DeDA Toan vao 10 chuyen BDinh0506

<span class='text_page_counter'>(1)</span>SỞ GD – ĐT BÌNH ĐỊNH Trường THPT Chuyên Lê Quý Đôn. KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CHUYÊN TOÁN Năm học 2005 - 2006 Thời gian làm bài 150 phút Ngày thi:. Câu 1: (1,5 điểm). y Tìm tập xác định của hàm số. x 1  1  x x 1  x  1. .. Câu 2: (2,0 điểm). Cho a, b, c là độ dài các cạnh và p là nửa chu vi của một tam giác. Chứng minh rằng: 1 1 1  1 1 1   2    p a p b p c  a b c. Câu 3 : (2,5 điểm). 2. 2 a) Giả sử x1 , x2 là nghiệm của phương trình: x  m m  2  x   m  1 0 . b) Tìm các giá trị của m sao cho bất đẳng thức sau là bất đẳng thức đúng: 2 x1  x 2  2 m  2   3  x1 x 2 1 .. Câu 4: (3,0 điểm). 1 Ở miền trong của một hình vuông cạnh bằng 1 có một tứ giác lồi diện tích lớn hơn 2 . Chứng minh rằng tồn tại một đoạn thẳng có hai đầu mút ở trên cạnh của tứ giác, song song với cạnh 1 của hình vuông và có độ dài lớn hơn 2 . Câu 5: (1,0 điểm). Tìm cặp số tự nhiên (m, n) thoả mãn hệ thức:. m 2  n 2 m  n  8 .. --------------------Hết------------------Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. SBD :. . . . . . . . . ..

<span class='text_page_counter'>(2)</span> HƯỚNG DẪN CHẤM Môn: TOÁN (Dành cho lớp chuyên toán) Câu 1: (1,5 điểm).  x  1 0  1  x 0 x 1  1  x  x  1  x  1 0 x 1  x  1 Ta có: có nghĩa    x  1   x 1  1  x 1  x 1  x  1      x 0 Vậy TXĐ của hàm số là tập hợp các số thực x mà –1  x  1 và x  0. Câu 2 : (2,0 điểm). xy 4 1 1 4    2 x  y hay x y x  y ; (x, y > 0) Ta có  x  y  4 xy , do đó xy Áp dụng kết quả trên ta được: 1 1 4 4 4     p  a p  b  p  a    p  b 2 p  a  b c Tương tự:. (0,5 điểm). (0,5 điểm).. (0,5 điểm).. (0,25 điểm).. 1 1 4   p b p c a. (0,25 điểm).. 1 1 4   p c p a b. (0,25 điểm).. Cộng theo từng vế các bất đẳng thức trên rồi ước lược ta được: 1 1 1  1 1 1   2    p a p b p c  a b c *Dấu đẳng thức xảy ra khi a = b = c hay tam giác đã cho là tam giác đều. Câu 3: (2,5 điểm). Ta có  = m2(m – 2)2 + 4(m – 1)2  0 ,  m . Do đó phương trình đã cho luôn luôn có nghiệm. Khi đó: x1 + x2 = m(m – 2) , x1. x2 = – (m – 1)2 Bất đẳng thức đã cho trở thành: 2  3  m  1 1  2 m  2  3 m  1 1  Nếu m < 1 thì 2(2 – m) – 3(1 – m)  1, suy ra 0  m < 1. 2. (0,5 điểm)..  m  2 2. 6 5  Nếu 1  m  2 thì 2(2 – m) – 3(m – 1)  1, suy ra  Nếu m > 2 thì 2(m – 2) – 3(m – 1)  1, bất phương trình vô nghiệm. 6 0 m  5. Vậy Câu 4: (3,0 điểm). 1 m . (0,5 điểm). (0,25 điểm). (0,5 điểm). (0,5 điểm). (0,5 điểm). (0,25 điểm). (0,25 điểm). (0,25 điểm). (0,25 điểm)..

<span class='text_page_counter'>(3)</span> A D1. B A1. C1 C. D’. B’. D. 1  Gọi diện tích tứ giác lồi ABCD là S thì S > 2 . Qua các đỉnh B và D kẻ các tia BB’ và DD’ song song với các cạnh của hình vuông (B’ thuộc AD, D’ thuộc BC) (hình vẽ). Ta cần chứng minh trong hai đoạn BB’ và DD’ phải có một đoạn có độ dài 1 lớn hơn 2 . (0,5 điểm). 1 Thật vậy! Giả sử cả hai đoạn này đều nhỏ hơn hay bằng 2 ; gọi A1, D1 lần lượt là hình chiếu vuông góc của A và D’ lên BB’; C1 là hình chiếu vuông góc của C lên DD’. Khi đó: 1 S1  S ABD 'B '  S ABB '  S BD 'B '  BB'  AA1  D' D1  2 (0,5 điểm). Vì AA1 + D’D1 luôn luôn nhỏ hơn hoặc bằng cạnh của hình vuông nên AA1 + D’D1  1. 1 1 1 1 S1  BB'  .  2 2 2 4 Từ đó (0,5 điểm). 1 S 2  S CDB 'D '  S CDD '  S D 'B 'D  DD'  CC1  D' D1  2 Tương tự: (0,5 điểm). 1 1 1 1 S 2  DD'  .  2 2 2 4 Vì CC1 + D’D1  1 nên (0,5 điểm). 1 1 1 S  S1  S 2    4 4 2 ( trái giả thiết). Do đó (0,25 điểm). 1 Vậy ít nhất một trong hai đoạn BB’ hoặc DD’ lớn hơn 2 . (0,25 điểm).. Câu 5 : (1,0 điểm). 2 2 Ta có: m  n m  n  8  4m2 + 4n2 = 4m + 4n + 32  4m2 – 4m + 1 + 4n2 – 4n + 1 = 34  (2m – 1)2 + (2n – 1)2 = 34 < 62 (*) (0,5 điểm). Vì m, n  N nên (*) cho thấy (2m – 1) và ( 2n – 1) là hai số nguyên dương lẻ nhỏ hơn 6 có các tổng bình phương bằng 34. Có ba số nguyên dương lẻ nhỏ hơn 6 là 1, 3, 5 và dễ thấy 32 + 52 = 34 2m  1 3 2m  1 5   Do đó ta có: 2n  1 5 hay 2n  1 3 m  2 m 3   Vậy n 3 hay n 2 ========================== Chú ý: Mọi cách giải khác, nếu đúng vẫn cho điểm tối đa.. (0,5 điểm)..

<span class='text_page_counter'>(4)</span>