20 Chuyen de gioi han ham so

<span class='text_page_counter'>(1)</span>CHUYÊN ðỀ: GIỚI HẠN HÀM SỐ Các dạng vô ñịnh thường gặp:. 0 ∞ , , ∞ − ∞,1∞ 0 ∞. Dạng 1: Dạng vô ñịnh 0/0 f ( x) Loại 1: lim mà f(x), g(x) là các ña thức và f ( x0 ) = g ( x0 ) = 0 x → x0 g ( x ) Phương pháp: phân tích cả tử số và mẫu số thành nhân tử với nhân tử chung x − x0 ( x − x0 ) f1 ( x) f ( x) f ( x) f ( x) 0 = lim = lim 1 . Nếu giới hạn lim 1 vẫn còn dạng vô ñịnh , ta lặp lại lim x → x0 g ( x ) x → x0 ( x − x ) g ( x ) x → x0 g ( x ) x → x0 g ( x ) 0 1 0 1 1 quá trình trên ñến khi không còn dạng vô ñịnh. 2 x2 − 5x + 2 x→2 x 2 + x − 6 x 2 − 3x + 2 Ví dụ 2: L = lim 2 x→2 x − 4 x + 4 x + x 2 + x 3 + ... + x n − n Ví dụ 3: L = lim x →1 x + x 2 + x 3 + ... + x m − m 2 x 4 − 5 x3 + 3x 2 + x − 1 Ví dụ 4: L = lim x →1 3x 4 − 8 x3 + 6 x 2 − 1. Ví dụ 1: L = lim. ( m, n ∈ ℕ * ). BÀI TẬP Tính các giới hạn sau: x3 − 3x + 2 (1 + x)(1 + 2 x)(1 + 3 x) − 1 1) lim 4 2) lim x →1 x − 4 x + 3 x →0 x 100 n +1 x − 2x +1 x − (n + 1) x + n 4) lim 3) lim 50 x →1 x x → 1 ( x − 1) 2 − 2x + 1 f ( x) Loại 2: lim mà f(x), g(x) chứa các căn thức cùng bậc và f ( x0 ) = g ( x0 ) = 0 x → x0 g ( x ) Phương pháp: Nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp tương ứng của biểu thức chứa căn ñể trục các nhân tử chung x-x0 ra khỏi căn, nhằm khử các thành phần có giới hạn bằng 0. 3x − 2 − x Ví dụ 1: L = lim x→2 x2 − 4 x + 2 −1 Ví dụ 2: L = lim x →−1 x+5 −2 n. Ví dụ 3: L = lim m x →1. x −1 ( m, n ∈ ℕ * ) x −1. 2x − x + 3 x −1 3. 1) lim x →1. 3. 4) lim x →1. x − 2 − 3 x2 − x + 1 x2 − 1. BÀI TẬP x2 − 4 2) lim x →−2 2 + 3 3 x − 2 n. 5) lim x →0. 1 + ax − 1 x. x −b − a −b x2 − a2. 3) lim x →a. n. 6) lim x →0. a+x − n a x. 1.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> f ( x) mà f(x), g(x) chứa các căn thức không cùng bậc và f ( x0 ) = g ( x0 ) = 0 g ( x) Phương pháp: Thêm bớt ñối với f(x) ñể có thể nhân biểu thức liên hợp. Chẳng hạn như: m u ( x ) − n v ( x) m u ( x) − c n v( x) − c [ m u ( x ) − c ] − [ n v ( x) − c ] f ( x) L = lim = lim = lim = lim − lim x → x0 g ( x ) x → x0 x → x0 x → x0 x → x0 g ( x) g ( x) g ( x) g ( x). Loại 3: lim. x → x0. x+3 − 3 x+7 x →1 x 2 − 3x + 2 1 + 2 x − 3 1 + 3x Ví dụ 2: L = lim x →0 x2. Ví dụ 1: L = lim. 3. 1) lim x →0. 1+ x − 1− x x. 2) lim. x →−2. 2 x + 1 − x2 + 1 4) lim sin x x→0 3. BÀI TẬP x + 11 − 3 8 x + 43 2 x 2 + 3x − 2. x + 2 − 3 x + 20 5) lim 4 x+9 −2 x→7. n. 3) lim x →0. 1 + ax − m 1 + bx x. 1 + 4x − 3 1 + 6x 6) lim x2 x→0. Loại 4: Giới hạn dạng vô ñịnh 0/0 của hàm lượng giác Phương pháp: Thực hiện các phép biến ñổi lượng giác ñể sử dụng các kết quả dưới ñây. sin x sin f ( x) 1) lim =1 2) lim =1 x →0 f ( x ) →0 x f ( x) 1 + sin ax − cos ax Ví dụ 1: L = lim x → 0 1 + sin bx − cos bx 1 − cos ax Ví dụ 2: L = lim x →0 x2 1 + x sin x − cos 2 x Ví dụ 3: L = lim x →0 sin 2 x 1 − cos x.cos 2 x...cos nx Ví dụ 4: L = lim x →0 x2. 1 + x 2 − cos x Ví dụ 5: L = lim x →0 x2 1 + sin x − 1 − sin x tan x 2 2sin x + sin x − 1 4) lim x → 0 2sin 2 − 3sin x + 1 1) lim x →0. BÀI TẬP (a + x) sin(a + x) − a sin a 2) lim x →0 x 3 1 − cot x 5) limπ 3 x → 2 − cot x − cot x 4. 1 − cos x.cos 2 x.cos 3 x 1 − cos x 1 − cos x. cos 2 x . 3 cos 3 x 6) lim x →0 1 − cos 2 x 3) lim x →0. Loại 5: Giới hạn vô ñịnh dạng 0/0 của hàm số mũ và hàm số logarit Phương pháp: Thực hiện các phép biến ñổi và sử dụng các giới hạn cơ bản sau: ex −1 ln(1 + x) 1) lim =1 2) lim =1 x →0 x → 0 x x Ngoài ra cần ñưa thêm 2 giới hạn sau:. 2.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> a x −1 (eln a ) x − 1 e x ln a − 1 = lim = lim 1) lim .ln a = ln a x →0 x →0 x → 0 x ln a x x log a (1 + x) log a e.ln(1 + x) ln(1 + x) 2) lim = lim = lim = log a e → 0 → 0 x →0 x x x x x.ln a e ax − ebx Ví dụ 1: L = lim x →0 x esin 2 x − esin x Ví dụ 2: L = lim x →0 sin x 2x − x2 Ví dụ 3: L = lim x→2 x − 2 2. 1 + x 2 − e −2 x Ví dụ 4: L = lim x →0 ln(1 + x 2 ) ðể sử dụng các giới hạn cơ bản, bằng cách thêm bớt,..học sinh cần biến ñổi giới hạn cần tìm về một trong các dạng: e f ( x) − 1 a f ( x) − 1 1) lim 2) lim x→ x x→ x f ( x) f ( x) log a (1 + f ( x)) ln(1 + f ( x)) 4) lim , với lim f ( x) = 0 3) lim x→ x → x → x0 x x f ( x) f ( x) BÀI TẬP Tính các giới hạn sau: 2 9 x − 5x 3x − cos x (1 − e x )(1 − cos x) 1) lim x x 2) lim 3) lim x→0 x→ 0 4 − 3 x →0 x2 2 x3 + 3x 4 1 esin 2 x − esin x 1+ x  5) lim 4) lim  .ln  x →0  x x → 0 5 x + tan 2 x 1 − x   ∞ Dạng 2: Giới hạn dạng vô ñịnh ∞ ∞ f ( x) Giới hạn dạng vô ñịnh có dạng lim , trong ñó lim f ( x) = lim g ( x) = ±∞ ( x → x0 , x → ±∞ ) x → x x → x0 x → x0 0 ∞ g ( x) Phương pháp: Chia cả tử số và mẫu số cho lũy thừa bậc cao nhất của tử số và mẫu số. 2 x3 − 3x2 + 1 Ví dụ 1: L = lim x →∞ 5 x3 − 6  3x 2 (2 x − 1)(3 x 2 + x + 2)  Ví dụ 2: L = lim  − ? x →∞ 2 x + 1 4 x2   ( x − 1)( x − 2)( x − 3)( x − 4)( x − 5) Ví dụ 3: L = lim x →∞ (5 x − 1)5 x+3 Ví dụ 4: L = lim x →±∞ x2 + 1 3. 0. 0. 0. 0. Ví dụ 5: L = lim. x →±∞ 4. 9x2 + 1 − 3 x2 + 4 16 x 4 + 3 − 5 x 4 + 7 BÀI TẬP. Tính các giới hạn sau: 3.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> (2 x − 3) 2 (4 x + 7) 2 1) lim x →±∞ (3 x 2 + 1)(10 x 2 + 9) 3) lim. (2 x − 3) 20 (3 x + 2)30 2) lim x →±∞ (2 x + 1)50. ( x + 1)( x 2 + 1)...( x n + 1). x →∞. [(nx) n + 1] 4. 5) lim. x →∞ 4. 4) lim. n +1 2. x →∞. x5 + 1 − 3 x 2 + 2. x 2 + 2 x + 3x 4 x2 + 4 − x + 2. ln(1 + x + 3 x ) x →+∞ ln(1 + 3 x + 4 x ). 6) lim. x 4 + 1 − x3 + 2. Dạng 3: Giới hạn dạng vô ñịnh ∞ − ∞ Dạng tổng quát của giới hạn này: lim[ f ( x) − g ( x)] , trong ñó lim f ( x) = lim g ( x) = ±∞ x → x0. x → x0. Phương pháp: biến ñổi chúng về dạng vô ñịnh. x → x0. 0 ∞ , bằng cách ñổi biến, nhân liên hợp, thêm bớt… 0 ∞. Ví dụ 1: L = lim ( x 2 + x − x) x →+∞. Ví dụ 2: L = lim ( x + x − x ) x →+∞. Ví dụ 3: L = lim ( x 2 − x + 3 + x) x →±∞. Ví dụ 4: L = lim ( 3 x 3 + 3 x 2 − x 2 − 2 x ) x →+∞. n   m Ví dụ 5: L = lim  − ( m, n ∈ ℕ * ) n  x →1 1 − x m 1− x  . BÀI TẬP 1) lim ( x + x + x − x ). 2) lim ( 3 ( x + 1) 2 − 3 ( x − 1) 2 ). 3) lim ( x + x + x − x − x − x ). 4) lim ( x + 3 1 − x 2 ). x →+∞. x →+∞. x →±∞. x →±∞. Dạng 4: Dạng vô ñịnh 0.∞ Dạng tổng quát của giới hạn này: lim [ f ( x).g ( x) ] , trong ñó lim f ( x) = 0, lim g ( x) = ±∞ x → x0. x → x0. x → x0. Phương pháp: ðể khử dạng này, ta chuyển chúng về dạng giới hạn dễ tính hơn như dạng. 0 ∞ , 0 ∞. Ví dụ 1: L = lim  x( x 2 + 5 − x  x →+∞   πx Ví dụ 2: L = lim(1 − x) tan x →1 2 BÀI TẬP 1) lim  x( 4 x + 9 + 2 x  x →−∞   2. 3) lim  x( 4 x 2 + 5 − 3 8 x3 − 1)  x →±∞  . π x  5) lim (a 2 − x 2 ) tan x→a 2a  . 2) lim  x 2 ( 3 x 4 + 5 − 3 x 4 − 2)  x →±∞    π  4) limπ  tan 2 x.tan  − x   x→  4  4 1 −  2 1x  6) lim  x (e + e x − 2  x →±∞  . 4.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> Dạng 5: Dạng vô ñịnh 1∞ Dạng tổng quát của giới hạn này: lim[ f ( x)]g ( x ) , trong ñó lim f ( x) = 1, lim g ( x) = ±∞ x → x0. x → x0. x → x0. Hai giới hạn cơ bản thường dùng ñể tính các giới hạn dạng này là: x 1  1 2) lim (1 + x ) x = e 1) lim 1 +  = e x →∞ x →∞  x Trong quá trình vận dụng, ta biến ñổi về dạng  1  1) lim 1 +  x→ x f ( x)  . f (x). =e. nếu lim f ( x) = ±∞ x → x0. 0. 1. 2) lim (1 + g ( x) ) g ( x ) = e x → x0. Ví dụ 1: L = lim(1 + sin 2 x). nếu lim g ( x) = 0 x → x0. 1 x. x →0.  x +1  Ví dụ 2: L = lim  x →+∞ x + 2   . 4 −3 x.  π  Ví dụ 3: L = lim  tan  − y   y →0   4. π  tan 2 − y  4 . BÀI TẬP 1. 1) lim(1 + x 2 )cot. 2. x. x →0. x2.  x2 + 3  3) lim  2  x →±∞ x − 2   x 1 1  6) lim  sin + cos  x →±∞ x x .  1 + tan x  sin x 2) lim  x → 0 1 + sin x    1. 4) lim(1 + sin π x)cot π x x →1. 5) lim(cos 2 x) x. 2. x →0. MỘT SỐ BÀI TRONG ðỀ THI ðẠI HỌC CÁC NĂM 2x −1 − x (HVNH-98) x →1 x −1 2 1+ x − 3 8 − x 3) lim (ðHQG KA-97) x →0 x 1 − cos 2 2 x (ðH ðN KD-97) 5) lim x →0 x sin x 1) lim.  2  7) lim  − cot x  (ðHL-98) x → 0 sin 2 x   π  cos  cos x  2  (ðHTN-KA-97) 9) lim x →0 2 x sin 2 tan(a + x). tan(a − x) − tan 2 a (ðHTN-98) 11) lim x →0 x2. x3 − 3x − 2 (ðHQG-98) x →1 x −1 4 2x −1 + 5 x − 2 (ðHSP II KA-99) 4) lim x →1 x −1 1 − 1 + sin 3 x 6) lim (ðHQG KB 97) x →0 1 − cos x tan x − sin x (HVKTQS-97) 8) lim x →0 x3 1 − sin 2 x − cos 2 x 10) lim x → 0 1 + sin 2 x − cos 2 x 2) lim. 12) lim x →0. 98  1 − cos 3 x.cos 5 x.cos 7 x    (ðHAN KA00) 83  sin 2 7 x . 5.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> 1 − 2 x + 1 + sin x (ðHGTVT 98) x →0 3x + 4 − 2 − x. 13) lim. 1 − cos x (ðHHH-97) x →0 1 − cos x esin 2 x − esin x 17) lim (ðHHH 99) x →0 sin x 15) lim. 1 + x 2 − cos x (ðHTM-99) x →0 x2 1 + tan x − 1 + sin x (ðHHH 00) 16) lim x →0 x3 x3 + x2 − 2 18) lim (ðHQG KD-99) x →1 sin( x − 1) 14) lim. 2. e −2 x − 3 1 + x 2 (GTVT 01) 19) lim x →0 ln(1 + x 2 ). 5 − x − 3 x2 + 7 (TCKT-01) x →1 x2 − 1  π  23) limπ  tan 2 x.tan  − x   (ðHSP II-00) x→  4  4 21) lim. 25) lim. cos 4 x − sin 4 x − 1. (ðHHH-01). x2 + 1 − 1 x6 − 6 x + 5 27) lim (TK-02) x →1 ( x − 1)2 x →0. 20) lim. 2 x + 1 − 3 x2 + 1 (ðHQG-00) sin x. 22) lim. 1 + 2 x − 3 1 + 3x (ðH Thủy Lợi -01) x2. x →0. x →0. 2. 3x − cos x 24) lim (ðHSP II-00) x→0 x2 26) lim x →0. x +1 + 3 x −1 (TK-02) x. 1 − 2x2 + 1 (ðHBK-01) x →0 1 − cos x. 28) lim. 6.

<span class='text_page_counter'>(7)</span>