HSG Toan 9 20122013V1

<span class='text_page_counter'>(1)</span>PHÒNG GD&ĐT VĨNH LINH. ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2012 – 2013 MÔN: TOÁN – LỚP 9 (Vòng 1) Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề). Bài 1 (1,25 điểm): Tìm một số có hai chữ số, biết rằng nếu bớt mỗi chữ số của nó đi một đơn vị thì được một số mới có tổng bình phương các chữ số bằng số phải tìm. Bài 2 (0,75 điểm): Tìm tất cả các số nguyên dương m sao cho tồn tại số nguyên n thỏa mãn 2 (n + 1) và [(n + 1)2 + 1] cùng chia hết cho m. Bài 3 (1,5 điểm): Cho ba số a, b, c là những số hữu tỉ khác không, từng đôi một khác nhau b c   b - c c - a a - b  a P=        b c  b - c c - a a - b   a và a + b + c = 0, hãy tính: Bài 4 (1,5 điểm): Giải phương trình: 2 x - 2012 + 2 2011 - 2012 - 2 2011 = 0 Bài 5 (1,0 điểm): 4 4 Chứng minh rằng a  b  2  4ab.  a, b. Bài 6 (1,0 điểm): Cho hình bình hành ABCD (với AC > BD). Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của B, D trên AC. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của C trên AB và AD. a). Tứ giác BFDE là hình gì? Vì sao? AB BE  AC CH b). Chứng minh. Bài 7 (1,5 điểm): Cho hình thoi ABCD. Kẻ BM vuông góc với AD (M  AD) và BN vuông góc với CD (N  CD). Giả sử AC = 2MN. Tĩnh các góc của hình thoi. Bài 8 (1,5 điểm): 0  Cho tam giác ABC cân ở A, có A = 40 . Trên nửa mặt phẳng bờ BC 0  không chứa điểm A, vẽ tia Bx sao cho CBx 10 . Trên tia Bx lấy điểm D sao cho BD = BA. Tính số đo của góc BDC..

<span class='text_page_counter'>(2)</span> PHÒNG GD&ĐT VĨNH LINH. HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2012 – 2013 MÔN: TOÁN – LỚP 9 (Vòng 1) Tóm tắt lời giải. Câu. 2. ab =  a - 1 +  b - 1 Gọi số phải tìm là ab ta có 1 (1,25 điểm):. 2.  10a + b = a 2 - 2a + b 2 - 2b + 2  a 2 - 12a + b 2 - 3b + 2 = 0  4a 2 - 48a + 4b 2 - 12b + 8 = 0  4a 2 - 48a + 144 + 4b2 - 12b + 9 - 145 = 0  (2a - 12) 2 + (2b - 3) 2 = 145. Ta thấy 145 = 122 + 12 = 82 + 92 Vì 2a – 12 là số chẵn và a, b là các chữ số (a > 0) nên ta được:  a - 6 = 6   2b - 3 = 1 hoặc.  a - 6 = 4   2b - 3 = 9. Suy ra : a = 2, b = 6 và ab 26 2   n + 1 2  1   n 2  1   m n 2  1  m và   n + 1  1  m     Vì Nên  hay  2n + 1  m. 2 (0,75 điểm):.   n  2n + 1  2  n 2  1   m hay  n - 2   m   2n + 1 -2  n - 2    m hay 5  m. Suy ra m.   1; 5. Chọn n = 2 thì cả hai giá trị trên của m đề thỏa mãn.Vậy m = 1 hoặc m = 5  bc  b-c  +ca  c-a  +ab  a-b    a  c-a   a-b  +b  a-b   b-c  +c  b-c   c-a       abc  a-b   b-c   c-a    . P.  bc  b-c  +ca  c-a  -ab   b-c    c-a      a-b   ac-a 2 +b 2 -bc  +c  b-c   c-a       abc a-b b-c c-a           . Điểm TP 0,125 đ 0,125 đ 0,125 đ 0,125 đ 0,125 đ 0,125 đ 0,25 0,25. 0,25 đ 0,125 đ 0,125 đ 0,125 đ 0,125 đ 0,25 đ 0,25 đ.  bc  b-c  +ca  c-a  -ab  b-c   ab  c-a     a-b   c  a-b  -  a-b   a+b   c(b-c)(c-a)   0,125 đ     abc  a-b   b-c   c-a     . 3 (1,5 điểm).  b  b-c   c-a  +a  c-a  (c-b)    a-b   c  a-b  -  a-b   a+b    c(b-c)(c-a)      abc  a-b   b-c   c-a     . 0,125 đ.    b-c   c-a  (a-b)    a-b   c  a-b    a-b  c   c(b-c)(c-a)      abc  a-b   b-c   c-a   Vì c = -(a + b)    2    b-c   c-a  (a-b)   2c  a-b   c(b-c)(c-a)      abc     a-b   b-c   c-a  . 0,125 đ. 2      b-c   c-a  (a-b)   c  2  a-b  - (b-c)(a-c)      abc  a-b   b-c   c-a      . 0,125 đ 0,125 d 0,125 đ.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> 2     b-c   c-a  (a-b)   c  2  a-b  - (2b+a)(2a+b)     abc  a-b   b-c   c-a    . 2. 2.    . 2. Vì – c = a + b. 0,125 đ. 2.    b-c   c-a  (a-b)   c  2a - 4ab +2b -5ab - 2a -2b       abc a-b b-c c-a               b-c   c-a  (a-b)   c  -9ab     9  abc     a-b   b-c   c-a  . 0,125 đ. 2 x - 2012 + 2 2011 - 2012 - 2 2011 = 0 4 (1,5 điểm). .  2 x  2 x. . . 2. 2011  1 .  . 2011 1 . . . 2011  1. 2. 0. . 2011  1 0.  2 x  2 2011 0  x  2011  x = 2011. 5 (1,0 điểm). 6 (1,0 điểm). 7 (1,5 điểm). a Ta thấy. 2.  b. 2 2. . 2.  2  ab - 1 0. 0,5 đ 0,5 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ.  a 4  2a 2 b 2  b4  2  a 2 b 2 - 2ab + 1 0. 0,25 đ.  a 4 - 2a 2 b 2 + b 4  2a 2 b 2  4ab + 2 0  a 4  b 4 + 2  4ab (ĐPCM) a). BE  AC, DF  AC nên BE//DF H mà BE = DF (vì  AEB = CFD ) Suy ra tứ giác BFDE là hình bình hành B C 1 SABC  AB.CH (1) F 2 b). 1 E SABC  AC.BE (2) 2 K A D Từ (1) và (2) ta có AB.CH = AC.BE AB BE  => AC CH Vì ABCD là hình thoi nên DM =DN => MN // AC B Mặt khác AC = 2MN nên M, N tương ứng là trung điểm của AD, CD C A Ta được các tam giác: ABD, BDC cân tại B. M N Mà AB = AD, CB = CD nên các tam giác D ABD, BCD là các tam giác đều. Suy ra các góc của hình thoi là 1200 và 600.. 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,125 đ 0,125 đ 0,125 đ 0,125 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> Vẽ tam giác đều ABE, với E nằm cùng phía C so với AB. Vì tam giác ABC cân tại A nên:. A.  180  40 180  A  ABC   700 2 2 ABE = 600  700 Mà nên tia BE 0. E B. 8 (1,5 điểm). C. D. giữa. hai. 0. tia. BA. 0,25 đ. 0. và. BC.. nằm Do đó.    EBC ABC  ABE 700  600 100    EBC DBC. Mà BE = BA (do  ABE đều) và BD = BA nên BE = BD.  CBE = CBD (c.g.c).   (1) Do đó BDC BEC Mặt khác, vì AE = AB = AC nên ACE cân tại A..  Từ (1) và (2) ta suy ra BDC 20. 0,125 đ 0,125 đ 0,125 đ 0,125 đ 0,125 đ. 0 0 0  Mà CAE 60  40 20 nên. 1800  200  AEC  800 2 0 0 0  Suy ra BEC 80  60 20. 0,25 đ. 0,125 đ (2) 0. Lưu ý: Học sinh có thể có những cách biến đổi hoặc lập luận chứng minh khác hợp lý dẫn đến kết quả đúng thì vẫn cho điểm đúng theo yêu cầu.. 0,125 đ 0,125 đ.

<span class='text_page_counter'>(5)</span>