CHUYEN DE THIET DIEN CUA HINH CHOP

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Phạm văn huy. Email: ĐT: 0989787249. CHUYÊN ĐỀ THIẾT DIÊN CỦA HÌNH CHÓP. TRƯỜNG ĐHSP THÁI NGUYÊN. NGƯỜI BUỒN CẢNH CÓ VUI ĐÂU BAO GIỜ.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> 1. Cơ sở lý thuyết 1.1 Các tiên đề:  Tiên đề 1: Qua hai điểm phân biệt trong không gian có một và chỉ một đường thẳng mà thôi.  Tiên đề 2: Qua ba điểm không thẳng hàng có một và chỉ một mặt phẳng mà thôi.  Tiên đề 3: Một đường thẳng có hai điểm nằm trong mặt phẳng thì nó nằm trọn trong mặt phẳng ấy.  Tiên đề 4: Hai mặt phẳng có một điểm chung thì có một đường thẳng chung duy nhất đi qua điểm đó. 1.2 Các định lý về đường thẳng và mặt phẳng, cách xác định mặt phẳng  Định lý 1: Hai đường thẳng phân biệt có không quá một điểm chung.  Định lý 2: Một đường thẳng chỉ cắt một mặt phẳng không chứa nó nhiều nhất là một điểm.  Định lý 3: Hai mặt phẳng phân biệt thì hoặc không cắt nhau hoặc cắt nhau theo một giao tuyến.  Định lý 4: Qua một điểm và một đường thẳng không chứa điểm ấy bao giờ cũng có một mặt phẳng và chỉ một mà thôi. Một mặt phẳng được xác định với: - Ba điểm không thẳng hàng. - Hai đường thẳng giao nhau. - Hai đường thẳng song song. - Một đường thẳng và một điểm không thuộc đường thẳng. 1.3 Quan hệ song song 1.3.1 Đường thẳng song song với đường thẳng Định nghĩa: Hai đường thẳng song song là hai đường thẳng cùng nằm trong một mặt phẳng không có điểm chung Định lý 1: Qua một điểm ở ngoài một đường thẳng ta có thể kẻ được duy nhất một đường thẳng song song với đường thẳng đã cho. Định lý 2: Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ca thì song song với nhau. Định lý 3: Hai mặt phẳng cắt nhau lần lượt chứa hai đường thẳng song song với nhau thì giao tuyến của chúng song song với hai đường thẳng ấy. 1.3.2 Đường thẳng song song với mặt phẳng. Định nghĩa: Đường thẳng được gọi là song song với mặt phẳng nếu nó không có điểm chung với mặt phẳng ấy. Định lý 1: Điều kiện cần và đủ để đường thẳng song song với mặt phẳng là nó không thuộc mặt phẳng và song song với một đường thẳng nằm trong mặt phẳng ấy. Định lý 2: Hai mặt phẳng cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng song song với đường thẳng ấy. Định lý 3: Qua một trong hai đường thẳng chéo nhau bao giờ cũng có thể dựng được một mặt phẳng song song với đường thẳng kia. Định lý 4: Qua một điểm bất kì bao giờ cũng dựng được một mặt phẳng song song với hai đường thẳng chéo nhau cho trước. 1.3.3 Mặt phẳng song song với mặt phẳng. Định nghĩa: Hai mặt phẳng song song là hai mặt phẳng không có điểm chung..

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Định lý 1: Nếu một mặt phẳng chứa hai đường thẳng giao nhau cùng song song với một mặt phẳng thì hai mặt phẳng song song với nhau. Định lý 2: Qua một điểm cho trước ở ngoài một mặt phẳng bao giờ ta cũng dựng được một và chỉ một mặt phẳng song song với mặt phẳng đã cho. Định lý 3: Nếu hai mặt phẳng song song bị cắt bởi mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến song song với nhau. Định lý 4: Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một mặt phẳng thì song song với nhau. 1.4 Quan hệ vuông góc. Định nghĩa 1: Hai đường thẳng vuông góc với nhau khi và chỉ khi góc giữa chúng bằng 90 . Định nghĩa 2: Đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P) khi a vuông góc với mọi đường thẳng thuộc mặt phẳng (P). Định lý 1: Nếu một đường thẳng a vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng (P) thì a vuông góc với (P). Định lý 2: Một đường thẳng vuông góc với một trong hai mặt phẳng song song thì vuông góc với mặt kia. Định lý 3: Một mặt phẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì vuông góc với đường thẳng kia. Định lý 4: Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau. Định lý 5: Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau. Định lý 6: Nếu một đường thẳng và một mặt phẳng không chứa nó cùng vuông góc với một đường thẳng thì chúng song song với nhau. Định lý 7: Qua một điểm cho trước bao giờ cũng dựng được một và chỉ một mặt phẳng vuông góc với một đường thẳng đã cho. Định lý 8: Cho hai đường thẳng chéo nhau và vuông góc với nhau qua một trong hai đường thẳng ấy bao giờ cũng dựng được một mặt phẳng vuông góc với đường thẳng kia. 2. Thiết diện của hình chóp. 2.1 Thiết diện đi qua ba điểm cho trước. 2.1.1 Ba điểm nằm trên ba cạnh không đồng phẳng của hình chóp. a, Nội dung phương pháp + Xác định một mặt phẳng chứa hai điểm cho trước. + Xác định giao điểm của đường thẳng đi qua hai điểm đó với giao tuyến của mặt phẳng chứa nó với một mặt phẳng chứa điểm còn lại. + Nối các đoạn thẳng với các giao điểm và điểm cho trước để xác định cắt các cạnh của hình chóp.  Chú ý: Trong khi xác định thiết diện cần dự đoán mặt phẳng sẽ cắt những cạnh nào của hình chóp để dễ xác định. b, Các ví d Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD gọi H,K lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC. Trên đường thẳng CD lấy điểm M sao cho KM không song song với BD. Tìm thiết diện của mặt phẳng (HKM) với hình chóp..

<span class='text_page_counter'>(4)</span> A. Giải: Trong (BCD) gọi KM  BD=I. Trong (ABD) gọi AD  HI =J.  J (HKM) (Vì J IH (HKM) )  Tứ giác HKMI là thiết diện của mặt phẳng (HKM) với hình chóp. Nhận xét: Vì một thuộc đường thẳng CD nên sẽ xảy ra hai trường hợp là: - M nằm trong CD do đó thiết diện sẽ là tứ giác vì mặt phẳng (HKM) sẽ cắt cả 4 mặt của tứ diện. - M nằm ngoài CD, khi đó thiết diện sẽ là tam giác vì mặt phẳng (HKM) chỉ cắt hình tứ diện tại 3 mặt.  Học sinh thường chỉ xét trường hợp điểm M nằm trong CD nên sẽ bị thiếu trường hợp. Ví dụ 2: Cho tứ diện đều ABCD cạnh a, trên hai đường thẳng BC và BD kéo dài lấy hai điểm E và F sao cho CD=EF=a. Gọi M là trung điểm của AB. Tìm thiết diện của tứ diện với mặt phẳng (MEF). Giải: A Trong mặt phẳng (ABC) gọi I=BE  AC  M  (MEF)  (ABC) = MI (1) J Trong mặt phẳng (ABD) gọi J = MF  AD B I D F  J  (MEF)  (ABD) = MJ (2) C Mà ta có :  (ACD)  (MEF) = IJ (3) Từ (1), (2) và (3) suy ra tứ diện là ∆MIJ. E H. J. D. B. I. M. K. C. (!) Chú ý: Để xác định thiết diện của một mặt phẳng () với một khối đa diện thì ta tìm giao tuyến của mặt () với tất cả các mặt hoặc tìm giao điểm của mp () với các cạnh của hình chóp sau đó nối lại với nhau thì ta được thiết diện. Nhưng trong ví dụ trên ta thấy mp (MEF) cắt mp (ABCD) theo giao tuyến EF nhưng EF không là cạnh nào của thiết diện với hình chóp.  Mặt phẳng () thì cắt tất cả các mặt của hình chóp nhưng thiết diện thì có thể chỉ là giao của mp () với một số mặt của hình chóp. c, Bài tập tương tự: Bài 1: Cho hình chóp SABCD có đáy là hình bình hành. M,N,P lầm lượt là trung điểm của SA,BC,CD. Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng (MNP). Bài 2: Cho hình chóp tứ giác SABCD với AD không song song BC. Gọi M,N là trung điểm của SB và SC. Tìm thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (AMN). Bài 3: Cho hình chóp SABCD trên SA và SB lấy hai điểm M,N sao cho SM=2MA, NB=2SN, Q là trung điểm của DC. Xác định thiết diện của mặt phẳng (MNQ) với hình chóp. Bài 4: Cho hình chóp SABCD. M,N là hai điểm trên BC và SD. Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (BMN)..

<span class='text_page_counter'>(5)</span> 2.1.2 Có hai điểm nằm trên hai cạnh còn một điểm nằm trên một mặt của hình chóp. a, Nội dung phương pháp: + Xác định giao tuyến của các mặt. + Xác định giao điểm của đường thẳng nối hai điểm trên hai cạnh đã cho với giao tuyến. + Xác định giao điểm của đường nối điểm đó với điểm thứ 3 trên mặt đã cho với cạnh của hình chóp. + Nếu hai điểm trên hai cạnh không cùng một mặt bên thì tìm giao điểm với các cạnh kéo dài và xác định giao tuyến thuộc mặt cắt. + Nếu hai điểm nằm trên hai cạnh chéo nhau thì cần xác định một mặt phẳng chứa một điểm trên cạnh và điểm trên mặt đã cho. b, Các ví dụ : Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD, gọi M là trung điểm của AB, N là điểm trên BC sao cho BN=2NC. K là trọng tâm của ∆ACD. Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (MNK) Giải: Trong mặt phẳng (ABC) gọi I = MN  AC Trong mặt phẳng (ADC) gọi R = TK  DC và S = AD  IK. Khi đó :  S(ADC)  R (ADC)  (SAD)  (MNK) = RS (ABC)  (KMN) = MN (ABD)  (KMN) = SR (BDC)  (KMN) = RN  Tứ giác SMNR là thiết diện của mặt phẳng (MNK) với tứ diện A. S. M. K. D. B. R. N. C. I. (!) Chú ý: Trong ví dụ trên học sinh có thể không nhìn ra điểm I và K cùng thuộc mặt phẳng (ADC) do đó không tìm được hai giao điểm R và S của mặt phẳng (MNK) với mặt phẳng (ADC) do đó không dựng được thiết diện. Ví dụ 2: Cho hình chóp SABCD có đáy là tứ giác có hai cặp cạnh đối không song song. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của SA và BC, G là trọng tâm ∆SCD. Xác định thiết diện của mặt phẳng (PMG) với hình chóp. S. Giải: Gọi M’ là trung điểm của CD Trong mặt phẳng (SAM’) gọi I = AM’  MG  I  AM’  I  (ABCD) Trong mặt phẳng (ABCD) gọi J = IN  AB Trong mặt phẳng (SAB) gọi K = MJ  SB Trong mặt phẳng (SBC) gọi R = KN  SC Trong mặt phẳng (SDC) gọi S’ = GR  SD. M. A. S'. B J. G. K N. R C D. M'. T.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> Khi đó MJNRS’ là thiết diện của mặt phẳng (MNG) với hình chóp (!) Sai lầm của HS: + Không nhận ra AM’ và MG thuộc mặt phẳng (SAM’) do đó không xác định được I = AM’  MG + Không nhận ra I và N đều thuộc mặt phẳng (ABCD) do đó không xác định được J= IM  AB. + Không nhìn ra K và N cùng thuộc mặt phẳng (SBC) do đó không tìm được giao điểm của (MNG) với SC. + HS không tưởng tượng ra đâu là nét khuất do đó vẽ hình không chính xác. c, Các bài tập tương tự: Bài 1: Cho hình chóp SABCD , AB không song song CD. Trên SA lấy điểm M, SB lấy điểm N sao cho MN∥AB. Gọi O là điểm bất kì nằm trong ∆SCD . Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (MND). Bài 2: Cho tứ diện ABCD lấy điểm M,N trên AC và AD sao cho AM=3MC và AN=2ND . O là điểm nằm trên đường trung tuyến của BB của ∆BCD sao cho OB’=2OB. Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (MNO). Bài 3: Cho hình chóp SABCD, đáy ABCD có hai cặp cạnh đối không song song. M và P là trung điểm của SA và BC. Gọi I là trọng tâm của ∆SCD. Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (PMG). Bài 4: Cho hình chóp SABCD. Trên AD và SC lấy hai điểm E và F sao cho AE=3ED và SF=2SC. Gọi K là trọng tâm của ∆SAB. Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (EFK). Bài 5: Cho hình chóp SABCD. Trên các đoạn thẳng AD và SC lây hai điểm E và F. Gọi K là điểm bất kì nằm trong ∆SAB. Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (EFK). Bài 6: Cho tứ diện ABCD gọi M,N là hai điểm trên cạnh BC và CD. E là điểm bất kì trong ∆ABD. Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (EMN). 2.1.3 Có một điểm nằm trên cạnh còn hai điểm kia nằm trên hai mặt khác. a, Nội dung phương pháp: + Tìm một mặt phẳng nào đó chứa hai trong 3 điểm đã cho sau đó tìm giao điểm của đường thẳng nối hai điểm ấy với một mặt thích hợp của hình chóp. + Xác định giao điểm của các cạnh hình chóp với mặt phẳng thiết diện. b, Các ví dụ: S Ví dụ 1: Cho hình chóp SABCD gọi G, G là trọng tâm của các ∆SBC và ∆SCD. M là trung điểm của SA. Xác định thiết diện của hình chóp M với mặt phẳng (MGG). S'' Giải: G2 Trong mặt phẳng (SAD) gọi MG  AP = I D K A G1  R S' Trong mặt phẳng (SAS’) gọi MG  AS’ = J J C  P B Trong mặt phẳng (ABCD) gọi IJ  AB = Q  Và gọi IJ  AD = K I. Q.

<span class='text_page_counter'>(7)</span>  Trong mặt phẳng (SAD) gọi KM  SD = S’’  Trong mặt phẳng (SAB) gọi R = QM  SB  Trong mặt phẳng (SDC) gọi S’’G  SC = O  Trong mặt phẳng (SBC) gọi RG  G = O KL : Vậy thiết diện của mặt phẳng (MGG) với hình chóp là tứ giác MROS’’. Ví dụ 2: Cho hình chóp SABCD. M là trung điểm của SA, N và P lần lượt là trọng tâm các ∆SBC và ∆ACD. Xác định thiết diện của mp (MNP) với hình chóp. Giải: Trong mp (SAH) gọi AH  MN = K  Trong mp (ABCD): Gọi KP  BC = E  Gọi KP  AD = F  Trong mp (SBC) gọi EN  SB = J S. M. J. F. A. D. P. N. Q C E H. B K.  Vậy tứ giác MJEF là thiết diện của mp (MNP) với hình chóp. (!) Sai lầm của HS: + HS không chọn đúng mặt phẳng ở bước đầu do đó không tìm được giao điểm. + Có những bài phải chọn hai mặt phẳng ở bước đầu. + HS không xác định đúng nét khuất nên có thể ngộ nhận giao điểm dẫn đến dựng sai thiết diện. 2.1.4 Ba điểm nằm trên ba mặt khác nhau a, Nội dung phương pháp: + Xác định mặt phẳng chứa hai trong ba điểm và tìm với mặt không chứa điểm nào. O + Xác định giao điểm của đường thẳng nối hai điểm M trên và xác định các giao điểm của đường thẳng nối các cạnh của hình chóp. b, Các ví dụ Ví dụ 1: Cho hình chóp SABCD, trên các mp A T (SBC), (SCD) lấy các điểm M,N,P nằm trong E N giác tạo bởi ba đỉnh tương ứng của các mặt sao (MNP) không song song với mặt đáy. Xác định mp (MNP) với hình chóp. F B  Trường hợp 1: Thiết diện là ngũ giác. S. giao tuyến của nó với giao tuyến các điểm với L P. (SAB), J K tam cho mp thiết diện của D. I H R. C.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> Trong mp (SEF): Gọi R = EF  MN  Trong mp (SEJ) : Gọi K = EJ  MP  Trong mp (ABCD) : GH = RK  BC  Gọi I = RK  DC  Trong mp (SBC): Gọi T = NH  SB  Trong mp (SAB): gọi O = TM  SA Trong mp (SCD): gọi L = TP  SD Vậy thiết diện của mp (MNP) với hình chóp là ngũ giác TOLIH. s.  Trường hợp 2: Thiết diện là tứ giác Trong mp (SIJ) : Gọi E = IJ  MN  Trong mp (SIK) : Gọi F = IK  MP  Trong mp (ABCD) : A Gọi R = EF  AB  Gọi L = EF  DC  R E Trong mp (SAB) gọi T = MR  SB  Trong mp (SDC) gọi V = KP  SC  V  I Vậy thiết diện của mp (MNP) với hình chóp là tứ. T. N V. M. D. P. L. F. K. T(MNP) (MNP) giác RTVL. C. B. J. Ví dụ 2: Cho hình chóp SABCD, trên các mặt (SAB), (SBC), (ADC) lấy các điểm M,N,P nằm trong tam giác tạo bởi 3 đỉnh tương ứng sao cho mp (MNP) không song song với bất kì cạnh nào của hình chóp. Xác định thiết diện của mp (MNP) với hình chóp và biện luận nghiệm hình của bài toán.. S. E. N S'. D. A Q. R M. K. P. L I. Giải: Trong mp (SIJ) : Gọi L = MN  IJ  Trong mp (ABCD):. C J B.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> Gọi Q = LP  AB  Gọi R = LP  DC  Trong mp (SAB) gọi S’ = QM  SB  S’(MNP) Trong mp (SBC) gọi E = NS’  SC  E(MNP) Vậy thiết diện của mp (MNP) với hình chóp là tứ giác RQS’E. Biện luận: Trong trường hợp điểm P nằm ở vị trí mà QP cắt AD tại điểm nào đó nằm trong cạnh AB thì mp (MNP) sẽ cắt cả 5 mặt của hình chóp do vậy thiết diện không phải là tứ giác như trường hợp trên mà thiết diện là một ngũ giác. (!) Chú ý: Những sai lầm mà HS thường mắc phải trong dạng này: + HS không tưởng tượng được ra mặt phẳng chứa 3 điểm nằm trên 3 mặt. + Không chọn được mặt phẳng phụ ở bước một do đó không xác định được giao tuyến dẫn đến không tìm được giao điểm ở bước 2. + Có những bài nếu ta chỉ chọn một mặt phẳng phụ thì chưa đủ để xác định được đầy đủ giao điểm của mp chứa 3 điểm đã cho với các cạnh của hình chóp do đó ta phải chọn thêm một mp phụ thứ 2 như ở ví dụ 1. + Nếu bài toán cho ba điểm nằm trên ba mặt là cố định thì bài toán chỉ có một nghiệm hình. + Nếu bài toán cho ba điểm nằm trên ba mặt là không cố định thì bài toán có thể có nhiều nghiệm hình ứng với các vị trí của ba điểm đó mà trong khi dựng thiết diện thì HS thường chỉ dựng thiết diện ứng với trường hợp ba điểm đó cố định nên sẽ thiếu các trường hợp còn lại như ví dụ trên. c, Bài tập tương tự: Bài 1: Cho tứ diện ABCD. Gọi E, F,G là trung điểm các cạnh BD,BC,CD. Trên AE,AF,AG lấy các điểm M,N,P sao cho mp (MNP) không song song với các mặt(BCD). Xác định thiết diện của mặt phẳng (MNP) với tứ diện. Bài 2: Cho hình chóp SABCD , trên mp (SAB) và (SCD) lấy các điểm M,N nằm trong tam giác tạo bởi 3 đỉnh tương ứng và lấy P thuộc BC. Xác định thiết diện của mp (MNP) với hình chóp. Bài 3: Cho hình chóp SABCD. Trong các tam giác SAB, SBC, ABC lấy các điểm M,N,P sao cho mp (MNP) không song song với bất kì cạnh nào của hình chóp. Tìm thiết diện của mp (MNP) với hình chóp. 2.1.5 Thiết diện có một điểm nằm trong khối chóp. a, Nội dung phương pháp: + Tìm cách chuyển điểm trong khối chóp ra một trong các mặt ngoài của khối chóp bằng cách xác định giao tuyến của mp chứa điểm nằm trong khối chóp và một điểm nằm trên mặt hoặc cạnh của khối chóp với một mặt của khối chóp sau đó nối một trong 2 điểm còn lại với điểm nằm trong khối chóp sẽ cắt giao tuyến tại 1 điểm. + Xác định giao điểm của đường thẳng nối 2 điểm kia với mp chứa giao tuyến ở bước 1. + Tìm giao điểm của mp mới với các cạnh của hình chóp ta sẽ được thiết diện ( đưa bài toán về các dạng ở trên). b, Các ví dụ:.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> Ví dụ 1: Cho hình chóp SABCD. Gọi G là trọng tâm của ∆ABD, I là trung điểm SG. Xác định thiết diện của mp (CDI) với hình chóp. S Giải: Trong mp (SDE): Q Gọi K = DI  SE  K Trong mp (ABCD): I Gọi R = DC  AB  P A Trong mp (SAB) : D Gọi Q = RK  SA  Q(CID) G E Gọi P = RK  SB  P(CID) C Vậy thiết diện của mp (CID) với B hình chóp là tứ giác CDQP. (!) Sai lầm của hs: + Không nhìn ra được ID nằm trong mp (SED). + Kéo dài ID đến cắt mp (SAB) tại K theo cảm giác chứ R không xác định giao tuyến SE để suy ra ID  SE = K. + Không nghĩ ra AB  CD = R do đó không tìm được giao điểm thứ hai của (CID) với (SAB).. Ví dụ 2: Cho hình chóp SABCD có đáy là hình bình hành, gọi I = AC  BD, gọi O là trung điểm của SI, gọi M,N là trung điểm của BC, CD. Xác định thiết diện của mp (MNO) với hình chóp. Giải: Trong mp (ABC): gọi P = MI  AD Trong mp (SPM) : S gọi K = MO  SP  Trong mp (ABCD) : F gọi E = MN  AD  K Q O gọi H = MN  AB  E' Trong mp (SAD) : A gọi E’ = EK  SD  E’(MNO) B gọi F = EK  SA  F (MNO) Trong mp (SAB) gọi Q = HE  SB  Q(MNO) Vậy thiết diện cần tìm là ngũ giác MNE’FQ. (!) Sai lầm của HS: + Không nhận ra được MO cắt (SAD).. P D E. I. N. M. C. H.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> + Không sử dụng giả thiết M,N là trung điểm của AB, CD do đó không tìm được H và E. c, Bài tập tương tự: Bài 1: Cho tứ diện ABCD, gọi G là trọng tâm ∆BCD, I là trung điểm của AG. M,N lần lượt là trung điểm của BC và BD. Xác định thiết diện của mp (MNI) với hình chóp. Bài 2: Cho tứ diện ABCD, G là trọng tâm của ∆BCD, I nằm tển AG sao cho 2AI=IG. M,N lần lượt là các điểm trên AB,CD sao cho MB=2AM, DN=3NC. Xác định thiết diện của mp (MNI) với tứ diện. Bài 3: Cho hình chóp SABCD, gọi K là trọng tâm của ∆ACD, gọi I là trung điểm SG. E,F là trung điểm của BC, CD. Xác định thiết diện của hình chóp với mp (IEF). 2.2 Thiết diện của hình chóp bằng quan hệ song song. Để xác định thiết diện song song cần xác định mp thiết diện song song với những đường nào, chứa cạnh nào của hình chóp. Vận dụng tính chất song song đó xác định các đường thẳng tướng ứng và tìm giao điểm của mp thiết diện với hình chóp. 2.2.1 Đi qua hai điểm và song song với một đường thẳng. a, Nội dung phương pháp: + Xác định mp chứa 1 điểm và đường thẳng song song ( có thể lấy điểm nằm trên đường thẳng chứa 2 điểm cho trước). + Trong mp vừa xác định kẻ đường thẳng song song với đường thẳng đã cho và đi qua điểm cắt cạnh hình chóp tại 1 điểm. + Quay về bài toán tìm thiết diện đi qua 3 điểm. b, Các ví dụ : Ví dụ 1: Cho hình chóp SABCD. M,N là 2 điểm nằm trên AB,CD. Gọi () là mp qua M,N và song song với SA.Xác định thiết diện của mp () với hình chóp. Giải: S Trong mp (SAB) kẻ MP∥AS cắt SA tại P  P  (). Trong mp (ABCD) kẻ MN  BC tại R P  R  (). S' Trong mp (SBC) gọi S’ = PR  SC A D  S’  (). Vậy thiết diện của mp () với M R N hình chóp là tứ giác MNS’P. C B. Ví dụ 2: Cho hình chóp SABCD có đáy là hình S bình hành. M,N là 2 điểm trên AD,BC. Mp () đi qua MN và song song với Q SO. Xác định thiết diện của mp () với hình chóp. P Giải: Trong mp (SBD) kẻ EQ∥SO A cắt SD tại Q (E=MNBD) B Trong mp (ABCD) O M gọi R = MN  DC  R  () E N Trong mp (SDC) R D C gọi P = QR  SC  P () Vậy thiết diện của mp () với.

<span class='text_page_counter'>(12)</span> hình chóp là tứ giác MNPQ. (!) Một số sai lầm HS thường mắc phải: + Không xác định được mp đi qua 2 điểm và song song với đường thẳng cho trước vì không nhớ định nghĩa đường thẳng song song với mặt phẳng. + Kĩ năng tìm giao tuyến của hai mặt phẳng còn kém. c, Bài tập tương tự: Bài 1: Cho hình chóp SABCD. M,N là hai điểm bất kì trên SB, CD. () là mp qua M,N và song song với SC. Tìm thiết diện của mp () với hình chóp. Bài 2: Cho hình chóp SABCD có đáy là hình bình hành. M,N là hai điểm trên hai cạnh SC và AD. () là mp đi qua M,N và song song với BD. Xác định thiết diện của mp () với hình chóp. Bài 3: Cho hình chóp SABCD có đáy là hình bình hành. Gọi C’ là trung điểm của SC. M là một điểm di động trên SA. () là mp luôn đi qua MC’ và song song với BC. Xác định thiết diện của mp () với hình chóp. 2.2.2 Thiết diện đi qua một điểm và song song với cặp đường thẳng chéo nhau. a, Nội dung phương pháp + Từ điểm đã cho ta kẻ đường thẳng song song với một điểm trong hai đường thẳng chéo nhau (có thể kẻ được hai đường thẳng song song với hai đường thẳng chéo nhau tùy từng bài tập) và phải cắt mp chưa đường thẳng còn lại tại một điểm nào đó. + Từ điểm thứ hai kẻ đường thẳng song song với đường thẳng thứ hai khi đó ta đã xác định được mp (). + Tìm giao tuyến của mp () với mặt còn lại. (!) Chú ý : () ∥ a   a’ () và a’ ∥ a () ∥ b   b’ () và b’∥ b  () = (a’,b’) với a’ b’ ≠  b, Các ví dụ: Ví dụ 1: Cho hình chóp SABCD đáy là hình bình hành, xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mp () đi qua M là trung điểm của AB và song song với SA và BD. Giải: S Trong mp (ABCD) Q kẻ MN ∥ BD cắt AD tại N  N  (). Trong mp (SAC) P kẻ IQ ∥ SA cắt SC tại Q  Q  (). R Trong mp (SAD) A C kẻ NP ∥ SA cắt SD tại P  P  (). Trong mp (SAB) N kẻ MR ∥ SA cắt SB tại R  R  (). I Vậy thiết diện của mp () với B M B hình chóp là ngũ giác MNPQR. Ví dụ 2: Cho hình chóp SABCD đáy là hình bình hành tâm O. M là trung điểm của SB. Xác định thiết diện của mp () với hình chóp, biết () đi qua O và song song với AM và SC. Giải:.

<span class='text_page_counter'>(13)</span>  Cách 1: S Trong mp (SAC) kẻ OP ∥ SC cắt SA tại P  P  () Q Trong mp (SAB) kẻ PQ ∥ AM cắt SB tại Q  Q  () P M Trong mp (SAB) gọi H = PQ  AB  Trong mp (ABCD) B A gọi E = HO  BC  H Vậy thiết diện là tứ giác PQEF . F  Cách 2: O E Trong mp (SAC) kẻ OP ∥ SC cắt SA tại P  P () C D Trong mp (SAB) ker PQ ∥ AM cắt SB tại Q  Q  () Ta có : + mp () đi qua PO + mp () = (CBS) đi qia SC + Q  () + Q  (CBS)  ()  (CBS) = d đi qua Q và song song với SC cắt BC tại E  E  (). Trong mp (ABCD) gọi F = OE  AD  F  () Vậy thiết diện của hình chóp với mp () là tứ giác PQEF. (!) Một số sai lầm HS thường mắc phải: + Không xác định được mp () song song với hai đường thẳng chéo nhau và đi qua một điểm cho trước do không nhớ định nghĩa và cách xác định một mp () ∥ a   a’ () và a’ ∥ a () ∥ b   b’ () và b’ ∥ b  () = (a’,b’) với a’ b’≠  + Không nhớ tính chất  ()()=c thì c∥a và c∥b Do đó không tìm được giao tuyến với các mặt còn lại. c, Bài tập tương tự: Bài 1: Cho hình chóp SABCD. M, N là trung điểm trên SB và SC. () là mp đi qua E và song song với AM và BN, với E là điểm thuộc AB. Tìm thiết diện của mp () với hình chóp. Bài 2: Cho hình chóp SABCD đáy là hình bình hành. G là trọng tâm của ∆SBC, M là điểm trên đoạn AC. Mp () đi qua M, song song với AG và BD. Xác định thiết diện của hình chóp với mp (). Bài 3: Cho hình chóp SABCD đáy là hình bình hành. H là trọng tâm đáy. Tìm thiết diện của mp () đi qua H và song song với SA,BC 2.2.2 Thiết diện đi qua một điểm và song song với một mp. a, Nội dung phương pháp: + Xác định mp () đi qua một điểm và song song với mp cho trước  () = (a,b) ∥ () Chú ý: cả a và b đều chứa điểm cho trước hoặc a chứa điểm cho trước hoặc b chứa điểm cho trước. + Tìm giao tuyến của mp () = (a,b) với hình chóp b, Các ví dụ:.

<span class='text_page_counter'>(14)</span> Ví dụ 1: Cho hình chóp SABCD đáy là hình bình hành. Gọi E là trung điểm cua SC, H là tâm đáy. Trên đoạn AH lấy điểm M. Tìm thiết diện tạo bợi mp () đi qua M và song song với mp (BDE) với hình chóp. S Giải: Trong mp (ABCD) qua M kẻ đường thẳng song song với BD cắt AB tại N, cắt AD tại P  P và N thuộc (). R Trong mp (SAC) kẻ MR ∥ EH F cắt SC tại R  R  ()  ()  (PNR) E Ta có: (1) Q A (2) B N Từ (1) và (2)  (PNR)  (SAB) = FN M với FN ∥ SA P H Tương tự ta có (PNR)  (SAD) = PQ D với PQ ∥ SA C Vậy thiết diện của mp () với hình chóp là ngũ giác PQREN.. Ví dụ 2: Cho hình chóp SABCD đáy là hình bình hành, H = AC  BD. Tìm thiết diện tạo bởi mp () đi qua H và song song với (SAB) với hình chóp. Giải: Trong mp (ABCD) qua H kẻ đường thẳng song song với AB cắt AD tại N, cắt BC tại M. Trong mp (SAC) kẻ HP ∥ SA cắt SC tại P. Khi đó mp ()  (MNP) Ta có: S. Mặt khác (MNP) và (SAD) có điểm chung là N  (MNP)  (SAD) = NQ với NQ ∥ SA cắt SD tại Q. Vậy thiết diện của mp () với hình chóp là tứ giác MNPQ. (!) Một số sai lầm HS thường mắc phải: + Không xác định được mp () do không nhớ định nghĩa  () = (a,b) ∥ () + Không nhớ tính chất :  a,b,c hoặc song song hoặc đồng quy Do đó không xác định được giao tuyến của mp () với các mặt còn lại của hình chóp. c, Bài tập tương tự: Bài 1: Cho hình chóp SABCD đáy là hình bình hành. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AB,AD. Trên SC lấy điểm K. Tìm thiết diện của mp () đi qua K và song song với mp (AMN). Bài 2: Cho tứ diện ABCD. Gọi M,N là trung điểm của AB,CD. Điểm E chia BC theo tỉ số BE : EC = 2:1. Trên AM lấy điểm H. Tìm thiết diện tạo bởi () đi qua H và song song với mp (MNE) với hình chóp. P. Q. A. B. N. D. M. H. C.

<span class='text_page_counter'>(15)</span> 2.3. Thiết diện của hình chóp bằng quan hệ vuông góc. 2.3.1 Thiết diện đi qua một điểm và vuông góc với một đường thẳng a, Nội dung phương pháp: Xác định thiết diện của hình chóp với mp (P) đi qua một điểm M và vuông góc với đường thẳng d cho trước có hai trường hợp xảy ra:  TH1: Nếu có hai đường thẳng a và b cùng vuông góc với d, a không song song b thì ta có (P) ∥ a và (P) ∥ b. (P) có thể chưa một trong hai đường thẳng a và b sau đó vận dụng các phương pháp xác định thiết diện song song để xác định thiết diện.  TH2: Nếu không có hai đường thẳng vuông góc với d ta dựng hai đường thẳng cắt nhau cùng vuông góc với d trong đó ít nhất một trong hai đường thẳng chứa điểm M. Mp xác định bởi hai đường thẳng trên chính là mp (P), sau đó xác định thiết diện theo các phương pháp đã học.  Chú ý: Để xác định đường thẳng thứ hai trong TH2 cần nắm chắc định lý ba đường vuông góc và điều kiện để đường thẳng vuông góc với mp và hai mp vuông góc. b, Các ví dụ: Ví dụ 1: Cho tam giác đều ABC có đường cao AH. Gọi O là trung điểm AH. Trên đường thẳng vuông góc với mp (ABC) tại O lấy điểm S. Gọi I là một điểm trên OH, () là mp qua I và vuông góc với OH. Xác định thiết diện của mp () với hình chóp SABCD. Giải: S Ta có :  () ∥ BC Trong mp (ABC) qua I kẻ P J đường MQ ∥ BC (M  AB, Q  AC) N  MQ  OH. Trong mp (SOH) kẻ IJ ∥ SO (J  SH)  IJ  OH (vì SO  (ABC))  ()  (MQ;IJ) = (MJQ) C A Q Ta có: O I  (N  SB; P  SC) H M  thiết diện của mp () với hình chóp là tứ giác MNPQ. Ví dụ 2: Cho hình chóp SABCD đáy là hình vuông. SA vuông góc với đáy. B Gọi () là mp qua A và vuông góc với SC. Xác định thiết diện của mp () với S hình chóp. Giải: Kẻ AM  SB  AM  (SBC) M P Vì BC  (SAB) nên BC  AM  AM  SC I N Kẻ AN  SD. Tương tự ta có AN  SC B A  mp ()  (AMN) Trong mp (SBD) gọi I = MN  SO  O Trong mp (SAC) gọi P = AI  SC Vậy thiết diện của mp () với D C hình chóp là tứ giác ANPM..

<span class='text_page_counter'>(16)</span> (!) Chú ý: + HS thường nghĩ là mp ()  SC thì phải dựng đường thẳng đi qua A và cắt SC và vuông góc với SC nhưng ta cũng có thể dựng hai đường thẳng cùng vuông góc với SC nhưng không cắt SC như AM và AN như trong ví dụ trên. + HS cũng có thể dựng AP  SC nhưng lại không nhìn ra AM và AN cùng vuông góc với SC do đó không dựng được đường thứ hai cắt AP để tạo ra mp (). + Cũng dựng AP  SC nhưng không nhìn ra để suy ra được MN qua I song song với BD cũng vuông góc với SC để suy ra mp ().  HS thường không xác định được mp () do quên định nghĩa đường thẳng vuông góc với mp và mối liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vuông góc do đó không dựng được thiết diện. c, Bài tập tương tự: Bài 1: Cho hình chóp SABCD. AC  BD = O, SO  (ABCD). Gọi I là trung điểm của SO. Xác định thiết diện của hình chóp với mp () đi qua O và vuông góc với SA. Bài 2: Cho tứ diện ABCD có cạnh AB  AD, AB  AC, AD  AC. Gọi G là trọng tâm ∆BCD. Xác định thiết diện của mp () đi qua G và vuông góc với AD với tứ diện. Bài 3: Cho tứ diện ABCD có BCD là tam giác đều, AB vuông góc với (BCD). Gọi () là mp qua D và vuông góc với AB. Xác định thiết diện của mp () với tứ diện. 2.3.2 Thiết diện đi qua hai điểm và vuông góc với một mp (P) cho trước. a, Nội dung phương pháp: + Chọn một điểm A nằm trên đường thẳng đi qua hai điểm đã cho sao cho qua A có thể dựng được một đường thẳng b vuông góc với (P) một cách đơn giản nhất. + mp (a,b) chính là mp cần dựng. + Nếu có một đường thẳng d vuông góc với (P) thì mp cần dựng là mp chứa hai điểm đã cho và song song với d. b, Các ví dụ: Ví dụ 1: Cho hình chóp SABCD có đáy là hình vuông tâm O. SO vuông góc với đáy. () là mp đi qua AD và vuông góc với (SBC). Xác định thiết diện của () với hình chóp. Giải: S Gọi M là trung điểm của BC , N là trung điểm của AD. Trong mp (SNM) kẻ NP  SM (1) Q Ta có BC  MN ( do ABCD là hình vuông)  BC  NP (BC  (SMN)) (2) P Từ (1) & (2)  NP  (SBC) A R B  Mp ()  (ADP) Ta có O N M  ( R  SC; Q  SB) Vậy thiết diện là tứ giác ADRQ. D. C.

<span class='text_page_counter'>(17)</span> Ví dụ 2: Cho hình chóp SABCD có đáy là hình vuông và SA vuông góc với đáy. Gọi () là mp qua A và E là trung điểm của CD và vuông góc với (SBC). Tìm thiết diện của mp () với hình chóp. Giải: Trong mp (SAB) hạ AH  SB  BC  AH (Vì BC  (SAB))  AH  (SBC)  Mp ()  (HAE) Trong mp (ABCD) gọi I = AE  BC  I  () Trong mp (SBC) gọi J = IH  SC  J  () Vậy thiết diện của mp () với hình chóp là tứ giác AHJE. (!) Sai lầm HS thường mắc phải: + Không xác định được mp cắt đường thẳng đi qua hai điểm và vuông góc với mp đã cho do đó không tìm được mp chứa hai điểm cho trước và vuông góc với mp ban đầu. + Không nắm chắc được các kiến thức về đường thẳng vuông góc với mp và hai mp vuông góc do đó không xác định được giao tuyến sau khi dựng được mp (). c, Bài tập tương tự: Bài 1: Cho hình chóp SABCD đáy là tứ giác có cặp cạnh đối không song song. Xác định thiết diện của hình chóp với mp () đi qua A,B và vuông góc với mp (SCD). Bài 2: Cho hình chóp SABCD có SA  (ABCD), I thuộc SA sao cho 2AI=IS. J thuộc CD sao cho DJ=2JC. Xác định thiết diện của hình chóp với mp qua I,J và vuông góc với (SBD). S. H. A. B. J. D. C. E. I.

<span class='text_page_counter'>(18)</span>