Dạy học phát hiện và sửa chữa sai lầm trong giải toán hình học không gian cho học sinh trung học phổ thông​

ĐẠI HỌC THÁI NGUN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

NƠNG THỊ BÍCH THIỆU

DẠY HỌC PHÁT HIỆN VÀ SỬA CHỮA SAI LẦM
TRONG GIẢI TỐN HÌNH HỌC KHƠNG GIAN CHO HỌC SINH
TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

THÁI NGUYÊN - 2016
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN




ĐẠI HỌC THÁI NGUN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

NƠNG THỊ BÍCH THIỆU

DẠY HỌC PHÁT HIỆN VÀ SỬA CHỮA SAI LẦM
TRONG GIẢI TỐN HÌNH HỌC KHƠNG GIAN CHO HỌC SINH
TRUNG HỌC PHỔ THƠNG

Chun ngành: Lí luận và phương pháp dạy học bộ mơn Tốn
Mã số: 60.14.01.11

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Người hướng dẫn khoa học: TS. Trần Việt Cường

THÁI NGUYÊN - 2016
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN




LỜI CAM ĐOAN
Tơi xin cam đoan đây là cơng trình nghiên cứu của riêng tôi, các kết
quả nghiên cứu là trung thực và chưa được công bố trong bất kỳ cơng trình
nào khác.
Thái Ngun, tháng 4 năm 2016
Tác giả luận văn

Nơng Thị Bích Thiệu

i


MỤC LỤC
Trang
Trang bìa phụ
Lời cam đoan .......................................................................................................i
Mục lục ............................................................................................................. ii
Danh mục các bảng .......................................................................................... iii
MỞ ĐẦU ........................................................................................................... 1
1. Lí do chọn đề tài............................................................................................. 1
2. Mục đích nghiên cứu...................................................................................... 3
3. Giả thuyết khoa học ....................................................................................... 3

4. Nhiệm vụ nghiên cứu ..................................................................................... 4
5. Phương pháp nghiên cứu ............................................................................... 4
7. Cấu trúc của đề tài .......................................................................................... 5
Chương 1. CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN ............................................ 6
1.1. Dạy học giải bài tập toán ở trường phổ thơng ............................................ 6
1.1.1. Vai trị của việc giải bài tập toán ............................................................. 6
1.1.2. Chức năng của bài tập toán ...................................................................... 9
1.2. Một số dạng toán thuộc nội dung Hình học khơng gian ........................... 10
1.3. Sự cần thiết phải phát hiện, phòng tránh và sửa chữa những sai lầm
của học sinh khi giải toán ................................................................................. 20
1.4. Một số dạng sai lầm học sinh thường mắc phải khi giải tốn Hình học
khơng gian lớp 11 ............................................................................................. 22
1.4.1. Sai lầm do khơng nắm rõ bản chất của khái niệm tốn học .................. 22
1.4.2. Sai lầm do không nắm vững nội dung các định lí, hệ quả ..................... 23
1.4.3. Sai lầm do vẽ hình chưa chính xác ........................................................ 24
1.4.4. Sai lầm khi khai thác các giả thiết của bài tốn khơng chính xác ......... 25
1.5. Thực trạng dạy học Hình học không gian cho học sinh ở trường
Trung học phổ thông ........................................................................................ 26
ii


1.5.1. Nội dung chương trình Hình học khơng gian lớp 11 ở trường Trung
học phổ thơng ................................................................................................... 26
1.5.2. Mục đích dạy học Hình học khơng gian lớp 11 ở trường Trung học
phổ thông .......................................................................................................... 27
1.5.3. Thực trạng dạy học giải bài tập Hình học khơng gian ở trường
Trung học phổ thông cho học sinh ................................................................... 29
1.6. Kết luận chương 1 ..................................................................................... 33
Chương 2. MỘT SỐ BIỆN PHÁP SƯ PHẠM NHẰM GIÚP HỌC
SINH PHÁT HIỆN VÀ SỬA CHỮA SAI LẦM THƯỜNG GẶP KHI

GIẢI TỐN HÌNH HỌC KHƠNG GIAN LỚP 11 .................................... 34
2.1. Một số định hướng xây dựng biện pháp ................................................... 34
2.2. Một số biện pháp sư phạm giúp học sinh phát hiện và sửa chữa những
sai lầm thường gặp khi giải tốn Hình học khơng gian lớp 11 ........................ 36
2.2.1. Biện pháp 1. Hạn chế và khắc phục những sai lầm thường mắc phải
cho học sinh thông qua việc phân tích bài tốn có chứa sai lầm ..................... 36
2.2.2. Biện pháp 2. Trang bị đầy đủ, chính xác kiến thức cơ bản cho học sinh .. 43
2.2.3. Biện pháp 3. Hệ thống hóa các dạng tốn và phương pháp giải từng
dạng toán .......................................................................................................... 55
2.2.4. Biện pháp 4. Rèn luyện cho học sinh kỹ năng tìm lời giải theo quy
trình 4 bước của G.Polya.................................................................................. 60
2.2.5. Biện pháp 5. Sử dụng công nghệ thơng tin trong dạy học Hình học
khơng gian cho học sinh ................................................................................... 67
2.3. Kết luận chương 2 ..................................................................................... 72
Chương 3. THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM ..................................................... 73
3.1. Mục đích thực nghiệm sư phạm................................................................ 73
3.2. Nội dung thực nghiệm sư phạm ................................................................ 73
3.4. Tổ chức thực nghiệm sư phạm .................................................................. 75
iii


3.5. Đánh giá thực nghiệm sư phạm ................................................................ 76
3.5.1. Phân tích định lượng .............................................................................. 76
3.5.2. Phân tích định tính ................................................................................. 81
3.6. Kết luận chương 3 ..................................................................................... 82
KẾT LUẬN ..................................................................................................... 83
DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO...................................................... 84

iv

DANH MỤC CÁC BẢNG
Trang
Bảng 1.1. Nguyên nhân sai lầm của học sinh khi giải tốn Hình học khơng gian... 30
Bảng 3.1. Nội dung các tiết dạy thực nghiệm sư phạm. ................................. 73
Bảng 3.2. Kết quả kiểm tra chất lượng học tập học kì I năm học 2015- 2016
của hai lớp 11A1 và 11A2 ............................................................... 75
Bảng 3.3. Thời gian dạy thực nghiệm sư phạm .............................................. 75
Bảng 3.4. Kết quả kiểm tra của học sinh hai lớp 11A1 và lớp 11A2 trường
Trung học phổ thông Trùng Khánh................................................ 79

iii


MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Luật Giáo dục nước Cộng hòa xã hội chủ nghĩa Việt Nam năm 2005 đã
quy định [19]: “Mục tiêu của giáo dục phổ thông là giúp học sinh phát triển
toàn diện về đạo đức, trí tuệ, thể chất, thẩm mỹ và các kỹ năng cơ bản, phát
triển năng lực cá nhân, tính năng động và sáng tạo, hình thành nhân cách
con người Việt Nam xã hội chủ nghĩa, xây dựng tư cách và trách nhiệm công
dân; chuẩn bị cho học sinh tiếp tục học lên hoặc đi vào cuộc sống lao động,
tham gia xây dựng và bảo vệ Tổ quốc”.
Nghị quyết 29 của Đảng cộng sản Việt Nam khóa XI đã nêu [2]: “Phát
triển giáo dục và đào tạo là nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dưỡng
nhân tài. Chuyển mạnh quá trình giáo dục từ chủ yếu trang bị kiến thức sang
phát triển toàn diện phẩm chất và năng lực người học. Học đi đôi với hành;
lý luận gắn với thực tiễn; giáo dục nhà trường kết hợp với giáo dục gia đình
và giáo dục xã hội”.
Để thực hiện các mục tiêu trên, Bộ Giáo dục và Đào tạo đã phát động

phong trào đổi mới giáo dục, nhấn mạnh vào đổi mới phương pháp dạy học
trong toàn quốc. Theo nghiên cứu của nhiều nhà toán học, giáo dục học, tâm
lý học thì việc đổi mới phương pháp dạy học cần được thực hiện theo định
hướng hoạt động hóa người học, tức là tổ chức cho người học học tập trong
hoạt động và bằng hoạt động tự giác, tích cực, chủ động và sáng tạo.
Ở trường phổ thơng, dạy tốn là dạy hoạt động tốn học. Đối với học
sinh có thể xem việc giải tốn là hình thức chủ yếu của hoạt động tốn học.
Các bài tốn ở trường phổ thơng là một phương tiện có hiệu quả trong việc
giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển tư duy, hình thành các kỹ năng, kỹ
xảo ứng dụng toán học vào thực tiễn. Hoạt động giải toán là điều kiện để thực
hiện tốt các mục đích của dạy học tốn. Tuy nhiên, khi bắt tay vào việc giải

1


tốn, học sinh thường gặp khơng ít những khó khăn và mắc phải những sai
lầm dẫn đến những yếu kém nhất định trong kết quả học tập của học sinh.
Một trong những nguyên nhân dẫn đến những sai lầm đó của học sinh là giáo
viên chưa chú ý một cách đúng mức trong việc phát hiện, uốn nắn và sửa
chữa các sai lầm cho học sinh ngay trong các giờ dạy học tốn. Vì điều đó nên
ở học sinh nhiều khi gặp phải tình trạng sai lầm nối tiếp sai lầm. Hơn nữa, bản
thân học sinh sau nhiều lần mắc phải sai lầm trong giải tốn thường có tâm lý
tự ti, thậm chí chán nản, mất lịng tin và mất hứng thú trong việc học tốn.
Trong chương trình mơn tốn ở trường phổ thơng, Hình học khơng gian
là một nội dung khó và giữ một vai trị hết sức quan trọng. Ngoài việc cung
cấp cho học sinh kiến thức, kỹ năng giải tốn Hình học khơng gian cịn rèn
luyện cho học sinh đức tính, phẩm chất con người lao động mới: Cẩn thận,
chính xác, có tính kỉ luật, tính phê phán, tính sáng tạo, bồi dưỡng óc thẩm mĩ,
tư duy sáng tạo cho học sinh. Vì thế, việc dạy và học Hình học khơng gian là
vấn đề được nhiều giáo viên dạy mơn tốn quan tâm. Hình học khơng gian là

một mơn học khá trừu tượng, địi hỏi ở học sinh tính sáng tạo cao, có khả
năng rèn luyện kỹ năng lập luận, óc suy nghĩ phán đốn, tư duy lôgic cho học
sinh. Tuy nhiên, thực tiễn ở các trường phổ thơng cho thấy trong q trình
giải tốn Hình học khơng gian, học sinh cịn mắc phải một số sai lầm về kiến
thức và phương pháp toán học. Một trong những nguyên nhân quan trọng là
giáo viên chưa chú ý một cách đúng mức việc phát hiện, tìm ra nguyên nhân
và sửa chữa các sai lầm cho học sinh ngay trong các giờ học Tốn để từ đó có
nhu cầu về nhận thức sai lầm, tìm ra nguyên nhân và những biện pháp hạn chế,
sửa chữa kịp thời các sai lầm này, nhằm rèn luyện năng lực giải toán cho học
sinh đồng thời nâng cao hiệu quả dạy học toán trong các trường phổ thông.
Việc sửa chữa sai lầm là một hoạt động quan trọng, G.Polya cho rằng
[6]: “Con người phải biết học ở những sai lầm và thiếu sót của mình”.

2


A.A.Stoliar phát biểu: “Không được tiếc thời gian để phân tích trên giờ học
các sai lầm của học sinh”, cịn theo J.A.Komenxki [Trích dẫn theo 11]: “Bất
kỳ một sai lầm nào cũng có thể làm cho học sinh kém đi nếu như giáo viên
không chú ý ngay đến sai lầm đó và hướng dẫn học sinh nhận ra, sửa chữa,
khắc phục sai lầm”. Nguyên tắc sửa chữa sai lầm cho học sinh khi giải tốn
thì cần phải tạo động cơ học tập sửa chữa các sai lầm. Học sinh thấy việc sửa
chữa sai lầm là một nhu cầu và cần phải tham gia như một chủ thể một cách
tự nguyện, say mê, hào hứng. Tạo cho học sinh có động cơ hoàn thiện tri
thức. Cần lấy hoạt động học tập của học sinh để làm cơ sở cho quá trình lĩnh
hội tri thức. Hơn nữa các nguyên tắc phải tập trung vào phong trào hoạt động,
rèn luyện các kỹ năng học tập của học sinh. Việc sử dụng các biện pháp sư
phạm nhằm hạn chế và sửa chữa các sai lầm của học sinh khi giải toán, giáo
viên cần phải lưu ý đảm bảo ba phương châm đó là tính kịp thời, tính chính
xác và tính giáo dục. Ba phương châm hỗ trợ, bổ sung cho nhau làm cho các

biện pháp thực hiện đúng mục đích và kết quả.
Xuất phát từ nhu cầu bản thân trong việc học tập, tự nghiên cứu các vấn
đề dạy học, tự rèn luyện và nâng cao kỹ năng, nghiệp vụ sư phạm.
Vì các lí do trên, chúng tôi lựa chọn đề tài “Dạy học phát hiện và sửa
chữa sai lầm trong giải tốn hình học không gian cho học sinh trung học
phổ thông” làm đề tài nghiên cứu.
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu một số sai lầm thường gặp của học sinh Trung học phổ
thơng khi giải tốn Hình học khơng gian, đồng thời đề xuất một số biện pháp
sư phạm để giúp học sinh khắc phục và sửa chữa những sai lầm đó.
3. Giả thuyết khoa học
Nếu phát hiện được những dạng sai lầm mà học sinh thường mắc phải
và đề xuất được một số biện pháp sư phạm nhằm giúp học sinh phát hiện và

3


sửa chữa những sai lầm đó trong dạy học Hình học khơng gian thì sẽ góp
phần nâng cao hiệu quả dạy học chủ đề này cho học sinh, nâng cao chất lượng
dạy học mơn tốn ở trường phổ thơng.
4. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu cơ sở lý luận và thực tiễn một số nội dung liên quan đến
đề tài.
- Xác định một số dạng sai lầm phổ biến của học sinh Trung học phổ
thơng khi giải tốn Hình học khơng gian, từ đó xác định ngun nhân dẫn đến
sai lầm của học sinh Trung học phổ thông khi giải tốn Hình học khơng gian.
- Đề xuất một số biện pháp sư phạm nhằm khắc phục những sai lầm đã
chỉ ra ở trên.
- Thực nghiệm sư phạm.
5. Phương pháp nghiên cứu

- Nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu một số tài liệu liên quan đến vấn đề
phương pháp dạy học và các tài liệu có liên quan...
- Phương pháp điều tra, quan sát: Tiến hành dự giờ một số tiết học
thuộc nội dung Hình học khơng gian, trao đổi với giáo viên dạy tốn ở một số
trường Trung học phổ thơng. Từ đó, tổng kết những dạng sai lầm học sinh
thường mắc phải và đề xuất một số biện pháp khắc phục.
- Phương pháp chuyên gia: Xin ý kiến của một số chuyên gia, giáo viên
dạy toán về những sai lầm học sinh thường mắc phải khi giải tốn nội dung
Hình học không gian và hướng khắc phục.
- Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Thử nghiệm sư phạm để bước
đầu kiểm nghiệm tính khả thi và hiệu quả của đề tài nghiên cứu.
6. Giới hạn của đề tài
Nội dung luận văn, chúng tơi chủ yếu đề cấp tới nội dung Hình học
khơng gian trong chương trình lớp 11 (ban cơ bản).

4


7. Cấu trúc của đề tài
Ngoài phần “Mở đầu”, “Kết luận” và “Tài liệu tham khảo”, nội dung
chính của đề tài được trình bày trong 3 chương:
Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn.
Chương 2. Một số biện pháp sư phạm nhằm giúp học sinh phát hiện và
sửa chữa sai lầm thường gặp khi giải tốn Hình học khơng gian lớp 11.
Chương 3. Thực nghiệm sư phạm.

5


Chương 1

CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Dạy học giải bài tập tốn ở trường phổ thơng
1.1.1. Vai trị của việc giải bài tập toán
Theo G.Polya [6]: “Bài toán đặt ra sự cần thiết phải tìm kiếm một cách
có ý thức phương tiện thích hợp để đạt tới một mục đích trơng thấy rõ ràng
nhưng khơng thể đạt được ngay”.
Theo Bách khoa tri thức phổ thông định nghĩa [1]: “Khái niệm bài tốn
hiểu là một cơng việc hồn thành được nhờ những phương thức đã biết trong
những điều kiện cho trước”.
Cần có sự phân biệt giữa bài tập và bài toán. Để giải bài tập, chỉ yêu
cầu áp dụng máy móc các kiến thức, quy tắc hay thuật tốn đã học. Nhưng đối
với bài toán, để giải được phải tìm tịi giữa các kiến thức có thể sử dụng và
việc áp dụng để xử lý tình huống cịn có khoảng cách, vì các kiến thức đó
khơng dẫn trực tiếp đến phương tiện xử lý thích hợp. Muốn sử dụng được
những điều đã biết cần phải kết hợp, biến đổi chúng, làm cho chúng thích hợp
với tình huống.
Trong sách giáo khoa hiện hành, sau mỗi bài học thường chia thành ba
dạng: thực hành, bài tập, bài tốn, trình bày tách biệt nhau, trong đó bài tốn
thực tiễn chiếm tỉ lệ cao.
Đối với học sinh, giải bài tập tốn có thể coi là hoạt động toán học chủ
yếu. Vậy thế nào là học tốt mơn Tốn? Đó là giải tốn khơng chỉ biết giải
những bài tốn thơng thường mà cả những bài tốn địi hỏi tư duy độc lập
nhất định, có óc phê phán, có tính độc lập và sáng tạo hơn nữa. Vì vậy, việc tổ
chức ứng dụng có hiệu quả việc dạy học giải bài tập tốn có vai trị quyết định
đối với chất lượng dạy học tốn.

6


Mỗi bài toán mà học sinh đã giải dạy cho họ kỹ năng hướng về những

tình huống có vấn đề khác nhau, biết phân biệt tình huống, biết lựa chọn một
hoạt động, một hướng đi để giải quyết vấn đề. Khi làm tốn, trí tuệ của con
người được huy động tới mức tối đa, khả năng phân tích, tổng hợp được rèn
luyện, từ đó các thao tác tư duy trở nên nhanh nhạy. Có thể nói kỹ năng giải
tốn là tài sản đặc trưng của tư duy toán học.
Thực tế cho thấy, q trình dạy học giải bài tập nói chung thường diễn
ra theo các khâu chủ yếu như: hệ thống lại kiến thức cũ cần đạt được để phục
vụ cho tiết dạy, dạy học tri thức phương pháp, vận dụng và luyện tập, cuối
cùng là củng cố.
Bài tập toán học có vai trị quan trọng trong mơn tốn. Thơng qua giải
bài tập, học sinh phải thực hiện những hoạt động nhất định bao gồm cả nhận
dạng và thể hiện định nghĩa, định lí, quy tắc hay phương pháp, những hoạt
động Tốn học phức tạp hơn những hoạt động trí tuệ chung và những hoạt
động ngơn ngữ [16]. Vì vậy, dạy học giải bài tập có vai trị quan trọng trong
dạy học Tốn.
Các bài tốn ở phổ thơng là phương tiện rất có hiệu quả và khơng thể
thay thế được trong việc giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển tư duy
hình thành kỹ năng, kỹ xảo, ứng dụng toán học vào thực tiễn. Hoạt động giải
bài tập toán học là điều kiện tốt để thực hiện mục đích dạy học tốn ở trường
phổ thơng. Vai trị của bài tập tốn thể hiện ở cả ba bình diện: mục đích, nội
dung và phương pháp của q trình dạy học. Cụ thể:
- Về mặt mục đích dạy học: Bài tốn thể hiện những chức năng khác
nhau hướng đến việc thực hiện mục đích dạy học mơn tốn khác nhau, chẳng
hạn như:
+ Hình thành, củng cố tri thức, kỹ năng, kỹ xảo, kỹ năng ứng dụng toán
học ở những giai đoạn khác nhau của quá trình dạy học.

7

+ Phát triển năng lực trí tuệ chung: rèn luyện các thao tác tư duy, hình
thành các phẩm chất trí tuệ.
+ Hình thành, bồi dưỡng thế giới quan duy vật biện chứng cũng như
những phẩm chất đạo đức của người lao động mới.
- Về mặt nội dung dạy học: Bài tập toán là một phương tiện để cài đặt
nội dung dưới dạng tri thức hoàn chỉnh hay những yếu tố bổ sung cho tri thức
đã học ở phần lí thuyết.
- Về mặt phương pháp dạy học: Bài tập toán là giá mang những hoạt
động để học sinh kiến tạo những nội dung nhất định và trên cơ sở đó thực
hiện các mục đích dạy học khác. Khai thác tốt bài tập như vậy sẽ góp phần tổ
chức tốt cho học sinh học tập trong hoạt động và bằng hoạt động tự giác, tích
cực, chủ động, sáng tạo được thực hiện độc lập hoặc trong giao lưu.
Trong thực tiễn dạy học, bài tập được sử dụng với những dụng ý khác
nhau. Về phương pháp dạy học: Đảm bảo trình độ xuất phát, gợi động cơ, làm
việc với nội dung mới, củng cố hoặc kiểm tra... Đặc biệt về mặt kiểm tra, bài
tập là phương tiện không thể thay thế để đánh giá mức độ tiếp thu tri thức,
khả năng làm việc độc lập và trình độ phát triển tư duy của học sinh, cũng
như hiệu quả giảng dạy của giáo viên. Bài tập toán với tư cách là một phương
pháp dạy học, giữ một vị trí đặc biệt quan trọng trong việc hồn thành nhiệm
vụ dạy học Tốn ở trường phổ thơng. Việc giải bài tập tốn có những tác
dụng sau:
- Hình thức củng cố, ơn tập, hệ thống hố kiến thức một cách sinh
động. Khi giải quyết bài toán, học sinh phải nhớ lại những kiến thức đã học,
phải đào sâu một số khía cạnh nào đó của kiến thức hoặc phải tổng hợp, huy
động nhiều kiến thức để giải quyết được bài tập. Tất cả những thao tác tư duy
đó góp phần củng cố khắc sâu và mở rộng kiến thức cho học sinh;
- Phương tiện tốt để phát triển năng lực tư duy, khả năng sáng tạo cho
học sinh, bồi dưỡng cho học sinh một phương pháp nghiên cứu khoa học bởi

8

giải bài tập tốn là một hình thức làm việc tự lực của học sinh. Trong khi giải
bài tập toán, học sinh phải phân tích, lập luận... từ đó tư duy logic, tư duy sáng
tạo của học sinh được phát triển và năng lực của học sinh được nâng cao;
- Xây dựng và củng cố những kỹ năng, kỹ xảo vận dụng lý thuyết vào
thực tế, đời sống... từ đó có tác dụng giáo dục cho học sinh về phẩm chất đạo
đức, rèn luyện khả năng độc lập suy nghĩ, tính kiên trì dũng cảm khắc phục
khó khăn, tính chính xác khoa học, kích thích hứng thú học tập bộ mơn Tốn
nói riêng và học tập nói chung;
- Đánh giá mức độ kết quả dạy học, đánh giá khả năng độc lập học tốn
và trình độ phát triển của học sinh.
Có thể nói, bài tập tốn có những tác dụng to lớn về cả giáo dục lẫn
giáo dưỡng. Vì thế trong giải bài tập tốn, mục đích cuối cùng khơng chỉ là
giúp học sinh tìm ra đáp số của bài toán (tuy rằng điều này rất quan trọng và
cần thiết) mà học sinh nắm vững cách giải bài toán, nắm vững được các kiến
thức đã học, đồng thời rèn luyện các năng lực phẩm chất của tư duy, vận dụng
một cách nhuần nhuyễn, linh hoạt sáng tạo trong công việc.
1.1.2. Chức năng của bài tập tốn
Ở trường phổ thơng, dạy học là dạy hoạt động toán học cho học sinh
trong đó giải tốn là hoạt động chủ yếu. Do vậy, dạy bài tập tốn có vị trí
quan trọng trong dạy học tốn nhằm đạt nhiều mục đích khác nhau thể hiện ở
các chức năng như [15]:
- Chức năng dạy học: Bài tập tốn nhằm hình thành, củng cố cho học
sinh những tri thức, kỹ năng, kỹ xảo, những vấn đề về lý thuyết hay phương
pháp dạy học ở các giai đoạn khác nhau của quá trình dạy học.
- Chức năng giáo dục: Thơng qua việc giải bài tập mà hình thành cho
học sinh thế giới quan duy vật biện chứng, hứng thú học tập, sáng tạo, có
niềm tin và phẩm chất đạo đức của người lao động mới.

9


- Chức năng phát triển: Giải bài tập toán nhằm phát triển năng lực tư
duy cho học sinh, đặc biệt là rèn luyện những thao tác tư duy, hình thành
những phẩm chất tư duy khoa học.
- Chức năng kiểm tra: Bài tập nhằm đánh giá mức độ, kết quả dạy học,
đánh giá khả năng học toán, khả năng tiếp thu và trình độ phát triển của học
sinh vận dụng kiến thức đã học.
1.2. Một số dạng toán thuộc nội dung Hình học khơng gian
a) Dạng 1: Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng
Ví dụ 1.1. Cho hình bình hành ABCD và S là một điểm không nằm
trên mặt phẳng (ABCD). Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của SA, BC, CD.
Tìm giao tuyến của mặt phẳng (MNP) với các mặt xung quanh của hình chóp
S.ABCD.
Lời giải. Trong mặt phẳng
(ABCD), kẻ đường thẳng NP cắt AB
và AD lần lượt tại E và F.
Trong mặt phẳng (SAB), kẻ
đường thẳng ME cắt SB tại Q.
Trong mặt phẳng (SAD), kẻ
đường thẳng MF cắt SD tại R.

Hình 1.1

Do đó, giao tuyến của mặt phẳng (MNP) với các mặt phẳng (ABCD),
(SAB), (SAD), (SBC), (SCD) lần lượt là NP, MQ, MR, NQ, RP (Hình 1.1).
Nhận xét
- Trong cách giải bài tập này chúng ta để ý thấy từ giao tuyến đầu tiên
có được là NP, ta có thể tìm được giao điểm của nó với các mặt phẳng khác

và từ đó ta tìm được những giao tuyến của mặt phẳng (MNP) với các mặt
phẳng khác nữa.

10


- Việc kéo dài NP dễ bị ngộ nhận là nó sẽ cắt SB hoặc SD. Để tránh sai
sót này chúng ta để ý là NP chỉ cắt những đường thẳng nằm trên cùng mặt
phẳng (ABCD).
b) Dạng 2: Xác định giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng
Ví dụ 1.2. Cho hình chóp S.ABCD và ba điểm M, N, P lần lượt nằm
trên SA, SB, SC, gọi I là giao điểm của AC và BD. Tìm giao điểm giữa:
a) Đường thẳng SI với mặt phẳng (MNP)
b) Đường thẳng SD với mặt phẳng (MNP).
Lời giải.
a) Ta có SI và MP đồng phẳng do
cùng thuộc mặt phẳng (SAC). Do SI không
song song với MP nên SI cắt MP tại một
điểm J (Hình 1.2).
Như vậy, J chính là giao điểm của SI
với mặt phẳng (MNP).
b) Dễ thấy (SBD)  (MNP) = NJ.
Gọi Q = NJ  SD. Khi đó, ta có Q
chính là giao điểm của SD và (MNP).

Hình 1.2

c) Dạng 3: Xác định thiết diện
Ví dụ 1.3. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD với AD không song song với
BC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của SB, SC, SD. Tìm thiết diện của

hình chóp S.ABCD với mặt phẳng (MNA).
Lời giải. Trong (ABCD), gọi E = AD  CB.
Khi đó, ta có (SBC)  (SDA) = SE.
Trong (SEB), kẻ đường thẳng MN cắt SE tại Q.

11


Trong (SEA), kẻ đường thẳng AQ
cắt SD tại P.
Trong (SCD), kẻ đường thẳng PN.
Trong (SAB), kẻ đường thẳng AM.
Khi đó, thiết diện cần tìm là tứ giác
APNM (Hình 1.3).
d) Dạng 4: Chứng minh ba điểm
Hình 1.3

thẳng hàng

Ví dụ 1.4. Cho hình bình hành ABCD và điểm S khơng thuộc mặt
phẳng (ABCD). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AB, SC.
Gọi I = AN  (SBD), J = MN  (SBD). Chứng minh I, J, B thẳng hàng
Lời giải. (Hình 1.4)
Xác định giao điểm I = AN  (SBD)
Ta có (SAC)  (SBD) = SO.
Gọi I = AN  SO. Do I  AN, I  SO
và SO  (SBD) nên ta có I  (SBD).
Vậy I = AN  (SBD).
Xác định giao điểm J = MN  (SBD)
Ta có S là điểm chung của hai mặt

Hình 1.4

phẳng (SMC) và (SBD).
Gọi E = MC  BD. Do đó, ta có (SMC)  (SBD) = SE.
Gọi J = MN  SE. Do SE  (SBD) nên ta có J  (SBD).
Vậy, ta có J = MN  (SBD).
Chứng minh I, J, B là ba điểm thẳng hàng.
Ta có B = (AMN)  (SBD) hay B = (ANB)  (SBD)
Do I  SO và SO  (SBD) nên ta có I  (SBD).

12

(1)


Do I  AN và AN  (ANB) nên ta có I  (ANB)
Do đó, ta có I = (ANB)  (SBD)

(2)

Chứng minh tương tự, ta có J = (ANB)  (SBD)

(3)

Từ (1), (2), (3) suy ra I, J, B thẳng hàng.
e) Dạng 5: Chứng minh 3 đường thẳng đồng quy
Ví dụ 1.5. Trong mặt phẳng (α),
cho tam giác BCD và điểm A không

A

thuộc mặt phẳng (α). Gọi E, F, G lần
E

lượt là các điểm nằm trên ba cạnh AB,
AC, BD sao cho EF cắt BC tại I, EG

F
I

B

cắt AD tại H. Chứng minh CD, IG, HF
đồng quy.

D
O
G
C

Lời giải. Gọi O = HF  IG
(Hình 1.5).
Do O  HF và HF  (ACD)

H

Hình 1.5

nên ta có O  (ACD).

Do O  IG và IG  (BCD) nên ta có O  (BCD).
Do đó, ta có O  CD = (ACD)  (BCD).
Vậy, ba đường thẳng CD, IG, HF đồng quy tại điểm O.
Nhận xét. Từ bài trên ta thấy để chứng minh ba đường thẳng đồng quy
tại một điểm ta có thể đưa về tìm giao điểm của hai đường thẳng, giao điểm
của hai đường thẳng này là điểm chung của hai mặt phẳng mà giao tuyến là
đường thẳng thứ ba.
f) Dạng 6: Chứng minh các quan hệ song song trong khơng gian
* Chứng minh hai đường thẳng song song
Ví dụ 1.6. Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình thang với các cạnh
đáy là AB và CD (AB > CD). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA, SB.

13


a. Chứng minh rằng MN // CD.
b. Tìm giao điểm P của đường thẳng SC và mặt phẳng (ADN)
c. Kéo dài AN và DP cắt nhau tại I. Chứng minh rằng SI // AB // CD.
Tứ giác SABI là hình gì?
Lời giải. (Hình 1.6)
a) Trong ∆SAB, ta có MN // AB (tính chất đường trung bình)

(1)

Mặt khác, ta có AB // CD (vì ABCD là hình thang)

(2)

Từ (1) và (2) suy ra MN // CD

b) Gọi E = AD  BC ; P = SC  EN.

I

S

Suy ra, ta có P = SC  (ADN)

N
M

c) Do AB  (SAB), CD  (SCD), AB // CD,
(SAB)  (SCD) = SI nên ta có SI // AB // CD.

1
1
Từ giả thiết, ta có MN  SI , MN  AB ,
2
2
MN // SI và MN // AB.

B

A
P

C

D

E

Do đó, ta có MN // AB và MN = AB.

Hình 1.6

Suy ra SABI là hình bình hành.
* Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng
Ví dụ 1.7. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành.
Gọi M, N lần lượt là các trung điểm các cạnh AB, CD. Gọi P là trung điểm
của SA.
a) Chứng minh MN song song với các mặt phẳng (SBC) và (SAD)
b) Chứng minh SB // (MNP) và SC // (MNP).
c) Gọi G’, G’’ theo thứ tự là trọng tâm của các tam giác ABC và SBC.
Chứng minh G’G’’ // (SAD).
Lời giải. (Hình 1.7)
a) Trong hình bình hành ABCD ta có MN là đường trung bình, do đó:

14


MN / / BC   SBC   MN / /  SBC 

S

S

MN / / AD   SAD   MN / /  SAD 
Q MP là đường trung bình ∆SAB nên
b) Do

Q

ta có P

P
D

SB / / M P   MNP   SB / /  MNP 
D

N

C

O

Từ giả thiết, ta có
A

M

C

N

 AD   SAD  ; MN   MNP 

 AD / / MN
 SAD  MNP  Px

 


B

A

B

M

Hình 1.7

S

Suy ra, ta có Px // AD // MN.
Giả sử Px cắt SD tại Q. Suy ra, ta có Q là
trung điểm của SD.

K

Trong ∆SCD ta có NQ là đường trung

G''
D
C

bình. Do đó, ta có:
SC // NQ  (MNP)  SC // (MNP)
c) Gọi K là trung điểm SB. Ta có

G'
A

M

B

Hình 1.8

CG ' 2 CG '' 2
 ;
  G 'G '' / / MK (1)
CK 3 CM 3
Mặt khác, trong ∆SAB, ta có MK là đường trung bình (Hình 1.8).
Do đó, ta có MK // SA

(2)

Từ (1) và (2) suy ra
G’G” // SA  (SAD)  G’G” // (SAD).
* Chứng minh hai mặt phẳng song song
Ví dụ 1.8. Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình bình hành. Gọi O
là giao điểm của AC với BD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA, SB.
Chứng minh (MON) // (SCD).

15


Lời giải. (Hình 1.9)

Do MN // AB, AB // DC nên ta có
MN // DC (1)
Trong SDB ta có ON // SD

(2)

Ta có ON  (MON), SD  (SCD),
MN  (MON) và DC  (SCD) (3)
Từ (1), (2) và (3) ta có (MON) // (SCD).

Hình 1.9
g) Dạng 7: Chứng minh quan hệ vng góc trong khơng gian
* Chứng minh hai đường thẳng vng góc
Ví dụ 1.9. Cho hình chóp S.ABCD với ABCD là hình vng và SA
vng góc với mặt phẳng (ABCD). Qua A dựng mặt phẳng () vng góc với
SC, cắt SB, SC, SD lần lượt tại các điểm E, K, H. Chứng minh rằng AE  SB
và AH  SD
Lời giải. Do SC  () nên ta có SC  AE
(Hình 1.10).
Do BC  SA, BC  AB nên BC  (SAB)
 BC  AE.
Do đó, ta có AE  (SBC).
Hình 1.10

 AE  SB.
Chứng minh tương tự, ta có AH  SD.

* Chứng minh đường thẳng vng góc với mặt phẳng
Ví dụ 1.10. Cho hình chóp S.ABCD có SA vng góc với mặt phẳng
(ABCD), đáy ABCD là hình vng tâm O. Gọi H, I, K lần lượt là hình chiếu

vng góc của A lên SB, SC, SD.
a) Chứng minh BC  (SAB), BD  (SAC).
b) Chứng minh AH, AI, AK cùng thuộc một mặt phẳng.

16


c) Chứng minh HK  AI.
Lời giải. (Hình 1.11)

S

a) Ta có BC  AB (do ABCD là hình vng).
K

Do SA  (ABCD) nên BC  SA.
Suy ra, ta có BC  (SAB).

I
H
D

A

Ta có BD  AC (đường chéo hình vng) và
O

BD  SA (do SA  (ABCD)).
B

Suy ra, ta có BC  (SAC).

C

Hình 1.11

b) Ta có AH  BC và AH  SB.
 AH  (SBC)  AH  SC.

(1)

Ta có CD  (SAD)  CD  AK.
Mặt khác, ta có SD  AK.
Suy ra, ta có AK  (SCD)  AK  SC

(2)

Mặt khác, ta có AI  SC.

(3)

Từ (1), (2) và (3) ta có AH, AI và AK cùng nằm trên một mặt phẳng qua
A và vng góc với SC.
c) Ta có ∆SAB = ∆SAD (c.g.c)
Suy ra, ta có SB = SD, AH = AK.
Vậy, ta có ∆SHA = ∆SAK.
Do đó, ta có SH = SK.
Do đó, ta có

SH SK


 HK / / BD.
SB SD

Do BD  (SAC) nên ta có HK  (SAC). Suy ra, ta có HK AI.
* Chứng minh hai mặt phẳng vng góc
Ví dụ 1.11. Cho tam giác cân SAB và hình vng ABCD nằm trong hai
mặt phẳng vng góc với nhau.

17


a) Chứng minh (SAD)  (SAB)
b) Gọi I, K lần lượt là trung điểm của các đoạn AB, AD. Chứng minh
(SCK)  (SID).
Lời giải.
a) Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AB.
Ta có SI  AB (Hình 1.12).
Vì AB là giao tuyến của hai mặt phẳng
(SAB) và (ABCD) nên ta có SI  (ABCD).
Suy ra, ta có SI  AD.

(1)

Hình 1.12

Do ABCD là hình vng nên ta có AB  AD. (2)
Từ (1) và (2) suy ra AD  (SAB).
Mặt khác, ta có AD  (SAD).
Vậy (SAB)  (SAD).

b) Trong hình vng ABCD ta có IAD = KDC.
Do đó, ta có D1  C1 (Hình 1.13).
Suy ra, ta có D1  K  C1  K  900 .
Do đó, ta có CK  ID.
Do SI  (ABCD) nên ta có SI  CK.

(3)

Theo chứng minh trên, ta có ID  CK.

(4)

Từ (3), (4) ta có CK  (SID).
Mặt khác, ta có CK  (SCK).

Hình 1.13

Suy ra, ta có (SCK)  (SID).
h) Dạng 8: Bài tốn khoảng cách.

Ví dụ 1.12. Cho tứ diện SABC có ABC là tam giác vng cân tại B; AB
và SA có độ dài bằng a; SA vng góc với mặt phẳng (ABC).

18