De dap an thi HSG huyen mon toan

<span class='text_page_counter'>(1)</span>PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THẠCH HÀ ĐỀ CHÍNH THỨC. Bài 1. a) Rút gọn biểu thức:. ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN MÔN TOÁN LỚP 9 NĂM HỌC 2012 - 2013 Thời gian làm bài: 150 phút Ngày thi: 23 / 11 / 2012. 1  3  3  3 10  6 3 A 2. 2 3   9  20 5 a  b 5 a  b 5 b) Tìm các số nguyên a, b thỏa mãn: Bài 2. a) Giải các phương trình sau: 2012 2 2012 x  1  2x  x  4x  4  1  2012   20132 2013 . 2. 2. 1 x  6  x . 2.  5  2x.  x 2  6x 6y  2 b) Tìm x, y thỏa mãn:  y  9 2xy 2 Bài 3. Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của biểu thức: M 2x  5  x. Bài 4. Cho đường tròn đường tròn (O; R), đường kính AB vuông góc với dây cung CD tại H ( H O ). Biết AH = a; CD = 2b. a) Chứng minh rằng các tam giác HAD và HCB đồng dạng với nhau b) Tính R theo a và b c) Qua H vẽ hai dây cung MN và PQ vuông góc với nhau. Xác định vị trí các dây này để MN + PQ đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất. Bài 5. Cho x, y, z  (0,1] x y z 3    Chứng minh rằng : 1  y  xz 1  z  xy 1  x  yz x  y  z ==HẾT== Họ và tên thí sinh:..................................................................... Số báo danh:.............................................................................. Lưu ý: Học sinh không được dùng máy tính..

<span class='text_page_counter'>(2)</span> HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2012-2013 MÔN TOÁN LỚP 9 Bài. Nội dung. Điểm. a). 2,0đ. 1  3  3  3 (1  3)3 1  3  3  3 10  6 3 A  2 2. 0,5. . 1  (1  3) 2 1 4  2 3  2 2. 0,5. 2 3 42 3 (1  3) 2 1  3     2 2 2 2 b) ĐK: a b 5 (*). 1,0 1,5đ 0,25. 2 3   9  20 5 a b 5 a  b 5 Bài 1 3,5đ.  2(a  b 5)  3(a  b 5)  (9  20 5)(a  b 5)(a  b 5)  9a 2  45b 2  a  5( 20a 2  100b 2  5b) (*) A B 0 thi 5   Z B Ta thấy (*) có dạng A B 5 nếu vô lí vậy B = 0 => A= 0. 2 2 9a  45b  a 0   20a 2  100b 2  5b 0 Do đó (*)  9a 2  45b 2  a 0 9a 2  45b 2  a 0     9 9 2 2  9a  45b  b 0 a  b  4  4 9  a 9 a 0 a  b   hoac  4 b 4 b 0 b 2  4b 0  (Loại vì không thỏa mãn ĐK (*))  a = 9; b = 4. Bài 2 6,0đ. a). 0,25 0,25 0,25. 0,5 5,0đ. 2 2 2 * Biến đổi vế phải ta có 2013 (2012  1) 2012  2.2012  1  1  20122 20132  2.2012 20122 2012 20122 2012 2 2  1  2012    2013  2.2012   20132 2013 20132 2013 2. 2012  2012 2012 2012    2013  2013   2013   2013  2013 2013 2013 . Phương trình trở thành: Xét 3 trường hợp:. x  1  x  2 2013. (*). 0,75 0,5.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> - Trường hợp 1: Nếu x  1 thì (*)  3  2 x 2013  x  1005 (thỏa mãn) - Trường hợp 2: Nếu 1 x  2 thi (*)  0 x 1 2013 (Phương trình vô nghiệm). 0,25. - Trường hợp 3: Nếu x 2 thi (*)  2 x  3 2013  x 1008 (thỏa mãn) Kết luận: Phương trình (*) có 2 nghiệm: x1  1005 và x2 1008. 0,25. * ĐK x  2,5 (*). 0,25 0,25. Phương trình đã cho trương đương với: 1  x   5  2 x  6  x  1  x  (  5  2 x)  2 (1  x)(  5  2 x) 6  x  (1  x)( 5  2 x)  x  5 ĐK: x  - 5 (**)  (1 –x)(- 5 – 2x) = (x +5)2  x2 – 7x – 30 = 0  x1 = - 3 (thoả mãn ĐK (*) và (**)) hoặc x2 = 10 (không thoả mãn ĐK (*) và (**)) Vậy phương trình có nghiệm x = - 3. b) 2 2  x  6x 6y  x  6x 6y   2  2 x  2xy  y 2  6(x  y)  9 0 (x  y  3) 0 Cộng vế theo vế ta được . 0,25. 0,25 0,5 0,25 0,25 0,5 0,25 1,0đ 0,25.  x 3 2  x 2  6x 6(x  3)    y x  3  y x  3. 0,5. Vậy (x; y) = (3 2;3  3 2), (  3 2;3  3 2). 0,25. Điều kiện:  5  x  5 (*) * Tìm giá trị lớn nhất: Trước hết ta chứng minh: với 2 bộ số (a1; a2); (b1; b2) ta có: a a  1 2 b1 b 2 (a b +a b )2 ≤(a 2+a 2)(b 2+b 2)(**) Đẳng thức xẩy ra. 0,25. 1 1. 2 2. 1. Áp dụng (**) ta có. 2. 1. 0,25. 2. . M 2  2 x  1. 5  x 2. . 2. (22  12 )( x 2  5  x 2 ) 25.  x 0 x  5  x2   2  2  x 4(5  x ) Đẳng thức xẩy ra khi 2. Bài 3 3,0đ. 0,5.  x 0  x 2   x 2 hoac x  2 (TMĐK(*)). 0,5 0,5. Vậy với x = 2 thì GTLN của M = 5 * Tìm giá trị nhỏ nhất. 0,5. Từ điều kiện (*) tá có 2 x  2 5 (1). 0,25. 5  x 2 0 (2) 2 Từ (1) và (2) ta có M 2 x  5  x  2 5. 0,25. 2 x  2 5  x  5  2 5  x  0 Đẳng thức xẩy ra khi . 0,25. Mặt khác. Bài 4 6,5đ. Vậy khi x  5 thì M đạt GTNN là  2 5 Vẽ hình 0,25đ a) 2,0đ Ta có OA OB OC nên ACB vuông tại C nên   BCH  ACH 900 (1). 0,25 0,25 1,0.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> 0   Vì AB  CD nên CAH  ACH 90 (2)   Từ (1) và (2) suy ra CAH BCH . Mặt khác AB  CD HC=HD hay ACB là tam giác cân tại A =>AH là phân     giác góc A => CAH DAH  BCH DAH => Các tam giác HAD và HCB đồng dạng với nhau. 1,0. b) (2,0đ) 2 2 2 2 Áp dụng định lí Pitago ta có AC  AH  HC  a  b Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông ABC ta có AC 2 a 2  b 2 AB a 2  b 2 AC2 AB.AH  AB   R  AH a 2 2a c) 2,25đ Gọi K, L lần lượt là hình chiếu vuông góc của O trên MN và PQ. Đặt OK = x; OL = y; Đặt OH = d 2 2 2 2 Ta có x  y OH d không đổi. Đặt T MN  PQ 2 2 2 Xét T MN  PQ  2MN.PQ. 0,5 1,5. 0,25 0,25. 2 2 2 2 2 2 2 2  T 2 MN 2  PQ 2  2MN.PQ 4(R  x )  4(R  y )  8 (R  x )(R  y ). 8R 2  4(x 2  y 2 )  8 R 4  R 2 (x 2  y 2 )  x 2 y 2. 0,5. 8R 2  4.d 2  8 (R 4  R 2 .d 2 )  x 2 y 2 2 2 * T đạt GTLN khi T2 đạt GTLN  x y đạt GTLN  xy đạt GTLN x 2  y2 d 2 xy   2 2 Áp dụng BĐT Cosy ta có x  y Dấu “=” xẩy ra khi <=> OL = OK => HO là tia phân giác của góc tạo bởi hai dây. cung. 2. 2. * T đạt GTNN khi T2 đạt GTNN  x y đạt GTNN  xy đạt GTNN Mặt khác do x, y 0 nên xy 0 , dấu “=” xẩy ra khi x = 0 hoặc y = 0 => dây cung trở thành đường kính. Vì x, y  (0,1] nên (1  x)(1  y ) 0  1  xy x  y. Bài 5 1,0đ.  1  z  xy  x  y  z y y   (1) 1  z  xy x  y  z x x  Tương tự ta có 1  y  xz x  y  z. 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25. 0,5 (2) ;. z z  1  x  xy x  y  z. (3). Cộng vế theo vế của (1), (2) và (3) ta được. x y z xyz 3     1  y  xz 1  z  xy 1  x  yz x  y  z x  y  z Dấu “=” xẩy ra khi x = y = z =1. Tổng. 0,25 0,25 20,0.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> Lưu ý: - Học sinh giải cách khác đúng và gọn vẫn cho điểm tối đa; - Điểm bài làm của học sinh qui tròn đến 0,5. PHÒNG GIÁO DỤC-ĐÀO TẠO THẠCH HÀ.

<span class='text_page_counter'>(6)</span>