Thuật toán frame – stewart giải bài toán tháp hà nội tổng quát

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM







NGUYỄN THỊ HỒNG PHƢỢNG






THUẬT TOÁN FRAME – STEWART GIẢI BÀI TOÁN
THÁP HÀ NỘI TỔNG QUÁT






LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2010

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên



ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM






NGUYỄN THỊ HỒNG PHƢỢNG





THUẬT TOÁN FRAME – STEWART GIẢI BÀI TOÁN
THÁP HÀ NỘI TỔNG QUÁT

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC


Chuyên ngành: Giải tích
Mã số: 60 46 01




Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS. TẠ DUY PHƢỢNG






THÁI NGUYÊN - 2010


Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên

1
MỤC LỤC
Trang
MỤC LỤC
LỜI NÓI ĐẦU ............................................................................................... 2
Chƣơng 1 ....................................................................................................... 4

TỔNG QUAN VỀ TRÒ CHƠI THÁP HÀ NỘI .......................................... 4
§1. Lịch sử trò chơi Tháp Hà Nội ............................................................ 4
§2. Sơ lược về bài toán tháp Hà Nội tổng quát, các bài toán cải biên và
các vấn đề toán học liên quan ................................................................ 15
Chƣơng 2: TRÒ CHƠI THÁP HÀ NỘI..................................................... 21
§1 Trò chơi tháp Hà Nội và thuật giải đệ qui.......................................... 21
§2 Giải bài toán tháp Hà Nội bằng biểu diễn trong hệ đếm cơ số 2 ........ 26
§3 Đồ thị Hà Nội.................................................................................... 34
§4 Giải bài toán Tháp Hà Nội trên máy tính ........................................... 38
Chƣơng 3: BÀI TOÁN THÁP HÀ NỘI VỚI BỐN CỌC (Trò chơi
Reve-The Reve’s Puzzle) ............................................................................. 39
§1 Trò chơi Tháp Hà Nội với bốn cọc .................................................... 39
§2 Tính số bước chuyển tối ưu trong trò chơi Tháp Hà Nội với bốn cọc...... 43
Chƣơng 4: BÀI TOÁN THÁP HÀ NỘI TỔNG QUÁT............................. 52
§1 Tính số
()
p
Sn
trong thuật toán Frame-Stewart cho trò chơi Tháp
Hà Nội tổng quát ................................................................................... 52
§2 Đánh giá
()
p
Sn
............................................................................... 68
§3 Sự tương đương của một số thuật toán giải bài toán Tháp Hà Nội
tổng quát................................................................................................ 70
KẾT LUẬN .................................................................................................. 78
TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................... 79

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên

2
LỜI NÓI ĐẦU


Trò chơi (Bài toán) Tháp Hà Nội được phổ biến rộng rãi ở Paris năm
1883 bởi nhà toán học Edouard Lucas, là một bài toán nổi tiếng thế giới, hiện
nay đang được nghiên cứu bởi rất nhiều nhà toán học và khoa học máy tính,
các chuyên gia giáo dục và y học, được đưa vào nhiều giáo trình tin học và
sách về trò chơi toán học như một ví dụ điển hình về thuật toán đệ qui và lập
trình căn bản, nhưng hình như chưa được chú ý nghiên cứu ở Việt Nam. Mặc
dù trò chơi Tháp Hà Nội có mặt trên khá nhiều trang WEB và giáo trình tiếng
Việt, số lượng bài viết tiếng Việt giới thiệu về trò chơi và bài toán Tháp Hà
Nội trên các tạp chí là rất ít và còn rất sơ lược (xem [1]-[6]), hình như chưa có
bài nghiên cứu tiếng Việt nào về bài toán Tháp Hà Nội, trong khi đó chỉ tính
riêng số bài báo nghiên cứu về bài toán Tháp Hà Nội trong lĩnh vực Toán-Tin
học đã có đến hơn 450 bài với khoảng 250 bài với đầu đề có cụm từ "The
Tower of Hanoi", đăng trên hơn 100 tạp chí khoa học uy tín (trong [5] thống
kê số lượng bài báo khoa học viết về Tháp Hà Nội là 464 bài). Đó là chưa kể
đến những bài viết về sử dụng bài toán Tháp Hà Nội trong khoa học giáo dục
và y học. Trò chơi Tháp Hà Nội thú vị đến mức nó đã được dùng làm đề tài
của một số luận án Tiến sĩ và luận văn cao học. Một hội thảo khoa học quốc
tế [21] với tên gọi Workshop on the Tower of Hanoi and Related Problems đã
được tổ chức năm 2005.
Bài toán Tháp Hà Nội không chỉ thú vị ở chỗ nó mang tên Hà Nội, thủ
đô của Việt nam, mà nó hấp dẫn các nhà Toán-Tin học bởi nó liên quan đến
nhiều vấn đề như giải thuật đệ qui, hệ đếm, tam giác Pascal, thảm Sierpinski,
lý thuyết đồ thị và chu trình Hamilton, ôtômát hữu hạn, độ phức tạp tính

toán,.... Bài toán Tháp Hà Nội gợi ý cho nhiều nghiên cứu trong khoa học
máy tính và toán học.
Luận văn Thuật toán Frame-Stewart giải bài toán Tháp Hà Nội tổng
quát có mục đích trình bày tổng quan về một thuật toán quan trọng giải bài
toán Tháp Hà Nội với số cọc bất kì.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên

3
Luận văn gồm phần mở đầu, bốn Chương và phần tài liệu tham khảo.
Chương 1. Tổng quan về trò chơi Tháp Hà Nội.
Chương 2. Bài toán Tháp Hà Nội cổ điển.
Chương 3. Bài toán Tháp Hà Nội với bốn cọc.
Chương 4. Bài toán Tháp Hà Nội tổng quát.
Chương 1 giới thiệu tổng quan về Trò chơi Tháp Hà Nội.
Lời giải Bài toán Tháp Hà Nội cho ba cọc được trình bày trong Chương 2.
Sau hơn 100 năm, trò chơi Tháp Hà Nội đã có những cải biên và tổng
quát hoá (trò chơi Tháp Hà Nội xoay vòng, trò chơi Tháp Hà Nội song song,
trò chơi Tháp Hà Nội với nhiều cọc,...). Những cải biên và tổng quát hóa này
dẫn đến những vấn đề toán học thú vị, thậm chí dẫn tới nhiều bài toán hiện
nay chưa có lời giải. Trong luận văn này, chúng tôi tập trung trình bày trong
Chương 3 và Chương 4 lời giải của bài toán Tháp Hà Nội, đó là Thuật toán đệ
qui dạng Frame-Stewart giải bài toán Tháp Hà Nội tổng quát.
Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của PGS.TS Tạ
Duy Phượng. Em xin bầy tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất đối với Thầy và xin
được cảm ơn Thầy đã cung cấp nhiều tài liệu đồng thời cho phép sử dụng Bản
thảo cuốn sách của Thầy về Tháp Hà Nội.
Em xin cảm ơn các Thầy Cô của Đại học Thái Nguyên và Viện Toán
học đã tận tình giảng dạy em trong suốt quá trình học cao học.
Tôi xin cảm ơn khoa Toán trường ĐHSP Thái Nguyên, khoa Sau Đại

học trường ĐHSP Thái Nguyên đã quan tâm giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi
cho tôi thực hiện kế hoạch học tập của mình.
Xin cảm ơn người thân, đồng nghiệp, bạn bè đã cổ vũ động viên tôi trong
suốt quá trình làm luận văn.
Thái Nguyên, 19.8.2010


Nguyễn Thị Hồng Phượng

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên

4
Chƣơng 1
TỔNG QUAN VỀ TRÒ CHƠI THÁP HÀ NỘI
§1. Lịch sử trò chơi Tháp Hà Nội

Bìa cuốn sách của E. Lucas xuất bản tại Paris năm 1895, trong đó có 4
trang (179-183) viết về trò chơi Tháp Hà Nội.
1.1 Truyền thuyết
Theo một truyền thuyết, liên tục suốt ngày đêm, các nhà tu hành của tòa
tháp Brahma trong thành Bernares (Ấn Độ) phải chuyển 64 đĩa vàng từ một
cọc này sang cọc khác của tòa tháp. Các đĩa có kích thước khác nhau và lúc

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên

5
đầu được đặt trên một trong ba cọc của tòa tháp theo thứ tự đĩa nhỏ ở trên, đĩa
lớn ở dưới. Đĩa trên cùng được chuyển sang cọc khác, mỗi lần chỉ di chuyển
một đĩa. Do tính dễ vỡ, đĩa lớn không được đặt lên trên đĩa nhỏ. Trong quá
trình di chuyển, có thể đặt đĩa lên một cọc trung gian. Khi công việc hoàn

thành, tòa tháp sẽ đổ, và lúc đó cũng là thời điểm kết thúc của vũ trụ với một
tiếng nổ khủng khiếp!
1.2 Lịch sử
Dựa trên truyền thuyết về tháp Brahma, và có thể, theo truyền thuyết về sự
tồn tại những ngôi tháp cổ đồng dạng với tháp Brahma trong vùng đất phật giáo
linh thiêng gần Hà Nội (Bắc Ninh?, Vĩnh Phúc?), Việt Nam, nhà toán học
người Pháp Edouard Lucas (quê ở Amiens) đã phổ biến Trò chơi Tháp Hà Nội
ở Paris năm 1883 với tên giả là giáo sư N. Claus. Năm 1884, Parvile trong [14]
đã trình bày lời giải bài toán Tháp Hà Nội và tiết lộ giáo sư N. Claus chính là
tên giả của nhà nghiên cứu lí thuyết số nổi tiếng Eduard Lucas.
Trên bìa của hộp đựng trò chơi sản xuất năm 1883 và trong cuốn sách
L’Arithméique Amusante, xuất bản tại Paris năm 1895 (sau khi Ông mất), chính
Edouard Lucas đã viết ([12], trang 179): “…la Tour d’Hanoi, véritable casse-
tête annamite…” (Tháp Hà Nội, một trò chơi trí tuệ của người Annam), nhưng
tại sao ông lại gọi trò chơi này là trò chơi Tháp Hà Nội thì chưa có câu trả lời
thật rõ ràng.
Rất có thể (theo Edouard Lucas), trò chơi Tháp Hà Nội “đã xuất hiện ở Đông
Á từ thế kỷ 19 hoặc trước đó. Các đĩa được làm bằng sứ ở Trung Quốc, Nhật Bản
và Đông Kinh (Bắc Kì, Việt Nam)”. Tuy nhiên, cho tới nay, các nhà lịch sử có lẽ
vẫn chưa tìm thấy các đĩa sứ của trò chơi tháp Hà Nội tại châu Á. Những hộp đựng
trò chơi cũ nhất vẫn là hộp đựng các đĩa sản xuất tại Pháp năm 1883.
Theo David G. Pool [15], trích dẫn theo P. J. Hilton [10], sự tồn tại
những ngôi tháp gần Hà Nội (Việt Nam) là lí do để E. Lucas đã đặt tên cho
trò chơi của mình là Trò chơi Tháp Hà Nội.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên

6
Có một giả định rằng: “nhà toán học đến thăm Việt Nam, ngắm cảnh Hồ
Gươm và bị quyến rũ bởi vẻ đẹp của Tháp Rùa nên đã đặt tên là Bài toán

Tháp Hà Nội”. Nếu có tư liệu khẳng định nhà toán học nổi tiếng E. Lucas đã
đến Hà Nội từ trước năm 1883 (Pháp chiếm Hà Nội năm 1882) thì thật là thú
vị. Tuy nhiên, lúc đó E. Lucas đã ra khỏi quân đội và đang dạy học, vì vậy ít
có khả năng ông đã đến Hà Nội.
Cũng có lẽ Cột cờ Hà Nội đã gợi ý cho E.
Lucas đặt tên trò chơi của mình là Tháp Hà
Nội: “The Flag Tower of Hanoi may have
served as the inspiration for the name”. Cột cờ
Hà Nội có đáy gồm ba khối vuông xây chồng
lên nhau. Trò chơi Tháp Hà Nội đơn giản nhất
cũng gồm ba đĩa tròn xếp chồng lên nhau. Cột
cờ Hà Nội xây năm 1805-1812, Tháp Rùa xây
năm 1886, trò chơi Tháp Hà Nội xuất hiện ở
Paris 1883.
Có thể Pháp chiếm Hà Nội là đề tài thời sự
ở Paris vào những năm 1882-1883, và điều này
gợi ý E. Lucas đặt tên cho trò chơi của mình là
Tháp Hà Nội?
Trò chơi Tháp Hà Nội vừa được phổ biến
đã được đón nhận rộng rãi vì sự đơn giản và hấp
dẫn của nó. Mặc dù chưa có câu trả lời rõ ràng
về lí do E. Lucas đặt tên cho trò chơi của mình
là trò chơi Tháp Hà Nội, người Việt Nam vẫn có
thể tự hào và cần quan tâm về trò chơi này.
Dưới đây là bìa của hộp đựng trò chơi
Tháp Hà Nội sản xuất lần đầu tiên tại Paris năm
1883 và hai tờ hướng dẫn qui tắc chơi. Đây là
những tư liệu quí về lịch sử trò chơi.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên

7
Bìa của hộp đựng trò chơi Tháp Hà Nội đƣợc bán lần đầu tại Paris
năm 1883.
Trên tờ bìa này có một hình tháp 10 tầng, cây tre, người Annam (Việt
Nam) và ghi rõ: La Tour d’Hanoϊ, Veritable casse-téte Annamite Jeu, rapporté
du Tonkin par le professeur N. Claus (de Siam) du college Mandarin Li-Sou-
Sian (Tháp Hà Nội, Trò chơi trí tuệ của người Annam, được giới thiệu bởi
giáo sư N. Claus (ở Siam), trường trung học Li-Sou-Sian).

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên

8


Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên

9
Bản dịch tờ hướng dẫn thứ nhất giới thiệu trò chơi Tháp Hà Nội được
sản xuất lần đầu tiên tại Paris:
THÁP HÀ NỘI
Trò chơi trí tuệ của người Annam
Trò chơi được đem về từ Đông Kinh
bởi Giáo sư N. CLAUS (DE SIAM)
Trường Cao đẳng Li-Sou-Stian!
Trò chơi này được tìm thấy, lần đầu, trong cuốn sách được minh họa
Quan thoại FER-FER-TAM-TAM, đang được xuất bản, trong tương lai gần,

bởi chính phủ Trung Hoa. Tháp Hà Nội có các đĩa, nhỏ dần, có số lượng thay
đổi, mà chúng tôi làm bằng gỗ, có lỗ ở giữa. Ở Nhật Bản, Trung Quốc, và ở
Đông Kinh, chúng được làm bằng sứ.
Trò chơi có mục đích là dỡ bỏ từng đĩa, và đặt vào cột bên cạnh, theo
các quy tắc nhất định. Vui và bổ ích, dễ học và dễ chơi trong thành phố, ngoài
nông thôn, trên chuyến du lịch, nó được tạo ra để mang đến kiến thức khoa
học, giống mọi trò chơi kỳ thú và mới lạ của giáo sư N. CLAUS (của SIAM).
Chúng tôi trao giải thưởng 1000 franc, 100 nghìn franc, một triệu franc,
và nhiều hơn, cho ai hoàn thành, bằng việc dùng tay di chuyển tháp Hà Nội
với 64 đĩa, theo quy tắc của trò chơi. Chúng tôi nói ngay là cần số lần di
chuyển là:
18 446 744 073 709 551 615, nhiều hơn năm tỷ thế kỷ!
Theo một truyền thuyết Ấn Độ, những người Brahmin đã tiếp nối nhau
trong một thời gian dài để thay đổi Đền Bernares, di chuyển 64 đĩa vàng của
Tòa tháp Brahma. Khi công việc hoàn thành, Tòa tháp và Brahmin sẽ đổ, và
lúc đó là thời điểm kết thúc của vũ trụ!
PARIS, BẮC KINH, TOKYO và SÀI GÒN
Trong các hiệu sách và tiểu thuyết
1883
Bản quyền đã giữ.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên

10

Bản dịch tờ hướng dẫn trò chơi Tháp Hà Nội được sản xuất lần đầu tại Paris:
Luật chơi và cách chơi trò chơi THÁP HÀ NỘI
Đế đặt nằm ngang; các cọc thẳng đứng. Các đĩa đặt theo thứ tự từ lớn đến
nhỏ từ thấp lên cao, tạo nên một Tòa tháp. Trò chơi đòi hỏi di chuyển các đĩa,
bằng cách đặt chúng vào cọc bên cạnh, mỗi lần chuyển một đĩa, theo luật sau:

I. Sau mỗi lần chuyển, các đĩa đều nằm trên một, hai, hoặc ba cọc, theo
thứ tự từ lớn đến nhỏ từ thấp đến cao.
II. Đĩa trên cùng của một trong ba cọc được đặt vào cọc trống.
III. Đĩa trên cùng của một trong ba cọc đĩa được đặt lên một trong hai
cọc khác, nếu đĩa này nhỏ hơn các đĩa của cọc đó.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên

11
Trò chơi có thể dễ dàng tự khám phá, bằng việc giải quyết dần từ 3, 4, và 5 đĩa.
Trò chơi luôn giải được và đòi hỏi thời gian chơi lâu khoảng gấp đôi mỗi
khi cho thêm một đĩa vào Tòa tháp. Bất kì ai giải được cho tám đĩa, ví dụ,
chuyển các đĩa từ cọc 1 sang cọc 2, cũng sẽ biết cách giải cho chín đĩa. Chỉ
cần chuyển tám đĩa sang cọc 3, rồi chuyển đĩa thứ chín sang cọc 2, và mang
tám đĩa từ cọc 3 về cọc 2. Bây giờ, khi thêm một đĩa vào trò chơi, tổng số di
chuyển tăng gấp đôi, cộng với một, so với trước.
Với tháp hai đĩa ba lần chuyển là đủ Số đĩa Số lần chuyển
Ba đĩa 7 lần 6 đĩa 63 lần
Bốn đĩa 15 lần 7 đĩa 127 lần
Năm đĩa 31 lần 8 đĩa 255 lần

Với tốc độ một di chuyển mất một giây, cần bốn phút để chuyển tám đĩa.
Các biến thể của trò chơi: Có thể thay đổi đến vô cùng điều kiện của
bài toán tháp Hà Nội như sau. Khi bắt đầu, xếp các đĩa theo thứ tự bất kỳ lên
một, hai, hay cả ba cọc. Sau đó cần xây dựng lại tòa tháp trên một cọc định
trước. Với 64 đĩa, số lần di chuyển là khổng lồ, số này dài 50 chữ số. Xem
thêm chi tiết trong chương nói về Baguenaudier (trò chơi tháo vòng) ở:
TOÁN HỌC GIẢI TRÍ
bởi Mr. Édouard Lucas
giáo sư toán học cao cấp tại Lycée Saint-Louis

Hai tập nhỏ, trong hai màu
Paris, 1883, bởi GAUTHER-VILLARS,
máy in của Académie des Sciences và Ecole Polytechnique
Trên mạng Internet có rất nhiều chương trình hiển thị minh họa và hướng
dẫn trò chơi Tháp Hà Nội (với ba cọc). Ngoài ra, có thể tìm mua trò chơi
Tháp Hà Nội làm bằng gỗ hoặc sứ tại các cửa hàng Việt Nam hoặc nước
ngoài để giải trí.
Dưới đây chúng tôi chụp lại bốn trang (179-183) viết về Tháp Hà Nội
trong cuốn sách Số học vui của E.Lucas xuất bản năm 1895 (sau khi Ông mất)

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên

12



Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên

13

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên

14

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên

15

§2. Sơ lƣợc về bài toán tháp Hà Nội tổng quát, các bài toán cải biên
và các vấn đề toán học liên quan

Trò chơi Tháp Hà Nội ngày càng được các nhà toán học quan tâm, Với
sự phát triển của tin học, bài toán tháp Hà Nội lại càng thu hút sự chú ý của
các nhà toán-tin học. Nó trở thành ví dụ điển hình về phương pháp giải đệ qui
và lập trình căn bản.
2.1 Bài toán Tháp Hà Nội tổng quát
Bài toán Tháp Hà Nội với ba cọc và
n
đĩa có thể giải được dễ dàng theo
thuật giải đệ qui (xem Chương 2). Hơn nữa, có thể biết chính xác số lần cần
chuyển tối ưu cho bài toán với
n
đĩa là
21
n

lần. Vì vậy nó thường được
dùng làm thí dụ kinh điển về lập trình căn bản và thuật giải đệ qui cũng như
minh họa về độ phức tạp tính toán (thời gian mũ) của bài toán với thuật giải
đơn giản và tối ưu.
Một mở rộng tự nhiên của bài toán Tháp Hà Nội với ba cọc là Bài toán
Tháp Hà Nội với bốn (hoặc nhiều) cọc.
Theo một số tài liệu, chính tác giả của bài toán Tháp Hà Nội, E. Lucas
cũng là người đầu tiên xét bài toán với nhiều cọc vào năm 1899. Năm 1902-
1903 Henry Ernest Dudeney đã viết về bài toán Tháp Hà Nội với bốn cọc
trong hai bài báo. Trong hai trang đầu tiên của cuốn sách nổi tiếng của Ông
The Canterbury Puzzles (xem [7]) ông đã viết về bài toán này (và gọi là

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên

16

Reve's puzzle) với số cọc là 4 và số đĩa là 8, 10 hoặc 21, chỉ có khác là Ông đã
thay các đĩa bằng các quân cờ. Trong phần lời giải (trang 131-132), Dudeney
đã khẳng định (không chứng minh) rằng số lần chuyển cần thiết tương ứng
với 8, 10 hoặc 21 đĩa là 33, 49 hoặc 321. Hơn nữa, Ông còn xét trường hợp
với số đĩa là số tam giác, tức là các số
( 1)
2
k
kk
t


,
1,2,...k 
Giả sử
( 1)
2
k
kk
t


là số tam giác thứ
k
và giả sử
()Mn
là số lần chuyển tối thiểu
cần thiết để chuyển xong
n
đĩa. Dudeney tuyên bố rằng

   
4 4 1
2 2 1
k
kk
M t M t

  
,
 
4
11M 
. Từ đây ta có
 
4
35M 
;
 
4
6 17M 
,
 
4
10 49M 
,… Tuy nhiên Dudeney không cho một thuật toán
nào cho phép tìm ra các số này, và cũng không có một gợi ý nào cho trường
hợp số đĩa không phải là số tam giác, thí dụ khi
8n 
.
Bài toán tổng quát với

3p 
cọc,
p
là số bất kì với số đĩa
n
bất kì được
B. M. Stewart đề xuất năm 1939 (Problem 3918 trong tạp chí The Americal
Mathematical Montly [17]). Lời giải của bài toán này đã được Stewart [19] và
Frame [9] trình bày cũng trong tạp chí này năm 1941. Các thuật toán của
Stewart và Frame cùng với một số thuật toán cải biên khác đã được chứng
minh là tương đương theo nghĩa số lần chuyển đĩa là bằng nhau (xem [11]).
Vì vậy người ta thường gọi thuật toán của hai ông hoặc các thuật toán cải biên
tương tự là thuật toán Frame- Stewart. Thuật toán Frame-Stewart cùng các
thuật toán tương đương sẽ được trình bày trong Chương 3 và Chương 4.
Thuật toán Stewart (1941)
Thuật toán truy hồi do Stewart đề xuất 1941, được coi là presumably-
optimal solution (lời giải giả định là tối ưu) cho bài toán bốn cọc (hoặc nhiều
hơn). Giả sử
n
là số đĩa và
p
là số cọc. Để giải bài toán tháp Hà Nội với
p

cọc, ta thực hiện các bước sau.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên

17
Bước 1. Với số

l
,
1 ln
, chuyển
l
đĩa trên cùng tới cọc 1, mất
()
p
Sl
lần
chuyển. Sử dụng tất cả các cọc trong khi chuyển.
Bước 2. Giữ nguyên cọc 1 chứa
l
đĩa trên cùng. Chuyển
nl
đĩa tới cọc
đích, sử dụng
1p 
cọc còn lại (vì cọc 1 đang được dùng để chứa
l
đĩa nhỏ
nhất), mất
1
()
p
S n l


lần chuyển.
Bước 3. Cuối cùng, chuyển

l
đĩa trên cùng từ cọc 1 tới cọc đích, mất
()
p
Sl

lần chuyển nữa. Được phép sử dụng tất cả các cọc.
Như vậy, tổng cộng cần
1
2 ( ) ( )
pp
S l S n l


lần chuyển.
Bài toán đặt ra là, cần tính số
l
để tổng này là nhỏ nhất.
Thuật toán Stewart nói trên (với cách chọn
l
như trên) cho phép tìm ra một
(một vài) giá trị
i
sao cho
 
11
1
2 ( ) ( ) min 2 ( ) ( )
p p p p
ln

S i S n i S l S n l


    
. (1.1)
Nói cách khác, các giá trị
i
thỏa mãn (1.1) là số bước chuyển tối ưu trong lớp
các thuật toán đề nghị.
Stewart và Frame cũng đã chứng minh rằng, nếu
n
là số tam giác
k
nt
, thì
cách chọn tối ưu nhất cho
l
là
lk
, trong khi đó nếu
1kk
t n t


thì cả hai
giá trị
1k 
và
k
đều là cách chọn tối ưu cho

l
. Như vậy, Stewart và Frame
đã đề xuất thuật toán hiển cho bài toán Tháp Hà Nội với bốn cọc. Thuật toán
này trùng với lời giải của Dudeney trong các trường hợp riêng nêu trên. Từ
đây ta cũng có nhận xét rằng, khác với trường hợp bài toán với ba cọc, lời giải
cho bài toán với bốn cọc có thể là không duy nhất.
Otto Dunkel, tổng biên tập của tạp chí The Americal Mathematical
Montly khi cho đăng hai lời giải trên đã chỉ ra rằng chứng minh tính tối ưu
của Frame và Stewart chỉ áp dụng được cho các thuật toán của một lược đồ
chung mô tả bởi Frame và Stewart mà thôi. Nói cách khác, Frame và Stewart
mới chỉ chứng minh rằng trong số tất cả các giá trị có thể của
l
theo thuật

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên

18
toán của hai ông phải có ít nhất một giá trị
i
làm cực tiểu số lần chuyển. Tuy
nhiên hai ông chưa chứng minh rằng thuật toán tối ưu bắt buộc phải có dạng
trên. Và điều này cho tới nay vẫn chưa chứng minh được. Và lời giải của
Frame và Stewart cần phải coi một cách đúng đắn là “lời giải giả định là tối
ưu” (presumed optimal solution), chứ chưa chứng minh được là lời giải tối
ưu. Từ 1941 đến nay, rất nhiều người khác đã nghiên cứu thuật toán này (xem
trích dẫn đầy đủ trong [5]). Gần đây một số tác giả đề nghị một số thuật toán
hồi qui tương đương với thuật toán Frame và Stewart (xem [11]). Nhưng tính
tối ưu của thuật toán vẫn chưa được chứng minh.
Đây là một ví dụ tiêu biểu cho thấy từ một bài toán đơn giản, có thể giải
được, nhưng bằng cách nới lỏng một số ràng buộc của nó thì lại trở thành khó

hơn rất nhiều do xuất hiện những bài toán mới.
Việc chưa chứng minh được lời giải cho bài toán với bốn hoặc nhiều cọc là
tối ưu không suy ra rằng không tồn tại thuật toán tìm (tất cả) các nghiệm tối ưu.
Mặc dù chưa chứng minh được số lần chuyển đĩa tối ưu chính xác là bao
nhiêu, nhưng thuật toán Frame-Stewart và các cải biên của nó cũng đã cho
"lời giải được giả định là tối ưu" (presumed-optimal solution).
Giả thuyết Frame-Stewart (chưa được chứng minh) nói rằng thuật toán
Frame-Stewart luôn cho lời giải tối ưu. Tính tối ưu của thuật toán Frame-
Stewart đã được kiểm tra trên máy tính cho số đĩa nhỏ hơn 30.
Theo Donald Knuth, nhà tin học nổi tiếng thế giới đã gọi giả thuyết này là
“giả thuyết Frame” và Ông đã viết: “Tôi nghi ngờ rằng ai đó đã giải được giả
thuyết này. Nó thật sự khó”.
2.2. Bài toán Tháp Hà Nội cải biên
Bài toán Tháp Hà Nội có khá nhiều cải biên rất thú vị. Mỗi qui tắc chơi
mới lại làm trò chơi Tháp Hà Nội thêm phong phú và lại xuất hiện thêm nhiều
vấn đề toán học mới. Dứới đây chúng tôi sơ lược liệt kê một số cải biên của
trò chơi Tháp Hà Nội.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên

19
2.2.1 Bài toán Tháp Hà Nội với vị trí bất kì
Bài toán Tháp Hà Nội với ba cọc và
n
đĩa đã được E. Lucas cải biên ngay
khi phổ biến cách chơi năm 1883. Đó là trò chơi Tháp Hà Nội với vị trí bất kì:
có thể coi vị trí của đĩa là bất kì (không nhất thiết phải tất cả các đĩa nằm trên
một cọc, mà có thể ở trên các cọc khác nhau, miễn là tuân theo qui tắc “đĩa ở
trên nhỏ, đĩa nằm dưới to”). Bài toán đã được Hinz nghiên cứu khá kĩ.
2.2.2 Bài toán Tháp Hà Nội quay vòng (cyclic moving)

Có thể đóng ba cọc trên ba đỉnh của một tam giác và chuyển động các
đĩa theo chiều quay của kim đồng hồ hoặc ngược lại.
2.2.2 Bài toán Tháp Hà Nội song song (parallel moving)
Có thể chuyển các đĩa từ cọc này sang cọc khác trong cùng một thời gian.
2.2.2 Bài toán Tháp Hà Nội hỗn hợp
Kết hợp giữa bài toán Tháp Hà Nội quay vòng với chuyển động song song.
Các cải biên của bài toán Tháp Hà Nội đặt ra những bài toán mới thú vị,
có thể nói khó không kém bài toán ban đầu.
2.3 Một số vấn đề toán học liên quan đến bài toán Tháp Hà Nội
Nhiều bài toán của toán học và tin học thú vị xuất hiện trong trò chơi
Tháp Hà Nội. Dưới đây liệt kê một vài vấn đề chính.
2.3.1 Đồ thị Hà Nội
Các nhà toán học đã phát hiện ra rằng Tháp Hà Nội có cùng bản chất với
bài toán tìm đường Hamilton (Hamilton Path) trên một hình giả phương cấp
n
(
n
-Hypercube), một bài toán cũng rất nổi tiếng.
Nhà toán học D.G. Poole đã phát hiện ra Lược đồ Hà Nội -một tam giác
có các đỉnh tương ứng với các cách sắp xếp đĩa trong Tháp Hà Nội, từ đó tìm
ra những liên hệ lý thú giữa Tam giác Pascal với Lược đồ Hà Nội. Liên hệ
này đã được công bố trong một công trình mang một cái tên đầy liên tưởng:
Pascal biết Hà Nội (Pascal knows Hanoi, [15]).

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên

20
Có thể biểu diễn trò chơi dưới dạng một đồ thị không có hướng đơn
giản. Các nút chính là các phân bố của các đĩa và các cạnh chính là các
chuyển động. Nhưng, thậm chí được thực hiện một cách khéo léo thuật toán

của Dijkstra để tìm một (hoặc tất cả) các đường ngắn nhất chuyển đĩa từ một
cọc này sang cọc khác trên máy tính nhanh nhất hiện nay, thuật toán này
không cho một con đường hữu hiệu tính nghiệm của bài toán với số lượng đĩa
lớn. Chương trình này đỏi hỏi nhiều thời gian và bộ nhớ hơn là có thể. Do đó,
thậm chí có thuật toán, ta vẫn không thể biết cần bao nhiêu lần chuyển đĩa mà
lời giải tối ưu đòi hỏi và có bao nhiêu lời giải tối ưu cho bài toán, thí dụ, với
1000 đĩa và 10 cọc.
Rất nhiều nghiên cứu bài toán tháp Hà Nội với tên gọi Đồ thị Hà Nội.
2.3.1 Thuật toán giải trò chơi Tháp Hà Nội
Trò chơi Tháp Hà Nội và các cải biên của nó đặt ra những câu hỏi khá
thú vị: Tìm thuật toán tối ưu giải quyết trò chơi, đánh giá độ phức tạp của
thuật toán,… Một thuật toán, có lẽ là quan trọng nhất, được trình bày trong
luận văn này (Chương 3 và 4), đó là thuật toán Frame-Stewart và các cải biên
của nó.
2.4 Bài toán Tháp Hà Nội trong y học và giáo dục
Bài toán Tháp Hà Nội thường được dùng trong nghiên cứu tâm lý về
cách giải quyết vấn đề (problem solving). Cũng có những biến thể khác của
bài toán này gọi là Tháp Luân Đôn (Tower of London) dùng trong chuẩn đoán
và điều trị thần kinh tâm lý đối với các chức năng thực hành. Những vấn đề
này không được đề cập trong luận văn này

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên

21
Chƣơng 2
TRÒ CHƠI THÁP HÀ NỘI

§1 Trò chơi tháp Hà Nội và thuật giải đệ qui
Luật chơi của trò chơi Tháp Hà Nội đã được qui định rõ trong tờ hướng
dẫn thứ hai khi Trò chơi Tháp Hà Nội được phổ biến lần đầu tại Paris năm

1883 (xem Chương 1). Trong cuốn sách của mình, E. Lucas mô tả trò chơi
gồm 8 đĩa ([12], trang 180-181). Dưới đây trình bày lời giải bài toán Tháp Hà
Nội với ba cọc và số đĩa
n
bất kì.
Bài toán 1
Có
n
đĩa kích thước nhỏ dần xếp chồng lên nhau trên một cọc (được gọi
là cọc nguồn, cọc A), đĩa lớn ở dưới, đĩa nhỏ ở trên. Ngoài cọc nguồn còn có
hai cọc trống khác, được gọi là cọc đích và cọc trung gian (cọc B và cọc C).
Hãy chuyển các đĩa này từ cọc nguồn sang cọc đích (một trong hai cọc B
hoặc C) tuân theo hai qui tắc sau:
Qui tắc 1. Mỗi lần chỉ được chuyển một đĩa từ cọc này sang cọc khác và
được dùng cọc thứ ba làm cọc trung chuyển.
Qui tắc 2. Không được xếp đĩa lớn nằm trên đĩa nhỏ.
Giải
Trước tiên ta xét bài toán với 1, 2, 3 đĩa.
Bài toán với 1 đĩa: chỉ cần 1 lần chuyển (Hình 1)
Lần 1: Chuyển đĩa từ cọc A sang cọc C.

Hình 1

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên

22
Bài toán với 2 đĩa: cần 3 lần chuyển (Hình 2)
Lần 1: Chuyển đĩa số 1 từ cọc A sang cọc B .
Lần 2: Chuyển đĩa số 2 từ cọc A sang cọc C.
Lần 3: Chuyển đĩa số 1 từ cọc B sang cọc C (lên trên đĩa số 2). Kết thúc.

Hình 2
Bài toán với 3 đĩa: cần 7 lần chuyển (Hình 3)
Hai đĩa đầu làm như trường hợp 2 đĩa ở trên (ba lần chuyển):
Lần 1: Chuyển đĩa số 1 từ cọc A sang cọc C.
Lần 2: Chuyển đĩa số 2 từ cọc A sang cọc B.
Lần 3: Chuyển đĩa số 1 từ cọc C sang cọc B (lên trên đĩa số 2). Cọc C trống.
Lần 4: Chuyển đĩa số 3 từ cọc A sang cọc C. Cọc A trống.
Lại chuyển hai đĩa đầu từ cọc B sang cọc C (ba lần chuyển):
Lần 5: Chuyển đĩa số 1 từ cọc B sang cọc A.
Lần 6: Chuyển đĩa số 2 từ cọc B sang cọc C (chồng lên trên đĩa số 3).
Lần 7: Chuyển đĩa số 1 từ cọc B sang cọc C (chồng lên đĩa số 2). Kết thúc.

Hình 3

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên

23
Bài toán với 4 đĩa: cần 15 lần chuyển (Hình 4)
Với
4n 
ta minh họa các bước chuyển đĩa như Hình 4 dưới đây.
Dòng 1 cột 1 biểu thị cả bốn đĩa nằm trên cọc A.

Hình 4
Trước tiên ta giải bài toán ba cọc (mất 7 lần chuyển):
Lần 1 (dòng 2 cột 1): Chuyển đĩa trên cùng (số 1) từ cọc A sang cọc C.
Lần 2 (dòng 3 cột 1): Chuyển đĩa số 2 từ cọc A sang cọc B.
Lần 3 (dòng 4 cột 1): Chuyển đĩa số 1 từ cọc C sang cọc B (cọc C trống).
Lần 4 (dòng 5 cột 1): Chuyển đĩa số 3 từ cọc A sang cọc B.

Lần 5 (dòng 6 cột 1): Chuyển đĩa số 1 từ cọc C sang cọc A.
Lần 6 (dòng 7 cột 1): Chuyển đĩa số 2 từ cọc C sang cọc B (cọc C trống).
Lần 7 (dòng 8 cột 1): Chuyển đĩa số 1 từ cọc A sang cọc B.
Như vậy, sau 7 lần chuyển, bài toán với 3 cọc và 3 đĩa đã giải xong.
Lần 8 (dòng 1 cột 2): Chuyển đĩa số 4 từ cọc A sang cọc C.
Tiếp theo lại giải bài toán ba cọc: Chuyển ba đĩa từ cọc B sang cọc C (mất
thêm 7 lần chuyển):