violet.vn/hieuthao560. 4.

<span class='text_page_counter'>(41)</span> Một số bài toán về đơng tròn. * PhÇn thuËn: Vì AM là tiếp tuyến của đờng tròn (B)  90 0  AM  BM hay AMB Do AB cố định, điểm M chuyển động luôn nhìn AB dới một góc 900, do đó điểm M nằm trên đờng tròn đờng kính AB. M. B. A. M'. * Phần đảo: Lấy M’ bất kì thuộc đờng tròn đờng kính AB. Vẽ đờng tròn (B, BM’) ta  ' B 90 0 cã AM ( góc nội tiếp chắn nửa đờng tròn)  AM '  BM ' M '. Hơn nữa đờng tròn (B, BM’) và AM’ chỉ có điểm chung duy nhất là M’. Vì vậyAM’ là tiếp tuyến của đờng tròn (B, BM’) * KÕt kuËn: Quỹ tích các điểm M ( tiếp điểm của tiếp tuyến vớ đờng tròn (B)) là đờng tròn đờng kính AB. Bài tập X.2: Cho đờng tròn (O; R), đờng kính AB. C là điểm chuyển động trên đờng tròn (O; R). Trên tia đối của tia CB lấy điểm D sao cho CD=CB. T×m tËp hîp c¸c ®iÓm D. Gi¶i: * PhÇn thuËn: D' ACB 90 0 Ta cã (gãc néi tiÕp ch¾n nöa ®D C' êng trßn) C.  AC  BD. Mµ CD=CB Suy ra tam gi¸c ABD c©n t¹i A Do đó AD=AB=2.R (không đổi) và A cố định. Do đó D thuộc đờng tròn (A; 2R) * Giíi h¹n:. A. O. B. Điểm C chuyển động trê đờng tròn (O; R) nên D thuộc đờng tròng (A; 2R). * Phần đảo: Lấy điểm D’ bất kì thuộc đờng tròn (A; 2R), ta có AD’=2R và BD’ cắt đờng tròn (O) tại C’. Ta cã: AD’=AB=2R Nªn tam gi¸c ABD’ c©n t¹i A  ' B 90 0 MÆt kh¸c AC (góc nội tiếp chắn nửa đờng tròn)  AC '  BD ' Do đó tam giác ABD’ nhận AC’ làm đờng trung tuyến. VËy C lµ trung ®iÓm cña BC. * KÕt luËn: Tập hợp các điểm D là đờng tròn (A; 2R). Bài tập X.3: Cho nửa đờng tròn (O), đờng kính BC. Điểm A thộc nửa đờng tròn đó và dựnghình vuông ABED thuộc nửa mặt phẳng bờ AB không chứa điểm C. Gọi F là giao điểm của AE và nửa đờng tròn(O). K là giao ®iÓm cña CF vµ ED. a) Chứng minh bốn điểm E, B, F, K nằm trên một đờng tròn. violet.vn/hieuthao560. 4.

<span class='text_page_counter'>(42)</span> Một số bài toán về đơng tròn. b) BKC lµ tam gi¸c g×? V× sao? c) Tìm quỹ tích điểm E khi A di động trên nửa đờng tròn. Gi¶i:  90 0 a) Ta cã KEB D 0 K  BFC  90 L¹i cã (g0cs néi tiÕp ch¾n nöa ®E' êng trßn) E Do đó bốn điểm E, F, B, Kcùng thuộcmột đờng tròn. O'   BCF  FAB b) (cïng ch¾n cung BF) m 0 FAB BAE  45 (tÝnh chÊt) mµ B.   BCF 450  450 T¬ng tù BKF. D'. F A A' O. C. VËy tam gi¸c BCK vu«ng c©n. c)* PhÇn thuËn:  CF  Tam gi¸c FBC vu«ng c©n  BF CF  BF Suy ra F là điểm chính giữa cung BC nên F cố định  FC cố định BK  BC (chứng minh trên)  K nằm trên đêòng thẳng a qua B, vuông góc với BC tại b nên a cố định K là giao điểm của đờng thẳng a với CF  90 0  K cố định, Bcố định, BEK  E thuộc đờng tròn đờng kính BK  Vì A thuộc nửa đờng tròn (O) nên E thuộc BmK đờng kính BK thuộc nửa mÆt ph¼ng bê BK kh«ng chøa ®iÓm C. * Phần đảo: Lấy E’ bất kì thuộc cung BmK, đờng thẳng E’F cắt nửa đờng tròn (O) tại A’ (khác F), đờng thẳng E’K cắt CA’ tại D. Ta phải chứng minh tứ giác BE’D’A’ lµ h×nh vu«ng. ThËt vËy:  ' B BCF  FA (gãc néi tiÕp ch¾n cung BF cña (O))   ' B 450 450  FA Mµ BCF  ' B 450 T¬ng tù FE Suy ra tam gi¸c BE’A’ vu«ng c©n t¹i B 0  ' BA ' 90 0 BE  E ;  ' D ' 90  ' C 90 0  BA  ' D ' 90 0  Ta cã BA tø gi¸c BE’D’A’ lµ h×nh ch÷ nhËt Mµ BE’=BA’ Do đó tứ giác BE’D’A’ là hình vuông. * KÕt luËn: Quỹ tích các điểm E là nửa đờng tròn đơng kính BK (cung BmK) Ch¬ng III: Bµi tËp rÌn kÜ n¨ng: Bài tập 1: Tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn đờng kính AD. Hai đờng chéo AC, BD c¾t nhau t¹i E. H×nh chiÕu vu«ng gãc cña E trªn AD lµ F. §êng violet.vn/hieuthao560. 4.

<span class='text_page_counter'>(43)</span> Một số bài toán về đơng tròn. thẳng CF cắt đờng tròn tại điểm thứ hai là M. Giao điểm của BD và CF là N. Chøng minh r»ng. a) CEFD néi tiÕp. b) Tia FA lµ ph©n gi¸c cña gãc BFM. c) BE.DN=EN.BD Bài tập 2: Cho điểm A ở bên ngoài đờng tròn tâm O. Kẻ hai tiếp tuyến AB, AC với đờng tròn ( B, C là các tiếp điême ). M là điểm bất kì trên cung nhỏ BC (kh¸c B vµ C). Gäi D, E, F lêng øng lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña M lªn các đờng thẳng AB, AC, BC; H là giao điểm của MB và DF; K là giaođiểm cuae MC vad EF. a) Chøng minh MECF lµ tø gi¸c néi tiÕp. b) MF vu«ng gãc víi HK. c) Tìm vị trí của điểm M trên cung nhỏ BC để tích MD.ME lớn nhất. Bài tập 3: Cho đờng tròn (O) có đờng kính BC, dây AD vuông góc với BC tại H. Gọi E, F theo thứ tự là chân các đờng vuông góc kẻ từ H đến AB, AC. Gọi (I), (K) theo thứ tự là tâm cấc đờng tròn ngoại tiếp tam giác HBE, HCF. a) Hãy xác định vị trí tơng đối của các đờng tròn: (I) và (O), (K) và (O), (I) vµ (K). b) Tø gi¸c AEHF lµ h×nh g×? V× sao? c) Chøng minh AE.AB=AF.AC. d) Chứng minh rằng EF là tiếp tuyến chung của hai đờng tròn (I) và (K). e) Xác định vị trí của điểm H để EF có độ dài lớn nhất. Bài tập 4: Cho nửa đờng tròn đờng kính AB. Vẽ tiếp tuyến Ax, By (Ax, By và nửa đờng tròn thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ AB). Qua một điểm M thuộc nửa đờng tròn , kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt Ax, By theo thứ tự ở C, D. Gọi N lµ giao ®iÓm cña AD vµ BC, H lµ giao ®iÓm cña MN vµ AB. Chøng minh r»ng: a) MN vu«ng gãc víi AB b) MN=NH Bài tập 5: Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đờng tròn (O) và đoqừng kính BON. Gọi H là trực tâm của tam giác ABC, đờng thẳng BH cắtd đờng tròn ngo¹i tiÕp tam gi¸c ABC t¹i M. a) Chøng minh tø gi¸c AMNC lµ h×nh thang c©n. b) Gäi T lµ trung ®iÓm cña AC. Chøng minh ba ®iÓm H, T, N th¼ng hµng. c) Chøng minh BH=2.OT vµ tam gi¸c CHM c©n. Bài tập 6: Cho hai đờng tròn (O) và (O’) cắt nhau tại M và N, tiếp tuyến chung với haiđờng tròn (O), (O’) về phía nửa mặt phẳng bờ OO’ chứa điểm N, có tiếp điểm thứ tự là A và B. Qua M kẻ cát tuyến sông với AB cắt đờng tròn (O), (O’) thứ tự tại C, D. Đờng thẳng CA và đờng thẳng DB cắt nhau tại G. a) Chøng minh GM vu«ng gãc víi CD. b) Chøng minh tø gi¸c GANB néi tiÕp. c) Chứng minh đờng thẳng MN đi qua trung điểm của AB. Bài tập 7: Cho đờng tròn (O; R). Hai đờng thẳng AB và CD vuông góc với nhau t¹i E. E lµ ®iÓm chÝnh gi÷a cña cung nhá BC vµ AE c¾t CO ë F, DE c¾t AB ë M. a) CEF vµ EMB lµ tam gi¸c g×? violet.vn/hieuthao560. 4.

<span class='text_page_counter'>(44)</span> Một số bài toán về đơng tròn. b) Chứng minh các đờng thẳng OE, BF, CM đồng quy. Bài tạp 8: Cho nửa đờng tròn (O), đờng kính BC. Điểm A thuộc nửa đờng tròn đó. Dựng hình vuông ABED thuộc nửa mặt phẳng bờ AB không chứa đỉnh C. Gọi F là giao điểm của AE và nửa đờng tròn (O). K là giao điểm của CF vµ ED. a) Chứng minh bốn điểm E, B, F, K cùng nằm trên một đờng tròn. b) BKC lµ tam gi¸c g×? v× sao? c) Tìm quỹ tích điểm E khi A di động trên nửa đờng tròn (O). Bài tập 9: Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn (O), Gọi D là điểm chính giữa của cung nhỏ BC. Hai tiếp tuyến tại C và D với đờng tròn (O) cắt nhau tain E. Gọi P, Q lần lợt là giao điểm của các cặp đờng thẳng AB và CD; AD vad CE. a) Chøng minh BC//DE. b) Chøng minh c¸c tø gi¸c CODE, APQC néi tiÕp . c) Tø gi¸c BCQP lµ h×nh g×? Bài tập 10: Cho đờng tròn (O) và dây AB, M là điểm chuyển động trên đờng trßn, tõ M kr MH vu«ng gãc víi AB t¹i H, gäi E, F lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc của H trên MA, MB. Qua M kẻ đờng thẳng vuông góc với EF cắt dây AB tại D. a) Chứng minh đờng thẳng MD luôn đi qua điểm cố định khi M thay đổi trên đờng tròn. MA 2. b) Chøng minh MB. 2. . AH AD . BD BH .. Bài tập 11: Cho đờng tròn (O; R) và dây cung cố định AB. Từ điểm M di động trên đờng tròn ta dựng hình bình hành AMNB. a) Tìm quỹ tích giao điểm T của hai đờng chéo hình bình hành AMNB. b) Tìm vị trí của M để đờng chéo AN dài nhất hay ngắn nhất. Bài tập 12: Cho ba điểm cố định A, B, C thẳng hàng (theo thứ tự đó). Một đờng tròn (O) thay đổi nhng luôn đi qua B và C. Từ điểm A kẻ tiếp tuyến AM, AN đến đờng tròn (O). Đờng thẳng MN cắt AO và AC lần lợt tại H và K. a) Chứng minh M, N di động trên một đờng tròn cố định. b) Gọi T là trung rriểm của BC. NT cắt đờng tròn (O) tại P. Chứng minh MP//BC c) Chứng minh đờng tròn ngoại tiếp tam giác OHK luôn đi qua hai điểm cố định. Bài tập 13: Cho hai đờng tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài nhau tại điểm T. Hai đờng tròn này nằm trong đờng tròn (O”) và tiếp xúc với (O”) tơng ứng tại M, N. Tiếp tuyến chung tại T của (O) và (O’) cắt (O”) tại P. PM cắt đờng tròn (O) tại điểm thứ hai A và MN cắt (O) tại điểm thứ hai B. PN cắt đờng tròn (O’) t¹i ®iÓm thø hai D vµ MN c¾t (O’) t¹i ®iÓm thø hai C. a) Chøng minh tø gi¸c ABCD néi tiÕp. b) Chứng minh rằng các đờng thẳng AB, CD và PT đồng quy. Bài tập 14: Cho đờng tròn (O) nội tiếp tứ giác ABCD, tiếp xúc với các cạnh AB, BC, CD, DA lần lợt tại M, N, P, Q. Chứng minh MP, NQ, AC, BD đồng quy. violet.vn/hieuthao560. 4.

<span class='text_page_counter'>(45)</span> Một số bài toán về đơng tròn. Bài tập 15: Cho tam giác ABC, AB cố định, đờng cao AH. Cho biết AH=BC. T×m quü tÝch ®iÓm C. Bài tập 16:Cho đờng thẳng d và hai tiếp điểm A, B nằm về hai phía của d. Dựng đờng tròn (O) đi qua A, B sao cho nó cắt d thành một dây có độ dài nhá nhÊt. Bài tập 17:Cho đờng tròn (O) có hai điểm BC cố định thuộc đờng tròn, các tiếp tuyến với đờng tròn tại B, C cắt nhau tại A. Gọi M là mộtđiểm thuộc cung nhỏ BC. Tiếp tuyến với đờng tròn tại M cắt AB, AC theo thứ tự ở D, E. Gäi giao ®iÓm cña OD, OE víi BC theo thø tù lµ I, K. Chøng minh r»ng: a) OBDK, DIKE lµ tø gi¸c néi tiÕp. b) Các đờng thẳng OM, DK, EI đồng quy. Bài tập 18: Cho tam giác nhọn ABC (AB>AC) nội tiếp đờng tròn (O) đờng kÝnh AD. Gäi E lµ h×nh chiÕu cña B trªn AD, H lµ h×nh chiÕu cña A trªn BC, M lµ trung ®iÓm cña BC. Chøng minh tam gi¸c MEH c©n. Bài tập 19: Cho tam giác ABC nội tiếpđờng tròn (O), Điểm M thuộc cung BC không chứa A. Gọi MH, MI, MK theo thứ tự là các đờng vuông góc kẻ từ M BC AB AC   đến BC, AB, AC. Chứng minh MH MI MK .. BàI TậP 20:Cho tam giác nhọn ABC, các đờng cac AD, BE, CF. Gọi R là bán kính của đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC, r là bán kính của đờng tròn nội tiÕp tam gi¸c DEF. a) Chøng minh OA vu«ng gãc víi Ì. b) TØ sè diÖn tÝch tam gi¸c DÌ vµ ABC theo R vµ r. KÕt qu¶ ¸p dông s¸ng kiÕn. Sau khi áp dụng chuyên đề này vào giảng dạy (Phụ đạo và ôn thi vào PTTH) tôi thu đợc kÕt qu¶ nh sau:. A B. SÜ sè 33 33. Díi 5 13 4. 5-6 14 8. 7-8 5 16. 9-10 1 5. Ghi chó Không dạy theo chyên đề Dạy theo chuyên đề. Bµi häc kinh nghiÖm Qua thời gian nghiên cứu và áp dụng đề tài vào giảng dạy tôi thấy muốn đạt kết quả cao khi thực hiện chuyên đề thì: a) §èi víi gi¸o viªn: - Gi¸o viªn ph¶i lµ ngêi yªu nghÒ, say sa nghiªn cøu vµ lu«n cã ý thøc học hỏi để năng cao trình độ và nghiệp vụ s phạm. - Trớc mỗi dạng toán giáo viên phải phân tích để tìm ra các cách giải khác nhau. Từ đó cho học sinh so sánh để tìm ra u điểm, nhợc điểm trong tõng c¸ch gi¶i. - C¸c bµi tËp ®a ra lu«n cã xu híng rÌn luyÖn t duy s¸ng t¹o cho häc sinh. - Gi¸o viªn lu«n t¹o ra c¸c t×nh huèng nh»m gîi trÝ tß mß, ham muèn kh¸m ph¸ cña häc sinh. violet.vn/hieuthao560. 4.

<span class='text_page_counter'>(46)</span> Một số bài toán về đơng tròn. b) Dèi víi häc sinh: - Luôn có ý thức học tập và say mê nghiên cứu để tìm ra lời giải hay. - Đợc trang bị chu đáo về đồ dùng dạy học. Phạm vi áp dụng của đề tài Trong quá trình áp dụng đề tài vào giảng dạy, tôi đã thu đợc kết quả đáng khả quan, đặc biệt khi áp dụng vào phụ đạo và làm tài liệu ôn thi vào PTTH. Nên đề tài này có thể áp dụng rộng rãi ở cấp trờng, huyện.. C. KÕt luËn vµ kiÕn nghÞ KÕt luËn Trong thời gian dạy ở trờng THCS, đã nhiều năm tôi dạy bồi dỡng, phụ đạo và ôn thi vào THPT. Bớc đầu đã có thành công nhất định, qua đó tôi đã đúc rút đợc một số kinh nghiệm trong giảng dạy vì vậy tôi đã mạnh dạn viết sáng kiến này. Qua chuyên đề, tôi thấy học sinh nắm đợc bài và rất hứng thú trong học tập. Tôi nghĩ rằng tôi cần phải cố gắng đọc thêm tài liệu, học hỏi thày cô, bạn bè đồng nghiệp để tiếp tục xây dựng đề tài này ngày càng phong phó h¬n. KiÕn nghÞ - Mở các lớp bồi dỡng thờng xuyên để giáo viên có điều kiện nâng cao kiến thức cho bản thân, có điều kiện để học hỏi bạn bè đồng nghiệp. - Tăng cờng tổ chức các chuyên đề cấp huyện do các giáo viên có năng lùc vµ cã kinh nghiÖm gi¶ng d¹y. - Đầu t hơn nữa cho việc mua và sử dụng trang thiết bị dạy học, đặc biÖt lµ m¸y chiÕu ®a n¨ng. - Tập hợp các giáo án có chất lợng đóng thành quyển để chocác giáo viªn c¸c trêng cã thÓ tham kh¶o vµ häc hái lÉn nhau. - KhuyÕn khÝc gi¸o viªn sö dông gi¸o trªn m¸y, nÕu cã chÊt lîng cã thÓ sö dông l©u dµi hoÆc sö dông cã phÇn bæ sung sau mçi lÇn g¶ng d¹y. - Mua nhiều sách tham khảo ở dạng chuyên đề, đặc biệt là các loại sách theo dạng phát triển từ một bài toán để giáo viên có thể mợn đọc tham kh¶o. violet.vn/hieuthao560. 4.

<span class='text_page_counter'>(47)</span> Một số bài toán về đơng tròn. Phô lôc Đặt vấn đề Mục đích NhiÖm vô Néi dung Giải quyết vấn đề Ch¬ng I: C¸c kiÕn thøc c¬ b¶n Ch¬ng II: Mét sè d¹ng to¸n c¬ b¶n Ch¬ng III: Bµi tËp rÌn kÝ n¨ng KÕt qu¶ ¸p dông kinh nghiÖm Bµi häc kinh nghiÖm Ph¹m vi ¸p dông KÕt luËn – KiÕn nghÞ. violet.vn/hieuthao560. Trang 4 5 5 5 5 6 77 77 77 77 77 77. 4.

<span class='text_page_counter'>(48)</span>